Analitik geometrideki problemleri çözmeyi nasıl öğrenebilirim?
Düzlemdeki üçgenle ilgili tipik problem

Bu ders, düzlem geometrisi ile uzay geometrisi arasındaki ekvatora yaklaşım üzerine oluşturulmuştur. Şu anda biriken bilgilerin sistematik hale getirilmesi ve çok önemli bir sorunun yanıtlanması gerekiyor: Analitik geometrideki problemleri çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Buradaki zorluk, geometride sonsuz sayıda problemle karşılaşabilmenizdir ve hiçbir ders kitabı bu kadar çok ve çeşitli örnekleri içermeyecektir. bu değil bir fonksiyonun türevi beş türev alma kuralı, bir tablo ve çeşitli tekniklerle….

Bir çözüm var! Bir tür görkemli teknik geliştirdiğim hakkında yüksek sesle konuşmayacağım, ancak bence söz konusu soruna etkili bir yaklaşım var, bu da tam bir kuklanın bile iyi ve mükemmel sonuçlar elde etmesine olanak tanıyor. En azından geometrik problemlerin çözümüne yönelik genel algoritma kafamda çok net bir şekilde şekillendi.

BİLMENİZ VE YAPABİLMENİZ GEREKENLER
Geometri problemlerini başarıyla çözmek için?

Bundan kaçış yok - burnunuzla rastgele düğmelere basmamak için analitik geometrinin temellerine hakim olmanız gerekir. Bu nedenle geometri çalışmaya yeni başladıysanız veya tamamen unuttuysanız lütfen derse başlayın. Aptallar için vektörler. Vektörlere ve onlarla yapılan eylemlere ek olarak, özellikle düzlem geometrisinin temel kavramlarını bilmeniz gerekir, düzlemdeki bir doğrunun denklemi Ve . Uzayın geometrisi makalelerde sunulmaktadır Düzlem denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler ve diğer bazı dersler. İkinci dereceden kavisli çizgiler ve uzamsal yüzeyler biraz ayrı duruyor ve bunlarla ilgili çok fazla spesifik sorun yok.

Öğrencinin analitik geometrinin en basit problemlerini çözme konusunda temel bilgi ve becerilere sahip olduğunu varsayalım. Ama şöyle oluyor: Sorunun açıklamasını okuyorsunuz ve... her şeyi tamamen kapatmak, onu uzak bir köşeye atmak ve kötü bir rüya gibi unutmak istiyorsunuz. Üstelik bu temelde sizin niteliklerinizin düzeyine bağlı değil; zaman zaman ben de çözümü belli olmayan görevlerle karşılaşıyorum. Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Anlamadığınız bir işten korkmanıza gerek yok!

İlk önce, kurulmalıdır - Bu “düz” bir sorun mu yoksa mekansal bir sorun mu?Örneğin, koşul iki koordinatlı vektörler içeriyorsa, o zaman elbette bu bir düzlemin geometrisidir. Ve eğer öğretmen minnettar dinleyiciye bir piramit yüklediyse, o zaman açıkça uzayın geometrisi vardır. İlk adımın sonuçları zaten oldukça iyi çünkü bu görev için gereksiz olan büyük miktarda bilgiyi kesmeyi başardık!

Saniye. Durum genellikle sizi bazı geometrik şekillerle ilgilendirecektir. Gerçekten de, kendi üniversitenizin koridorlarında yürüyün; birçok endişeli yüz göreceksiniz.

"Düz" problemlerde, bariz nokta ve çizgilerden bahsetmeye bile gerek yok, en popüler şekil bir üçgendir. Bunu çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz. Daha sonra paralelkenar gelir ve çok daha az yaygın olan dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen, daire ve diğer şekillerdir.

Uzamsal problemlerde, aynı düz şekiller + düzlemlerin kendisi ve paralel yüzlü ortak üçgen piramitler uçabilir.

İkinci soru - Bu rakam hakkında her şeyi biliyor musun? Koşulun bir ikizkenar üçgenden bahsettiğini ve bunun ne tür bir üçgen olduğunu belli belirsiz hatırladığınızı varsayalım. Bir okul ders kitabını açıyoruz ve ikizkenar üçgen hakkında okuyoruz. Ne yapmalı... doktor eşkenar dörtgen dedi, eşkenar dörtgen anlamına geliyor. Analitik geometri analitik geometridir, ancak sorun şekillerin geometrik özellikleriyle çözülecek, okul müfredatından biliyoruz. Bir üçgenin açılarının toplamının ne olduğunu bilmiyorsanız uzun süre acı çekebilirsiniz.

Üçüncü. HER ZAMAN çizimi takip etmeye çalışın(taslakta/bitirilmiş kopyada/zihinsel olarak), durum bunu gerektirmese bile. "Düz" problemlerde Euclid, yalnızca durumu anlamak için değil, aynı zamanda kendi kendini test etmek amacıyla da bir cetvel ve kalem almayı emretti. Bu durumda en uygun ölçek 1 birim = 1 cm'dir (2 dizüstü bilgisayar hücresi). Dikkatsiz öğrencilerden ve mezarlarında dönen matematikçilerden bahsetmeyelim - bu tür problemlerde hata yapmak neredeyse imkansızdır. Mekansal görevler için, durumu analiz etmeye de yardımcı olacak şematik bir çizim gerçekleştiriyoruz.

Bir çizim veya şematik çizim çoğu zaman bir sorunu çözmenin yolunu anında görmenizi sağlar. Elbette bunun için geometrinin temellerini bilmeniz ve geometrik şekillerin özelliklerini anlamanız gerekir (önceki paragrafa bakın).

Dördüncü. Çözüm algoritmasının geliştirilmesi. Birçok geometri problemi çok adımlıdır, dolayısıyla çözüm ve tasarımı noktalara ayırmak için çok uygundur. Çoğu zaman algoritma, koşulu okuduktan veya çizimi tamamladıktan hemen sonra aklınıza gelir. Zorluk durumunda görevin SORUSU ile başlıyoruz. Örneğin “düz bir çizgi çizmelisiniz…” koşuluna göre. Burada en mantıklı soru şudur: “Bu düz çizgiyi inşa etmek için neyi bilmek yeterlidir?” Diyelim ki “noktayı biliyoruz, yön vektörünü de bilmemiz gerekiyor.” Şu soruyu soruyoruz: “Bu yön vektörü nasıl bulunur? Nerede?" vesaire.

Bazen bir "hata" vardır - sorun çözülmez ve hepsi bu. Durdurmanın nedenleri şunlar olabilir:

– Temel bilgilerde ciddi boşluk. Yani çok basit bir şeyi bilmiyorsunuz ve/veya görmüyorsunuz.

– Geometrik şekillerin özelliklerinin bilinmemesi.

– Görev zordu. Evet, oluyor. Saatlerce buğulamanın, gözyaşlarını mendilde toplamanın hiçbir anlamı yok. Öğretmeninizden veya diğer öğrencilerden tavsiye alın veya forumda bir soru sorun. Dahası, çözümün anlamadığınız kısmı hakkında somut bir açıklama yapmak daha iyidir. “Sorun nasıl çözülür?” şeklinde bir ağlama. pek iyi görünmüyor... ve her şeyden önce kendi itibarınız açısından.

Beşinci aşama. Karar ver-kontrol et, karar ver-kontrol et, karar ver-kontrol et-cevap verelim. Görevin her noktasını kontrol etmekte fayda var tamamlandıktan hemen sonra. Bu, hatayı hemen tespit etmenize yardımcı olacaktır. Doğal olarak, hiç kimse sorunun tamamını hızlı bir şekilde çözmeyi yasaklamaz, ancak her şeyi yeniden yazma riski vardır (genellikle birkaç sayfa).

Bunlar belki de sorunları çözerken takip edilmesi gereken tüm temel hususlardır.

Dersin pratik kısmı düzlem geometride sunulmaktadır. Sadece iki örnek olacak ama yeterli olmayacak =)

Biraz önce küçük bilimsel çalışmamda baktığım algoritmanın akışına bakalım:

Örnek 1

Paralelkenarın üç köşesi verilmiştir. Üstü bul.

Anlamaya başlayalım:

Birinci adım: “Düz” bir sorundan bahsettiğimiz çok açık.

İkinci adım: Problem paralelkenarla ilgilidir. Herkes bu paralelkenar figürünü hatırlıyor mu? Gülümsemeye gerek yok, pek çok kişi eğitimini 30-40-50 ve üzeri yaşlarda aldığı için basit gerçekler bile hafızadan silinebiliyor. Paralelkenarın tanımı dersin 3 numaralı örneğinde bulunmaktadır. Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli.

Üçüncü adım: Bilinen üç köşeyi işaretleyeceğimiz bir çizim yapalım. İstenilen noktayı hemen oluşturmanın zor olmaması komik:

Bunu inşa etmek elbette iyidir, ancak çözümün analitik olarak formüle edilmesi gerekir.

Dördüncü adım: Çözüm algoritmasının geliştirilmesi. İlk akla gelen, doğruların kesişimi olarak bir noktanın bulunabileceğidir. Denklemlerini bilmiyoruz, bu yüzden bu konuyla ilgilenmemiz gerekecek:

1) Karşılıklı kenarlar paraleldir. Puanlara göre Bu kenarların yön vektörünü bulalım. Bu sınıfta tartışılan en basit problemdir. Aptallar için vektörler.

Not: "Bir kenar içeren bir doğrunun denklemi" demek daha doğru olur, ancak burada ve daha fazla kısaltmak için "bir kenarın denklemi", "bir kenarın yön vektörü" vb. ifadelerini kullanacağım.

3) Karşılıklı kenarlar paraleldir. Noktaları kullanarak bu kenarların yön vektörünü buluruz.

4) Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım

1-2 ve 3-4. paragraflarda aslında aynı problemi iki kez çözdük bu arada dersin 3 numaralı örneğinde tartışılmıştı. Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Daha uzun bir rota izlemek mümkündü - önce çizgilerin denklemlerini bulun ve ancak daha sonra yön vektörlerini onlardan "çıkarın".

5) Artık doğruların denklemleri bilinmektedir. Geriye kalan tek şey karşılık gelen doğrusal denklem sistemini oluşturmak ve çözmektir (aynı dersin 4, 5 numaralı örneklerine bakın) Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler).

Nokta bulunmuştur.

Görev oldukça basit ve çözümü belli ama daha kısa bir yolu var!

İkinci çözüm:

Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktalarına göre ikiye bölünür. Noktayı işaretledim ama çizimi karıştırmamak için köşegenleri kendileri çizmedim.

Kenarın denklemini noktadan noktaya oluşturalım :

Kontrol etmek için, her noktanın koordinatlarını zihinsel olarak veya taslak üzerinde sonuçtaki denklemde değiştirmelisiniz. Şimdi eğimi bulalım. Bunu yapmak için genel denklemi eğim katsayılı bir denklem biçiminde yeniden yazıyoruz:

Böylece eğim:

Benzer şekilde kenarların denklemlerini de buluyoruz. Aynı şeyi açıklamanın pek bir anlamı görmüyorum, bu yüzden hemen nihai sonucu vereceğim:

2) Kenarın uzunluğunu bulun. Bu sınıfta ele alınan en basit problemdir. Aptallar için vektörler. Puanlar için formülü kullanıyoruz:

Aynı formülü kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulmak kolaydır. Kontrol normal bir cetvelle çok hızlı bir şekilde yapılabilir.

Formülü kullanıyoruz .

Vektörleri bulalım:

Böylece:

Bu arada kenar uzunluklarını da bulduk.

Sonuç olarak:

Doğru gibi görünüyor; ikna edici olmak için köşeye bir iletki takabilirsiniz.

Dikkat! Üçgenin açısını düz çizgiler arasındaki açıyla karıştırmayın. Bir üçgenin açısı geniş olabilir, ancak düz çizgiler arasındaki açı olamaz (makalenin son paragrafına bakın) Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler). Ancak bir üçgenin açısını bulmak için yukarıdaki dersteki formülleri de kullanabilirsiniz ancak işin püf noktası, bu formüllerin her zaman dar açı vermesidir. Onların yardımıyla bu sorunu taslakta çözdüm ve sonuca ulaştım. Ve son kopyaya ek mazeretler yazmam gerekecekti.

4) Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Dersin 2 numaralı örneğinde ayrıntılı olarak tartışılan standart görev Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Doğrunun genel denkleminden Kılavuz vektörünü çıkaralım. Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Bir üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

5) Yükseklik için bir denklem oluşturup uzunluğunu bulalım.

Katı tanımlardan kaçış yok, bu yüzden bir okul ders kitabından çalmanız gerekecek:

Üçgen yüksekliği Üçgenin köşesinden karşı kenarı içeren çizgiye çizilen dikmeye denir.

Yani tepe noktasından kenara çizilen bir dikme için denklem oluşturmak gerekir. Bu görev dersteki 6, 7 numaralı örneklerde tartışılmaktadır. Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Denklemden. normal vektörü kaldırın. Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak yükseklik denklemini oluşturalım:

Noktanın koordinatlarını bilmediğimizi lütfen unutmayın.

Bazen yükseklik denklemi dik çizgilerin açısal katsayılarının oranından bulunur: . Bu durumda: . Bir nokta ve açısal katsayı kullanarak yükseklik denklemini oluşturalım (bkz. dersin başlangıcı) Düzlemde düz bir çizginin denklemi):

Yükseklik uzunluğu iki şekilde bulunabilir.

Bir dolambaçlı yol var:

a) Bul – yükseklik ve kenarın kesişme noktası;
b) bilinen iki noktayı kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulun.

Ama sınıfta Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler bir noktadan bir çizgiye olan mesafe için uygun bir formül düşünüldü. Nokta biliniyor: Doğrunun denklemi de biliniyor: , Böylece:

6) Üçgenin alanını hesaplayın. Uzayda bir üçgenin alanı geleneksel olarak şu şekilde hesaplanır: vektörlerin vektör çarpımı, ancak burada bize düzlem üzerinde bir üçgen veriliyor. Okul formülünü kullanıyoruz:
– Bir üçgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Bu durumda:

Bir üçgenin medyanı nasıl bulunur?

7) Medyan için bir denklem oluşturalım.

Bir üçgenin medyanı Üçgenin tepe noktasını karşı kenarın ortasıyla birleştiren doğru parçasına denir.

a) Kenarın ortasını bulun. Kullanıyoruz bir parçanın orta noktasının koordinatları için formüller. Segmentin uçlarının koordinatları bilinmektedir: , ardından ortanın koordinatları:

Böylece:

Medyan denklemini noktadan noktaya oluşturalım :

Denklemi kontrol etmek için noktaların koordinatlarını denklemin içine koymanız gerekir.

8) Yükseklik ile ortancanın kesişme noktasını bulun. Sanırım herkes artistik patinajın bu unsurunu düşmeden nasıl gerçekleştireceğini zaten öğrendi:

1'den 20'ye kadar olan problemlerde ABC üçgeninin köşeleri verilmiştir.
Bul: 1) AB kenarının uzunluğunu; 2) AB ve AC taraflarının denklemleri ve açısal katsayıları; 3) 0,01 doğrulukla radyan cinsinden A iç açısı; 4) CD'nin yüksekliği ve uzunluğu için denklem; 5) CD yüksekliğinin çap olduğu bir dairenin denklemi; 6) ABC üçgenini tanımlayan doğrusal eşitsizlikler sistemi.

Üçgen kenar uzunluğu:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14.14
M noktasından d mesafesi: d = 10
Üçgenin köşelerinin koordinatları şu şekilde verilmiştir: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Üçgenin kenar uzunlukları
M 1 (x 1 ; y 1) ve M 2 (x 2 ; y 2) noktaları arasındaki d mesafesi aşağıdaki formülle belirlenir:

8) Bir doğrunun denklemi
A 1 (x 1 ; y 1) ve A 2 (x 2 ; y 2) noktalarından geçen düz bir çizgi aşağıdaki denklemlerle temsil edilir:

AB çizgisinin denklemi


veya

veya
y = -3 / 4 x -7 / 4 veya 4y + 3x +7 = 0
AC hattının denklemi
Doğrunun kanonik denklemi:

veya

veya
y = 1/2 x + 9/2 veya 2y -x - 9 = 0
BC çizgisinin denklemi
Doğrunun kanonik denklemi:

veya

veya
y = -7x + 42 veya y + 7x - 42 = 0
3) Düz çizgiler arasındaki açı
AB düz çizgisinin denklemi:y = -3 / 4 x -7 / 4
AC doğrusu denklemi:y = 1/2 x + 9/2
Açısal katsayıları y = k 1 x + b 1 ve y 2 = k 2 x + b 2 olan denklemlerle verilen iki düz çizgi arasındaki φ açısı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Bu doğruların eğimleri -3/4 ve 1/2'dir. Formülü kullanalım ve sağ taraftaki modülünü alalım:

tgφ = 2
φ = arktan(2) = 63,44 0 veya 1,107 rad.
9) C köşesinden geçen yükseklik denklemi
N 0 (x 0 ;y 0) noktasından geçen ve Ax + By + C = 0 düz çizgisine dik olan düz çizginin bir yön vektörü (A;B) vardır ve bu nedenle aşağıdaki denklemlerle temsil edilir:



Bu denklem başka bir şekilde de bulunabilir. Bunu yapmak için AB düz çizgisinin k 1 eğimini bulalım.
AB denklemi: y = -3 / 4 x -7 / 4, yani. k 1 = -3 / 4
İki düz çizginin birbirine dik olması koşulundan dikin açısal katsayısı k'yı bulalım: k 1 *k = -1.
Bu doğrunun eğimini k 1 yerine koyarsak şunu elde ederiz:
-3 / 4 k = -1, dolayısıyla k = 4 / 3
Dikme C(5,7) noktasından geçtiğinden ve k = 4/3 olduğundan denklemini şu şekilde arayacağız: y-y 0 = k(x-x 0).
x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:
y-7 = 4/3 (x-5)
veya
y = 4/3 x + 1/3 veya 3y -4x - 1 = 0
AB çizgisiyle kesişme noktasını bulalım:
İki denklemden oluşan bir sistemimiz var:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
İlk denklemden y'yi ifade edip ikinci denklemde yerine koyuyoruz.
Şunu elde ederiz:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) C köşesinden çizilen üçgenin yükseklik uzunluğu
M 1 (x 1 ;y 1) noktasından Ax + By + C = 0 düz çizgisine kadar olan d mesafesi, miktarın mutlak değerine eşittir:

C(5;7) noktası ile AB doğrusu arasındaki mesafeyi bulun (4y + 3x +7 = 0)


Yüksekliğin uzunluğu başka bir formül kullanılarak C(5;7) noktası ile D(-1;-1) noktası arasındaki mesafe olarak hesaplanabilir.
İki nokta arasındaki mesafe aşağıdaki formülle koordinat cinsinden ifade edilir:

5) CD yüksekliğinin çap olduğu bir dairenin denklemi;
Merkezi E(a;b) olan R yarıçaplı bir dairenin denklemi şu şekildedir:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R2
CD istenen dairenin çapı olduğundan, E merkezi CD segmentinin orta noktasıdır. Bir segmenti ikiye bölme formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:


Dolayısıyla E(2;3) ve R = CD / 2 = 5. Formülü kullanarak istenen dairenin denklemini elde ederiz: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) ABC üçgenini tanımlayan doğrusal eşitsizlikler sistemi.
AB doğrusu denklemi: y = -3 / 4 x -7 / 4
AC doğrusu denklemi: y = 1/2 x + 9/2
BC doğrusu denklemi: y = -7x + 42

Talimatlar

Size üç puan veriliyor. Bunları (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) olarak gösterelim. Bu noktaların bazı noktaların köşeleri olduğu varsayılmaktadır. üçgen. Görev, kenarlarının denklemlerini, daha doğrusu bu kenarların üzerinde bulunduğu çizgilerin denklemlerini oluşturmaktır. Bu denklemler şöyle görünmelidir:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 Böylece k1, k2, k3 açısal değerlerini ve b1, b2, b3 yer değiştirmelerini bulmanız gerekir.

(x1, y1), (x2, y2) noktalarından geçen bir doğru bulun. Eğer x1 = x2 ise istenilen doğru dikeydir ve denklemi x = x1'dir. Eğer y1 = y2 ise doğru yataydır ve denklemi y = y1'dir. Genel olarak bu koordinatlar birbirine uymayacaktır.

(x1, y1), (x2, y2) koordinatlarını genel düz çizgi denkleminde yerine koyarsak iki doğrusal denklemden oluşan bir sistem elde edersiniz: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 Bir denklemi diğerinden çıkarın ve elde edilen denklemi k1 için çözün: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, dolayısıyla k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Bulduğunuz şeyi orijinal denklemlerden herhangi birinde yerine koyarak b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 Zaten x2 ≠ x1 olduğunu bildiğimiz için, y1'i (x2 - x1)/(x2 - x1) ile çarparak ifadeyi basitleştirebiliriz. Daha sonra b1 için şu ifadeyi elde edersiniz: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Verilen noktalardan üçüncüsünün bulunan çizgide olup olmadığını kontrol edin. Bunu yapmak için, elde edilen denklemde (x3, y3)'ü yerine koyun ve eşitliğin geçerli olup olmadığına bakın. Bu nedenle gözlemlenirse, üç noktanın tümü aynı doğru üzerinde yer alır ve üçgen bir doğru parçasına dönüşür.

Yukarıda anlatıldığı gibi (x2, y2), (x3, y3) ve (x1, y1), (x3, y3) noktalarından geçen doğruların denklemlerini türetiniz.

Köşe koordinatları ile verilen bir üçgenin kenarlarına ilişkin denklemlerin son hali şöyledir: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Bulmak için denklemler partiler üçgenÖncelikle bir düzlem üzerindeki doğrunun yön vektörü s(m, n) ve doğruya ait bir M0(x0, y0) noktası biliniyorsa denkleminin nasıl bulunacağı sorusunu çözmeye çalışmalıyız.

Talimatlar

Rastgele (değişken, kayan) bir М(x, y) noktası alın ve bir М0M =(x-x0, y-y0) vektörü oluşturun (ayrıca М0M(x-x0, y-y0) yazın), bu açıkça eşdoğrusal olacaktır. (paralel) k s'ye göre. Daha sonra, bu vektörlerin koordinatlarının orantılı olduğu sonucuna varabiliriz, dolayısıyla kanonik bir düz çizgi oluşturabiliriz: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Sorunun çözümünde kullanılacak olan bu orandır.

Diğer tüm eylemler yönteme göre belirlenir .1. yöntem. Bir üçgen, üç köşesinin koordinatları ile verilir; okul geometrisinde bu, üç köşesinin uzunlukları belirtilerek verilir. partiler(bkz. Şekil 1). Yani koşul M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) noktalarını içerir. Noktalarla aynı koordinatlara sahip OM1, 0M2 ve OM3 yarıçap vektörlerine karşılık gelirler. Almak için denklemler partiler M1M2, yön vektörünü M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) ve M1 veya M2 noktalarından herhangi birini gerektirir (burada alt indeksli nokta alınır).

Yani için partiler y M1M2 (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) doğrusunun kanonik denklemi. Tamamen tümevarımsal olarak hareket ederek yazabiliriz denklemler geri kalanı partiler.İçin partiler s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). İçin partiler s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2. yöntem. Üçgen iki noktayla (M1(x1, y1) ve M2(x2, y2)'den öncekiyle aynı) ve diğer ikisinin yönlerinin birim vektörleriyle tanımlanır. partiler. İçin partiler s M2M3: p^0(m1, n1). M1M3 için: q^0(m2, n2). Bu nedenle partiler s M1M2 birinci yöntemdeki ile aynı olacaktır: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

İçin partiler s М2М3 kanonik değerin (x0, y0) noktası olarak denklemler(x1, y1) ve yön vektörü p^0(m1, n1)'dir. İçin partiler s M1M3, (x2, y2) (x0, y0) noktası olarak alınır, yön vektörü q^0(m2, n2) olur. Böylece, M2M3 için: denklem (x-x1)/m1=(y-y1)/n1. M1M3 için: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Konuyla ilgili video

İpucu 3: Noktaların koordinatları verilirse üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

Yükseklik, şeklin üst kısmını karşı tarafa bağlayan düz çizgi parçasıdır. Bu parça kenara dik olmalıdır, böylece her köşeden yalnızca bir tane çizilebilir yükseklik. Bu şekilde üç köşe olduğundan yükseklik sayıları da aynıdır. Bir üçgenin köşelerinin koordinatları verilirse, her bir yüksekliğin uzunluğu, örneğin alanı bulma ve kenarların uzunluklarını hesaplama formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Talimatlar

Kenar uzunluklarını hesaplayarak başlayın üçgen. Belirle koordinatlarşuna benzer rakamlar: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃). Daha sonra AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) formülünü kullanarak AB kenarının uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Diğer iki taraf için bunlar şu şekilde görünecektir: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) ve AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁) -Y₃ )² + (Z₁-Z₃)²). Örneğin, üçgen A(3,5,7), B(16,14,19) ve C(1,2,13) ​​​​koordinatlarıyla AB kenarının uzunluğu √((3-16)² + (5-14) olacaktır. )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Aynı şekilde hesaplanan BC ve AC kenarlarının uzunlukları √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 ve √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7 olacaktır.

Bir önceki adımda elde edilen üç kenarın uzunluklarını bilmek alanı hesaplamak için yeterlidir. üçgen(S) Heron formülüne göre: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Örneğin koordinatlardan elde edilen değerleri bu formülde yerine koymak üçgen-önceki adımdan alınan örnek, bu değeri verecektir: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12 ) * (19,85+20,12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Bölgeye göre üçgen Bir önceki adımda hesaplanan kenar uzunlukları ve ikinci adımda elde edilen kenar uzunlukları, her bir kenarın yüksekliğini hesaplar. Alan, çizildiği kenarın yüksekliği ile uzunluğunun çarpımının yarısına eşit olduğundan, yüksekliği bulmak için iki katına çıkan alanı istenilen kenarın uzunluğuna bölün: H = 2*S/a. Yukarıda kullanılan örnekte AB kenarına indirilen yükseklik 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, BC kenarına olan yükseklik 2*68,815/20,12 ≈ 6,84 olacak ve AC tarafı için bu değer şuna eşit olacaktır: 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Kaynaklar:

• Verilen noktalar üçgenin alanını buluyor

İpucu 4: Bir üçgenin kenarlarının denklemlerini bulmak için köşelerinin koordinatları nasıl kullanılır?

Analitik geometride, düzlem üzerindeki bir üçgen Kartezyen koordinat sisteminde tanımlanabilir. Köşelerin koordinatlarını bilerek üçgenin kenarları için denklemler oluşturabilirsiniz. Bunlar kesişen bir şekil oluşturan üç düz çizginin denklemleri olacaktır.

Sorun 1. ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları verilmiştir: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Bul: 1) AB kenarının uzunluğunu; 2) AB ve BC kenarlarının denklemleri ve açısal katsayıları; 3) iki basamaklı bir doğrulukla radyan cinsinden B açısı; 4) CD yüksekliği ve uzunluğu denklemi; 5) ortanca AE'nin denklemi ve bu ortancanın CD yüksekliği ile kesiştiği K noktasının koordinatları; 6) K noktasından AB kenarına paralel geçen düz bir çizginin denklemi; 7) CD düz çizgisine göre A noktasına simetrik olarak yerleştirilmiş M noktasının koordinatları.

Çözüm:

1. A(x 1 ,y 1) ve B(x 2 ,y 2) noktaları arasındaki d mesafesi aşağıdaki formülle belirlenir

(1)’i uygulayarak AB kenarının uzunluğunu buluruz:

2. A(x 1 ,y 1) ve B(x 2 ,y 2) noktalarından geçen doğrunun denklemi şu şekildedir:

(2)

A ve B noktalarının koordinatlarını (2)'de değiştirerek AB tarafının denklemini elde ederiz:

Y için son denklemi çözdükten sonra, AB tarafının denklemini açısal katsayılı düz bir çizgi denklemi biçiminde buluyoruz:

Neresi

B ve C noktalarının koordinatlarını (2)'de değiştirerek BC düz çizgisinin denklemini elde ederiz:

Veya

3. Açısal katsayıları sırasıyla eşit olan iki düz çizgi arasındaki açının tanjantının formülle hesaplandığı bilinmektedir.

(3)

İstenilen B açısı, açısal katsayıları bulunan AB ve BC düz çizgileriyle oluşturulur: (3)'ü uygulayarak şunu elde ederiz:

Ya da sevindim.

4. Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir:

(4)

CD yüksekliği AB kenarına diktir. CD yüksekliğinin eğimini bulmak için doğruların diklik koşulunu kullanırız. O zamandan beri (4)'e C noktasının koordinatlarını ve bulunan açısal yükseklik katsayısını koyarak şunu elde ederiz:

CD yüksekliğinin uzunluğunu bulmak için önce AB ve CD düz çizgilerinin kesişme noktası olan D noktasının koordinatlarını belirleriz. Sistemi birlikte çözmek:

buluruz onlar. D(8;0).

Formül (1)'i kullanarak CD yüksekliğinin uzunluğunu buluruz:

5. Ortanca AE'nin denklemini bulmak için önce BC kenarının ortası olan E noktasının koordinatlarını bir parçayı iki eşit parçaya bölme formüllerini kullanarak belirleriz:

(5)

Buradan,

A ve E noktalarının koordinatlarını (2)'de değiştirerek medyan denklemini buluruz:

CD yüksekliği ile ortanca AE'nin kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini birlikte çözeriz

Bulduk.

6. İstenilen doğru doğru AB kenarına paralel olduğundan açısal katsayısı AB doğrusunun açısal katsayısına eşit olacaktır. (4)'te bulunan K noktasının koordinatlarını ve elde ettiğimiz açısal katsayıyı yerine koyarsak

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. AB düz çizgisi CD düz çizgisine dik olduğundan, CD düz çizgisine göre A noktasına simetrik olarak yerleştirilen istenen M noktası AB düz çizgisi üzerinde yer alır. Ayrıca D noktası AM segmentinin orta noktasıdır. Formülleri (5) kullanarak istenen M noktasının koordinatlarını buluruz:

ABC üçgeni, CD yüksekliği, ortanca AE, KF düz çizgisi ve M noktası, Şekil 2'deki xOy koordinat sisteminde oluşturulmuştur. 1.

Görev 2. Belirli bir A(4; 0) noktasına ve belirli bir x=1 doğrusuna uzaklıkları 2'ye eşit olan noktaların geometrik yeri için bir denklem oluşturun.

Çözüm:

xOy koordinat sisteminde A(4;0) noktasını ve x = 1 düz çizgisini oluşturuyoruz. M(x;y) noktaların istenen geometrik konumlarının rastgele bir noktası olsun. MB dik açısını verilen x = 1 doğrusuna indirelim ve B noktasının koordinatlarını belirleyelim. B noktası verilen doğru üzerinde bulunduğundan apsisi 1'e eşittir. B noktasının ordinatı M noktasının ordinatına eşittir. Bu nedenle B(1;y) (Şekil 2).

Sorunun koşullarına göre |MA|: |MV| = 2. Uzaklıklar |MA| ve |MB| problem 1'in formül (1)'inden şunu buluyoruz:

Sol ve sağ tarafların karesini alırsak, şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan denklem, gerçek yarı ekseni a = 2 ve hayali yarı ekseni olan bir hiperboldür.

Bir hiperbolün odaklarını tanımlayalım. Bir hiperbol için eşitlik sağlanır. – abartı hileleri. Gördüğünüz gibi verilen A(4;0) noktası hiperbolün sağ odağıdır.

Ortaya çıkan hiperbolün dışmerkezliğini belirleyelim:

Hiperbol asimptotlarının denklemleri ve şeklindedir. Bu nedenle, veya ve bir hiperbolün asimptotlarıdır. Bir hiperbol oluşturmadan önce asimptotlarını oluştururuz.

Sorun 3. A(4; 3) noktasına ve y = 1 düz çizgisine eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri için bir denklem oluşturun. Ortaya çıkan denklemi en basit biçimine indirin.

Çözüm: M(x; y) noktaların istenilen geometrik yerinin noktalarından biri olsun. MB dik noktasını M noktasından bu y = 1 düz çizgisine bırakalım (Şekil 3). B noktasının koordinatlarını belirleyelim. Açıkçası, B noktasının apsisi M noktasının apsisine eşittir ve B noktasının ordinatı 1'e eşittir, yani B(x; 1). Sorunun koşullarına göre |MA|=|MV|. Sonuç olarak, istenilen geometrik noktalara ait herhangi bir M(x;y) noktası için aşağıdaki eşitlik doğrudur:

Ortaya çıkan denklem, noktasında tepe noktası olan bir parabolü tanımlar. Parabol denklemini en basit haline getirmek için y + 2 = Y'yi ayarlayalım, o zaman parabol denklemi şu formu alır: