Bir üçgenin kenarını, kenarına ve açısına göre bulun. Verilen parametrelere göre üçgen parametreleri. Bir tarafı ve iki açısı verilen üçgenin alanı formülü

Matematikte bir üçgen düşünülürken kenarlarına çok dikkat edilir. Çünkü bu unsurlar bu geometrik şekli oluşturur. Bir üçgenin kenarları birçok geometri problemini çözmek için kullanılır.

Kavramın tanımı

Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarına üçgenin kenarları denir. Göz önünde bulundurulan elemanlar, bu düzlemin iç kısmı olarak adlandırılan düzlemin bir kısmını sınırlar. geometrik şekil.

Matematikçiler hesaplamalarında geometrik şekillerin kenarlarına ilişkin genellemelere izin verirler. Böylece dejenere bir üçgende üç parçası tek bir düz çizgi üzerinde yer alır.

Konseptin özellikleri

Bir üçgenin kenarlarının hesaplanması, şeklin diğer tüm parametrelerinin belirlenmesini içerir. Bu bölümlerin her birinin uzunluğunu bilerek üçgenin çevresini, alanını ve hatta açılarını kolayca hesaplayabilirsiniz.

Pirinç. 1. Keyfi üçgen.

Belirli bir şeklin kenarlarını toplayarak çevresini belirleyebilirsiniz.

P=a+b+c, burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır

Ve bir üçgenin alanını bulmak için Heron formülünü kullanmalısınız.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Burada p yarı çevredir.

Belirli bir geometrik şeklin açıları kosinüs teoremi kullanılarak hesaplanır.

$$çünkü α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Anlam

Bu geometrik şeklin bazı özellikleri bir üçgenin kenarlarının oranıyla ifade edilir:

• Bir üçgenin en küçük kenarının karşısında en küçük açı bulunur.
• Söz konusu geometrik şeklin dış açısı, kenarlardan birinin uzatılmasıyla elde edilir.
• Bir üçgenin karşılıklı eşit açıları eşit kenarlardır.
• Herhangi bir üçgende kenarlardan biri her zaman diğer iki doğru parçasının farkından daha büyüktür. Ve bu şeklin herhangi iki tarafının toplamı üçüncüden büyüktür.

İki üçgenin eşit olduğunun işaretlerinden biri geometrik şeklin tüm kenarlarının toplamının oranıdır. Bu değerler aynı ise üçgenler eşit olacaktır.

Bir üçgenin bazı özellikleri türüne bağlıdır. Bu nedenle öncelikle bu şeklin kenarlarının veya açılarının boyutunu dikkate almalısınız.

Üçgen oluşturma

Söz konusu geometrik şeklin iki kenarı aynı ise bu üçgene ikizkenar üçgen denir.

Pirinç. 2. İkizkenar üçgen.

Bir üçgenin tüm bölümleri eşit olduğunda eşkenar üçgen elde edilir.

Pirinç. 3. Eşkenar üçgen.

Rastgele bir üçgenin belirli bir tür olarak sınıflandırılabileceği durumlarda herhangi bir hesaplamanın yapılması daha uygundur. Çünkü o zaman bu geometrik şeklin gerekli parametresini bulmak önemli ölçüde basitleştirilecektir.

Doğru seçilmiş olmasına rağmen trigonometrik denklem keyfi bir üçgenin dikkate alındığı birçok sorunu çözmenizi sağlar.

Ne öğrendik?

Noktalarla birbirine bağlanan ve aynı düz çizgiye ait olmayan üç parça bir üçgen oluşturur. Bu kenarlar alanı belirlemek için kullanılan geometrik bir düzlem oluşturur. Bu bölümleri kullanarak bir şeklin çevre ve açılar gibi birçok önemli özelliğini bulabilirsiniz. Bir üçgenin en boy oranı onun tipini bulmaya yardımcı olur. Belirli bir geometrik şeklin bazı özellikleri ancak her bir tarafının boyutları biliniyorsa kullanılabilir.

Konuyla ilgili deneme

Makale derecelendirmesi

Ortalama derecelendirme: 4.3. Alınan toplam puan: 142.

Geometride açı, bir noktadan (açının tepe noktası olarak adlandırılır) çıkan iki ışının oluşturduğu şekildir. Çoğu durumda açının ölçü birimi derecedir (°) - tam açının veya bir devrimin 360° olduğunu unutmayın. Bir çokgenin açı değerini türüne ve diğer açıların değerlerine göre bulabilir ve bir dik üçgen verilirse iki taraftan açı hesaplanabilir. Ayrıca açı, iletki kullanılarak ölçülebilir veya bir grafik hesap makinesi kullanılarak hesaplanabilir.

Adımlar

Çokgenin iç açıları nasıl bulunur

Çokgenin kenar sayısını sayın. Bir çokgenin iç açılarını hesaplamak için öncelikle çokgenin kaç kenarı olduğunu belirlemeniz gerekir. Bir çokgenin kenar sayısının açı sayısına eşit olduğunu unutmayın.

• Örneğin üçgenin 3 kenarı ve 3 iç açısı, karenin ise 4 kenarı ve 4 iç açısı vardır.

1. Çokgenin tüm iç açılarının toplamını hesaplayın. Bunu yapmak için şu formülü kullanın: (n - 2) x 180. Bu formülde n, çokgenin kenar sayısıdır. Yaygın olarak karşılaşılan çokgenlerin açılarının toplamları aşağıda verilmiştir:

   • Bir üçgenin (3 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 180°'dir.
   • Bir dörtgenin (4 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 360°'dir.
   • Bir beşgenin (5 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 540°'dir.
   • Altıgenin (6 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 720°'dir.
   • Sekizgenin (8 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 1080°'dir.

2. Bir düzgün çokgenin tüm açılarının toplamını açı sayısına bölün. Düzgün çokgen, kenarları eşit olan çokgendir ve eşit açılar. Örneğin, bir eşkenar üçgenin her açısı şu şekilde hesaplanır: 180 ÷ 3 = 60° ve bir karenin her açısı şu şekilde hesaplanır: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Eşkenar üçgen ve kare düzgün çokgenlerdir. Ve Pentagon binasında (Washington, ABD) ve yol işareti Düzenli bir sekizgenin "durdurma" şekli.

3. Düzensiz çokgenin açılarının toplamından bilinen tüm açıların toplamını çıkarın. Bir çokgenin kenarları birbirine eşit değilse ve açıları da birbirine eşit değilse, önce çokgenin bilinen açılarını toplayın. Şimdi elde edilen değeri çokgenin tüm açılarının toplamından çıkarın; bu şekilde bilinmeyen açıyı bulacaksınız.

   • Örneğin, bir beşgenin 4 açısının 80°, 100°, 120° ve 140° olduğu verilmişse şu sayıları toplayın: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Şimdi bu değeri tüm açıların toplamından çıkarın. beşgenin açıları; bu toplam 540°'ye eşittir: 540 - 440 = 100°. Yani bilinmeyen açı 100°'dir.

   Tavsiye:Şeklin özelliklerini biliyorsanız bazı çokgenlerin bilinmeyen açısı hesaplanabilir. Örneğin bir ikizkenar üçgende iki kenar eşittir ve iki açı eşittir; Bir paralelkenarda (bir dörtgendir), karşıt kenarlar eşittir ve karşıt açılar eşittir.

   Üçgenin iki tarafının uzunluğunu ölçün. En uzun kenar dik üçgen hipotenüs denir. Bitişik taraf bilinmeyen açıya yakın olan taraftır. Karşı taraf bilinmeyen açının karşısındaki taraftır. Üçgenin bilinmeyen açılarını hesaplamak için iki kenarı ölçün.

   Tavsiye: Denklemleri çözmek için bir grafik hesap makinesi kullanın veya sinüs, kosinüs ve teğet değerlerini içeren çevrimiçi bir tablo bulun.

   Karşı kenarı ve hipotenüsü biliyorsanız açının sinüsünü hesaplayın. Bunu yapmak için değerleri denklemde yerine koyun: sin(x) = karşı kenar ÷ hipotenüs. Örneğin karşı kenar 5 cm ve hipotenüs 10 cm ise 5/10 = 0,5'e bölün. Dolayısıyla sin(x) = 0,5, yani x = sin -1 (0,5).

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir sayıdır. Bir üçgeni oluşturan noktalara onun noktaları denir ve bölümler yan yanadır.

Üçgenin türüne (dikdörtgen, tek renkli vb.) bağlı olarak, giriş verilerine ve problemin koşullarına bağlı olarak üçgenin kenarını farklı şekillerde hesaplayabilirsiniz.

Bir makale için hızlı gezinme

Dik bir üçgenin kenarlarını hesaplamak için Pisagor teoremi kullanılır; buna göre hipotenüsün karesi toplamına eşit metrekare.

Bacakları "a" ve "b", hipotenüsü ise "c" olarak etiketlersek sayfalar aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

Bir dik üçgenin (a ve b) dar açıları biliniyorsa kenarları aşağıdaki formüllerle bulunabilir:

Kırpılmış üçgen

Her iki tarafı da aynı olan üçgene eşkenar üçgen denir.

İki bacakta hipotenüs nasıl bulunur?

"a" harfi aynı sayfanın aynısı ise "b" taban, "b" tabanın karşısındaki açı, "a" ise sayfaların hesaplamak için kullanabileceği bitişik açıdır. aşağıdaki formüller:

İki köşe ve bir kenar

Herhangi bir üçgenin bir sayfası (c) ve iki açısı (a ve b) biliniyorsa, kalan sayfaları hesaplamak için sinüs formülü kullanılır:

Üçüncü değeri y = 180 - (a + b) bulmalısınız çünkü

bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180°'dir;

İki kenar ve bir açı

Bir üçgenin iki tarafı (a ve b) ve aralarındaki açı (y) biliniyorsa, üçüncü tarafı hesaplamak için kosinüs teoremi kullanılabilir.

Dik üçgenin çevresi nasıl belirlenir

Üçgen üçgen, biri 90 derece, diğer ikisi dar açı olan bir üçgendir. hesaplama çevreçok üçgen hakkında bilinen bilgi miktarına bağlıdır.

İhtiyacın olacak

• Duruma bağlı olarak, üçgenin üç tarafının yanı sıra dar açılarından biri de 2 becerisine sahiptir.

talimatlar

Birinci Yöntem 1. Üç sayfanın tümü biliniyorsa üçgen Daha sonra, dik veya üçgen olmamasına bakılmaksızın çevre şu şekilde hesaplanır: P = A + B + C, mümkünse c hipotenüstür; a ve b bacaklardır.

ikinci Yöntem 2.

Bir dikdörtgenin yalnızca iki kenarı varsa Pisagor teoremini kullanarak, üçgenşu formül kullanılarak hesaplanabilir: P = v (a2 + b2) + a + b veya P = v (c2 - b2) + b + c.

üçüncü Yöntem 3. Hipotenüs c ve bir dar açı olsun? Bir dik üçgen verildiğinde çevreyi şu şekilde bulmak mümkün olacaktır: P = (1 + sin?

dördüncü Yöntem 4. Dik üçgende bir bacağın uzunluğunun a'ya eşit olduğunu ve tam tersine dar bir açıya sahip olduğunu söylüyorlar. O zaman hesapla çevre Bu üçgen aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilecektir: P = a * (1 / tg?

1/oğul? + 1)

beşte biri Yöntem 5.

Çevrimiçi üçgen hesaplama

Bacağımız önde olsun ve buna dahil olsun, o zaman aralık şu şekilde hesaplanacaktır: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

İlgili videolar

Pisagor teoremi tüm matematiğin temelidir. Gerçek bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi belirler. Bu teoremin şu anda 367 kanıtı var.

talimatlar

Birinci Pisagor teoreminin klasik okul formülasyonu şu şekildedir: Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.

İki Catet dik üçgeninde hipotenüsü bulmak için, bacakların uzunluklarının karesini oluşturmanız, birleştirmeniz ve almanız gerekir. karekök miktardan. İfadesinin orijinal formülasyonunda piyasa, Catete'nin ürettiği 2 karenin karelerinin toplamına eşit olan hipotenüse dayanmaktadır. Bununla birlikte, modern cebirsel formülasyon, bir alan temsilinin eklenmesini gerektirmez.

ikinciÖrneğin, kenarları 7 cm ve 8 cm olan bir dik üçgen.

O halde Pisagor teoremine göre kare hipotenüs R + S = 49 + 64 = 113 cm'ye eşittir. Hipotenüs ise 113 sayısının kareköküne eşittir.

Dik üçgenin açıları

Sonuç asılsız bir sayıydı.

üçüncüÜçgenin kenarları 3 ve 4 ise hipotenüs = 25 = 5. Karekökünü aldığınızda doğal bir sayı elde edersiniz. 3, 4, 5 sayıları x ilişkisini sağladıklarından bir Pygagor üçlüsü oluştururlar. +E? = Z, bu doğaldır.

Pisagor üçlüsünün diğer örnekleri şunlardır: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

dördüncü Bu durumda bacaklar birbirinin aynısı ise Pisagor teoremi daha ilkel bir denkleme dönüşür. Örneğin, böyle bir elin A sayısına eşit olduğunu ve hipotenüsün C için tanımlandığını varsayalım ve sonra c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu durumda A'ya ihtiyacınız yoktur.

beşte biri Pisagor teoremi, bir üçgenin üç tarafı arasındaki ilişkiyi, ikisi arasındaki herhangi bir açı için kuran genel kosinüs teoreminden daha büyük olan özel bir durumdur.

İpucu 2: Bacaklar ve açılar için hipotenüs nasıl belirlenir

Hipotenüs, dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenardır.

talimatlar

Birinci Bilinen kateterler durumunda, bir dik üçgenin akut açısının yanı sıra, hipotenüs, açının zıt / e olması durumunda bacağın bu açının kosinüs / sinüs oranına eşit bir boyuta sahip olabilir: H = C1 (veya C2) / sin, H = C1 (veya C2?) / cos?. Örnek: ABC'ye hipotenüsü AB ve dik açısı C olan düzensiz bir üçgen verilsin.

B 60 derece ve A 30 derece olsun. BC sapının uzunluğu 8 cm'dir. AB hipotenüsünün uzunluğu bulunmalıdır. Bunu yapmak için yukarıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenüs dikdörtgenin en uzun kenarıdır üçgen. Dik açıda bulunur. Bir dikdörtgenin hipotenüsünü bulma yöntemi üçgen Kaynak verilerine bağlı olarak.

talimatlar

Birinci Bacaklarınız dik ise üçgen, daha sonra dikdörtgenin hipotenüsünün uzunluğu üçgen bir Pisagor analogu tarafından keşfedilebilir - hipotenüs uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir: c2 = a2 + b2, burada a ve b, sağdaki bacakların uzunluğudur üçgen .

ikinci Bacaklardan biri biliniyorsa ve dar bir açıdaysa, hipotenüsü bulma formülü, alt kısmın varlığına veya yokluğuna bağlı olacaktır. belirli açı bilinen bacağa göre - bitişik (bacak yakın konumdadır) veya tam tersi (tersi durumda nego bulunur. Belirtilen açının V'si, kosinüs açısındaki bacağın hipotenüsünün fraksiyonuna eşittir: a = a/cos; E ise hipotenüs sinüzoidal açıların oranıyla aynıdır: da = a/sin.

İlgili videolar

Yararlı ipuçları
Kenarları 3:4:5 ile ilişkili olan açısal üçgene, bu figürlerin eski Mısır mimarları tarafından yaygın olarak kullanılması nedeniyle Mısır deltası adı verilmiştir.

Bu aynı zamanda sayfaların ve alanın tam sayılarla temsil edildiği Jero üçgenlerinin en basit örneğidir.

Açısı 90° olan üçgene dikdörtgen denir. Sağ köşenin karşısındaki tarafa hipotenüs, diğerine ise bacaklar denir.

Normal üçgenlerin bazı özelliklerinden, yani dar açıların toplamının 90° olması ve karşı kenarın uzunluğunun hipotenüsün yarısı olması gerçeğinden yararlanılarak bir dik üçgenin nasıl oluşturulduğunu bulmak istiyorsanız 30°'dir.

Bir makale için hızlı gezinme

Kırpılmış üçgen

Eşit üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının eşit olmasıdır.

Dik bir eş üçgenin açısını hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:

• Bu 90°'den daha kötü değil.
• Akut açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, yani.

  α ve β açıları 45°'ye eşittir.

Dar açılardan birinin bilinen değeri biliniyorsa diğeri şu formül kullanılarak bulunabilir: β = 180°-90°-α veya α = 180°-90°-β.

Bu oran en çok açılardan birinin 60° veya 30° olması durumunda kullanılır.

Anahtar Kavramlar

Üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.

Çünkü tek seviye, ikisi keskin kalıyor.

Üçgeni çevrimiçi hesapla

Onları bulmak istiyorsanız şunu bilmeniz gerekir:

Diğer yollar

Bir dik üçgenin dar açılarının değerleri ortalamadan hesaplanabilir - üçgenin karşı tarafındaki bir noktadan bir çizgi ve yükseklik - çizgi hipotenüsten dik açıyla çizilen bir diktir. .

Kenarortay sağ köşeden hipotenüsün ortasına kadar uzansın ve yükseklik h olsun. Bu durumda şu ortaya çıkıyor:

• günah α = b / (2 * s); günah β = a / (2 * s).
• çünkü α = a / (2 * s); çünkü β = b / (2 * s).
• günah α = h/b; günah β = h/a.

İki sayfa

Hipotenüsün ve bacaklardan birinin uzunlukları bir dik üçgende veya her iki tarafta biliniyorsa, akut açıların değerlerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:

• α = arksin (a/c), β = arksin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arktan (a / b), β = arktan (b / a).

Bir dik üçgenin uzunluğu

Üçgenin Alanı ve Alanı

çevre

Herhangi bir üçgenin çevresi üç kenarının uzunluklarının toplamına eşittir. Genel formülüçgen üçgeni bulmak için:

burada P üçgenin çevresi, a, b ve c kenarlarıdır.

Eşit bir üçgenin çevresi kenar uzunluklarının art arda birleştirilmesi veya kenar uzunluğunun 2 ile çarpılıp taban uzunluğunun çarpıma eklenmesiyle bulunabilir.

Bir denge üçgeni bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:

burada P eşit bir üçgenin çevresidir, ancak ya b ya da b tabandır.

Eşkenar üçgenin çevresi Kenar uzunluklarının sırayla birleştirilmesiyle veya herhangi bir sayfanın uzunluğunun 3 ile çarpılmasıyla bulunabilir.

Eşkenar üçgenlerin kenarını bulmanın genel formülü şöyle görünecektir:

burada P eşkenar üçgenin çevresidir, a ise kenarlarından herhangi biridir.

bölge

Bir üçgenin alanını ölçmek istiyorsanız bunu paralelkenarla karşılaştırabilirsiniz. ABC üçgenini düşünün:

Aynı üçgeni alıp bir paralelkenar elde edecek şekilde sabitlersek, bu üçgenle aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir paralelkenar elde ederiz:

Bu durumda üçgenlerin ortak kenarları kalıplanmış paralelkenarın köşegeni boyunca birbirine katlanır.

Paralelkenarın özelliklerinden. Bir paralelkenarın köşegenlerinin her zaman iki eşit üçgene bölündüğü, ardından her üçgenin yüzeyinin paralelkenarın aralığının yarısına eşit olduğu bilinmektedir.

Paralelkenarın alanı taban yüksekliğinin çarpımına eşit olduğundan üçgenin alanı bu çarpımın yarısına eşit olacaktır. Böylece ΔABC için alan aynı olacaktır.

Şimdi bir dik üçgen düşünün:

Birbirinin hipotenüsü olan iki özdeş dik üçgen, onlara yaslanırsa bir dikdörtgen şeklinde bükülebilir.

Dikdörtgenin yüzeyi bitişik kenarların yüzeyiyle çakıştığı için bu üçgenin alanı aynıdır:

Bundan herhangi bir dik üçgenin yüzeyinin bacakların çarpımının 2'ye eşit olduğu sonucuna varabiliriz.

Bu örneklerden, her üçgenin yüzeyinin uzunluğun çarpımı ile aynı olduğu ve yüksekliğin alt tabakanın 2'ye bölünmesiyle azaltıldığı sonucuna varılabilir.

Bir üçgenin alanını bulmak için genel formül şöyle görünecektir:

burada S üçgenin alanıdır, ancak tabanıdır, ancak yüksekliği a tabanına düşer.

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki tarafa hipotenüs, diğer ikisine ise bacaklar denir.

Bir dik üçgende açıyı bulmak için dik üçgenlerin bazı özellikleri kullanılır, yani: dar açıların toplamı 90°'dir ve ayrıca uzunluğu hipotenüsün uzunluğunun yarısı kadar olan bacağın karşısında yer alması gerçeği 30°'ye eşit bir açı.

Makalede hızlı gezinme

İkizkenar üçgen

İkizkenar üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının eşit olmasıdır. Dik ikizkenar üçgenin açılarını hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:

• Dik açı 90°'dir.
• Dar açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180°-90°)/2=45°, yani. α ve β açıları 45°'ye eşittir.

Dar açılardan birinin boyutu biliniyorsa ikincisi şu formül kullanılarak bulunabilir: β=180°-90°-α veya α=180°-90°-β. Çoğu zaman bu oran, açılardan birinin 60° veya 30° olması durumunda kullanılır.

Anahtar Kavramlar

Üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir. Bir açı dik olduğundan geri kalan ikisi dar olacaktır. Onları bulmak için şunu bilmeniz gerekir:

Diğer yollar

Bir dik üçgenin dar açılarının değerleri, ortancanın (tepe noktasından üçgenin karşı tarafına çizilen bir çizgi) ve yüksekliğin (dik olarak bırakılan düz bir çizgi) değeri bilinerek hesaplanabilir. dik açıdan hipotenüse kadar. Dik açıdan hipotenüsün ortasına çizilen kenarortay s, yükseklik ise h olsun. Bu durumda şu ortaya çıkıyor:

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• çünkü α=a/(2*s); çünkü β=b/(2*s).
• günah α=h/b; günah β =h/a.

İki taraf

Bir dik üçgende hipotenüsün ve bacaklardan birinin veya iki tarafın uzunlukları biliniyorsa, dar açıların değerlerini bulmak için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:

• α=arksin(a/c), β=arksin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=yayg(a/b), β=yayg(b/a).

Birincisi dik açıya bitişik olan bölümlerdir ve hipotenüs şeklin en uzun kısmıdır ve 90 derecelik açının karşısında yer alır. Pisagor üçgeni kenarları eşit olana denir doğal sayılar; bu durumda uzunluklarına “Pisagor üçlüsü” adı verilir.

Mısır üçgeni

Şimdiki neslin geometriyi şu anda okullarda öğretildiği şekliyle tanıyabilmesi için, geometri birkaç yüzyıl boyunca gelişmiştir. Temel nokta Pisagor teoremi olarak kabul edilir. Dikdörtgenin kenarlarının 3, 4, 5 olduğu tüm dünyada bilinmektedir.

Çok az insan "Pisagor pantolonları her yöne eşittir" ifadesine aşina değildir. Ancak gerçekte teorem şöyle görünür: c 2 (hipotenüsün karesi) = a 2 + b 2 (bacakların karelerinin toplamı).

Matematikçiler arasında kenarları 3, 4, 5 (cm, m vb.) olan üçgene “Mısırlı” denir. İlginç olan şekilde yazılı olanın bire eşit olmasıdır. İsim, Yunan filozoflarının Mısır'a seyahat ettiği MÖ 5. yüzyılda ortaya çıktı.

Piramitleri inşa ederken mimarlar ve araştırmacılar 3:4:5 oranını kullandılar. Bu tür yapıların orantılı, görünümü hoş ve ferah olduğu ve ayrıca nadiren çöktüğü ortaya çıktı.

İnşaatçılar dik açı oluşturmak için üzerine 12 düğümlü bir halat kullandılar. Bu durumda dik üçgen oluşturma olasılığı %95'e çıkmıştır.

Rakamların eşitliğinin işaretleri

• İkinci üçgendeki aynı elemanlara eşit olan dik üçgendeki dar açı ve uzun kenar, rakamların eşitliğinin tartışılmaz bir işaretidir. Açıların toplamını dikkate alarak ikinci dar açıların da eşit olduğunu kanıtlamak kolaydır. Dolayısıyla ikinci kritere göre üçgenler aynıdır.
• İki rakamı üst üste bindirirken, onları birleştirdiklerinde tek bir ikizkenar üçgen olacak şekilde döndürüyoruz. Özelliğine göre kenarlar, daha doğrusu hipotenüsler eşittir, tabandaki açılar da eşittir, yani bu şekiller aynıdır.

İlk işarete dayanarak, üçgenlerin gerçekten eşit olduğunu kanıtlamak çok kolaydır; asıl mesele, iki küçük tarafın (yani bacakların) birbirine eşit olmasıdır.

Özü bacağın eşitliği ve dar açı olan ikinci kritere göre üçgenler aynı olacaktır.

Dik açılı bir üçgenin özellikleri

Dik açıdan alçaltılan yükseklik, figürü iki eşit parçaya böler.

Bir dik üçgenin kenarları ve medyanı şu kuralla kolayca tanınabilir: Hipotenüse düşen medyan bunun yarısına eşittir. hem Heron formülüyle hem de bacakların çarpımının yarısına eşit olduğu ifadesiyle bulunabilir.

Bir dik üçgende 30°, 45° ve 60° açıların özellikleri geçerlidir.

• 30° açıyla karşı bacağın en büyük kenarın 1/2'sine eşit olacağı unutulmamalıdır.
• Açı 45° ise ikinci dar açı da 45° olur. Bu, üçgenin ikizkenar olduğunu ve bacaklarının aynı olduğunu gösterir.
• 60°lik açının özelliği üçüncü açının ölçüsünün 30° olmasıdır.

Alan üç formülden biri kullanılarak kolayca bulunabilir:

1. yükseklik ve alçaldığı taraf boyunca;
2. Heron'un formülüne göre;
3. yanlarda ve aralarındaki açıda.

Dik üçgenin kenarları veya daha doğrusu bacakları iki yükseklikte birleşir. Üçüncüyü bulmak için ortaya çıkan üçgeni dikkate almak ve ardından Pisagor teoremini kullanarak gerekli uzunluğu hesaplamak gerekir. Bu formüle ek olarak alanın iki katı ile hipotenüs uzunluğu arasında da bir ilişki vardır. Öğrenciler arasında en yaygın ifade, daha az hesaplama gerektirdiği için ilk ifadedir.

Dik üçgene uygulanan teoremler

Sağ üçgen geometrisi aşağıdaki gibi teoremlerin kullanımını içerir: