Fonksiyon türleri ve grafik tablosu. Fonksiyonların temel özellikleri. Doğrusal Fonksiyonun Özellikleri

Güç fonksiyonu. Bu fonksiyon: y = aksn, Nerede BİR- kalıcı. Şu tarihte: N= 1 elde ederiz doğru orantılılık: sen = balta; N = 2 - en ; N = - 1 - kare parabol ters orantı veya. abartı Dolayısıyla bu fonksiyonlar kuvvet fonksiyonunun özel durumlarıdır. Sıfırdan başka herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin şuna eşit olduğunu biliyoruz: 1, bu nedenle, N= 0 güç fonksiyonu sabit bir değere dönüşür: = sen A yani onun programı düz çizgi, eksene paralelX, menşei hariç ( lütfen açıkla sen= 1 ) Neden ? ). Bütün bu durumlar (ile (NŞekil 13'te gösterilmiştir 0) ve Şekil 14 ( < 0). Отрицательные значения NX burada dikkate alınmamıştır, dolayısıyla

isminde kübik parabol Şekil 16 işlevi göstermektedir. = 0 güç fonksiyonu sabit bir değere dönüşür: = N 2 Bu. fonksiyon kare parabolün tersi grafiği, kare bir parabolün grafiğinin 1. koordinat açısının ortaortası etrafında döndürülmesiyle elde edilir.

Bu, herhangi bir ters fonksiyonun grafiğini, orijinal fonksiyonunun grafiğinden elde etme yöntemidir. Grafikten bunun iki değerli bir fonksiyon olduğunu görüyoruz (bu aynı zamanda ± işaretiyle de gösterilir). karekök 1, bu nedenle,). Bu tür fonksiyonlar temel matematikte incelenmez, bu nedenle bir fonksiyon olarak genellikle onun dallarından birini düşünürüz: üst veya alt.

Temel temel işlevler

şunlardır: sabit fonksiyon (sabit), kök -inci derece, kuvvet fonksiyonu, üstel, logaritmik fonksiyon, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonlar. Kalıcı işlev. Formülle tüm gerçek sayılar kümesinde sabit bir fonksiyon verilir; burada C – bazı gerçek sayılar. Sabit fonksiyon bağımsız değişkenin her gerçek değerini ilişkilendirir X bağımlı değişkenin aynı değeri sen

- Anlam İLE. Sabit bir fonksiyona sabit de denir. Sabit bir fonksiyonun grafiği, x eksenine paralel ve koordinatları olan noktadan geçen düz bir çizgidir.,(0,C) ve aşağıdaki şekilde sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelir.

Sabit bir fonksiyonun özellikleri.

Etki Alanı: Gerçek sayılar kümesinin tamamı.

Sabit fonksiyon çifttir.

Değer aralığı: aşağıdakilerden oluşan set tekil bağımlı değişkenin aynı değeri.

Sabit bir fonksiyon artmayan ve azalmayan bir fonksiyondur (bu yüzden sabittir).

Bir sabitin dışbükeyliği ve içbükeyliğinden bahsetmenin bir anlamı yok.

Asimptot yok.

Fonksiyon noktadan geçer İLE koordinat düzlemi.

n'inci kök.

Formül tarafından verilen temel temel fonksiyonu ele alalım, burada 1, bu nedenle, – doğal sayı, birden büyük.

N'inci kök, n bir çift sayıdır.

Kök işleviyle başlayalım 1, bu nedenle, Kök üssün çift değerleri için -th gücü 1, bu nedenle,.

Örnek olarak burada fonksiyon grafiklerinin resimlerini içeren bir resim bulunmaktadır. ve siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelirler.

Çift dereceli kök fonksiyonlarının grafikleri, üssün diğer değerleri için de benzer bir görünüme sahiptir.

Kök fonksiyonunun özellikleri1, bu nedenle, -çift kuvveti1, bu nedenle, .

N'inci kök, n tek bir sayıdır.

Kök işlevi 1, bu nedenle, tek kök üssü olan -inci kuvvet 1, bu nedenle, reel sayılar kümesinin tamamı üzerinde tanımlanır. Örneğin, burada fonksiyon grafikleri var ve siyah, kırmızı ve mavi eğrilere karşılık gelirler.

Kök üssünün diğer tek değerleri için fonksiyon grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Kök fonksiyonunun özellikleri1, bu nedenle, tek sayının -th kuvveti1, bu nedenle, .

Oluşturma işlevi

Tüm hakları şirkete ait olan, çevrimiçi fonksiyon grafikleri oluşturmaya yönelik bir hizmeti dikkatinize sunuyoruz. Desmos. İşlevlere girmek için sol sütunu kullanın. Manuel olarak veya pencerenin altındaki sanal klavyeyi kullanarak girebilirsiniz. Grafiğin bulunduğu pencereyi büyütmek için hem sol sütunu hem de sanal klavyeyi gizleyebilirsiniz.

Çevrimiçi grafiğin faydaları

• Girilen fonksiyonların görsel gösterimi
• Çok karmaşık grafikler oluşturma
• Örtülü olarak belirtilen grafiklerin oluşturulması (örneğin, elips x^2/9+y^2/16=1)
• İnternetteki herkesin kullanımına sunulan grafikleri kaydetme ve bunlara bir bağlantı alma yeteneği
• Ölçek ve çizgi rengini kontrol etme
• Sabitleri kullanarak grafikleri noktalara göre çizme imkanı
• Aynı anda birden fazla fonksiyon grafiğinin çizilmesi
• Kutupsal koordinatlarda çizim (r ve θ(\theta)) kullanın

Bizimle, çevrimiçi olarak değişen karmaşıklıktaki çizelgeleri oluşturmak kolaydır. İnşaat anında yapılır. Hizmet, fonksiyonların kesişim noktalarını bulmak, problemleri çözerken bunları bir Word belgesine taşımak için grafikleri tasvir etmek ve fonksiyon grafiklerinin davranışsal özelliklerini analiz etmek için talep görmektedir. Bu web sitesi sayfasındaki grafiklerle çalışmak için en uygun tarayıcı Google Chrome'dur. Diğer tarayıcılar kullanıldığında doğru çalışma garanti edilmez.

Bilgi temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleriçarpım tablosunu bilmekten daha az önemli değil. Onlar temel gibidir, her şey onların üzerine kuruludur, her şey onlardan inşa edilmiştir ve her şey onlara inmiştir.

Bu yazıda tüm temel temel fonksiyonları listeleyeceğiz, grafiklerini sunacağız ve sonuç veya kanıt olmadan vereceğiz temel temel fonksiyonların özelliklerişemaya göre:

• bir fonksiyonun tanım alanının sınırlarındaki davranışı, dikey asimptotlar (gerekirse, bir fonksiyonun süreksizlik noktalarının sınıflandırılması makalesine bakın);
• çift ​​ve tek;
• dışbükeylik aralıkları (yukarı doğru dışbükeylik) ve içbükeylik (aşağıya doğru dışbükeylik), bükülme noktaları (gerekirse, bir fonksiyonun dışbükeyliği, dışbükeylik yönü, bükülme noktaları, dışbükeylik ve bükülme koşulları makalesine bakın);
• eğik ve yatay asimptotlar;
• fonksiyonların tekil noktaları;
• bazı fonksiyonların özel özellikleri (örneğin, trigonometrik fonksiyonların en küçük pozitif periyodu).

Veya ile ilgileniyorsanız, teorinin bu bölümlerine gidebilirsiniz.

Temel temel işlevlerşunlardır: sabit fonksiyon (sabit), n'inci kök, kuvvet fonksiyonu, üstel, logaritmik fonksiyon, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonlar.

Sayfada gezinme.

Temel temel işlevler

Tüm gerçek sayılar kümesinde sabit bir fonksiyon aşağıdaki formülle tanımlanır; burada C bir gerçek sayıdır. Bir sabit fonksiyon, bağımsız değişken x'in her gerçek değerini, bağımlı değişken y'nin aynı değeri olan C değeriyle ilişkilendirir. Sabit bir fonksiyona sabit de denir.

Sabit bir fonksiyonun grafiği, x eksenine paralel ve koordinatları (0,C) olan noktadan geçen düz bir çizgidir. Örnek olarak, aşağıdaki şekilde sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelen y=5, y=-2 ve sabit fonksiyonlarının grafiklerini göstereceğiz.

Sabit bir fonksiyonun özellikleri.

• Etki Alanı: Gerçek sayılar kümesinin tamamı.
• Sabit fonksiyon çifttir.
• Değer aralığı: C tekil sayısından oluşan bir küme.
• Sabit bir fonksiyon artmayan ve azalmayan bir fonksiyondur (bu yüzden sabittir).
• Bir sabitin dışbükeyliği ve içbükeyliğinden bahsetmenin bir anlamı yok.
• Asimptot yok.
• Fonksiyon koordinat düzleminin (0,C) noktasından geçer.

N'inci derecenin kökü.

n'nin birden büyük bir doğal sayı olduğu formülle verilen temel temel fonksiyonu ele alalım.

N'inci derecenin kökü, n bir çift sayıdır.

Kök üssü n'nin çift değerleri için n'inci kök fonksiyonuyla başlayalım.

Örnek olarak burada fonksiyon grafiklerinin resimlerini içeren bir resim bulunmaktadır. ve siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelirler.

Çift dereceli kök fonksiyonlarının grafikleri, üssün diğer değerleri için de benzer bir görünüme sahiptir.

Çift n için n'inci kök fonksiyonunun özellikleri.

N'inci kök, n tek bir sayıdır.

Tek kök üssü n olan n'inci kök işlevi, tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlanır. Örneğin, burada fonksiyon grafikleri var ve siyah, kırmızı ve mavi eğrilere karşılık gelirler.

Kök üssünün diğer tek değerleri için fonksiyon grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tek n için n'inci kök fonksiyonunun özellikleri.

Güç fonksiyonu.

Güç fonksiyonu formdaki bir formülle verilir.

Üssün değerine bağlı olarak bir kuvvet fonksiyonunun grafik biçimini ve bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini ele alalım.

Tam sayı üssü a olan bir kuvvet fonksiyonuyla başlayalım. Bu durumda kuvvet fonksiyonlarının grafiklerinin görünümü ve fonksiyonların özellikleri, üssün işaretine olduğu kadar eşitliğine veya tekliğine de bağlıdır. Bu nedenle, önce a üssünün tek pozitif değerleri için, sonra çift pozitif üsler için, sonra tek negatif üsler için ve son olarak da negatif a için kuvvet fonksiyonlarını ele alacağız.

Kesirli ve irrasyonel üslü güç fonksiyonlarının özellikleri (ve bu tür güç fonksiyonlarının grafiklerinin türü), a üssünün değerine bağlıdır. Bunları ilk olarak a'dan bire kadar, ikinci olarak birden büyük için, üçüncü olarak a eksi birden sıfıra kadar, dördüncü olarak eksi birden küçük için ele alacağız.

Bu bölümün sonunda, konuyu tamamlamak için sıfır üssü olan bir kuvvet fonksiyonunu tanımlayacağız.

Tek pozitif üslü kuvvet fonksiyonu.

Tek pozitif üssü olan, yani a = 1,3,5,... olan bir kuvvet fonksiyonunu düşünelim.

Aşağıdaki şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi, - yeşil çizgi. a=1 için elimizde doğrusal fonksiyon y=x.

Tek pozitif üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Çift pozitif üslü kuvvet fonksiyonu.

Çift pozitif üssü olan, yani a = 2,4,6,... için bir kuvvet fonksiyonunu düşünelim.

Örnek olarak güç fonksiyonlarının grafiklerini veriyoruz – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi. a=2 için elimizde ikinci dereceden fonksiyon, kimin grafiği ikinci dereceden parabol.

Çift pozitif üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Tek negatif üslü kuvvet fonksiyonu.

Üssün tek negatif değerleri için, yani a = -1, -3, -5,... için güç fonksiyonunun grafiklerine bakın.

Şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri örnek olarak gösterilmektedir - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi, - yeşil çizgi. a=-1 için elimizde kare parabol, kimin grafiği hiperbol.

Tek negatif üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Çift negatif üslü kuvvet fonksiyonu.

a=-2,-4,-6,… için kuvvet fonksiyonuna geçelim.

Şekilde güç fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi.

Çift negatif üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Değeri sıfırdan büyük ve birden küçük olan rasyonel veya irrasyonel üssü olan bir kuvvet fonksiyonu.

Dikkat etmek! Eğer a, paydası tek olan pozitif bir kesir ise, bazı yazarlar güç fonksiyonunun tanım kümesinin aralık olduğunu düşünürler. a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu öngörülmektedir. Artık cebir ve analiz ilkeleri üzerine birçok ders kitabının yazarları, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir biçimindeki üslü güç fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Biz de tam olarak bu görüşe bağlı kalacağız, yani kümeyi, kesirli pozitif üslü güç fonksiyonlarının tanım alanları olarak ele alacağız. Anlaşmazlıkların önlenmesi için öğrencilerin bu ince nokta hakkında öğretmeninizin görüşünü öğrenmelerini öneririz.

Rasyonel veya irrasyonel üssü a ve olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

a=11/12 (siyah çizgi), a=5/7 (kırmızı çizgi), (mavi çizgi), a=2/5 (yeşil çizgi) için güç fonksiyonlarının grafiklerini sunalım.

Tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel üssü birden büyük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel üssü a ve olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

Güç fonksiyonlarının grafiklerini sunalım, formüllerle verilen (sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgiler).

a üssünün diğer değerleri için fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Güç fonksiyonunun özellikleri.

Gerçek üssü eksi birden büyük ve sıfırdan küçük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Dikkat etmek! Eğer a, paydası tek olan negatif bir kesir ise, bazı yazarlar bir kuvvet fonksiyonunun tanım tanım kümesinin aralık olduğunu düşünürler. . a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu öngörülmektedir. Artık cebir ve analiz ilkeleri üzerine birçok ders kitabının yazarları, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir biçimindeki üslü güç fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Tam olarak bu görüşe bağlı kalacağız, yani kesirli kesirli negatif üslü güç fonksiyonlarının tanım alanlarını sırasıyla bir küme olarak ele alacağız. Anlaşmazlıkların önlenmesi için öğrencilerin bu ince nokta hakkında öğretmeninizin görüşünü öğrenmelerini öneririz.

Hadi güç fonksiyonuna geçelim, kgod.

Güç fonksiyonlarının grafiklerinin şekli hakkında iyi bir fikir sahibi olmak için, fonksiyon grafiklerine örnekler veriyoruz. (sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil eğriler).

Üssü a olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Tamsayı olmayan gerçek üssü eksi birden küçük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Güç fonksiyonlarının grafiklerine örnekler verelim. sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgilerle gösterilmiştir.

Tamsayı olmayan negatif üssü eksi birden küçük olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

a = 0 olduğunda, bir fonksiyonumuz olur - bu, (0;1) noktasının hariç tutulduğu düz bir çizgidir (0 0 ifadesine herhangi bir anlam verilmemesi kararlaştırıldı).

Üstel fonksiyon.

Temel temel fonksiyonlardan biri üstel fonksiyondur.

Takvim üstel fonksiyon, nerede ve a tabanının değerine bağlı olarak farklı biçimler alır. Bunu çözelim.

Öncelikle üstel fonksiyonun tabanının sıfırdan bire kadar bir değer aldığı durumu düşünün, yani.

Örnek olarak a = 1/2 – mavi çizgi, a = 5/6 – kırmızı çizgi için üstel fonksiyonun grafiklerini sunuyoruz. Üstel fonksiyonun grafikleri, aralığın tabanının diğer değerleri için benzer bir görünüme sahiptir.

Tabanı birden küçük olan üstel bir fonksiyonun özellikleri.

Üstel fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu duruma yani ’ye geçelim.

Örnek olarak üstel fonksiyonların (mavi çizgi ve - kırmızı çizgi) grafiklerini sunuyoruz. Tabanın birden büyük diğer değerleri için üstel fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tabanı birden büyük olan üstel bir fonksiyonun özellikleri.

Logaritmik fonksiyon.

Bir sonraki temel temel fonksiyon logaritmik fonksiyondur; burada , . Logaritmik fonksiyon yalnızca argümanın pozitif değerleri için, yani .

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği a tabanının değerine bağlı olarak farklı biçimler alır.