Belirli bir integral kullanarak dönen cisimlerin hacimlerinin hesaplanması. Sikloidin kemerinin döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi Düz bir şeklin alanı parametrik olarak

Geometrik anlamı bulduğumuzda kesin integral, apsis ekseni ile sınırlanmış eğrisel bir yamuğun alanını, düz çizgileri bulabileceğiniz bir formülümüz var. x=a, x=b sürekli (negatif veya pozitif olmayan) bir fonksiyonun yanı sıra y = f(x) . Bazen şekli sınırlayan işlevi parametrik bir biçimde ayarlamak daha uygundur, örn. fonksiyonel bağımlılığı t parametresi cinsinden ifade edin. Bir parçası olarak bu materyal parametrik olarak tanımlanmış bir eğri ile sınırlanmış bir şeklin alanını nasıl bulabileceğinizi göstereceğiz.

Teoriyi açıkladıktan ve formülü türettikten sonra, bu tür şekillerin alanını bulmak için birkaç tipik örneği analiz edeceğiz.

Hesaplama için temel formül

Sınırları x = a, x = b, Ox ekseni ve parametrik olarak tanımlanmış eğri x = φ (t) y = ψ (t) olan eğrisel bir yamuk olduğunu varsayalım ve x fonksiyonları = φ (t) ve y = ψ (t) α aralığında süreklidir; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

tanım 1

Bu koşullar altında bir yamuğun alanını hesaplamak için S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t formülünü kullanmanız gerekir.

Bunu, x = φ (t) y = ψ (t) ikame yöntemini kullanarak eğrisel bir yamuk S (G) = ∫ a b f (x) d x alanı formülünden çıkardık:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Tanım 2

x = φ(t) fonksiyonunun β aralığında monoton azalışı dikkate alındığında; α , β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Eğer x = φ(t) fonksiyonu temel temel olanlara ait değilse, o zaman artan mı yoksa azalan mı olacağını belirlemek için bir fonksiyonu bir aralıkta artırma ve azaltmanın temel kurallarını hatırlamamız gerekir.

Bu paragrafta, yukarıda türetilen formülü uygulamak için çeşitli sorunları analiz edeceğiz.

örnek 1

Durum: x = 2 cos t y = 3 sin t şeklindeki denklemlerle verilen doğrunun oluşturduğu şeklin alanını bulun.

Çözüm

Parametrik olarak tanımlanmış bir çizgimiz var. Grafik olarak, iki yarı ekseni 2 ve 3 olan bir elips olarak görüntülenebilir. Resme bakın:

Ortaya çıkan şeklin birinci çeyreği kaplayan 1 4 alanını bulmaya çalışalım. Alan x ∈ a aralığındadır; b = 0 2. Ardından, elde edilen değeri 4 ile çarpın ve tüm şeklin alanını bulun.

İşte hesaplamalarımızın seyri:

x = φ (t) = 2 çünkü t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = bir ⇔ 2 çünkü α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 çünkü β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

k 0'a eşit olduğunda, β aralığını elde ederiz; a = 0 ; 2 . x = φ (t) = 2 cos t fonksiyonu onun üzerinde monoton olarak azalacaktır (ayrıntılar için ana sayfadaki makaleye bakın). temel fonksiyonlar ve özellikleri). Alan formülünü uygulayabilir ve Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali bulabilirsiniz:

- ∫ 0 π 2 3 günah t 2 çünkü t "d t = 6 ∫ 0 π 2 günah 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - çünkü (2 t) d t = = 3 t - günah (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - günah 2 π 2 2 - 0 - günah 2 0 2 \u003d 3 π 2

Bu, orijinal eğri tarafından verilen şeklin alanının S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π'ye eşit olacağı anlamına gelir.

Cevap: S (G) = 6 π

Yukarıdaki sorunu çözerken, elipsin sadece dörtte birini değil, yarısını - üstünü veya altını da almanın mümkün olduğunu açıklığa kavuşturalım. Bir yarısı x ∈ a aralığında yer alacaktır; b = - 2 ; 2. Bu durumda, sahip olurduk:

φ (α) = a ⇔ 2 çünkü α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 çünkü β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Böylece, k 0'a eşit olduğunda, β elde ederiz; a = 0 ; π x = φ (t) = 2 cos t fonksiyonu bu aralıkta monoton olarak azalacaktır.

Bundan sonra elipsin yarısının alanını hesaplıyoruz:

- ∫ 0 π 3 günah t 2 çünkü t "d t = 6 ∫ 0 π günah 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - çünkü (2 t) d t = = 3 t - günah (2 t) 2 0 π = 3 π - günah 2 π 2 - 0 - günah 2 0 2 = 3 π

Sağa veya sola değil, yalnızca üst veya alt tarafı alabileceğinize dikkat etmek önemlidir.

Merkezi orijinde olacak bu elips için parametrik bir denklem yazabilirsiniz. x = a cos t y = b sin t gibi görünecektir. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi hareket ederek, a \u003d πab ile S e l ve p elipsinin alanını hesaplamak için bir formül elde ederiz.

x = R cos t y = R sin t denklemini kullanarak merkezi orijinde bulunan bir daire tanımlayabilirsiniz, burada t bir parametredir ve R verilen dairenin yarıçapıdır. Bir elipsin alanı için formülü hemen kullanırsak, R yarıçaplı bir dairenin alanını hesaplayabileceğimiz bir formül elde ederiz: S yuvarlak a = πR 2.

Bir sorunu daha ele alalım.

Örnek 2

Durum: parametrik olarak verilen x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t eğrisi ile sınırlanan şeklin alanının ne olacağını bulun.

Çözüm

Bu eğrinin uzatılmış bir astroid şekline sahip olduğunu hemen açıklığa kavuşturalım. Genellikle astroid x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t şeklinde bir denklem kullanılarak ifade edilir.

Şimdi böyle bir eğrinin nasıl oluşturulacağını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Ayrı noktalar üzerine inşa edelim. Bu en yaygın yöntemdir ve çoğu görev için geçerlidir. Daha karmaşık örnekler parametrik olarak verilen bir fonksiyonu ortaya çıkarmak için bir diferansiyel hesap gerektirir.

X \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t'ye sahibiz.

Bu fonksiyonlar t'nin tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır. sin ve cos için periyodik oldukları ve periyodlarının 2 pi olduğu bilinmektedir. Bazı t = t 0 ∈ 0 için x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t fonksiyonlarının değerlerinin hesaplanması; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , x 0 puan alırız; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Toplam değerlerin bir tablosunu yapalım:

t0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 \u003d φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t0	9 ve 8	5 π 4	11 pi 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2 pi
x 0 \u003d φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Bundan sonra, düzlemde istenen noktaları işaretleyin ve bunları bir çizgi ile birleştirin.

Şimdi, şeklin ilk koordinat çeyreğinde olan kısmının alanını bulmamız gerekiyor. Onun için x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 çünkü 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 çünkü 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

k 0 ise, o zaman β aralığını elde ederiz; a = 0 ; π 2 , ve x = φ (t) = 3 cos 3 t fonksiyonu bunun üzerinde monoton olarak azalacaktır. Şimdi alan formülünü alıp hesaplıyoruz:

- ∫ 0 π 2 2 günah 3 t 3 çünkü 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 günah 4 t çünkü 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 günah 4 t (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 günah 4 t d t - ∫ 0 π 2 günah 6 t d t

Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanabilen bazı integraller elde ettik. Bu formül için ilkel değerler yinelemeli formül J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) kullanılarak bulunabilir, burada J n (x) = ∫ günah n x d x .

∫ günah 4 t d t = - maliyet t günah 3 t 4 + 3 4 ∫ günah 2 t d t = = - maliyet t günah 3 t 4 + 3 4 - çünkü maliyet t günah t 2 + 1 2 ∫ günah 0 t d t = = - maliyet t günah 3 t 4 - 3 maliyet t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 günah 4 t d t = - maliyet t günah 3 t 4 - 3 maliyet t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ günah 6 t d t = - maliyet t günah 5 t 6 + 5 6 ∫ günah 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 günah 6 t d t = - maliyet t günah 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Şeklin dörtte birinin alanını hesapladık. 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16'ya eşittir.

Bu değeri 4 ile çarparsak, tüm şeklin alanını elde ederiz - 9 π 4.

Tam olarak aynı şekilde, x \u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t denklemleri tarafından verilen astroidin alanının, çizgi ile sınırlı olan formülle bulunabileceğini kanıtlayabiliriz. x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , S = 3 πab 8 formülü ile hesaplanır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Sikloid yayın kendi tabanı etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini bulalım. Roberval, ortaya çıkan yumurta biçimli cismi (Şekil 5.1) sonsuz ince katmanlara ayırarak, bu katmanlara silindirler çizerek ve hacimlerini toplayarak bunu buldu. Kanıt uzun, sıkıcı ve tamamen titiz değil. Bu nedenle, hesaplamak için dönüyoruz yüksek Matematik. Sikloid denklemini parametrik olarak kuralım.

İntegral hesabında, hacimleri incelerken şu açıklamayı kullanır:

Eğrisel yamuğu sınırlayan eğri parametrik denklemlerle verilirse ve bu denklemlerdeki fonksiyonlar belirli bir integraldeki değişkenin değişimine ilişkin teoremin koşullarını sağlarsa, o zaman yamuğun Öküz ekseni etrafındaki dönüş gövdesinin hacmi olacaktır. formülle hesaplanır:

İhtiyacımız olan hacmi bulmak için bu formülü kullanalım.

Aynı şekilde bu cismin yüzeyini de hesaplıyoruz.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - maliyet), 0 ? t ? 2р)

İntegral hesabında, bir parça üzerinde parametrik olarak belirtilen bir eğrinin x ekseni etrafındaki bir dönüş gövdesinin yüzey alanını bulmak için aşağıdaki formül vardır (t 0 ?t ?t 1):

Bu formülü sikloid denklemimize uygulayarak şunu elde ederiz:

Sikloid yayın dönüşüyle oluşturulan başka bir yüzeyi de ele alalım. Bunu yapmak için, sikloid yayın ayna yansımasını tabanına göre oluşturacağız ve sikloidin oluşturduğu oval şekli ve yansımasını KT ekseni etrafında döndüreceğiz (Şekil 5.2).

İlk önce sikloid yayın KT ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini bulalım. Hacmi formül (*) ile hesaplanacaktır:

Böylece bu şalgam gövdesinin yarısının hacmini hesaplamış olduk. O zaman toplam hacim olacak

ilgili derslerde düzlemde düz bir çizginin denklemi Ve uzayda düz bir çizginin denklemleri.

Eski bir arkadaşla tanışın:

Eğrisel yamuk grafik tarafından gururla taçlandırılmıştır ve bildiğiniz gibi alan belirli integral kullanılarak hesaplanır temel bir formülle veya kısaca: .

Durumu göz önünde bulundurun aynı işlev parametrik formda verilir.

Bu durumda alan nasıl bulunur?

Bazı çok özel parametrenin değeri, parametrik denklemler noktanın koordinatlarını belirleyecek ve başka bir çok özel değer, noktanın koordinatlarıdır. "te" kapsayıcıdan kapsayıcıya değiştiğinde, parametrik denklemler sadece eğriyi "çizer". Bence entegrasyonun sınırları pahasına her şey netleşti. Şimdi integrale yerine"X" ve "Y" işlevlerini yerine koyuyoruz ve diferansiyeli açıyoruz:

Not : fonksiyonların olduğu varsayılır sürekli entegrasyon aralığında ve ek olarak fonksiyonda monoton Onun üzerine.

Dönen bir cismin hacminin formülü de bir o kadar basit:

Eğrisel bir yamuğun eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmi şu formülle hesaplanır: veya: . Parametrik fonksiyonları ve entegrasyonun sınırlarını değiştiriyoruz:

Lütfen her iki çalışma formülünü de el kitabınıza girin.

Gözlemlerime göre hacim bulma ile ilgili problemler oldukça nadirdir ve bu nedenle bu dersteki örneklerin önemli bir kısmı alanı bulmaya ayrılacaktır. Konuyu uzatmayalım:

örnek 1

Eğrisel bir yamuğun alanını hesaplayın , Eğer

Çözüm: formülü kullan .

Her zaman ve her yerde anlaşılan konuyla ilgili klasik bir problem:

Örnek 2

Bir elipsin alanını hesaplayın

Çözüm: kesinlik için, parametrik denklemlerin tanımladığını varsayıyoruz kanonik elips orijinde ortalanmış, yarı ana eksen "a" ve yarı küçük eksen "be". Yani, koşula göre, bize bundan daha fazlası teklif edilmiyor.

elipsin alanını bulun

Açıkçası, parametrik fonksiyonlar periyodiktir ve . Görünüşe göre formülü şarj etmek mümkün, ancak her şey o kadar şeffaf değil. Hadi bulalım yön, parametrik denklemlerin bir elips "çizdiği". Kılavuz olarak, en çok karşılık gelen birkaç nokta bulacağız. basit değerler parametre:

"te" parametresi sıfırdan "iki pi"ye değiştiğinde, parametrik denklemlerin bir elips "çizdiğini" anlamak kolaydır. saat yönünün tersine:

Şeklin simetrisi nedeniyle, alanın 1. koordinat çeyreğindeki kısmını hesaplıyoruz ve sonucu 4 ile çarpıyoruz. Burada temelde biraz daha yüksek yorumladığım resmin aynısını gözlemliyoruz: parametrik denklemler "çizilir" elipsin yayı eksenin "ters yönünde", ancak alan rakamları soldan sağa doğru sayılıyor! Bu yüzden daha düşük entegrasyon limiti değere karşılık gelir ve tepe limit - değer .

Derste zaten tavsiye ettiğim gibi Kutupsal koordinatlarda alan, dört kat sonuç daha iyi Bir kerede:

İntegral (biri aniden böyle inanılmaz bir boşluk bulursa) derste analiz edildi. Trigonometrik fonksiyonların integralleri.

Cevap:

Aslında, alanı bulmak için bir formül türettik. elips. Ve pratikte belirli "a" ve "be" değerlerine sahip bir sorunla karşılaşırsanız, sorun genel bir şekilde çözüldüğü için kolayca bir uzlaşma / doğrulama yapabilirsiniz.

Elips alanı da dikdörtgen koordinatlarda hesaplanır, bunun için denklemden “y” ifadesini almak ve problemi aynen makalenin 4. Örneği gibi çözmek gerekir. Belirli integralleri çözmek için verimli yöntemler. Bu örneğe baktığınızdan ve parametrik olarak verildiğinde bir elipsin alanını hesaplamanın ne kadar kolay olduğunu karşılaştırdığınızdan emin olun.

Ve tabii ki neredeyse unutuyordum, parametrik denklemler kanonik olmayan bir konumda bir çemberi veya bir elipsi tanımlayabilir.

Örnek 3

Sikloidin bir yayının alanını hesaplayın

Bir sorunu çözmek için neyin ne olduğunu bilmeniz gerekir. sikloid veya en azından tamamen resmi bir çizim. Ders sonunda örnek tasarım. Ancak sizi uzak diyarlara göndermeyeceğim, bu çizginin grafiğini aşağıdaki problemde görebilirsiniz:

Örnek 4

Çözüm: parametrik denklemler bir sikloid tanımlayın ve kısıtlama, onun hakkında konuştuğumuz gerçeğini gösterir. ilk kemer parametrenin değeri içinde değiştiğinde "çizilir". Burada bu "çizimin" "doğru" yönünün (soldan sağa) olduğuna dikkat edin, bu da entegrasyonun sınırlarıyla ilgili herhangi bir sorun olmayacağı anlamına gelir. Ama sonra bir sürü harika şey ortaya çıkacak =) Denklem kümeleri doğrudan, x eksenine ve ek koşula paralel (santimetre. doğrusal eşitsizlikler) aşağıdaki şeklin alanını hesaplamamızı söyler:

İstenilen gölgeli şekle "evin çatısı", dikdörtgen - "evin duvarı" ve tüm yapıya (duvar + çatı) - "evin cephesi" diyeceğim. Bu bina daha çok ahır gibi olsa da =)

"Çatı" alanını bulmak için "duvar" alanını "cephe" alanından çıkarmak gerekir.

Önce cepheyi ele alalım. Alanını bulmak için, düz çizginin sikloidin ilk yayı (noktalar ve ) ile kesişme noktalarını tanımlayan değerleri bulmanız gerekir. Parametrik denklemde değiştirin:

Trigonometrik denklemi basitçe bakarak çözmek kolaydır. kosinüs grafiği: iki kök şu aralıktaki eşitliği sağlar: . Prensip olarak, her şey açık, ancak yine de, hadi güvenli oynayalım ve bunları denklemde değiştirelim:

noktanın "x" koordinatıdır;

- ve bu noktanın "x" koordinatıdır.

Böylece, parametrenin değerinin point'e, değerinin de point'e karşılık geldiğinden emin olduk.

"Cephe" alanını hesaplayın. Daha kompakt bir notasyon için, fonksiyon genellikle doğrudan integralin altında türevlenir:

"Duvarın" alanı, dikdörtgenin bitişik kenarlarının uzunlukları çarpılarak "okul" yöntemiyle hesaplanabilir. Uzunluk belli, bulmak için kalır. "ce" ve "be" noktalarının "x" koordinatları arasındaki fark olarak hesaplanır (daha önce bulundu):

Duvar alanı:

Tabii ki, en basitinin yardımıyla bulmak ayıp değil. kesin integral aralıktaki işlevden:

Sonuç olarak, "çatı" alanı:

Cevap:

Ve elbette bir çizimin varlığında, elde edilen sonucun gerçeğe benzer olup olmadığını hücrelerle tahmin ediyoruz. gibi görünüyor.

için sonraki görev bağımsız karar:

Örnek 5

Denklemlerle verilen çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın

Çözüm algoritmasını kısaca sistematize ediyoruz:

- Çoğu durumda, alanını bulmak istediğiniz şekli çizmeniz ve belirlemeniz gerekecektir.

- İkinci adımda, istenen alanın nasıl hesaplandığını anlamalısınız: tek bir eğrisel yamuk olabilir, alanlardaki fark olabilir, alanların toplamı olabilir - kısacası, düşündüğümüz tüm o çipler derste.

- Üçüncü adımda, şeklin simetrisinin (simetrik ise) kullanılmasının tavsiye edilip edilmediğini analiz etmek ve ardından entegrasyonun sınırlarını (parametrenin ilk ve son değerleri) bulmak gerekir. Genellikle bunun için en basit trigonometrik denklemi çözmek gerekir - burada analitik yöntemi, grafik yöntemi veya istenen köklerin ustaca seçimini kullanabilirsiniz. trigonometrik tablo.

! unutma parametrik denklemlerin çizgiyi sağdan sola "çizebileceğini", bu durumda çalışma formülünde uygun rezervasyon ve düzeltmeyi yaparız.

- Ve son aşamada teknik hesaplamalar yapılır. Çizimden alınan cevabın makul olup olmadığını değerlendirmek her zaman keyiflidir.

Ve şimdi yıldızla uzun zamandır beklenen buluşma:

Örnek 6

Denklemlerle verilen çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: denklemler tarafından verilen eğri göktaşı, Ve doğrusal eşitsizlikçizimdeki gölgeli şekli benzersiz bir şekilde tanımlar:

Doğrunun ve astroidin kesişme noktalarını belirleyen parametrenin değerlerini bulalım. Bunu yapmak için, parametrik denklemde yerine koyarız:

Böyle bir denklemi çözmenin yolları yukarıda zaten listelenmiştir, özellikle bu kökler aşağıdakilere göre kolayca seçilir: trigonometrik tablo.

Şekil, x eksenine göre simetrik olduğundan, alanın üst yarısını (mavi gölgeleme) hesaplar ve sonucu ikiye katlarız.

Değeri parametrik denklemde değiştirin:
Sonuç olarak, astroid ile düz çizginin üst (bize gerekli) kesişme noktasının "Yunan" koordinatı elde edildi.

Asteroidin sağ köşesi açıkça değere karşılık gelir. Her ihtimale karşı kontrol edelim:
, doğrulanacak olan.

Elipste olduğu gibi, parametrik denklemler astroidin yayını sağdan sola "çizer". Değişiklik olsun diye bitişi ikinci şekilde düzenleyeceğim: fonksiyon içinde parametre değiştiğinde azalır, dolayısıyla (ikiye katlamayı unutmayın!!):

İntegralin oldukça hantal olduğu ortaya çıktı ve "her şeyi yanınızda taşımamak" için çözümü kesmek ve integrali ayrı ayrı dönüştürmek daha iyidir. Standart dereceyi düşürmek kullanarak trigonometrik formüller:

Uygun, son dönemde fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getirin:

Cevap:

Evet, yıldızlarla zor =)

İleri düzey öğrenciler için aşağıdaki görev:

Örnek 7

Denklemlerle verilen çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın

Bunu çözmek için zaten düşündüğümüz yeterli malzeme olacak, ancak olağan yol çok uzun ve şimdi başka bir etkili yöntemden bahsedeceğim. Fikir aslında dersten tanıdık geliyor Belirli integrali kullanarak alanı hesaplama"y" değişkeni üzerinden entegrasyon ve formülün kullanımıdır. . Parametrik fonksiyonları yerine koyarak, bir ayna çalışma formülü elde ederiz:

Gerçekten de, neden "standart" olandan daha kötü? Bu, parametrik formun başka bir avantajıdır - denklemler sadece "sıradan" değil, aynı zamanda eşzamanlı Ve ters fonksiyon.

İÇİNDE bu durum fonksiyonların olduğu varsayılmaktadır. sürekli entegrasyon aralığında ve fonksiyonda monoton Onun üzerine. Ayrıca, eğer azalır entegrasyon aralığında (parametrik denklemler grafiği "ters yönde" çizer) (dikkat!!) eksen ), o zaman, halihazırda ele alınan teknolojiye göre, entegrasyonun sınırlarını yeniden düzenlemek veya başlangıçta integralin önüne bir "eksi" koymak gerekir.

Dersin sonunda Örnek 7'nin çözümü ve cevabı.

Son mini bölüm, daha nadir bir göreve ayrılmıştır:

Bir devrim gövdesinin hacmi nasıl bulunur,
şekil parametrik olarak verilen bir çizgi ile sınırlıysa?

Dersin başında elde edilen formülü güncelliyoruz: . Genel çözme prosedürü, alanı bulma prosedürüyle tamamen aynıdır. Kumbaramdan birkaç görev çıkaracağım.

Parametrik olarak belirtilen çizgilerle sınırlanan şekillerin alanlarını hesaplamanıza izin veren elde edilen formülü uygulama örneklerini düşünün.

Örnek.

Parametrik denklemleri gibi görünen bir çizgiyle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm.

Örneğimizde, parametrik olarak tanımlanmış çizgi, 2 ve 3 birimlik yarı eksenleri olan bir elipstir. Hadi inşa edelim.

alanı bulalım birinci kadranda bulunan bir elipsin dörtte biri. Bu alan aralıkta yer alır. . Elde edilen değeri dört ile çarparak tüm şeklin alanını hesaplıyoruz.

Neyimiz var:

İçin k = 0 aralığını elde ederiz . Bu aralıkta, işlev monoton azalan (bakınız bölüm ). Alanı hesaplamak için formülü uyguluyoruz ve Newton-Leibniz formülünü kullanarak kesin integrali buluyoruz:

Yani orijinal şeklin alanı .

Yorum.

Mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: neden elipsin yarısını değil de çeyreğini aldık? Şeklin üst (veya alt) yarısını düşünmek mümkündü. O menzilde . Bu durum için,

Yani, k = 0 için aralığı elde ederiz. Bu aralıkta, işlev monoton azalan

Daha sonra elipsin yarısının alanı şu şekilde verilir:

Ancak elipsin sağ veya sol yarısı alınamaz.

Orijinde ve a ve b yarı eksenlerinde merkezli bir elipsin parametrik gösterimi şu şekildedir. Ayrıştırılmış örnekteki gibi davranırsak, bir elipsin alanını hesaplamak için formül .

t parametresinden geçen R yarıçapının koordinatlarının orijininde merkezi olan bir daire, bir denklem sistemi tarafından verilir. Elde edilen formülü bir elipsin alanı için kullanırsak hemen yazabiliriz. dairenin alanını bulma formülü yarıçap R : .

Bir örnek daha çözelim.

Örnek.

Parametrik olarak verilen bir eğri ile sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm.

Biraz ileriye bakıldığında, eğri "uzatılmış" bir astroiddir. (Astroidin aşağıdaki parametrik gösterimi vardır).

Bir şekli sınırlayan bir eğrinin inşası üzerinde ayrıntılı olarak duralım. Nokta nokta inşa edeceğiz. Genellikle böyle bir yapı çoğu sorunu çözmek için yeterlidir. Daha karmaşık durumlarda, elbette, parametrik verilen fonksiyon diferansiyel hesabı kullanarak.

Örneğimizde .

Bu fonksiyonlar, t parametresinin tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır ve sinüs ve kosinüsün özelliklerinden, iki pi periyodu ile periyodik olduklarını biliyoruz. Böylece, bazı fonksiyonlar için değerlerin hesaplanması (Örneğin ), bir dizi puan alırız .

Kolaylık sağlamak için tablodaki değerleri gireceğiz:

Düzlemdeki noktaları işaretliyoruz ve SIRASIYLA bunları bir çizgi ile birleştiriyoruz.

İlk koordinat çeyreğinde bulunan alanın alanını hesaplayalım. Bu alan için .

-de k=0 aralığını elde ederiz , üzerinde fonksiyon monoton olarak azalır. Alanı bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Elde edilen belirli integralleri Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplıyoruz ve Newton-Leibniz formülünün ters türevlerini, formun özyinelemeli formülünü kullanarak buluyoruz. , Nerede .

Bu nedenle, şeklin dörtte birinin alanı , o zaman tüm şeklin alanı eşittir .

Benzer şekilde, biri bunu gösterebilir asteroit alanı olarak bulunan ve çizgi ile sınırlanan şeklin alanı formül ile hesaplanır.

Bir devrim yüzeyinin alanı için formüllere geçmeden önce, devrim yüzeyinin kendisinin kısa bir formülasyonunu veriyoruz. Dönen yüzey veya aynı şey olan bir dönen cismin yüzeyi, bir parçanın dönmesiyle oluşan uzamsal bir figürdür. AB eksen etrafında eğri Öküz(Resim aşağıda).

Eğrinin belirtilen parçası tarafından yukarıdan sınırlanan eğrisel bir yamuk hayal edelim. Bu yamuğun aynı eksen etrafında dönmesiyle oluşan cisim Öküz ve bir devrim gövdesi var. Ve dönme yüzey alanı veya bir dönme gövdesinin yüzeyi, çizgilerin ekseni etrafında dönme ile oluşan daireleri saymayan dış kabuğudur. X = A Ve X = B .

Dönme gövdesinin ve buna bağlı olarak yüzeyinin, şeklin eksen etrafında değil döndürülmesiyle de oluşturulabileceğini unutmayın. Öküz ve eksen etrafında Oy.

Dikdörtgen koordinatlarda verilen bir dönme yüzeyinin alanının hesaplanması

Denklem ile düzlemde dikdörtgen koordinatlarda olsun y = F(X) koordinat ekseni etrafında dönüşü bir dönüş gövdesi oluşturan bir eğri verilir.

Devrimin yüzey alanını hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

(1).

örnek 1 Bir eksen etrafında dönme ile oluşan bir paraboloidin yüzey alanını bulun Öküz değişime karşılık gelen parabolün yayı X itibaren X= 0 ila X = A .

Çözüm. Parabolün yayını tanımlayan fonksiyonu açıkça ifade ediyoruz:

Bu fonksiyonun türevini bulalım:

Dönel yüzey alanını bulmak için formülü kullanmadan önce, integralinin kök olan kısmını yazalım ve orada az önce bulduğumuz türevi yerine koyalım:

Cevap: Eğrinin yay uzunluğu

Örnek 2 Bir eksen etrafında dönme ile oluşan yüzey alanını bulun Öküz asteroitler.

Çözüm. Astroidin ilk dördünde yer alan bir dalının dönmesi sonucu oluşan yüzey alanını hesaplayıp 2 ile çarpmamız yeterlidir. Astroid denkleminden yerine koymamız gereken fonksiyonu formülde açıkça ifade ediyoruz. dönme yüzey alanını bulmak için:

0'dan 0'a entegrasyon yapıyoruz. A:

Parametrik olarak verilen devrimin yüzey alanının hesaplanması

Dönme yüzeyini oluşturan eğrinin parametrik denklemlerle verildiği durumu düşünün.

Daha sonra devrim yüzeyinin alanı formül ile hesaplanır.

(2).

Örnek 3 Bir eksen etrafında dönmenin oluşturduğu dönüş yüzeyinin alanını bulun Oy bir sikloid ve düz bir çizgi ile sınırlanmış şekil y = A. Sikloid, parametrik denklemlerle verilir