Zayıflamanın nedeni, herhangi bir salınım sisteminde geri getirme kuvvetine ek olarak her zaman çeşitli hava direnci türlerinin bulunmasıdır.

vb. hareketi yavaşlatır. Her salınımda sürtünme kuvvetlerine karşı çalışmaya bir parça harcanır. Sonuçta bu iş, başlangıçta salınım sistemine sağlanan enerjinin tamamını tüketir.

Düşünürken ideal, kesinlikle periyodik doğal salınımlarla uğraşıyorduk. Gerçek salınımları tanımlamak için böyle bir modeli kullanarak, açıklamadaki yanlışlığa kasıtlı olarak izin vermiş oluyoruz. Bununla birlikte, birçok kişi için böyle bir basitleştirme uygundur. salınım sistemleri Sürtünmeden kaynaklanan salınımların sönümü gerçekten küçüktür: Sistem, fark edilir derecede azalmadan önce çok sayıda salınım yapmayı başarır.

Sönümlü salınım grafikleri

Sönümlemenin varlığında doğal salınım (Şekil 1) harmonik olmaktan çıkar. Dahası, sönümlü salınım periyodik bir süreç olmaktan çıkar - sürtünme yalnızca salınımların genliğini etkilemez (yani sönümlemeye neden olur), aynı zamanda salınımların süresini de etkiler. Sürtünme arttıkça sistemin bir tam salınımı tamamlaması için gereken süre artar. Sönümlü salınımların grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.

Şekil 1. Serbest harmonik grafiği

İncir. 2. Sönümlü salınım grafiği

Salınımlı sistemlerin karakteristik bir özelliği, hafif sürtünmenin salınım periyodunu genlikten çok daha az etkilemesidir. Bu durum saatlerin gelişmesinde büyük rol oynadı. İlk saat, Hollandalı fizikçi ve matematikçi Christiaan Huygens tarafından 1673 yılında yapılmıştır. Bu yıl, modern saat mekanizmalarının doğuş tarihi olarak kabul edilebilir. Sarkaçlı saatlerin hareketi, genel olarak birçok faktöre bağlı olan sürtünmeden kaynaklanan değişikliklere karşı çok az duyarlıdır; önceki sarkaçlı saatlerin hızı ise sürtünmeye oldukça bağımlıydı.

Pratikte salınım sönümlemesinin hem azaltılmasına hem de arttırılmasına ihtiyaç vardır. Örneğin saat mekanizmalarını tasarlarken saat dengeleyicinin salınımlarının sönümlenmesini azaltmaya çalışıyorlar. Bunu yapmak için dengeleyici ekseni, sert taştan (akik veya yakut) yapılmış iyi cilalanmış konik yataklara dayanan keskin uçlarla donatılmıştır. Aksine, birçok ölçüm cihazında, ölçüm işlemi sırasında cihazın hareketli kısmının hızlı bir şekilde monte edilmesi çok arzu edilir, ancak çok sayıda tereddüt. Bu durumda zayıflamayı arttırmak için çeşitli damperler kullanılır - sürtünmeyi ve genel olarak enerji kaybını artıran cihazlar.

1.21. 3Sönümlü, Zorlanmış Salınımlar

Sönümlü salınımların diferansiyel denklemi ve çözümü. Zayıflama katsayısı. Logaritmik güverteBozulma süresi.Salınım kalite faktörüvücut sistemi.Periyodik olmayan süreç. Zorlanmış salınımların diferansiyel denklemi ve çözümü.Zorunlu salınımların genliği ve fazı. Salınım oluşturma süreci. Rezonans durumu.Kendi kendine salınımlar.

Salınımların sönümlenmesi, salınım sisteminin enerji kaybına bağlı olarak salınımların genliğinin zaman içinde kademeli olarak azalmasıdır.

Sönümsüz doğal salınımlar idealleştirmedir. Zayıflama nedenleri farklı olabilir. Mekanik bir sistemde titreşimler sürtünmenin varlığıyla sönümlenir. Salınım sisteminde depolanan enerjinin tamamı tükendiğinde salınımlar duracaktır. Bu nedenle genlik sönümlü salınımlar oluncaya kadar azalır sıfıra eşit.

Doğası farklı sistemlerdeki doğal salınımlar gibi sönümlü salınımlar, tek bir bakış açısıyla - ortak özellikler olarak - değerlendirilebilir. Bununla birlikte, genlik ve periyot gibi özellikler, doğal sönümsüz salınımlar için aynı özelliklerle karşılaştırıldığında yeniden tanımlanmayı, diğerleri ise ekleme ve açıklama gerektirir. Sönümlü salınımların genel özellikleri ve kavramları aşağıdaki gibidir:

Salınım işlemi sırasında titreşim enerjisindeki azalma dikkate alınarak diferansiyel denklem elde edilmelidir.

Salınım denklemi bir diferansiyel denklemin çözümüdür.

Sönümlü salınımların genliği zamana bağlıdır.

Frekans ve periyot, salınımların zayıflama derecesine bağlıdır.

Faz ve başlangıç ​​fazı sürekli salınımlarla aynı anlama gelir.

Mekanik sönümlü salınımlar.

Mekanik sistem : Sürtünme kuvvetlerini hesaba katan yaylı sarkaç.

Sarkaç üzerine etki eden kuvvetler :

Elastik kuvvet. burada k yay sertliği katsayısıdır, x sarkacın denge konumundan yer değiştirmesidir.

Direnç kuvveti. Hareket hızı v ile orantılı bir direnç kuvveti düşünelim (bu bağımlılık geniş bir direnç kuvvetleri sınıfı için tipiktir): . Eksi işareti direnç kuvvetinin yönünün cismin hızının yönüne zıt olduğunu gösterir. Sürtünme katsayısı r, vücut hareketinin birim hızında ortaya çıkan sürükleme kuvvetine sayısal olarak eşittir:

Hareket kanunu yaylı sarkaç - bu Newton'un ikinci yasasıdır:

M A = F eski. + F rezistans

Her ikisini de göz önünde bulundurarak Newton’un ikinci yasasını şu şekilde yazıyoruz:

. (21.1)

Denklemin tüm terimlerini m'ye bölüp sağ tarafa kaydırırsak şunu elde ederiz: diferansiyel denklem sönümlü salınımlar:

Nerede olduğunu belirtelim β – zayıflama katsayısı , , Nerede ω 0 – salınım sisteminde enerji kaybı olmadığında sönümsüz serbest salınımların frekansı.

Yeni gösterimlerde diferansiyel denklem sönümlü salınımlar şu şekildedir:

. (21.2)

Bu ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemdir.

Bu doğrusal diferansiyel denklem değişkenler değiştirilerek çözülür. X fonksiyonunu t zamanına bağlı olarak şu şekilde temsil edelim:

.

Z fonksiyonunun da zamanın bir fonksiyonu olduğunu dikkate alarak bu fonksiyonun zamana göre birinci ve ikinci türevlerini bulalım:

, .

İfadeleri diferansiyel denklemde yerine koyalım:

Denklemdeki benzer terimleri verelim ve her terimi azaltalım, denklemi elde ederiz:

.

Miktarı belirtelim .

Denklemin çözümü işlevler , .

X değişkenine dönersek, sönümlü salınım denklemleri için formüller elde ederiz:

Böylece , sönümlü salınımların denklemi diferansiyel denklemin (21.2) bir çözümüdür:

Sönümlü frekans :

(bu nedenle yalnızca gerçek kökün fiziksel anlamı vardır).

Sönümlü salınımların periyodu :

(21.5)

Sönümsüz salınımlar için periyot kavramına yüklenen anlam, sönümlü salınımlar için uygun değildir, çünkü salınım sistemi, salınım enerjisi kayıpları nedeniyle hiçbir zaman orijinal durumuna dönmez. Sürtünme varlığında titreşimler daha yavaştır: .

Sönümlü salınımların periyodu sistemin denge konumunu bir yönde iki kez geçtiği minimum süredir.

Yaylı sarkacın mekanik sistemi için elimizde:

, .

Sönümlü salınımların genliği :

Yaylı bir sarkaç için.

Sönümlü salınımların genliği sabit bir değer değildir, ancak zamanla değişir; β katsayısı ne kadar hızlı olursa o kadar büyük olur. Bu nedenle, daha önce sönümsüz serbest salınımlar için verilen genlik tanımının sönümlü salınımlar için değiştirilmesi gerekir.

Küçük zayıflamalar için sönümlü salınımların genliği bir dönemde denge konumundan en büyük sapmaya denir.

Grafikler Zamana karşı yer değiştirme ve zamana karşı genlik grafikleri Şekil 21.1 ve 21.2'de gösterilmektedir.

Şekil 21.1 – Sönümlü salınımlar için yer değiştirmenin zamana bağlılığı.

Şekil 21.2 - Sönümlü salınımlar için genliğin zamana bağlılığı

Sönümlü salınımların özellikleri.

1. Zayıflama katsayısı β .

Sönümlü salınımların genliğindeki değişiklik üstel bir yasaya göre gerçekleşir:

Salınım genliğinin τ süresi boyunca "e" kat azalmasına izin verin ("e" doğal logaritmanın tabanıdır, e ≈ 2,718). Sonra bir yandan, , ve diğer yandan, A zat'ın genliklerini tanımladıktan sonra. (t) ve A zat. (t+τ), elimizde . Bu ilişkilerden βτ = 1 çıkar, dolayısıyla .

Zaman aralığı τ Genliğin “e” katı kadar azaldığı süreye gevşeme süresi denir.

Zayıflama katsayısı β – gevşeme süresiyle ters orantılı bir miktar.

2. Logaritmik sönüm azalması δ - zaman içinde bir periyotla ayrılmış iki ardışık genliğin oranının doğal logaritmasına sayısal olarak eşit bir fiziksel miktar.

Zayıflama küçükse, ör. β değeri küçükse, genlik dönem boyunca biraz değişir ve logaritmik azalma şu şekilde tanımlanabilir:

,

A zat nerede? (t) ve A zat. (t+NT) – e zamanında ve N periyotlarından sonra, yani (t + NT) zamanındaki salınımların genlikleri.

3. Kalite faktörü Q salınım sistemi – (2π) ν miktarının çarpımına ve sistemin W(t) enerjisinin oranına eşit boyutsuz fiziksel miktar keyfi an bir sönümlü salınım periyodu için enerji kaybına kadar geçen süre:

.

Enerji genliğin karesiyle orantılı olduğundan, o zaman

Logaritmik azalmanın δ küçük değerleri için, salınım sisteminin kalite faktörü şuna eşittir:

,

burada N e, genliğin "e" katı kadar azaldığı salınımların sayısıdır.

Dolayısıyla yaylı sarkacın kalite faktörü, salınım sisteminin kalite faktörü ne kadar yüksek olursa, zayıflama o kadar az olur, böyle bir sistemdeki periyodik süreç o kadar uzun sürer. Salınım sisteminin kalite faktörü - enerjinin zaman içindeki dağılımını karakterize eden boyutsuz bir miktar.

4. β katsayısı arttıkça sönümlü salınımların frekansı azalır ve periyodu artar. ω 0 = β'da sönümlü salınımların frekansı sıfır ω zat'a eşit olur. = 0 ve T zat. = ∞. Bu durumda salınımlar periyodik karakterini kaybeder ve salınımlar olarak adlandırılır. periyodik olmayan.

ω 0 = β'da titreşim enerjisindeki azalmadan sorumlu sistem parametreleri adı verilen değerleri alır. kritik . Yaylı bir sarkaç için ω 0 = β koşulu şu şekilde yazılacaktır: miktarı bulduğumuz yerden kritik direnç katsayısı:

.

Pirinç. 21.3. Periyodik olmayan salınımların genliğinin zamana bağlılığı

Zorlanmış titreşimler.

Tüm gerçek salınımlar sönümlenir. Gerçek salınımların yeterince uzun süre gerçekleşmesi için, salınım sisteminin enerjisini periyodik olarak değişen harici bir kuvvetle etki ederek periyodik olarak yenilemek gerekir.

Dışsal ise salınım olayını ele alalım. (zorlayarak) Harmonik kanuna göre kuvvet zamanla değişir. Bu durumda, doğası itici gücün doğasını bir dereceye kadar tekrarlayacak olan sistemlerde salınımlar ortaya çıkacaktır. Bu tür salınımlara denir zoraki .

Zorlanmış mekanik titreşimlerin genel belirtileri.

1. Dışarıdan bir etkinin etkisi altında olan bir yay sarkacının zorlanmış mekanik salınımlarını ele alalım. (zorlayıcı ) periyodik kuvvet . Sarkaç üzerine etki eden kuvvetler denge konumundan çıkarıldığında salınım sisteminin kendisinde gelişir. Bunlar elastik kuvvet ve direnç kuvvetidir.

Hareket kanunu (Newton'un ikinci yasası) şu şekilde yazılacaktır:

(21.6)

Denklemin her iki tarafını da m'ye bölelim, bunu hesaba katalım ve elde edelim diferansiyel denklem Zorunlu salınımlar:

belirtelim ( β – zayıflama katsayısı ), (ω 0 – sönümsüz serbest salınımların frekansı), bir kütle birimine etki eden kuvvet. Bu notasyonlarda diferansiyel denklem Zorunlu salınımlar şu şekli alacaktır:

(21.7)

Bu, sağ tarafı sıfır olmayan ikinci dereceden bir diferansiyel denklemdir. Böyle bir denklemin çözümü iki çözümün toplamıdır

.

– homojen bir diferansiyel denklemin genel çözümü, yani sıfıra eşit olduğunda sağ tarafı olmayan diferansiyel denklem. Böyle bir çözümü biliyoruz - bu, değeri salınım sisteminin başlangıç ​​​​koşulları tarafından belirlenen, sabite doğru yazılan sönümlü salınımların denklemidir:

Çözümün sinüs fonksiyonları cinsinden yazılabileceğini daha önce tartışmıştık.

İtici kuvveti açtıktan sonra yeterince uzun bir süre Δt sonrasında sarkacın salınım sürecini düşünürsek (Şekil 21.2), sistemdeki sönümlü salınımlar pratik olarak duracaktır. Ve sonra sağ taraftaki diferansiyel denklemin çözümü çözüm olacaktır.

Çözüm, homojen olmayan diferansiyel denklemin özel bir çözümüdür; sağ tarafla denklemler. Diferansiyel denklemler teorisinden, sağ tarafın bir harmonik yasaya göre değişmesi durumunda, çözümün, sağ taraftaki değişimin Ω frekansına karşılık gelen değişim frekansına sahip bir harmonik fonksiyon (sin veya cos) olacağı bilinmektedir. -el tarafı:

nerede A ampl. – zorlanmış salınımların genliği, φ 0 – faz değişimi , onlar. itici güç fazı ile zorlanmış salınım fazı arasındaki faz farkı. Ve genlik A ampl. ve faz kayması φ 0 sistem parametrelerine (β, ω 0) ve itici kuvvetin Ω frekansına bağlıdır.

Zorunlu salınım periyodu eşittir (21.9)

Şekil 4.1'deki zorlanmış titreşimlerin grafiği.

Şekil 21.3. Zorunlu salınım grafiği

Kararlı durum zorlanmış salınımları da harmoniktir.

Zorla salınımların genliğinin ve faz kaymasının dış etkinin frekansına bağımlılığı. Rezonans.

1. Harmonik yasasına göre değişen bir dış kuvvetin etki ettiği yaylı sarkacın mekanik sistemine dönelim. Böyle bir sistem için diferansiyel denklem ve çözümü sırasıyla şu şekildedir:

, .

Salınım genliğinin ve faz kaymasının dış itici kuvvetin frekansına bağımlılığını analiz edelim; bunu yapmak için x'in birinci ve ikinci türevlerini bulacağız ve bunları diferansiyel denklemde yerine koyacağız.

Vektör diyagramı yöntemini kullanalım. Denklem, denklemin sol tarafındaki üç titreşimin toplamının (Şekil 4.1) sağ taraftaki titreşime eşit olması gerektiğini göstermektedir. Vektör diyagramı t zamanının rastgele bir anı için yapılmıştır. Ondan belirleyebilirsiniz.

Şekil 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

, , değerini hesaba katarak φ 0 ve A ampl için formüller elde ederiz. mekanik sistem:

,

.

2. Zorunlu salınımların genliğinin, salınımlı bir mekanik sistemdeki itici kuvvetin frekansına ve direnç kuvvetinin büyüklüğüne bağımlılığını inceliyoruz, bu verileri kullanarak bir grafik oluşturuyoruz . Çalışmanın sonuçları, belirli bir itici güç frekansında olduğunu gösteren Şekil 21.5'e yansıtılmıştır. salınımların genliği keskin bir şekilde artar. Ve zayıflama katsayısı β ne kadar düşük olursa bu artış o kadar büyük olur. Salınımların genliği sonsuz büyük olduğunda.

Genlikte keskin bir artış olgusu eşit bir itici güç frekansında zorlanmış salınımlar rezonans denir.

(21.12)

Şekil 21.5'teki eğriler ilişkiyi yansıtmaktadır ve çağrılırlar genlik rezonans eğrileri .

Şekil 21.5 - Zorunlu salınımların genliğinin itici kuvvetin frekansına bağımlılığının grafikleri.

Rezonans salınımlarının genliği şu şekli alacaktır:

Zorlanmış titreşimler sönümsüz dalgalanmalar. Sürtünmeden kaynaklanan kaçınılmaz enerji kayıpları, periyodik olarak etki eden bir dış kaynaktan enerji temini ile telafi edilir. Periyodik dış etkilerden dolayı değil, bu tür sistemlerin enerji tedarikini sabit bir kaynaktan düzenleme yeteneğinin bir sonucu olarak sönümsüz salınımların ortaya çıktığı sistemler vardır. Bu tür sistemlere denir kendi kendine salınan ve bu tür sistemlerde sönümsüz salınımların süreci kendi kendine salınımlar.

Kendi kendine salınan bir sistemde üç karakteristik unsur ayırt edilebilir: bir salınım sistemi, bir enerji kaynağı ve salınım sistemi ile kaynak arasındaki bir geri besleme cihazı. Kendi sönümlü salınımlarını gerçekleştirebilen herhangi bir mekanik sistem (örneğin bir duvar saatinin sarkacı), bir salınım sistemi olarak kullanılabilir.

Enerji kaynağı bir yayın deformasyon enerjisi veya yerçekimi alanındaki bir yükün potansiyel enerjisi olabilir. Geri besleme cihazı, kendi kendine salınan bir sistemin bir kaynaktan gelen enerji akışını düzenlediği bir mekanizmadır. İncirde. Şekil 21.6, kendi kendine salınan bir sistemin çeşitli elemanlarının etkileşiminin bir diyagramını göstermektedir.

Kendi kendine salınan mekanik bir sistemin bir örneği, saat mekanizmasıdır. Çapa ilerleme (Şekil 21.7.). Eğik dişlere sahip çalışan tekerlek, içinden ağır bir zincirin atıldığı dişli bir tambura sağlam bir şekilde tutturulmuştur. Sarkacın üst ucunda, merkezi sarkacın ekseninde olacak şekilde dairesel bir yay boyunca bükülmüş iki sert malzemeden plakalı bir ankraj (çapa) vardır. El saatlerinde ağırlığın yerini bir yay alır ve sarkacın yerini bir dengeleyici alır - spiral bir yaya bağlı bir el çarkı.

Dengeleyici kendi ekseni etrafında burulma titreşimleri gerçekleştirir. Saatteki salınım sistemi bir sarkaç veya dengeleyicidir. Enerji kaynağı yükseltilmiş bir ağırlık veya yara yayıdır. Gerçekleştirildiği cihaz Geri bildirim, çalışan tekerleğin bir dişi bir yarım devirde döndürmesini sağlayan bir çapadır.

Geri bildirim, ankrajın çalışan tekerlek ile etkileşimi ile sağlanır. Sarkacın her salınımında, çalışan tekerleğin bir dişi, ankraj çatalını sarkacın hareket yönünde iter ve sürtünmeden kaynaklanan enerji kayıplarını telafi eden enerjinin belirli bir kısmını ona aktarır. Böylece ağırlığın (veya bükülmüş yayın) potansiyel enerjisi yavaş yavaş ayrı kısımlar halinde sarkaca aktarılır.

Mekanik kendi kendine salınan sistemler çevremizdeki yaşamda ve teknolojide yaygındır. Buhar motorlarında, içten yanmalı motorlarda, elektrikli zillerde, yaylı müzik aletlerinin tellerinde, nefesli çalgıların borularındaki hava sütunlarında, konuşurken veya şarkı söylerken ses tellerinde vb. kendi kendine salınımlar meydana gelir.

Bu bölümü incelerken lütfen şunu aklınızda bulundurun: dalgalanmalar Farklı fiziksel yapıya sahip olan nesneler ortak matematiksel konumlardan tanımlanır. Burada harmonik salınım, faz, faz farkı, genlik, frekans, salınım periyodu gibi kavramları net bir şekilde anlamak gerekir.

Herhangi bir gerçek salınım sisteminde ortamın direncinin olduğu akılda tutulmalıdır; salınımlar sönümlenecektir. Salınımların sönümlenmesini karakterize etmek için bir sönümleme katsayısı ve logaritmik bir sönüm azalması eklenir.

Salınımlar, periyodik olarak değişen bir dış kuvvetin etkisi altında meydana gelirse, bu tür salınımlara zorunlu denir. Sönümsüz olacaklar. Zorlanmış salınımların genliği, itici kuvvetin frekansına bağlıdır. Zorlanmış salınımların frekansı doğal salınımların frekansına yaklaştıkça, zorlanmış salınımların genliği keskin bir şekilde artar. Bu olaya rezonans denir.

Elektromanyetik dalgaların incelenmesine geçerken şunu açıkça anlamalısınız:elektromanyetik dalgauzayda yayılan bir elektromanyetik alandır. En basit sistem Elektromanyetik dalgalar yayan bir elektrik dipolüdür. Dipol bunu yaparsa harmonik titreşimler sonra tek renkli bir dalga yayar.

Formül tablosu: salınımlar ve dalgalar

Sönümlü salınımlar

Yay sarkacının sönümlü salınımları

Sönümlü salınımlar- Enerjisi zamanla azalan titreşimler. Türlerin sonsuz bir süreç yaşaması doğada imkansızdır. Herhangi bir osilatörün serbest salınımı er ya da geç kaybolur ve durur. Bu nedenle pratikte genellikle sönümlü salınımlarla uğraşırız. Salınımların genliğinin olmasıyla karakterize edilirler. A azalan bir fonksiyondur. Tipik olarak zayıflama, ortamın direnç kuvvetlerinin etkisi altında meydana gelir ve çoğunlukla salınım hızına veya bunun karesine doğrusal bir bağımlılık olarak ifade edilir.

Akustikte: zayıflama - sinyal seviyesinin duyulamazlığı tamamlayacak şekilde azaltılması.

Yay sarkacının sönümlü salınımları

Bir ucu katı bir şekilde sabitlenmiş, diğer ucunda bir kütle gövdesi bulunan bir yaydan (Hooke yasasına tabi) oluşan bir sistem olsun. M. Salınımlar, direnç kuvvetinin hız ile orantılı olduğu bir ortamda meydana gelir. C(bkz. viskoz sürtünme).

Kökleri şu şekilde hesaplanır: aşağıdaki formül

Çözümler

Zayıflatma katsayısının değerine bağlı olarak çözüm üç olası seçeneğe bölünmüştür.

• Periyodiklik

Eğer ise, o zaman iki reel kök vardır ve diferansiyel denklemin çözümü şu şekli alır:

Bu durumda salınımlar en başından itibaren üstel olarak azalır.

• Periyodiklik sınırı

Eğer iki reel kök çakışırsa denklemin çözümü şu şekilde olur:

İÇİNDE bu durumda geçici bir artış olabilir, ancak daha sonra üstel bir azalma olabilir.

• Zayıf zayıflama

Eğer ise, karakteristik denklemin çözümü iki karmaşık eşlenik köktür.

O halde orijinal diferansiyel denklemin çözümü şu şekildedir:

Sönümlü salınımların doğal frekansı nerede.

Sabitler ve her durumda başlangıç ​​koşullarından belirlenir:

Ayrıca bakınız

• zayıflamanın azaltılması

Edebiyat

Kaynak: Savelyev I.V., Genel Fizik Kursu: Mekanik, 2001.

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde "sönümlü salınımların" ne olduğuna bakın:

Sönümlü salınımlar- Sönümlü salınımlar. Sönümlü Titreşimler, enerji kayıpları nedeniyle genliği A zamanla azalan salınımlar: mekanik sistemlerde (örneğin bir askı noktasında) sürtünme sonucu salınım enerjisinin ısıya dönüştürülmesi. Resimli Ansiklopedik Sözlük

A genliği A(t) = Аоexp (?t) yasasına göre t süresiyle azalan doğal salınımlar (? mekanik sönümlü salınımlar ve omik için viskoz sürtünme kuvvetlerinden kaynaklanan enerji kaybı nedeniyle zayıflama göstergesi). .. ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

Genliği kademeli olarak azalan salınımlar, örn. Süspansiyonda hava direnci ve sürtünme yaşayan bir sarkacın salınımları. Doğada meydana gelen tüm serbest titreşimler, az ya da çok Z.K. Electrical Z.K.... ...Deniz Sözlüğü'dür.

sönümlü salınımlar- Genelleştirilmiş koordinat aralığının veya türevinin zamana göre azalan değerlerine sahip mekanik salınımlar. [Önerilen terimlerin toplanması. Sayı 106. Mekanik titreşimler. SSCB Bilimler Akademisi. Bilim ve Teknik Komite... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Sönümlü salınımlar- (TİTREŞİM) azalan salınım değerleri ile salınımlar (titreşim)... Rus ansiklopedisi işgücünün korunması hakkında

A(t) = A0exp(?α t) üstel yasasına göre genliği t süresiyle azalan sistemin doğal salınımları (α, sönüm indeksidir), mekanik sönümlü için viskoz sürtünme kuvvetlerinden kaynaklanan enerji kaybı nedeniyle salınımlar ve ohmik... ... ansiklopedik sözlük

Sönümlü salınımlar- 31. Sönümlü salınımlar Azalan salınım değerlerine sahip salınımlar Kaynak... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Sistemin doğal salınımları, A'dan ryx'e genlik, A(t) = = Aoeхр(at) (bir sönümleme indeksi) üstel yasasına göre, mekanik için viskoz sürtünme kuvvetlerinden kaynaklanan enerji kaybı nedeniyle t süresiyle azalır. 3. ve elektrik için omik direnç ... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

sönümlü salınımlar- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. sönümlü salınım vok. gedämpfte Schwingung, f rus. sönümlü salınımlar, n pranc. salınım amortismanları, f; salınımlar décroissantes, f … Otomatik terminų žodynas

sönümlü salınımlar- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. sönümlü salınımlar; sönümlenmiş titreşimler; ölmekte olan salınımlar vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. sönümlü salınımlar, n pranc. salınım amortismanları, f … Fizikos terminų žodynas

Şimdiye kadar, daha önce de belirtildiği gibi, bir durum söz konusu olduğunda ortaya çıkan harmonik salınımları dikkate aldık. tek güç- elastik kuvvet veya yarı elastik kuvvet. Açıkçası, çevremizdeki doğada bu tür dalgalanmalar yoktur. Gerçek sistemlerde, elastik veya yarı elastik kuvvetlere ek olarak, eylem doğası gereği elastik kuvvetlerden farklı olan başka kuvvetler de her zaman vardır; bunlar, sistemin gövdeleri birbirleriyle etkileşime girdiğinde ortaya çıkan kuvvetlerdir. çevre - dağıtıcı kuvvetler. Eylemlerinin nihai sonucu geçiştir mekanik enerji vücudu ısıya doğru hareket ettirmek. Başka bir deyişle saçılma meydana gelir veya dağılma mekanik enerji. Enerji yayılımı süreci tamamen mekanik değildir ve tanımlanması için fiziğin diğer dallarından elde edilen bilgilerin kullanılması gerekir. Mekanik çerçevesinde bu süreci sürtünme veya direnç kuvvetlerini devreye sokarak tanımlayabiliriz. Enerji kaybının bir sonucu olarak salınım genliği azalır. Bu durumda, bir cismin veya cisimler sisteminin titreşimlerinin azaldığını söylemek gelenekseldir. Sönümlü salınımlar artık harmonik değildir çünkü genlikleri ve frekansları zamanla değişir.

Salınım yapan bir sistemdeki enerji kaybı nedeniyle genliği sürekli azalan salınımlara denir. solma. Denge durumundan çıkarılmış bir salınım sistemi, yalnızca iç kuvvetlerin etkisi altında, direnç ve enerji dağıtımı (dağılımı) olmadan salınırsa, o zaman içinde meydana gelen salınımlara denir. özgür(veya kendi) sönümsüz salınımlar. Enerji dağıtımı olan gerçek mekanik sistemlerde serbest salınımlar her zaman sönümlenir. Frekansları, sönümleme olmadan sistemin salınımlarının frekansı co 0'dan farklıdır (direnç kuvvetlerinin etkisi ne kadar büyük olursa, direnç kuvvetlerinin etkisi de o kadar büyük olur).

Yaylı sarkaç örneğini kullanarak sönümlü salınımları ele alalım. Kendimizi küçük salınımları dikkate almakla sınırlayalım. Düşük salınım hızlarında direnç kuvveti, salınım yer değiştirmelerinin hızıyla orantılı olarak alınabilir.

Nerede v = 4 - salınım hızı; G - sürükleme katsayısı adı verilen bir orantı faktörü. Direnç kuvvetinin ifadesindeki (2.79) eksi işareti, salınım yapan cismin hareket hızının tersi yönde yönlendirilmesinden kaynaklanmaktadır.

Yarı elastik kuvvet i^p = - ve direnç kuvvetine ilişkin ifadelerin bilinmesi Fc= bu kuvvetlerin birleşik etkisini hesaba katarak, sönümlü salınımlar gerçekleştiren bir cismin dinamik hareket denklemini yazabiliriz

Bu denklemde, (2.49) formülüne göre katsayıyı (3) şu şekilde değiştiririz: Sen], bundan sonra son denklemi böleriz ve elde ederiz

Formun zamanın bir fonksiyonu olarak denklem (2.81)'e bir çözüm arayacağız.

Burada y sabit değeri hala tanımsızdır. Basitlik açısından, ele aldığımız başlangıç ​​aşamasının sıfıra eşit olduğu varsayılacaktır; salınımlı yer değiştirme denge konumundan (sıfır koordinat) geçtiğinde kronometreyi "açabiliriz".

Sönümlü salınımların (2.81) diferansiyel denklemine varsayılan çözümü (2.82) ve bundan elde edilen hızları koyarak y değerini belirleyebiliriz.

ve hızlanma

(2.83) ve (2.84) ile (2.82)'yi (2.81)'de yerine koyarsak, /1 () e": " ile azaltıp “-1” ile çarptıktan sonra şunu elde ederiz: ikinci dereceden denklem y'ye göre elimizde

(2.82)'de y'yi yerine koyarsak, sönümlü salınımlar sırasında yer değiştirmenin zamana nasıl bağlı olduğunu buluruz. Gösterimi tanıtalım

burada co sembolü sönümlü salınımların açısal frekansını ve coo sönümsüz serbest salınımların açısal frekansını belirtir. S > 0 için sönümlü salınımların frekansının her zaman frekanstan daha az olduğu görülebilir.

Böylece, ve dolayısıyla sönümlü salınımlar sırasındaki yer değiştirme şu şekilde ifade edilebilir:

İkinci üsteki "+" veya "-" işaretinin seçimi keyfidir ve salınımların l kadar faz kaymasına karşılık gelir. “+” işaretinin seçimini dikkate alarak sönümlü salınımları yazacağız, sonra ifade (2.90) olacaktır.

Bu, yer değiştirmenin zamana arzu edilen bağımlılığıdır. Ayrıca yeniden yazılabilir trigonometrik form(gerçek kısımla sınırlı)

İstenilen genlik bağımlılığı bir(t)) zaman zaman şu şekilde temsil edilebilir:

Nerede A(,- zamandaki genlik t = 0.

Sabit 8, (2.88)'e göre direnç katsayısı oranına eşit G kütleyi ikiye katlamak T salınan cisme denir titreşim sönümleme katsayısı. Bu katsayının fiziksel anlamını bulalım. Sönümlü salınımların genliğinin e (doğal logaritma tabanı e = 2,72) kat azalacağı t süresini bulalım. Bunu yapmak için şunu koyalım

(2.93) ilişkisini kullanarak şunu elde ederiz: veya

nereden geliyor

Buradan, zayıflama katsayısı 8, t süresinin tersidir, bundan sonra sönümlü salınımların genliği e kat azalacaktır. Zaman boyutunda olan m miktarına denir sönümlü bir salınım sürecinin zaman sabiti.

Katsayı 8'e ek olarak, sözde logaritmik sönüm azalması X, periyoda eşit bir zaman aralığı ile birbirinden ayrılan iki salınım genliğinin oranının doğal logaritmasına eşittir T

Sembolle gösterilen logaritmanın altındaki ifade D, basitçe denir dalgalanmaların azalması (zayıflamanın azalması).

Genlik ifadesini (2.93) kullanarak şunu elde ederiz:

Logaritmik sönüm azalmasının fiziksel anlamını bulalım. N salınımından sonra salınımların genliğinin e kat azalmasına izin verin. Vücudun tamamlanacağı süre t N salınımlar t = periyodu boyunca ifade edilebilir N.T. Bu m değerini (2.97)'ye değiştirerek şunu elde ederiz: 8SA= 1. 67 "= A.'den beri, o zaman NX = 1 veya

Buradan, logaritmik sönüm azalması sönümlü salınımların genliğinin e kat azalacağı salınım sayısının tersidir.

Bazı durumlarda salınım genliğinin zamana bağımlılığı A(t) Bunu logaritmik sönüm azalması A cinsinden ifade etmek uygundur. Üs 6 1 (2.93) ifadeleri (2.99)'a göre aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Daha sonra ifade (2.93) şu formu alır:

değerin sayıya eşit olduğu yer N t süresi boyunca sistemin yaptığı salınımlar.

Tablo 2.1, bazı salınımlı sistemlerin logaritmik sönüm azalmalarının yaklaşık değerlerini (büyüklük sırasına göre) göstermektedir.

Tablo 2.1

Bazı salınımlı sistemlerin zayıflama azalmalarının değerleri

Şimdi direnç kuvvetlerinin salınım frekansı üzerindeki etkisini analiz edelim. Bir cisim denge konumundan hareket edip tekrar denge konumuna döndüğünde, ona her zaman bir direnç kuvveti etki edecek ve yavaşlamasına neden olacaktır.

Bu, sönümlü salınımlar sırasında yolun aynı bölümlerinin vücut tarafından serbest salınımlara göre daha geniş bir zaman aralığında kaplanacağı anlamına gelir. Sönümlü salınımların periyodu T, bu nedenle, daha büyük bir doğal serbest salınım periyodu olacaktır. İfade (2.89)'dan, zayıflama katsayısı b büyüdükçe frekanslardaki farkın arttığı açıktır. Büyük b (b > coo) için sönümlü salınımlar periyodik olmayan (periyodik olmayan) süreç, Başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak sistem, içinden geçmeden hemen denge konumuna geri döner veya durmadan önce denge konumunu bir kez geçer (yalnızca bir salınım gerçekleştirir) - bkz. 2.16.

Pirinç. 2.16. Sönümlü salınımlar:

Şekil 2.16'da, A bir bağımlılık grafiği gösterir %(T) Ve A(t)(5 > co 0 ve со başlangıç ​​aşamasında, salınımlar tamamen imkansızdır (bu durum, eşitlikten (2.89) belirlenen frekansın hayali değerine karşılık gelir. Sistem sönümlenir ve salınım süreci periyodik hale gelir (Şekil 2.16, B).

• exp(x) gösterimi e*'ye eşdeğerdir. Her iki formu da kullanacağız.
• Salınımlara ilişkin genel bir değerlendirmede, salınım fazının tam değeri başlangıç ​​koşullarıyla verilir; zamanın ilk anında (t = 0) yer değiştirmenin büyüklüğü 4(0 ve hız 4(0) olup terimini içerir