Ushbu usul qisman segmentdagi integratsiyani nuqtalardan o'tadigan parabola orqali taxmin qilishni taklif qiladi.
(x j, f(x j)), Qayerda j = i-1; i-0.5; i, ya'ni biz ikkinchi darajali Lagranj interpolyatsiya polinomi orqali integratsiya funksiyasini yaqinlashtiramiz:

Integratsiyani amalga oshirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Bu shunday Simpson formulasi yoki parabolik formula. Segmentda
[a, b] Simpson formulasi shaklni oladi

Simpson usulining grafik tasviri rasmda ko'rsatilgan. 2.4.

Guruch. 10.4. Simpson usuli

O'zgaruvchilarni qayta belgilash orqali (2.16) ifodadagi kasr indekslaridan xalos bo'laylik:

Keyin Simpson formulasi shaklni oladi

(2.18) formulaning xatosi quyidagi ifoda bilan baholanadi:

Qayerda h·n = b-a, . Shunday qilib, Simpson formulasining xatosi proportsionaldir O(h 4).

Izoh. Shuni ta'kidlash kerakki, Simpson formulasida integratsiya segmenti majburiy ravishda bo'linadi hatto intervallar soni.

10.5. Aniq integrallarni usullar bilan hisoblash
Monte Karlo

Yuqorida muhokama qilingan usullar deyiladi deterministik , ya'ni tasodif elementidan mahrum.

Monte-Karlo usullari(MMK) - tasodifiy o'zgaruvchilarni modellashtirish yordamida matematik muammolarni hal qilishning raqamli usullari. MMClar ehtimollik jarayonlari natijasida yuzaga kelgan matematik muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish imkonini beradi. Bundan tashqari, hech qanday ehtimollik bilan bog'liq bo'lmagan muammolarni hal qilishda siz sun'iy ravishda ushbu muammolarni hal qilishga imkon beradigan ehtimollik modelini (va hatto bir nechtasini) o'ylab topishingiz mumkin. Aniq integralni hisoblashni ko'rib chiqing

To'rtburchaklar formulasi yordamida bu integralni hisoblashda oraliq [ a, b] ga boʻlinadi N bir xil oraliqlar, ularning o'rtasida integratsiya qiymatlari hisoblangan. Tasodifiy tugunlarda funktsiya qiymatlarini hisoblash orqali siz aniqroq natija olishingiz mumkin:

Bu yerda g i - intervalda bir xil taqsimlangan tasodifiy son
. MMC integralini hisoblashdagi xatolik ~ bo'lib, bu avval o'rganilgan deterministik usullardan sezilarli darajada katta.

Shaklda. 2.5-rasmda tasodifiy tugunlar (2.21) va (2.22) bilan bitta integralni hisoblash uchun Monte-Karlo usulining grafik amalga oshirilishi ko'rsatilgan.

(2.23)

Guruch. 10.6. Monte-Karlo usuli bo'yicha integratsiya (2-holat)

Rasmda ko'rinib turganidek. 2.6, integral egri chiziq birlik kvadratida yotadi va agar biz oraliqda bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlar juftligini olish imkoniga ega bo'lsak, natijada olingan qiymatlarni (g 1, g 2) nuqta koordinatalari sifatida talqin qilish mumkin. birlik kvadratida. Keyin, agar bu juft raqamlarning juda ko'p qismi olingan bo'lsa, biz buni taxmin qilishimiz mumkin
. Bu yerga S egri chiziq ostiga tushadigan juft nuqtalar soni va N– raqamlar juftlarining umumiy soni.

2.1-misol. Quyidagi integralni hisoblang:

Muammo turli usullar yordamida hal qilindi. Olingan natijalar jadvalda umumlashtiriladi. 2.1.

2.1-jadval

Izoh. Jadval integralini tanlash har bir usulning xatosini solishtirish va bo'limlar sonining hisob-kitoblarning to'g'riligiga ta'sirini aniqlash imkonini berdi.

11 NOCHIZIQLIKNING TAXMINIY ECHIMI
VA TRANSENDENT TENGLAMALAR

Aniq integralni trapetsiya usulida topish uchun egri chiziqli trapetsiyaning maydoni ham balandligi h va asoslari 1, 2, 3,..u n boʻlgan n ta toʻrtburchaklar trapetsiyaga boʻlinadi, bunda n toʻrtburchaklar trapetsiya soni. . Integral son jihatdan to'rtburchaklar trapetsiyalarning maydonlari yig'indisiga teng bo'ladi (4-rasm).

Guruch. 4

n - bo'limlar soni

Trapezoidal formulaning xatosi raqam bilan baholanadi

Trapezoid formulasining xatosi to'rtburchaklar formulasining xatosidan ko'ra o'sish bilan tezroq kamayadi. Shuning uchun trapezoidal formula to'rtburchaklar usulidan ko'ra ko'proq aniqlikka imkon beradi.

Simpson formulasi

Agar har bir segment jufti uchun ikkinchi darajali ko‘phadni tuzib, uni segmentga integrallab, integralning qo‘shiluvchanlik xususiyatidan foydalansak, Simpson formulasini olamiz.

Simpson usulida aniq integralni hisoblash uchun butun integrallash oralig'i teng uzunlikdagi h=(b-a)/n kichik intervallarga bo'linadi. Bo'lim segmentlari soni juft sondir. So‘ngra har bir qo‘shni kichik oraliqlar juftida f(x) integrali funksiyasi ikkinchi darajali Lagranj ko‘phadiga almashtiriladi (5-rasm).

Guruch. 5 Segmentdagi y=f(x) funksiya 2-tartibli ko‘phad bilan almashtiriladi

Keling, segmentdagi integrani ko'rib chiqaylik. Bu integratsiyani nuqtalarda y= ga to‘g‘ri keladigan ikkinchi darajali Lagranj interpolyatsiya polinomi bilan almashtiramiz:

Keling, segmentga integratsiya qilaylik:

Keling, o'zgaruvchilarning o'zgarishini kiritamiz:

O'zgartirish formulalarini hisobga olgan holda,

Integratsiyani amalga oshirgandan so'ng, biz Simpson formulasini olamiz:

Integral uchun olingan qiymat o'q, to'g'ri chiziqlar va nuqtalardan o'tuvchi parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga to'g'ri keladi.Segmentda Simpson formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Parabola formulasida f(x) funksiyaning x 1, x 3, ..., x 2n-1 toq nuqtalaridagi qiymati x 2, x 4, juft nuqtalarida koeffitsienti 4 ga teng. .., x 2n-2 - koeffitsient 2 va ikkita chegara nuqtasida x 0 =a, x n =b - koeffitsient 1.

Simpson formulasining geometrik ma'nosi: segmentdagi f(x) funksiya grafigi ostidagi egri chiziqli trapezoidning maydoni taxminan parabolalar ostida yotgan figuralar maydonlarining yig'indisi bilan almashtiriladi.

Agar f(x) funksiya to'rtinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo'lsa, Simpson formulasi xatosining mutlaq qiymati dan ortiq emas.

bu erda M - segmentdagi eng katta qiymat. n 4 n 2 dan tezroq o'sganligi sababli, Simpson formulasining xatosi trapezoidal formulaning xatosidan ancha tezroq n ortishi bilan kamayadi.

Keling, integralni hisoblaylik

Ushbu integralni hisoblash oson:

Keling, n ni 10 ga teng, h=0,1 qabul qilaylik, bo'linish nuqtalaridagi integratsiya qiymatlarini, shuningdek, yarim butun nuqtalarni hisoblaymiz.

O'rtacha to'rtburchaklar formulasidan foydalanib, I to'g'ri = 0,785606 (xato 0,027%) ni olamiz, trapesiya formulasi I trap = 0,784981 (xato taxminan 0,054. O'ng va chap to'rtburchaklar usulidan foydalanganda xato ko'proq bo'ladi. 3% dan ortiq.

Taxminiy formulalarning aniqligini solishtirish uchun integralni yana hisoblab chiqamiz

lekin endi Simpson formulasiga ko'ra n = 4. Segmentni x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 nuqtalar bilan to'rtta teng qismga ajratamiz va funktsiyaning taxminan qiymatlarini hisoblaymiz. f(x)=1/( 1+x) bu nuqtalarda: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Simpson formulasidan foydalanib, biz olamiz

Keling, olingan natijaning xatosini baholaylik. f(x)=1/(1+x) integrali funksiyasi uchun bizda: f (4) (x)=24/(1+x) 5, ya’ni segmentda . Demak, M=24 ni qabul qilishimiz mumkin va natijaning xatosi 24/(2880 4 4)=0,0004 dan oshmaydi. Taxminiy qiymatni aniq qiymat bilan taqqoslab, Simpson formulasi yordamida olingan natijaning mutlaq xatosi 0,00011 dan kam degan xulosaga keldik. Bu yuqorida keltirilgan xato bahosiga mos keladi va bundan tashqari, Simpson formulasi trapezoidal formuladan ancha aniqroq ekanligini ko'rsatadi. Shuning uchun Simpson formulasi trapezoidal formulaga qaraganda aniq integrallarni taxminiy hisoblash uchun ko'proq qo'llaniladi.

Keling, integratsiya segmentini ajratamiz [ A, b] juft songa n o'sishda teng qismlar h. Har bir segmentda [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] integral funksiya f(X) ikkinchi darajali interpolyatsiya polinomi bilan almashtiramiz:

Ushbu kvadrat uch a'zolarning koeffitsientlarini tegishli jadval ma'lumotlarining nuqtalarida ko'phadning tengligi shartlaridan topish mumkin. Nuqtalardan o'tuvchi ikkinchi darajali Lagranj interpolyatsiya polinomini qabul qilishimiz mumkin :

Elementar maydonlar yig'indisi va (3.3-rasm) aniq integral yordamida hisoblanishi mumkin. Biz olgan tengliklarni hisobga olgan holda

-

Guruch. 3.3. Simpson usuli uchun rasm

Har bir elementar segment uchun bunday hisob-kitoblarni amalga oshirib, natijada olingan iboralarni umumlashtiramiz:

Bu ifoda uchun S aniq integralning qiymati sifatida qabul qilinadi:

(3.35)

Olingan munosabat deyiladi Simpson formulasi yoki parabola formulasi.

Ushbu formulani boshqa yo'llar bilan olish mumkin, masalan, segmentni bo'lishda trapezoidal usulni ikki marta qo'llash orqali [ A, b] qadamlar bilan qismlarga bo'linadi h va 2 h yoki to'rtburchaklar va trapezoidlar formulalarini birlashtirish orqali (3.2.6-bo'limga qarang).

Ba'zan Simpson formulasi yarim butun sonli indekslar yordamida yoziladi. Bunday holda, bo'limning segmentlari soni P ixtiyoriy (hatto bo'lishi shart emas) va Simpson formulasi shaklga ega

(3.36)

2-bo'lim segmentlari soniga (3.35) formula qo'llanilsa, (3.36) formula (3.35) bilan mos kelishini ko'rish oson. n va qadam h/2.

Misol. Simpson usuli yordamida integralni hisoblang

Funktsiya qiymatlari n = 10, h = 0,1 jadvalda keltirilgan. 3.3. (3.35) formuladan foydalanib, topamiz

Simpson usuli yordamida raqamli integratsiya natijasi aniq qiymatga to'g'ri kelishi aniqlandi (oltita muhim raqam).

Simpson usuli yordamida aniq integralni hisoblashning mumkin bo'lgan algoritmlaridan biri rasmda ko'rsatilgan. 3.4. Integratsiya segmentining chegaralari [ A, b], xato ε, shuningdek integrand qiymatlarini hisoblash formulasi y =f(x) .

Guruch. 3.4. Simpson usuli algoritmi

Dastlab, segment bir qadam bilan ikki qismga bo'linadi h =(b- a)/2. Integralning qiymati hisoblanadi I 1. Keyin qadamlar soni ikki barobar ortadi, qiymat hisoblanadi I 2 bosqichma-bosqich h/2. Hisobni tugatish sharti shaklda olinadi. Agar bu shart bajarilmasa, yangi qadam yarmiga bo'linadi va hokazo.

E'tibor bering, rasmda ko'rsatilgan. 3.4 algoritm optimal emas: har bir taxminiy hisoblashda I 2 ta funktsiya qiymati ishlatilmaydi f(x), oldingi bosqichda allaqachon topilgan. Ko'proq iqtisodiy algoritmlar bo'limda muhokama qilinadi. 3.2.7.

Aniq integralni sonli hisoblashda muammo tug'iladi, uni kvadratura formulalari deb ataladigan formulalar yordamida hal qilish mumkin.

Raqamli integratsiyaning eng oddiy formulalarini eslaylik.

Keling, taxminiy raqamli qiymatni hisoblaymiz. Integratsiya oralig'ini [a, b] nuqtalarni bo'lish orqali n ta teng qismga ajratamiz
, kvadrat formulasining tugunlari deb ataladi. Tugunlardagi qiymatlar ma'lum bo'lsin
:

Kattalik

integratsiya oraliq yoki qadam deb ataladi. E'tibor bering, amalda - hisob-kitoblarda i soni kichik tanlanadi, odatda u 10-20 dan oshmaydi.Qisman oraliqda

integratsiya interpolyatsiya polinomi bilan almashtiriladi

ko'rib chiqilayotgan intervalda f (x) funksiyani taxminan ifodalaydi.

a) Interpolyatsiya polinomida faqat bitta birinchi hadni saqlaylik

Olingan kvadrat formula

to'rtburchaklar formulasi deb ataladi.

b) Birinchi ikkita hadni interpolyatsiya polinomida saqlaylik

(2)

Formula (2) trapezoidal formula deb ataladi.

c) Integratsiya oralig'i
biz uni juft sonli 2n teng qismlarga ajratamiz va integrallash bosqichi h ga teng bo'ladi . Intervalda
uzunligi 2h boʻlgan integratsiyani ikkinchi darajali interpolyatsiya koʻphasiga almashtiramiz, yaʼni polinomda dastlabki uchta hadni saqlab qolamiz:

Olingan kvadratura formulasi Simpson formulasi deb ataladi

(3)

Formulalar (1), (2) va (3) oddiy geometrik ma'noga ega. To'rtburchaklar formulasida oraliqda f(x) integrali funksiyasi
abscissa o'qiga parallel bo'lgan y = yk to'g'ri chiziqli kesma bilan, trapetsiya formulasida esa - to'g'ri chiziq segmenti bilan almashtiriladi.
va to'rtburchaklar va to'g'ri chiziqli trapezoidning maydoni mos ravishda hisoblab chiqiladi, keyinchalik ular yig'iladi. Simpson formulasida f(x) funksiya oraliqda
uzunligi 2h kvadrat trinomial - parabola bilan almashtiriladi
Egri chiziqli parabolik trapezoidning maydoni hisoblab chiqiladi, so'ngra maydonlar yig'iladi.

XULOSA

Ish oxirida men yuqorida muhokama qilingan usullarni qo'llashning bir qator xususiyatlarini qayd etmoqchiman. Aniq integralni taqribiy yechishning har bir usuli o'zining afzalliklari va kamchiliklariga ega, topshirilgan vazifaga qarab, aniq usullardan foydalanish kerak.

O'zgaruvchilarni almashtirish usuli noaniq integrallarni hisoblashning asosiy usullaridan biri hisoblanadi. Hatto biz boshqa usul bilan integratsiyalashgan hollarda ham, biz ko'pincha oraliq hisob-kitoblarda o'zgaruvchan o'zgaruvchilarga murojaat qilishimiz kerak. Integratsiya muvaffaqiyati ko'p jihatdan berilgan integralni soddalashtiradigan o'zgaruvchilarning shunday muvaffaqiyatli o'zgarishini tanlay olishimizga bog'liq.

Umuman olganda, integratsiya usullarini o'rganish u yoki bu integrand turi uchun qanday o'zgaruvchan almashtirishni amalga oshirish kerakligini aniqlashga to'g'ri keladi.

Shunday qilib, har qanday ratsional kasrning integratsiyasi polinom va bir nechta oddiy kasrlarni integrallashga qisqartiradi.

Har qanday ratsional funktsiyaning integralini yakuniy shaklda elementar funktsiyalar orqali ifodalash mumkin, xususan:

logarifmlar orqali - 1-turdagi oddiy kasrlar hollarida;

ratsional funksiyalar orqali - 2-turdagi oddiy kasrlar holatida

logarifmlar va arktangentlar orqali - 3-turdagi oddiy kasrlarda

ratsional funksiyalar va arktangentlar orqali - 4-turdagi oddiy kasrlarda. Umumjahon trigonometrik almashtirish har doim integratsiyani ratsionalizatsiya qiladi, lekin u ko'pincha juda og'ir ratsional kasrlarga olib keladi, ular uchun, xususan, maxrajning ildizlarini topish deyarli mumkin emas. Shuning uchun, iloji bo'lsa, qisman almashtirishlar qo'llaniladi, ular ham integratsiyani ratsionalizatsiya qiladi va kamroq murakkab fraktsiyalarga olib keladi.

Nyuton-Leybnits formulasi aniq integrallarni topishning umumiy yondashuvidir.

Aniq integrallarni hisoblash texnikasiga kelsak, ular o'sha barcha texnika va usullardan deyarli farq qilmaydi.

Xuddi shu tarzda qo'llang almashtirish usullari(o'zgaruvchining o'zgarishi), qismlar bo'yicha integrallash usuli, trigonometrik, irratsional va transsendental funktsiyalar uchun antiderivativlarni topishning bir xil usullari. Yagona o'ziga xoslik shundaki, bu usullardan foydalanganda transformatsiyani nafaqat integral funktsiyaga, balki integratsiya chegaralariga ham kengaytirish kerak. Integratsiya o'zgaruvchisini almashtirganda, mos ravishda integratsiya chegaralarini o'zgartirishni unutmang.

To'g'ri teoremadan, funksiyaning uzluksizligi sharti funksiyaning integralligi uchun yetarli shartdir. Lekin bu aniq integral faqat uzluksiz funksiyalar uchun mavjud degani emas. Integrallanuvchi funksiyalar sinfi ancha kengroqdir. Masalan, chekli sonli uzilish nuqtalariga ega funksiyalarning aniq integrali mavjud.

Nyuton-Leybnits formulasi yordamida uzluksiz funktsiyaning aniq integralini hisoblash har doim mavjud bo'lgan, lekin har doim ham elementar funktsiya yoki jadvallar tuzilgan funktsiya bo'lmagan anti hosilani topishga to'g'ri keladi, bu esa qiymatni olish imkonini beradi. integral. Ko'pgina ilovalarda integrallashuvchi funktsiya jadvalda ko'rsatilgan va Nyuton-Leybnits formulasi to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilmaydi.

Agar siz eng aniq natijani olishingiz kerak bo'lsa, u idealdir Simpson usuli.

Yuqorida o‘rganilganlardan quyidagi xulosaga kelish mumkinki, integral fizika, geometriya, matematika va boshqa fanlarda qo‘llaniladi. Integral yordamida kuchning ishi hisoblab chiqiladi, massa markazining koordinatalari va moddiy nuqta bosib o'tgan yo'l topiladi. Geometriyada u jismning hajmini hisoblash, egri chiziqning yoy uzunligini topish va boshqalar uchun ishlatiladi.

Oliy matematika kafedrasi

To'ldiruvchi: Matveev F.I.

Tekshirildi: Burlova L.V.

Ulan-Ude, 2002

1.Integratsiyaning sonli usullari

2. Simpson formulasini chiqarish

3.Geometrik tasvir

4.Integratsiya bosqichini tanlash

5. Misollar

1. Integrallashning sonli usullari

Raqamli integrasiya muammosi integralni hisoblashdan iborat

Integrandning bir qator qiymatlari orqali.

Jadvallarda ko'rsatilgan funksiyalar, elementar funksiyalarda integrali olinmagan funksiyalar va hokazolar uchun sonli integratsiya masalalarini yechish kerak. Keling, faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyalarini ko'rib chiqaylik.

Integrallanishi kerak boʻlgan funksiya oʻrniga biz interpolyatsiya koʻphadini integrallaymiz. Integratsiyani interpolyatsiya polinomi bilan almashtirishga asoslangan usullar ko'phad parametrlari yordamida natijaning to'g'riligini baholash yoki berilgan aniqlik asosida ushbu parametrlarni tanlash imkonini beradi.

Raqamli usullarni integralni yaqinlashtirish usuliga ko'ra shartli ravishda guruhlash mumkin.

Nyuton-Kotes usullari funktsiyani darajali ko'phadga yaqinlashtirishga asoslangan. Bu sinfning algoritmi faqat polinom darajasida farqlanadi. Qoida tariqasida, yaqinlashuvchi ko'phadning tugunlari tenglashtiriladi.

Spline integratsiya usullari funktsiyani spline-bo'lakli ko'phad orqali yaqinlashishga asoslangan.

Eng yuqori algebraik aniqlik usullari (Gauss usuli) ma'lum (tanlangan) tugunlar soni uchun minimal integratsiya xatosini ta'minlaydigan maxsus tanlangan teng bo'lmagan tugunlardan foydalanadi.

Monte-Karlo usullari ko'pincha bir nechta integrallarni hisoblashda qo'llaniladi; tugunlar tasodifiy tanlanadi va javob ehtimollikdir.

umumiy xato

kesish xatosi

yaxlitlash xatosi

Tanlangan usuldan qat’i nazar, sonli integrasiya jarayonida integralning taxminiy qiymatini hisoblash va xatoni baholash kerak. Xato n-son ortishi bilan kamayadi

segment bo'limlari. Biroq, bu yaxlitlash xatosini oshiradi

qisman segmentlar bo'yicha hisoblangan integrallarning qiymatlarini yig'ish orqali.

Kesish xatosi integralning xususiyatlariga va qisman segment uzunligiga bog'liq.

2. Simpson formulasini chiqarish

Agar har bir juft segment uchun biz ikkinchi darajali ko'phadni tuzsak, keyin uni integrallashtirsak va integralning qo'shilish xususiyatidan foydalansak, Simpson formulasini olamiz.

Keling, segmentdagi integralni ko'rib chiqaylik. Ushbu integratsiyani nuqtalarda mos keladigan ikkinchi darajali Lagrange interpolyatsiya polinomi bilan almashtiramiz:

Keling, integratsiya qilaylik:

va Simpson formulasi deb ataladi.

Integral uchun olingan qiymat o'q, to'g'ri chiziqlar va nuqtalardan o'tuvchi parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga to'g'ri keladi.

Keling, Simpson formulasidan foydalanib, integratsiya xatosini baholaylik. Intervalda uzluksiz hosilalar bor deb faraz qilamiz . Keling, farqni tuzamiz

Bu ikkita integralning har biriga o'rtacha qiymat teoremasini qo'llash allaqachon mumkin, chunki funktsiya birinchi integrasiya oralig'ida uzluksiz va manfiy emas, ikkinchisida esa ijobiy emas (ya'ni har birida ishorani o'zgartirmaydi). bu intervallardan). Shunung uchun:

(o'rtacha qiymat teoremasidan foydalandik, chunki - uzluksiz funktsiyadir; ).

Ikki marta farqlash va keyin o'rtacha qiymat teoremasini qo'llash orqali biz boshqa ifodani olamiz:

, Qayerda

Ikkala taxmindan kelib chiqadiki, Simpson formulasi darajasi uchdan yuqori bo'lmagan polinomlar uchun aniq. Masalan, Simpson formulasini quyidagi shaklda yozamiz:

Agar integratsiya segmenti juda katta bo'lsa, u teng qismlarga bo'linadi (farz etilsa), so'ngra qo'shni segmentlarning har bir juftiga, ,..., Simpson formulasini qo'llang, xususan:

Simpson formulasini umumiy shaklda yozamiz:

Simpson formulasining xatosi - to'rtinchi tartibli usul:

, (3)

Chunki Simpson usuli juda yuqori bo'lmasa ham, yuqori aniqlikni olishga imkon beradi. Aks holda, ikkinchi tartibli usul kattaroq aniqlikni berishi mumkin.

Masalan, funktsiya uchun for trapezoidal shakli aniq natija beradi, Simpson formulasidan foydalanganda biz olamiz

3. Geometrik illyustratsiya

Uzunligi 2 soat bo'lgan segmentda uchta nuqtadan o'tuvchi parabola qurilgan, . OX o'qi va to'g'ri chiziqlar orasiga o'ralgan parabola ostidagi maydon integralga teng qabul qilinadi.

Simpson formulasini qo'llashning o'ziga xos xususiyati integratsiya segmentining bo'limlari sonining juft bo'lishidir.

Agar bo'limning segmentlari soni toq bo'lsa, unda birinchi uchta segment uchun integratsiyani taxmin qilish uchun birinchi to'rt nuqtadan o'tuvchi uchinchi darajali parabola yordamida formuladan foydalanish kerak.

(4)

Bu Simpsonning sakkizdan uch formulasi.

Integratsiyaning ixtiyoriy segmenti uchun (4) formulani "davom etish" mumkin; bu holda, qisman segmentlar soni uch (nuqta) ga karrali bo'lishi kerak.

, m=2,3,... (5)

Butun qism

Siz yuqori darajadagi Nyuton-Kotes formulalarini olishingiz mumkin:

(6)

Bo'lim segmentlari soni;

Amaldagi polinom darajasi;

Nuqtadagi th tartibli hosilasi;

Ajratish bosqichi.

1-jadvalda koeffitsientlar ko'rsatilgan. Har bir chiziq k darajali ko'phadni qurish uchun tugunlar bo'yicha bitta interval to'plamiga mos keladi. Ushbu sxemani ko'proq to'plamlar uchun ishlatish uchun (masalan, k=2 va n=6 bilan) koeffitsientlarni "davom etish" va keyin ularni qo'shish kerak.

1-jadval:

Trapezoidal va Simpson formulalari uchun xatolarni baholash algoritmi quyidagicha yozilishi mumkin: (7),

bu yerda - integrasiya usuli va integrand xossalariga bog'liq koeffitsient;

h - integratsiya bosqichi;

p - usul tartibi.

Runge qoidasi h va kh qadamlari bilan integralni ikki marta hisoblash orqali xatoni hisoblash uchun ishlatiladi.

(8) - posteriori baho. U holda Iref.= +Ro (9), integralning aniqlangan qiymati.

Agar usulning tartibi noma'lum bo'lsa, I ni uchinchi marta qadam bilan hisoblash kerak, ya'ni:

uchta tenglama tizimidan:

I, A va p noma'lumlari bilan biz quyidagilarni olamiz:

(10) dan kelib chiqadi (11)

Shunday qilib, zarur bo'lgan ko'p marta ishlatiladigan qo'sh hisoblash usuli, berilgan aniqlik darajasi bilan integralni hisoblash imkonini beradi. Kerakli bo'limlar soni avtomatik ravishda tanlanadi. Bunday holda, ushbu usullarning algoritmlarini o'zgartirmasdan, tegishli integratsiya usullarining pastki dasturlariga bir nechta qo'ng'iroqlardan foydalanishingiz mumkin. Shu bilan birga, teng darajada bog'liq tugunlardan foydalanadigan usullar uchun integratsiya oralig'ining oldingi bir nechta bo'limlari davomida to'plangan integral yig'indilaridan foydalanib, algoritmlarni o'zgartirish va integralni hisoblash sonini ikki baravar kamaytirish mumkin. Integralning ikkita taxminiy qiymati va trapezoidal usulda qadamlar bilan hisoblangan va quyidagi munosabatlar bilan bog'liq:

Xuddi shunday, va qadamlar bilan formuladan foydalanib hisoblangan integrallar uchun quyidagi munosabatlar to'g'ri bo'ladi:

,

(13)

4. Integratsiya bosqichini tanlash

Integratsiya bosqichini tanlash uchun siz qolgan atama ifodasidan foydalanishingiz mumkin. Masalan, Simpson formulasining qolgan qismini olaylik:

Agar ê ê bo'lsa, u holda ê ê .

Integratsiya usulining berilgan aniqligi e ga asoslanib, oxirgi tengsizlikdan mos qadamni aniqlaymiz.

, .

Biroq, bu usul baholashni talab qiladi (bu amalda har doim ham mumkin emas). Shuning uchun ular aniqlik bahosini aniqlash uchun boshqa usullardan foydalanadilar, bu esa hisob-kitoblar davomida kerakli h qadamni tanlash imkonini beradi.

Keling, ushbu texnikalardan birini ko'rib chiqaylik. Mayli

,

qadamli integralning taxminiy qiymati qayerda. Segmentni ikkita teng qismga bo'linib, qadamni yarmiga kamaytiramiz va ().

Endi faraz qilaylik, u juda tez o'zgarmaydi, shuning uchun u deyarli doimiy bo'ladi: . Keyin Va , qayerda , ya'ni .

Bundan quyidagi xulosa chiqarishimiz mumkin: agar , ya'ni, agar , , a kerakli aniqlik bo'lsa, u holda bosqich integralni etarli aniqlik bilan hisoblash uchun mos keladi. Agar, u holda hisoblash bosqichma-bosqich takrorlanadi va keyin taqqoslanadi va hokazo. Bu qoida Runge qoidasi deb ataladi.

Biroq, Runge qoidasini qo'llashda, hisoblash xatosining kattaligini hisobga olish kerak: u kamayishi bilan integralni hisoblashning mutlaq xatosi ortadi (bog'liqlik teskari proportsionaldir) va agar etarli darajada kichik bo'lsa, u usul xatosidan kattaroq bo'lishi mumkin. Agar u dan oshsa, Runge qoidasini bu qadam uchun qo'llash mumkin emas va kerakli aniqlikka erishib bo'lmaydi. Bunday hollarda qiymatni oshirish kerak.

Runge qoidasini ishlab chiqishda siz aslida degan taxmindan foydalandingiz. Agar faqat qiymatlar jadvali mavjud bo'lsa, u holda "doimiylik" ni tekshirish to'g'ridan-to'g'ri jadvaldan amalga oshirilishi mumkin.Yuqoridagi algoritmlarning keyingi rivojlanishi bizga adaptiv algoritmlarga o'tish imkonini beradi, bunda turli qismlarda boshqa integratsiya bosqichini tanlash orqali. integratsiya segmentining xususiyatlariga qarab, integralning hisob-kitoblari soni kamayadi.

Integral qiymatlarni aniqlashtirishning yana bir sxemasi Eithnen jarayonidir. Integral bosqichlarda hisoblanadi va . Qiymatlarni hisoblash. Keyin (14).

Simpson usulining aniqlik o'lchovi quyidagicha qabul qilinadi:

5. Misollar

1-misol. Jadvalda berilgan bo'lsa, Simpson formulasi yordamida integralni hisoblang. Xatoni taxmin qiling.

3-jadval.

Yechish: va integral uchun (1) formula bo‘yicha hisoblaymiz.

Runge qoidasiga ko'ra, biz qabul qilamiz.

2-misol. Integralni hisoblang .

Yechim: Bizda bor. Demak, h==0,1. Hisoblash natijalari 4-jadvalda keltirilgan.

4-jadval.

Simpson formulasi yordamida integralni hisoblash

		y0=1,00000; -0,329573ê£ 3. Simpson usuli xatosi uchun hisob-kitoblar: =0,1 uchun £ 0,0000017, =0,05 uchun £ 0,0000002. Simpson formulasi uchun yaxlitlash xatolarining bunday aniq natijani buzishiga yo'l qo'ymaslik uchun barcha hisoblar oltita kasr bilan amalga oshirildi. Yakuniy natijalar: