Arifmetik progressiya. Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi C 12 n ta son uchun arifmetik progressiya formulasi

Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda ichki dalillar menga arifmetik progressiya nima ekanligini hali bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunga o'xshash: SOOOOO!) bilishni xohlaysiz. Shuning uchun men sizni uzoq tanishtirishlar bilan qiynamayman va to'g'ridan-to'g'ri mavzuga o'taman.

Birinchidan, bir nechta misol. Keling, bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqaylik:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ushbu to'plamlarning barchasida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.

O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam oddiy ketma-ket raqamlar bo'lib, ularning har biri oldingisidan bittadan ko'p. Ikkinchi holda, qo'shni raqamlar orasidagi farq allaqachon beshta, ammo bu farq hali ham doimiy. Uchinchi holatda, umuman ildizlar mavjud. Biroq, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ va $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ya'ni. va bu holda, har bir keyingi element oddiygina $\sqrt(2)$ ga ortadi (va bu raqam mantiqiy emasligidan qo'rqmang).

Demak: bunday ketma-ketliklarning barchasi arifmetik progressiyalar deyiladi. Keling, qat'iy ta'rif beraylik:

Ta'rif. Har bir keyingisi oldingisidan aynan bir xil miqdorda farq qiladigan raqamlar ketma-ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar bir-biridan farq qiladigan miqdor progressiya farqi deb ataladi va ko'pincha $d$ harfi bilan belgilanadi.

Belgilash: $\left(((a)_(n)) \right)$ - progressiyaning o'zi, $d$ - uning farqi.

Va faqat bir nechta muhim eslatmalar. Birinchidan, faqat rivojlanish hisobga olinadi buyurdi raqamlar ketma-ketligi: ularni yozilish tartibida qat'iy o'qishga ruxsat beriladi - va boshqa hech narsa. Raqamlarni qayta tartibga solish yoki almashtirish mumkin emas.

Ikkinchidan, ketma-ketlikning o'zi chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq arifmetik progressiyadir. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; 4; ...) - bu allaqachon cheksiz progress. To'rttadan keyingi ellips, oldinda yana bir nechta raqamlar borligini ko'rsatadi. Masalan, cheksiz ko'p. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, progressiyaning ortishi yoki kamayishi mumkin. Biz allaqachon ortib borayotganlarni ko'rdik - bir xil to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Quyida progressiyaning pasayishiga misollar keltirilgan:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Yaxshi, yaxshi: oxirgi misol juda murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, tushunasiz. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya chaqirdi:

har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ortib boradi;

kamayishi, agar, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanuvchi raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).

Faqat bitta savol qoladi: ortib borayotgan progressiyani kamayib borayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, bu erda hamma narsa faqat $ d$ raqamining belgisiga bog'liq, ya'ni. Progressiv farqlar:

Agar $d \gt 0$ bo'lsa, progressiya oshadi;
Agar $d \lt 0$ bo'lsa, progressiya aniq pasaymoqda;
Va nihoyat, $d=0$ holati bor - bu holda butun progressiya bir xil sonlarning statsionar ketma-ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va hokazo.

Yuqorida keltirilgan uchta kamayuvchi progressiya uchun $d$ farqini hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun har qanday ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi raqamdan chapdagi raqamni ayirish kifoya. Bu shunday ko'rinadi:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ko'rib turganimizdek, har uch holatda ham farq aslida salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ko'proq yoki kamroq ta'riflarni aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlash vaqti keldi.

Progressiya shartlari va takrorlanish formulasi

Bizning ketma-ketliklarimizning elementlarini almashtirib bo'lmagani uchun ularni raqamlash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left$((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \o'ng$\]

Bu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deb ataladi. Ular raqam bilan ko'rsatiladi: birinchi a'zo, ikkinchi a'zo va boshqalar.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, progressiyaning qo'shni shartlari quyidagi formula bilan bog'langan:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\O'ng strelka ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Xulosa qilib aytganda, progressiyaning $n$-chi hadini topish uchun siz $n-1$-chi had va $d$ farqini bilishingiz kerak. Ushbu formula takroriy deb ataladi, chunki uning yordami bilan har qanday raqamni faqat oldingisini (va aslida barcha oldingilarini) bilish orqali topishingiz mumkin. Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisob-kitoblarni birinchi muddatga va farqga qisqartiradigan yanada ayyorroq formula mavjud:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\chap(n-1 \o'ng)d\]

Ehtimol, siz allaqachon ushbu formulaga duch kelgansiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalar va yechim kitoblarida berishni yaxshi ko'radilar. Va har qanday aqlli matematika darsligida u birinchilardan biridir.

Biroq, men sizga ozgina mashq qilishni maslahat beraman.

Vazifa № 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ bo'lsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Demak, biz $((a)_(1))=8$ birinchi hadini va $d=-5$ progressiyaning farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanib, $n=1$, $n=2$ va $n=3$ oʻrniga qoʻyaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\chap(2-1 \o'ng)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\chap(3-1 \o'ng)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end (tekislash)\]

Javob: (8; 3; −2)

Ana xolos! Iltimos, diqqat qiling: bizning taraqqiyotimiz pasaymoqda.

Albatta, $n=1$ o‘rnini bosa olmadi – birinchi atama bizga allaqachon ma’lum. Biroq, birlikni almashtirish orqali biz formulamiz birinchi muddatda ham ishlayotganiga amin bo'ldik. Boshqa hollarda, hamma narsa banal arifmetikaga tushdi.

Vazifa № 2. Arifmetik progressiyaning yettinchi hadi −40 ga, o‘n yettinchi hadi −50 ga teng bo‘lsa, uning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Keling, muammo shartini tanish so'zlar bilan yozamiz:

\[((a)_(7))=-40;\to'rtlik ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

Men tizim belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Endi shuni ta'kidlaymizki, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirsak (biz buni qilishga haqlimiz, chunki bizda tizim mavjud), biz buni olamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end (tekislash)\]

Progressiya farqini topish shunchalik oson! Faqat topilgan raqamni tizimning istalgan tenglamasiga almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:

\[\begin(matritsa) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end (matritsa)\]

Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end (tekislash)\]

Tayyor! Muammo hal qilindi.

Javob: (−34; −35; −36)

Progressiyaning biz kashf etgan qiziqarli xususiyatiga e'tibor bering: agar biz $n$th va $m$th shartlarini olib, ularni bir-biridan ayirish bilan, progressiyaning farqini $n-m$ soniga ko'paytiramiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \o'ng)\]

Oddiy, lekin juda foydali mulk, siz albatta bilishingiz kerak - uning yordami bilan siz ko'plab progressiv muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Mana bunga yaqqol misol:

Vazifa № 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi hadi 8,4 ga, o‘ninchi hadi esa 14,4 ga teng. Bu progressiyaning o‘n beshinchi hadini toping.

Yechim. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ boʻlgani uchun va biz $((a)_(15))$ topishimiz kerak boʻlgani uchun biz quyidagilarni qayd etamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end (tekislash)\]

Lekin $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, shuning uchun $5d=6$ sharti bo‘yicha bizda quyidagilar mavjud:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end (tekislash)\]

Javob: 20.4

Ana xolos! Bizga hech qanday tenglamalar tizimini yaratish va birinchi had va farqni hisoblashning hojati yo'q edi - hamma narsa bir-ikki qatorda hal qilindi.

Keling, muammoning yana bir turini ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy shartlarini qidirish. Hech kimga sir emaski, agar progressiya kuchaysa va uning birinchi muddati salbiy bo'lsa, unda ertami-kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayib borayotgan progressiyaning shartlari ertami-kechmi salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, elementlarni ketma-ket o'tish orqali ushbu momentni "boshqa" topish har doim ham mumkin emas. Ko'pincha masalalar shunday yoziladiki, formulalarni bilmasdan, hisob-kitoblar bir necha varaq qog'ozni oladi - javobni topib, biz shunchaki uxlab qolamiz. Shuning uchun keling, ushbu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilaylik.

Vazifa № 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy had bor -38,5; -35,8; ...?

Yechim. Shunday qilib, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, bu erdan darhol farqni topamiz:

E'tibor bering, farq ijobiy, shuning uchun progressiya oshadi. Birinchi atama manfiy, shuning uchun biz bir nuqtada ijobiy raqamlarga qoqilib qolamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.

Keling, atamalarning manfiyligi qancha vaqt (ya'ni, $n$ qaysi natural songacha) qolishini aniqlashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\O'ng strelka ((a)_(1))+\left(n-1 \o'ng)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \o'ng)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \o'ng. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \o'ng) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\O'ng strelka ((n)_(\max ))=15. \\ \end (tekislash)\]

Oxirgi satr ba'zi tushuntirishlarni talab qiladi. Shunday qilib, biz $n \lt 15\frac(7)(27)$ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, biz raqamning faqat butun qiymatlari bilan qanoatlanamiz (bundan tashqari: $n\in \mathbb(N)$), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aniq $n=15$ va hech qanday holatda 16 emas. .

Vazifa № 5. Arifmetik progressiyada $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu progressiyaning birinchi musbat hadining sonini toping.

Bu avvalgisi bilan bir xil muammo bo'ladi, lekin biz $((a)_(1))$ ni bilmaymiz. Ammo qo'shni shartlar ma'lum: $((a)_(5))$ va $((a)_(6))$, shuning uchun biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, standart formuladan foydalanib, beshinchi atamani birinchi va farq orqali ifodalashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end (tekislash)\]

Endi biz oldingi vazifaga o'xshash tarzda davom etamiz. Keling, ketma-ketlikning qaysi nuqtasida ijobiy raqamlar paydo bo'lishini bilib olaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\O'ng strelka ((n)_(\min ))=56. \\ \end (tekislash)\]

Bu tengsizlikning minimal butun yechimi 56 raqamidir.

Iltimos, diqqat qiling: in oxirgi vazifa hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushdi, shuning uchun $n=55$ varianti bizga mos kelmaydi.

Oddiy masalalarni yechishni o‘rganganimizdan so‘ng, endi murakkabroq masalalarga o‘tamiz. Ammo birinchi navbatda, arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini o'rganamiz, bu bizga kelajakda ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydi. :)

O'rtacha arifmetik va teng chekinishlar

$\left(((a)_(n)) \right)$ ortib boruvchi arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlarini ko'rib chiqamiz. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:

Sonlar qatoridagi arifmetik progressiyaning shartlari

Men alohida $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyoriy shartlarni belgiladim, lekin $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ va boshqalar. Chunki men hozir aytib beradigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.

Va qoida juda oddiy. Keling, takrorlanuvchi formulani eslaylik va uni barcha belgilangan shartlar uchun yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end (tekislash)\]

Biroq, bu tengliklarni boshqacha tarzda qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & (a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, nima? Va $((a)_(n-1))$ va $((a)_(n+1))$ atamalari $((a)_(n)) $ dan bir xil masofada joylashganligi. . Va bu masofa $d$ ga teng. $((a)_(n-2))$ va $((a)_(n+2))$ atamalari haqida ham shunday deyish mumkin - ular $((a)_(n) dan ham olib tashlangan. )$ bir xil masofada $2d$ ga teng. Biz infinitumni davom ettirishimiz mumkin, ammo ma'no rasmda yaxshi ko'rsatilgan

Progressiya shartlari markazdan bir xil masofada joylashgan

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, $((a)_(n))$ topish mumkin:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Biz ajoyib bayonot oldik: arifmetik progressiyaning har bir hadi qo'shni hadlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng! Bundan tashqari: biz $((a)_(n))$ dan chapga va o'ngga bir qadam emas, balki $k$ qadamlar bilan orqaga qaytishimiz mumkin - va formula hali ham to'g'ri bo'ladi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bular. $((a)_(150))$ va $((a)_(100))$ va $((a)_(200))$ bilsak, biz osonlik bilan $((a)_(150))$ topishimiz mumkin, chunki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotgandek tuyulishi mumkin. Biroq, amalda ko'plab masalalar o'rtacha arifmetikdan foydalanish uchun maxsus moslashtirilgan. Qarab qo'ymoq:

Vazifa № 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ va $14+4((x)^(2))$ raqamlari ketma-ket shartlar boʻlgan $x$ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiya (ko'rsatilgan tartibda).

Yechim. Bu raqamlar progressiyaning a'zolari bo'lgani uchun ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: markaziy element $x+1$ qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end (tekislash)\]

Bu klassik bo'lib chiqdi kvadrat tenglama. Uning ildizlari: $x=2$ va $x=-3$ javoblardir.

Javob: −3; 2.

Vazifa № 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ raqamlari arifmetik progressiya hosil qiladigan $$ qiymatlarini toping (shu tartibda).

Yechim. Oʻrta atamani qoʻshni atamalarning oʻrtacha arifmetik qiymati orqali yana ifodalaymiz:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \o'ng.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end (tekislash)\]

Yana kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz bor: $x=6$ va $x=1$.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida siz qandaydir shafqatsiz raqamlarga duch kelsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, unda tekshirishga imkon beradigan ajoyib texnika mavjud: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?

Aytaylik, 6-masalada biz −3 va 2 javoblarni oldik. Bu javoblarning to‘g‘riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni asl holatga ulab, nima bo'lishini ko'raylik. Eslatib o‘tamiz, bizda uchta raqam ($-6(()^(2))$, $+1$ va $14+4(()^(2))$ bor, ular arifmetik progressiya hosil qilishi kerak. $x=-3$ ni almashtiramiz:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(tuzalash)\]

Biz −54 raqamlarini oldik; −2; 52 ga farq qiladigan 50, shubhasiz, arifmetik progressiyadir. Xuddi shu narsa $x=2$ uchun sodir bo'ladi:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(tuzalash)\]

Yana progressiya, lekin farq 27. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilindi. Xohlaganlar ikkinchi muammoni mustaqil ravishda tekshirishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.

Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz boshqasiga duch keldik qiziq fakt, buni ham eslash kerak:

Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgining o'rtacha arifmetik qiymati bo'lsa, u holda bu raqamlar arifmetik progressiyani hosil qiladi.

Kelajakda ushbu bayonotni tushunish bizga muammoning shartlariga asoslanib, kerakli progressiyani tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" bilan shug'ullanishdan oldin, biz allaqachon muhokama qilingan narsadan kelib chiqadigan yana bir haqiqatga e'tibor qaratishimiz kerak.

Elementlarni guruhlash va jamlash

Keling, yana raqamlar o'qiga qaytaylik. Keling, progressiyaning bir nechta a'zolarini ta'kidlaymiz, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolarga arziydi:

Raqamlar qatorida 6 ta element belgilangan

Keling, “chap dum”ni $((a)_(n))$ va $d$, “o‘ng dum”ni esa $(a)_(k))$ va $d$ orqali ifodalashga harakat qilaylik. Bu juda oddiy:

\[\begin(align) & (a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end (tekislash)\]

Endi e'tibor bering, quyidagi miqdorlar tengdir:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(tuzalash)\]

Oddiy qilib aytganda, agar biz jami $S$ soniga teng bo'lgan progressiyaning ikkita elementini boshlang'ich deb hisoblasak va keyin bu elementlardan qarama-qarshi yo'nalishda (bir-biriga qarab yoki aksincha) qadam tashlay boshlasak, keyin biz qoqiladigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$S$. Buni grafik jihatdan eng aniq ifodalash mumkin:

Teng chekinishlar teng miqdorni beradi

Ushbu haqiqatni tushunish bizga muammolarni tubdan hal qilish imkonini beradi yuqori daraja yuqorida ko'rib chiqqanimizdan ko'ra qiyinchiliklar. Masalan, bular:

Vazifa № 8. Birinchi hadi 66, ikkinchi va o‘n ikkinchi hadlarning ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lgan eng kichik bo‘lgan arifmetik progressiyaning ayirmasini aniqlang.

Yechim. Keling, biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(tuzalash)\]

Demak, biz $d$ progressiya farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farq atrofida quriladi, chunki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \o'ng)\cdot \left(66+11d \o'ng)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng). \end(tuzalash)\]

Tankdagilar uchun: men ikkinchi qavsdan 11 ning umumiy ko'paytiruvchisini oldim. Shunday qilib, kerakli mahsulot $d$ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasini ko'rib chiqamiz - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, chunki qavslarni kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \o'ng)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ko'rib turganingizdek, eng yuqori atama koeffitsienti 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz haqiqatan ham shoxlari yuqori bo'lgan parabola bilan ishlaymiz:

jadval kvadratik funktsiya- parabola
Iltimos, diqqat qiling: bu parabola o'zining minimal qiymatini $((d)_(0))$ abscissa bilan cho'qqisida oladi. Albatta, biz ushbu abscissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formulasi mavjud), ammo shuni ta'kidlash maqsadga muvofiqroq bo'ladi. kerakli cho'qqi parabolaning o'qi simmetriyasida yotadi, shuning uchun $((d)_(0))$ nuqta $f\left(d \right)=0$ tenglamaning ildizlaridan teng masofada joylashgan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\to'rtlik ((d)_(2))=-6. \\ \end (tekislash)\]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklida ildizlarni topish juda oson edi. Demak, abscissa −66 va −6 sonlarning oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Topilgan raqam bizga nima beradi? U bilan kerakli mahsulot eng kichik qiymatni oladi (Aytgancha, biz hech qachon $((y)_(\min ))$ hisoblamaganmiz - bu bizdan talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam asl progressiyaning farqidir, ya'ni. biz javob topdik. :)

Javob: −36

Vazifa № 9. $-\frac(1)(2)$ va $-\frac(1)(6)$ raqamlari orasiga uchta raqam qo'yingki, ular bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi.

Yechim. Aslida, biz birinchi va oxirgi raqam allaqachon ma'lum bo'lgan beshta raqamdan iborat ketma-ketlikni yaratishimiz kerak. Keling, etishmayotgan raqamlarni $x$, $y$ va $z$ oʻzgaruvchilari bilan belgilaymiz:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \o'ng\ )\]

E'tibor bering, $y$ raqami bizning ketma-ketligimizning "o'rtasi" - u $x$ va $z$ raqamlaridan va $-\frac(1)(2)$ va $-\frac raqamlaridan bir xil masofada joylashgan. (1)(6)$. Agar biz hozirda $x$ va $z$ raqamlaridan $y$ ni ololmasak, progressiyaning oxirlarida vaziyat boshqacha. Keling, o'rtacha arifmetikni eslaylik:

Endi $y$-ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $x$ $-\frac(1)(2)$ raqamlari va biz topgan $y=-\frac(1)(3)$ raqamlari orasida joylashgan. Shunung uchun

Shunga o'xshash asoslardan foydalanib, biz qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni javobda asl raqamlar orasiga kiritish kerak bo'lgan tartibda yozamiz.

Javob: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Vazifa № 10. 2 va 42 raqamlari orasiga bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiyani tashkil etuvchi bir nechta raqamlarni qo'ying, agar kiritilgan raqamlarning birinchi, ikkinchi va oxirgisi yig'indisi 56 ekanligini bilsangiz.

Yechim. Bundan ham murakkab masala, ammo u avvalgilari bilan bir xil sxema bo'yicha - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqamni kiritish kerakligini aniq bilmaymiz. Demak, aniqlik uchun faraz qilaylik, hamma narsani kiritgandan so'ng aynan $n$ raqamlari bo'ladi va ularning birinchisi 2, oxirgisi esa 42. Bu holda zarur arifmetik progressiyani quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \o'ng$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Shunga qaramay, $((a)_(2))$ va $((a)_(n-1))$ raqamlari chekkadagi 2 va 42 raqamlaridan bir-biriga qarab bir qadam bilan olinganligini unutmang, ya'ni. ketma-ketlikning markaziga. Va bu shuni anglatadiki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ammo keyin yuqorida yozilgan iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end (tekislash)\]

$((a)_(3))$ va $((a)_(1))$ ni bilib, biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\chap(3-1 \o'ng)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Oʻng strelka d=5. \\ \end (tekislash)\]

Qolgan shartlarni topishgina qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end (tekislash)\]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap tomoniga - 42 raqamiga etib kelamiz. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Progressiya bilan bog'liq so'z muammolari

Xulosa qilib aytganda, men nisbatan bir nechtasini ko'rib chiqmoqchiman oddiy vazifalar. Bu juda oddiy: maktabda matematikani o'qigan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik talabalar uchun bu muammolar qiyin bo'lib tuyulishi mumkin. Shunga qaramay, bu OGE va matematikadan Yagona davlat imtihonida paydo bo'ladigan muammolar turlari, shuning uchun men ular bilan tanishib chiqishingizni maslahat beraman.

Vazifa № 11. Jamoa yanvar oyida 62 dona detal ishlab chiqargan bo‘lsa, har bir keyingi oyda oldingi oyga nisbatan 14 dona ko‘p detal ishlab chiqardi. Noyabr oyida jamoa necha qism ishlab chiqardi?

Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha sanab o'tilgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiyani ifodalaydi. Bundan tashqari:

\[\begin(align) & (a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr - yilning 11 oyi, shuning uchun biz $((a)_(11))$ topishimiz kerak:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Shuning uchun noyabr oyida 202 ta detal ishlab chiqariladi.

Vazifa № 12. Kitob jilovlash ustaxonasi yanvar oyida 216 ta kitobni jamlagan bo‘lsa, keyingi har oyda oldingi oyga nisbatan 4 taga ko‘p kitob muqovalandi. Dekabr oyida ustaxonada nechta kitob bog'landi?

Yechim. Hammasi bir xil:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr - yilning oxirgi, 12- oyi, shuning uchun biz $((a)_(12))$ qidiramiz:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob bog'lanadi.

Xo'sh, agar siz shu paytgacha o'qigan bo'lsangiz, sizni tabriklashga shoshildim: siz arifmetik progressiyadagi "yosh jangchilar kursini" muvaffaqiyatli yakunladingiz. Siz keyingi darsga ishonch bilan o'tishingiz mumkin, bu erda biz progressiya yig'indisi formulasini, shuningdek, undan muhim va juda foydali natijalarni o'rganamiz.

Algebrani o'rganayotganda o'rta maktab(9-sinf) muhim mavzulardan biri - geometrik va arifmetik progressiyalarni o'z ichiga olgan sonlar ketma-ketligini o'rganish. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya va yechimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz.

Arifmetik progressiya nima?

Buni tushunish uchun ko'rib chiqilayotgan progressiyani aniqlash, shuningdek, keyinchalik muammolarni hal qilishda qo'llaniladigan asosiy formulalarni taqdim etish kerak.

Arifmetik yoki algebraik progressiya tartiblangan ratsional sonlar to‘plami bo‘lib, ularning har bir a’zosi oldingisidan qandaydir doimiy qiymat bilan farqlanadi. Bu qiymat farq deb ataladi. Ya'ni, tartiblangan raqamlar qatorining istalgan a'zosini va farqni bilib, butun arifmetik progressiyani tiklashingiz mumkin.

Keling, misol keltiraylik. Quyidagi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya bo'ladi: 4, 8, 12, 16, ..., chunki bu holda farq 4 ga teng (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ammo 3, 5, 8, 12, 17 raqamlar to'plamini endi ko'rib chiqilayotgan progressiya turiga bog'lash mumkin emas, chunki u uchun farq doimiy qiymat emas (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠). 17 - 12).

Muhim formulalar

Keling, arifmetik progressiya yordamida masalalarni yechish uchun zarur bo'lgan asosiy formulalarni keltiramiz. a n belgisi bilan belgilaymiz n-chi muddat n butun son bo'lgan ketma-ketliklar. Biz farqni lotin harfi d bilan belgilaymiz. Keyin quyidagi iboralar to'g'ri keladi:

n-chi hadning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formula mos keladi: a n = (n-1)*d+a 1 .
Birinchi n ta hadning yig'indisini aniqlash uchun: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-sinfda yechimlari bilan arifmetik progressiyaning har qanday misollarini tushunish uchun ushbu ikkita formulani eslab qolish kifoya, chunki ko'rib chiqilayotgan turdagi har qanday muammolar ulardan foydalanishga asoslangan. Shuni ham yodda tutish kerakki, progressiya farqi quyidagi formula bilan aniqlanadi: d = a n - a n-1.

1-misol: noma'lum a'zoni topish

Arifmetik progressiyaga oddiy misol va uni yechish uchun ishlatilishi kerak bo‘lgan formulalarni keltiramiz.

10, 8, 6, 4, ... ketma-ketligi berilsin, unda beshta atama topish kerak.

Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, dastlabki 4 ta atama ma'lum. Beshinchisini ikki yo'l bilan aniqlash mumkin:

Avval farqni hisoblaylik. Bizda bor: d = 8 - 10 = -2. Xuddi shunday, siz boshqa ikkita a'zoni yonma-yon turgan holda olishingiz mumkin. Masalan, d = 4 - 6 = -2. Ma'lumki, d = a n - a n-1, u holda d = a 5 - a 4, shundan biz: a 5 = a 4 + d ni olamiz. Biz ma'lum qiymatlarni almashtiramiz: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Ikkinchi usul, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan progressiyaning farqini bilishni talab qiladi, shuning uchun avval uni yuqorida ko'rsatilgandek aniqlashingiz kerak (d = -2). Birinchi had a 1 = 10 ekanligini bilib, biz ketma-ketlikning n raqami uchun formuladan foydalanamiz. Bizda: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Oxirgi ifodada n = 5 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ko'rib turganingizdek, ikkala yechim ham bir xil natijaga olib keldi. E'tibor bering, bu misolda progressiya farqi d manfiy qiymatdir. Bunday ketma-ketliklar kamayuvchi deb ataladi, chunki har bir keyingi atama oldingisidan kamroq.

2-misol: progressiya farqi

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz, qanday qilib misol keltiramiz

Ma'lumki, ba'zilarida 1-chi had 6 ga, 7-chi had esa 18 ga teng bo'ladi. Ayirmani topib, bu ketma-ketlikni 7-songa qaytarish kerak.

Noma'lum atamani aniqlash uchun formuladan foydalanamiz: a n = (n - 1) * d + a 1 . Unga shartdagi ma'lum ma'lumotlarni, ya'ni a 1 va a 7 raqamlarini almashtiramiz, bizda: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifodadan osongina farqni hisoblashingiz mumkin: d = (18 - 6) /6 = 2. Shunday qilib, biz masalaning birinchi qismiga javob berdik.

Ketma-ketlikni 7-songacha tiklash uchun algebraik progressiyaning ta'rifidan foydalanish kerak, ya'ni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d va hokazo. Natijada, biz butun ketma-ketlikni tiklaymiz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3-misol: progressiyani tuzish

Keling, muammoni yanada murakkablashtiraylik. Endi arifmetik progressiyani qanday topish mumkin degan savolga javob berishimiz kerak. Quyidagi misolni keltirish mumkin: ikkita raqam berilgan, masalan - 4 va 5. Bular orasiga yana uchta had qo'yish uchun algebraik progressiyani yaratish kerak.

Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, berilgan raqamlar kelajakdagi rivojlanishda qaysi o'rinni egallashini tushunishingiz kerak. Ular orasida yana uchta atama bo'ladi, keyin 1 = -4 va 5 = 5. Buni aniqlab, biz avvalgisiga o'xshash masalaga o'tamiz. Shunga qaramay, n-son uchun biz formuladan foydalanamiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Kimdan: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Bu erda biz olgan narsa farqning butun qiymati emas, balki ratsional sondir, shuning uchun algebraik progressiya uchun formulalar bir xil bo'lib qoladi.

Endi topilgan farqni 1 ga qo'shamiz va progressiyaning etishmayotgan shartlarini tiklaymiz. Biz olamiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mos kelgan muammoning shartlari bilan.

4-misol: progressiyaning birinchi muddati

Arifmetik progressiyaning yechimlari bilan misollar keltirishni davom ettiramiz. Oldingi barcha masalalarda algebraik progressiyaning birinchi soni ma'lum edi. Endi boshqa turdagi masalani ko'rib chiqamiz: ikkita raqam berilsin, bu erda a 15 = 50 va 43 = 37. Bu ketma-ketlik qaysi raqamdan boshlanishini topish kerak.

Hozirgacha foydalanilgan formulalar 1 va d ni bilishni nazarda tutadi. Muammo bayonotida bu raqamlar haqida hech narsa ma'lum emas. Shunga qaramay, biz ma'lumot mavjud bo'lgan har bir atama uchun iboralarni yozamiz: a 15 = a 1 + 14 * d va 43 = a 1 + 42 * d. Biz ikkita noma'lum miqdor (a 1 va d) mavjud bo'lgan ikkita tenglama oldik. Demak, masala chiziqli tenglamalar sistemasini echishga keltiriladi.

Ushbu tizimni yechishning eng oson yo'li har bir tenglamada 1 ni ifodalash va natijada olingan ifodalarni solishtirishdir. Birinchi tenglama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikkinchi tenglama: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ushbu ifodalarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, farq d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (faqat 3 kasr berilgan).

d ni bilgan holda, 1 uchun yuqoridagi 2 ta ifodadan istalgan birini ishlatishingiz mumkin. Misol uchun, birinchi: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Olingan natijaga shubhangiz bo'lsa, uni tekshirishingiz mumkin, masalan, shartda ko'rsatilgan progressiyaning 43-hajmini aniqlang. Biz olamiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kichik xatolik hisob-kitoblarda mingdan birgacha yaxlitlash ishlatilganligi bilan bog'liq.

5-misol: miqdor

Endi arifmetik progressiya yig‘indisining yechimlari bilan bir nechta misollarni ko‘rib chiqamiz.

Quyidagi ko'rinishdagi sonli progressiya berilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Ushbu raqamlarning 100 tasining yig'indisini qanday hisoblash mumkin?

Kompyuter texnologiyalarining rivojlanishi tufayli bu muammoni hal qilish mumkin, ya'ni barcha raqamlarni ketma-ket qo'shish mumkin, bu kompyuter odam Enter tugmachasini bosgan zahoti bajaradi. Biroq, agar siz taqdim etilgan raqamlar qatori algebraik progressiya ekanligiga e'tibor qaratsangiz va uning farqi 1 ga teng bo'lsa, muammoni aqliy ravishda hal qilish mumkin. a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Qizig'i shundaki, bu muammo "Gauss" deb nomlanadi, chunki 18-asrning boshlarida mashhur nemis, hali 10 yoshda, uni bir necha soniya ichida hal qila oldi. Bola algebraik progressiya yig‘indisi formulasini bilmasdi, lekin u payqadi: agar ketma-ketlik oxiridagi raqamlarni juft-juft qilib qo‘shsangiz, har doim bir xil natijaga erishasiz, ya’ni 1+100=2+99. = 3 + 98 = ... va bu summalar aniq 50 (100 / 2) bo'lganligi sababli, to'g'ri javobni olish uchun 50 ni 101 ga ko'paytirish kifoya.

6-misol: n dan m gacha bo'lgan hadlar yig'indisi

Arifmetik progressiya yig'indisining yana bir tipik misoli quyidagicha: bir qator raqamlar berilgan: 3, 7, 11, 15, ..., siz uning 8 dan 14 gacha bo'lgan hadlari yig'indisi nimaga teng bo'lishini topishingiz kerak. .

Muammo ikki yo'l bilan hal qilinadi. Ulardan birinchisi 8 dan 14 gacha bo'lgan noma'lum atamalarni topib, keyin ularni ketma-ket yig'ishni o'z ichiga oladi. Bir nechta atamalar mavjud bo'lganligi sababli, bu usul unchalik mehnat talab qilmaydi. Shunga qaramay, bu muammoni universalroq bo'lgan ikkinchi usul yordamida hal qilish taklif etiladi.

Maqsad m va n hadlar orasidagi algebraik progressiya yig’indisining formulasini olishdir, bunda n > m butun sonlardir. Ikkala holatda ham yig'indi uchun ikkita ifoda yozamiz:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m bo'lgani uchun 2-summa birinchisini o'z ichiga olishi aniq. Oxirgi xulosa shuni bildiradiki, agar bu yig’indilar orasidagi ayirmani olib, unga a m atamasini qo’shsak (farq olingan taqdirda u S n yig’indisidan ayiriladi), masalaga kerakli javobni olamiz. Bizda: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifodada a n va a m formulalarini almashtirish kerak. Keyin biz olamiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Olingan formula biroz og'ir, ammo S mn yig'indisi faqat n, m, a 1 va d ga bog'liq. Bizning holatda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu raqamlarni almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz: S mn = 301.

Yuqoridagi yechimlardan ko’rinib turibdiki, barcha masalalar n-sonli ifoda va birinchi hadlar to’plami yig’indisi formulasini bilishga asoslangan. Ushbu muammolardan birini hal qilishni boshlashdan oldin, shartni diqqat bilan o'qib chiqishingiz, nimani topishingiz kerakligini aniq tushunishingiz va shundan keyingina hal qilishni davom ettirishingiz tavsiya etiladi.

Yana bir maslahat - soddalikka intiling, ya'ni agar siz murakkab matematik hisob-kitoblardan foydalanmasdan savolga javob bera olsangiz, unda siz buni qilishingiz kerak, chunki bu holda xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi. Masalan, 6-sonli yechim bilan arifmetik progressiya misolida S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formulasida to'xtash mumkin va umumiy muammoni alohida kichik vazifalarga ajrating (V Ushbu holatda avval a n va a m atamalarini toping).

Olingan natijaga shubhangiz bo'lsa, berilgan misollarning ba'zilarida bo'lgani kabi, uni tekshirish tavsiya etiladi. Biz arifmetik progressiyani qanday topishni bilib oldik. Agar siz buni tushunsangiz, bu unchalik qiyin emas.

Formulaning asosiy mohiyati nimadan iborat?

Ushbu formula sizga topishga imkon beradi har qanday RAQAMI BO'YICHA" n" .

Albatta, siz birinchi atamani ham bilishingiz kerak a 1 va rivojlanish farqi d, yaxshi, bu parametrlarsiz siz ma'lum bir progressiyani yozib bo'lmaydi.

Ushbu formulani yodlash (yoki beshikda saqlash) etarli emas. Siz uning mohiyatini tushunishingiz va formulani turli masalalarda qo'llashingiz kerak. Va shuningdek, to'g'ri vaqtda unutmaslik uchun, ha ...) Qanday qilib unutmang- bilmayman. Va bu erda qanday eslash kerak Agar kerak bo'lsa, men sizga albatta maslahat beraman. Darsni oxirigacha yakunlaganlar uchun.)

Shunday qilib, arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini ko‘rib chiqamiz.

Umuman formula nima? Aytgancha, agar o'qimagan bo'lsangiz, ko'rib chiqing. U erda hamma narsa oddiy. Bu nima ekanligini aniqlash uchun qoladi n-chi davr.

Umuman olganda progressni raqamlar qatori sifatida yozish mumkin:

a 1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- arifmetik progressiyaning birinchi hadini bildiradi; a 3- uchinchi a'zo, a 4- to'rtinchisi va boshqalar. Agar bizni beshinchi muddat qiziqtirsa, deylik, biz bilan ishlaymiz a 5, agar bir yuz yigirmanchi - s a 120.

Uni umumiy ma'noda qanday aniqlash mumkin? har qanday arifmetik progressiyaning hadi, bilan har qanday raqam? Juda oddiy! Mana bunday:

a n

Bu shunday arifmetik progressiyaning n-chi hadi. N harfi bir vaqtning o'zida barcha a'zo raqamlarini yashiradi: 1, 2, 3, 4 va hokazo.

Va bunday rekord bizga nima beradi? O'ylab ko'ring, ular raqam o'rniga xat yozishdi ...

Bu belgi bizga arifmetik progressiya bilan ishlash uchun kuchli vosita beradi. Belgilanishdan foydalanish a n, biz tezda topamiz har qanday a'zosi har qanday arifmetik progressiya. Va boshqa bir qator progressiv muammolarni hal qiling. Keyinchalik o'zingiz ko'rasiz.

Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasida:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- arifmetik progressiyaning birinchi hadi;

n- a'zo raqami.

Formula har qanday progressiyaning asosiy parametrlarini bog'laydi: a n; a 1; d Va n. Barcha progressiv muammolar ushbu parametrlar atrofida aylanadi.

n-sonli formuladan muayyan progressiyani yozish uchun ham foydalanish mumkin. Masalan, muammo progressiyaning shart bilan ko'rsatilganligini aytishi mumkin:

a n = 5 + (n-1) 2.

Bunday muammo boshi berk ko'cha bo'lishi mumkin... Bunda qator ham, farq ham yo'q... Lekin, shartni formula bilan solishtirsak, bu progressiyada ekanligini tushunish oson. a 1 =5 va d=2.

Va bundan ham battar bo'lishi mumkin!) Xuddi shu shartni olsak: a n = 5 + (n-1) 2, Ha, qavslarni oching va shunga o'xshashlarni keltiring? Biz yangi formulani olamiz:

a n = 3 + 2n.

Bu Faqat umumiy emas, balki ma'lum bir rivojlanish uchun. Bu yerda tuzoq yashiringan. Ba'zi odamlar birinchi atama uchta deb o'ylashadi. Garchi haqiqatda birinchi muddat beshta bo'lsa-da ... Bir oz pastroqda biz bunday o'zgartirilgan formula bilan ishlaymiz.

Progressiya muammolarida yana bir belgi bor - a n+1. Bu, siz taxmin qilganingizdek, progressiyaning "n plus birinchi" atamasi. Uning ma'nosi sodda va zararsizdir.) Bu soni n sonidan bittaga katta bo'lgan progressiyaning a'zosi. Misol uchun, agar biron bir muammoni hal qilsak a n keyin beshinchi muddat a n+1 oltinchi a'zo bo'ladi. Va hokazo.

Ko'pincha belgilash a n+1 takrorlanish formulalarida topilgan. Bu qo'rqinchli so'zdan qo'rqmang!) Bu shunchaki arifmetik progressiya a'zosini ifodalash usuli. oldingi orqali. Aytaylik, bizga takrorlanuvchi formuladan foydalanib, bu shaklda arifmetik progressiya berilgan:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

To'rtinchi - uchinchi orqali, beshinchi - to'rtinchi orqali va hokazo. Aytaylik, yigirmanchi muddatni darhol qanday hisoblashimiz mumkin? a 20? Ammo hech qanday yo'l yo'q!) 19-sonni aniqlamagunimizcha, biz 20-sonni hisoblay olmaymiz. Bu takrorlanuvchi formula va n-sonli formula o'rtasidagi asosiy farqdir. Takroriy faqat orqali ishlaydi oldingi had va n-sonning formulasi orqali birinchi va imkon beradi to'g'ridan-to'g'ri uning raqami bo'yicha istalgan a'zoni toping. Raqamlarning butun seriyasini tartibda hisoblamasdan.

Arifmetik progressiyada takrorlanuvchi formulani oddiy formulaga aylantirish oson. Ketma-ket keluvchi shartlarni sanang, farqni hisoblang d, agar kerak bo'lsa, birinchi atamani toping a 1, formulani odatdagi shaklda yozing va u bilan ishlang. Bunday vazifalar Davlat Fanlar Akademiyasida tez-tez uchrab turadi.

Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini qo‘llash.

Birinchidan, formulaning bevosita qo'llanilishini ko'rib chiqaylik. Oldingi dars oxirida muammo bor edi:

Arifmetik progressiya (a n) berilgan. a 1 =3 va d=1/6 bo'lsa, 121 ni toping.

Bu muammoni hech qanday formulalarsiz, oddiygina arifmetik progressiyaning ma'nosiga asoslanib hal qilish mumkin. Qo'shing va qo'shing ... Bir yoki ikki soat.)

Va formulaga ko'ra, eritma bir daqiqadan kamroq vaqtni oladi. Vaqtingiz mumkin.) Keling, qaror qilaylik.

Shartlar formuladan foydalanish uchun barcha ma'lumotlarni taqdim etadi: a 1 =3, d=1/6. Nima teng ekanligini aniqlash uchun qoladi n. Hammasi joyida! Biz topishimiz kerak a 121. Shunday qilib, biz yozamiz:

Iltimos, diqqat qiling! Indeks o'rniga n aniq raqam paydo bo'ldi: 121. Bu juda mantiqiy.) Bizni arifmetik progressiyaning a'zosi qiziqtiradi. soni bir yuz yigirma bir. Bu bizniki bo'ladi n. Bu ma'no n= 121 ni qavs ichida formulaga almashtiramiz. Biz barcha raqamlarni formulaga almashtiramiz va hisoblaymiz:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Bo'ldi shu. Xuddi shunday tez besh yuz o'ninchi hadni, ming va uchinchini esa istalgan birini topish mumkin edi. Biz o'rniga qo'yamiz n harf indeksidagi kerakli raqam " a" va qavs ichida va biz hisoblaymiz.

Sizga bir narsani eslatib o'taman: bu formula sizga topishga imkon beradi har qanday arifmetik progressiya atamasi RAQAMI BO'YICHA" n" .

Keling, muammoni yanada ayyorroq tarzda hal qilaylik. Keling, quyidagi muammoga duch kelamiz:

Arifmetik progressiyaning (a n) birinchi hadini toping, agar a 17 =-2; d=-0,5.

Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, men sizga birinchi qadamni aytaman. Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini yozing! Ha ha. Qo'llaringiz bilan to'g'ridan-to'g'ri daftaringizga yozing:

a n = a 1 + (n-1)d

Va endi, formulaning harflariga qarab, bizda qanday ma'lumotlar borligini va nima etishmayotganini tushunamiz? Mavjud d=-0,5, o'n yettinchi a'zo bor... Shunaqami? Agar shunday deb o'ylasangiz, muammoni hal qilmaysiz, ha...

Bizda hali raqam bor n! Holatda a 17 = -2 yashirin ikkita parametr. Bu ham o'n ettinchi hadning qiymati (-2) va uning soni (17). Bular. n=17. Bu "arzimas narsa" ko'pincha boshdan o'tib ketadi va usiz (bosh emas, "arzimas narsa"siz!) muammoni hal qilib bo'lmaydi. Garchi... va boshsiz ham.)

Endi biz ahmoqona ma'lumotlarimizni formulaga almashtirishimiz mumkin:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh Ha, a 17-2 ekanligini bilamiz. Mayli, almashtiramiz:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Hammasi shu. Formuladan arifmetik progressiyaning birinchi hadini ifodalash va uni hisoblash qoladi. Javob quyidagicha bo'ladi: a 1 = 6.

Bu usul - formulani yozish va oddiygina ma'lum ma'lumotlarni almashtirish - oddiy vazifalarni bajarishda katta yordam beradi. Albatta, siz formuladan o'zgaruvchini ifodalay olishingiz kerak, lekin nima qilish kerak!? Bu mahoratsiz matematikani umuman o‘rganib bo‘lmaydi...

Yana bir mashhur jumboq:

Arifmetik progressiyaning (a n) ayirmasini toping, agar a 1 =2; a 15 = 12.

Biz nima qilyapmiz? Siz hayron qolasiz, biz formulani yozyapmiz!)

a n = a 1 + (n-1)d

Keling, bilganimizni ko'rib chiqaylik: a 1 =2; a 15 =12; va (Men ayniqsa ta'kidlayman!) n=15. Buni formulaga almashtiring:

12=2 + (15-1)d

Biz arifmetika qilamiz.)

12=2 + 14k

d=10/14 = 5/7

Bu to'g'ri javob.

Shunday qilib, vazifalar a n, a 1 Va d qaror qildi. Qolgan narsa raqamni qanday topishni o'rganishdir:

99 soni arifmetik progressiyaning a'zosi (a n), bu erda a 1 =12; d=3. Ushbu a'zoning raqamini toping.

Bizga ma'lum bo'lgan miqdorlarni n-sonli formulaga almashtiramiz:

a n = 12 + (n-1) 3

Bir qarashda, bu erda ikkita noma'lum miqdor mavjud: a n va n. Lekin a n- bu raqam bilan progressiyaning ba'zi a'zosi n...Va biz bu taraqqiyot a'zosini bilamiz! Bu 99. Biz uning raqamini bilmaymiz. n, Shunday qilib, bu raqamni topishingiz kerak bo'lgan narsadir. 99 progressiyaning hadini formulaga almashtiramiz:

99 = 12 + (n-1) 3

Formuladan ifodalaymiz n, deb o'ylaymiz. Javobni olamiz: n=30.

Va endi bir xil mavzudagi muammo, lekin yanada ijodiy):

117 soni arifmetik progressiyaning (a n) a’zosi ekanligini aniqlang:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Keling, formulani yana yozamiz. Nima, parametrlar yo'qmi? Hm... Nima uchun bizga ko'zlar berilgan?) Progressiyaning birinchi hadini ko'ramizmi? Ko'ramiz. Bu -3,6. Siz xavfsiz yozishingiz mumkin: a 1 = -3,6. Farq d Serialdan ayta olasizmi? Agar arifmetik progressiyaning farqi nima ekanligini bilsangiz, bu oson:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Shunday qilib, biz eng oddiy narsani qildik. Noma'lum raqam bilan shug'ullanish qoladi n va tushunarsiz raqam 117. Oldingi masalada hech bo'lmaganda progressiyaning termini berilganligi ma'lum edi. Lekin bu erda biz ham bilmaymiz ... Nima qilish kerak!? Xo'sh, nima qilish kerak, nima qilish kerak ... Yoqing Ijodiy qobiliyatlar!)

Biz deylik bu 117 bizning taraqqiyotimiz a'zosi. Noma'lum raqam bilan n. Va, xuddi oldingi muammoda bo'lgani kabi, keling, ushbu raqamni topishga harakat qilaylik. Bular. formulani yozamiz (ha, ha!)) va raqamlarimizni almashtiramiz:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yana formuladan ifodalaymizn, biz hisoblaymiz va olamiz:

Voy! Raqam chiqdi kasrli! Bir yuz bir yarim. Va progressiyadagi kasr sonlar bo'lishi mumkin emas. Qanday xulosa chiqarishimiz mumkin? Ha! 117 raqami emas bizning taraqqiyotimiz a'zosi. Bu yuzdan birinchi va yuz ikkinchi shartlar orasida. Agar raqam tabiiy bo'lib chiqsa, ya'ni. musbat butun son bo'lsa, u holda son topilgan son bilan progressiyaning a'zosi bo'ladi. Va bizning holatlarimizda muammoga javob quyidagicha bo'ladi: Yo'q.

GIA ning haqiqiy versiyasiga asoslangan vazifa:

Arifmetik progressiya quyidagi shart bilan beriladi:

a n = -4 + 6,8n

Progressiyaning birinchi va o‘ninchi hadlarini toping.

Bu erda progressiya g'ayrioddiy tarzda o'rnatiladi. Qandaydir formula... Shunday bo'ladi.) Biroq, bu formula (yuqorida yozganimdek) - arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi ham! U ham ruxsat beradi progressiyaning istalgan a'zosini soni bo'yicha toping.

Biz birinchi a'zoni qidirmoqdamiz. O'ylaydigan kishi. birinchi hadning minus to'rt ekanligi o'ta xato!) Chunki masaladagi formula o'zgartirilgan. Undagi arifmetik progressiyaning birinchi hadi yashirin. Mayli, hozir topamiz.)

Xuddi oldingi muammolarda bo'lgani kabi, biz almashtiramiz n=1 V bu formula:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Bu yerga! Birinchi muddat -4 emas, 2,8!

Biz o'ninchi atamani xuddi shu tarzda qidiramiz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Bo'ldi shu.

Va endi, ushbu satrlarni o'qiganlar uchun va'da qilingan bonus.)

Aytaylik, davlat imtihonining yoki yagona davlat imtihonining qiyin jangovar vaziyatida siz arifmetik progressiyaning n-chi hadi uchun foydali formulani unutdingiz. Men bir narsani eslayman, lekin qandaydir noaniq ... Yoki n u erda yoki n+1 yoki n-1... Qanday bo'lish kerak!?

Sokin! Ushbu formulani olish oson. Bu juda qattiq emas, lekin ishonch va to'g'ri qaror qabul qilish uchun albatta etarli!) Xulosa qilish uchun arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini eslab qolish va bir necha daqiqa vaqt ajratish kifoya. Siz shunchaki rasm chizishingiz kerak. Aniqlik uchun.

Raqam chizig'ini chizing va uning ustiga birinchisini belgilang. ikkinchi, uchinchi va boshqalar. a'zolari. Va biz farqni qayd etamiz d a'zolar o'rtasida. Mana bunday:

Biz rasmga qaraymiz va o'ylaymiz: ikkinchi atama nimaga teng? Ikkinchi bitta d:

a 2 =a 1 + 1 d

Uchinchi atama nima? Uchinchi muddat birinchi had plyusga teng ikki d.

a 3 =a 1 + 2 d

Tushundingizmi? Ba'zi so'zlarni qalin harf bilan ajratib ko'rsatishim bejiz emas. Yaxshi, yana bir qadam).

To'rtinchi muddat nima? To'rtinchi muddat birinchi had plyusga teng uch d.

a 4 =a 1 + 3 d

Bo'shliqlar soni, ya'ni ekanligini tushunish vaqti keldi. d, Har doim siz izlayotgan a'zo sonidan bitta kam n. Ya'ni raqamga n, bo'shliqlar soni bo'ladi n-1. Shunday qilib, formula bo'ladi (o'zgarishlarsiz!):

a n = a 1 + (n-1)d

Umuman olganda, ko'rgazmali rasmlar matematikaning ko'plab masalalarini hal qilishda juda yordam beradi. Rasmlarni e'tiborsiz qoldirmang. Ammo agar rasm chizish qiyin bo'lsa, unda ... faqat formula!) Bundan tashqari, n-sonli formula sizga matematikaning butun kuchli arsenalini yechimga - tenglamalar, tengsizliklar, tizimlar va boshqalarni ulash imkonini beradi. Siz tenglamaga rasm qo'sha olmaysiz ...

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

Isitish uchun:

1. Arifmetik progressiyada (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3 ni toping.

Maslahat: rasmga ko'ra, muammoni 20 soniyada hal qilish mumkin... Formulaga ko'ra, bu qiyinroq bo'lib chiqadi. Ammo formulani o'zlashtirish uchun bu foydaliroq.) 555-bo'limda bu masala rasm va formuladan foydalangan holda yechilgan. Farqni his eting!)

Va bu endi isinish emas.)

2. Arifmetik progressiyada (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. 3 ni toping.

Nima, siz rasm chizishni xohlamaysizmi?) Albatta! Formulaga ko'ra yaxshiroq, ha ...

3. Arifmetik progressiya quyidagi shart bilan beriladi:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu progressiyaning bir yuz yigirma beshinchi hadini toping.

Ushbu vazifada progressiya takroriy tarzda belgilanadi. Lekin bir yuz yigirma beshinchi songacha sanasak... Bunday ishni hamma ham qila olmaydi.) Lekin n-son formulasi hammaning kuchida!

4. Arifmetik progressiya (a n) berilgan:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Progressiyaning eng kichik musbat hadining sonini toping.

5. 4-topshiriq shartlariga ko‘ra progressiyaning eng kichik ijobiy va eng katta manfiy hadlari yig‘indisini toping.

6. O'sib boruvchi arifmetik progressiyaning beshinchi va o'n ikkinchi hadlarining ko'paytmasi -2,5 ga, uchinchi va o'n birinchi hadlarning yig'indisi esa nolga teng. 14 ni toping.

Eng oson ish emas, ha ...) Bu erda "barmoq uchi" usuli ishlamaydi. Siz formulalar yozishingiz va tenglamalarni echishingiz kerak bo'ladi.

Javoblar (tartibsiz):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Bo'ldimi? Bu yoqimli!)

Hammasi yaxshi emasmi? Bo'ladi. Aytgancha, oxirgi vazifada bitta nozik nuqta bor. Muammoni o'qishda ehtiyot bo'lish kerak bo'ladi. Va mantiq.

Bu barcha muammolarni hal qilish 555-bo'limda batafsil ko'rib chiqiladi. Va to'rtinchisi uchun fantaziya elementi va oltinchi uchun nozik nuqta va n-sonning formulasi bilan bog'liq har qanday muammolarni hal qilishning umumiy yondashuvlari - hamma narsa tasvirlangan. Men Tavsiya qilaman.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Dars turi: yangi materialni o'rganish.

Dars maqsadlari:

o‘quvchilarning arifmetik progressiya yordamida yechilgan masalalar haqidagi tushunchalarini kengaytirish va chuqurlashtirish; arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasini chiqarishda o’quvchilarning izlanish faoliyatini tashkil etish;
mustaqil ravishda yangi bilimlarni olish va olingan bilimlardan berilgan vazifani bajarish uchun foydalanish qobiliyatini rivojlantirish;
olingan faktlarni umumlashtirish istagi va ehtiyojini rivojlantirish, mustaqillikni rivojlantirish.

Vazifalar:

“Arifmetik progressiya” mavzusidagi mavjud bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish;
arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisini hisoblash formulalarini chiqarish;
olingan formulalarni turli masalalarni yechishda qo‘llashni o‘rgatish;
o‘quvchilar e’tiborini sonli ifoda qiymatini topish tartibiga qaratish.

Uskunalar:

guruhlarda va juftlikda ishlash uchun topshiriqlar bilan kartalar;
baholash qog'ozi;
taqdimot“Arifmetik progressiya”.

I. Asosiy bilimlarni yangilash.

1. Mustaqil ish juftlikda.

1-variant:

Arifmetik progressiyani aniqlang. Arifmetik progressiyani belgilaydigan takrorlanish formulasini yozing. Iltimos, arifmetik progressiyaga misol keltiring va uning farqini ko'rsating.

2-variant:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini yozing. Arifmetik progressiyaning 100 hadini toping ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu vaqtda doskaning orqa tomonida ikkita talaba bir xil savollarga javob tayyorlamoqda.
Talabalar sherigining ishini doskada tekshirish orqali baholaydilar. (Javoblari yozilgan varaqlar topshiriladi.)

2. O'yin lahzasi.

1-mashq.

O'qituvchi. Men arifmetik progressiya haqida o'yladim. Menga ikkita savol bering, shunda javoblardan so'ng siz tezda ushbu progressiyaning 7-sonini nomlashingiz mumkin. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Talabalar savollari.

Progressiyaning oltinchi hadi nima va farqi nimada?
Progressiyaning sakkizinchi hadi nima va farqi nimada?

Agar boshqa savollar bo'lmasa, o'qituvchi ularni rag'batlantirishi mumkin - d (farq) ga "taqiq", ya'ni farq nimaga teng ekanligini so'rashga yo'l qo'yilmaydi. Siz savollar berishingiz mumkin: progressiyaning 6-soni nimaga teng va progressiyaning 8-chi hadi nimaga teng?

Vazifa 2.

Doskada 20 ta raqam yozilgan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

O'qituvchi orqasini taxtaga qo'ygan holda turadi. Talabalar raqamga qo'ng'iroq qilishadi va o'qituvchi bir zumda raqamni o'zi chaqiradi. Buni qanday qilishim mumkinligini tushuntiring?

O'qituvchi n-son uchun formulani eslaydi a n = 3n - 2 va belgilangan qiymatlarni n o'rniga qo'yib, mos keladigan qiymatlarni topadi a n.

II. O'quv vazifasini belgilash.

Men Misr papiruslarida topilgan miloddan avvalgi 2-ming yillikka oid qadimiy muammoni hal qilishni taklif qilaman.

Vazifa:"Sizga aytilsin: 10 o'lchov arpani 10 kishiga bo'ling, har bir kishi bilan qo'shnisi o'rtasidagi farq o'lchovning 1/8 qismidir."

Bu muammoning arifmetik progressiya mavzusiga qanday aloqasi bor? (Har bir keyingi odam o'lchovning 1/8 qismini ko'proq oladi, bu farq d=1/8, 10 kishi, ya'ni n=10 degan ma'noni anglatadi.)
Sizningcha, 10 raqami nimani anglatadi? (Progressiyaning barcha shartlari yig'indisi.)
Arpani muammoning shartlariga ko'ra ajratishni oson va sodda qilish uchun yana nimani bilishingiz kerak? (Progressning birinchi muddati.)

Dars maqsadi– progressiya hadlari yig’indisining ularning soni, birinchi hadi va ayirmasiga bog’liqligini olish va masalaning qadimda to’g’ri yechilganligini tekshirish.

Formulani chiqarishdan oldin, keling, qadimgi misrliklar muammoni qanday hal qilganliklarini ko'rib chiqaylik.

Va ular buni quyidagicha hal qilishdi:

1) 10 ta o'lchov: 10 = 1 o'lchov - o'rtacha ulush;
2) 1 o'lchov ∙ = 2 o'lchov - ikki barobar o'rtacha baham ko'ring.
Ikki barobar o'rtacha ulush - 5 va 6-chi shaxslarning ulushlari yig'indisi.
3) 2 o'lchov - 1/8 chora = 1 7/8 chora - beshinchi shaxsning ulushini ikki barobarga oshiring.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - beshdan bir qismi; va hokazo, siz har bir oldingi va keyingi shaxsning ulushini topishingiz mumkin.

Biz ketma-ketlikni olamiz:

III. Muammoni hal qilish.

1. Guruhlarda ishlash

I guruh: Ketma-ket 20 taning yig‘indisini toping natural sonlar: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Umuman

II guruh: 1 dan 100 gacha natural sonlar yig‘indisini toping (Kichik Gauss afsonasi).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Xulosa:

III guruh: 1 dan 21 gacha natural sonlar yig‘indisini toping.

Yechish: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Xulosa:

IV guruh: 1 dan 101 gacha natural sonlar yig‘indisini toping.

Xulosa:

Ko'rib chiqilgan muammolarni hal qilishning bu usuli "Gauss usuli" deb ataladi.

2. Har bir guruh masala yechimini doskada taqdim etadi.

3. Ixtiyoriy arifmetik progressiya uchun taklif qilingan yechimlarni umumlashtirish:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Keling, shunga o'xshash asoslar yordamida bu summani topamiz:

4. Muammoni hal qildikmi?(Ha.)

IV. Olingan formulalarni birlamchi tushunish va masalalarni yechishda qo'llash.

1. Qadimgi masalaning yechimini formula yordamida tekshirish.

2. Turli masalalar yechishda formulaning qo‘llanilishi.

3. Masalalarni yechishda formulalarni qo`llash ko`nikmasini rivojlantirish mashqlari.

A) 613-son

Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Toping: S 1500

Yechim: , a 1 = 1 va 1500 = 1500,

B) berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Toping: n
Yechim:

V. O`zaro tekshirish bilan mustaqil ishlash.

Denis kurer bo'lib ishlay boshladi. Birinchi oyda uning maoshi 200 rublni tashkil etgan bo'lsa, har bir keyingi oyda u 30 rublga oshdi. U bir yilda jami qancha ishladi?

Berilgan: ( a n) - arifmetik progressiya;
a 1 = 200, d=30, n=12
Toping: S 12
Yechim:

Javob: Denis yil davomida 4380 rubl oldi.

VI. Uy vazifasi bo'yicha ko'rsatma.

4.3-bo'lim - formulaning kelib chiqishini o'rganing.
№№ 585, 623 .
Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadi yig’indisi formulasidan foydalanib yechish mumkin bo’lgan masalani tuzing.

VII. Darsni yakunlash.

1. Ballar varaqasi

2. Gaplarni davom ettiring

Bugun darsda men o'rgandim ...
O'rganilgan formulalar ...
Men shunday xisoblaymanki …

3. 1 dan 500 gacha bo‘lgan sonlar yig‘indisini topa olasizmi? Ushbu muammoni hal qilish uchun qanday usuldan foydalanasiz?

Adabiyotlar ro'yxati.

1. Algebra, 9-sinf. uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Ma'rifat", 2009 yil.

Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlaganingizcha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisiga qadar ayta olamiz, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning uchinchi hadi deb ataladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi mavjud.
Masalan:

va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi Rim muallifi Boethius tomonidan VI asrda kiritilgan va kengroq ma'noda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar tomonidan o'rganilgan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan ko'chirildi.

Bu raqamlar ketma-ketligi bo'lib, uning har bir a'zosi bir xil raqamga qo'shilgan oldingisiga teng. Bu raqam arifmetik progressiyaning farqi deb ataladi va belgilanadi.

Qaysi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning uchinchi hadining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.

1. Usul

Progressiya raqamini oldingi qiymatga progressiyaning uchinchi qismiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning uchinchi hadi ga teng.

2. Usul

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda xato qilmasligimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishgan. Chizilgan rasmni diqqat bilan ko'rib chiqing ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi hadining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz:

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini shu tarzda o'zingiz topishga harakat qiling.

Siz hisoblab chiqdingizmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:

Iltimos, e'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya shartlarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi, xuddi shunday raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - keling, uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ortishi yoki kamayishi mumkin.

Ortib bormoqda- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'sish va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, bu arifmetik progressiyaning soni qancha bo'lishini tekshirib ko'raylik:

O'shandan beri:

Shunday qilib, formulaning arifmetik progressiyaning ham kamayishi, ham ortishi bilan ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Arifmetik progressiya xossasi

Keling, masalani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, siz bilgan formula bo'yicha aytasiz va hisoblashni boshlaysiz:

Keling, ah, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formuladan foydalanib, bu muammoni bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz buni hozir chiqarishga harakat qilamiz.

Arifmetik progressiyaning zaruriy atamasini shunday belgilaymizki, uni topish formulasi bizga ma'lum - bu biz boshida olingan formuladir:
, Keyin:

progressiyaning oldingi muddati:
progressiyaning keyingi muddati:

Progressiyaning oldingi va keyingi shartlarini umumlashtiramiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi hadlarining yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya hadining qo‘sh qiymati hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya hadining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni himoya qilaylik. Rivojlanish qiymatini o'zingiz hisoblang, bu unchalik qiyin emas.

Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" Karl Gauss tomonidan osonlik bilan chiqarilgan yagona formulani topish qoladi ...

Karl Gauss 9 yoshga to'lganida, o'qituvchi boshqa sinflardagi o'quvchilarning ishini tekshirish bilan mashg'ul bo'lib, sinfda quyidagi vazifani berdi: "Barcha natural sonlarning yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha sanash". Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining hayratda qolganini tasavvur qiling-a, biroq jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natijaga erishdilar ...

Yosh Karl Gauss siz ham osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi hadlardan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning bu hadlarining yig‘indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin agar vazifa Gauss izlayotgandek, uning shartlari yig'indisini topishni talab qilsa-chi?

Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.

Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning summalari teng

Endi ayting-chi, bizga berilgan progressiyada jami nechta shunday juftlik bor? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig‘indisi teng va o‘xshash juftliklar teng ekanligiga asoslanib, umumiy yig‘indi quyidagiga teng ekanligini hosil qilamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasiga th hadning formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?

Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi nimaga teng ekanligini o'zingiz hisoblang.

Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan to‘liq foydalanishgan.
Masalan, tasavvur qiling Qadimgi Misr va o'sha davrdagi eng yirik qurilish loyihasi - piramida qurilishi... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda, deysizmi? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.

Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, siz barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirganda hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bu holda progressiya quyidagicha ko'rinadi: .
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning hadlar soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (bloklar sonini 2 usulda hisoblang).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Tushundim? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning n-chi hadlari yig‘indisini o‘zlashtirdingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Trening

Vazifalar:

Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta chayqaladi?
Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
Jurnallarni saqlashda loggerlar ularni har bir yuqori qatlamda oldingisidan bittadan kamroq jurnalni o'z ichiga oladigan tarzda to'playdi. Agar toshning poydevori loglar bo'lsa, bitta devorda nechta log bor?

Javoblar:

Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
(hafta = kunlar).
Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta squats qilish kerak.
Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
Arifmetik progressiya farqi.
Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo arifmetik progressiyaning uchinchi hadini topish formulasi yordamida bu faktni tekshiramiz:
Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
Mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:
Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.
Piramidalar haqidagi muammoni eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun a , chunki har bir yuqori qatlam bitta logga qisqartiriladi, keyin jami qatlamlar to'plami mavjud, ya'ni.
Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:
Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Keling, xulosa qilaylik

- qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonlar ketma-ketligi. U ortishi yoki kamayishi mumkin.
Formulani topish Arifmetik progressiyaning uchinchi hadi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda progressiyadagi sonlar soni.
Arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:

, bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamlar ketma-ketligi

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin biz har doim qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va boshqalarni aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son va noyob raqam bilan bog'lanishi mumkin. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Agar ketma-ketlikning uchinchi hadi qandaydir formula bilan aniqlansa, bu juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikdir:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng, farq esa). Yoki (, farq).

n-sonli formula

Formulani takroriy deb ataymiz, unda 1-sonni bilish uchun siz oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, ushbu formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak bo'ladi. Masalan, ruxsat bering. Keyin:

Xo'sh, formula nima ekanligi aniqmi?

Har bir qatorda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Qaysi biri? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi atama teng. Farqi nimada? Mana nima:

(Shuning uchun u farq deb ataladi, chunki u progressiyaning ketma-ket hadlari ayirmasiga teng).

Shunday qilib, formula:

U holda yuzinchi had quyidagilarga teng bo'ladi:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nechaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi bir xil, oxiridan uchinchi va uchinchi sonlar yig‘indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar jami nechta? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali koʻpaytmalar yigʻindisini toping.

Yechim:

Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va ayirma bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Ushbu progressiyaning 3-soni formulasi:

Agar ularning barchasi ikki xonali bo'lishi kerak bo'lsa, progressiyada nechta atama bor?

Juda oson: .

Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda ko'proq metr yuguradi. Agar birinchi kuni km m yugurgan bo'lsa, u haftada jami necha kilometr yuguradi?
Velosipedchi har kuni oldingi kunga qaraganda ko'proq kilometr masofani bosib o'tadi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatining oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.

Javoblar:

Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kun). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
.
Javob:
Bu erda berilgan: , topilishi kerak.
Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
.
Qiymatlarni almashtiring:
Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan yo‘lni 1-son formulasi yordamida hisoblaymiz:
(km).
Javob:
Berilgan: . Toping: .
Bu oddiyroq bo'lishi mumkin emas:
(rub).
Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi.

Arifmetik progressiya ortishi () va kamayishi () bo'lishi mumkin.

Masalan:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi

formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning qo‘shni shartlari ma’lum bo‘lsa, uning hadini osongina topish imkonini beradi – progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi

Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

QOGAN 2/3 MAQOLALAR FAQAT SIZLARGA MUMKIN!

YouClever talabasi bo'ling,

Yagona davlat imtihoniga yoki matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga "oyiga bir chashka qahva" narxiga tayyorlaning.

Shuningdek, "YouClever" darsligiga, "100gia" tayyorgarlik dasturiga (ishchi kitobiga) cheksiz kirish, cheksiz Yagona davlat ekspertizasi va OGE, 6000 yechimlarni tahlil qilish va boshqa xizmatlar YouClever va 100gia muammolari.