Binomiy taqsimot. EXCEL da diskret taqsimotlar. Tasodifiy o'zgaruvchining binom taqsimoti Excel binomial taqsimoti

Keling, binom taqsimotini ko'rib chiqamiz, uning matematik kutilishi, dispersiyasi va rejimini hisoblaymiz. MS EXCEL ning BINOM.DIST() funksiyasidan foydalanib, taqsimot funksiyasi va ehtimollik zichligi grafiklarini tuzamiz. Keling, taqsimot parametri p, taqsimotning matematik kutilishi va standart og'ishni taxmin qilaylik. Keling, Bernulli taqsimotini ham ko'rib chiqaylik.

Ta'rif. Ular amalga oshsin n sinovlar, ularning har birida faqat 2 ta voqea sodir bo'lishi mumkin: hodisa "muvaffaqiyatli" ehtimollik bilan p yoki ehtimollik bilan "qobiliyatsiz" hodisa q =1-p (deb ataladi Bernoulli sxemasi,Bernullisinovlar).

Aniq qabul qilish ehtimoli x bularda muvaffaqiyat n testlar quyidagilarga teng:

Namunadagi muvaffaqiyatlar soni x ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir Binomiy taqsimot(inglizcha) binomtarqatish) p Va n – bu taqsimotning parametrlari.

Iltimos, foydalanishni unutmang Bernoulli sxemalari va mos ravishda binom taqsimoti, quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

• Har bir test an'anaviy ravishda "muvaffaqiyat" va "muvaffaqiyatsizlik" deb ataladigan ikkita natijaga ega bo'lishi kerak.
• har bir test natijasi oldingi testlar natijalariga bog'liq bo'lmasligi kerak (test mustaqilligi).
• muvaffaqiyat ehtimoli p barcha testlar uchun doimiy bo'lishi kerak.

MS EXCEL da binomial taqsimot

MS EXCEL da, 2010 versiyasidan boshlab, uchun BINOM.DIST() funksiyasi mavjud Inglizcha nomi- BINOM.DIST(), bu namunada aniq bo'lish ehtimolini hisoblash imkonini beradi X"muvaffaqiyat" (ya'ni. ehtimollik zichligi funksiyasi p(x), yuqoridagi formulaga qarang) va kümülatif taqsimot funksiyasi(namuna bo'lish ehtimoli x yoki kamroq "muvaffaqiyatlar", shu jumladan 0).

MS EXCEL 2010 dan oldin EXCELda BINOMDIST() funksiyasi mavjud edi, u ham hisoblash imkonini beradi. tarqatish funktsiyasi Va ehtimollik zichligi p(x). BINOMIST() moslik uchun MS EXCEL 2010 da qoldirilgan.

Misol fayli grafiklarni o'z ichiga oladi ehtimollik zichligi taqsimoti Va .

Binomiy taqsimot belgiga ega B (n ; p) .

Eslatma: Qurilish uchun kümülatif taqsimot funksiyasi mukammal turdagi diagramma Jadval, Uchun tarqatish zichligi – Guruhlash bilan gistogramma. Diagrammalarni yaratish haqida ko'proq ma'lumot olish uchun Grafiklarning asosiy turlari maqolasini o'qing.

Eslatma: Formulalarni yozish qulayligi uchun misol faylida parametrlar uchun nomlar yaratilgan Binomiy taqsimot: n va p.

Misol faylida MS EXCEL funksiyalaridan foydalangan holda turli ehtimollik hisoblari ko'rsatilgan:

Yuqoridagi rasmda ko'rib turganingizdek, taxmin qilinadi:

• Namuna olinadigan cheksiz populyatsiyada 10% (yoki 0,1) haqiqiy elementlar (parametr) mavjud. p, uchinchi funktsiya argumenti = BINOM.DIST() )
• 10 ta elementdan iborat namunada bo'lish ehtimolini hisoblash uchun (parametr n, funktsiyaning ikkinchi argumenti) aniq 5 ta haqiqiy element bo'ladi (birinchi argument), siz formulani yozishingiz kerak: =BINOM.DIST(5, 10, 0,1, FALSE)
• Oxirgi, to'rtinchi element o'rnatiladi = FALSE, ya'ni. funktsiya qiymati qaytariladi tarqatish zichligi .

Agar to'rtinchi argumentning qiymati = TRUE bo'lsa, BINOM.DIST() funksiyasi qiymatni qaytaradi. kümülatif taqsimot funksiyasi yoki oddiygina Tarqatish funksiyasi. Bunday holda, siz namunadagi yaxshi elementlarning soni ma'lum bir diapazondan, masalan, 2 yoki undan kam (shu jumladan 0) bo'lish ehtimolini hisoblashingiz mumkin.

Buning uchun formulani yozish kerak: = BINOM.DIST(2; 10; 0,1; TRUE)

Eslatma: X ning butun bo'lmagan qiymati uchun, . Masalan, quyidagi formulalar bir xil qiymatni qaytaradi: =BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; TO'G'RI)=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; TO'G'RI)

Eslatma: Misol faylida ehtimollik zichligi Va tarqatish funktsiyasi NUMBERCOMB() ta'rifi va funksiyasi yordamida ham hisoblangan.

Tarqatish ko'rsatkichlari

IN Ish varag'idagi namuna fayli Misol Ba'zi taqsimlash ko'rsatkichlarini hisoblash uchun formulalar mavjud:

• =n*p;
• (standart og'ish kvadrati) = n * p * (1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Keling, formulani chiqaramiz matematik kutishBinomiy taqsimot foydalanish Bernoulli sxemasi .

Ta'rifga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchi X in Bernoulli sxemasi(Bernulli tasodifiy o'zgaruvchisi) ega tarqatish funktsiyasi :

Bu tarqatish deyiladi Bernoulli taqsimoti .

Eslatma : Bernoulli taqsimoti- alohida holat Binomiy taqsimot n=1 parametr bilan.

Har birining muvaffaqiyat ehtimoli turlicha bo'lgan 100 ta raqamdan iborat 3 ta massiv hosil qilaylik: 0,1; 0,5 va 0,9. Buni oynada qilish uchun Tasodifiy raqamlarni yaratish Har bir p ehtimollik uchun quyidagi parametrlarni o'rnatamiz:

Eslatma: Agar siz parametrni o'rnatsangiz Tasodifiy tarqalish (Tasodifiy urug'), keyin siz yaratilgan raqamlarning ma'lum bir tasodifiy to'plamini tanlashingiz mumkin. Masalan, ushbu parametrni =25 o'rnatish orqali siz turli xil kompyuterlarda bir xil tasodifiy sonlar to'plamini yaratishingiz mumkin (agar, albatta, boshqa tarqatish parametrlari bir xil bo'lsa). Variant qiymati 1 dan 32 767 gacha butun sonlarni qabul qilishi mumkin. Variant nomi Tasodifiy tarqalish chalkash bo'lishi mumkin. deb tarjima qilsak yaxshi bo'lardi Raqamni tasodifiy raqamlar bilan tering .

Natijada, biz 100 ta raqamdan iborat 3 ta ustunga ega bo'lamiz, ular asosida, masalan, muvaffaqiyat ehtimolini taxmin qilishimiz mumkin. p formula bo'yicha: Muvaffaqiyatlar soni/100(sm. GenerationBernoulli fayl varaqasi namunasi).

Eslatma: Uchun Bernoulli taqsimoti p=0,5 bilan mos keladigan =RANDBETWEEN(0;1) formulasidan foydalanishingiz mumkin.

Tasodifiy raqamlarni yaratish. Binomiy taqsimot

Faraz qilaylik, namunada 7 ta nuqsonli mahsulot bor. Bu nuqsonli mahsulotlarning nisbati o'zgarganligi "juda ehtimol" ekanligini anglatadi p, bu bizning ishlab chiqarish jarayonimizning o'ziga xos xususiyati. Bunday vaziyat "juda ehtimol" bo'lsa-da, ehtimol (alfa xavfi, 1-toifa xato, "noto'g'ri signal") mavjud. p o'zgarishsiz qoldi va nuqsonli mahsulotlar sonining ko'payishi tasodifiy tanlab olish bilan bog'liq.

Quyidagi rasmda ko'rinib turibdiki, 7 - bir xil qiymatda p=0,21 bo'lgan jarayon uchun maqbul bo'lgan nuqsonli mahsulotlar soni. Alfa. Bu shuni ko'rsatadiki, agar namunadagi nuqsonli elementlarning chegara qiymati oshib ketganda, p"ehtimol" ko'paygan. "Ehtimol" iborasi nuqsonli mahsulotlar foizining chegaradan yuqori bo'lishi faqat tasodifiy sabablarga ko'ra 10% ehtimollik (100% -90%) mavjudligini anglatadi.

Shunday qilib, namunadagi nuqsonli mahsulotlarning chegaradan oshib ketishi jarayon buzilganligi va ishlatilgan mahsulotlarni ishlab chiqarishni boshlaganligi haqida signal bo'lib xizmat qilishi mumkin. O nuqsonli mahsulotlarning yuqori foizi.

Eslatma: MS EXCEL 2010 dan oldin EXCELda BINOM.INV() ga teng bo'lgan CRITBINOM() funksiyasi mavjud edi. CRITBINOM() moslik uchun MS EXCEL 2010 va undan yuqori versiyalarida qoldirilgan.

Binom taqsimotining boshqa taqsimotlar bilan aloqasi

Agar parametr nBinomiy taqsimot cheksizlikka intiladi va p 0 ga intiladi, keyin bu holatda Binomiy taqsimot taxmin qilish mumkin. Biz shartlarni taxmin qilishda shakllantirishimiz mumkin Puasson taqsimoti yaxshi ishlaydi:

• p(kamroq p va boshqalar n, yaqinlik qanchalik aniq bo'lsa);
• p >0,9 (buni hisobga olgan holda q =1- p, bu holda hisob-kitoblar orqali amalga oshirilishi kerak q(A X bilan almashtirish kerak n - x). Shuning uchun, kamroq q va boshqalar n, yaqinlik qanchalik aniq bo'lsa).

0.110 da Binomiy taqsimot taxmin qilish mumkin.

O'z navbatida, Binomiy taqsimot Agar populyatsiya soni N bo'lsa, yaxshi taxminiy bo'lib xizmat qilishi mumkin Gipergeometrik taqsimot namuna hajmi n dan ancha katta (ya’ni, N>>n yoki n/N).Yuqoridagi taqsimotlar o‘rtasidagi bog‘liqlik haqida ko‘proq maqolada o‘qishingiz mumkin.Yaqinlashma misollari ham u yerda berilgan va uning qachon bo‘lish shartlari. mumkin va qanday aniqlik bilan tushuntiriladi.

MASLAHAT: Boshqa MS EXCEL distributivlari haqida maqolada oʻqishingiz mumkin.

Binom taqsimoti diskret o'zgaruvchanlikning eng muhim ehtimollik taqsimotlaridan biridir tasodifiy o'zgaruvchi. Binom taqsimoti sonning ehtimollik taqsimotidir m hodisaning yuzaga kelishi A V n o'zaro mustaqil kuzatishlar. Ko'pincha hodisa A kuzatishning "muvaffaqiyati" deb ataladi va qarama-qarshi hodisa "qobiliyatsizlik" deb ataladi, ammo bu belgi juda shartli.

Binomiy taqsimot shartlari:

• jami amalga oshirildi n voqea sodir bo'lgan sinovlar A yuzaga kelishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin;
• voqea A har bir sinovda bir xil ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin p;
• testlar bir-biridan mustaqil.

Buning ehtimoli n sinov hodisasi A aniq keladi m marta Bernulli formulasi yordamida hisoblash mumkin:

Qayerda p- voqea sodir bo'lish ehtimoli A;

q = 1 - p- qarama-qarshi hodisaning sodir bo'lish ehtimoli.

Keling, buni aniqlaylik Nima uchun binomial taqsimot Bernulli formulasi bilan yuqorida tavsiflangan tarzda bog'langan? . Tadbir - muvaffaqiyatlar soni n testlar bir nechta variantlarga bo'linadi, ularning har birida muvaffaqiyatga erishiladi m testlar, va muvaffaqiyatsizliklar - yilda n - m testlar. Keling, ushbu variantlardan birini ko'rib chiqaylik - B1 . Ehtimollarni qo'shish qoidasidan foydalanib, biz qarama-qarshi hodisalarning ehtimolini ko'paytiramiz:

,

va agar belgilasak q = 1 - p, Bu

.

Boshqa har qanday variant m muvaffaqiyat va n - m muvaffaqiyatsizliklar. Bunday variantlar soni mumkin bo'lgan usullar soniga teng n test olish m muvaffaqiyat.

Barcha ehtimollar yig'indisi m voqea sodir bo'lgan raqamlar A(0 dan gacha raqamlar n) birga teng:

Bu erda har bir atama Nyuton binomialidagi atamani ifodalaydi. Shuning uchun ko'rib chiqilayotgan taqsimot binomial taqsimot deb ataladi.

Amalda, ko'pincha ehtimolliklarni hisoblash kerak "ko'p emas m muvaffaqiyat n testlar" yoki "hech bo'lmaganda m muvaffaqiyat n testlar". Buning uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi.

Integral funktsiya, ya'ni ehtimollik F(m) ichida nima bor n kuzatuv hodisasi A boshqa kelmaydi m bir marta, quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

O'z navbatida ehtimollik F(≥m) ichida nima bor n kuzatuv hodisasi A kam bo'lmaydi m bir marta, quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Ba'zan buning ehtimolini hisoblash qulayroqdir n kuzatuv hodisasi A boshqa kelmaydi m marta, qarama-qarshi hodisaning ehtimoli orqali:

.

Qaysi formuladan foydalanish ularning qaysi birida yig'indisi kamroq shartlarga ega ekanligiga bog'liq.

Binom taqsimotining xarakteristikalari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi .

Kutilayotgan qiymat: .

Dispersiya: .

Standart og'ish: .

MS Excelda binom taqsimoti va hisoblar

Binomial ehtimollik P n ( m) va integral funktsiyaning qiymatlari F(m) MS Excelning BINOM.DIST funksiyasi yordamida hisoblash mumkin. Tegishli hisoblash oynasi quyida ko'rsatilgan (kattalashtirish uchun chap tugmasini bosing).

MS Excel sizdan quyidagi ma'lumotlarni kiritishingizni talab qiladi:

• muvaffaqiyatlar soni;
• testlar soni;
• muvaffaqiyat ehtimoli;
• integral - mantiqiy qiymat: 0 - ehtimollikni hisoblash kerak bo'lsa P n ( m) va 1 - ehtimollik bo'lsa F(m).

1-misol. Kompaniya menejeri so'nggi 100 kun ichida sotilgan kameralar soni haqidagi ma'lumotlarni umumlashtirdi. Jadvalda ma'lumotlar umumlashtiriladi va kuniga ma'lum miqdordagi kameralar sotilishi ehtimoli hisoblab chiqiladi.

13 yoki undan ortiq kameralar sotilsa, kun foyda bilan tugaydi. Kunning foydali o'tishi ehtimoli:

Bir kun foydasiz ishlash ehtimoli:

Bir kunning foyda bilan ishlash ehtimoli doimiy va 0,61 ga teng bo'lsin va kuniga sotilgan kameralar soni kunga bog'liq emas. Keyin hodisa sodir bo'lgan binomial taqsimotdan foydalanishimiz mumkin A- kun foyda bilan ishlaydi, - foydasiz.

Barcha 6 kun foyda bilan ishlash ehtimoli:

.

Xuddi shu natijani MS Excelning BINOM.DIST funksiyasi yordamida olamiz (integral qiymatning qiymati 0 ga teng):

P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

6 kundan 4 yoki undan ortiq kun foyda bilan ishlash ehtimoli:

Qayerda ,

,

MS Excelning BINOM.DIST funktsiyasidan foydalanib, biz 6 kundan ortiq bo'lmagan 3 kundan foyda bilan yakunlanishi ehtimolini hisoblaymiz (integral qiymatning qiymati 1 ga teng):

P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Barcha 6 kunni yo'qotishlar bilan ishlash ehtimoli:

,

Xuddi shu ko'rsatkichni MS Excelning BINOM.DIST funksiyasidan foydalanib hisoblashimiz mumkin:

P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Muammoni o'zingiz hal qiling va keyin yechimni ko'ring

2-misol. Idishda 2 ta oq shar va 3 ta qora shar bor. To'p urnadan chiqariladi, rangi o'rnatiladi va orqaga qo'yiladi. Urinish 5 marta takrorlanadi. Oq sharlarning paydo bo'lish soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir X, binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing. Rejim, matematik kutish va dispersiyani aniqlang.

Keling, muammolarni birgalikda hal qilishda davom etaylik

3-misol. Kuryer xizmatidan biz saytlarga bordik n= 5 ta kurer. Har bir kurer ehtimoli bor p= 0,3, boshqalardan qat'i nazar, ob'ekt uchun kechikdi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X- kechikkan kurerlar soni. Ushbu tasodifiy miqdor uchun taqsimot qatorini tuzing. Uning matematik kutilishi, dispersiyasi, standart og'ishini toping. Ob'ektlarga kamida ikkita kurerning kechikishi ehtimolini toping.

Ushbu va keyingi bir nechta postlarda biz tasodifiy hodisalarning matematik modellarini ko'rib chiqamiz. Matematik model tasodifiy miqdorni ifodalovchi matematik ifodadir. Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun bu matematik ifoda taqsimot funktsiyasi sifatida tanilgan.

Agar muammo tasodifiy o'zgaruvchini ifodalovchi matematik ifodani aniq yozishga imkon bersa, uning har qanday qiymatlarining aniq ehtimolini hisoblashingiz mumkin. Bunday holda, siz barcha tarqatish funktsiyasi qiymatlarini hisoblashingiz va ro'yxatlashingiz mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchilarning turli xil taqsimotlari biznes, sotsiologik va tibbiy dasturlarda uchraydi. Eng foydali taqsimotlardan biri binomialdir.

Binomiy taqsimot quyidagi xususiyatlar bilan tavsiflangan vaziyatlarni simulyatsiya qilish uchun ishlatiladi.

• Namuna ma'lum miqdordagi elementlardan iborat n, ma'lum bir test natijalarini ifodalovchi.
• Har bir namuna elementi butun namuna maydonini yo'qotadigan ikkita o'zaro istisno toifalardan biriga tegishli. Odatda bu ikki toifaga muvaffaqiyat va muvaffaqiyatsizlik deyiladi.
• Muvaffaqiyat ehtimoli R doimiydir. Shuning uchun muvaffaqiyatsizlik ehtimoli 1 – bet.
• Har qanday sinovning natijasi (ya'ni, muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik) boshqa sinov natijasiga bog'liq emas. Natijalarning mustaqilligini ta'minlash uchun namunaviy elementlar odatda ikki xil usul yordamida olinadi. Namunadagi har bir element tasodifiy ravishda cheksiz populyatsiyadan reversiyasiz yoki chekli populyatsiyadan qaytariladi.

Eslatmani yoki formatda yuklab oling, formatdagi misollar

Binom taqsimoti dan tashkil topgan namunadagi muvaffaqiyatlar sonini baholash uchun ishlatiladi n kuzatishlar. Misol tariqasida buyurtma berishni olaylik. Buyurtma berish uchun Saxon kompaniyasi mijozlari interaktiv elektron shakldan foydalanishlari va uni kompaniyaga yuborishlari mumkin. Keyin axborot tizimi buyurtmalardagi xatolar, to‘liq yoki noto‘g‘ri ma’lumotlar mavjudligini tekshiradi. Har qanday buyurtma belgilanadi va kundalik istisno hisobotiga kiritiladi. Kompaniya tomonidan to'plangan ma'lumotlar buyurtmalardagi xatolar ehtimoli 0,1 ekanligini ko'rsatadi. Kompaniya ma'lum bir namunada ma'lum miqdordagi noto'g'ri buyurtmalarni topish ehtimoli qanday ekanligini bilishni xohlaydi. Misol uchun, mijozlar to'rttasini tugatdi deylik elektron shakllar. Barcha buyurtmalar xatosiz bo'lish ehtimoli qanday? Ushbu ehtimollikni qanday hisoblash mumkin? Muvaffaqiyat bilan biz shaklni to'ldirishda xatolikni tushunamiz va boshqa barcha natijalar muvaffaqiyatsiz deb hisoblanadi. Eslatib o'tamiz, bizni ma'lum bir namunadagi xato buyurtmalar soni qiziqtiradi.

Qanday natijalarni kuzatishimiz mumkin? Agar namuna to'rtta buyurtmadan iborat bo'lsa, bitta, ikkita, uchta yoki to'rttasi noto'g'ri bo'lishi mumkin va ularning barchasi to'g'ri bo'lishi mumkin. Noto'g'ri to'ldirilgan shakllar sonini tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchi boshqa qiymatni olishi mumkinmi? Bu mumkin emas, chunki noto'g'ri shakllar soni namuna hajmidan oshmasligi kerak n yoki salbiy bo'ling. Shunday qilib, binomial taqsimot qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchi 0 dan qiymatlarni oladi n.

Faraz qilaylik, to'rtta buyurtma namunasida quyidagi natijalar kuzatilgan:

Belgilangan tartibda to'rtta buyurtma namunasida uchta xato buyruqni topish ehtimoli qanday? Chunki dastlabki tadqiqotlar Shaklni to'ldirishda xatolik ehtimoli 0,10 ekanligini ko'rsatdi, yuqoridagi natijalarning ehtimoli quyidagicha hisoblanadi:

Natijalar bir-biriga bog'liq emasligi sababli, natijalarning belgilangan ketma-ketligi ehtimoli teng: p * p * (1–p) * p = 0,1 * 0,1 * 0,9 * 0,1 = 0,0009. Agar siz tanlovlar sonini hisoblashingiz kerak bo'lsa X n Elementlar uchun siz (1) kombinatsiya formulasidan foydalanishingiz kerak:

qaerda n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - sonning faktorial n, va 0! = 1 va 1! ta'rifi bo'yicha = 1.

Bu ifoda ko'pincha deb ataladi. Shunday qilib, agar n = 4 va X = 3 bo'lsa, 4 ta tanlamadan olingan uchta elementdan iborat ketma-ketliklar soni quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Shunday qilib, uchta xato buyurtmani aniqlash ehtimoli quyidagicha hisoblanadi:

(Mumkin bo'lgan ketma-ketliklar soni) *
(ma'lum bir ketma-ketlikning ehtimoli) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Xuddi shunday, siz to'rtta buyurtma orasida bitta yoki ikkita xato bo'lish ehtimolini, shuningdek, barcha buyruqlar noto'g'ri yoki barchasi to'g'ri bo'lish ehtimolini hisoblashingiz mumkin. Biroq, namuna hajmining ortishi bilan n natijalarning ma'lum bir ketma-ketligi ehtimolini aniqlash qiyinlashadi. Bunday holda, mos keladi matematik model, tanlovlar sonining binomial taqsimotini tavsiflovchi X o'z ichiga olgan tanlovdan ob'ektlar n elementlar.

Binomiy taqsimot

Qayerda P(X)- ehtimollik X berilgan namuna hajmi uchun muvaffaqiyat n va muvaffaqiyat ehtimoli R, X = 0, 1, … n.

E'tibor bering, formula (2) intuitiv xulosalarni rasmiylashtirishdir. Tasodifiy qiymat X binomial taqsimotga bo'ysunadigan , 0 dan oraliqda istalgan butun qiymatni qabul qilishi mumkin n. Ish RX(1 – p)n – X dan tashkil topgan muayyan ketma-ketlikning ehtimolini ifodalaydi X ga teng bo'lgan namuna hajmidagi muvaffaqiyat n. Qiymat dan iborat bo'lishi mumkin bo'lgan kombinatsiyalar sonini aniqlaydi X muvaffaqiyat n testlar. Shuning uchun, ma'lum miqdordagi testlar uchun n va muvaffaqiyat ehtimoli R dan iborat ketma-ketlikning ehtimoli X muvaffaqiyat, teng

P(X) = (mumkin bo'lgan ketma-ketliklar soni) * (ma'lum bir ketma-ketlikning ehtimoli) =

Keling, (2) formulani qo'llashni ko'rsatadigan misollarni ko'rib chiqaylik.

1. Faraz qilaylik, shaklni noto'g'ri to'ldirish ehtimoli 0,1 ga teng. To'ldirilgan to'rtta shakldan uchtasi noto'g'ri bo'lish ehtimoli qanday? Formuladan (2) foydalanib, biz to'rtta buyurtmadan iborat namunadagi uchta xato buyurtmani aniqlash ehtimoli teng ekanligini aniqlaymiz.

2. Anketani noto'g'ri to'ldirish ehtimoli 0,1 ga teng deb faraz qilaylik. To'ldirilgan to'rtta shakldan kamida uchtasi noto'g'ri bo'lish ehtimoli qanday? Oldingi misolda ko'rsatilganidek, to'ldirilgan to'rtta shakldan uchtasi noto'g'ri bo'lish ehtimoli 0,0036 ga teng. To'rtta to'ldirilgan shakllar orasida kamida uchtasi noto'g'ri bo'lish ehtimolini hisoblash uchun to'rtta to'ldirilgan shakllar orasida uchtasi noto'g'ri bo'lish ehtimolini va to'rtta to'ldirilgan shakllar orasida hammasi noto'g'ri bo'lish ehtimolini qo'shishingiz kerak. Ikkinchi hodisaning ehtimoli

Shunday qilib, to'ldirilgan to'rtta shakl orasida kamida uchtasi noto'g'ri bo'lish ehtimoli tengdir

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Shaklni noto'g'ri to'ldirish ehtimoli 0,1 ga teng deb faraz qilaylik. To'ldirilgan to'rtta shakldan uchtadan kamrog'i noto'g'ri bo'lish ehtimoli qanday? Ushbu hodisaning ehtimoli

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Formuladan (2) foydalanib, biz ushbu ehtimollarning har birini hisoblaymiz:

Shuning uchun P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Ehtimollik P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Keyin P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

Namuna hajmi oshgani sayin n 3-misoldagi kabi hisob-kitoblar qiyinlashadi. Ushbu asoratlarning oldini olish uchun ko'plab binomial ehtimolliklar jadvalga kiritilgan. Ushbu ehtimollarning ba'zilari rasmda ko'rsatilgan. 1. Masalan, ehtimollikni olish uchun X= 2 da n= 4 va p= 0.1, jadvaldan chiziqning kesishmasidagi raqamni chiqarib olishingiz kerak X= 2 va ustunlar R = 0,1.

Guruch. 1. binomial ehtimollik da n = 4, X= 2 va R = 0,1

Binom taqsimotini Excelning =BINOM.DIST() funksiyasi yordamida hisoblash mumkin (2-rasm), bu 4 ta parametrga ega: muvaffaqiyatlar soni - X, testlar soni (yoki namuna hajmi) - n, muvaffaqiyat ehtimoli - R, parametr integral, bu TRUE qiymatini oladi (bu holda, ehtimollik hisoblanadi menga emas X hodisalar) yoki FALSE (bu holda ehtimollik hisoblanadi aynan X voqealar).

Guruch. 2. Funktsiya parametrlari =BINOM.DIST()

Yuqoridagi uchta misol uchun hisob-kitoblar rasmda ko'rsatilgan. 3 (shuningdek, Excel fayliga qarang). Har bir ustunda bitta formula mavjud. Raqamlar mos keladigan raqamning misollariga javoblarni ko'rsatadi).

Guruch. 3. Excelda binomial taqsimotni hisoblash n= 4 va p = 0,1

Binomiy taqsimotning xossalari

Binom taqsimoti parametrlarga bog'liq n Va R. Binomiy taqsimot simmetrik yoki assimetrik bo'lishi mumkin. Agar p = 0,05 bo'lsa, binomial taqsimot parametr qiymatidan qat'iy nazar simmetrik bo'ladi. n. Biroq, agar p ≠ 0,05 bo'lsa, taqsimot egri bo'ladi. Parametr qiymati qanchalik yaqin bo'lsa R 0,05 gacha va namuna hajmi qanchalik katta bo'lsa n, taqsimotning assimetriyasi kamroq aniqlanadi. Shunday qilib, noto'g'ri to'ldirilgan shakllar sonining taqsimlanishi o'ngga qiyshayganligi sababli p= 0,1 (4-rasm).

Guruch. 4. At binomial taqsimotning gistogrammasi n= 4 va p = 0,1

Binomiy taqsimotni kutish namuna hajmining mahsulotiga teng n muvaffaqiyat ehtimoli haqida R:

(3) M = E(X) =n.p.

O'rtacha, to'rtta buyurtmadan iborat bo'lgan namunadagi etarlicha uzun testlar seriyasi bilan p = E (X) = 4 x 0,1 = 0,4 noto'g'ri to'ldirilgan shakllar bo'lishi mumkin.

Binom taqsimotining standart og'ishi

Masalan, buxgalteriya hisobidagi noto'g'ri to'ldirilgan shakllar sonining standart og'ishi axborot tizimi teng:

Levin va boshqalarning “Menejerlar uchun statistikasi” kitobidan olingan materiallardan foydalaniladi. – M.: Uilyams, 2004. – b. 307–313

Ehtimollar nazariyasi hayotimizda ko'rinmas holda mavjud. Biz bunga e'tibor bermaymiz, lekin hayotimizdagi har bir voqea bir yoki boshqa ehtimolga ega. Mumkin bo'lgan stsenariylarning ko'p sonini hisobga olgan holda, biz ulardan eng ehtimoliy va eng kam ehtimolini aniqlashimiz kerak bo'ladi. Bunday ehtimollik ma'lumotlarini grafik jihatdan tahlil qilish eng qulaydir. Bunda bizga tarqatish yordam berishi mumkin. Binomial - eng oson va eng aniqlaridan biri.

To'g'ridan-to'g'ri matematika va ehtimollar nazariyasiga o'tishdan oldin, keling, ushbu taqsimot turini kim birinchi bo'lib o'ylab topganligini va ushbu kontseptsiya uchun matematik apparatning rivojlanish tarixi qanday ekanligini aniqlaylik.

Hikoya

Ehtimollik tushunchasi qadim zamonlardan beri ma'lum. Biroq qadimgi matematiklar bunga unchalik ahamiyat bermaganlar va faqat keyinchalik ehtimollar nazariyasiga aylangan nazariyaga asos sola olganlar. Ular keyinchalik nazariyani o'zi yaratgan va rivojlantirganlarga katta yordam beradigan ba'zi bir kombinatsion usullarni yaratdilar.

XVII asrning ikkinchi yarmida ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari va usullari shakllana boshladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning ta'riflari va oddiy va ayrim murakkab mustaqil va bog'liq hodisalarning ehtimolligini hisoblash usullari kiritildi. Tasodifiy o'zgaruvchilar va ehtimolliklarga bo'lgan qiziqish qimor o'yinlari bilan bog'liq edi: har bir kishi o'yinda g'alaba qozonish imkoniyatlarini bilishni xohlardi.

Keyingi bosqich - ehtimollar nazariyasida matematik tahlil usullarini qo'llash edi. Bu vazifani Laplas, Gauss, Puasson, Bernulli kabi taniqli matematiklar o‘z zimmalariga olishgan. Aynan ular matematikaning ushbu sohasini yangi bosqichga olib chiqdilar. Binomial taqsimot qonunini kashf etgan Jeyms Bernulli edi. Aytgancha, keyinroq bilib oladigan bo'lsak, ushbu kashfiyot asosida yana bir nechta normal taqsimot qonunini va boshqalarni yaratishga imkon berdi.

Endi, binomial taqsimotni tasvirlashni boshlashdan oldin, ehtimollik nazariyasi tushunchalari haqidagi xotiramizni biroz yangilaymiz, ehtimol biz maktabdan allaqachon unutgan bo'lsak.

Ehtimollar nazariyasi asoslari

Biz bunday tizimlarni ko'rib chiqamiz, natijada faqat ikkita natija bo'lishi mumkin: "muvaffaqiyat" va "muvaffaqiyatsizlik". Buni misol bilan tushunish oson: biz tanga tashlaymiz, u boshga tushadi deb umid qilamiz. Mumkin bo'lgan hodisalarning har birining (tushgan boshlar - "muvaffaqiyat", tushib qolgan boshlar - "qobiliyatsizlik") ehtimoli, agar tanga mukammal muvozanatlangan bo'lsa va tajribaga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan boshqa omillar bo'lmasa, 50 foizga teng.

Bu eng oddiy voqea edi. Lekin bor murakkab tizimlar, unda ketma-ket harakatlar amalga oshiriladi va bu harakatlar natijalarining ehtimollari farqlanadi. Misol uchun, quyidagi tizimni ko'rib chiqing: tarkibini biz ko'ra olmaydigan qutida oltita mutlaqo bir xil to'p, uchta juft ko'k, qizil va oq ranglar mavjud. Biz tasodifiy bir nechta to'pni olishimiz kerak. Shunga ko'ra, avval oq to'plardan birini tortib, biz keyingi oq to'pni olish ehtimolini sezilarli darajada kamaytiramiz. Bu tizimdagi ob'ektlar soni o'zgarishi sababli sodir bo'ladi.

Keyingi bo'limda biz "so'zlari" degan so'zlarga yaqinlashtiruvchi murakkabroq matematik tushunchalarni ko'rib chiqamiz. normal taqsimot", "binomial taqsimot" va boshqalar.

Matematik statistikaning elementlari

Ehtimollar nazariyasini qo'llash sohalaridan biri bo'lgan statistikada tahlil qilish uchun ma'lumotlar aniq berilmagan ko'plab misollar mavjud. Ya'ni, son jihatdan emas, balki xususiyatlar bo'yicha, masalan, jins bo'yicha bo'linish shaklida. Bunday ma'lumotlarga matematik vositalarni qo'llash va olingan natijalardan ba'zi xulosalar chiqarish uchun dastlabki ma'lumotlarni raqamli formatga aylantirish kerak. Odatda, buning uchun ijobiy natijaga 1 qiymati, salbiy natijaga esa 0 qiymati beriladi. Shunday qilib, biz matematik usullar yordamida tahlil qilinadigan statistik ma'lumotlarni olamiz.

Tasodifiy o'zgaruvchining binomial taqsimoti nima ekanligini tushunishning keyingi bosqichi tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini va matematik kutishni aniqlashdir. Bu haqda keyingi bobda gaplashamiz.

Kutilgan qiymat

Aslida, matematik kutish nima ekanligini tushunish qiyin emas. Turli xil ehtimolliklarga ega bo'lgan juda ko'p turli hodisalar mavjud bo'lgan tizimni ko'rib chiqing. Matematik kutish miqdor bo'ladi summasiga teng ushbu hodisalarning qiymatlari mahsuloti (biz oxirgi bo'limda muhokama qilgan matematik shaklda) ularning paydo bo'lish ehtimoli bo'yicha.

Binom taqsimotining matematik kutilishi bir xil sxema bo'yicha hisoblanadi: biz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatini olamiz, uni ijobiy natija ehtimoli bilan ko'paytiramiz va keyin barcha o'zgaruvchilar uchun olingan ma'lumotlarni yig'amiz. Ushbu ma'lumotlarni grafik tarzda taqdim etish juda qulay - bu bilan turli qiymatlarning matematik taxminlari o'rtasidagi farq yaxshiroq idrok etiladi.

Keyingi bo'limda biz sizga yana bir tushuncha - tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi haqida qisqacha ma'lumot beramiz. Bundan tashqari, binomial ehtimollik taqsimoti tushunchasi bilan chambarchas bog'liq va uning xarakteristikasi hisoblanadi.

Binomiy taqsimotning dispersiyasi

Bu qiymat oldingi bilan chambarchas bog'liq va statistik ma'lumotlarning taqsimlanishini ham tavsiflaydi. Bu qiymatlarning matematik kutilganidan og'ishlarining o'rtacha kvadratini ifodalaydi. Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi tasodifiy miqdorning qiymati va uning o'rtasidagi kvadratik farqlarning yig'indisidir. matematik kutish, bu hodisaning ehtimoli bilan ko'paytiriladi.

Umuman olganda, binomial ehtimollik taqsimoti nima ekanligini tushunish uchun dispersiya haqida bilishimiz kerak bo'lgan hamma narsa shu. Endi to'g'ridan-to'g'ri asosiy mavzuimizga o'tamiz. Ya'ni, juda murakkab ko'rinadigan "binomial taqsimot qonuni" iborasi ortida nima bor.

Binomiy taqsimot

Keling, birinchi navbatda bu taqsimotning binomial ekanligini aniqlaymiz. Bu "binom" so'zidan kelib chiqqan. Balki siz Nyutonning binomialini eshitgandirsiz - bu formuladan har qanday ikkita a va b sonining yig'indisini istalgan manfiy bo'lmagan n darajaga kengaytirish uchun foydalanish mumkin.

Siz allaqachon taxmin qilganingizdek, Nyutonning binomial formulasi va binomial taqsimot formulasi deyarli bir xil formulalardir. Faqatgina bundan mustasno, ikkinchisi aniq miqdorlar uchun amaliy ahamiyatga ega va birinchisi faqat umumiy matematik vosita bo'lib, amalda qo'llanilishi har xil bo'lishi mumkin.

Tarqatish formulalari

Binomli taqsimot funktsiyasini quyidagi atamalar yig'indisi sifatida yozish mumkin:

(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k

Bu erda n - mustaqil tasodifiy tajribalar soni, p - muvaffaqiyatli natijalar soni, q - muvaffaqiyatsiz natijalar soni, k - tajriba soni (0 dan n gacha qiymatlarni olishi mumkin),! - faktorialning belgilanishi, qiymati o'zidan oldingi barcha sonlarning ko'paytmasiga teng bo'lgan sonning funktsiyasi (masalan, 4 raqami uchun: 4!=1*2*3*4=24).

Bundan tashqari, binomial taqsimot funktsiyasi to'liq bo'lmagan beta funktsiyasi sifatida yozilishi mumkin. Biroq, bu murakkabroq ta'rif bo'lib, u faqat murakkab statistik muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.

Biz yuqorida ko'rib chiqqan misollar binomial taqsimot eng ko'p tarqalganlaridan biridir oddiy turlari ehtimollar nazariyasidagi taqsimotlar. Bundan tashqari, binomialning bir turi bo'lgan normal taqsimot mavjud. U eng tez-tez ishlatiladi va hisoblash uchun eng oson hisoblanadi. Bundan tashqari, Bernulli taqsimotlari, Puasson taqsimotlari va shartli taqsimotlar mavjud. Ularning barchasi turli sharoitlarda muayyan jarayonning ehtimollik diapazonlarini grafik jihatdan tavsiflaydi.

Keyingi bo'limda biz ushbu matematik apparatdan foydalanish bilan bog'liq jihatlarni ko'rib chiqamiz haqiqiy hayot. Bir qarashda, albatta, bu odatdagidek real hayotda qo'llanilmaydigan va umuman matematiklarning o'zidan boshqa hech kimga kerak bo'lmagan navbatdagi matematik narsadek tuyuladi. Biroq, bunday emas. Axir, tarqatishning barcha turlari va ularning grafik tasvirlari olimlarning injiqligi sifatida emas, balki faqat amaliy maqsadlar uchun yaratilgan.

Ilova

Albatta, taqsimotning eng muhim qo'llanilishi statistikada, chunki ular ko'plab ma'lumotlarni kompleks tahlil qilishni talab qiladi. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, ko'plab ma'lumotlar to'plamlari qiymatlarning taxminan bir xil taqsimotiga ega: juda past va juda yuqori qiymatlarning muhim hududlari, qoida tariqasida, o'rtacha qiymatlardan kamroq elementlarni o'z ichiga oladi.

Katta ma'lumotlar to'plamlarini tahlil qilish nafaqat statistikada talab qilinadi. Bu, masalan, ajralmas hisoblanadi fizik kimyo. Bu fanda atomlar va molekulalarning tasodifiy tebranishlari va harakatlari bilan bog'liq bo'lgan ko'plab miqdorlarni aniqlash uchun foydalaniladi.

Keyingi bo'limda binomial kabi statistik tushunchalardan foydalanish qanchalik muhimligini tushunamiz tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi Kundalik hayot sen va men uchun.

Nega menga kerak?

Ko'p odamlar matematika haqida gap ketganda o'zlariga bu savolni berishadi. Darvoqe, matematika bejizga fanlar malikasi deb atalmagan. U fizika, kimyo, biologiya, iqtisodning asosidir va bu fanlarning har birida qandaydir taqsimlanish ham qo'llaniladi: bu diskret binomial taqsimotmi yoki normalmi, muhim emas. Va agar biz atrofimizdagi dunyoga yaqinroq nazar tashlasak, matematika hamma joyda qo'llanilishini ko'ramiz: kundalik hayotda, ishda va hatto insoniy munosabatlarni statistik ma'lumotlar shaklida ko'rsatish va tahlil qilish mumkin (bu, aytmoqchi). , ma'lumot to'plash bilan shug'ullanadigan maxsus tashkilotlarda ishlaydiganlar).

Keling, ushbu mavzu bo'yicha biz ushbu maqolada aytib o'tganimizdan ko'ra ko'proq narsani bilishingiz kerak bo'lsa, nima qilish kerakligi haqida bir oz gaplashaylik.

Ushbu maqolada biz bergan ma'lumotlar to'liq emas. Tarqatish qanday shaklda bo'lishi mumkinligi haqida ko'plab nuanslar mavjud. Binom taqsimoti, biz allaqachon aniqlaganimizdek, butun bo'lgan asosiy turlardan biridir matematika statistikasi va ehtimollar nazariyasi.

Agar siz qiziqsangiz yoki ishingiz bilan bog'liq holda ushbu mavzu bo'yicha ko'proq bilishingiz kerak bo'lsa, siz maxsus adabiyotlarni o'rganishingiz kerak bo'ladi. Siz universitet kursidan boshlashingiz kerak matematik tahlil va ehtimollik nazariyasi bo'limiga o'ting. Seriyalarni bilish ham foydali bo'ladi, chunki binomial ehtimollik taqsimoti ketma-ket atamalar qatoridan boshqa narsa emas.

Xulosa

Maqolani yakunlashdan oldin sizga yana bir qiziq narsani aytib bermoqchimiz. Bu bizning maqolamizning mavzusiga va umuman olganda barcha matematikaga tegishli.

Ko'pchilik matematika foydasiz fan, maktabda o'qigan hech narsa ularga foydali emasligini aytadi. Ammo bilim hech qachon ortiqcha bo'lmaydi va agar hayotda biror narsa sizga foydali bo'lmasa, bu siz uni shunchaki eslay olmaysiz. Agar sizda bilim bo'lsa, ular sizga yordam berishi mumkin, ammo agar yo'q bo'lsa, unda siz ulardan yordam kutolmaysiz.

Shunday qilib, biz binomial taqsimot tushunchasini va u bilan bog'liq barcha ta'riflarni ko'rib chiqdik va uning hayotimizda qanday qo'llanilishi haqida gaplashdik.