Burchaklarning yig‘indisi nechaga teng? Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema. Burchak o'lchami bo'yicha turlar

Uchburchak burchaklarining yig'indisi- muhim, lekin etarli oddiy mavzu, 7-sinf geometriya fanidan o‘qitiladigan. Mavzu teorema, qisqacha isbot va bir qancha mantiqiy natijalardan iborat. Ushbu mavzuni bilish muammoni hal qilishga yordam beradi geometrik masalalar mavzuni keyingi o'rganish jarayonida.

Teorema - ixtiyoriy uchburchakning qanday burchaklari qo'shiladi?

Teorema shuni ko'rsatadiki, agar siz har qanday uchburchakni, uning turidan qat'i nazar, olsangiz, barcha burchaklarning yig'indisi doimo 180 daraja bo'ladi. Bu quyidagicha isbotlangan:

• masalan, ABC uchburchagini oling, cho'qqisida joylashgan B nuqtasi orqali to'g'ri chiziq o'tkazing va uni "a" deb belgilang, "a" to'g'ri chiziq AC tomoniga qat'iy parallel;
• "a" to'g'ri chiziq va AB va BC tomonlari o'rtasida burchaklar belgilanadi, ularni 1 va 2 raqamlari bilan belgilaydi;
• 1 burchak A burchakka, 2 burchak esa C burchakka teng deb hisoblanadi, chunki bu burchaklar ko'ndalang yotadi deb hisoblanadi;
• Shunday qilib, 1, 2 va 3 burchaklar orasidagi yig'indi (B burchak o'rnida belgilanadi) B cho'qqisi bilan ochilgan burchakka teng deb tan olinadi va 180 daraja.

Agar raqamlar bilan ko'rsatilgan burchaklarning yig'indisi 180 gradus bo'lsa, u holda A, B va C burchaklarining yig'indisi 180 gradusga teng deb tan olinadi. Bu qoida har qanday uchburchak uchun amal qiladi.

Geometrik teoremadan kelib chiqadigan narsa

Yuqoridagi teoremadan bir nechta xulosalarni ajratib ko'rsatish odatiy holdir.

• Agar muammo to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqsa, u holda uning burchaklaridan biri sukut bo'yicha 90 gradusga teng bo'ladi va o'tkir burchaklar yig'indisi ham 90 daraja bo'ladi.
• Agar biz to'g'ri teng yonli uchburchak haqida gapiradigan bo'lsak, unda 90 gradusgacha bo'lgan o'tkir burchaklari individual ravishda 45 darajaga teng bo'ladi.
• Teng tomonli uchburchak uchta teng burchakdan iborat bo'lib, ularning har biri mos ravishda 60 darajaga teng bo'ladi va jami 180 daraja bo'ladi.
• Har qanday uchburchakning tashqi burchagi unga qo'shni bo'lmagan ikkita ichki burchaklar yig'indisiga teng bo'ladi.

Quyidagi qoidani olish mumkin: har qanday uchburchak kamida ikkita o'tkir burchakka ega. Ba'zi hollarda uchburchak uchta o'tkir burchakdan iborat bo'lib, faqat ikkitasi bo'lsa, uchinchi burchak to'g'ri yoki to'g'ri bo'ladi.

Teorema. Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi ikkita to'g'ri burchakka teng.

Keling, ABC uchburchagini olaylik (208-rasm). Uning ichki burchaklarini 1, 2 va 3 raqamlari bilan belgilaymiz. Buni isbotlaylik

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Uchburchakning ba'zi cho'qqilari orqali, masalan, B, AC ga parallel MN to'g'ri chiziqni o'tkazamiz.

B cho'qqisida biz uchta burchak oldik: ∠4, ∠2 va ∠5. Ularning yig'indisi to'g'ri burchak, shuning uchun u 180 ° ga teng:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Lekin ∠4 = ∠1 - MN va AC parallel chiziqlari va AB kesmasi bo'lgan ichki ko'ndalang burchaklar.

∠5 = ∠3 - bular MN va AC parallel chiziqlari va BC sekantli ichki ko'ndalang burchaklardir.

Bu shuni anglatadiki, ∠4 va ∠5 ni ularning tenglari ∠1 va ∠3 bilan almashtirish mumkin.

Shuning uchun, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema isbotlangan.

2. Uchburchakning tashqi burchagi xossasi.

Aslida, ABC uchburchagida (209-rasm) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, balki ∠VSD ham bu uchburchakning ∠1 va ∠2 ga qo'shni bo'lmagan tashqi burchagi ham 180° ga teng. - ∠3.

Shunday qilib:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Demak, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Uchburchakning tashqi burchagining olingan xossasi uchburchakning tashqi burchagi haqidagi ilgari isbotlangan teoremaning mazmunini oydinlashtiradi, bunda faqat uchburchakning tashqi burchagi unga qoʻshni boʻlmagan uchburchakning har bir ichki burchagidan katta ekanligini koʻrsatgan; endi tashqi burchak unga qo'shni bo'lmagan ikkala ichki burchaklar yig'indisiga teng ekanligi aniqlandi.

3. 30° burchakli to‘g‘ri burchakli uchburchakning xossasi.

ACB to'g'ri burchakli uchburchakdagi B burchagi 30° ga teng bo'lsin (210-rasm). Keyin uning boshqa o'tkir burchagi 60 ° ga teng bo'ladi.

AC oyog'i AB gipotenuzasining yarmiga teng ekanligini isbotlaymiz. AC oyog'ini C to'g'ri burchakning tepasidan tashqariga cho'zamiz va AC segmentiga teng bo'lgan CM segmentini chetga qo'yamiz. M nuqtani B nuqtaga tutashtiramiz. Olingan VSM uchburchak ACB uchburchagiga teng. Biz ABM uchburchakning har bir burchagi 60° ga teng ekanligini ko'ramiz, shuning uchun bu uchburchak teng tomonli uchburchakdir.

AC oyog'i AM yarmiga teng va AM AB ga teng bo'lgani uchun AC oyog'i AB gipotenuzasining yarmiga teng bo'ladi.

Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180 0 ga teng. Bu Evklid geometriyasining asosiy aksiomalaridan biridir. Bu maktab o'quvchilari o'rganadigan geometriya. Geometriya haqiqiy dunyoning fazoviy shakllarini o'rganadigan fan sifatida ta'riflanadi.

Qadimgi yunonlarni geometriyani rivojlantirishga nima undagan? Dalalarni, o'tloqlarni - er yuzasining maydonlarini o'lchash zarurati. Shu bilan birga, qadimgi yunonlar Yer yuzasining gorizontal va tekis ekanligini qabul qilishgan. Ushbu farazni hisobga olgan holda, Evklid aksiomalari, shu jumladan uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180 0 yaratildi.

Aksioma - bu isbot talab qilmaydigan taklif. Buni qanday tushunish kerak? Insonga mos keladigan istak bildiriladi, so'ngra rasmlar bilan tasdiqlanadi. Ammo isbotlanmagan hamma narsa fantastika, haqiqatda mavjud bo'lmagan narsadir.

Er yuzasini gorizontal olib, qadimgi yunonlar avtomatik ravishda Yerning shaklini tekis deb qabul qilishgan, ammo u boshqacha - sharsimon. Tabiatda gorizontal tekisliklar yoki to'g'ri chiziqlar umuman yo'q, chunki tortishish kuchi bo'shliqni bukadi. To'g'ri chiziqlar va gorizontal tekisliklar faqat inson miyasida uchraydi.

Binobarin, Evklidning badiiy dunyoning fazoviy shakllarini tushuntiruvchi geometriyasi asliyatga ega bo‘lmagan nusxa – simulyatordir.

Evklid aksiomalaridan birida aytilishicha, uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180 0 ga teng. Haqiqatan ham, haqiqiy egri fazoda yoki Yerning sharsimon yuzasida uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi har doim 180 0 dan katta bo'ladi.

Keling, shunday o'ylaylik. Er sharidagi har qanday meridian ekvator bilan 90 0 burchak ostida kesishadi. Uchburchakni olish uchun siz boshqa meridianni meridiandan uzoqlashtirishingiz kerak. Meridianlar va ekvator tomoni orasidagi uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 0 ga teng bo'ladi. Ammo qutbda hali ham burchak bo'ladi. Natijada, barcha burchaklarning yig'indisi 180 0 dan ortiq bo'ladi.

Agar tomonlar qutbda 90 0 burchak ostida kesishsa, bunday uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 270 0 ga teng bo'ladi. Bu uchburchakda ekvatorni to'g'ri burchak ostida kesib o'tuvchi ikkita meridian bir-biriga parallel bo'ladi va bir-birini 90 0 burchak ostida kesib o'tuvchi qutbda perpendikulyar bo'ladi. Ma’lum bo‘lishicha, bir tekislikdagi ikkita parallel chiziq nafaqat kesishadi, balki qutbda ham perpendikulyar bo‘lishi mumkin.

Albatta, bunday uchburchakning tomonlari to'g'ri chiziqlar emas, balki sharsimon shaklni takrorlaydigan konveks bo'ladi. globus. Ammo bu koinotning haqiqiy dunyosi.

19-asr o'rtalarida uning egriligini hisobga olgan holda haqiqiy makonning geometriyasi. nemis matematigi B. Rimann (1820-1866) tomonidan ishlab chiqilgan. Ammo maktab o'quvchilariga bu haqda aytilmaydi.

Demak, Yerning gorizontal yuzasi bilan yassi shaklini olgan, aslida u bo'lmagan Evklid geometriyasi simulyatordir. Nootik - kosmosning egriligini hisobga oladigan Riman geometriyasi. Undagi uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180 0 dan katta.

Isbot

Mayli ABC" - ixtiyoriy uchburchak. Keling, tepadan o'taylik B chiziqqa parallel chiziq A.C. (bunday to'g'ri chiziq Evklid to'g'ri chiziq deb ataladi). Unda bir nuqtani belgilaymiz D shunday qilib, nuqtalar A Va D to'g'ri chiziqning qarama-qarshi tomonlarida yotqiz Miloddan avvalgi.Burchaklar DBC Va ACB sekant tomonidan hosil qilingan ichki ko'ndalang yotishga teng Miloddan avvalgi parallel chiziqlar bilan A.C. Va BD. Shuning uchun, uchburchakning burchaklaridagi burchaklarining yig'indisi B Va BILAN burchakka teng ABD.Uchburchakning barcha uch burchagi yig‘indisi burchaklar yig‘indisiga teng ABD Va BAC. Chunki bu burchaklar parallel uchun ichki bir tomonlama burchaklardir A.C. Va BD sekantda AB, keyin ularning yig'indisi 180 ° ga teng. Teorema isbotlangan.

Oqibatlari

Teoremadan kelib chiqadiki, har qanday uchburchakning ikkita o'tkir burchagi bor. Darhaqiqat, qarama-qarshilik bilan isbotdan foydalanib, uchburchakning faqat bitta o'tkir burchagi bor yoki umuman o'tkir burchaklari yo'q deb faraz qilaylik. Keyin bu uchburchak kamida ikkita burchakka ega, ularning har biri kamida 90 °. Bu burchaklarning yig'indisi 180° dan kam emas. Ammo bu mumkin emas, chunki uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng. Q.E.D.

Simpleks nazariyasiga umumlashtirish

Simpleksning i va j yuzlari orasidagi burchak qayerda.

Eslatmalar

• Sharda uchburchak burchaklarining yig'indisi har doim 180 ° dan oshadi, farq sferik ortiqcha deb ataladi va uchburchakning maydoniga proportsionaldir.
• Lobachevskiy tekisligida uchburchak burchaklarining yig'indisi har doim 180 ° dan kichik bo'ladi. Farqi uchburchakning maydoniga ham proportsionaldir.

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema" nima ekanligini ko'ring:

Evklid geometriyasida ko'pburchaklarning xossasi: Uchburchakning n burchaklarining yig'indisi 180° (n 2). Mundarija 1 Isbot 2 Eslatma ... Vikipediya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari oʻrtasidagi munosabatni oʻrnatadi. Mundarija 1 ... Vikipediya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari oʻrtasidagi munosabatni oʻrnatadi. Mundarija 1 Bayonotlar 2 Dalillar ... Vikipediya

Kosinuslar teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtirishdir. Uchburchakning bir tomonining kvadrati uning boshqa ikki tomonining kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning ular orasidagi burchakning kosinusiga ikki barobar ko'paytmasiga teng. Bilan tekis uchburchak uchun a,b,c tomonlari va burchak a... ... Vikipediya

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Uchburchak (maʼnolari). Uchburchak (Yevklid fazosida). geometrik shakl, bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan tashkil topgan. Uch nuqta,... ... Vikipediya

Standart belgi Uchburchak 3 ta uchi (burchak) va 3 tomoni bo'lgan eng oddiy ko'pburchakdir; tekislikning bir chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bilan chegaralangan qismi va bu nuqtalarni juft-juft qilib bog'laydigan uchta segment. Uchburchakning uchlari ... Vikipediya

Qadimgi yunon matematigi. 3-asrda Iskandariyada ishlagan. Miloddan avvalgi e. Qadimgi matematika, elementar geometriya, sonlar nazariyasi asoslarini o'z ichiga olgan "Principia" (15 kitob) asosiy asari, umumiy nazariya sohalar va hajmlarni aniqlashning munosabatlari va usullari, ... ... ensiklopedik lug'at

- (miloddan avvalgi 275-270 yillarda vafot etgan) qadimgi yunon matematigi. Uning tug'ilgan vaqti va joyi to'g'risida ma'lumotlar bizgacha yetib kelmagan, ammo ma'lumki, Evklid Iskandariyada yashagan va uning faoliyatining gullagan davri Misrda Ptolemey I hukmronligi davrida sodir bo'lgan... ... Katta ensiklopedik lug'at

Geometriya Evklid geometriyasiga o'xshash, chunki u figuralar harakatini belgilaydi, lekin Evklid geometriyasidan beshta postulatdan biri (ikkinchi yoki beshinchi) inkori bilan almashtirilishi bilan farq qiladi. Evklid postulatlaridan birini inkor qilish... ... Collier ensiklopediyasi

Uchburchak . O'tkir, o'tkir va to'g'ri burchakli uchburchak.

Oyoqlar va gipotenuza. Izoscellar va teng yonli uchburchak.

Uchburchak burchaklarining yig'indisi.

Uchburchakning tashqi burchagi. Uchburchaklar tenglik belgilari.

Uchburchakdagi diqqatga sazovor chiziqlar va nuqtalar: balandliklar, medianalar,

bissektrisa, mediana e perpendikulyar, ortosentr,

og'irlik markazi, aylananing markazi, chizilgan doiraning markazi.

Pifagor teoremasi. Ixtiyoriy uchburchakda tomonlar nisbati.

Uchburchak uch tomoni (yoki uchta burchagi) bo'lgan ko'pburchakdir. Uchburchakning tomonlari ko'pincha qarama-qarshi burchaklarni ifodalovchi bosh harflarga mos keladigan kichik harflar bilan ko'rsatiladi.

Agar barcha uch burchak o'tkir bo'lsa (20-rasm), unda bu o'tkir uchburchak . Agar burchaklardan biri to'g'ri bo'lsa(C, 21-rasm), anavi to'g'ri uchburchak; tomonlara, bto'g'ri burchak hosil qilish deyiladi oyoqlar; tomonicqarama-qarshi to'g'ri burchak deyiladi gipotenuza. Agar biri keng burchaklar (B, 22-rasm), anavi to'g'ri uchburchak.


ABC uchburchagi (23-rasm) - teng yon tomonlar, Agar ikki uning tomonlari teng (a= c); bu teng tomonlar deyiladi lateral, uchinchi tomon chaqiriladi asos uchburchak. Uchburchak ABC (24-rasm) – teng qirrali, Agar Hammasi uning tomonlari teng (a = b = c). Umuman ( a ≠ b ≠ c) bizda ... bor skalen uchburchak .

Uchburchaklarning asosiy xossalari. Har qanday uchburchakda:

1. Kattaroq tomonning qarshisida katta burchak yotadi va aksincha.

2. Teng burchaklar teng tomonlarga qarama-qarshi yotadi va aksincha.

Xususan, barcha burchaklar teng qirrali uchburchaklar teng.

3. Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 ga teng º .

Oxirgi ikkita xususiyatdan kelib chiqadiki, teng tomondagi har bir burchak

uchburchak 60 ga teng º.

4. Uchburchakning bir tomonini davom ettirsak (AC, 25-rasm), olamiz tashqi

BCD burchagi . Uchburchakning tashqi burchagi ichki burchaklarining yig'indisiga teng,

unga qo'shni emas : BCD = A + B.

5. Har qanday uchburchakning yon tomoni boshqa ikki tomonining yig'indisidan kichik va undan katta

ularning farqlari (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Uchburchaklar tenglik belgilari.

Uchburchaklar mos ravishda teng bo'lsa, ular mos keladi:

a ) ikki tomon va ular orasidagi burchak;

b ) ikkita burchak va ularga ulashgan tomon;

c) uch tomon.

To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari.

Ikki to'rtburchaklar Agar quyidagi shartlardan biri bajarilsa, uchburchaklar tengdir:

1) oyoqlari teng;

2) bir uchburchakning oyog'i va gipotenuzasi ikkinchisining oyog'i va gipotenuzasiga teng;

3) bir uchburchakning gipotenuzasi va o'tkir burchagi ikkinchisining gipotenuzasi va o'tkir burchagiga teng;

4) bir uchburchakning oyog'i va qo'shni o'tkir burchagi ikkinchisining oyog'i va qo'shni o'tkir burchagiga teng;

5) bir uchburchakning oyog'i va qarama-qarshi o'tkir burchagi oyoq va ga teng ikkinchisining qarama-qarshi o'tkir burchagi.

Uchburchakdagi ajoyib chiziqlar va nuqtalar.

Balandligi uchburchak hisoblanadiperpendikulyar,har qanday tepadan qarama-qarshi tomonga tushiriladi ( yoki uning davomi). Bu tomon deyiladiuchburchakning asosi . Uchburchakning uchta balandligi har doim kesishadibir nuqtada, chaqirildi ortomarkaz uchburchak. O'tkir uchburchakning ortomarkazi (nuqta O , 26-rasm) uchburchak ichida joylashgan vao'tmas uchburchakning ortomarkazi (nuqta O , rasm. 27) – tashqarida; To'g'ri burchakli uchburchakning ortosentri to'g'ri burchakning tepasiga to'g'ri keladi.

Median - Bu chiziq segmenti , uchburchakning istalgan tepasini qarama-qarshi tomonning o'rtasiga ulash. Uchburchakning uchta medianasi (AD, BE, CF, 28-rasm) bir nuqtada kesishadi O , har doim uchburchak ichida yotgan va uniki bo'lish og'irlik markazi. Bu nuqta har bir medianani 2: 1 nisbatda, cho'qqidan hisoblashda ajratadi.

Bissektrisa - Bu bissektrisa segmenti cho'qqidan nuqtagacha bo'lgan burchak qarama-qarshi tomoni bilan kesishmalar. Uchburchakning uchta bissektrisasi (AD, BE, CF, 29-rasm) bir nuqtada kesishadi Oh, har doim uchburchak ichida yotadi Va bo'lish chizilgan doira markazi("Yozilgan." bo'limiga qarangva chegaralangan ko'pburchaklar").

Bissektrisa qarama-qarshi tomonni qo'shni tomonlarga proportsional qismlarga ajratadi ; masalan, 29-rasmda AE: Idoralar = AB: BC.

Median perpendikulyar o'rtasidan chizilgan perpendikulyardir segment nuqtalari (tomonlar). ABC uchburchakning uchta perpendikulyar bissektrisasi(KO, MO, NO, 30-rasm ) bir O nuqtada kesishadi, ya'ni markaz chegaralangan doira (K, M, N nuqtalari - uchburchak tomonlarining o'rta nuqtalari ABC).

O'tkir uchburchakda bu nuqta uchburchak ichida yotadi; to'mtoqda - tashqarida; to'rtburchak shaklida - gipotenuzaning o'rtasida. Ortosentr, og'irlik markazi, aylana va chizilgan doira faqat teng tomonli uchburchakda mos tushadi.

Pifagor teoremasi. To'g'ri burchakli uchburchakda uzunlik kvadratiGipotenuza oyoqlarning uzunliklari kvadratlari yig'indisiga teng.

Pifagor teoremasining isboti 31-rasmdan aniq kelib chiqadi. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing Oyoqlari bilan ABC a, b va gipotenuza c.

Keling, kvadrat quraylik AKMB gipotenuza yordamida AB tomon sifatida. Keyinto'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini davom ettiring ABC kvadrat olish uchun CDEF , kimning tomoni tenga + b.Endi maydonning maydoni aniq bo'ldi CDEF ga teng ( a+b) 2 . Boshqa tomondan, bu maydoni summaga teng hududlar to'rtta to'g'ri uchburchak va kvadrat AKMB, ya'ni

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

bu yerdan,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

va nihoyat bizda:

c 2 =a 2 +b 2 .

Ixtiyoriy uchburchakda tomonlar nisbati.

Umumiy holatda (ixtiyoriy uchburchak uchun) bizda:

c 2 =a 2 +b 2 – 2ab· cos C,

qaerda C - tomonlar orasidagi burchaka Va b .