Jan Leron d'Alember - XVIII asrning mashhur frantsuz matematiki. Umuman olganda, d'Alembert ixtisoslashgan differensial tenglamalar va o'z tadqiqotlariga asoslanib, Janobi Oliylarining to'plari yaxshiroq uchishi uchun ballistika ustida ishladi. Shu bilan birga, men raqamlar seriyasini unutmadim, keyinchalik Napoleon qo'shinlarining saflari shunchalik aniq bir-biriga yaqinlashishi va ajralib chiqishi bejiz emas edi.

Belgining o'zini shakllantirishdan oldin, keling, muhim savolni ko'rib chiqaylik:
D'Alembertning konvergentsiya testidan qachon foydalanish kerak?

Avval ko'rib chiqishdan boshlaylik. Keling, eng mashhurlaridan foydalanishingiz kerak bo'lgan holatlarni eslaylik taqqoslash chegarasi. Taqqoslash uchun cheklovchi mezon qatorning umumiy atamasida quyidagi hollarda qo'llaniladi:
1) maxraj ko‘phadni o‘z ichiga oladi.
2) Ko‘pnomlar ham ayiruvchi, ham maxrajda bo‘ladi.
3) Bir yoki ikkala ko‘phad ildiz ostida bo‘lishi mumkin.

D'Alember testini qo'llashning asosiy shartlari quyidagilardan iborat:

1) Seriyaning umumiy atamasi ("ketmani to'ldirish") ma'lum bir sonni o'z ichiga oladi, masalan, va hokazo. Bundan tashqari, bu narsa qayerda, hisoblagichda yoki maxrajda joylashganligining ahamiyati yo'q - eng muhimi, u erda mavjudligi.

2) qatorning umumiy hadi faktorialni o'z ichiga oladi. Faktorial nima? Hech qanday murakkab narsa yo'q, faktorial faqat mahsulotning siqilgan ko'rinishidir:





…


…

! D'Alember testidan foydalanganda biz faktorialni batafsil tavsiflashimiz kerak bo'ladi. Oldingi paragrafda bo'lgani kabi, faktorial kasrning yuqori yoki pastki qismida joylashgan bo'lishi mumkin.

3) Agar qatorning umumiy atamasida “omillar zanjiri” mavjud bo‘lsa, masalan, . Bu holat kamdan-kam uchraydi, lekin! Bunday seriyani o'rganishda ko'pincha xatoga yo'l qo'yiladi - 6-misolga qarang.

Kuchlar va/yoki faktoriallar bilan bir qatorda polinomlar koʻpincha qatorni toʻldirishda uchraydi; bu vaziyatni oʻzgartirmaydi – D'Alembert belgisidan foydalanish kerak.

Bundan tashqari, qatorning umumiy terminida daraja ham, faktorial ham bir vaqtda sodir bo'lishi mumkin; ikkita faktorial, ikki daraja bo'lishi mumkin, bo'lishi muhim hech bo'lmaganda biror narsa ko'rib chiqilgan nuqtalardan - va bu D'Alembert belgisidan foydalanishning aniq shartidir.

D'Alembert belgisi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Agar keyingi atamaning oldingisiga nisbati chegarasi bo'lsa: , u holda:
a) Qachon qator birlashadi
b) Qachon qator farqlanadi
c) qachon belgi javob bermaydi. Siz boshqa belgidan foydalanishingiz kerak. Ko'pincha, cheklovchi taqqoslash testidan foydalanish kerak bo'lganda, ular d'Alembert testini qo'llashga harakat qilganda olinadi.

Kim hali ham cheklovlar yoki chegaralarni noto'g'ri tushunish bilan bog'liq muammolarga duch kelsa, mavzuga murojaat qiling Cheklovlar. Yechimlarga misollar. Chegara va noaniqlikni ochib berish qobiliyatini tushunmasdan, afsuski, oldinga siljish mumkin emas. Va endi uzoq kutilgan misollar.

1-misol
Biz seriyaning umumiy atamasida bizda borligini ko'ramiz va bu d'Alembert testidan foydalanishning aniq shartidir. Birinchidan, to'liq yechim va namunaviy dizayn, quyida sharhlar.

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

birlashadi.

(1) Seriyaning keyingi a'zosining oldingisiga nisbatini tuzamiz: . Shartdan ko'ramizki, qatorning umumiy termini . Seriyaning keyingi a'zosini olish uchun bu kerak almashtirish o'rniga: .
(2) Biz to'rt qavatli fraktsiyadan qutulamiz. Agar sizda yechim bilan tajribangiz bo'lsa, bu bosqichni o'tkazib yuborishingiz mumkin.
(3) Numeratordagi qavslarni oching. Denominatorda biz to'rttasini quvvatdan chiqaramiz.
(4) ga kamaytiring. Biz doimiyni chegara belgisidan tashqariga olamiz. Numeratorda biz qavs ichida o'xshash atamalarni keltiramiz.
(5) Noaniqlik standart tarzda yo'q qilinadi - hisoblagich va maxrajni "en" ga eng yuqori quvvatga bo'lish orqali.
(6) Numeratorlarni hadga ayiruvchilarga ajratamiz va nolga moyil bo'lgan hadlarni ko'rsatamiz.
(7) Biz javobni soddalashtiramiz va shuni qayd qilamizki, D'Alembert mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qatorlar yaqinlashadi.

Ko'rib chiqilgan misolda qatorning umumiy hadida biz 2-darajali ko'phadga duch keldik. Agar 3, 4 yoki undan yuqori darajali polinom bo'lsa, nima qilish kerak? Gap shundaki, agar yuqori darajadagi polinom berilsa, qavslarni ochishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Bunday holda siz "turbo" yechim usulidan foydalanishingiz mumkin.

2-misol Keling, shunga o'xshash qatorni olib, uni konvergentsiya uchun tekshiramiz
Avval to'liq yechim, keyin sharhlar:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

(1) Biz munosabatlarni yaratamiz.
(2) Biz to'rt qavatli fraktsiyadan qutulamiz.
(3) Numeratordagi ifodani va maxrajdagi ifodani ko'rib chiqing. Biz hisoblagichda biz qavslarni ochishimiz va ularni to'rtinchi darajaga ko'tarishimiz kerakligini ko'ramiz: , biz buni mutlaqo xohlamaymiz. Bundan tashqari, Nyuton binomial bilan tanish bo'lmaganlar uchun bu vazifa umuman bajarilmasligi mumkin. Keling, yuqori darajalarni tahlil qilaylik: agar biz yuqoridagi qavslarni ochsak, biz eng yuqori darajani olamiz. Quyida biz bir xil yuqori darajaga egamiz: . Oldingi misolga o'xshatib, ko'rinib turibdiki, son va maxrajni hadga bo'lishda biz chegarada bittaga qolamiz. Yoki, matematiklar aytganidek, polinomlar va - bir xil o'sish tartibi. Shunday qilib, oddiy qalam bilan nisbatni belgilash va darhol bu narsa bittaga moyilligini ko'rsatish mumkin. Ikkinchi juft ko‘phad bilan ham xuddi shunday ishlaymiz: va , ular ham bir xil o'sish tartibi, va ularning nisbati birlikka intiladi.

Aslida, bunday "hack" №1 misolda olib tashlanishi mumkin edi, ammo 2-darajali polinom uchun bunday yechim hali ham qandaydir nomaqbul ko'rinadi. Shaxsan men buni qilaman: agar birinchi yoki ikkinchi darajali ko‘phad (yoki ko‘phad) bo‘lsa, 1-misolni yechish uchun “uzoq” yo‘ldan foydalanaman. Agar men 3 yoki undan ortiq ko‘phadga duch kelsam. yuqori darajalar, Men 2-misolga o'xshash "turbo" usulidan foydalanaman.

3-misol .

Keling, faktoriallar bilan odatiy misollarni ko'rib chiqaylik:

4-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Seriyaning umumiy atamasi darajani ham, faktorialni ham o'z ichiga oladi. Bu erda d'Alember belgisi qo'llanilishi kerakligi kundek aniq. Keling, qaror qilaylik.

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.

(1) Biz munosabatlarni yaratamiz. Yana takrorlaymiz. Shartga ko'ra, qatorning umumiy a'zosi: . Seriyadagi keyingi muddatni olish uchun, o'rniga siz almashtirishingiz kerak, Shunday qilib: .
(2) Biz to'rt qavatli fraktsiyadan qutulamiz.
(3) Yettilikni darajadan chimchilab oling. Biz faktoriallarni batafsil tavsiflaymiz. Buni qanday qilish kerak - darsning boshiga qarang.
(4) Biz kesish mumkin bo'lgan hamma narsani kesib tashladik.
(5) Biz doimiyni chegara belgisidan tashqariga o'tkazamiz. Numeratordagi qavslarni oching.
(6) Biz noaniqlikni standart usulda yo'q qilamiz - numerator va maxrajni "en" ga eng yuqori quvvatga bo'lish orqali.

5-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring.Toʻliq yechim quyida keltirilgan.

6-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Ba'zida ularni to'ldirishda "zanjir" omillarini o'z ichiga olgan seriyalar mavjud, biz bu turdagi seriyalarni hali ko'rib chiqmaganmiz. Faktorlar "zanjiri" bilan seriyani qanday o'rganish mumkin? D'Alembert belgisidan foydalaning. Lekin birinchi navbatda, nima bo'layotganini tushunish uchun keling, seriyani batafsil tasvirlab beraylik:

Kengayishdan ko'ramizki, qatorning har bir keyingi a'zosi maxrajga qo'shilgan qo'shimcha omilga ega, shuning uchun qatorning umumiy a'zosi bo'lsa, qatorning keyingi a'zosi:
. Bu erda ular ko'pincha avtomatik ravishda xatoga yo'l qo'yishadi, rasmiy ravishda algoritmga muvofiq yozishadi

Yechimning taxminiy namunasi quyidagicha ko'rinishi mumkin: D'Alembert belgisidan foydalanamiz:
Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.
RADIKAL KOCHI BELGISI

Avgustin Lui Koshi - bundan ham mashhur frantsuz matematiki. Har qanday talaba sizga Koshining tarjimai holini aytib berishi mumkin. texnik mutaxassislik. Eng go'zal ranglarda. Bu nom Eyfel minorasining birinchi qavatida o‘yilganligi bejiz emas.

Koshining musbat sonlar seriyasi uchun yaqinlashuv testi hozirgi muhokama qilingan D'Alembert testiga bir oz o'xshaydi.

Radikal Koshi belgisi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Agar chegara mavjud bo'lsa: , keyin:
a) Qachon qator birlashadi. Xususan, qatorlar da yaqinlashadi.
b) Qachon qator farqlanadi. Xususan, ketma-ket ajraladi.
c) qachon belgi javob bermaydi. Siz boshqa belgidan foydalanishingiz kerak. Shunisi qiziqki, agar Koshi testi qatorning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob bermasa, Dalember testi ham bizga javob bermaydi. Ammo agar d'Alember testi javob bermasa, Koshining testi yaxshi "ishlashi" mumkin. Ya'ni, Koshi belgisi shu ma'noda kuchliroq belgidir.

Radikal Koshi belgisini qachon ishlatish kerak? Radikal Koshi testi odatda seriyaning umumiy atamasi bo'lgan hollarda qo'llaniladi TO'LIQ darajasida "en" ga qarab. Yoki "yaxshi" ildiz seriyaning umumiy a'zosidan chiqarilganda. Ekzotik holatlar ham bor, lekin biz ular haqida tashvishlanmaymiz.

7-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Biz seriyaning umumiy atamasi ga bog'liq holda to'liq quvvat ostida ekanligini ko'ramiz, bu biz radikal Koshi testidan foydalanishimiz kerakligini anglatadi:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.

(1) Biz ildiz ostida qatorning umumiy atamasini tuzamiz.
(2) Xuddi shu narsani, faqat ildizsiz, darajalar xususiyatidan foydalangan holda qayta yozamiz.
(3) Ko'rsatkichda biz sonni maxraj a'zosiga bo'lib, buni ko'rsatamiz
(4) Natijada bizda noaniqlik bor. Bu siz borishingiz mumkin bo'lgan joy uzoq yo'l: kub, kub, so'ngra hisoblagich va maxrajni "en" ga eng yuqori quvvatga bo'ling. Lekin ichida Ushbu holatda Bundan samaraliroq yechim bor: siz to'g'ridan-to'g'ri doimiy quvvat ostida hisob va maxraj atamasini atama bo'yicha ajratishingiz mumkin. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun hisoblagich va maxrajni (eng yuqori quvvat) ga bo'ling.
(5) Biz amalda atama bo'yicha bo'linishni amalga oshiramiz va nolga moyil bo'lgan shartlarni ko'rsatamiz.
(6) Biz javobni eslaymiz, bizda nima borligini belgilaymiz va ketma-ketlik farqlanadi degan xulosaga kelamiz.

Mana oddiyroq misol mustaqil qaror:

8-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Va yana bir nechta odatiy misollar.

To'liq yechim va namuna dizayni quyida keltirilgan.

9-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring
Biz radikal Koshi testidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

(1) Ketmaning umumiy atamasini ildiz ostiga qo'ying.
(2) Biz xuddi shu narsani qayta yozamiz, lekin ildizsiz, qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida qavslarni ochishda: .
(3) Ko'rsatkichda sonni maxraj a'zosiga bo'lamiz va buni ko'rsatamiz.
(4) Shaklning noaniqligi. Bu erda siz to'g'ridan-to'g'ri qavs ichidagi maxrajga "en" orqali eng yuqori darajaga bo'lishingiz mumkin. Biz o'qish paytida shunga o'xshash narsaga duch keldik ikkinchi ajoyib chegara. Ammo bu erda vaziyat boshqacha. Agar yuqori kuchlarda koeffitsientlar bo'lsa bir xil, masalan: , keyin muddatga bo'linish bilan hiyla endi ishlamaydi va ikkinchi ajoyib chegaradan foydalanish kerak bo'ladi. Ammo bizda bu koeffitsientlar mavjud boshqacha(5 va 6), shuning uchun atamani muddatga bo'lish mumkin (va kerak) (aytmoqchi, aksincha - ikkinchi ajoyib chegara boshqacha yuqori quvvatlardagi koeffitsientlar endi ishlamaydi).
(5) Biz amalda atama bo'yicha bo'linishni amalga oshiramiz va qaysi atamalar nolga moyilligini ko'rsatamiz.
(6) Noaniqlik bartaraf etildi, eng oddiy chegara qolmoqda: Nima uchun cheksiz katta nolga intiladi? Chunki daraja asosi tengsizlikni qanoatlantiradi. Agar kimdir chegaraning adolatliligiga shubha qilsa, men dangasa bo'lmayman, men kalkulyatorni olaman:
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
… va hokazo. cheksizlikka - ya'ni chegarada:
(7) Biz ketma-ketlik yaqinlashadi degan xulosaga kelganimizni bildiramiz.

10-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Ba'zan yechim uchun provokatsion misol taklif etiladi, masalan:. Bu erda eksponentda "en" yo'q, faqat doimiy. Bu erda siz pay va maxrajni kvadratga olishingiz kerak (siz polinom olasiz), so'ngra maqoladagi algoritmga amal qiling. Dummies uchun qatorlar. Bunday misolda ketma-ketlikni yaqinlashtirish uchun kerakli test yoki taqqoslash uchun cheklovchi test ishlashi kerak.
INTEGRAL KOSHI BELGISI

Birinchi kurs materialini yaxshi tushunmaganlarni xafa qilaman. Koshi integral testini qo'llash uchun siz hosilalarni, integrallarni topishda ko'proq yoki kamroq ishonchga ega bo'lishingiz, shuningdek hisoblash mahoratiga ega bo'lishingiz kerak. noto'g'ri integral birinchi turdagi. Darsliklarda matematik tahlil Integral Koshi testi matematik jihatdan qat'iy berilgan; keling, testni juda ibtidoiy, ammo tushunarli tarzda shakllantiramiz. Va darhol tushuntirish uchun misollar.

Integral Koshi testi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Bu qator yaqinlashadimi yoki ajraladimi?

11-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Deyarli klassik. Tabiiy logarifm va ba'zi bema'nilik.

Koshi integral testidan foydalanishning asosiy sharti hisoblanadi qatorning umumiy atamasida ma’lum funktsiya va uning hosilasi borligidir. Mavzudan Hosil Ehtimol, siz eng oddiy stol narsasini eslaysiz: , va bizda shunday kanonik holat bor.

Integral atributidan qanday foydalanish kerak? Birinchidan, biz integral belgini olamiz va seriyaning "hisoblagichi" dan yuqori va pastki chegaralarni qayta yozamiz: . Keyin, integral ostida biz "u" harfi bilan seriyaning "to'ldirilishi" ni qayta yozamiz: . Nimadir etishmayapti..., ha, siz ham hisoblagichga differentsial belgi qo'yishingiz kerak: .

Endi biz hisoblashimiz kerak noto'g'ri integral. Bunday holda, ikkita holat mumkin:

1) Agar integral yaqinlashishi aniqlansa, bizning qatorlarimiz ham yaqinlashadi.

2) Agar integral ajralishi aniqlansa, bizning qatorlarimiz ham ajralib chiqadi.

Takror aytaman, agar material e'tiborsiz qolsa, paragrafni o'qish qiyin va tushunarsiz bo'ladi, chunki xususiyatdan foydalanish asosan hisoblash bilan bog'liq. noto'g'ri integral birinchi turdagi.

To'liq yechim va misol formati quyidagicha ko'rinishi kerak:

Biz integral belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi mos keladigan noto'g'ri integral bilan birga.

12-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Dars oxiridagi yechim va namunaviy dizayn

Ko'rib chiqilgan misollarda logarifm ildiz ostida ham bo'lishi mumkin; bu yechim usulini o'zgartirmaydi.

Yangi boshlanuvchilar uchun yana ikkita misol

13-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Umumiy "parametrlar" ga ko'ra, seriyaning umumiy atamasi taqqoslash uchun cheklovchi mezondan foydalanish uchun mos ko'rinadi. Siz shunchaki qavslarni ochishingiz va to'liq taqqoslash uchun darhol nomzodga topshirishingiz kerak bu seriya konvergent qator bilan. Biroq, men bir oz aldadim, qavslar ochilmasligi mumkin, lekin baribir cheklovchi taqqoslash mezoni orqali yechim juda da'vogar ko'rinadi.

Shuning uchun biz integral Koshi testidan foydalanamiz:

Integratsiya funksiyasi uzluksiz

birlashadi mos keladigan noto'g'ri integral bilan birga.

! Eslatma:natijada olingan raqamemas seriya yig'indisi !!!

14-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Yechim va namunaviy dizayn tugaydigan qismning oxirida.

Raqamlar seriyasi mavzusini to'liq va qaytarib bo'lmaydigan darajada o'zlashtirish uchun mavzularga tashrif buyuring.

Yechimlar va javoblar:

3-misol:Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.
Eslatma: "Turbo" yechim usulidan ham foydalanish mumkin edi: darhol nisbatni qalam bilan aylantiring, uning birlikka moyilligini ko'rsating va "bir xil o'sish tartibida" yozuvini qo'ying.

5-misol: Biz d'Alember belgisidan foydalanamiz: Shunday qilib, o'rganilayotgan qator birlashadi.

8-misol:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

10-misol:
Biz radikal Cauchy testidan foydalanamiz.

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.
Eslatma: Bu erda asos daraja, shuning uchun

12-misol: Biz integral belgisidan foydalanamiz.


Cheklangan son olinadi, bu o'rganilayotgan qatorni bildiradi birlashadi

14-misol: Biz integral belgisidan foydalanamiz
Integrand uzluksiz bo'ladi.

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi mos keladigan noto'g'ri integral bilan birga.
Eslatma: Seriya yordamida ham tekshirilishi mumkinsolishtirish uchun cheklovchi mezon . Buning uchun ildiz ostidagi qavslarni ochish va o'rganilayotgan qatorni divergent qator bilan solishtirish kerak.

O'zgaruvchan qatorlar. Leybnits belgisi. Yechimlarga misollar

Ushbu dars misollarini tushunish uchun siz musbat sonlar qatorini yaxshi tushunishingiz kerak: qator nima ekanligini tushunish, qatorning yaqinlashuvi uchun zarur belgini bilish, taqqoslash testlarini qo'llay olish, d'Alember testi. , Koshi testi. Maqolalarni doimiy ravishda o'rganish orqali mavzuni deyarli noldan ko'tarish mumkin Dummies uchun qatorlar Va D'Alembert belgisi. Koshi belgilari. Mantiqan, bu dars ketma-ket uchinchi bo'lib, u nafaqat o'zgaruvchan qatorlarni tushunishga, balki allaqachon o'tilgan materialni birlashtirishga ham imkon beradi! Kichik yangilik bo'ladi va o'zgaruvchan qatorlarni o'zlashtirish qiyin bo'lmaydi. Hammasi oddiy va qulay.

Muqobil seriya nima? Bu ismning o'zidan aniq yoki deyarli aniq. Oddiy misol. Keling, seriyani ko'rib chiqamiz va uni batafsilroq tavsiflaymiz:

Va endi qotil izoh bo'ladi. Muqobil qator a'zolari o'zgaruvchan belgilarga ega: ortiqcha, minus, ortiqcha, minus, ortiqcha, minus va boshqalar. cheksizlikka.
Hizalama ko'paytiruvchini ta'minlaydi: agar juft bo'lsa, ortiqcha belgisi bo'ladi, toq bo'lsa, minus belgisi bo'ladi. Matematik jargonda bu narsa "flasher" deb ataladi. Shunday qilib, o'zgaruvchan qator minus bir bilan "en" darajasiga qadar "aniqlanadi".

Amaliy misollarda qator terminlarining almashinishi nafaqat ko‘paytuvchi, balki uning birodarlari tomonidan ham ta’minlanishi mumkin: , , , …. Masalan:

Tuzoq "aldashlar": , , va hokazo. - bunday multiplikatorlar belgi o'zgarishini ta'minlamang. Bu mutlaqo aniq har qanday tabiiy uchun: , , . Aldash qatorlari nafaqat iqtidorli talabalarga, balki ularni hal qilish jarayonida vaqti-vaqti bilan "o'z-o'zidan" paydo bo'ladi. funktsional qator.

Muqobil qatorni konvergentsiya uchun qanday tekshirish mumkin? Leybnits testidan foydalaning. Men nemis tafakkur giganti Gotfrid Vilgelm Leybnits haqida hech narsa demoqchi emasman, chunki u matematik asarlaridan tashqari falsafaga oid bir qancha jildlar ham yozgan. Miya uchun xavfli.

Leybnits testi: Agar muqobil qator a'zolari bo'lsa monoton tarzda modulning pasayishi, keyin qator yaqinlashadi. Yoki ikki nuqtada:

2) Qatlamning hadlari absolyut qiymatining kamayishi: . Bundan tashqari, ular monoton ravishda kamayadi.

Agar tugallangan bo'lsa ikkalasi ham shartlar, keyin qator yaqinlashadi.

Modul haqida qisqacha ma'lumot qo'llanmada keltirilganIssiq formulalar maktab kursi matematiklar , lekin qulaylik uchun yana bir bor:

"Modulo" nimani anglatadi? Modul, maktabdan eslaganimizdek, minus belgisini "yeydi". Keling, qatorga qaytaylik. Barcha belgilarni o'chirgich bilan o'chirib tashlang va raqamlarga qaraylik. Biz buni ko'ramiz har keyingi seriya a'zosi Ozroq oldingisiga qaraganda. Shunday qilib, quyidagi iboralar bir xil ma'noni anglatadi:

- Serial a'zolari belgisidan qat'iy nazar kamayib bormoqda.
- Seriya a'zolari kamaymoqda modul.
- Seriya a'zolari kamaymoqda mutlaq qiymatda.
– Modul qatorning umumiy terimi nolga intiladi: Yordamning oxiri

Endi monotonlik haqida bir oz gapiraylik. Monotoniya - zerikarli izchillik.

Serial a'zolari qat'iy monoton agar seriyaning HAR KEYINGI a'zosi bo'lsa modulning pasayishi modul Oldingidan kamroq: . Seriya pasayishning qat'iy monotonligiga ega, uni batafsil tavsiflash mumkin:

Yoki qisqacha aytishimiz mumkin: seriyaning har bir keyingi a'zosi modul oldingisidan kamroq: .

Serial a'zolari qat'iy monoton emas modulning pasayishi, agar seriya modulining HAR BIR SOYIDAGI a'zosi avvalgisidan KATTA BO'LMAYSA: . Faktorialli qatorni ko'rib chiqamiz: Bu erda bo'sh monotonlik mavjud, chunki qatorning dastlabki ikki hadi modul bo'yicha bir xil. Ya'ni, seriyaning har bir keyingi a'zosi modul oldingisidan ortiq emas: .

Leybnits teoremasi sharoitida kamayib boruvchi monotonlik qanoatlantirilishi kerak (u qat'iy yoki qat'iy emasligi muhim emas). Bunday holda, seriya a'zolari mumkin hatto bir muncha vaqt uchun modulning oshishi, lekin seriyaning "dumi" albatta monoton ravishda kamayib borishi kerak. Men to'plagan narsalardan qo'rqishning hojati yo'q, amaliy misollar hamma narsani o'z o'rniga qo'yadi:

1-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Seriyaning umumiy atamasi omilni o'z ichiga oladi, ya'ni Leybnits mezonidan foydalanish kerak

1) Qatorni almashtirish uchun tekshirish. Odatda, qarorning ushbu nuqtasida seriya batafsil tavsiflanadi va "Serial almashinadi" hukmi e'lon qilinadi.

2) Ketmaning hadlari absolyut qiymatda kamayadimi? Ko'pincha juda oddiy bo'lgan chegarani hal qilish kerak.

– qator shartlari modulda kamaymaydi. Aytgancha, endi pasayishning monotonligini muhokama qilishning hojati yo'q. Xulosa: seriyalar ajralib chiqadi.

Nima teng ekanligini qanday aniqlash mumkin? Juda oddiy. Ma'lumki, modul kamchiliklarni yo'q qiladi, shuning uchun uni yaratish uchun siz tomdan miltillovchi chiroqni olib tashlashingiz kerak. Bunda qatorning umumiy atamasi . Biz ahmoqona "miltillovchi chiroq" ni olib tashlaymiz: .

2-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Biz Leybnits mezonidan foydalanamiz:

1) Seriya almashinadi.

2) – qator shartlari mutlaq qiymatning kamayishi. Seriyaning har bir keyingi a'zosi avvalgisidan kamroq mutlaq qiymatga ega: shuning uchun pasayish monotondir.

Xulosa: qatorlar yaqinlashadi.

Hammasi juda oddiy bo'lardi - lekin bu yechimning oxiri emas!

Agar qator Leybnits testi bo'yicha yaqinlashsa, u holda qator deb ham aytiladi shartli ravishda birlashadi.

Agar modullardan tashkil topgan qator ham yaqinlashsa, ular seriya deb aytishadi mutlaqo birlashadi.

Shuning uchun kun tartibiga tipik masalani yechishning ikkinchi bosqichi - mutlaq yaqinlashish uchun o'zgaruvchan qator belgisini o'rganish kiradi.

Bu mening aybim emas - bu shunchaki raqamlar seriyasi nazariyasi =)

Keling, seriyalarimizni mutlaq yaqinlashish uchun ko'rib chiqaylik.
Keling, bir qator modullarni tuzamiz - yana biz shunchaki belgilarning almashinishini ta'minlaydigan omilni olib tashlaymiz: - ajralib chiqadi (garmonik seriya).

Shunday qilib, bizning seriyamiz mutlaqo konvergent emas.
O'rganilayotgan seriya faqat shartli ravishda yaqinlashadi.

E'tibor bering, 1-misolda mutlaq bo'lmagan konvergentsiyani o'rganishning hojati yo'q, chunki birinchi bosqichda qatorlar ajralib chiqadi degan xulosaga keldi.

Biz chelaklar, belkuraklar, mashinalarni yig'amiz va ekskavatorim kabinasidan dunyoga ko'zlarini katta ochib qarash uchun qum qutisidan chiqamiz:

3-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring.Biz Leybnits mezonidan foydalanamiz:

1)
Bu seriya almashinadi.

2) – qator shartlari mutlaq qiymatning kamayishi. Seriyaning har bir keyingi a'zosi avvalgisiga qaraganda mutlaq qiymatda kamroq: bu pasayish monoton ekanligini anglatadi. Xulosa: seriyalar birlashadi.

Seriyani to'ldirishni tahlil qilib, biz bu erda taqqoslash uchun cheklovchi mezondan foydalanish kerak degan xulosaga kelamiz. Maxrajdagi qavslarni ochish qulayroq:

Keling, bu qatorni konvergent qator bilan taqqoslaylik. Taqqoslash uchun biz cheklovchi mezondan foydalanamiz.

Noldan farqli chekli son olinadi, bu qator qator bilan yaqinlashishini bildiradi. O'rganilayotgan seriya mutlaqo birlashadi.

4-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

5-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu o'zingiz qaror qilishingiz uchun misollar. Bo'lim oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn.

Ko'rib turganingizdek, o'zgaruvchan qatorlar oddiy va zerikarli! Ammo sahifani yopishga shoshilmang, atigi bir nechta ekranda biz ko'pchilikni chalg'itadigan holatni ko'rib chiqamiz. Ayni paytda, amaliyot va takrorlash uchun yana bir nechta misol.

6-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Biz Leybnits mezonidan foydalanamiz.
1) Seriya almashinadi.
2)
Seriyaning shartlari modulda kamayadi. Seriyaning har bir keyingi a'zosi avvalgisiga qaraganda mutlaq qiymatda kamroq, ya'ni pasayish monotondir. Xulosa: qatorlar yaqinlashadi.

E'tibor bering, men seriya a'zolarini batafsil tasvirlab bermadim. Ularni har doim tasvirlab berish tavsiya etiladi, ammo "qiyin" holatlarda chidab bo'lmas dangasalik tufayli siz o'zingizni "Seriallar belgisi bo'yicha almashadi" iborasi bilan cheklashingiz mumkin. Aytgancha, bu masalaga rasmiy munosabatda bo'lishga hojat yo'q, har doim tekshiramiz(hech bo'lmaganda aqliy jihatdan) ketma-ketlik aslida almashinadi. Tez qarash muvaffaqiyatsizlikka uchraydi va xato avtomatik ravishda amalga oshiriladi. "Aldashlar" haqida eslang, , , agar ular mavjud bo'lsa, unda siz ijobiy shartlar bilan "muntazam" seriyani olib, ulardan xalos bo'lishingiz kerak.

Ikkinchi noziklik monotoniya haqidagi iboraga tegishli bo'lib, uni ham imkon qadar qisqartirdim. Siz buni qila olasiz va deyarli har doim sizning vazifangiz qabul qilinadi. Men mutlaqo yomon narsani aytaman - shaxsan men ko'pincha monotoniya haqida sukut saqlayman va bunday raqam o'tib ketadi. Ammo tengsizliklarning batafsil zanjirlarigacha hamma narsani batafsil tasvirlashga tayyor bo'ling (dars boshidagi misolga qarang). Bundan tashqari, ba'zida monotonlik qat'iy emas va bu ham "kamroq" so'zini "ko'proq" so'zi bilan almashtirish uchun kuzatilishi kerak.

Biz ketma-ketlikni mutlaq yaqinlashish uchun tekshiramiz:

Shubhasiz, siz radikal Cauchy testidan foydalanishingiz kerak:

Shunday qilib, seriyalar birlashadi. O'rganilayotgan seriya mutlaqo birlashadi.

7-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu mustaqil yechim uchun misol Ko'pincha qiyinchiliklarga olib keladigan o'zgaruvchan qatorlar mavjud.

8-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Biz Leybnits mezonidan foydalanamiz:
1) Seriya almashinadi.

Gap shundaki, bunday chegaralarni hal qilish uchun standart, kundalik texnikalar mavjud emas. Bu chegara qayerga boradi? Nolga, cheksizlikka? Bu erda muhimi, NIMA cheksizlikda tezroq o'sadi- sanoqchi yoki maxraj.

QAYD: funktsiyaning o'sish tartibi tushunchasi maqolada batafsil yoritilganLimitlarni yechish usullari . Bizda ... bor ketma-ketlik chegaralari, lekin bu mohiyatni o'zgartirmaydi.

Agar raqam faktorialdan tezroq o'ssa, u holda . Agar cheksizlikda faktorial hisoblagichdan tezroq o'ssa, u holda, aksincha, chegarani nolga "tortadi": . Yoki bu chegara nolga teng bo'lmagan raqamga tengdir?

Keling, seriyaning birinchi bir necha shartlarini yozishga harakat qilaylik:
siz minginchi darajali ba'zi polinomni almashtirishingiz mumkin, bu yana vaziyatni o'zgartirmaydi - ertami-kechmi faktorial bunday dahshatli polinomni "engib o'tadi". Faktorial Ko'proq yuqori tartib o'sish har qanday quvvat ketma-ketligidan ko'ra.

– Faktorial tezroq o'sib bormoqda har qanday miqdordagi mahsulot eksponensial va quvvat ketma-ketligi (bizning holatimizda).

– Har qanday eksponensial ketma-ketlik har qanday quvvat ketma-ketligiga qaraganda tezroq o'sadi, masalan: , . Eksponensial ketma-ketlik o'sishning yuqori tartibi har qanday quvvat ketma-ketligidan ko'ra. Faktorialga o'xshab, eksponensial ketma-ketlik har qanday kuch ketma-ketligi yoki ko'phadning istalgan sonining ko'paytmasini "tortadi": .

- Faktorialdan ko'ra "sovuqroq" narsa bormi? Yemoq! Kuchli eksponensial ketma-ketlik (“en” kuchi “en” ga) faktorialdan tezroq o'sadi. Amalda bu kamdan-kam uchraydi, ammo ma'lumot ortiqcha bo'lmaydi. Yordamning oxiri

Shunday qilib, tadqiqotning ikkinchi nuqtasi (siz buni hali ham eslaysizmi? =)) quyidagicha yozilishi mumkin:
2) , chunki o'sish tartibi dan yuqori.
Seriya shartlari modulning kamayishi, ba'zi bir raqamdan boshlanadi, bu holda ketma-ketlikning har bir keyingi a'zosi avvalgisiga qaraganda mutlaq qiymatda kamroq bo'ladi, shuning uchun pasayish monotondir.

Xulosa: qatorlar yaqinlashadi.

Seriya shartlari birinchi marta mutlaq qiymatga ko'tarilganda aynan shu qiziq holat, shuning uchun biz chegara haqida noto'g'ri dastlabki fikrga ega bo'ldik. Lekin, ba'zi "en" raqamidan boshlab, faktorialni hisoblagich bosib o'tadi va qatorning "dumi" monoton ravishda kamayib boradi, bu Leybnits teoremasining shartlarini bajarish uchun printsipial jihatdan muhimdir. Bu "en" nimaga teng ekanligini aniqlash juda qiyin.

Tegishli teoremaga ko'ra, qatorning absolyut yaqinlashuvidan qatorning shartli yaqinlashuvi kelib chiqadi. Xulosa: O'quv seriyasi mutlaqo birlashadi.

Va nihoyat, o'zingiz qaror qilishingiz uchun bir nechta misol. Xuddi shu operadan biri (yordamni qayta o'qing), lekin oddiyroq. Gurmeler uchun yana bir narsa - konvergentsiyaning ajralmas belgisini mustahkamlash.

9-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

10-misol Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Raqamli ijobiy va o'zgaruvchan seriyalarni yuqori sifatli o'rganib chiqqandan so'ng, siz toza vijdon bilan o'tishingiz mumkin. funktsional qator, bundan kam bo'lmagan monoton va monoton qiziqarli.

Yechimlar va javoblar:

4-misol: Biz Leybnits mezonidan foydalanamiz:

1) Bu seriya almashinadi.
2)
Seriyaning shartlari modulda kamaymaydi. Xulosa: Seriya farqlanadi.. , bu holda ketma-ketlikning har bir keyingi a'zosi avvalgisiga qaraganda mutlaq qiymatda kamroq bo'ladi, shuning uchun pasayish monotondir.

Shunday qilib, qator tegishli noto'g'ri integral bilan birga ajralib chiqadi. O'rganilayotgan seriya faqat shartli ravishda yaqinlashadi.

Ushbu maqolada sonlar qatori mavzusidagi deyarli har qanday misolni yechish uchun zarur boʻlgan maʼlumotlar toʻplangan va tuzilgan, qator yigʻindisini topishdan tortib, uni yaqinlashish uchun tekshirishgacha.

Maqolani ko'rib chiqish.

Keling, musbat va o'zgaruvchan qatorlarning ta'riflari va konvergentsiya tushunchasidan boshlaylik. Keyinchalik, garmonik qator, umumlashtirilgan garmonik qator kabi standart qatorlarni ko'rib chiqamiz va cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini topish formulasini eslaymiz. Shundan so'ng biz konvergent qatorlarning xossalariga o'tamiz, qator yaqinlashuvining zaruriy shartiga to'xtalib, qator yaqinlashuvining yetarli mezonlarini bayon qilamiz. Biz nazariyani batafsil tushuntirishlar bilan tipik misollar yechimlari bilan suyultiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy ta'riflar va tushunchalar.

Qaerda raqamlar ketma-ketligi bo'lsin .

Mana raqamlar ketma-ketligiga misol: .

Raqamlar seriyasi shaklning sonli ketma-ketligi shartlari yig'indisidir .

Misol tariqasida raqamlar seriyasi cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisini q = -0,5 maxraj bilan berishingiz mumkin: .

Chaqirildi raqamlar qatorining umumiy a'zosi yoki qatorning k a'zosi.

Oldingi misol uchun raqamlar qatorining umumiy atamasi shaklga ega.

Raqamlar qatorining qisman yig‘indisi shaklning yig'indisi, bu erda n - ba'zi natural son. son qatorining n- qismli yig‘indisi deb ham ataladi.

Masalan, qatorning to'rtinchi qisman yig'indisi Mavjud .

Qisman miqdorlar cheksiz ketma-ketlikni hosil qiladi qisman miqdorlar raqamlar seriyasi.

Bizning qatorimiz uchun n qismli yig‘indi geometrik progressiyaning birinchi n ta hadi yig‘indisi formulasi yordamida topiladi. , ya'ni biz qisman yig'indilarning quyidagi ketma-ketligiga ega bo'lamiz: .

Raqamlar qatori deyiladi konvergent, agar qisman summalar ketma-ketligining chekli chegarasi bo'lsa. Agar son qatorining qisman yigʻindilari ketma-ketligi chegarasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, qator deyiladi. turlicha.

Konvergent sonlar qatorining yig'indisi uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chegarasi deyiladi, ya'ni .

Bizning misolimizda, shuning uchun qator yaqinlashadi va uning yig'indisi o'n olti uchdan biriga teng: .

Divergent qatorga misol sifatida maxraji birdan katta bo‘lgan geometrik progressiya yig‘indisini keltirish mumkin: . n qismli yig'indi ifoda bilan aniqlanadi , va qisman summalar chegarasi cheksizdir: .

Divergent sonlar qatorining yana bir misoli shaklning yig'indisidir . Bunday holda, n-chi qisman yig'indini quyidagicha hisoblash mumkin. Qisman summalar chegarasi cheksizdir .

Shakl yig'indisi chaqirdi garmonik sonlar qatori.

Shakl yig'indisi , bu yerda s qandaydir haqiqiy son deyiladi garmonik sonlar qatori bilan umumlashtirilgan.

Yuqoridagi ta'riflar quyidagi juda tez-tez qo'llaniladigan iboralarni oqlash uchun etarli; ularni eslab qolishingizni tavsiya qilamiz.

GARMONIK SERIAL DIVERGENT.

Garmonik qatorning farqlanishini isbotlaylik.

Faraz qilaylik, qatorlar yaqinlashadi. Keyin uning qisman summalarining chekli chegarasi mavjud. Bunday holda, biz va ni yozishimiz mumkin, bu bizni tenglikka olib keladi .

Boshqa tomondan,


Quyidagi tengsizliklar shubhasizdir. Shunday qilib, . Olingan tengsizlik bizga tenglikni ko'rsatadi erishib bo'lmaydi, bu garmonik qatorlarning yaqinlashuvi haqidagi taxminimizga ziddir.

Xulosa: garmonik qatorlar ajralib chiqadi.

MAXRAJLI q BO'LGAN TUR GEOMETRIK PROGRESSIYASI YIG'INISHI IF VA BO'LGAN SONLI SERIAL VA UCHUN DIVERGING SERIALdir.

Keling, buni isbotlaylik.

Bizga ma'lumki, geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi formula bo'yicha topiladi .

Qachon adolatli


sonlar qatorining yaqinlashuvini ko'rsatadi.

q = 1 uchun bizda raqamlar qatori mavjud . Uning qisman yig'indilari sifatida topiladi va qisman yig'indilarning chegarasi cheksizdir , bu holda ketma-ketlikning farqlanishini ko'rsatadi.

Agar q = -1 bo'lsa, sonlar qatori ko'rinishga ega bo'ladi . Qisman summalar toq n va juft n uchun qiymat oladi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, qisman yig'indilarda hech qanday cheklov yo'q va qatorlar ajralib chiqadi.

Qachon adolatli


sonlar qatorining farqlanishini ko'rsatadi.

UMUMDA, GARMONIK SERIAL s > 1 DA YAQINLASHADI VA DA AYRISHADI.

Isbot.

s = 1 uchun biz garmonik qatorni olamiz va yuqorida biz uning divergensiyasini o'rnatdik.

Da s tengsizlik barcha natural k uchun amal qiladi. Garmonik qatorning divergentsiyasi tufayli uning qisman yig‘indilari ketma-ketligi cheksiz (chunki chekli chegara yo‘q) deb ta’kidlash mumkin. Shunda sonlar qatorining qisman yigʻindilari ketma-ketligi cheksizroq boʻladi (bu qatorning har bir aʼzosi garmonik qatorning mos aʼzosidan kattaroqdir), shuning uchun umumlashgan garmonik qator s ga qarab ajralib chiqadi.

s > 1 uchun qatorning yaqinlashuvini isbotlash qoladi.

Keling, farqni yozamiz:



Shubhasiz, keyin


Keling, n = 2, 4, 8, 16, ... uchun hosil bo'lgan tengsizlikni yozamiz.



Ushbu natijalardan foydalanib, asl raqamlar seriyasi bilan quyidagilarni amalga oshirishingiz mumkin:



Ifoda maxraji bo'lgan geometrik progressiyaning yig'indisidir. Biz s > 1 uchun ishni ko'rib chiqayotganimiz uchun. Shunung uchun
. Shunday qilib, s > 1 uchun umumlashtirilgan garmonik qatorning qisman yig'indilari ketma-ketligi ortib bormoqda va bir vaqtning o'zida yuqoridan qiymat bilan cheklangan , shuning uchun u qatorning yaqinlashishini ko'rsatadigan chegaraga ega. Dalil to'liq.

Raqamlar qatori deyiladi ijobiy belgi, agar uning barcha shartlari ijobiy bo'lsa, ya'ni .

Raqamlar qatori deyiladi signal beruvchi, agar uning qo'shni a'zolarining belgilari boshqacha bo'lsa. Muqobil sonlar qatori quyidagicha yozilishi mumkin yoki , Qayerda .

Raqamlar qatori deyiladi o'zgaruvchan belgi, agar u cheksiz sonli ijobiy va salbiy atamalarni o'z ichiga olsa.

O‘zgaruvchan sonlar qatori o‘zgaruvchan sonlar qatorining maxsus holatidir.

Qatorlar

mos ravishda ijobiy, o'zgaruvchan va o'zgaruvchan.

Muqobil qator uchun mutlaq va shartli yaqinlashuv tushunchasi mavjud.

mutlaqo konvergent, agar uning a'zolarining mutlaq qiymatlari qatori yaqinlashsa, ya'ni ijobiy sonlar qatori yaqinlashadi.

Masalan, raqamlar qatori Va mutlaqo yaqinlashadi, chunki ketma-ket yaqinlashadi , bu cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisidir.

Muqobil qator deyiladi shartli konvergent, agar qatorlar ajralib chiqsa va qatorlar yaqinlashsa.

Shartli yaqinlashuvchi sonlar qatoriga qator misol bo'la oladi . Raqamlar seriyasi , asl ketma-ketlik shartlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan, divergent, chunki u garmonikdir. Shu bilan birga, asl seriya konvergent bo'lib, u yordamida osongina o'rnatiladi. Shunday qilib, son belgisi o'zgaruvchan qatordir shartli konvergent.

Konvergent sonlar qatorining xossalari.

Misol.

Sonlar qatorining yaqinlashuvini isbotlang.

Yechim.

Keling, seriyani boshqa shaklda yozamiz . Sonlar qatori yaqinlashadi, chunki umumlashgan garmonik qator s > 1 uchun yaqinlashadi va yaqinlashuvchi sonlar qatorining ikkinchi xossasi tufayli sonli koeffitsientli qatorlar ham yaqinlashadi.

Misol.

Raqamlar qatori yaqinlashadimi?

Yechim.

Keling, asl seriyani o'zgartiramiz: . Shunday qilib, biz ikkita son qatorining yig'indisini oldik va , va ularning har biri yaqinlashadi (oldingi misolga qarang). Demak, yaqinlashuvchi sonlar qatorining uchinchi xossasi tufayli asl qator ham yaqinlashadi.

Misol.

Sonlar qatorining yaqinlashuvini isbotlang va uning miqdorini hisoblang.

Yechim.

Bu raqamlar qatori ikki qatorning farqi sifatida ifodalanishi mumkin:

Bu qatorlarning har biri cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiyaning yig‘indisini ifodalaydi va shuning uchun konvergent hisoblanadi. Konvergent qatorning uchinchi xossasi asl sonlar qatorining yaqinlashishini ta'kidlash imkonini beradi. Keling, uning yig'indisini hisoblaylik.

Qatorning birinchi hadi bitta va mos keladigan geometrik progressiyaning maxraji 0,5 ga teng, shuning uchun .

Seriyaning birinchi hadi 3 ga, mos keladigan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning maxraji 1/3 ga teng, shuning uchun .

Olingan natijalardan asl raqamlar qatorining yig'indisini topish uchun foydalanamiz:

Seriyaning yaqinlashishi uchun zaruriy shart.

Agar sonlar qatori yaqinlashsa, uning k hadining chegarasi nolga teng: .

Har qanday sonlar qatorini konvergentsiya uchun tekshirishda birinchi navbatda kerakli yaqinlashuv shartining bajarilishini tekshirish kerak. Bu shart bajarilmasa, sonlar qatorining divergentsiyasini ko'rsatadi, ya'ni bo'lsa, u holda qator ajralib chiqadi.

Boshqa tomondan, bu shart etarli emasligini tushunishingiz kerak. Ya'ni, tenglikning bajarilishi sonlar qatorining yaqinlashishini bildirmaydi. Masalan, garmonik qator uchun konvergentsiyaning zaruriy sharti bajariladi va qator ajraladi.

Misol.

Raqamlar qatorini konvergentsiya uchun tekshiring.

Yechim.

Raqamlar qatorining yaqinlashuvining zaruriy shartini tekshiramiz:

Cheklash Raqamlar qatorining n-chi hadi nolga teng emas, shuning uchun qator ajralib chiqadi.

Ijobiy qator yaqinlashuvining yetarli belgilari.

Konvergentsiya uchun raqamlar seriyasini o'rganish uchun etarli xususiyatlardan foydalanganda siz doimo muammolarga duch kelasiz, shuning uchun agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, ushbu bo'limga murojaat qilishni tavsiya etamiz.

Musbat sonlar qatorining yaqinlashuvining zaruriy va yetarli sharti.

Musbat sonlar qatorining yaqinlashuvi uchun uning qisman yig‘indilari ketma-ketligi chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarlidir.

Keling, seriyalarni taqqoslash belgilaridan boshlaylik. Ularning mohiyati o‘rganilayotgan sonli qatorni yaqinlashishi yoki divergensiyasi ma’lum bo‘lgan qatorlar bilan solishtirishdan iborat.

Taqqoslashning birinchi, ikkinchi va uchinchi belgilari.

Seriyalarni taqqoslashning birinchi belgisi.

Ikki musbat son qatori va bo lsin va tengsizlik hamma k = 1, 2, 3, uchun amal qiladi ... U holda qatorning yaqinlashuvi yaqinlashuvni, qatorning divergentsiyasi esa ning divergensiyasini bildiradi.

Birinchi taqqoslash mezoni juda tez-tez qo'llaniladi va yaqinlashuv uchun raqamlar qatorlarini o'rganish uchun juda kuchli vositadir. Asosiy muammo - taqqoslash uchun mos seriyani tanlash. Taqqoslash uchun qator odatda (lekin har doim ham emas) shunday tanlanadiki, uning k hadining ko‘rsatkichi o‘rganilayotgan sonli qatorning k hadining ko‘rsatkichlari va maxrajlari orasidagi ayirmaga teng bo‘ladi. Masalan, ayiruvchi va maxraj ko'rsatkichlari orasidagi farq 2 – 3 = -1 ga teng bo'lsin, shuning uchun taqqoslash uchun biz k-chi hadli qatorni, ya'ni garmonik qatorni tanlaymiz. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Bir qatorning yaqinlashuvi yoki divergensiyasini o'rnating.

Yechim.

Seriyaning umumiy hadining chegarasi nolga teng bo'lganligi sababli, qatorning yaqinlashishi uchun zarur shart bajariladi.

Tengsizlik barcha tabiiy k uchun to'g'ri ekanligini ko'rish oson. Bilamizki, garmonik qator divergentdir, shuning uchun taqqoslashning birinchi mezoni bo'yicha asl qator ham divergent hisoblanadi.

Misol.

Raqamlar qatorini yaqinlashish uchun tekshiring.

Yechim.

Old shart sonlar qatorining yaqinlashuvi qanoatlantiriladi, chunki . Tengsizlik aniq k ning har qanday tabiiy qiymati uchun. Umumlashtirilgan garmonik qator s > 1 bo‘lganda yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun qator yaqinlashadi. Shunday qilib, qatorlarni taqqoslashning birinchi belgisi dastlabki sonlar qatorining yaqinlashuvini aytishga imkon beradi.

Misol.

Sonlar qatorining yaqinlashuvi yoki divergensiyasini aniqlang.

Yechim.

, demak, sonlar qatorining yaqinlashuvining zarur sharti bajariladi. Taqqoslash uchun qaysi qatorni tanlashim kerak? Raqamlar qatori o'zini o'zi taklif qiladi va s ni tanlash uchun biz raqamlar ketma-ketligini sinchkovlik bilan tekshiramiz. Raqamlar ketma-ketligining shartlari cheksizlik tomon ortadi. Shunday qilib, ba'zi bir N raqamidan (ya'ni, N = 1619 dan) boshlab, bu ketma-ketlikning shartlari 2 dan katta bo'ladi. Bu N sonidan boshlab tengsizlik to'g'ri bo'ladi. Raqamlar qatori konvergent qatorning birinchi xossasi tufayli yaqinlashadi, chunki u konvergent qatordan birinchi N – 1 ta hadlarni olib tashlash orqali olinadi. Shunday qilib, taqqoslashning birinchi xususiyatiga ko'ra, qator yaqinlashadi va yaqinlashuvchi sonlar qatorining birinchi xossasi tufayli qatorlar ham yaqinlashadi.

Taqqoslashning ikkinchi belgisi.

Musbat sonlar qatori va bo'lsin. Agar , u holda qatorning yaqinlashuvi ning yaqinlashuvini nazarda tutadi. Agar bo'lsa, sonlar qatorining divergentsiyasi ning divergensiyasini bildiradi.

Natija.

Agar va bo’lsa, bir qatorning yaqinlashuvi ikkinchisining yaqinlashuvini, divergensiya esa divergensiyani bildiradi.

Biz ikkinchi taqqoslash mezoni yordamida ketma-ketlikni konvergentsiya uchun tekshiramiz. Seriya sifatida biz konvergent qatorni olamiz. Sonlar qatorining k-chi hadlari nisbati chegarasi topilsin:

Shunday qilib, taqqoslashning ikkinchi mezoniga ko'ra, son qatorining yaqinlashuvidan dastlabki qatorning yaqinlashuvi kelib chiqadi.

Misol.

Sonlar qatorining yaqinlashuvini tekshiring.

Yechim.

Keling, qatorning yaqinlashishi uchun zarur shartni tekshiramiz . Shart bajarilgan. Ikkinchi taqqoslash mezonini qo'llash uchun garmonik qatorni olaylik. k-sonli hadlar nisbati chegarasi topilsin:

Binobarin, garmonik qatorning divergentsiyasidan ikkinchi taqqoslash mezoni bo'yicha asl qatorning divergentsiyasi kelib chiqadi.

Ma'lumot uchun biz seriyalarni taqqoslashning uchinchi mezonini taqdim etamiz.

Taqqoslashning uchinchi belgisi.

Musbat sonlar qatori va bo'lsin. Agar biror N sonidan shart bajarilsa, qatorning yaqinlashuvi yaqinlashuvni, qatorning divergentsiyasi esa divergensiyani bildiradi.

D'Alembert belgisi.

Izoh.

Agar chegara cheksiz bo'lsa, ya'ni agar D'Alember testi o'rinli bo'ladi , keyin qator yaqinlashadi if , keyin qator farqlanadi.

Agar , u holda d'Alember testi qatorlarning yaqinlashishi yoki divergensiyasi haqida ma'lumot bermaydi va qo'shimcha tadqiqotlar talab etiladi.

Misol.

D'Alember testi yordamida sonlar qatorini konvergentsiya uchun tekshiring.

Yechim.

Raqamlar qatorining yaqinlashuvi uchun zarur shartning bajarilishini tekshirib ko'ramiz; chegarani quyidagi yordamida hisoblang:

Shart bajarilgan.

Keling, d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, seriyalar birlashadi.

Radikal Koshi belgisi.

Musbat sonlar qatori bo‘lsin. Agar , bo'lsa, sonlar qatori yaqinlashadi, agar bo'lsa, qatorlar ajralib chiqadi.

Izoh.

Koshining radikal testi chegara cheksiz bo'lsa, ya'ni agar o'rinli bo'ladi , keyin qator yaqinlashadi if , keyin qator farqlanadi.

Agar bo'lsa, u holda radikal Koshi testi ketma-ketlikning yaqinlashishi yoki divergensiyasi haqida ma'lumot bermaydi va qo'shimcha tadqiqotlar talab etiladi.

Radikal Koshi testidan foydalanish yaxshiroq bo'lgan holatlarni aniqlash odatda juda oson. Odatiy holat, sonlar qatorining umumiy atamasi eksponensial kuch ifodasidir. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Radikal Koshi testi yordamida musbat sonlar qatorini konvergentsiya uchun tekshiring.

Yechim.

. Radikal Cauchy testidan foydalanib, biz olamiz .

Shunday qilib, qatorlar yaqinlashadi.

Misol.

Raqamlar qatori yaqinlashadimi? .

Yechim.

Keling, radikal Koshi testidan foydalanaylik , demak, sonlar qatori yaqinlashadi.

Integral Koshi testi.

Musbat sonlar qatori bo‘lsin. Funktsiyaga o'xshash uzluksiz argument y = f(x) funksiyasini yarataylik. y = f(x) funksiya musbat, uzluksiz va oraliqda kamayuvchi bo'lsin, bu erda ). Keyin konvergentsiya holatida noto'g'ri integral o'rganilayotgan sonlar qatori yaqinlashadi. Agar noto'g'ri integral ajralib chiqsa, u holda asl qator ham ajralib chiqadi.

y = f(x) funksiyaning intervalda kamayishini tekshirganda, bo'limdagi nazariya siz uchun foydali bo'lishi mumkin.

Misol.

Konvergentsiyaning ijobiy shartlariga ega sonlar qatorini ko‘rib chiqing.

Yechim.

Seriyaning yaqinlashishi uchun zaruriy shart qondiriladi, chunki . Funktsiyani ko'rib chiqaylik. U ijobiy, uzluksiz va intervalda kamayib boradi. Ushbu funktsiyaning uzluksizligi va ijobiyligi shubhasizdir, ammo keling, qisqarish haqida biroz batafsilroq to'xtalib o'tamiz. Keling, hosilani topamiz:
. Bu intervalda manfiy, shuning uchun funktsiya bu intervalda kamayadi.

Ketma-ket konvergentsiya belgilari.
D'Alembert belgisi. Koshi belgilari

Ish, ish - va tushunish keyinroq keladi
J.L. d'Alembert

Hammani boshlanishi bilan tabriklayman o'quv yili! Bugun 1-sentabr va bayram sharafiga men o'quvchilarni siz uzoq vaqtdan beri kutgan va bilmoqchi bo'lgan narsalar bilan tanishtirishga qaror qildim - sonli musbat qatorlarning yaqinlashish belgilari. Birinchi sentyabr bayrami va mening tabriklarim har doim dolzarbdir, agar tashqarida yoz bo'lsa, mayli, endi siz uchinchi marta imtihon topshiryapsiz, agar siz ushbu sahifaga tashrif buyurgan bo'lsangiz, o'rganing!

Seriallarni endigina o'rganishni boshlayotganlar uchun avvalo maqolani o'qib chiqishingizni tavsiya qilaman Dumilar uchun raqamlar seriyasi. Aslida bu arava ziyofatning davomi. Shunday qilib, bugungi darsda biz mavzular bo'yicha misollar va echimlarni ko'rib chiqamiz:

Amaliy misollarda uchraydigan umumiy taqqoslash belgilaridan biri bu D'Alembert belgisidir. Cauchy belgilari kamroq tarqalgan, ammo ayni paytda juda mashhur. Har doimgidek, men materialni sodda, tushunarli va tushunarli tarzda taqdim etishga harakat qilaman. Mavzu eng qiyin emas va barcha vazifalar ma'lum darajada standartdir.

D'Alembertning yaqinlashuv testi

Jan Leron d'Alember - XVIII asrning mashhur frantsuz matematiki. Umuman olganda, d'Alembert differensial tenglamalarga ixtisoslashgan va o'z tadqiqotlariga asoslanib, Janobi Oliylarining to'plari yaxshiroq uchishi uchun ballistikani o'rgangan. Shu bilan birga, men raqamlar seriyasini unutmadim, keyinchalik Napoleon qo'shinlarining saflari shunchalik aniq bir-biriga yaqinlashishi va ajralib chiqishi bejiz emas edi.

Belgining o'zini shakllantirishdan oldin, keling, muhim savolni ko'rib chiqaylik:
D'Alembertning konvergentsiya testidan qachon foydalanish kerak?

Avval ko'rib chiqishdan boshlaylik. Keling, eng mashhurlaridan foydalanishingiz kerak bo'lgan holatlarni eslaylik taqqoslash chegarasi. Taqqoslash uchun cheklovchi mezon qatorning umumiy atamasida quyidagi hollarda qo'llaniladi:

1) maxraj ko‘phadni o‘z ichiga oladi.
2) Ko‘pnomlar ham ayiruvchi, ham maxrajda bo‘ladi.
3) Bir yoki ikkala ko‘phad ildiz ostida bo‘lishi mumkin.
4) Albatta, ko'proq polinomlar va ildizlar bo'lishi mumkin.

D'Alember testini qo'llashning asosiy shartlari quyidagilardan iborat:

1) Seriyaning umumiy atamasi ("ketmani to'ldirish") ma'lum bir sonni o'z ichiga oladi, masalan, , va hokazo. Bundan tashqari, bu narsa qayerda, hisoblagichda yoki maxrajda joylashganligining ahamiyati yo'q - eng muhimi, u erda mavjudligi.

2) qatorning umumiy hadi faktorialni o'z ichiga oladi. Darsda Faktoriallar bilan qilichlarni kesib o'tdik. Raqamlar ketma-ketligi va uning chegarasi. Biroq, o'z-o'zidan yig'ilgan dasturxonni yana yoyish zarar qilmaydi:





…


…

! D'Alember testidan foydalanganda biz faktorialni batafsil tavsiflashimiz kerak bo'ladi. Oldingi paragrafda bo'lgani kabi, faktorial kasrning yuqori yoki pastki qismida joylashgan bo'lishi mumkin.

3) Agar ketma-ketlikning umumiy atamasida "omillar zanjiri" mavjud bo'lsa, masalan, . Bu holat kamdan-kam uchraydi, lekin! Bunday seriyani o'rganishda ko'pincha xatoga yo'l qo'yiladi - 6-misolga qarang.

Kuchlar va/yoki faktoriallar bilan bir qatorda polinomlar koʻpincha qatorni toʻldirishda uchraydi; bu vaziyatni oʻzgartirmaydi – D'Alembert belgisidan foydalanish kerak.

Bundan tashqari, qatorning umumiy terminida daraja ham, faktorial ham bir vaqtda sodir bo'lishi mumkin; ikkita faktorial, ikki daraja bo'lishi mumkin, bo'lishi muhim hech bo'lmaganda biror narsa ko'rib chiqilgan nuqtalardan - va bu D'Alembert belgisidan foydalanishning aniq shartidir.

D'Alembert belgisi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Agar keyingi atamaning oldingisiga nisbati chegarasi bo'lsa: , u holda:
a) Qachon qator birlashadi
b) Qachon qator farqlanadi
c) qachon belgi javob bermaydi. Siz boshqa belgidan foydalanishingiz kerak. Ko'pincha, cheklovchi taqqoslash testidan foydalanish kerak bo'lganda, ular D'Alembert testini qo'llashga harakat qilganda olinadi.

Hali ham cheklovlar yoki chegaralarni noto'g'ri tushunish bilan bog'liq muammolarga duch kelganlar uchun darsga murojaat qiling Cheklovlar. Yechimlarga misollar. Chegara va noaniqlikni ochib berish qobiliyatini tushunmasdan, afsuski, oldinga siljish mumkin emas.

Va endi uzoq kutilgan misollar.

1-misol

Biz seriyaning umumiy atamasida bizda borligini ko'ramiz va bu d'Alembert testidan foydalanishning aniq shartidir. Birinchidan, to'liq yechim va namunaviy dizayn, quyida sharhlar.

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:


birlashadi.
(1) Seriyaning keyingi a'zosining oldingisiga nisbatini tuzamiz: . Shartdan ko'ramizki, qatorning umumiy termini . Seriyaning keyingi a'zosini olish uchun sizga kerak O'rniga: .
(2) Biz to'rt qavatli fraktsiyadan qutulamiz. Agar sizda yechim bilan tajribangiz bo'lsa, bu bosqichni o'tkazib yuborishingiz mumkin.
(3) Numeratordagi qavslarni oching. Denominatorda biz to'rttasini quvvatdan chiqaramiz.
(4) ga kamaytiring. Biz doimiyni chegara belgisidan tashqariga olamiz. Numeratorda biz qavs ichida o'xshash atamalarni keltiramiz.
(5) Noaniqlik standart tarzda yo'q qilinadi - hisoblagich va maxrajni "en" ga eng yuqori quvvatga bo'lish orqali.
(6) Numeratorlarni hadga ayiruvchilarga ajratamiz va nolga moyil bo'lgan hadlarni ko'rsatamiz.
(7) Biz javobni soddalashtiramiz va shuni qayd qilamizki, D'Alembert mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qatorlar yaqinlashadi.

Ko'rib chiqilgan misolda qatorning umumiy hadida biz 2-darajali ko'phadga duch keldik. Agar 3, 4 yoki undan yuqori darajali polinom bo'lsa, nima qilish kerak? Gap shundaki, agar yuqori darajadagi polinom berilsa, qavslarni ochishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Bunday holda siz "turbo" yechim usulidan foydalanishingiz mumkin.

2-misol

Keling, shunga o'xshash qatorni olib, uni konvergentsiya uchun tekshiramiz

Avval to'liq yechim, keyin sharhlar:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:


Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

(1) Biz munosabatlarni yaratamiz.

(3) ifodani ko'rib chiqing ayiruvchida va ifodada maxrajda. Biz hisoblagichda biz qavslarni ochishimiz va ularni to'rtinchi darajaga ko'tarishimiz kerakligini ko'ramiz: , biz buni mutlaqo xohlamaymiz. Nyuton binomialini bilmaganlar uchun esa bu vazifa yanada qiyinroq bo'ladi. Keling, yuqori darajalarni tahlil qilaylik: agar biz yuqoridagi qavslarni ochsak , keyin biz yuqori darajaga ega bo'lamiz. Quyida biz bir xil yuqori darajaga egamiz: . Oldingi misolga o'xshatib, ko'rinib turibdiki, son va maxrajni hadga bo'lishda biz chegarada bittaga qolamiz. Yoki, matematiklar aytganidek, polinomlar Va - bir xil o'sish tartibi. Shunday qilib, munosabatlarni tavsiflash juda mumkin oddiy qalam bilan va darhol bu narsaning biriga moyilligini ko'rsating. Ikkinchi juft ko‘phad bilan ham xuddi shunday ishlaymiz: va , ular ham bir xil o'sish tartibi, va ularning nisbati birlikka intiladi.

Aslida, bunday "hack" №1 misolda olib tashlanishi mumkin edi, ammo 2-darajali polinom uchun bunday yechim hali ham qandaydir nomaqbul ko'rinadi. Shaxsan men buni qilaman: agar birinchi yoki ikkinchi darajali ko‘phad (yoki ko‘phad) bo‘lsa, 1-misolni yechish uchun “uzun” usulidan foydalanaman. Agar men 3 yoki undan yuqori darajali ko‘phadga duch kelsam, men 2-misolga o'xshash "turbo" usuli.

3-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Keling, faktoriallar bilan odatiy misollarni ko'rib chiqaylik:

4-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Seriyaning umumiy atamasi darajani ham, faktorialni ham o'z ichiga oladi. Bu erda d'Alember belgisi qo'llanilishi kerakligi kundek aniq. Keling, qaror qilaylik.

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.
(1) Biz munosabatlarni yaratamiz. Yana takrorlaymiz. Shartga ko'ra, seriyaning umumiy atamasi: . Seriyadagi keyingi muddatni olish uchun, o'rniga siz almashtirishingiz kerak, Shunday qilib: .
(2) Biz to'rt qavatli fraktsiyadan qutulamiz.
(3) Yettilikni darajadan chimchilab oling. Biz faktoriallarni batafsil tavsiflaymiz. Buni qanday qilish kerak - darsning boshiga yoki raqamlar ketma-ketligi haqidagi maqolaga qarang.
(4) Biz kesish mumkin bo'lgan hamma narsani kesib tashladik.
(5) Biz doimiyni chegara belgisidan tashqariga o'tkazamiz. Numeratordagi qavslarni oching.
(6) Biz noaniqlikni standart usulda yo'q qilamiz - numerator va maxrajni "en" ga eng yuqori quvvatga bo'lish orqali.

5-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn

6-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Ba'zida ularni to'ldirishda "zanjir" omillarini o'z ichiga olgan seriyalar mavjud, biz bu turdagi seriyalarni hali ko'rib chiqmaganmiz. Faktorlar "zanjiri" bilan seriyani qanday o'rganish mumkin? D'Alembert belgisidan foydalaning. Lekin birinchi navbatda, nima bo'layotganini tushunish uchun keling, seriyani batafsil tasvirlab beraylik:

Kengayishdan biz seriyaning har bir keyingi a'zosi maxrajga qo'shilgan qo'shimcha omilga ega ekanligini ko'ramiz, shuning uchun agar seriyaning umumiy a'zosi bo'lsa , keyin seriyaning keyingi a'zosi:
. Bu erda ular ko'pincha avtomatik ravishda xatoga yo'l qo'yishadi, rasmiy ravishda algoritmga muvofiq yozishadi

Namuna yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

Radikal Koshi belgisi

Avgustin Lui Koshi - bundan ham mashhur frantsuz matematiki. Har qanday muhandislik talabasi sizga Koshining tarjimai holini aytib berishi mumkin. Eng go'zal ranglarda. Bu nom Eyfel minorasining birinchi qavatida o‘yilganligi bejiz emas.

Koshining musbat sonlar seriyasi uchun yaqinlashuv testi hozirgi muhokama qilingan D'Alembert testiga bir oz o'xshaydi.

Radikal Koshi belgisi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Agar chegara mavjud bo'lsa: , keyin:
a) Qachon qator birlashadi. Xususan, qatorlar da yaqinlashadi.
b) Qachon qator farqlanadi. Xususan, ketma-ket ajraladi.
c) qachon belgi javob bermaydi. Siz boshqa belgidan foydalanishingiz kerak. Shunisi qiziqki, agar Koshi testi qatorning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob bermasa, u holda Dalember testi ham javob bermaydi. Ammo agar d'Alember testi javob bermasa, Koshining testi yaxshi "ishlashi" mumkin. Ya'ni, Koshi belgisi shu ma'noda kuchliroq belgidir.

Radikal Koshi belgisini qachon ishlatish kerak? Radikal Cauchy testi odatda "yaxshi" ildiz seriyaning umumiy a'zosidan olingan hollarda qo'llaniladi. Qoida tariqasida, bu qalampir bir darajada qaysiga bog'liq. Ekzotik holatlar ham bor, lekin biz ular haqida tashvishlanmaymiz.

7-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Biz kasrning "en" ga qarab to'liq quvvat ostida ekanligini ko'ramiz, ya'ni radikal Koshi testidan foydalanishimiz kerak:


Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.

(1) Biz ildiz ostida qatorning umumiy atamasini tuzamiz.

(2) Xuddi shu narsani, faqat ildizsiz, darajalar xususiyatidan foydalangan holda qayta yozamiz.
(3) Ko'rsatkichda biz sonni maxraj a'zosiga bo'lib, buni ko'rsatamiz
(4) Natijada bizda noaniqlik bor. Bu erda siz uzoq yo'lni bosib o'tishingiz mumkin: kub, kub, keyin hisoblagich va maxrajni "en" kubga bo'ling. Ammo bu holda yanada samarali echim bor: bu texnikani to'g'ridan-to'g'ri doimiy darajada ishlatish mumkin. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun pay va maxrajni (polinomlarning eng yuqori kuchi) ga bo'ling.

(5) Biz muddatga bo'linishni amalga oshiramiz va nolga moyil bo'lgan shartlarni ko'rsatamiz.
(6) Biz javobni eslaymiz, bizda nima borligini belgilaymiz va ketma-ketlik farqlanadi degan xulosaga kelamiz.

O'zingiz hal qilishingiz uchun oddiyroq misol:

8-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Va yana bir nechta odatiy misollar.

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn

9-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring
Biz radikal Koshi testidan foydalanamiz:


Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

(1) Ketmaning umumiy atamasini ildiz ostiga qo'ying.

(2) Biz xuddi shu narsani qayta yozamiz, lekin ildizsiz, qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida qavslarni ochganda: .
(3) Ko'rsatkichda sonni maxraj a'zosiga bo'lamiz va buni ko'rsatamiz.
(4) Shaklning noaniqligi olinadi va bu erda ham bo'linish bevosita daraja ostida amalga oshirilishi mumkin. Ammo bir shart bilan: polinomlarning yuqori darajalarining koeffitsientlari har xil bo'lishi kerak. Biznikilar har xil (5 va 6), shuning uchun ikkala qavatni ga bo'lish mumkin (va zarur). Agar bu koeffitsientlar bo'lsa bir xil, masalan (1 va 1): , keyin bunday hiyla ishlamaydi va siz foydalanishingiz kerak ikkinchi ajoyib chegara. Esingizda bo'lsa, bu nozikliklar maqolaning oxirgi xatboshida muhokama qilingan Limitlarni yechish usullari.

(5) Biz amalda atama bo'yicha bo'linishni amalga oshiramiz va qaysi atamalar nolga moyilligini ko'rsatamiz.
(6) Noaniqlik bartaraf etildi, bizda eng oddiy chegara qoldi: . Nima uchun cheksiz katta nolga intiladi? Chunki daraja asosi tengsizlikni qanoatlantiradi. Agar kimdir chegaraning adolatliligiga shubha qilsa , keyin men dangasa bo'lmayman, men kalkulyatorni olaman:
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
… va hokazo. cheksizlikka - ya'ni chegarada:

Xuddi shunday cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya barmoqlaringizda =)
! Hech qachon bu texnikani dalil sifatida ishlatmang! Chunki biror narsa aniq bo'lsa, bu uning to'g'ri ekanligini anglatmaydi.

(7) Biz ketma-ketlik yaqinlashadi degan xulosaga kelganimizni bildiramiz.

10-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Ba'zan yechim uchun provokatsion misol taklif etiladi, masalan:. Bu erda eksponentda "en" yo'q, faqat doimiy. Bu erda siz pay va maxrajni kvadratga olishingiz kerak (siz polinom olasiz), so'ngra maqoladagi algoritmga amal qiling. Dummies uchun qatorlar. Bunday misolda ketma-ketlikni yaqinlashtirish uchun kerakli test yoki taqqoslash uchun cheklovchi test ishlashi kerak.

Integral Koshi testi

Yoki shunchaki integral belgi. Birinchi kurs materialini yaxshi tushunmaganlarni xafa qilaman. Koshi integral testini qo'llash uchun siz hosilalarni, integrallarni topishda ko'proq yoki kamroq ishonchga ega bo'lishingiz, shuningdek hisoblash mahoratiga ega bo'lishingiz kerak. noto'g'ri integral birinchi turdagi.

Matematik tahlil darsliklarida integral Koshi testi matematik jihatdan qat'iy, lekin juda chalkash tarzda berilgan, shuning uchun men belgini juda qattiq emas, balki aniq shakllantiraman:

Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Agar noto'g'ri integral bo'lsa, u holda qator bu integral bilan birga yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Va tushuntirish uchun faqat bir nechta misollar:

11-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Deyarli klassik. Tabiiy logarifm va ba'zi bema'nilik.

Koshi integral testidan foydalanishning asosiy sharti hisoblanadi qatorning umumiy atamasi ma’lum funksiya va uning hosilasiga o‘xshash omillarni o‘z ichiga olganligidir. Mavzudan

D'Alemberning yaqinlashuv testi Radikal Koshi yaqinlashuv testi Integral Koshi yaqinlashuv testi

Amaliy misollarda uchraydigan umumiy taqqoslash belgilaridan biri bu D'Alembert belgisidir. Cauchy belgilari kamroq tarqalgan, ammo ayni paytda juda mashhur. Har doimgidek, men materialni sodda, tushunarli va tushunarli tarzda taqdim etishga harakat qilaman. Mavzu eng qiyin emas va barcha vazifalar ma'lum darajada standartdir.

Jan Leron d'Alember - XVIII asrning mashhur frantsuz matematiki. Umuman olganda, d'Alembert differensial tenglamalarga ixtisoslashgan va o'z tadqiqotlariga asoslanib, Janobi Oliylarining to'plari yaxshiroq uchishi uchun ballistikani o'rgangan. Shu bilan birga, men raqamlar seriyasini unutmadim, keyinchalik Napoleon qo'shinlarining saflari shunchalik aniq bir-biriga yaqinlashishi va ajralib chiqishi bejiz emas edi.

Belgining o'zini shakllantirishdan oldin, keling, muhim savolni ko'rib chiqaylik:
D'Alembertning konvergentsiya testidan qachon foydalanish kerak?

Avval ko'rib chiqishdan boshlaylik. Keling, eng mashhurlaridan foydalanishingiz kerak bo'lgan holatlarni eslaylik taqqoslash chegarasi. Taqqoslash uchun cheklovchi mezon qatorning umumiy atamasida quyidagi hollarda qo'llaniladi:
1) maxraj ko‘phadni o‘z ichiga oladi.
2) Ko‘pnomlar ham ayiruvchi, ham maxrajda bo‘ladi.
3) Bir yoki ikkala ko‘phad ildiz ostida bo‘lishi mumkin.

D'Alember testini qo'llashning asosiy shartlari quyidagilardan iborat:

1) Seriyaning umumiy atamasi ("ketmani to'ldirish") ma'lum bir sonni o'z ichiga oladi, masalan, va hokazo. Bundan tashqari, bu narsa qayerda, hisoblagichda yoki maxrajda joylashganligining ahamiyati yo'q - eng muhimi, u erda mavjudligi.

2) qatorning umumiy hadi faktorialni o'z ichiga oladi. Biz sinfda faktoriallar bilan qilichlarni kesib o'tdik Raqamlar ketma-ketligi va uning chegarasi. Biroq, o'z-o'zidan yig'ilgan dasturxonni yana yoyish zarar qilmaydi:





…


…

! D'Alember testidan foydalanganda biz faktorialni batafsil tavsiflashimiz kerak bo'ladi. Oldingi paragrafda bo'lgani kabi, faktorial kasrning yuqori yoki pastki qismida joylashgan bo'lishi mumkin.

3) Agar qatorning umumiy atamasida “omillar zanjiri” mavjud bo‘lsa, masalan, . Bu holat kamdan-kam uchraydi, lekin! Bunday seriyani o'rganishda ko'pincha xatoga yo'l qo'yiladi - 6-misolga qarang.

Kuchlar va/yoki faktoriallar bilan bir qatorda polinomlar koʻpincha qatorni toʻldirishda uchraydi; bu vaziyatni oʻzgartirmaydi – D'Alembert belgisidan foydalanish kerak.

Bundan tashqari, qatorning umumiy terminida daraja ham, faktorial ham bir vaqtda sodir bo'lishi mumkin; ikkita faktorial, ikki daraja bo'lishi mumkin, bo'lishi muhim hech bo'lmaganda biror narsa ko'rib chiqilgan nuqtalar - va bu D'Alembert belgisidan foydalanishning aniq shartidir.

D'Alembert belgisi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Agar keyingi atamaning oldingisiga nisbati chegarasi bo'lsa: , u holda:
a) Qachon qator birlashadi. Xususan, qatorlar da yaqinlashadi.
b) Qachon qator farqlanadi. Xususan, ketma-ket ajraladi.
c) qachon belgi javob bermaydi. Siz boshqa belgidan foydalanishingiz kerak. Ko'pincha, cheklovchi taqqoslash testidan foydalanish kerak bo'lganda, ular d'Alembert testini qo'llashga harakat qilganda olinadi.

Hali ham cheklovlar yoki chegaralarni noto'g'ri tushunish bilan bog'liq muammolarga duch kelganlar uchun darsga murojaat qiling Cheklovlar. Yechimlarga misollar. Chegara va noaniqlikni ochib berish qobiliyatini tushunmasdan, afsuski, oldinga siljish mumkin emas.

Va endi uzoq kutilgan misollar.

1-misol

Biz seriyaning umumiy atamasida bizda borligini ko'ramiz va bu d'Alembert testidan foydalanishning aniq shartidir. Birinchidan, to'liq yechim va namunaviy dizayn, quyida sharhlar.

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

birlashadi.

(1) Seriyaning keyingi a'zosining oldingisiga nisbatini tuzamiz: . Shartdan ko'ramizki, qatorning umumiy termini . Seriyaning keyingi a'zosini olish uchun bu kerak almashtirish o'rniga: .
(2) Biz to'rt qavatli fraktsiyadan qutulamiz. Agar sizda yechim bilan tajribangiz bo'lsa, bu bosqichni o'tkazib yuborishingiz mumkin.
(3) Numeratordagi qavslarni oching. Denominatorda biz to'rttasini quvvatdan chiqaramiz.
(4) ga kamaytiring. Biz doimiyni chegara belgisidan tashqariga olamiz. Numeratorda biz qavs ichida o'xshash atamalarni keltiramiz.
(5) Noaniqlik standart tarzda yo'q qilinadi - hisoblagich va maxrajni "en" ga eng yuqori quvvatga bo'lish orqali.
(6) Numeratorlarni hadga ayiruvchilarga ajratamiz va nolga moyil bo'lgan hadlarni ko'rsatamiz.
(7) Biz javobni soddalashtiramiz va shuni qayd qilamizki, D'Alembert mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qatorlar yaqinlashadi.

Ko'rib chiqilgan misolda qatorning umumiy hadida biz 2-darajali ko'phadga duch keldik. Agar 3, 4 yoki undan yuqori darajali polinom bo'lsa, nima qilish kerak? Gap shundaki, agar yuqori darajadagi polinom berilsa, qavslarni ochishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Bunday holda siz "turbo" yechim usulidan foydalanishingiz mumkin.

2-misol

Keling, shunga o'xshash qatorni olib, uni konvergentsiya uchun tekshiramiz

Avval to'liq yechim, keyin sharhlar:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

(1) Biz munosabatlarni yaratamiz.
(2) Biz to'rt qavatli fraktsiyadan qutulamiz.
(3) Numeratordagi ifodani va maxrajdagi ifodani ko'rib chiqing. Biz hisoblagichda biz qavslarni ochishimiz va ularni to'rtinchi darajaga ko'tarishimiz kerakligini ko'ramiz: , biz buni mutlaqo xohlamaymiz. Bundan tashqari, Nyuton binomial bilan tanish bo'lmaganlar uchun bu vazifa umuman bajarilmasligi mumkin. Keling, yuqori darajalarni tahlil qilaylik: agar biz yuqoridagi qavslarni ochsak, biz eng yuqori darajani olamiz. Quyida biz bir xil yuqori darajaga egamiz: . Oldingi misolga o'xshatib, ko'rinib turibdiki, son va maxrajni hadga bo'lishda biz chegarada bittaga qolamiz. Yoki, matematiklar aytganidek, polinomlar va - bir xil o'sish tartibi. Shunday qilib, oddiy qalam bilan nisbatni belgilash va darhol bu narsa bittaga moyilligini ko'rsatish mumkin. Ikkinchi juft ko‘phad bilan ham xuddi shunday ishlaymiz: va , ular ham bir xil o'sish tartibi, va ularning nisbati birlikka intiladi.

Aslida, bunday "hack" №1 misolda olib tashlanishi mumkin edi, ammo 2-darajali polinom uchun bunday yechim hali ham qandaydir nomaqbul ko'rinadi. Shaxsan men buni qilaman: agar birinchi yoki ikkinchi darajali ko‘phad (yoki ko‘phad) bo‘lsa, 1-misolni yechish uchun “uzun” usulidan foydalanaman. Agar men 3 yoki undan yuqori darajali ko‘phadga duch kelsam, men 2-misolga o'xshash "turbo" usuli.

3-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Raqamlar ketma-ketligi haqidagi dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn.
(4) Biz kesish mumkin bo'lgan hamma narsani kesib tashladik.
(5) Biz doimiyni chegara belgisidan tashqariga o'tkazamiz. Numeratordagi qavslarni oching.
(6) Biz noaniqlikni standart usulda yo'q qilamiz - numerator va maxrajni "en" ga eng yuqori quvvatga bo'lish orqali.

5-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn

6-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Ba'zida ularni to'ldirishda "zanjir" omillarini o'z ichiga olgan seriyalar mavjud, biz bu turdagi seriyalarni hali ko'rib chiqmaganmiz. Faktorlar "zanjiri" bilan seriyani qanday o'rganish mumkin? D'Alembert belgisidan foydalaning. Lekin birinchi navbatda, nima bo'layotganini tushunish uchun keling, seriyani batafsil tasvirlab beraylik:

Kengayishdan ko'ramizki, qatorning har bir keyingi a'zosi maxrajga qo'shilgan qo'shimcha omilga ega, shuning uchun qatorning umumiy a'zosi bo'lsa, qatorning keyingi a'zosi:
. Bu erda ular ko'pincha avtomatik ravishda xatoga yo'l qo'yishadi, rasmiy ravishda algoritmga muvofiq yozishadi

Namuna yechim quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya birlashadi.

Belgining o'zini shakllantirishdan oldin, keling, muhim savolni ko'rib chiqaylik:
D'Alembertning konvergentsiya testidan qachon foydalanish kerak?

D'Alember testini qo'llashning asosiy shartlari quyidagilardan iborat:

1) Seriyaning umumiy atamasi ("ketmani to'ldirish") ma'lum bir sonni o'z ichiga oladi, masalan, va hokazo. Bundan tashqari, bu funktsiyalar qayerda, hisoblagichda yoki maxrajda joylashganligi umuman muhim emas - muhimi shundaki, ular u erda mavjud.

2) qatorning umumiy hadi faktorialni o'z ichiga oladi. Faktorial nima?





…


…

! D'Alember testidan foydalanganda biz faktorialni batafsil tavsiflashimiz kerak bo'ladi. Oldingi paragrafda bo'lgani kabi, faktorial kasrning yuqori yoki pastki qismida joylashgan bo'lishi mumkin.

3) Agar ketma-ketlikning umumiy atamasida "omillar zanjiri" mavjud bo'lsa, masalan, . Bu holat kam uchraydi.

Kuchlar va/yoki faktoriallar bilan bir qatorda polinomlar koʻpincha qatorni toʻldirishda uchraydi; bu vaziyatni oʻzgartirmaydi – D'Alembert belgisidan foydalanish kerak.

Bundan tashqari, qatorning umumiy terminida daraja ham, faktorial ham bir vaqtda sodir bo'lishi mumkin; ikkita faktorial, ikki daraja bo'lishi mumkin, bo'lishi muhim hech bo'lmaganda biror narsa ko'rib chiqilgan nuqtalardan - va bu D'Alembert belgisidan foydalanishning aniq shartidir.

D'Alembert belgisi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Agar keyingi atamaning oldingisiga nisbati chegarasi bo'lsa: , u holda:
a) Qachon qator birlashadi
b) Qachon qator farqlanadi
c) qachon belgi javob bermaydi. Siz boshqa belgidan foydalanishingiz kerak. Ko'pincha, cheklovchi taqqoslash testidan foydalanish kerak bo'lganda, ular d'Alembert testini qo'llashga harakat qilganda olinadi.

Chegara va noaniqlikni ochib berish qobiliyatini tushunmasdan, afsuski, oldinga siljish mumkin emas.

Misol:
Yechim: Biz seriyaning umumiy atamasida bizda borligini ko'ramiz va bu d'Alembert testidan foydalanishning aniq shartidir.

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:


birlashadi.

Radikal Koshi belgisi.

Koshining musbat sonlar seriyasi uchun yaqinlashuv testi hozirgi muhokama qilingan D'Alembert testiga bir oz o'xshaydi.

Radikal Koshi belgisi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Agar chegara mavjud bo'lsa: , keyin:
a) Qachon qator birlashadi. Xususan, qatorlar da yaqinlashadi.
b) Qachon qator farqlanadi. Xususan, ketma-ket ajraladi.
c) qachon belgi javob bermaydi. Siz boshqa belgidan foydalanishingiz kerak.

! Shunisi qiziqki, agar Koshi testi qatorning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob bermasa, Dalember testi ham bizga javob bermaydi. Ammo agar d'Alember testi javob bermasa, Koshining testi yaxshi "ishlashi" mumkin. Ya'ni, Koshi belgisi shu ma'noda kuchliroq belgidir.

!!! Radikal Koshi belgisini qachon ishlatish kerak? Radikal Koshi testi odatda seriyaning umumiy atamasi bo'lgan hollarda qo'llaniladi TO'LIQ darajasida "en" ga qarab. Yoki "yaxshi" ildiz seriyaning umumiy a'zosidan chiqarilganda. Ekzotik holatlar ham bor, lekin biz ular haqida tashvishlanmaymiz.

Misol: Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Yechim: Biz seriyaning umumiy atamasi ga bog'liq holda to'liq quvvat ostida ekanligini ko'ramiz, bu biz radikal Koshi testidan foydalanishimiz kerakligini anglatadi:


Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi.

Integral Koshi testi.

Koshi integral testini qo'llash uchun siz hosilalarni, integrallarni topishda ko'proq yoki kamroq ishonchga ega bo'lishingiz, shuningdek hisoblash mahoratiga ega bo'lishingiz kerak. noto'g'ri integral birinchi turdagi.

Men buni o'z so'zlarim bilan tuzaman (tushunish qulayligi uchun).

Integral Koshi testi: Keling, ko'rib chiqaylik musbat sonlar qatori. Bu qator mos keladigan noto'g'ri integral bilan birga yaqinlashadi yoki ajraladi.

! !! Koshi integral testidan foydalanishning asosiy sharti hisoblanadi qatorning umumiy atamasida ma’lum funktsiya va uning hosilasi borligidir.

Misol: Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Yechim: Mavzudan Hosil Ehtimol, siz eng oddiy stol narsasini eslaysiz: , va bizda shunday kanonik holat bor.

Integral atributidan qanday foydalanish kerak? Birinchidan, biz integral belgini olamiz va seriyaning "hisoblagichi" dan yuqori va pastki chegaralarni qayta yozamiz: . Keyin, integral ostida, biz "X" harfi bilan seriyani "to'ldirish" ni qayta yozamiz: .

Endi biz noto'g'ri integralni hisoblashimiz kerak. Bunday holda, ikkita holat mumkin:

1) Agar integral yaqinlashishi aniqlansa, bizning qatorlarimiz ham yaqinlashadi.

2) Agar integral ajralishi aniqlansa, bizning qatorlarimiz ham ajralib chiqadi.

Biz integral belgisidan foydalanamiz:

Integratsiya funksiyasi uzluksiz

Shunday qilib, o'rganilayotgan seriya farqlanadi mos keladigan noto'g'ri integral bilan birga.

Misol: Seriyalarning yaqinlashuvini o‘rganing

Yechim: avvalo tekshirib ko'ramiz qator yaqinlashuvining zaruriy belgisi. Bu rasmiyatchilik emas, balki "ozgina qon to'kish" misolini hal qilish uchun ajoyib imkoniyatdir.

Raqamlar ketma-ketligi yuqoriroq o'sish tartibi, dan, shuning uchun , ya'ni yaqinlashuvning zaruriy belgisi qanoatlantiriladi va qator yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin.

Shunday qilib, siz biron bir belgidan foydalanishingiz kerak. Lekin qaysi biri? Taqqoslash chegarasi aniq mos kelmaydi, chunki logarifm qatorning umumiy atamasi ichiga siqib qo'yilgan, d'Alembert va Koshi belgilari ham natijaga olib kelmaydi. Agar bizda bo'lganida, hech bo'lmaganda, biz o'tib keta olardik ajralmas xususiyat.

"Sahnani tekshirish" divergent qatorni taklif qiladi (umumlashtirilgan garmonik qatorlar ishi), lekin yana savol tug'iladi, hisoblagichdagi logarifmni qanday hisobga olish kerak?

Qolgan narsa - tengsizliklarga asoslangan taqqoslashning birinchi belgisi bo'lib, u ko'pincha hisobga olinmaydi va uzoqdagi tokchada chang to'playdi. Keling, seriyani batafsilroq tasvirlab beraylik:

Sizga shuni eslatib o'taman - cheksiz o'sib bormoqda raqamlar ketma-ketligi:

Va raqamdan boshlab, tengsizlik qondiriladi:

ya'ni seriya a'zolari bo'ladi ko'proq tegishli a'zolar turlicha qator.

Natijada serialning tarqalishdan boshqa iloji qolmaydi.

Raqamlar qatorining yaqinlashishi yoki divergensiyasi uning “cheksiz dumiga” (qoldiq) bog‘liq. Bizning holatda, biz tengsizlik birinchi ikkita raqam uchun to'g'ri emasligini e'tiborsiz qoldiramiz - bu xulosaga ta'sir qilmaydi.

Tugallangan misol shunday ko'rinishi kerak:

Keling, ushbu seriyani divergent qator bilan taqqoslaylik.
dan boshlab barcha raqamlar uchun tengsizlik qondiriladi, shuning uchun taqqoslash mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qatorlar farqlanadi.

O'zgaruvchan qatorlar. Leybnits belgisi. Yechimlarga misollar.

Muqobil seriya nima? Bu ismning o'zidan aniq yoki deyarli aniq. Oddiy misol.

Keling, seriyani ko'rib chiqamiz va uni batafsilroq tavsiflaymiz:

Hizalama ko'paytiruvchini ta'minlaydi: agar juft bo'lsa, ortiqcha belgisi bo'ladi, toq bo'lsa, minus belgisi bo'ladi.

Amaliy misollarda qator terminlarining almashinishi nafaqat ko‘paytuvchi, balki uning birodarlari tomonidan ham ta’minlanishi mumkin: , , , …. Masalan:

Tuzoq "aldashlar": , , va hokazo. - bunday multiplikatorlar belgi o'zgarishini ta'minlamang. Bu mutlaqo aniq har qanday tabiiy uchun: , , .

Muqobil qatorni konvergentsiya uchun qanday tekshirish mumkin? Leybnits testidan foydalaning.

Leybnits testi: Agar o'zgaruvchan qatorda ikkita shart bajarilsa: 1) qatorning hadlari mutlaq qiymatda monoton ravishda kamayadi. 2) moduldagi umumiy hadning chegarasi nolga teng, keyin qatorlar yaqinlashadi va bu qator yig'indisining moduli birinchi hadning modulidan oshmaydi.

Modul haqida qisqacha ma'lumot:

"Modulo" nimani anglatadi? Modul, maktabdan eslaganimizdek, minus belgisini "yeydi". Keling, qatorga qaytaylik . Barcha belgilarni o'chirgich bilan o'chirib tashlang va raqamlarga qaraylik. Biz buni ko'ramiz har keyingi seriya a'zosi Ozroq oldingisiga qaraganda.

Endi biroz monotonlik haqida.

Serial a'zolari qat'iy monoton agar seriyaning HAR KEYINGI a'zosi bo'lsa modulning pasayishi modul Oldingidan kamroq: . Bir qator uchun Kamaytirishning qat'iy monotonligi amalga oshiriladi, uni batafsil tavsiflash mumkin:

Yoki qisqacha aytishimiz mumkin: seriyaning har bir keyingi a'zosi modul oldingisidan kamroq: .

Serial a'zolari qat'iy monoton emas modulning pasayishi, agar seriya modulining HAR BIR SOYIDAGI a'zosi avvalgisidan KATTA BO'LMAYSA: . Faktorial qatorni ko'rib chiqing: Bu erda bo'sh monotonlik mavjud, chunki seriyaning dastlabki ikki a'zosi modul bo'yicha bir xil. Ya'ni, seriyaning har bir keyingi a'zosi modul oldingisidan ortiq emas: .

Leybnits teoremasi sharoitida kamayib boruvchi monotonlik qanoatlantirilishi kerak (u qat'iy yoki qat'iy emasligi muhim emas). Bunday holda, seriya a'zolari mumkin hatto bir muncha vaqt uchun modulning oshishi, lekin seriyaning "dumi" albatta monoton ravishda kamayib borishi kerak.

Misol: Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Yechim: Seriyaning umumiy atamasi omilni o'z ichiga oladi, ya'ni Leybnits mezonidan foydalanish kerak

1) Seriyani monotonik pasayish uchun tekshirish.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – birinchi shart bajarilmaydi

2) – ikkinchi shart ham bajarilmaydi.

Xulosa: seriyalar ajralib chiqadi.

Ta'rif: Agar Leybnits mezoniga ko'ra ketma-ket yaqinlashsa va modullardan tashkil topgan qator ham yaqinlashsa, ular qator deb aytadilar. mutlaqo birlashadi.

Agar qator Leybnits mezoniga muvofiq yaqinlashsa va modullardan tashkil topgan qator ajralsa, u holda qator deyiladi. shartli ravishda birlashadi.

Agar modullardan tashkil topgan qator yaqinlashsa, bu qator ham yaqinlashadi.

Shuning uchun o'zgaruvchan konvergent qatorni mutlaq yoki shartli yaqinlashuv uchun tekshirish kerak.

Misol:

Yechim: Biz Leybnits mezonidan foydalanamiz:

1) Ketmaning har bir keyingi a'zosi oldingisiga qaraganda mutlaq qiymatda kamroq: – birinchi shart bajarilgan.

2) – ikkinchi shart ham bajariladi.

Xulosa: qatorlar yaqinlashadi.

Shartli yoki mutlaq yaqinlashuvni tekshiramiz.

Keling, bir qator modullarni yarataylik - yana biz shunchaki ko'paytirgichni olib tashlaymiz, bu esa belgilar almashinuvini ta'minlaydi:
– farqlanadi (garmonik qator).

Shunday qilib, bizning seriyamiz mutlaqo konvergent emas.
O'rganilayotgan seriya shartli ravishda birlashadi.

Misol: Shartli yoki mutlaq yaqinlashuv uchun qatorni tekshiring

Yechim: Biz Leybnits mezonidan foydalanamiz:
1) Keling, qatorning birinchi bir necha shartlarini yozishga harakat qilaylik:


…?!

2)

Gap shundaki, bunday chegaralarni hal qilish uchun standart, kundalik texnikalar mavjud emas. Bu chegara qayerga boradi? Nolga, cheksizlikka? Bu erda muhimi, NIMA cheksizlikda tezroq o'sadi- sanoqchi yoki maxraj.

Agar raqam faktorialdan tezroq o'ssa, u holda . Agar cheksizlikda faktorial hisoblagichdan tezroq o'ssa, u, aksincha, chegarani nolga "tortadi": . Yoki bu chegara nolga teng bo'lmagan raqamga tengdir? yoki . Buning o'rniga, siz minginchi darajali polinomni almashtirishingiz mumkin, bu yana vaziyatni o'zgartirmaydi - ertami-kechmi faktorial bunday dahshatli polinomni "engib o'tadi". Faktorial o'sishning yuqori tartibi.

– Faktorial nisbatan tezroq o'sib bormoqda har qanday miqdordagi mahsulot eksponensial va quvvat ketma-ketliklari(bizning ishimiz).

– Har qanday eksponensial ketma-ketlik har qanday quvvat ketma-ketligiga qaraganda tezroq o'sadi, masalan: , . Eksponensial ketma-ketlik o'sishning yuqori tartibi har qanday quvvat ketma-ketligidan ko'ra. Faktorialga o'xshab, eksponensial ketma-ketlik har qanday quvvat ketma-ketligi yoki polinomlarining istalgan sonining mahsulotini "tortadi": .

- Faktorialdan kuchliroq narsa bormi? Yemoq! Kuchli eksponensial ketma-ketlik (“en” “en” kuchiga) faktorialdan tezroq o'sadi. Amalda bu kamdan-kam uchraydi, ammo ma'lumot ortiqcha bo'lmaydi.

Yordamning oxiri

Shunday qilib, tadqiqotning ikkinchi nuqtasini quyidagicha yozish mumkin:
2) , chunki o'sish tartibi dan yuqori.
Seriya shartlari modulning kamayishi, ba'zi bir raqamdan boshlanadi, bu holda ketma-ketlikning har bir keyingi a'zosi avvalgisiga qaraganda mutlaq qiymatda kamroq bo'ladi, shuning uchun pasayish monotondir.

Xulosa: qator yaqinlashadi.

Seriya shartlari birinchi marta mutlaq qiymatga ko'tarilganda aynan shu qiziq holat, shuning uchun biz chegara haqida noto'g'ri dastlabki fikrga ega bo'ldik. Lekin, ba'zi "en" raqamidan boshlab, faktorial hisoblagichdan o'tib ketadi va qatorning "dumi" monoton ravishda kamayib boradi, bu Leybnits teoremasining shartlarini bajarish uchun printsipial jihatdan muhimdir. Bu "en" nimaga teng ekanligini aniqlash juda qiyin..

Biz ketma-ketlikni mutlaq yoki shartli yaqinlashish uchun tekshiramiz:

Va bu erda D'Alembert belgisi allaqachon ishlaydi:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, seriyalar birlashadi.

O'rganilayotgan seriya mutlaqo birlashadi.

Tahlil qilingan misolni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin (biz o'zgaruvchan qatorning yaqinlashuvi uchun etarli mezondan foydalanamiz).

O'zgaruvchan qatorning yaqinlashuvining etarli belgisi: Agar berilgan qator hadlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator yaqinlashsa, berilgan qator ham yaqinlashadi.

Ikkinchi usul:

Shartli yoki mutlaq yaqinlashuv uchun qatorni tekshiring

Yechim : Biz ketma-ketlikni mutlaq yaqinlashish uchun tekshiramiz:

Biz d'Alembert belgisidan foydalanamiz:

Shunday qilib, seriyalar birlashadi.
O'zgaruvchan qatorning yaqinlashuvining etarli mezoniga asoslanib, qatorning o'zi yaqinlashadi.

Xulosa: O'quv seriyasi mutlaqo birlashadi.

Berilgan aniqlik bilan qator yig'indisini hisoblash Biz quyidagi teoremadan foydalanamiz:

O'zgaruvchan qatorga belgi qo'ying Leybnits mezonining shartlarini qanoatlantiradi va ruxsat - uniki n th qisman miqdor. Keyin qator yaqinlashadi va uning yig'indisini taxminiy hisoblashda xato S mutlaq qiymatda birinchi bekor qilingan atamaning modulidan oshmaydi:

Funktsional seriyalar. Quvvat seriyasi.
Seriyaning yaqinlashuv diapazoni.

Mavzuni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz oddiy sonlar qatorini yaxshi tushunishingiz kerak.