Kompleks son - z =x + i * y ko'rinishdagi son, bu erda x va y haqiqiydir raqamlar, va i = xayoliy birlik (ya'ni kvadrati -1 bo'lgan son). Taqdimotni aniqlash uchun dalil keng qamrovli raqamlar, siz qutb koordinata tizimidagi kompleks tekislikdagi kompleks songa qarashingiz kerak.

Ko'rsatmalar

1. Murakkab komplekslar tasvirlangan tekislik raqamlar, kompleks deb ataladi. Bu tekislikda gorizontal o'qni real egallaydi raqamlar(x) va vertikal o'qi xayoliydir raqamlar(y). Bunday tekislikda son ikkita z = (x, y) koordinatalari bilan berilgan. Qutbli koordinatalar tizimida nuqtaning koordinatalari modul va argument hisoblanadi. Modul - bu masofa |z| bir nuqtadan kelib chiqishigacha. Burchak argument deb ataladimi? nuqta va koordinata so'zini bog'lovchi vektor va koordinata tizimining gorizontal o'qi o'rtasida (rasmga qarang).

2. Rasmda murakkab modul ko'rsatilgan raqamlar z = x + i * y Pifagor teoremasi yordamida topiladi: |z| = ? (x^2 + y^2). Qo'shimcha dalil raqamlar z uchburchakning o'tkir burchagi sifatida topiladi - trigonometrik funksiyalarning qiymatlari orqali sin, cos, tan:sin? =y/? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Aytaylik, z = 5 * (1 + ?3 * i) soni berilsin. Avvalo, haqiqiy va xayoliy qismlarni tanlang: z = 5 +5 * ?3 * i. Haqiqiy qism x = 5, xayoliy qism esa y = 5 * ?3 ekanligi ma'lum bo'ladi. Modulni hisoblang raqamlar: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Keyin burchakning sinusini toping?: sin ? = 5/10 = 1/2. U yerdan argumentni olamiz raqamlar z 30° ga teng.

4. 2-misol. z = 5 * i soni berilsin. Rasmdan ko'rinib turibdiki, burchak? = 90°. Yuqorida keltirilgan formuladan foydalanib, ushbu qiymatni tekshiring. Buning koordinatalarini yozing raqamlar kompleks tekislikda: z = (0, 5). Modul raqamlar|z| = 5. tg burchakning tangensi? = 5/5 = 1. U erdan nima kelib chiqadi? = 90°.

5. Misol 3. Aytaylik, z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i 2 ta kompleks sonlar yig'indisining argumentini topishimiz kerak. Qo'shish qoidalariga ko'ra, siz ushbu ikkita kompleksni qo'shasiz raqamlar: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Keyin, yuqoridagi sxema bo'yicha, argumentni hisoblang: tg? = 9/3 = 3.

Eslatma!
Agar raqam z = 0 bo'lsa, u uchun argumentning qiymati aniqlanmaydi.

Foydali maslahat
Kompleks son argumentining qiymati 2 * aniqlik bilan aniqlanadi? * k, bu yerda k har qanday butun son. Bahsning ma'nosi? shu kabi -?

Ta'rif 8.3 (1).

Uzunlik |z| vektor z = (x,y) z = x + yi kompleks sonning moduli deyiladi

Uchburchakning har bir tomonining uzunligi uning boshqa ikki tomonining uzunliklari yig'indisidan oshmaganligi sababli, uchburchakning ikki tomonining uzunliklari farqining mutlaq qiymati uchinchi tomonning uzunligidan kam emas. , u holda har qanday ikkita z 1 va z 2 kompleks sonlar uchun tengsizliklar bajariladi

Ta'rif 8.3 (2).

Murakkab son argumenti. Agar ph nolga teng bo'lmagan z vektorining haqiqiy o'qi bilan hosil qilgan burchak bo'lsa, u holda ko'rinishdagi har qanday burchak (ph + 2pn, bu erda n - butun son va faqat shu turdagi burchak, shuningdek, hosil bo'lgan burchak bo'ladi. vektor z haqiqiy o'q bilan.

Nolga teng bo'lmagan z = = (x, y) vektorining haqiqiy o'qi bilan hosil qilgan barcha burchaklar to'plami z = x + yi kompleks sonining argumenti deb ataladi va arg z bilan belgilanadi. Bu to'plamning har bir elementi z soni argumentining qiymati deb ataladi (8.3 (1)-rasm).

Guruch. 8.3(1).

Tekislikning nolga teng bo'lmagan vektori uning uzunligi va x o'qi bilan hosil qilgan burchagi bilan yagona aniqlanganligi sababli, noldan farqli ikkita kompleks son, agar ularning mutlaq qiymatlari va argumentlari teng bo'lsa, teng bo'ladi.

Agar, masalan, z sonining ph argumenti qiymatlariga 0≤ph sharti qo'yilgan bo'lsa<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Ta'rif 8.3.(3)

Kompleks sonni yozishning trigonometrik shakli. z = x + ui ≠ 0 kompleks sonning haqiqiy va xayoliy qismlari uning r= |z| moduli orqali ifodalanadi. va ph argumenti quyidagicha (sinus va kosinus ta'rifidan):

Bu tenglikning o'ng tomoni z kompleks sonini yozishning trigonometrik shakli deyiladi. Biz uni z = 0 uchun ham ishlatamiz; bu holda, r = 0 va ph har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin - 0 raqamining argumenti aniqlanmagan. Demak, har bir kompleks sonni trigonometrik shaklda yozish mumkin.

Bundan tashqari, agar kompleks son z shaklida yozilsa, aniq

u holda r soni uning moduli, chunki

Va ph uning argumentining qiymatlaridan biridir

Kompleks sonlarni yozishning trigonometrik shakli murakkab sonlarni ko'paytirishda foydalanish uchun qulay bo'lishi mumkin, xususan, kompleks sonlar mahsulotining geometrik ma'nosini aniqlashga imkon beradi.

Trigonometrik shaklda kompleks sonlarni ko‘paytirish va bo‘lish formulalarini topamiz. Agar

keyin kompleks sonlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra (yig'indining sinusi va kosinuslari uchun formulalar yordamida)

Shunday qilib, murakkab sonlarni ko'paytirishda ularning mutlaq qiymatlari ko'paytiriladi va argumentlar qo'shiladi:

Ushbu formulani ketma-ket n ta kompleks songa qo'llasak, biz hosil bo'lamiz

Agar barcha n ta raqam teng bo'lsa, biz olamiz

Qayerga

amalga oshirildi

Demak, mutlaq qiymati 1 bo'lgan kompleks son uchun (shuning uchun u shaklga ega

Bu tenglik deyiladi Moivre formulalari

Boshqacha qilib aytganda, kompleks sonlarni bo'lishda ularning modullari bo'linadi,

va argumentlar ayiriladi.

Misollar 8.3 (1).

Kompleks C tekisligida quyidagi shartlarga javob beradigan nuqtalar to'plamini chizing:

Berilgan kompleks sonni ifodalovchi $z=a+bi$ berilgan kompleks sonning moduli deyiladi.

Berilgan kompleks sonning moduli quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

1-misol

Berilgan $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$ kompleks sonlarning modulini hisoblang.

$z=a+bi$ kompleks sonining modulini quyidagi formula yordamida hisoblaymiz: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Dastlabki kompleks son $z_(1) =13$ uchun $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = ni olamiz. \sqrt (169) =13$

Asl kompleks son $\, z_(2) =4i$ uchun $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ni olamiz. ) = \sqrt(16) =4$

Dastlabki $\, z_(3) =4+3i$ uchun $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^() ni olamiz. 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Ta'rif 2

Haqiqiy o'qning musbat yo'nalishi va $\overrightarrow(OM) $ radius vektori tomonidan hosil qilingan $\varphi $ burchak, berilgan $z=a+bi$ kompleks soniga mos keladi, bu sonning argumenti deyiladi va $\arg z$ bilan belgilanadi.

Eslatma 1

Berilgan kompleks sonning moduli va argumenti kompleks sonni trigonometrik yoki eksponensial shaklda ifodalashda aniq ishlatiladi:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrik shakl;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponensial shakl.

2-misol

Quyidagi ma'lumotlar bilan berilgan kompleks sonni trigonometrik va ko'rsatkichli shakllarda yozing: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) $r=3;\varphi =\pi $ maʼlumotlarini tegishli formulalar bilan almashtiring va quyidagini oling:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrik shakl

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponensial shakl.

2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ maʼlumotlarini mos keladigan formulalar bilan almashtiring va quyidagini oling:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrik shakl

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponensial shakl.

3-misol

Berilgan kompleks sonlarning moduli va argumentini aniqlang:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Berilgan kompleks sonni mos ravishda trigonometrik va eksponensial shakllarda yozish uchun formulalar yordamida modul va argument topamiz.

\ \

1) Dastlabki $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ uchun $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ ni olamiz. .

2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ boshlang‘ich kompleks soni uchun biz $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ olish.

3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ boshlang‘ich kompleks soni uchun $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Dastlabki kompleks son $z=13\cdot e^(i\pi ) $ uchun $r=13;\varphi =\pi $ ni olamiz.

Berilgan kompleks sonning $\varphi $ argumentini $z=a+bi$ quyidagi formulalar yordamida hisoblash mumkin:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

Amalda $z=a+bi$ berilgan kompleks son argumentining qiymatini hisoblash uchun odatda quyidagi formuladan foydalaniladi:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(massiv)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, a

yoki tenglamalar sistemasini yechish

$\left\(\begin(massiv)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(massiv)\oʻng. $. (**)

4-misol

Berilgan kompleks sonlarning argumentini hisoblang: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

$z=3$ ekan, u holda $a=3,b=0$. Keling, (*) formuladan foydalanib, asl kompleks sonning argumentini hisoblaylik:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

$z=4i$ ekan, $a=0,b=4$. Keling, (*) formuladan foydalanib, asl kompleks sonning argumentini hisoblaylik:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

$z=1+i$ ekan, $a=1,b=1$. Asl kompleks sonning argumentini (**) sistemani yechish orqali hisoblaymiz:

\[\left\(\begin(massiv)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(massiv)\oʻng.\]

Trigonometriya kursidan ma'lumki, $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ burchakning birinchi koordinata choragiga mos keladigan va $\varphi =\frac ga teng. (\pi )( 4) $.

$z=-5$ ekan, u holda $a=-5,b=0$. Keling, (*) formuladan foydalanib, asl kompleks sonning argumentini hisoblaylik:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

$z=-2i$ ekan, $a=0,b=-2$. Keling, (*) formuladan foydalanib, asl kompleks sonning argumentini hisoblaylik:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Eslatma 2

$z_(3)$ soni $(0;1)$ nuqta bilan ifodalanadi, shuning uchun mos keladigan radius vektorining uzunligi 1 ga teng, ya'ni. $r=1$ va $\varphi =\frac(\pi )(2) $ argumenti 3-eslatmaga muvofiq.

$z_(4)$ soni $(0;-1)$ nuqta bilan ifodalanadi, shuning uchun mos keladigan radius vektorining uzunligi 1 ga teng, ya'ni. $r=1$ va $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ argumenti 3-eslatmaga muvofiq.

$z_(5) $ soni $(2;2)$ nuqta bilan ifodalanadi, shuning uchun mos keladigan radius vektorining uzunligi $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = ga teng. \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, ya'ni. $r=2\sqrt(2) $ va $\varphi =\frac(\pi )(4) $ argumenti toʻgʻri burchakli uchburchak xossasi boʻyicha.

Kompleks son - z =x + i * y ko'rinishdagi son, bu erda x va y haqiqiydir raqamlar, va i = xayoliy birlik (ya'ni kvadrati -1 bo'lgan son). Kontseptsiyani aniqlash uchun dalil keng qamrovli raqamlar, qutb koordinata tizimida kompleks tekislikda kompleks sonni ko'rib chiqish kerak.

Ko'rsatmalar

Murakkab komplekslar tasvirlangan tekislik raqamlar, kompleks deb ataladi. Bu tekislikda gorizontal o'qni real egallaydi raqamlar(x) va vertikal o'qi xayoliydir raqamlar(y). Bunday tekislikda son ikkita z = (x, y) koordinatalari bilan berilgan. Qutbli koordinatalar tizimida nuqtaning koordinatalari modul va argument hisoblanadi. Modul - bu masofa |z| bir nuqtadan kelib chiqishigacha. Argument nuqtani va koordinata tizimining koordinata tizimining gorizontal o'qi bilan bog'lovchi vektor orasidagi burchakdir (rasmga qarang).

Rasmda murakkab modul ko'rsatilgan raqamlar z = x + i * y Pifagor teoremasi yordamida topiladi: |z| = ? (x^2 + y^2). Keyingi argument raqamlar z uchburchakning o'tkir burchagi sifatida topiladi - trigonometrik funksiyalar qiymatlari orqali sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x /? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Masalan, z = 5 * (1 + ?3 * i) soni berilsin. Avvalo, haqiqiy va xayoliy qismlarni tanlang: z = 5 +5 * ?3 * i. Haqiqiy qism x = 5, xayoliy qism esa y = 5 * ?3 ekanligi ma'lum bo'ladi. Modulni hisoblang raqamlar: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Keyin burchakning sinusini toping: sin = 5/10 = 1/2. Bu argumentni beradi. raqamlar z 30° ga teng.

2-misol. z = 5 * i soni berilsin. Rasm burchak = 90 ° ekanligini ko'rsatadi. Yuqorida keltirilgan formuladan foydalanib, ushbu qiymatni tekshiring. Buning koordinatalarini yozing raqamlar kompleks tekislikda: z = (0, 5). Modul raqamlar|z| = 5. Burchak tangensi tg = 5 / 5 = 1. Shundan kelib chiqadiki, = 90 °.

3-misol. Ikkita z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i kompleks sonlar yig'indisining argumentini topish kerak bo'lsin. Qo'shish qoidalariga ko'ra, siz ushbu ikkita kompleksni qo'shasiz raqamlar: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Keyinchalik, yuqoridagi diagrammadan foydalanib, argumentni hisoblang: tg = 9/3 = 3.