X tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni berilgan. Diskret tasodifiy miqdor, ehtimollik taqsimot qonuni
1-bob. Diskret tasodifiy qiymat
§ 1. Tasodifiy miqdor tushunchalari.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni.
Ta'rif : Tasodifiy - bu sinov natijasida oldindan noma'lum bo'lgan va tasodifiy sabablarga ko'ra o'zining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plamidan faqat bitta qiymatni oladigan miqdor.
Tasodifiy o'zgaruvchilarning ikki turi mavjud: diskret va uzluksiz.
Ta'rif : X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi diskret (uzluksiz) agar uning qiymatlari to'plami chekli yoki cheksiz bo'lsa, lekin sanash mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini qayta raqamlash mumkin.
Tasodifiy o'zgaruvchini uning taqsimot qonuni yordamida tasvirlash mumkin.
Ta'rif : Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi yozishmalarni chaqiring.
Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni jadval ko'rinishida ko'rsatilishi mumkin, uning birinchi qatorida tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari o'sish tartibida, ikkinchi qatorda esa ularning mos keladigan ehtimolliklari ko'rsatilgan. qadriyatlar, ya'ni.
bu yerda r1+ r2+…+ rn=1
Bunday jadval diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatori deb ataladi.
Agar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami cheksiz bo'lsa, u holda p1+ p2+…+ pn+… qatori yaqinlashadi va uning yig'indisi 1 ga teng bo'ladi.
Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonunini grafik tarzda tasvirlash mumkin, buning uchun to'rtburchaklar koordinatalar tizimida nuqtalarni ketma-ket bog'lovchi (xi; pi), i=1,2,…n siniq chiziq quriladi. Olingan chiziq chaqiriladi tarqatish poligoni (1-rasm).
Organik kimyo" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organik kimyo mos ravishda 0,7 va 0,8. X tasodifiy o'zgaruvchisi - talaba topshiradigan imtihonlar soni uchun taqsimot qonunini tuzing.
Yechim. Imtihon natijasida ko'rib chiqilayotgan X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin: x1=0, x2=1, x3=2.
Bu qiymatlarning ehtimoli topilsin.Hodisalarni belgilaymiz:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" eni="259" balandligi="66 src=">
 |
Shunday qilib, X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval bilan berilgan:
Nazorat: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Tarqatish funksiyasi
Tasodifiy o'zgaruvchining to'liq tavsifi taqsimot funktsiyasi orqali ham beriladi.
Ta'rif: Diskret tasodifiy miqdor X ning taqsimot funksiyasi Har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymat olish ehtimolini aniqlaydigan F(x) funksiyasi deyiladi:
F(x)=P(X<х)
Geometrik jihatdan taqsimot funksiyasi X tasodifiy o‘zgaruvchining sonlar chizig‘ida x nuqtadan chap tomonda joylashgan nuqta bilan ifodalangan qiymatni olish ehtimoli sifatida talqin qilinadi.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) (-∞;+∞) da kamaymaydigan funksiya;
3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) nuqtalarda chapda uzluksiz va qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni jadval shaklida berilgan bo'lsa:
u holda F(x) taqsimot funksiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
x≤ x1 uchun 0,
r1 x1 da< х≤ x2,
F(x)= x2 da r1 + r2< х≤ х3
x>xn uchun 1.
Uning grafigi 2-rasmda ko'rsatilgan:
§ 3. Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari.
Muhim raqamli xususiyatlarni o'z ichiga oladi kutilgan qiymat.
Ta'rif: Matematik kutish M(X) diskret tasodifiy o'zgaruvchi X - bu uning barcha qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisi:
M(X) = ∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn
Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining xarakteristikasi bo'lib xizmat qiladi.
Matematik kutishning xususiyatlari:
1)M(C)=C, bu yerda C doimiy qiymat;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), bunda X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar;
5)M(X±C)=M(X)±C, bunda C doimiy qiymat;
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini uning o'rtacha qiymati atrofida tarqalish darajasini tavsiflash uchun dispersiya qo'llaniladi.
Ta'rif: Farqlanish D ( X ) X tasodifiy o'zgaruvchisi - bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik taxmini:
Dispersiya xususiyatlari:
1)D(C)=0, bu yerda C doimiy qiymat;
2)D(X)>0, bu yerda X tasodifiy miqdor;
3)D(C X)=C2 D(X), bu yerda C doimiy qiymat;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), bunda X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar;
Dispersiyani hisoblash uchun odatda formuladan foydalanish qulay:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
bu yerda M(X)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn
D (X) dispersiya kvadrat tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga ega, bu har doim ham qulay emas. Shuning uchun √D(X) qiymati tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining tarqalishining ko'rsatkichi sifatida ham ishlatiladi.
Ta'rif: Standart og'ish s(X) X tasodifiy o'zgaruvchisi dispersiyaning kvadrat ildizi deb ataladi:
Vazifa № 2. Diskret tasodifiy miqdor X taqsimot qonuni bilan belgilanadi:
P2 ni, F(x) taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini, shuningdek M(X), D(X), s(X) ni chizing.
Yechim: X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli yig'indisi 1 ga teng bo'lgani uchun, u holda
R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
F(x)=P(X) taqsimot funksiyasi topilsin Geometrik jihatdan bu tenglikni quyidagicha talqin qilish mumkin: F(x) tasodifiy o‘zgaruvchining son o‘qida x nuqtaning chap tomonida joylashgan nuqta bilan ifodalangan qiymatni olish ehtimoli. Agar x≤-1 bo'lsa, F(x)=0, chunki (-∞;x) da bu tasodifiy miqdorning yagona qiymati yo'q; Agar -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Agar 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) ikkita qiymat mavjud x1=-1 va x2=0; Agar 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Agar 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Agar x>3 bo'lsa, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, chunki to'rtta qiymat x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) va x5=3 oralig'iga tushadi. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 da 0, -1 da 0,1<х≤0, 0 da 0,2<х≤1, F(x)= 1 da 0,5<х≤2, 2 da 0,7<х≤3, 1 da x>3 F(x) funksiyani grafik tarzda tasvirlaymiz (3-rasm): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Binomiy taqsimot qonuni diskret tasodifiy miqdor, Puasson qonuni. Ta'rif: binom
diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni deyiladi X - A hodisaning n ta mustaqil takroriy sinovda sodir bo'lish soni, ularning har birida A hodisasi p ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin yoki q = 1-p ehtimollik bilan sodir bo'lmaydi. U holda P(X=m) - n ta sinovda A hodisasining aynan m marta yuz berish ehtimoli Bernulli formulasi yordamida hisoblanadi: R(X=m)=Smnpmqn-m Ikkilik qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishi mos ravishda quyidagi formulalar yordamida topiladi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Har bir sinovda A hodisasining ehtimoli - "beshtasini chiqarish" bir xil va 1/6 ga teng. , ya'ni P(A)=p=1/6, keyin P(A)=1-p=q=5/6, bu yerda - "A" ni ololmaganlik. X tasodifiy miqdor quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0;1;2;3. Bernulli formulasidan foydalanib, X ning har bir mumkin bo'lgan qiymatlarining ehtimolini topamiz: R(X=0)=R3(0)=S03r0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; R(X=1)=R3(1)=S13r1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; R(X=2)=R3(2)=S23r2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; R(X=3)=R3(3)=S33r3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Bu. X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni quyidagi ko'rinishga ega: Nazorat: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. X tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalarini topamiz: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Vazifa № 4. Avtomatik mashina qismlarga shtamp qo'yadi. Ishlab chiqarilgan qismning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,002 ga teng. 1000 ta tanlangan qismlar orasida quyidagilar bo'lish ehtimolini toping: a) 5 ta nuqsonli; b) kamida bittasi nuqsonli. Yechim:
n=1000 soni katta, nuqsonli qismni hosil qilish ehtimoli p=0,002 kichik va ko‘rib chiqilayotgan hodisalar (qism nuqsonli bo‘lib chiqadi) mustaqildir, shuning uchun Puasson formulasi amal qiladi: Rn(m)= e-
λ
lm l=np=1000 0,002=2 ni topamiz. a) 5 ta nuqsonli qism bo‘lish ehtimolini toping (m=5): R1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Kamida bitta nuqsonli qism bo'lish ehtimolini toping. A hodisasi - "tanlangan qismlardan kamida bittasi nuqsonli" hodisaning aksi - "barcha tanlangan qismlar nuqsonli emas." Shuning uchun, P(A) = 1-P(). Demak, kerakli ehtimollik teng: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Mustaqil ish uchun topshiriqlar.
1.1
1.2.
Dispers tasodifiy X kattaligi taqsimot qonuni bilan belgilanadi: p4, taqsimot funksiyasi F(X) ni toping va uning grafigini, shuningdek M(X), D(X), s(X) ni chizing. 1.3.
Qutida 9 ta marker bor, ulardan 2 tasi endi yozmaydi. Tasodifiy 3 ta markerni oling. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi yozuv belgilarining soni. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing. 1.4.
Kutubxona javonida tasodifiy tartibda joylashtirilgan 6 ta darslik mavjud bo‘lib, ulardan 4 tasi bog‘langan. Kutubxonachi tasodifiy 4 ta darslikni oladi. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi bog'langan darsliklar soni. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing. 1.5.
Chiptada ikkita vazifa bor. Birinchi masalani to'g'ri yechish ehtimoli 0,9 ga, ikkinchisi 0,7 ga teng. X tasodifiy o'zgaruvchisi - chiptadagi to'g'ri hal qilingan muammolar soni. Tarqatish qonunini tuzing, ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblang, shuningdek F(x) taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini tuzing. 1.6.
Uchta otuvchi nishonga o‘q uzmoqda. Bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli birinchi otuvchi uchun 0,5, ikkinchisi uchun 0,8, uchinchisi uchun 0,7 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi X - agar otishmalar bir vaqtning o'zida bittadan o'q uzsa, nishonga urishlar soni. M(X),D(X) taqsimot qonunini toping. 1.7.
Basketbolchi to'pni savatga tashlaydi, har bir zarbani urish ehtimoli 0,8. Har bir zarba uchun u 10 ball oladi, agar u o'tkazib yuborsa, unga ochko berilmaydi. X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini tuzing - basketbolchining 3 zarbada olgan ballari soni. M(X),D(X), shuningdek, uning 10 balldan ortiq olish ehtimolini toping. 1.8.
Kartochkalarga harflar yoziladi, jami 5 ta unli va 3 ta undosh. 3 ta karta tasodifiy tanlanadi va har safar olingan karta qaytariladi. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi unlilar soni. Tarqatish qonunini tuzing va M(X),D(X),s(X) toping. 1.9.
O'rtacha 60% shartnomalar su'gurta kompaniyasi sug'urta hodisasi yuz berganligi munosabati bilan sug'urta summalarini to'laydi. X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini tuzing - tasodifiy tanlangan to'rtta shartnoma orasida sug'urta summasi to'langan shartnomalar soni. Bu miqdorning son xarakteristikalarini toping. 1.10.
Radiostansiya ikki tomonlama aloqa o'rnatilgunga qadar ma'lum vaqt oralig'ida chaqiruv belgilarini (to'rttadan ko'p bo'lmagan) yuboradi. Qo'ng'iroq belgisiga javob olish ehtimoli 0,3 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi X - yuborilgan qo'ng'iroq belgilari soni. Tarqatish qonunini tuzing va F(x) ni toping. 1.11.
3 ta kalit mavjud, ulardan faqat bittasi qulfga mos keladi. Agar sinab ko'rilgan kalit keyingi urinishlarda ishtirok etmasa, qulfni ochishga urinishlar soni X tasodifiy o'zgaruvchisini taqsimlash qonunini tuzing. M(X),D(X) ni toping. 1.12.
Ishonchliligi uchun uchta qurilmaning ketma-ket mustaqil sinovlari o'tkaziladi. Har bir keyingi qurilma, agar avvalgisi ishonchli bo'lsa, sinovdan o'tkaziladi. Har bir qurilma uchun testdan o'tish ehtimoli 0,9 ga teng. Tekshirilgan qurilmalarning X-sonli tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini tuzing. 1.13
.X diskret tasodifiy o'zgaruvchining uchta mumkin bo'lgan qiymati mavjud: x1=1, x2, x3 va x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Elektron qurilma blokida 100 ta bir xil elementlar mavjud. T vaqt davomida har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli 0,002 ga teng. Elementlar mustaqil ishlaydi. T vaqt ichida ikkitadan ortiq elementning ishdan chiqishi ehtimolini toping. 1.15.
Darslik 50 000 nusxada nashr etilgan. Darslikning noto'g'ri bog'langanligi ehtimoli 0,0002 ga teng. Aylanmada quyidagilar bo'lishi ehtimolini toping: a) to'rtta nuqsonli kitob; b) ikkitadan kam nuqsonli kitoblar. 1
.16.
ATS ga har daqiqada keladigan qo'ng'iroqlar soni l=1,5 parametr bilan Puasson qonuni bo'yicha taqsimlanadi. Bir daqiqadan so'ng quyidagilar kelishi ehtimolini toping: a) ikkita qo'ng'iroq; b) kamida bitta qo'ng'iroq. 1.17.
Agar Z=3X+Y bo‘lsa, M(Z),D(Z) ni toping. 1.18.
Ikki mustaqil tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunlari berilgan: Agar Z=X+2Y bo‘lsa, M(Z),D(Z) ni toping. Javoblar:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 da x≤-2, -2 da 0,3<х≤0, 0 da F(x)= 0,5<х≤2, 2 da 0,9<х≤5, 1 da x>5 -1 da 0,3<х≤0, 0 da 0,4<х≤1, F(x)= 1 da 0,6<х≤2, 2 da 0,7<х≤3, 1 da x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; s(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0 da 0, 0 da 0,03<х≤1, F(x)= 1 da 0,37<х≤2, x>2 uchun 1 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; s(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; b) 0,00049 1.16.
a) 0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. 2-bob. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi
Ta'rif: Davomiy
barcha mumkin bo'lgan qiymatlari son chizig'ining chekli yoki cheksiz oralig'ini to'liq to'ldiradigan miqdordir. Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir. Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi yordamida aniqlash mumkin. Ta'rif: F tarqatish funktsiyasi
doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi F(x) funksiyasi deb ataladi, u har bir qiymat uchun xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">ni aniqlaydi. R Tarqatish funksiyasi ba'zan kümülatif taqsimot funktsiyasi deb ataladi. Tarqatish funksiyasining xususiyatlari:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun taqsimot funktsiyasi har qanday nuqtada uzluksiz va hamma joyda differentsial bo'ladi, ehtimol alohida nuqtalardan tashqari. 3) X tasodifiy miqdorning (a;b), [a;b], [a;b] oraliqlaridan biriga tushish ehtimoli F(x) funksiya qiymatlari orasidagi farqga teng. a va b nuqtalarida, ya'ni. R(a)<Х 4) X uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining bitta alohida qiymat olishi ehtimoli 0 ga teng. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Tarqatish funksiyasi yordamida uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rsatish yagona yo'l emas. Keling, ehtimollik taqsimot zichligi (tarqatish zichligi) tushunchasini kiritamiz. Ta'rif
:
Ehtimollarni taqsimlash zichligi
f
(
x
)
X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining hosilasi, ya'ni: Ehtimollar zichligi funksiyasi ba'zan differentsial taqsimot funktsiyasi yoki differentsial taqsimot qonuni deb ataladi. f(x) ehtimollik zichligi taqsimotining grafigi deyiladi ehtimollik taqsimoti egri chizig'i
.
Ehtimollik zichligi taqsimotining xossalari:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8s; b) F(x)= ∫ f(x)dx ekanligi ma'lum Shuning uchun, x agar x≤2, u holda F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 agar x>6 bo'lsa, F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Shunday qilib, 0 da x≤2, F(x)= (x-2)2/16 da 2<х≤6, x>6 uchun 1. F(x) funksiyaning grafigi 3-rasmda keltirilgan https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 da x≤0, F(x)= (3 arktan x)/p 0 da<х≤√3, x>√3 uchun 1. f(x) differentsial taqsimot funksiyasini toping. Yechim:
f(x)= F’(x) ekan, u holda DIV_ADBLOCK93"> · Matematik kutish M (X)
uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tenglik bilan aniqlanadi: M(X)= ∫ x f(x)dx, bu integral absolyut yaqinlashsa. · Dispersiya
D
(
X
)
uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tenglik bilan aniqlanadi: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, yoki D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Standart og'ish s(X)
uzluksiz tasodifiy miqdor tenglik bilan aniqlanadi: Dispers tasodifiy o'zgaruvchilar uchun yuqorida muhokama qilingan matematik kutish va dispersiyaning barcha xossalari uzluksizlar uchun ham amal qiladi. Vazifa № 3. X tasodifiy o'zgaruvchisi f(x) differentsial funktsiyasi bilan aniqlanadi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Mustaqil hal qilish uchun muammolar.
2.1.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi: 0 da x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ p/6 uchun 0, F(x)= - p/6 da cos 3x<х≤ π/3, x> p/3 uchun 1. f(x) differensial taqsimot funksiyasini toping, shuningdek R(2p /9<Х< π /2). 2.3.
0 da x≤2, f(x)= c x 2 da<х≤4, x>4 uchun 0. 2.4.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot zichligi bilan belgilanadi: 0 da x≤0, f(x)= 0 da c √x<х≤1, x>1 uchun 0. Toping: a) c raqami; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x da, 0 da x. Toping: a) F(x) va uning grafigini tuzing; b) M(X),D(X), s(X); c) to'rtta mustaqil sinovda X ning qiymati (1;4) intervalga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 marta ko'p qabul qilish ehtimoli. 2.6.
Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan: f(x)= 2(x-2) x da, 0 da x. Toping: a) F(x) va uning grafigini tuzing; b) M(X),D(X), s (X); c) uchta mustaqil sinovda X qiymati segmentga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 baravar ko'p olish ehtimoli. 2.7.
f(x) funksiyasi quyidagicha berilgan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) funksiyasi quyidagicha berilgan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- p /4; p /4]. Toping: a) funktsiya ba'zi X tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi bo'ladigan c doimiysining qiymati; b) taqsimot funksiyasi F(x). 2.9.
(3;7) oraliqda konsentrlangan X tasodifiy miqdor F(x)= taqsimot funksiyasi bilan aniqlanadi. Buning ehtimolini toping X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatni oladi: a) 5 dan kam, b) 7 dan kam emas. 2.10.
Tasodifiy o'zgaruvchi X, (-1;4) oraliqda jamlangan, F(x)= taqsimot funksiyasi bilan berilgan. Buning ehtimolini toping X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatni oladi: a) 2 dan kam, b) 4 dan kam emas. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Toping: a) c raqami; b) M(X); c) ehtimollik P(X> M(X)). 2.12.
Tasodifiy o'zgaruvchi differentsial taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Toping: a) M(X); b) ehtimollik P(X≤M(X)) 2.13.
Rem taqsimoti ehtimollik zichligi bilan berilgan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 uchun. f(x) haqiqatan ham ehtimol zichlik funksiyasi ekanligini isbotlang. 2.14.
Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(5-rasm) 2.16.
X tasodifiy o'zgaruvchisi qonunga muvofiq taqsimlanadi " to'g'ri uchburchak"(0;4) oraliqda (5-rasm). Butun son chizig‘idagi f(x) ehtimollik zichligining analitik ifodasini toping. Javoblar
0 da x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ p/6 uchun 0, p/6 da F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. x≤a uchun 0, a uchun f(x)=<х x≥b uchun 0. f(x) funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, s(X)=. Vazifa № 1. X tasodifiy o'zgaruvchisi segmentda bir xil taqsimlangan. Toping: a) ehtimollikning taqsimot zichligi f(x) va uning grafigini tuzing; b) taqsimot funksiyasi F(x) va uning grafigini; c) M(X),D(X), s(X). Yechim:
Yuqorida ko'rib chiqilgan formulalardan foydalanib, a=3, b=7 bo'lgan holda, biz quyidagilarni topamiz: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤x≤7 da, x>7 uchun 0 Uning grafigini tuzamiz (3-rasm): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 da x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4-rasm. D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" eni="14" balandligi="49 src="> 0 da x<0, f(x)= x≥0 uchun le-lx. Eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funktsiyasi quyidagi formula bilan ifodalanadi: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> 6-rasm Eksponensial taqsimotning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishi mos ravishda quyidagilarga teng: M(X)= , D(X)=, s (X)= Shunday qilib, ko'rsatkich taqsimotining matematik kutilishi va standart og'ishi bir-biriga teng. X ning (a;b) oralig'iga tushish ehtimoli quyidagi formula bilan hisoblanadi: P(a<Х Vazifa № 2. Qurilmaning o'rtacha nosozliksiz ishlash vaqti 100 soatni tashkil qiladi.Asbobning nosozliksiz ishlash vaqti eksponensial taqsimot qonuniga ega deb hisoblab, toping: a) ehtimollikni taqsimlash zichligi; b) taqsimlash funksiyasi; c) qurilmaning nosozliksiz ishlash vaqti 120 soatdan oshishi ehtimoli. Yechim:
Shartga ko'ra, matematik taqsimot M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0, a) x≥0 uchun f(x)= 0,01e -0,01x. b) x da F(x)= 0<0, x≥0 da 1-e -0,01x. c) taqsimlash funksiyasi yordamida kerakli ehtimollikni topamiz: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Oddiy taqsimot qonuni Ta'rif:
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ga ega normal taqsimot qonuni (Gauss qonuni),
agar uning tarqalish zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa: bu yerda m=M(X), s2=D(X), s>0. Oddiy taqsimot egri chizig'i deyiladi normal yoki Gauss egri chizig'i
(7-rasm) Oddiy qonun bo‘yicha taqsimlangan X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi formula bo‘yicha Laplas funksiyasi F (x) orqali ifodalanadi: Laplas funksiyasi qayerda. Izoh:
F(x) funksiya toq (F(-x)=-F(x)), bundan tashqari x>5 uchun F(x) ≈1/2 ni qabul qilishimiz mumkin. F(x) taqsimot funksiyasining grafigi rasmda keltirilgan. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Og'ishning mutlaq qiymati kamroq bo'lish ehtimoli ijobiy raqam d quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: Xususan, m=0 uchun quyidagi tenglik bajariladi: "Uch Sigma qoidasi"
Agar X tasodifiy o‘zgaruvchisi m va s parametrlari bilan normal taqsimot qonuniga ega bo‘lsa, uning qiymati (a-3s; a+3s) oralig‘ida yotishi deyarli aniq bo‘ladi, chunki https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) formuladan foydalanamiz: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> F(x) funksiya qiymatlari jadvalidan F(1,5)=0,4332, F(1)=0,3413 ni topamiz. Shunday qilib, kerakli ehtimollik: P(28 Mustaqil ish uchun topshiriqlar
3.1.
X tasodifiy miqdor (-3;5) oraliqda bir xil taqsimlangan. Toping: b) taqsimot funksiyasi F(x); v) sonli xarakteristikalar; d) ehtimollik P(4<х<6). 3.2.
X tasodifiy o'zgaruvchisi segmentda bir xil taqsimlangan. Toping: a) taqsimlanish zichligi f(x); b) taqsimot funksiyasi F(x); v) sonli xarakteristikalar; d) ehtimollik P(3≤x≤6). 3.3.
Magistral yo'lda avtomatik svetofor mavjud bo'lib, unda yashil chiroq 2 daqiqa, sariq 3 soniya, qizil 30 soniya yonadi va hokazo. Avtomobil avtomagistral bo'ylab tasodifiy vaqtda harakat qiladi. Avtomobilning svetofordan to‘xtamasdan o‘tib ketishi ehtimolini toping. 3.4.
Metro poyezdlari muntazam ravishda 2 daqiqalik interval bilan harakatlanadi. Yo'lovchi tasodifiy vaqtda platformaga kiradi. Yo‘lovchining poyezdni 50 soniyadan ko‘proq kutish ehtimoli qanday? X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini toping - poezdni kutish vaqti. 3.5.
Taqsimot funksiyasi bilan berilgan eksponensial taqsimotning dispersiyasi va standart og‘ishini toping: X da F(x)= 0<0, x≥0 uchun 1-8x. 3.6.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ehtimollik taqsimot zichligi bilan belgilanadi: x da f(x)= 0<0, x≥0 da 0,7 e-0,7x. a) Ko'rib chiqilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini ayting. b) F(X) taqsimot funksiyasi va X tasodifiy miqdorning son xarakteristikalarini toping. 3.7.
X tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik taqsimoti zichligi bilan belgilangan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi: x da f(x)= 0<0, x≥0 da 0,4 e-0,4 x. Sinov natijasida X ning (2,5;5) oraliqdan qiymat olishi ehtimolligini toping. 3.8.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funktsiyasi tomonidan belgilangan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi: X da F(x)= 0<0, x≥0 da 1-0,6x Sinov natijasida X segmentdan qiymat olish ehtimolini toping. 3.9.
Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning kutilayotgan qiymati va standart og‘ishi mos ravishda 8 va 2 ga teng.Topish: a) taqsimlanish zichligi f(x); b) test natijasida X ning (10;14) oraliqdan qiymat olishi ehtimoli. 3.10.
X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda 3,5 matematik kutish va 0,04 dispersiya bilan taqsimlanadi. Toping: a) taqsimlanish zichligi f(x); b) test natijasida X segmentidan qiymat olish ehtimoli. 3.11.
X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda M(X)=0 va D(X)=1 bilan taqsimlanadi. Hodisalarning qaysi biri: |X|≤0,6 yoki |X|≥0,6 ehtimoli yuqori? 3.12.
X tasodifiy o'zgaruvchisi M(X)=0 va D(X)=1 bilan normal taqsimlanadi.Bir test davomida qaysi oraliqdan (-0,5;-0,1) yoki (1;2) qiymat olish ehtimoli ko'proq? 3.13.
Har bir aksiyaning joriy narxini M(X)=10 den bilan normal taqsimot qonuni yordamida modellashtirish mumkin. birliklar va s (X)=0,3 den. birliklar Toping: a) aksiyaning joriy narxi 9,8 den dan bo'lishi ehtimoli. birliklar 10,4 kungacha birliklar; b) "uch sigma qoidasi" dan foydalanib, joriy aktsiyalar narxi joylashgan chegaralarni toping. 3.14.
Moddaning tortilishi tizimli xatolarsiz amalga oshiriladi. Tasodifiy tortish xatolari o'rtacha kvadrat nisbati s=5g bo'lgan normal qonunga bo'ysunadi. To'rtta mustaqil tajribada uchta tortishda xatolik 3r mutlaq qiymatda bo'lmasligi ehtimolini toping. 3.15.
X tasodifiy miqdor normal taqsimlanadi M(X)=12,6. (11,4;13,8) oraliqda tasodifiy miqdorning tushish ehtimoli 0,6826 ga teng. Standart og'ish s ni toping. 3.16.
X tasodifiy miqdor M(X)=12 va D(X)=36 bilan normal taqsimlanadi. X tasodifiy kattaligi 0,9973 ehtimollik bilan test natijasida tushadigan intervalni toping. 3.17.
Avtomatik mashinada ishlab chiqarilgan qism, agar uning boshqariladigan parametrining nominal qiymatdan X og'ishi modul 2 o'lchov birligidan oshsa, nuqsonli hisoblanadi. X tasodifiy miqdor M(X)=0 va s(X)=0,7 bilan normal taqsimlangan deb faraz qilinadi. Mashina nuqsonli qismlarning necha foizini ishlab chiqaradi? 3.18.
Qismning X parametri nominal qiymatga teng bo'lgan 2 matematik kutish va 0,014 standart og'ish bilan normal taqsimlanadi. X ning nominal qiymatdan chetlanishi nominal qiymatning 1% dan oshmasligi ehtimolini toping. Javoblar
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) x≤-3 uchun 0, F(x)= chap"> 3.10.
a)f(x)=, b) R(3,1≤X≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤X≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
s=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. X; ma'nosi F(5); tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X segmentdan qiymatlarni oladi. Tarqatish poligonini tuzing. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini belgilang X jadval shaklida. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping X. Funksiyalarning grafiklarini tuzing va. Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi, rejimi va medianasini hisoblang X. A namunasi: 6 9 7 6 4 4 B namunasi: 55 72 54 53 64 53 59 48 42 46 50 63 71 56 54 59 54 44 50 43 51 52 60 43 50 70 68 59 53 58 62 49 59 51 52 47 57 71 60 46 55 58 72 47 60 65 63 63 58 56 55 51 64 54 54 63 56 44 73 41 68 54 48 52 52 50 55 49 71 67 58 46 50 51 72 63 64 48 47 55 Variant 17. Uning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblang. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping X. Funksiyalarning grafiklarini tuzing va. X tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi, rejimi va medianasini hisoblang. · o'rtacha namuna; · namunaviy farq; Rejim va median; A namunasi: 0 0 2 2 1 4 · o'rtacha namuna; · namunaviy farq; namunaviy standart og'ish; · rejim va median; B namunasi: 166 154 168 169 178 182 169 159 161 150 149 173 173 156 164 169 157 148 169 149 157 171 154 152 164 157 177 155 167 169 175 166 167 150 156 162 170 167 161 158 168 164 170 172 173 157 157 162 156 150 154 163 143 170 170 168 151 174 155 163 166 173 162 182 166 163 170 173 159 149 172 176 Variant 18. Uning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblang. X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping va funksiyalarning grafiklarini chizing. Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi, rejimi va medianasini hisoblang X. · o'rtacha namuna; · namunaviy farq; namunaviy standart og'ish; · rejim va median; A namunasi: 4 7 6 3 3 4 · o'rtacha namuna; · namunaviy farq; namunaviy standart og'ish; · rejim va median; B namunasi: 152 161 141 155 171 160 150 157 154 164 138 172 155 152 177 160 168 157 115 128 154 149 150 141 172 154 144 177 151 128 150 147 143 164 156 145 156 170 171 142 148 153 152 170 142 153 162 128 150 146 155 154 163 142 171 138 128 158 140 160 144 150 162 151 163 157 177 127 141 160 160 142 159 147 142 122 155 144 170 177 Variant 19. 1. Saytda 16 nafar ayol va 5 nafar erkak mehnat qilmoqda. 3 kishi shaxsiy raqamlaridan foydalangan holda tasodifiy tanlab olindi. Barcha tanlangan odamlar erkak bo'lish ehtimolini toping. 2. To'rtta tanga tashlandi. Faqat ikkita tangada "gerb" bo'lishi ehtimolini toping. 3. “PSIXOLOGIYA” so‘zi kartochkalardan tuzilgan bo‘lib, ularning har birida bittadan harf yozilgan. Kartalar aralashtiriladi va qaytarilmasdan birma-bir chiqariladi. Chiqarilgan harflarning so'z hosil qilish ehtimolini toping: a) PSIXOLOGIYA; b) Xodimlar. 4. Urun ichida 6 ta qora va 7 ta oq shar bor. 5 ta to'p tasodifiy chizilgan. Ular orasida quyidagilar bo'lish ehtimolini toping: a. 3 ta oq shar; b. 3 dan kam oq to'p; c. kamida bitta oq to'p. 5. Voqea sodir bo'lish ehtimoli A bir sinovda 0,5 ga teng. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: a. voqea A 5 ta mustaqil sinovlar seriyasida 3 marta paydo bo'ladi; b. voqea A 50 ta sinov seriyasida kamida 30 va 40 martadan ko'p bo'lmagan holda paydo bo'ladi. 6. Xuddi shu rejimda bir-biridan mustaqil ravishda ishlaydigan, bir xil quvvatga ega 100 ta mashina mavjud bo'lib, ularning haydovchisi 0,8 ish soati uchun yoqilgan. Istalgan vaqtda 70 dan 86 tagacha mashinaning ishga tushishi ehtimoli qanday? 7. Birinchi urnada 4 ta oq va 7 ta qora shar, ikkinchi idishda 8 ta oq va 3 ta qora shar bor. Birinchi urnadan tasodifiy ravishda 4 ta to'p, ikkinchisidan esa 1 ta to'p olinadi. Chizilgan sharlar orasida atigi 4 ta qora shar borligi ehtimolini toping. 8. Avtosalon zaliga har kuni uchta rusumdagi avtomobillar hajmda qabul qilinadi: “Moskvich” – 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - barcha import qilingan avtomobillarning 40%. "Moskvich" avtomashinalari orasida 0,5% o'g'irlikka qarshi qurilma, Oka - 0,01%, "Volga" - 0,1%. Tekshiruv uchun olingan avtomobilda o'g'irlikdan himoya qiluvchi moslama bo'lishi ehtimolini toping. 9. Raqamlar va segmentda tasodifiy tanlanadi. Bu raqamlar tengsizliklarni qondirish ehtimolini toping. 10. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni berilgan X: Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping X; ma'nosi F(2); tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X intervaldan qiymatlarni oladi. Tarqatish poligonini tuzing. Ma'lumki, tasodifiy o'zgaruvchi
vaziyatga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchan miqdor deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilar lotin alifbosining bosh harflari (X, Y, Z) bilan belgilanadi va ularning qiymatlari mos keladigan kichik harflar (x, y, z) bilan belgilanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar uzluksiz (diskret) va uzluksiz bo'linadi. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi
Bu tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, u nolga teng bo'lmagan ehtimolliklarga ega faqat chekli yoki cheksiz (hisoblanadigan) qiymatlar to'plamini oladi. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini mos keladigan ehtimolliklari bilan bog'laydigan funksiya. Tarqatish qonuni quyidagi usullardan birida aniqlanishi mumkin. 1
. Taqsimot qonuni quyidagi jadvalda keltirilishi mumkin:
bu yerda l>0, k = 0, 1, 2, … . V) yordamida F(x) taqsimot funksiyasi
, bu har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymatni olish ehtimolini aniqlaydi, ya'ni. F(x) = P(X< x). F(x) funksiyaning xossalari 3
. Tarqatish qonuni grafik tarzda ko'rsatilishi mumkin
– taqsimot ko‘pburchagi (ko‘pburchak) (3-masalaga qarang). E'tibor bering, ba'zi muammolarni hal qilish uchun tarqatish qonunini bilish shart emas. Ba'zi hollarda, taqsimlash qonunining eng muhim xususiyatlarini aks ettiruvchi bir yoki bir nechta raqamlarni bilish kifoya. Bu tasodifiy miqdorning "o'rtacha qiymati" ma'nosiga ega bo'lgan raqam yoki tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatidan chetlanishining o'rtacha hajmini ko'rsatadigan raqam bo'lishi mumkin. Bunday turdagi raqamlar tasodifiy o'zgaruvchining raqamli xarakteristikalari deb ataladi. Diskret tasodifiy miqdorning asosiy raqamli xarakteristikalari
: 1000 ta lotereya chiptasi chiqarildi: ulardan 5 tasi 500 rubl, 10 tasi 100 rubl, 20 tasi 50 rubl, 50 tasi 10 rubl yutadi. X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti qonunini aniqlang - chipta uchun yutuq. Yechim.
Muammoning shartlariga ko'ra, X tasodifiy o'zgaruvchining quyidagi qiymatlari mumkin: 0, 10, 50, 100 va 500. Yutuqsiz chiptalar soni 1000 – (5+10+20+50) = 915, keyin P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Xuddi shunday, boshqa barcha ehtimollarni topamiz: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Olingan qonunni jadval ko'rinishida keltiramiz: X qiymatining matematik kutilmasini topamiz: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Har bir elementning bitta tajribada ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribada bajarilmagan elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing, taqsimot poligonini tuzing. F(x) taqsimot funksiyasini toping va grafigini chizing. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishini toping. Yechim.
1.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X = (bitta tajribada muvaffaqiyatsiz elementlar soni) quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlarga ega: x 1 = 0 (qurilma elementlaridan hech biri muvaffaqiyatsiz tugadi), x 2 = 1 (bitta element muvaffaqiyatsiz), x 3 = 2 ( ikkita element muvaffaqiyatsiz tugadi ) va x 4 =3 (uchta element muvaffaqiyatsiz). Elementlarning nosozliklari bir-biridan mustaqil, har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli teng, shuning uchun u amal qiladi. Bernulli formulasi
. n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 shartga ko‘ra, qiymatlarning ehtimolliklarini aniqlaymiz: Shunday qilib, X ning istalgan binomial taqsimot qonuni quyidagi shaklga ega: Biz x i ning mumkin bo'lgan qiymatlarini abscissa o'qi bo'ylab va mos keladigan p i ehtimolliklarini ordinata o'qi bo'ylab chizamiz. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) nuqtalarni tuzamiz. Ushbu nuqtalarni to'g'ri chiziq segmentlari bilan bog'lab, biz kerakli taqsimot ko'pburchagini olamiz. 3.
F(x) = R(X) taqsimot funksiyasi topilsin F(x) funksiya grafigi 4.
X binomial taqsimot uchun: Ehtimollar nazariyasini qo'llashda tajribaning miqdoriy xarakteristikalari birinchi darajali ahamiyatga ega. Miqdoriy jihatdan aniqlanishi mumkin bo'lgan va tajriba natijasida vaziyatga qarab turli qiymatlarni olishi mumkin bo'lgan miqdor deyiladi. tasodifiy o'zgaruvchi. Tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: 1. O‘n o‘yinda o‘yinda juft sonlar paydo bo‘lishi soni. 2. Ketma-ket o‘q uzgan o‘qchining nishonga tegishi soni. 3. Portlovchi qobiqning bo'laklari soni. Berilgan misollarning har birida tasodifiy o'zgaruvchi faqat ajratilgan qiymatlarni, ya'ni tabiiy raqamlar qatoridan foydalanib raqamlanishi mumkin bo'lgan qiymatlarni olishi mumkin. Mumkin qiymatlari alohida ajratilgan raqamlar bo'lgan, bu o'zgaruvchi ma'lum bir ehtimollik bilan qabul qiladigan bunday tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi. diskret. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni chekli yoki cheksiz (hisoblanadigan) bo'lishi mumkin. Tarqatish qonuni Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning ro'yxati. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval shaklida (ehtimollik taqsimoti qatori), analitik va grafik (ehtimollik taqsimoti ko‘pburchagi) ko‘rinishida ko‘rsatilishi mumkin. Tajribani o'tkazishda o'rganilayotgan qiymatni "o'rtacha" baholash kerak bo'ladi. Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatining rolini deb nomlangan raqamli xarakteristikasi o'ynaydi matematik kutish, formula bilan aniqlanadi Qayerda x 1 , x 2
,.. , x n- tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari X, A p 1 ,p 2 ,
... , p n- ushbu qiymatlarning ehtimolligi (esda tuting p 1
+
p 2
+…+
p n =
1). Misol. Otish nishonda amalga oshiriladi (11-rasm). Ida zarba uch ochko, IIda ikki ochko, IIIda bitta ball beradi. Bitta otuvchi tomonidan bitta zarbada to'plangan ballar soni shaklning taqsimlanish qonuniga ega Otishmalarning mahoratini solishtirish uchun to'plangan ballarning o'rtacha qiymatlarini solishtirish kifoya, ya'ni. matematik taxminlar M(X) Va M(Y):
M(X)
=
1
0,4
+ 2
0,2
+ 3
0,4
= 2,0, M(Y)
=
1
0,2
+ 2
0,5
+ 3
0,3
= 2,1. Ikkinchi otuvchi o'rtacha bir oz ko'proq ball beradi, ya'ni. qayta-qayta otilganda yaxshi natijalar beradi. Matematik kutishning xossalariga e'tibor qaratamiz: 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng: M(C)
= C. 2. Tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng: M =(X 1 +
X 2 +…+
X n)=
M(X 1)+
M(X 2)+…+
M(X n). 3. O‘zaro mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi omillarning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng. M(X 1 X 2 …
X n)
=
M(X 1)M(X 2)…
M(X n). 4. Binom taqsimotining matematik inkori sinovlar soni va bir sinovda sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli ko'paytmasiga teng (4.6-topshiriq). M(X)
= pr. Tasodifiy o'zgaruvchining "o'rtacha" matematik kutilganidan qanday og'ishini baholash uchun, ya'ni. Ehtimollar nazariyasida tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining tarqalishini tavsiflash uchun dispersiya tushunchasi qo'llaniladi. Farqlanish tasodifiy o'zgaruvchi X kvadrat og'ishning matematik kutilishi deyiladi: D(X)
=
M[(X
-
M(X)) 2 ]. Dispersiya - tasodifiy miqdor dispersiyasining raqamli xarakteristikasi. Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi qanchalik kichik bo'lsa, uning mumkin bo'lgan qiymatlari matematik kutish atrofida qanchalik yaqin joylashgan bo'lsa, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari uning matematik kutilishi bilan shunchalik yaxshi tavsiflanadi. . Ta'rifdan kelib chiqadiki, dispersiyani formuladan foydalanib hisoblash mumkin Dispersiyani boshqa formula yordamida hisoblash qulay: D(X)
=
M(X 2)
- (M(X)) 2 .
Dispersiya quyidagi xususiyatlarga ega: 1. Konstantaning dispersiyasi nolga teng: D(C)
=
0.
2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib chiqarish mumkin: D(CX)
=
C 2 D(X). 3. Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi hadlar dispersiyasi yig‘indisiga teng: D(X 1 +
X 2 +
X 3 +…+
X n)=
D(X 1)+
D(X 2)+…+
D(X n) 4. Binomiy taqsimotning dispersiyasi sinovlar soni va bir sinovda hodisaning yuzaga kelishi va ro‘y bermasligi ehtimoli ko‘paytmasiga teng: D(X)
= npq. Ehtimollar nazariyasida tasodifiy miqdor dispersiyasining kvadrat ildiziga teng sonli xarakteristika ko'pincha ishlatiladi. Bu raqamli xarakteristikaga o'rtacha kvadrat og'ish deyiladi va belgi bilan belgilanadi U tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatidan chetlanishining taxminiy o'lchamini tavsiflaydi va tasodifiy miqdor bilan bir xil o'lchamga ega. 4.1.
Otuvchi nishonga uchta o'q uzadi. Har bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,3 ga teng. Xitlar soni bo'yicha tarqatish seriyasini tuzing. Yechim. Xitlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir X. Har bir qiymat x n
tasodifiy o'zgaruvchi X ma'lum bir ehtimolga mos keladi P n . Bu holda diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni aniqlanishi mumkin yaqin tarqatish. Bu muammoda X 0, 1, 2, 3 qiymatlarini oladi. Bernulli formulasi bo'yicha Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimolini topamiz: R 3 (0)
= (0,7) 3 =
0,343, R 3 (1)
= R 3 (2)
= R 3 (3)
= (0,3) 3 =
0,027. Tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini tartibga solish orqali X ortib borayotgan tartibda biz tarqatish seriyasini olamiz: X n E'tibor bering, miqdor tasodifiy o'zgaruvchining ehtimolini bildiradi X mumkin bo'lganlar orasidan kamida bitta qiymat oladi va bu hodisa ishonchli, shuning uchun 4.2
.Unda 1 dan 4 gacha raqamlar yozilgan to‘rtta shar bor. Ikkita shar chiqariladi. Tasodifiy qiymat X- to'p raqamlarining yig'indisi. Tasodifiy miqdorning taqsimot qatorini tuzing X. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchan qiymatlar X 3, 4, 5, 6, 7. Tegishli ehtimollarni topamiz. Tasodifiy o'zgaruvchining qiymati 3 X Tanlangan to'plardan birida 1 raqami, ikkinchisida esa 2 bo'lgan yagona holatda qabul qilinishi mumkin. Mumkin bo'lgan test natijalari soni ikkitadan to'rtta (mumkin bo'lgan to'p juftlari soni) kombinatsiyalar soniga teng. Klassik ehtimollik formulasidan foydalanib, biz olamiz Xuddi shunday, R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6. 5 yig'indisi ikki holatda paydo bo'lishi mumkin: 1 + 4 va 2 + 3, shuning uchun X shaklga ega: Tarqatish funksiyasini toping F(x) tasodifiy o'zgaruvchi X va uni tuzing. uchun hisoblang X uning matematik kutilishi va dispersiyasi. Yechim. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni taqsimot funksiyasi orqali aniqlanishi mumkin F(x)
= P(X
x).
Tarqatish funksiyasi F(x) butun son qatorida aniqlangan, kamaymaydigan, chapdan uzluksiz funktsiyadir, while F
(-
)=
0,F
(+
)=
1. Diskret tasodifiy miqdor uchun bu funktsiya formula bilan ifodalanadi Shuning uchun bu holatda Tarqatish funksiyasi grafigi F(x) pog'onali chiziq (12-rasm) F(x) Kutilgan qiymatM(X) qiymatlarning o‘rtacha og‘irlikdagi arifmetik qiymati X 1 , X 2 ,……X n tasodifiy o'zgaruvchi X tarozilar bilan ρ
1,
ρ
2, ……
, ρ
n
va tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati deyiladi X. Formulaga ko'ra M(X)= x 1
ρ
1 + x 2
ρ
2 +……+ x n
ρ
n M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72. Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining o'rtacha qiymatidan tarqalish darajasini tavsiflaydi va belgilanadi D(X): D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2)
–[M(X)] 2 . Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun dispersiya shaklga ega yoki formuladan foydalanib hisoblash mumkin Muammoning raqamli ma'lumotlarini formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: M(X 2)
=
3 2
∙ 0,14+5 2
∙ 0,2+7 2
∙ 0,49+11 2
∙ 0,17 = 50,84 D(X)
= 50,84-6,72 2
= 5,6816. 4.4.
Ikki zar bir vaqtning o'zida ikki marta tashlanadi. Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlashning binomial qonunini yozing X- ikkita zarda umumiy juft ballar sonining takrorlanish soni. Yechim. Keling, tasodifiy hodisani keltiramiz A= (bir otish bilan ikkita zar jami juft ballar soniga olib keldi). Ehtimollikning klassik ta'rifidan foydalanib, biz topamiz R(A)=
Qayerda n
- mumkin bo'lgan test natijalarining soni qoidaga muvofiq topiladi ko'paytirish: n
= 6∙6 =36, m
-
tadbirni qo'llab-quvvatlaganlar soni A natijalar - teng m= 3∙6=18. Shunday qilib, bitta sinovda muvaffaqiyatga erishish ehtimoli ρ
= P(A)=
1/2.
Muammo Bernoulli test sxemasi yordamida hal qilinadi. Bu erda bitta qiyinchilik ikkita zarni bir marta tashlash bo'ladi. Bunday testlar soni n
= 2. Tasodifiy o'zgaruvchi X 0, 1, 2 qiymatlarni ehtimollar bilan qabul qiladi R 2 (0)
= Tasodifiy miqdorning zarur binomial taqsimoti X tarqatish seriyasi sifatida ifodalanishi mumkin: X n ρ
n 4.5
. Olti qismdan iborat to'plamda to'rtta standart qism mavjud. Uch qism tasodifiy tanlangan. Diskret tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotini tuzing X– tanlanganlar orasidan standart qismlar soni va uning matematik kutilmasini toping. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchan qiymatlar X 0,1,2,3 raqamlari. Bu aniq R(X=0)=0, chunki faqat ikkita nostandart qism mavjud. R(X=1) = R(X= 2) = R(X=3) = Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni X Keling, uni tarqatish seriyasi shaklida taqdim etamiz: X n ρ
n Kutilgan qiymat M(X)=1
∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2. 4.6
. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ekanligini isbotlang X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni A V n mustaqil sinovlar, ularning har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng ρ
- bitta sinovda hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bo'yicha sinovlar sonining ko'paytmasiga teng, ya'ni binomial taqsimotning matematik kutilishini isbotlash. M(X)
=n .
ρ
, va dispersiya D(X)
=n.p.
. Yechim. Tasodifiy qiymat X 0, 1, 2... qiymatlarni qabul qilishi mumkin, n. Ehtimollik R(X= k) Bernulli formulasi yordamida topiladi: R(X=k)= R n(k)= Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori X shaklga ega: X n ρ
n q n Qayerda q=
1-
ρ
. Matematik kutish uchun biz quyidagi ifodaga egamiz: M(X)= Bitta testda, ya'ni bilan n= Tasodifiy o'zgaruvchi uchun 1 X 1 - voqea sodir bo'lgan holatlar soni A- tarqatish seriyasi quyidagi shaklga ega: X n ρ
n M(X 1)=
0∙q +
1
∙ p
=
p D(X 1)
=
p
–
p 2
=
p(1-
p)
=
pq. Agar X k - hodisaning sodir bo'lish soni A qaysi testda, keyin R(X Kimga)=
ρ
Va X=X 1 +X 2 +….+X n . Bu erdan olamiz M(X)=M(X 1
)+M(X 2)+
… +M(X n)=
nr,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+
...
+D(X n)=npq. 4.7.
Sifat nazorati bo'limi mahsulotlarning standartligini tekshiradi. Mahsulotning standart bo'lish ehtimoli 0,9 ga teng. Har bir partiyada 5 ta mahsulot mavjud. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X- har birida 4 ta standart mahsulot bo'lgan partiyalar soni - agar 50 ta partiya tekshirilishi kerak bo'lsa. Yechim. Har bir tasodifiy tanlangan partiyada 4 ta standart mahsulot bo'lish ehtimoli doimiy; bilan belgilaylik ρ
.Keyin tasodifiy miqdorning matematik kutilishi X teng M(X)=
50∙ρ.
Keling, ehtimollikni topamiz ρ
Bernulli formulasiga ko'ra: r=P 5 (4)= M(X)=
50∙0,32=16. 4.8
. Uchta zar tashlanadi. Tushgan ballar yig'indisining matematik kutilmasini toping. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishini topishingiz mumkin X- tushirilgan ballar yig'indisi va keyin uning matematik kutilishi. Biroq, bu yo'l juda og'ir. Tasodifiy o'zgaruvchini ifodalovchi boshqa texnikadan foydalanish osonroq X, matematik kutishni hisoblash osonroq bo'lgan bir nechta oddiy tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi shaklida hisoblanishi kerak bo'lgan matematik kutish. Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X i o'ralgan ballar soni i- suyaklar ( i= 1, 2, 3), keyin ballar yig'indisi X shaklida ifodalanadi X = X 1 + X 2 + X 3 . Asl tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishini hisoblash uchun faqat matematik kutish xususiyatidan foydalanish qoladi. M(X 1
+ X 2 + X 3
)= M(X 1
)+ M(X 2)+ M(X 3
). Bu aniq R(X i = K)=
1/6, TO=
1, 2, 3, 4, 5, 6,
i=
1,
2, 3. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X i kabi ko'rinadi M(X i)
=
1/6∙1
+ 1/6∙2
+1/6∙3
+ 1/6∙4
+ 1/6∙5
+ 1/6∙6
= 7/2, M(X)
=
3∙7/2 = 10,5.
4.9.
Sinov paytida ishlamay qolgan qurilmalar sonining matematik taxminini aniqlang, agar: a) barcha qurilmalar uchun ishdan chiqish ehtimoli bir xil R, va sinov ostidagi qurilmalar soni teng n; b) muvaffaqiyatsizlik ehtimoli i
–
ga teng p i
,
i=
1,
2, … , n. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin X u holda muvaffaqiyatsiz qurilmalar soni X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X i
=
Bu aniq R(X i =
1)=
R i ,
R(X i =
0)=
1–
R i ,i= 1,
2,
…
,n. M(X i)=
1∙R i +
0∙(1-R i)=P i , M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .
"A" holatida qurilmaning ishdan chiqishi ehtimoli bir xil, ya'ni R i =p,i= 1,
2, …
,n. M(X)=
n.p.. Agar biz tasodifiy o'zgaruvchi ekanligini sezsak, bu javobni darhol olish mumkin X parametrlari bilan binomial taqsimotga ega ( n,
p).
4.10.
Ikki zar bir vaqtning o'zida ikki marta tashlanadi. Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlashning binomial qonunini yozing X - ikkita zarda juft sonli nuqtalarning rulonlari soni. Yechim. Mayli A=(birinchi qolipda juft sonni aylantirish), B =(ikkinchi zarga juft sonni tashlash). Bir otishda ikkala zarda juft sonni olish mahsulot bilan ifodalanadi AB. Keyin R
(AB)
= R(A)∙R(IN)
=
Ikki zarni ikkinchi marta tashlash natijasi birinchisiga bog'liq emas, shuning uchun Bernulli formulasi qo'llaniladi. n
=
2,p = 1/4,
q
=
1– p = 3/4.
Tasodifiy qiymat X 0, 1, 2 qiymatlarini qabul qilishi mumkin ,
ehtimolligini Bernulli formulasi yordamida topish mumkin: R(X= 0)= P 2
(0)
=
q
2
= 9/16, R(X= 1)= P 2
(1)= C R(X= 2)= P 2
(2)= C Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori X: 4.11.
Qurilma ko'p sonli mustaqil ishlaydigan elementlardan iborat bo'lib, vaqt o'tishi bilan har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli juda kichik. t. Vaqt bo'yicha rad etishlarning o'rtacha sonini toping t elementlar, agar bu vaqt ichida kamida bitta elementning ishdan chiqishi ehtimoli 0,98 bo'lsa. Yechim.
Vaqt o'tishi bilan rad etganlar soni t elementlar - tasodifiy o'zgaruvchi X, bu Puasson qonuni bo'yicha taqsimlanadi, chunki elementlar soni ko'p bo'lgani uchun elementlar mustaqil ishlaydi va har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli kichik. Voqea sodir bo'lganlarning o'rtacha soni n testlar teng M(X)
=
n.p..
Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli tufayli TO dan elementlar n formula bilan ifodalanadi R n
(TO)
qayerda
=
n.p., u holda vaqt davomida biron bir elementning ishdan chiqishi ehtimoli t
yetamiz K = 0: R n
(0)= e - . Shuning uchun, qarama-qarshi hodisaning ehtimoli o'z vaqtida t
kamida bitta element muvaffaqiyatsiz tugadi - 1 ga teng - e -
. Muammoning shartlariga ko'ra, bu ehtimollik 0,98 ga teng. Tenglamadan. 1
- e -
= 0,98, e -
= 1 – 0,98 =
0,02, bu yerdan
=
-ln
0,02
4. Shunday qilib, o'z vaqtida t qurilmaning ishlashi, o'rtacha 4 ta element muvaffaqiyatsiz bo'ladi. 4.12
. Zarlar "ikki" paydo bo'lguncha tashlanadi. O'rtacha otish sonini toping. Yechim. Keling, tasodifiy o'zgaruvchini kiritamiz X- bizni qiziqtirgan voqea sodir bo'lgunga qadar bajarilishi kerak bo'lgan testlar soni. Buning ehtimoli X= 1 zarni bir marta tashlash paytida "ikki" paydo bo'lish ehtimoliga teng, ya'ni. R(X= 1)
= 1/6. Tadbir X= 2 degani, birinchi testda "ikki" chiqmadi, lekin ikkinchisida chiqdi. Hodisa ehtimoli X= 2 mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi bilan topiladi: R(X= 2)
= (5/6)∙(1/6) Xuddi shunday, R(X= 3)
= (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4)
= (5/6) 2 ∙1/6 va hokazo. Biz bir qator ehtimollik taqsimotini olamiz: (5/6) Kimga
∙1/6 Otishlarning o'rtacha soni (sinovlar) matematik kutishdir M(X)
=
1∙1/6 +
2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6
+ … + TO
(5/6) TO -1 ∙1/6
+ … = 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2
+ … + TO
(5/6) TO -1
+ …) Keling, qatorlarning yig'indisini topamiz: Demak, M(X)
=
(1/6) (1/ (1 –
5/6) 2
= 6. Shunday qilib, "ikki" paydo bo'lguncha zarni o'rtacha 6 marta tashlashingiz kerak. 4.13.
Mustaqil testlar hodisaning bir xil yuzaga kelishi ehtimoli bilan amalga oshiriladi A har bir sinovda. Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping A, agar uchta mustaqil sinovda voqea sodir bo'lish sonining dispersiyasi 0,63 bo'lsa .
Yechim. Uchta sinovda hodisaning sodir bo'lish soni tasodifiy o'zgaruvchidir X, binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi. Mustaqil sinovlarda voqea sodir bo'lish sonining farqi (har bir sinovda hodisaning bir xil yuzaga kelish ehtimoli bilan) hodisaning sodir bo'lish va sodir bo'lmaslik ehtimoli bo'yicha sinovlar sonining ko'paytmasiga teng. (muammo 4.6) D(X)
=
npq.
Shart bo'yicha n
=
3,
D(X)
=
0,63, shuning uchun mumkin R tenglamadan toping 0,63
= 3∙R(1-R), ikkita yechimga ega R 1
=
0,7 va R 2
=
0,3. TARQALISH QONUNI VA XUSUSIYATLARI Tasodifiy o'zgaruvchilar Tasodifiy miqdorlar, ularning tasnifi va tavsiflash usullari. Tasodifiy miqdor - tajriba natijasida u yoki bu qiymatni olishi mumkin bo'lgan, lekin qaysi biri oldindan ma'lum bo'lmagan miqdordir. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchi uchun siz faqat qiymatlarni belgilashingiz mumkin, ulardan biri eksperiment natijasida aniq olinadi. Quyida biz ushbu qiymatlarni tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari deb ataymiz. Tasodifiy o'zgaruvchi tajribaning tasodifiy natijasini miqdoriy jihatdan tavsiflaganligi sababli, uni tasodifiy hodisaning miqdoriy xarakteristikasi deb hisoblash mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchilar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan, masalan, X..Y..Z va ularning mumkin bo'lgan qiymatlari mos keladigan kichik harflar bilan belgilanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning uchta turi mavjud: Diskret; Davomiy; Aralashgan. Diskret mumkin bo'lgan qiymatlar soni hisoblanuvchi to'plamni tashkil etadigan tasodifiy o'zgaruvchidir. O'z navbatida, elementlarini raqamlash mumkin bo'lgan to'plam hisoblanuvchi deyiladi. "Diskret" so'zi lotincha diskretdan kelib chiqqan bo'lib, "uzluksiz, alohida qismlardan iborat" degan ma'noni anglatadi. Misol 1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu n mahsulot partiyasidagi nuqsonli X qismlar soni. Darhaqiqat, ushbu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari 0 dan n gacha bo'lgan butun sonlar qatoridir. 2-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu nishonga birinchi zarba berishdan oldingi o'qlar soni. Bu erda, 1-misolda bo'lgani kabi, mumkin bo'lgan qiymatlarni raqamlash mumkin, garchi cheklovchi holatda mumkin bo'lgan qiymat cheksiz katta raqam bo'lsa. Davomiy Bu tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uning mumkin bo'lgan qiymatlari doimiy ravishda raqamli o'qning ma'lum bir oralig'ini to'ldiradi, ba'zan bu tasodifiy o'zgaruvchining mavjudligi oralig'i deb ataladi. Shunday qilib, mavjudlikning har qanday chekli oralig'ida doimiy tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksiz katta. Misol 3. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi - korxonaning oylik elektr energiyasi iste'moli. Misol 4. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi - altimetr yordamida balandlikni o'lchashdagi xato. Altimetrning ishlash printsipidan ma'lum bo'lsinki, xato 0 dan 2 m gacha bo'lgan oraliqda yotadi.Shuning uchun bu tasodifiy o'zgaruvchining mavjud bo'lish oralig'i 0 dan 2 m gacha bo'lgan intervaldir. Tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonuni. Tasodifiy o'zgaruvchi, agar uning mumkin bo'lgan qiymatlari raqamli o'qda ko'rsatilgan va taqsimot qonuni o'rnatilgan bo'lsa, to'liq aniqlangan hisoblanadi. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimollar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan munosabatdir. Tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir qonun bo'yicha taqsimlanadi yoki ma'lum bir taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Taqsimot qonunlari sifatida bir qator ehtimollar, taqsimot funksiyasi, ehtimollik zichligi va xarakteristik funksiyalardan foydalaniladi. Taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining to'liq ehtimoliy tavsifini beradi. Tarqatish qonuniga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ko'proq va kamroq paydo bo'lishini tajribadan oldin hukm qilish mumkin. Diskret tasodifiy miqdor uchun taqsimot qonuni jadval shaklida, analitik (formula shaklida) va grafik ko'rinishida ko'rsatilishi mumkin. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini ko'rsatishning eng oddiy shakli tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini va ularga mos keladigan ehtimolliklarni o'sish tartibida sanab o'tgan jadval (matritsa) bo'lib, ya'ni. Bunday jadval diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatori deb ataladi. 1 X 1, X 2,..., X n hodisalari, sinov natijasida X tasodifiy o'zgaruvchisi mos ravishda x 1, x 2,... x n qiymatlarini qabul qilishidan iborat. nomuvofiq va yagona mumkin bo'lganlar (chunki jadvalda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari keltirilgan), ya'ni. to'liq guruh hosil qiling. Shuning uchun ularning ehtimolliklari yig'indisi 1 ga teng. Shunday qilib, har qanday diskret tasodifiy miqdor uchun (Ushbu birlik tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari orasida qandaydir tarzda taqsimlangan, shuning uchun "tarqatish" atamasi). Agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab chizilgan bo'lsa va ularning mos keladigan ehtimoli ordinatalar o'qi bo'ylab chizilgan bo'lsa, taqsimot seriyasini grafik tarzda tasvirlash mumkin. Olingan nuqtalarning ulanishi ehtimollik taqsimotining ko'pburchak yoki ko'pburchak deb ataladigan siniq chiziqni hosil qiladi (1-rasm). Misol Lotereya o'z ichiga oladi: 5000 den bo'lgan avtomobil. dona, narxi 250 den 4 ta televizor. dona, qiymati 200 den 5 ta videoregistrator. birliklar 7 kun davomida jami 1000 ta chipta sotiladi. birliklar Bitta chipta sotib olgan lotereya ishtirokchisi olgan sof yutuqni taqsimlash qonunini tuzing. Yechim. X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari - har bir chipta uchun sof yutuq - 0-7 = -7 pulga teng. birliklar (agar chipta yutmagan bo'lsa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. birliklar (agar chiptada mos ravishda videomagnitofon, televizor yoki avtomobil yutug‘i bo‘lsa). 1000 ta chiptadan g'olib bo'lmaganlar soni 990 tani va ko'rsatilgan yutuqlar mos ravishda 5, 4 va 1 ekanligini hisobga olib, ehtimollikning klassik ta'rifidan foydalanib, olamiz.
1.2.
p4=0,1; 0 da x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a uchun 0,
,
Oddiy egri chiziq x=m to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik, x=a da maksimalga ega, ga teng.
,
X
–28
–20
–12
–4
p
0,22
0,44
0,17
0,1
0,07
X
p
0,1
0,2
0,3
0,4
Binom taqsimoti uchun M(X)=np, Puasson taqsimoti uchun M(X)=l
Binom taqsimoti uchun D(X)=npq, Puasson taqsimoti uchun D(X)=l“Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni” mavzusidagi masalalarni yechishga misollar.
Vazifa 1.
Vazifa 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Tekshiring: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
0 uchun< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 uchun< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 uchun< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 uchun F(x) = 1 bo'ladi, chunki voqea ishonchli. 
- matematik kutish M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersiya D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standart og'ish s(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
.
.
,
0,3(0,7) 2
= 0,441,
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
.
.
.
,
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
=1/5,
= 3/5,
= 1/5.
ρ
Kimga
(1-ρ
) n- Kimga
rq n- 1
rq n- 2
ρ
n
rq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
= 0,94∙0,1=0,32.
.
,R∙q
=
6/16,
,
R 2
=
1/16.
,
TOg
TO -1
= (
g TO)
g
.
Yuklanmoqda...