Harakatning differensial tenglamalari. Moddiy nuqta harakatining differensial tenglamalari Dinamikaga kirish. Asosiy qoidalar
DINAMIKA
“Nazariy mexanika” fanidan elektron darslik
talabalar uchun yozishmalar shakli trening
Federal ta'lim standartiga mos keladi
(uchinchi avlod)
Sidorov V.N., texnika fanlari doktori, professor
Yaroslavl davlat texnika universiteti
Yaroslavl, 2016 yil
Kirish……………………………………………………………………………………
Dinamika…………………………………………………………………
1.Dinamikaga kirish. Asosiy qoidalar ……………………………
1.1.Asosiy tushunchalar va ta’riflar……………………………….
1.2.Nyuton qonunlari va dinamika muammolari………………………………
1.3.Kuchlarning asosiy turlari……………………………… ............
Tortishish kuchi……………………………………………………………
Gravitatsiya ………………………………………………………………
Ishqalanish kuchi ……………………………………………………………
Elastik kuch………………………………………………………..
1.4.Differensial tenglamalar harakatlar……………………………….
Nuqta harakatining differensial tenglamalari………………..
Mexanik harakatning differensial tenglamalari
tizimlari…………………………………………………………
2. Dinamikaning umumiy teoremalari………………………. ………………………
2.1. Massalar markazining harakati haqidagi teorema ……………….. ………………
2.2. Impulsning oʻzgarishi haqidagi teorema……………………
2.3. Burchak momentining o‘zgarishi haqidagi teorema…………
Moment teoremasi………………………………………………………………
Qattiq jismning kinetik momenti…………………………….
Qattiq jismning eksenel inersiya momenti …………………………..
Gyuygens – Shtayner – Eyler teoremasi………………………..
Qattiq jismning aylanish harakati dinamikasi tenglamasi...
2.4.Kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema…………………..
Materialning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema
ball……………………………………………………………….
Mexanikning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema
tizimlari…………………………………………………………
Qattiq jismning kinetik energiyasini hisoblash formulalari
harakatning turli holatlarida …………………………………………………………
Kuchlarning ishini hisoblashga misollar…………………………………
2.5.Mexanik energiyaning saqlanish qonuni……………………….
Kirish
"Kim mexanika qonunlari bilan tanish emas
u tabiatni bilmaydi"
Galileo Galiley
Mexanikaning ahamiyati, uning ishlab chiqarishni takomillashtirish, uning samaradorligini oshirish, ilmiy-texnikaviy jarayonni jadallashtirish va ilmiy ishlanmalarni joriy etish, mehnat unumdorligini oshirish va mahsulot sifatini oshirishdagi muhim rolini, afsuski, barcha vazirlik va idoralar rahbarlari ham aniq tushunib yetmagan. , yuqoriroq ta'lim muassasalari, shuningdek, bizning kunlarimiz mexanikasi nimani ifodalaydi /1/.. Qoida tariqasida, barcha oliy texnik o'quv yurtlarida o'qitiladigan nazariy mexanika mazmuni bilan baholanadi.
Talabalar nazariy mexanika oliy ta'limning asosiy muhandislik fanlaridan biri sifatida, eng muhim bo'limlarning ilmiy asosi sifatida qanchalik muhimligini bilishlari kerak. zamonaviy texnologiya, matematika va fizikani amaliy fanlar bilan, kelajak kasbi bilan bog‘lovchi o‘ziga xos ko‘prik. Darslarda nazariy mexanika Talabalarga birinchi marta tizimli fikrlash va amaliy muammolarni qo'yish va hal qilish qobiliyati o'rgatiladi. Ularni oxirigacha, sonli natijaga qadar yeching. Yechimni tahlil qilishni o'rganing, uning qo'llanilishi chegaralarini va manba ma'lumotlarining to'g'riligiga bo'lgan talabni belgilang.
Talabalar uchun nazariy mexanika ushbu fundamental fanning keng ma'nosida zamonaviy mexanikaning ulkan binosining faqat kirish qismi ekanligini bilish ham bir xil darajada muhimdir. U mexanikaning boshqa sohalarida: materiallarning mustahkamligi, plastinkalar va qobiqlar nazariyasi, tebranishlar nazariyasi, tartibga solish va barqarorlik, mashina va mexanizmlarning kinematikasi va dinamikasi, suyuqlik va gaz mexanikasi, kimyoviy mexanika bo'yicha ishlab chiqilishi.
Mashinasozlik va priborsozlik, qurilish industriyasi va gidrotexnika, ruda qazib olish va qayta ishlash, ko‘mir, neft va gaz, temir yo‘l va avtomobil transporti, kemasozlik, aviatsiya va kosmik texnologiyalarning barcha bo‘limlarida erishilgan yutuqlar insoniyat taraqqiyoti qonunlarini chuqur tushunishga asoslanadi. mexanika.
Darslik qisqartirilgan kurs dasturi bo'yicha texnik universitetning sirtqi bo'limlarining mashinasozlik, avtomexanika mutaxassisliklari talabalari uchun mo'ljallangan.
Shunday qilib, bir nechta ta'riflar.
Nazariy mexanika moddiy jismlarning mexanik harakati va muvozanatining umumiy qonuniyatlarini va buning natijasida moddiy jismlar orasidagi mexanik oʻzaro taʼsirlarni oʻrganuvchi fan.
ostida moddiy ob'ektning mexanik harakati tushunish vaqt o'tishi bilan sodir bo'ladigan boshqa moddiy ob'ektlarga nisbatan uning pozitsiyasining o'zgarishi.
ostida mexanik o'zaro ta'sir nazarda tutadi jismlarning bir-biriga nisbatan bunday harakatlari, bunda bu jismlarning harakatlari o'zgaradi yoki ularning o'zlari deformatsiyalanadi (shaklini o'zgartiradi).
Nazariy mexanika uch qismdan iborat: statika, kinematika va dinamika.
DINAMIKA
Dinamikaga kirish. Asosiy qoidalar
Asosiy tushunchalar va ta'riflar
Keling, mexanikaning bir qismi sifatida dinamikaning ta'rifini biroz boshqacha shaklda yana bir bor shakllantiramiz.
Dinamiklar – moddiy jismlarning harakatini ularga ta'sir qiluvchi kuchlarni hisobga olgan holda o'rganuvchi mexanika bo'limi.
Odatda, dinamikani o'rganish o'rganishdan boshlanadi moddiy nuqtaning dinamikasi va keyin o'qishni davom eting mexanik tizim dinamikasi.
Dinamikaning ushbu bo'limlarining ko'pgina teorema va qonunlari formulalari o'xshashligi sababli, keraksiz takrorlanishni oldini olish va darslik matn hajmini kamaytirish uchun dinamikaning ushbu bo'limlarini birgalikda taqdim etish maqsadga muvofiqdir.
Keling, ba'zi ta'riflar bilan tanishaylik.
Inertsiya (inersiya qonuni) – jismlarning boshqa jismlarning ta'siri bo'lmaganda (ya'ni kuchlar bo'lmaganda) dam olish holatini yoki bir xil to'g'ri chiziqli harakatlanishni saqlab turish xususiyati..
Inertsiya - jismlarning kuchlar, dam olish yoki bir xillik holatini o'zgartirishga urinishlariga qarshilik ko'rsatish qobiliyati to'g'ri chiziqli harakat .
Inertsiyaning miqdoriy o'lchovi vazn(m). Massaning standarti - kilogramm (kg).
Bundan kelib chiqadiki, jism qanchalik inert bo'lsa, uning massasi qanchalik katta bo'lsa, ma'lum bir kuch ta'sirida uning dam olish holati yoki bir tekis harakatlanish o'zgarishi shunchalik kam bo'ladi, tananing tezligi shunchalik kam o'zgaradi, ya'ni. tana kuchga yaxshiroq qarshilik ko'rsatishga qodir. Va aksincha, tananing massasi qanchalik kichik bo'lsa, uning dam olish holati yoki bir xil harakati o'zgaradi, tananing tezligi o'zgaradi, ya'ni. Tana kuchga nisbatan kamroq chidamli.
Dinamika qonunlari va muammolari
Keling, moddiy nuqtaning dinamikasi qonunlarini tuzamiz. Nazariy mexanikada ular aksioma sifatida qabul qilinadi. Ushbu qonunlarning haqiqiyligi shundan iboratki, ular asosida klassik mexanikaning butun binosi qurilgan, qonunlari juda aniqlik bilan amalga oshiriladi. Klassik mexanika qonunlarining buzilishi faqat yuqori tezlikda (relativistik mexanika) va mikroskopik miqyosda (kvant mexanikasi) kuzatiladi.
Kuchlarning asosiy turlari
Avvalo, tabiatda mavjud bo'lgan barcha kuchlarni faol va reaktiv (bog'lanish reaktsiyalari) ga bo'linish bilan tanishtiramiz.
Faol Jismni tinch holatda harakatga keltira oladigan kuchni ayting.
Reaktsiya ulanish faol kuchning erkin bo'lmagan jismga ta'siri natijasida paydo bo'ladi va tananing harakatiga to'sqinlik qiladi.. Aslida, demak, faol kuchning oqibati, javobi, keyingi ta'siri.
Keling, mexanika muammolarida eng ko'p uchraydigan kuchlarni ko'rib chiqaylik.
Gravitatsiya
Umumjahon tortishish qonuni bilan belgilanadigan bu ikki jism o'rtasidagi tortishish kuchi:
Yer yuzasida tortishish tezlashishi qayerda, son jihatdan teng g≈ 9,8 m/s 2, m- tizimning barcha nuqtalarining umumiy massasi sifatida belgilangan tananing yoki mexanik tizimning massasi:
radius vektori qayerda k- oh tizimning nuqtasi. Massa markazining koordinatalarini tenglikning ikkala tomonini (3.6) o'qlarga proyeksiya qilish orqali olish mumkin:
 | (7) |
Ishqalanish kuchi
Muhandislik hisob-kitoblari quruq ishqalanish qonunlari deb ataladigan eksperimental o'rnatilgan qonunlarga asoslanadi (moylash bo'lmasa) yoki Coulomb qonunlari:
· Bir jismni boshqasining yuzasi bo'ylab harakatlantirmoqchi bo'lganda, ishqalanish kuchi paydo bo'ladi ( statik ishqalanish kuchi
), uning qiymati noldan ba'zi cheklovchi qiymatgacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. 
· Yakuniy ishqalanish kuchining kattaligi ba'zi o'lchamsiz, tajribada aniqlangan ishqalanish koeffitsientining mahsulotiga teng f normal bosim kuchiga N, ya'ni.
| . | (8) |
· Statik ishqalanish kuchining chegaraviy qiymatiga yetganda, birlashuvchi yuzalarning yopishish xususiyatlari tugagandan so'ng, tana tayanch yuzasi bo'ylab harakatlana boshlaydi va harakatga qarshilik kuchi deyarli doimiy bo'lib, tezlikka bog'liq emas. (o'rtacha chegaralar ichida). Bu kuch deyiladi surma ishqalanish kuchi va u statik ishqalanish kuchining chegaraviy qiymatiga teng.
· yuzalar.
Keling, ba'zi jismlar uchun ishqalanish koeffitsienti qiymatlarini keltiramiz:
Jadval 1
Aylanma ishqalanish
1-rasm
G'ildirak sirpanmasdan aylanganda (1-rasm), tayanchning reaktsiyasi g'ildirak harakati yo'nalishi bo'ylab bir oz oldinga siljiydi. Buning sababi g'ildirak materialining assimetrik deformatsiyasi va aloqa zonasida qo'llab-quvvatlovchi sirtdir. Kuch ta'sirida kontakt zonasining B chetida bosim kuchayadi, A chetida esa pasayadi. Natijada, reaktsiya g'ildirakning harakatiga qarab bir miqdorga siljiydi k, chaqirildi dumalab ishqalanish koeffitsienti . G'ildirakka bir juft kuch ta'sir qiladi va g'ildirakning aylanishiga qarshi yo'naltirilgan aylanish qarshiligi momenti bilan:
Muvozanat sharoitida bir xil dumalab, kuch momentlari juftlashadi va , bir-birini muvozanatlaydi: , shundan tananing harakatiga qarshi yo'naltirilgan kuchning qiymatini baholash mumkin: 
. (10)
Ko'pgina materiallar uchun nisbat ishqalanish koeffitsientidan sezilarli darajada past f. Bu texnologiyada iloji bo'lsa, ular sirpanishni prokat bilan almashtirishga intilishlarini tushuntiradi.
Elastik kuch
Bu deformatsiyalangan jism o'zining dastlabki, deformatsiyalanmagan holatiga qaytishga intiladigan kuchdir. Agar, masalan, siz kamonni bir miqdorga cho'zsangiz λ , u holda elastik kuch va uning moduli mos ravishda teng bo'ladi:
| . | (11) |
Vektor munosabatlaridagi minus belgisi kuchning siljishdan teskari yo'nalishda yo'naltirilganligini ko'rsatadi. Kattalik Bilan deyiladi " qattiqlik "va N/m o'lchamiga ega.
Harakatning differensial tenglamalari
Nuqta harakatining differensial tenglamalari
Nuqta dinamikasining asosiy qonunini (3.2) ko'rinishdagi ifodasiga qaytaylik, uni 1 va 2 tartibli vektor differensial tenglamalari ko'rinishida yozamiz (pastki chiziq kuch raqamiga mos keladi):
 | (17) |
 | (18) |
Masalan, (15) va (17) tenglamalar tizimini solishtiramiz. Koordinata o'qlaridagi nuqta harakatining tavsifi 2-tartibdagi 3 ta differensial tenglamaga yoki (transformatsiyadan so'ng) 1-tartibdagi 6 ta tenglamaga qisqartirilganligini ko'rish oson. Shu bilan birga, nuqtaning tabiiy o'qlarda harakatini tavsiflash bitta 1-tartibli differensial tenglama (tezlikka nisbatan) va ikkita algebraik tenglamadan iborat aralash tenglamalar tizimi bilan bog'liq.
Bundan shunday xulosa qilishimiz mumkin moddiy nuqtaning harakatini tahlil qilganda, tabiiy o'qlarda harakat tenglamalarini shakllantirish, dinamikaning birinchi va ikkinchi masalalarini echish ba'zan osonroq bo'ladi..
Moddiy nuqta dinamikasining birinchi yoki to‘g‘ridan-to‘g‘ri masalasiga nuqta va uning massasi harakati tenglamalari berilgan holda unga ta’sir etuvchi kuchni (yoki kuchlarni) topish zarur bo‘lgan masalalar kiradi.
Moddiy nuqta dinamikasining ikkinchi yoki teskari masalasiga uning massasi, unga ta'sir qiluvchi kuch (yoki kuchlar) va ma'lum kinematik boshlang'ich shartlariga asoslanib, uning harakati tenglamalarini aniqlash kerak bo'lgan masalalar kiradi.
Shuni ta'kidlash kerakki, dinamikaning 1-masalasini echishda differensial tenglamalar algebraik tenglamalarga aylanadi, ularning tizimini yechish arzimas vazifadir. Dinamikaning 2-masalasini yechishda differensial tenglamalar tizimini yechish uchun Koshi masalasini shakllantirish kerak, ya'ni. deb ataladigan tenglamalarni qo'shing "chet" shartlari. Bizning holatlarimizda, bu boshlang'ich (yakuniy) vaqt yoki shunday deb ataladigan vaqtda pozitsiya va tezlikka cheklovlar qo'yadigan shartlar. "
Harakat va reaksiya tengligi qonuniga ko'ra, ichki kuchlar har doim juftlashgan (o'zaro ta'sir qiluvchi ikkita nuqtaning har biriga ta'sir etuvchi) bo'lganligi sababli, ular teng, qarama-qarshi yo'naltirilgan va bu nuqtalarni bog'laydigan to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi, keyin ularning yig'indisi juft bo'ladi. nolga teng. Bundan tashqari, bu ikki kuchning har qanday nuqtaga nisbatan momentlari yig'indisi ham nolga teng. Bu shuni anglatadiki barcha ichki kuchlarning yig'indisi Va mexanik tizimning barcha ichki kuchlari momentlarining yig'indisi alohida nolga teng:
| , | (22) |
 .
| (23) |
Bu erda, mos ravishda, O nuqtaga nisbatan hisoblangan ichki kuchlarning asosiy vektori va asosiy momenti.
Tenglik (22) va (23) aks ettiradi mexanik tizimning ichki kuchlarining xossalari .
Ba'zilar uchun ruxsat bering k-mexanik tizimning moddiy nuqtasi, tashqi va ichki kuchlar bir vaqtning o'zida harakat qiladi. Ular bir nuqtaga qo'llanganligi sababli, ular mos ravishda tashqi () va ichki () kuchlarning natijalari bilan almashtirilishi mumkin. Keyin dinamikaning asosiy qonuni k-tizimning -chi nuqtasi sifatida yozish mumkin 
, shuning uchun butun tizim uchun quyidagilar bo'ladi:
 | (24) |
Rasmiy ravishda (24) dagi tenglamalar soni raqamga mos keladi n mexanik tizimning nuqtalari.
Ifodalar (24) ifodalaydi vektor ko'rinishdagi sistema harakatining differensial tenglamalari , agar ular tezlanish vektorlarini mos ravishda tezlik va radius vektorining birinchi yoki ikkinchi hosilalari bilan almashtirsa: Bir nuqtaning (15) harakat tenglamalariga oʻxshatib, bu vektor tenglamalarni 3 lik sistemaga aylantirish mumkin. n 2-tartibli differensial tenglamalar.
Dinamikaning umumiy teoremalari
Umumiy - moddiy nuqta va mexanik tizim dinamikasining teoremalari bo'lib, ular moddiy jismlarning inertial sanoq sistemasidagi har qanday harakati uchun amal qiladigan qonunlar beradi.
Umuman olganda, bu teoremalar moddiy nuqta va mexanik tizimning harakatini tavsiflovchi differensial tenglamalar tizimi yechimlarining natijasidir.
3-BO'lim. DINAMIKA.
Dinamiklar Moddiy tana- massaga ega bo'lgan tana.
Moddiy nuqta
Material
A - bV -
Inertsiya
 |  |  |
|||
Tana massasi
Kuch -
,
 |  |  |
|||
. A - b- - elektrovozning tortish kuchi; V- -
Tizim Inertial
Harakat Kosmos Vaqt
Tizim
MAVZU 1
Birinchi qonun(inertsiya qonuni).
Izolyatsiya qilingan
Masalan: -
tana vazni, -
- boshlash tezligi).
Ikkinchi Qonun(dinamikaning asosiy qonuni).
Matematik jihatdan bu qonun vektor tengligi bilan ifodalanadi
Tezlanish paytida nuqta harakati bir xilda o'zgaruvchan bo'ladi (5-rasm: A - harakat - sekin; b - harakat - tezlashtirilgan, . - nuqta massasi, - tezlanish vektori, - kuch vektori, - tezlik vektori).
Qachon - nuqta bir tekis va to'g'ri chiziqli harakat qiladi yoki qachon - u tinch holatda (inertsiya qonuni). Ikkinchi qonun o'rtasidagi aloqani o'rnatishga imkon beradi tana vazni, yer yuzasiga yaqin joylashgan va uning vazn , , erkin tushish tezlashishi qayerda.
Uchinchi qonun(harakat va reaksiya tengligi qonuni).
Ikkita material nuqtalar bir-biriga teng kattalikdagi va bu nuqtalarni qarama-qarshi yo'nalishda bog'laydigan to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilgan kuchlar bilan ta'sir qiladi.
Har xil nuqtalarga kuchlar qo'llanilganligi sababli, kuchlar tizimi muvozanatlashtirilmaydi (6-rasm). O'z navbatida 
- o'zaro ta'sir qiluvchi nuqtalar massalarining nisbati ularning tezlanishlariga teskari proportsionaldir.
To'rtinchi qonun(kuchlar harakatining mustaqilligi qonuni).
Tezlashtirish, Bir vaqtning o'zida bir nechta kuchlar ta'sir qiladigan nuqta tomonidan qabul qilingan nuqta, har bir kuch unga alohida ta'sir qilganda nuqta oladigan tezlanishlarning geometrik yig'indisiga teng.
Tushuntirish (7-rasm). Natijada paydo bo'lgan kuch sifatida aniqlanadi. beri 
, Bu.
Ikkinchi (teskari) muammo.
Oqimni bilish kuch nuqtasi, uning massasi va harakatning boshlang'ich shartlari bo'yicha, nuqtaning harakat qonunini yoki uning boshqa kinematik xususiyatlarini aniqlang.
Boshlang'ich nuqtaning Dekart o'qlaridagi harakati uchun shartlar nuqtaning koordinatalari, , va bu o'qlar bo'yicha boshlang'ich tezlikning proyeksiyasi va nuqta harakatining boshlanishiga mos keladigan va nolga teng qabul qilingan vaqt momenti. .
Ushbu turdagi muammolarni echish moddiy nuqta harakatining differensial tenglamalarini (yoki bitta tenglamani) tuzish va ularni to'g'ridan-to'g'ri integratsiya yoki differentsial tenglamalar nazariyasi yordamida keyingi hal qilishdan iborat.
MAVZU 2. MEXANIK TIZIM DINAMIKASIGA KIRISH
2.1. Asosiy tushunchalar va ta'riflar
Mexanik moddiy nuqtalar tizimi yoki tizimi bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiluvchi moddiy nuqtalarning yig'indisidir.
Mexanik tizimlarga misollar:
1. oʻzaro taʼsir etuvchi moddiy zarrachalar yigʻindisi sifatidagi moddiy jism, shu jumladan, mutlaqo mustahkam; o'zaro bog'langan qattiq jismlar to'plami; quyosh tizimidagi sayyoralar to'plami va boshqalar.
2. Uchib yuruvchi qushlar to'dasi mexanik tizim emas, chunki qushlar o'rtasida hech qanday kuch ta'siri bo'lmaydi.
Ozod mexanik tizim - nuqtalar harakatiga hech qanday aloqa o'rnatilmagan tizim. Masalan: quyosh tizimidagi sayyoralarning harakati.
Bepul mexanik tizim - nuqtalar harakatiga bog'langan tizim. Masalan: har qanday mexanizmda, mashinada va hokazolarda qismlarning harakatlanishi.
Kuchlarning tasnifi
 |
Erkin bo'lmagan mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarning tasnifi quyidagi diagramma shaklida taqdim etilishi mumkin:
Tashqi kuchlar - boshqa tizimlardan berilgan mexanik tizimning nuqtalariga ta'sir qiluvchi kuchlar.
Mahalliy- bitta mexanik tizimning nuqtalari orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari.
Tizimning ixtiyoriy nuqtasiga (1-rasm) quyidagilar ta'sir qiladi: - tashqi kuchlarning natijasi (indeks - birinchi harf Fransuzcha so'z exterieur - (tashqi)); - ichki kuchlar natijasi (indeks - interieur - (ichki) so'zidan). Bog'lanish reaktsiyasining bir xil kuchi, vazifaning shartlariga qarab, tashqi va ichki bo'lishi mumkin.
Ichki kuchlarning mulki
va - mexanik tizimning o'zaro ta'sir nuqtalari (2-rasm). Dinamikaning 3-qonuniga asoslanadi
Boshqa tomondan: 
. Shuning uchun mexanik tizimning ichki kuchlarining asosiy vektori va asosiy momenti nolga teng:
3-BO'lim. DINAMIKA.
KLASSIK MEXANIKA FAQIDA ASOSIY TUSHUNCHALARI
Dinamiklar- nazariy mexanikaning harakat o'rganiladigan bo'limi moddiy jismlar(nuqtalar) qo'llaniladigan kuchlar ta'sirida. Moddiy tana- massaga ega bo'lgan tana.
Moddiy nuqta- nuqtalari harakatidagi farqi ahamiyatsiz bo'lgan moddiy jism. Bu harakat paytida o'lchamlari e'tibordan chetda qolishi mumkin bo'lgan jism yoki translyatsion harakat qilsa, cheklangan o'lchamli jism bo'lishi mumkin.
Material nuqtalar zarrachalar deb ham ataladi qattiq uning ba'zi dinamik xususiyatlarini aniqlashda.
Moddiy nuqtalarga misollar (1-rasm): A - Yerning Quyosh atrofida harakati. Yer moddiy nuqtadir; b- qattiq jismning translatsiya harakati. Qattiq jism moddiy nuqtadir, chunki ; V - jismning o'q atrofida aylanishi. Jismning zarrasi moddiy nuqtadir.
Inertsiya- moddiy jismlarning qo'llaniladigan kuchlar ta'sirida harakat tezligini tezroq yoki sekinroq o'zgartirish xususiyati.
| | | |
|||
Tana massasi skalyar musbat kattalik bo'lib, u ma'lum jism tarkibidagi moddaning miqdoriga bog'liq bo'lib, translatsiya harakati paytida uning inersiya o'lchovini aniqlaydi. Klassik mexanikada massa doimiy miqdordir.
Kuch- jismlar orasidagi yoki jism (nuqta) va maydon (elektr, magnit va boshqalar) orasidagi mexanik o'zaro ta'sirning miqdoriy o'lchovi. Kuch - kattalik, qo'llash nuqtasi va yo'nalishi (ta'sir chizig'i) bilan tavsiflangan vektor miqdori (2-rasm: - qo'llash nuqtasi - kuchning ta'sir chizig'i).
Dinamikada doimiy kuchlar bilan bir qatorda vaqtga, tezlikka bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchan kuchlar ham mavjud. , masofa yoki bu miqdorlarning umumiyligidan, ya'ni.
| | | |
|||
Bunday kuchlarning misollari rasmda ko'rsatilgan. 3 . A -- tana vazni, - havo qarshilik kuchi; b- - elektrovozning tortish kuchi; V- - markazdan itarish yoki tortish kuchi.
Tizim mos yozuvlar - boshqa jismning harakati o'rganiladigan jism bilan bog'liq koordinatalar tizimi. Inertial tizim - dinamikaning birinchi va ikkinchi qonunlari qondiriladigan tizim. Bu sobit koordinatalar tizimi yoki bir xil va chiziqli translyatsion harakatlanuvchi tizim.
Harakat mexanikada bu jismning makon va vaqtdagi holatining o'zgarishi. Kosmos klassik mexanikada, uch o'lchovli, Evklid geometriyasiga bo'ysunadi. Vaqt- har qanday mos yozuvlar tizimida teng ravishda yuzaga keladigan skalyar miqdor.
Tizim birliklar - fizik miqdorlarning o'lchov birliklari to'plami. Barcha mexanik miqdorlarni o'lchash uchun: uchta asosiy birlik etarli: uzunlik, vaqt, massa yoki kuch birliklari. Mexanik miqdorlarning boshqa barcha o'lchov birliklari shulardan kelib chiqadi. Ikki turdagi birliklar tizimi qo'llaniladi: xalqaro birliklar tizimi SI (yoki undan kichikroq - GHS) va birliklarning texnik tizimi - ICG.
MAVZU 1. MATERIAL NUTTA DINAMIKASIGA KIRISH.
1.1. Moddiy nuqta dinamikasi qonunlari (Galiley-Nyuton qonunlari)
Birinchi qonun(inertsiya qonuni).
Izolyatsiya qilingan tashqi ta'sirlardan moddiy nuqta o'zining dam olish holatini saqlab qoladi yoki qo'llaniladigan kuchlar uni bu holatni o'zgartirishga majburlamaguncha bir tekis va to'g'ri chiziqli harakat qiladi.
Nuqta tomonidan kuchlar yo'q yoki muvozanatli kuchlar tizimi ta'sirida bajariladigan harakat inertsiya harakati deyiladi.
Masalan: jismning silliq (ishqalanish kuchi nolga teng) gorizontal yuza bo'ylab harakati (4-rasm: -
tana vazni, -
normal tekislik reaktsiyasi). O'shandan beri.
Tana bir xil tezlikda harakat qilganda; tana dam olayotganda ( - boshlash tezligi).
Rykov V.T.Qo'llanma. - Krasnodar: Kuban davlat universiteti, 2006. - 100 pp.: 25 ill Klassik universitet ta'limining jismoniy mutaxassisliklari uchun nazariy mexanika bo'yicha topshiriqlar bilan ma'ruzalar kursining birinchi qismi.
Qo'llanma nazariy mexanika va uzluksiz mexanika bo'yicha o'quv-uslubiy majmuaning ikkinchi qismini ifodalaydi. Unda nazariy mexanika va kontinuum mexanikasi kursining uchta bo'limi uchun ma'ruza matnlari mavjud: "Dinamikaning asosiy differensial tenglamasi", "Markaziy simmetrik maydondagi harakat" va "Qattiq jismning aylanish harakati". O'quv-uslubiy majmuaning bir qismi sifatida qo'llanmada nazorat topshiriqlari (test variantlari) va yakuniy kompyuter testi (imtihon) uchun savollar mavjud. Ushbu kurs ma'ruza parchalari (lazerli diskda) bo'lgan elektron darslik bilan to'ldiriladi.
Qo‘llanma universitetlarning fizika va fizika-texnika fakultetlarining 2 va 3-kurs talabalari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, texnik oliy o‘quv yurtlarining nazariy va texnik mexanika asoslarini o‘rganuvchi talabalari uchun foydali bo‘lishi mumkin.
Dinamikaning fundamental differentsial tenglamasi (Nyutonning ikkinchi qonuni)
Bo'lim tuzilishi
Moddiy nuqta harakatining tavsifi
To'g'ridan-to'g'ri va teskari dinamika masalalari
Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan impulsning saqlanish qonunini chiqarish
Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan energiyaning saqlanish qonunini chiqarish
Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan burchak momentining saqlanish qonunini chiqarish.
Harakatning integrallari
Test topshirig'i
Markaziy nosimmetrik maydonda harakat
Bo'lim tuzilishi
Markaziy simmetrik maydon tushunchasi
Egri chiziqli koordinatalarda tezlik
Egri chiziqli koordinatalarda tezlanish
Sferik koordinatalarda tezlik va tezlanish
Markaziy simmetrik maydondagi harakat tenglamalari
Sektor tezligi va sektor tezlanishi
Gravitatsiya maydoni va Kulon maydonidagi moddiy nuqtaning harakat tenglamasi
Ikki tana muammosini bitta tana muammosiga kamaytirish. Kamaytirilgan massa
Ruterford formulasi
Mavzu bo'yicha test: Egri chiziqli koordinatalarda tezlik va tezlanish
Qattiq jismning aylanish harakati
Bo'lim tuzilishi
Qattiq jism haqida tushuncha. Aylanma va tarjima harakati
Qattiq jismning kinetik energiyasi
Inertsiya tensori
Inertsiya tensorini diagonal shaklga kamaytirish
Inersiya tenzorining diagonal komponentlarining fizik ma'nosi
Inersiya tenzori uchun Shtayner teoremasi
Qattiq jismning momentumi
Aylanuvchi koordinatalar sistemasidagi qattiq jismning aylanish harakati tenglamalari
Eyler burchaklari
Noinertial sanoq sistemalarida harakat
Mavzu bo'yicha test: Qattiq jismning aylanish harakati
Tavsiya etilgan o'qish
Ilova
Ilova
Ba'zi asosiy formulalar va munosabatlar
Mavzu indeksi
Siz kitob sharhini yozishingiz va o'z tajribangizni baham ko'rishingiz mumkin. Siz o'qigan kitoblaringiz haqidagi fikringiz boshqa o'quvchilarni hamisha qiziqtiradi. Siz kitobni yaxshi ko'rganmisiz yoki yo'qmi, agar siz o'zingizning halol va batafsil fikringizni bildirsangiz, odamlar o'zlari uchun mos keladigan yangi kitoblarni topadilar.
N k k = G F(t, r G (t) G , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Krasnodar 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r() t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Darslik) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G) r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Rikov Rykov V.T. DINAMIKANING ASOSIY DIFFERENTSIAL TENGLASHISHI Darslik Ma'ruza matni Test topshiriqlari Yakuniy test savollari (qo'shma imtihon) Krasnodar 2006 UDC 531.01 BBK 22.25ya73 R 944 Taqrizchi: Fizika-matematika fanlari doktori. Fanlar, professor, rahbar. Kuban texnologiya universitetining struktura mexanikasi kafedrasi I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 Dinamikaning asosiy differentsial tenglamasi: Darslik. nafaqa. Krasnodar: Kuban. davlat univ., 2006. – 100 b. Il. 25. Bibliografiya 6 nom ISBN Qo'llanma nazariy mexanika va uzluksiz mexanika bo'yicha o'quv-uslubiy majmuaning ikkinchi qismini ifodalaydi. Unda nazariy mexanika va kontinuum mexanikasi kursining uchta bo'limi uchun ma'ruza matnlari mavjud: "Dinamikaning asosiy differensial tenglamasi", "Markaziy simmetrik maydondagi harakat" va "Qattiq jismning aylanish harakati". O'quv-uslubiy majmuaning bir qismi sifatida qo'llanmada nazorat topshiriqlari (test variantlari) va yakuniy kompyuter testi (imtihon) uchun savollar mavjud. Ushbu kurs ma'ruza parchalari (lazerli diskda) bo'lgan elektron darslik bilan to'ldiriladi. Qo‘llanma universitetlarning fizika va fizika-texnika fakultetlarining 2 va 3-kurs talabalari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, texnik oliy o‘quv yurtlarining nazariy va texnik mexanika asoslarini o‘rganayotgan talabalari uchun foydali bo‘lishi mumkin. Kuban davlat universiteti fizika-texnika fakulteti kengashining qarori bilan nashr etilgan UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © Kuban davlat universiteti, 2006 MAZMUNI Muqaddima................ ...... ................................................... ....... 6 Lug‘at................................................. ........ .......................... 8 1. Dinamikaning asosiy differentsial tenglamasi (Nyutonning ikkinchi qonuni) .. ......... ................. 11 1.1. Bo'lim tuzilishi................................................................. ... 11 1.2. Moddiy nuqta harakatining tavsifi....... 11 1.2.1. Dekart koordinata tizimi....................... 12 1.2.2. Nuqta harakatini tasvirlashning tabiiy usuli. Hamrohlik qiluvchi uchburchak................................................. ... ............... 13 1.3. Dinamikaning to'g'ridan-to'g'ri va teskari masalalari................................. 16 1.4. Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan impulsning saqlanish qonunini chiqarish................................... ................. ........................... 21 1.5. Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan energiyaning saqlanish qonunini chiqarish................................... ................. ........................... 24 1.6. Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan burchak momentining saqlanish qonunini chiqarish...................................... ...................... ......... 26 1.7. Harakatning integrallari.............................................. .... 27 1.8. Noinertial sanoq sistemalaridagi harakat................................................. ....... ........................... 28 1.9. Test topshirig'i................................................. ... 28 1.9.1. Muammoni yechishga misol................................. 28 1.9.2. Test topshiriqlari variantlari................................. 31 1.10. Yakuniy nazorat (imtihon) testlari ................ 35 1.10.1. A maydoni ................................................. ...... ............ 35 1.10.2. B maydoni ................................................. ...... ............ 36 1.10.3. C maydoni ................................................. ..... ............ 36 2. Markaziy nosimmetrik maydondagi harakat............ 38 2.1. Bo'lim tuzilishi................................................................. ... 38 2.2. Markaziy simmetrik maydon tushunchasi....... 39 3 2.3. Egri chiziqli koordinatalardagi tezlik....... 39 2.4. Egri chiziqli koordinatalarda tezlanish....... 40 2.5. Sferik koordinatalarda tezlik va tezlanish................................................... ................ ................... 41 2.6. Markaziy nosimmetrik maydondagi harakat tenglamalari...................................... ............ ..... 45 2.7. Sektor tezligi va sektor tezlashishi...... 46 2.8. Gravitatsion maydon va Kulon maydonidagi moddiy nuqtaning harakat tenglamasi................................... 48 2.8.1. Samarali energiya................................................. ... 48 2.8.2. Traektoriya tenglamasi................................................. .... 49 2.8.3. Traektoriya shaklining umumiy energiyaga bog'liqligi...................................... ............ ......... 51 2.9. Ikki tana muammosini bitta tana muammosiga kamaytirish. Qisqartirilgan massa................................................. ......... 52 2.10. Ruterford formulasi................................................. ... 54 2.11. Mavzu bo'yicha test: Egri chiziqli koordinatalarda tezlik va tezlanish................................ 58 2.11.1. Egri chiziqli koordinatalarda tezlik va tezlanish mavzusida testni bajarishga misol. .......................... 58 2.11.2. Test topshiriqlari variantlari........................... 59 2.12. Yakuniy nazorat (imtihon) testlari ................ 61 2.12.1. A maydoni ................................................. ..... ............ 61 2.12.2. B maydoni ................................................. ...... ............ 62 2.12.3. C maydoni ................................................. ..... ............ 63 3. Qattiq jismning aylanish harakati....................... ............ 65 3.1. Bo'lim tuzilishi................................................................. ... 65 3.2. Qattiq jism haqida tushuncha. Aylanma va tarjima harakati................................................. ...... 66 3.3. Qattiq jismning kinetik energiyasi................. 69 3.4. Inertsiya tensori................................................. ...... ..... 71 3.5. Inertsiya tensorini diagonal ko‘rinishga keltirish...................................... ......... ..... 72 4 3.6. Inertsiya tenzorining diagonal komponentlarining fizik ma'nosi...................................... ............ 74 3.7. Inersiya tenzori uchun Shtayner teoremasi......... 76 3.8. Qattiq jismning impulsi.................................. 78 3.9. Aylanuvchi koordinatalar sistemasidagi qattiq jismning aylanish harakati tenglamalari...................................... ............... .......................... 79 3.10. Eyler burchaklari................................................. ...... 82 3.11. Noinertial sanoq sistemalaridagi harakat................................................. ............ ........................... 86 3.12. Mavzu bo'yicha test: Qattiq jismning aylanish harakati...................................... ............. .. 88 3.12.1. Nazorat topshiriqlarini bajarishga misollar................................................. ...................... ...................... 88 3.12.2. Uy testi................................. 92 3.13. Yakuniy nazorat (imtihon) testlari ................ 92 3.13.1. A maydoni ................................................. ...... ............ 92 3.13.2. B maydoni ................................................. ...... ............ 94 3.13.3. C maydoni ................................................. ...... ............ 95 Tavsiya etilgan o'qish................................. ...... ......... 97 1-ilova ........................... ..................................... 98 2-ilova. Ba'zi asosiy formulalar va munosabatlar......... ................................................................ ...... ... 100 Mavzu indeksi...................................... ............. ....... 102 5 SO‘Z MUQADDAS Bu kitob “Nazariy mexanika va uzluksiz mexanika asoslari” kursi bo‘yicha o‘quv-uslubiy majmuaning “qattiq tarkibiy qismi”dir. “fizika” – 010701, “radiofizika” va elektronika” – 010801 mutaxassisliklari bo‘yicha davlat ta’lim standartiga kiritilgan. Uning elektron versiyasi (pdf formati) Kuban davlat universiteti veb-saytida va Kuban davlat universiteti fizika-texnika fakultetining mahalliy tarmog'ida joylashtirilgan. Nazariy mexanika va uzluksiz mexanika asoslari bo‘yicha o‘quv-uslubiy majmuaning jami to‘rtta asosiy qismi ishlab chiqilgan. Vektor va tenzor tahlili - kompleksning birinchi qismi - nafaqat nazariy mexanika kursining, balki nazariy fizikaning butun kursining matematik asoslari sohasidagi asosiy bilimlarni mustahkamlash va katta darajada shakllantirish uchun mo'ljallangan. Nazariy mexanika kursining o'zi ikki qismga bo'lingan bo'lib, ulardan biri dinamikaning asosiy differensial tenglamasi - Nyutonning ikkinchi qonuni asosida mexanik muammolarni hal qilish usullari taqdimotini o'z ichiga oladi. Ikkinchi qism analitik mexanika asoslarining taqdimoti (o'quv-uslubiy majmuaning uchinchi qismi). Kompleksning to'rtinchi qismida uzluksiz mexanika asoslari mavjud. Kompleksning har bir qismi va barchasi birgalikda elektron o'quv kurslari - o'zgartirilgan komponentlar, HTML-sahifalar, faol o'quv vositalari bilan to'ldirilgan - o'qitishning funktsional elementlari bilan quvvatlanadi. Ushbu vositalar KubSU veb-saytida arxivlangan shaklda joylashtirilgan va lazerli disklarda tarqatilgan, qog'ozga biriktirilgan yoki alohida. Qattiq komponentlardan farqli o'laroq, elektron komponentlar samaradorligini oshirish uchun doimiy ravishda o'zgartiriladi. 6 O'quv majmuasining "mustahkam komponenti"ning asosini ushbu bo'limning asosiy tushunchalarini tushuntiruvchi "lug'at" va alifbo ko'rsatkichi bilan to'ldirilgan ma'ruza matnlari tashkil etadi. Ushbu qo'llanmaning har uchta bo'limidan so'ng, masalani yechish misollari bilan test topshirig'i taklif etiladi. Ushbu komponentning ikkita nazorat vazifasi uyda bajariladi - bular 2 va 3 bo'limlar uchun topshiriqlar. 3-topshiriq hamma uchun umumiy bo'lib, amaliy mashg'ulotlar uchun daftarlarda tekshirish uchun o'qituvchiga taqdim etiladi. 2-topshiriqda har bir talaba o‘qituvchi ko‘rsatmasi bo‘yicha 21 ta variantdan birini bajaradi. 1-topshiriq sinfda bir dars (juftlik) davomida alohida qog’ozlarda bajariladi va tekshirish uchun o’qituvchiga topshiriladi. Agar topshiriq muvaffaqiyatsiz bo'lsa, ishni talaba tuzatishi kerak (uy vazifasi) yoki boshqa variant bilan (sinfdagi topshiriqlar) qayta bajarilishi kerak. Ikkinchisi o'qituvchi tomonidan tavsiya etilgan vaqtda maktab jadvalidan tashqari amalga oshiriladi. Taklif etilgan qism o'quv yordami shuningdek, yordamchi materiallarni o'z ichiga oladi: 1-ilovada metrik tensorning tarkibiy qismlari - 3-testning oraliq maqsadlari va 2-ilova - imtihonda qoniqarli baho olish uchun majburiy bo'lgan asosiy formulalar va munosabatlarni yodlash. Qo'llanmaning har bir qismining har bir bo'limi test topshiriqlari bilan yakunlanadi - birlashtirilgan imtihonning ajralmas qismi, uning asosi tavsiya etilgan shakllarni parallel ravishda to'ldirish bilan kompyuter testi va kompyuter baholashlari va test shakliga asoslangan keyingi suhbatdir. Testning "B" maydonida javoblar to'plamida tanlangan variantga olib keladigan matematik transformatsiyalar shakli haqida qisqacha yozuv talab qilinadi. "C" maydoniga siz formadagi barcha hisob-kitoblarni yozishingiz va klaviaturada raqamli javobni kiritishingiz kerak. 7 GLOSSARY Qo'shimcha miqdor - bu butun tizim uchun qiymati tizimning alohida qismlari uchun qiymatlari yig'indisiga teng bo'lgan jismoniy miqdor. Aylanish harakati - bu qattiq jismning kamida bitta nuqtasi tezligi nolga teng bo'lgan harakatdir. Ikkinchi qochish tezligi aylanmaydigan sayyoradan uchish tezligi bo'lib, u kosmik kemani parabolik traektoriyaga qo'yadi. Moddiy nuqtaning impulsi nuqta massasi va tezligining mahsulotidir. Moddiy nuqtalar tizimining impulsi qo'shimcha miqdor bo'lib, tizimning barcha nuqtalarining impulslari yig'indisi sifatida aniqlanadi. Harakatning integrallari - ma'lum sharoitlarda saqlanuvchi va dinamikaning asosiy differensial tenglamasi - ikkinchi tartibli tenglamalar sistemasining yagona integrallashi natijasida olingan kattaliklardir. Moddiy nuqtaning kinetik energiyasi - ma'lum bir nuqtaga ma'lum tezlikni berish uchun zarur bo'lgan ishga teng harakat energiyasi. Moddiy nuqtalar tizimining kinetik energiyasi qo'shimcha miqdor bo'lib, tizimning barcha nuqtalari energiyalarining yig'indisi sifatida aniqlanadi. Vektorning kovariant komponentlari vektorning o'zaro asosli vektorlarga kengayish koeffitsientlari. Affin bog'lanish koeffitsientlari - bazis vektorlarining hosilalarini bazis vektorlariga nisbatan koordinatalarga nisbatan kengaytirish koeffitsientlari. Egri chiziqning egriligi teginish doirasi radiusining o'zaro nisbatidir. Tezliklarning bir lahzali markazi - ma'lum bir vaqtning o'zida tezligi nolga teng bo'lgan nuqta. 8 Doimiy kuchning mexanik ishi kuch va siljishning skalyar mahsulotidir. Mexanik harakat - vaqt o'tishi bilan tananing boshqa jismlarga nisbatan fazodagi holatining o'zgarishi. Dinamikaning teskari masalasi - berilgan kuchlar (koordinatalarning ma'lum funktsiyalari, vaqt va tezlik) yordamida moddiy nuqta harakati tenglamalarini topishdir. Translational harakat - bu qattiq jismda aniqlangan har qanday to'g'ri chiziq o'ziga parallel ravishda harakatlanadigan harakat. Moddiy nuqtaning potentsial energiyasi - bu jismlar yoki jism qismlarining maydon o'zaro ta'sirining energiyasi, ma'lum bir moddiy nuqtani fazoning ma'lum bir nuqtasidan o'zboshimchalik bilan tanlangan nol potentsial darajaga ko'chirish uchun maydon kuchlarining ishiga teng. Kamaytirilgan massa - bu markaziy nosimmetrik maydondagi harakati ikki jism masalasiga qisqartirilgan faraziy moddiy nuqtaning massasi. Dinamikaning bevosita vazifasi - berilgan harakat tenglamalari yordamida moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarni aniqlashdir. Kristoffel belgilari afin bog'lanishning simmetrik koeffitsientlaridir. Massa markazi (inertsiya markazi) tizimi - Mexanik tizimning impulsi nolga teng bo'lgan mos yozuvlar tizimi. Tezlik - bu vektor miqdori, son jihatdan vaqt birligidagi siljishga teng. Oskulyar doira - bu egri chiziq bilan ikkinchi darajali aloqaga ega bo'lgan doira, ya'ni. ikkinchi tartibli cheksiz kichiklargacha berilgan nuqtaga yaqin joylashgan egri chiziq va oskulyar aylana tenglamalari bir-biridan farq qilmaydi. 9 Hamrohlik qiluvchi uchburchak - nuqtaga hamroh bo'lgan Dekart koordinata tizimini joriy qilish uchun ishlatiladigan birlik vektorlarining uchligi (tangens, normal va binormal vektorlar). Qattiq jism - bu har qanday ikki nuqta orasidagi masofa o'zgarmaydigan jism. Inertsiya tensori ikkinchi darajali nosimmetrik tensor bo'lib, uning komponentlari qattiq jismning aylanish harakatiga nisbatan inersiya xususiyatlarini aniqlaydi. Traektoriya kosmosdagi harakatlanuvchi nuqtaning izidir. Harakat tenglamalari vaqtning ixtiyoriy momentida nuqtaning fazodagi holatini aniqlaydigan tenglamalardir. Tezlanish - bu vektor miqdori, son jihatdan vaqt birligidagi tezlikning o'zgarishiga teng. Oddiy tezlanish - bu tezlikka perpendikulyar tezlanish, nuqta traektoriya bilan aloqada bo'lgan aylana bo'ylab ma'lum tezlik bilan harakat qilganda markazga tortish tezlanishiga teng. Markaziy nosimmetrik maydon - bu moddiy nuqtaning potentsial energiyasi faqat "O" markazgacha bo'lgan masofa r ga bog'liq bo'lgan maydon. Energiya - bu tananing yoki jismlar tizimining ish qilish qobiliyati. 10 1. DİNAMIKANING ASOSIY DIFFERENTSIAL TENGLASHISHI (NYYTONNING IKKINCHI QONUNI) 1.1. “Izlar” “jabha” bo‘limining tuzilishi “fasad” dinamikasining to‘g‘ridan-to‘g‘ri va teskari masalalari Material nuqta harakatining tavsifi “izlar” “izlar” “izlar” “jabha” momentumning saqlanish qonuni “fasad”ning tabiiy tenglamasi. egri chiziq “izlar” “jabha” Test ishi “ izlar” “fasad” Yakuniy nazorat testlari “fasad” Energiyani saqlash qonuni “izlar” “izlar” “fasad” Vektor algebrasi “izlar” “izlar” “fasad” Saqlash qonuni burchak momentumining 1-rasm - 1-bo'limning asosiy elementlari. 2. Moddiy nuqta harakatining tavsifi Mexanik harakat deganda jismning fazodagi holatining vaqt o‘tishi bilan boshqa jismlarga nisbatan o‘zgarishi tushuniladi. Bu ta'rif ikkita vazifani qo'yadi: 1) fazoning bir nuqtasini boshqasidan farqlash usulini tanlash; 2) boshqa jismlarning pozitsiyasi belgilanadigan jismni tanlash. 11 1.2.1. Dekart koordinatalar tizimi Birinchi vazifa koordinatalar tizimini tanlash bilan bog'liq. Uch o'lchovli fazoda fazodagi har bir nuqta nuqta koordinatalari deb ataladigan uchta raqam bilan bog'lanadi. Eng aniqlari to'rtburchaklar ortogonal koordinatalar bo'lib, ular odatda Kartezian deb ataladi (frantsuz olimi Rene Dekart nomi bilan atalgan). 1 Rene Dekart birinchi bo'lib Dekart koordinata tizimini qurish asosi bo'lgan masshtab tushunchasini kiritdi. Uch o'lchovli fazoning ma'lum bir nuqtasida uchta o'zaro ortogonal, kattalikdagi bir xil i, j, k vektorlari tuziladi, ular bir vaqtning o'zida masshtab birliklari, ya'ni. ularning uzunligi (modul) ta'rifi bo'yicha o'lchov birligiga teng. Raqamli o'qlar ushbu vektorlar bo'ylab yo'naltirilgan bo'lib, ulardagi nuqtalar "proyeksiyalash" yo'li bilan fazodagi nuqtalar bilan mos keladi - 1-rasmda ko'rsatilganidek, nuqtadan son o'qqa perpendikulyar chizish. Dekart koordinatalarida proyeksiyalash operatsiyasi quyidagilarga olib keladi ix, jy va kz vektorlarini parallelogramma qoidasi bo'ylab qo'shish, qaysi Ushbu holatda to'rtburchakka aylanadi. Natijada nuqtaning fazodagi holatini “radius vektori” deb ataladigan r = ix + jy + kz vektor yordamida aniqlash mumkin, chunki. boshqa vektorlardan farqli o'laroq, bu vektorning kelib chiqishi doimo koordinatalarning kelib chiqishi bilan mos keladi. Vaqt o'tishi bilan nuqtaning fazodagi o'rnini o'zgartirish nuqta koordinatalarining vaqtga bog'liqligi paydo bo'lishiga olib keladi x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 Lotinlashtirilgan nom. Rene Dekartning asari Karteziydir, shuning uchun adabiyotda siz "Kartezian koordinatalari" nomini topishingiz mumkin. 12 va radius vektori r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Bu funksional bog’lanishlar koordinata va vektor ko’rinishdagi harakat tenglamalari deyiladi, mos ravishda z kz k r jy i y j ix x 2-rasm – Dekart koordinatalar tizimi Nuqtaning tezligi va tezlanishi radius vaqtiga nisbatan birinchi va ikkinchi hosila sifatida aniqlanadi. vektor v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) Quyidagining hamma joyida nuqta va ma'lum miqdorning belgisi ustidagi qo'sh nuqta bu miqdorning vaqtga nisbatan birinchi va ikkinchi hosilasini bildiradi. 1.2.2. Nuqta harakatini tasvirlashning tabiiy usuli. Hamroh uchburchak r = r (t) tenglama odatda parametrik shakldagi egri chiziq tenglamasi deb ataladi. Harakat tenglamalari holatida parametr vaqt hisoblanadi. Har qanday harakat 13 traektoriya deb ataladigan ma'lum bir egri chiziq bo'ylab sodir bo'lganligi sababli, u holda traektoriya (yo'l) ning bir qismi t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 monoton funktsiyadir. bu harakat vaqti bilan bog'liq. Tananing bosib o'tgan yo'li odatda "tabiiy" yoki "kanonik" parametr deb ataladigan yangi parametr sifatida qaralishi mumkin. Tegishli egri chiziq tenglamasi r = r(s) kanonik yoki tabiiy parametrlashda tenglama deb ataladi. t m n 3-rasm – Hamrohlik qiluvchi uchburchak Vektor dr ds traektoriyaga vektor tangensi (3-rasm), uning uzunligi bir ga teng, chunki dr = ds. t= 14 dt dan t vektoriga perpendikulyar, ya’ni. traektoriyaga normal yo'naltirilgan. Ushbu vektorning jismoniy (aniqrog'i, geometrik) ma'nosini bilish uchun, keling, uni vaqt sifatida ko'rib, t parametriga nisbatan differentsiatsiyaga o'tamiz. d t d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ t = = ⎜ −. ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt Bu munosabatlarning oxirgisi quyidagi tarzda qayta yozilishi mumkin a 1 t′ = 2 (a − at) = n2 shartlar . 2 = 1 shundan kelib chiqadiki, vektor t' = bu erda v at = t v dv; t= dt v v d 2r – umumiy dt 2-tezlanish vektori. Umumiy tezlanish normal (markazga yoʻnaltirilgan) va tangensial tezlanishlar yigʻindisiga teng boʻlgani uchun biz koʻrib chiqayotgan vektor normal tezlanish vektorini tezlik kvadratiga boʻlinganga teng. Doira bo'ylab harakatlanayotganda normal tezlanish tangensial tezlanishga teng bo'ladi va vektor a = an = n v2, R bu erda n - aylananing normal vektori, R - aylananing radiusi. Bundan kelib chiqadiki, t' vektori t' = Kn, 1 ko'rinishida ifodalanishi mumkin, bu erda K = egri chiziqning egri chizig'i - kontaktli aylana radiusining o'zaro nisbati. Tebranuvchi aylana - berilgan egri chiziq 15 bilan ikkinchi darajali aloqaga ega bo'lgan egri chiziq. Bu shuni anglatadiki, egri chiziq tenglamasini bir nuqtada ikkinchi tartibli cheksiz kichiklarga qadar kuch qatoriga kengaytirishda biz bu egri chiziqni aylanadan ajrata olmaymiz. n vektor ba'zan asosiy normal vektor deb ataladi. Tangens vektor t va normal vektordan biz binormal vektor m = [t, n] qurishimiz mumkin. Uchta vektor t, n va m to'g'ri uchlikni hosil qiladi - 3-rasmda ko'rsatilgandek, 1.3-rasmda ko'rsatilganidek, siz nuqtaga hamroh bo'lgan Dekart koordinata tizimini bog'lashingiz mumkin. Dinamikaning to'g'ridan-to'g'ri va teskari muammolari 1632 yilda Galiley Galiley qonunni kashf etdi, keyin esa 1687 yilda Isaak Nyuton faylasuflarning harakatni tavsiflash usullari haqidagi qarashlarini o'zgartiradigan qonunni ishlab chiqdi: “Har bir jism tinch holatni yoki bir xil va to'g'ri chiziqli harakatni saqlab qoladi. qo'llaniladigan kuchlar uni o'zgartirishga majbur qiladi." Bu holat." 1 Ushbu kashfiyotning ahamiyatini ortiqcha baholab bo'lmaydi. Galileydan oldin faylasuflar harakatning asosiy xususiyati tezlikdir, jism doimiy tezlikda harakatlanishi uchun doimiy kuch ta'sir qilishi kerak, deb hisoblashgan. Darhaqiqat, tajriba shuni ko'rsatadiki, agar biz kuch ishlatsak, tana harakat qiladi, agar biz uni qo'llashni to'xtatsak, tana to'xtaydi. Va faqat Galiley shuni payqadiki, kuch qo'llash orqali biz haqiqatan ham bizning xohishimiz (va ko'pincha kuzatish) bilan bir qatorda, Yerdagi haqiqiy sharoitda harakat qiluvchi ishqalanish kuchini muvozanatlashtiramiz. Binobarin, tezlikni doimiy ushlab turish uchun emas, balki uni o'zgartirish uchun kuch kerak, ya'ni. tezlashuv hisoboti. 1 I. Nyuton. Naturfalsafaning matematik tamoyillari. 16 To'g'ri, Yer sharoitida boshqa jismlar ta'sir qilmaydigan jismni kuzatishni amalga oshirish mumkin emas, shuning uchun mexanika Nyutonning (Galileyning ) birinchi qonun bajarilishi kerak. 1 Nyutonning birinchi qonunining matematik formulasi kuchning tezlanishga mutanosibligi bayonini vektor miqdorlar sifatida ularning parallelligini bayon qilish orqali qoʻshishni talab qiladi?qanday F ∼W ⎫ F skalar ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ bunda Dv d v d dr = = ≡r. Dt → 0 Dt dt dt dt W = lim Tajriba shuni ko'rsatadiki, skalyar koeffitsient odatda tana massasi deb ataladigan miqdor bo'lishi mumkin. Shunday qilib, Nyutonning birinchi qonunining matematik ifodasi, yangi postulatlarni qo'shishni hisobga olgan holda, F = mW ko'rinishini oladi, 1 Ammo bunday mos yozuvlar tizimi qanday haqiqiy jismlar bilan bog'lanishi mumkinligi hali ham aniq emas. Eter gipotezasi ("Nisbiylik nazariyasi" ga qarang) bu muammoni hal qilishi mumkin edi, ammo Mishelson tajribasining salbiy natijasi bu imkoniyatni istisno qildi. Shunga qaramay, mexanika bunday mos yozuvlar ramkalariga muhtoj va ularning mavjudligini postulat qiladi. 17 Nyutonning ikkinchi qonuni sifatida tanilgan. Bir necha kuchlar ta'sir qilishi mumkin bo'lgan ma'lum bir jism uchun tezlanish aniqlanganligi sababli, Nyutonning ikkinchi qonunini n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) ko'rinishda yozish qulay. . a =1 Kuch umumiy holatda koordinatalar, tezliklar va vaqtning funksiyasi sifatida qaraladi. Bu funktsiya aniq va bilvosita vaqtga bog'liq. Vaqtga aniq bog'liqlik, harakatlanuvchi jismning koordinatalari (kuch koordinatalariga bog'liq) va tezligi (kuch tezligiga bog'liq) o'zgarishi tufayli kuch o'zgarishi mumkinligini anglatadi. Vaqtga aniq bog'liqlik shuni ko'rsatadiki, agar tana kosmosning ma'lum bir qo'zg'almas nuqtasida tinch holatda bo'lsa, kuch ham vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Matematika nuqtai nazaridan Nyutonning ikkinchi qonuni ikkita oʻzaro teskari matematik amallar bilan bogʻliq ikkita masalani keltirib chiqaradi: differensiatsiya va integrasiya. 1. Dinamikaning bevosita masalasi: berilgan harakat tenglamalaridan r = r (t) foydalanib, moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarni aniqlang. Bu muammo fundamental fizikaning muammosi bo'lib, uning yechimi jismlarning o'zaro ta'sirini tavsiflovchi yangi qonunlar va qonuniyatlarni topishga qaratilgan. Dinamikaning to'g'ridan-to'g'ri muammosini hal qilishning misoli - Quyosh tizimi sayyoralarining kuzatilgan harakatini tavsiflovchi Keplerning empirik qonunlari asosida I. Nyutonning universal tortishish qonunini shakllantirishi (2-bo'limga qarang). 2. Dinamikaning teskari masalasi: berilgan kuchlar (koordinatalarning ma’lum funksiyalari, vaqt va tezlik) moddiy nuqtaning harakat tenglamalarini toping. Bu amaliy fizikaning vazifasidir. Bu masala nuqtai nazaridan Nyutonning ikkinchi 18 qonuni ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar tizimi d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1. 1) dt yechimlari vaqt funksiyalari va integrallash konstantalari. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). Cheksiz yechimlar to'plamidan ma'lum bir harakatga mos keladigan yechimni tanlash uchun differensial tenglamalar tizimini boshlang'ich shartlar bilan to'ldirish kerak (Koshi muammosi) - vaqtning ma'lum bir nuqtasida (t = 0) qiymatlarni o'rnatish nuqtaning koordinatalari va tezligi: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Izoh 1. I. Nyuton qonunlarida kuch deganda jismlarning o‘zaro ta’sirini tavsiflovchi kattalik tushuniladi, buning natijasida jismlar deformatsiyalanadi yoki tezlanish oladi. Biroq, ko'pincha D'Alember o'zining "Shamollarning umumiy sababi to'g'risida" nutqida (1744) aytganidek, dinamika muammosini statika muammosiga kiritish orqali, massaning ko'paytmasiga teng bo'lgan inersiya kuchini kiritish qulaydir. jism va berilgan jism ko'rib chiqiladigan mos yozuvlar doirasining tezlashishi. Rasmiy ravishda, bu I. New19 ikkinchi qonunining o'ng tomonini chap tomonga o'tkazish va bu qismga "inertsiya kuchi" F + (− mW) = 0 yoki F + Fin = 0 nomini berishga o'xshaydi. Natijada paydo bo'lgan inertial kuch yuqorida keltirilgan kuch ta'rifini qoniqtirmaydi. Shu munosabat bilan, inertial kuchlar ko'pincha "fikrli kuchlar" deb ataladi, chunki ular kuchlar sifatida faqat tezlashtiruvchi mos yozuvlar tizimi bilan bog'langan inertial bo'lmagan kuzatuvchi tomonidan qabul qilinadi va o'lchanadi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, inertial bo'lmagan kuzatuvchi uchun inertial kuchlar kuchlar mos yozuvlar tizimining barcha jismlariga amalda ta'sir etuvchi sifatida qabul qilinadi. Aynan shu kuchlarning mavjudligi sayyoramizning doimiy ravishda tushayotgan sun'iy yo'ldoshidagi jismlarning muvozanatini (vaznsizligini) va (qisman) Yerga erkin tushish tezlashuvining hududning kengligiga bog'liqligini "tushuntiradi". Izoh 2. Nyutonning ikkinchi qonuni ikkinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi sifatida ham shu tenglamalarni yakka integrallash muammosi bilan bog'liq. Shu tarzda olingan miqdorlar harakatning integrallari deb ataladi va eng muhimi ular bilan bog'liq ikkita holat: 1) bu miqdorlar qo'shimcha (qo'shish), ya'ni. mexanik tizim uchun bunday qiymat uning alohida qismlari uchun mos keladigan qiymatlarning yig'indisidir; 2) muayyan jismoniy tushunarli sharoitlarda bu miqdorlar o'zgarmaydi, ya'ni. saqlanib qoladi va shu bilan mexanikada saqlanish qonunlarini ifodalaydi. 20 1.4. Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan impulsning saqlanish qonunini chiqarish N ta moddiy nuqta sistemasini ko'rib chiqaylik. "a" nuqta raqami bo'lsin. Har bir “a” nuqta uchun Nyutonning II qonunini yozamiz dv (1.2) ma a = Fa , dt bu yerda Fa “a” nuqtaga ta’sir etuvchi barcha kuchlarning natijasidir. ma = const ekanligini hisobga olib, dt ga ko‘paytirib, barcha N tenglamalarni (1.2) qo‘shib, t dan t + Dt gacha bo‘lgan chegaralar ichida integrallashsak, N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = bu yerda v a t +Dt N ni olamiz. ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) - “a” nuqtaning t vaqtdagi tezligi, ua = ra (t + D) esa “a” nuqtaning t + Dt vaqtdagi tezligi. Keling, “a” nuqtasida harakat qiluvchi kuchlarni tashqi Faeks (tashqi - tashqi) va ichki Fain (ichki - ichki) kuchlari Fa = Fain + Faeks yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik. Biz "a" nuqtasining o'zaro ta'sir kuchlarini TIZIMga kiritilgan boshqa nuqtalar bilan ichki va tashqi - tizimga kirmagan nuqtalar bilan chaqiramiz. Nyutonning uchinchi qonuni boʻyicha ichki kuchlar yigʻindisi yoʻqolishini koʻrsataylik: ikki jismning bir-biriga taʼsir qiladigan kuchlari kattaliklari boʻyicha teng va yoʻnalishi boʻyicha qarama-qarshi Fab = − Fab, agar “a” va “b” nuqtalar tegishli boʻlsa. TIZIM. Aslida, tizimning boshqa nuqtalaridan "a" nuqtasiga ta'sir qiluvchi kuch 21 N Fain = ∑ Fab ga teng. b =1 U holda N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0. a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Shunday qilib, moddiy nuqtalar sistemasiga ta'sir qiluvchi barcha kuchlar yig'indisi faqat tashqi kuchlar yig'indisiga degeneratsiyalanadi. Natijada N N a =1 a =1 ∑ maua - ∑ ma va = t +Dt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt ni olamiz. (1.3) – moddiy nuqtalar sistemasi impulsining o‘zgarishi tizimga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar impulslariga teng. Agar tizimga ∑F a =1 = 0 tashqi kuchlar ta'sir qilmasa, tizim yopiq deb ataladi. Bunda sistemaning ex a impulsi o'zgarmaydi (saqlangan) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Odatda bu bayonot impulsning saqlanish qonuni sifatida talqin qilinadi. Biroq, kundalik nutqda, biror narsani saqlab qolish deganda, biz bu narsaning mazmunining boshqa narsada o'zgarmasligi haqidagi bayonotni emas, balki bu asl narsa nimaga aylanganligini tushunishni nazarda tutamiz. Agar pul foydali narsani sotib olishga sarflansa, u yo'qolmaydi, balki bu narsaga aylanadi. Ammo agar inflyatsiya tufayli ularning xarid qobiliyati pasaygan bo'lsa, unda o'zgarishlar zanjirini kuzatish juda qiyin bo'lib chiqadi, bu esa saqlanib qolmaslik hissini keltirib chiqaradi. Impulsni o'lchash natijasi, har qanday kinematik miqdor kabi, o'lchovlar amalga oshiriladigan mos yozuvlar tizimiga bog'liq (bu miqdorni o'lchaydigan jismoniy asboblar joylashgan). 22 Klassik (relyativistik bo'lmagan) mexanika turli xil mos yozuvlar tizimlarida kinematik kattaliklarni o'lchash natijalarini taqqoslab, hodisalarning bir vaqtning o'zida bo'lish tushunchasi mos yozuvlar tizimiga bog'liq emas degan taxmindan kelib chiqadi. Shu sababli, harakatsiz va harakatlanuvchi kuzatuvchi tomonidan o'lchanadigan nuqtaning koordinatalari, tezliklari va tezlanishlari orasidagi bog'lanish geometrik munosabatlardir (4-rasm) dr du Tezlik u = = r va tezlanish W = = u , kuzatuvchi K tomonidan o'lchanadi. odatda mutlaq dr ′ tezlik va tezlanish deyiladi. Tezlik u′ = = r ′ va tezlanish dt du′ W ′ = = u ′ , kuzatuvchi K′ tomonidan o'lchanadi – nisbiy tezlik va tezlanish. Va mos yozuvlar tizimining V tezligi va tezlashishi A portativdir. M r′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R 4-rasm – o'lchangan kattaliklarni solishtirish Tezlikni o'zgartirish qonunidan foydalanib, ko'pincha Galileyning tezlikni qo'shish teoremasi deb ataladi, biz impuls uchun olamiz. K va K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma mos yozuvlar tizimlarida o'lchangan moddiy nuqtalar tizimining. Mexanik sistemaning impulsi nolga teng 23 N ∑ m u' = 0, a =1 a a bo'lgan etalon sistema massa markazi yoki inersiya markazi tizimi deyiladi. Shubhasiz, bunday sanoq sistemasining tezligi N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m ga teng. (1.5) a a =1 Tashqi kuchlar bo'lmaganda mexanik tizimning impulsi o'zgarmasligi sababli, massalar markazining tezligi ham o'zgarmaydi. Vaqt o'tishi bilan (1.5) integrallash, koordinatalarning kelib chiqishini tanlashning o'zboshimchaligidan foydalanib (integratsiya konstantasini nolga tenglashtiramiz), biz mexanik tizimning massa markazini (inertsiya markazini) aniqlashga erishamiz. N rc = ∑m r a =1 N a a. ∑m a =1 (1,6) a 1,5. Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan energiyaning saqlanish qonunini chiqarish N ta moddiy nuqta sistemasini ko'rib chiqaylik. Har bir “a” nuqtasi uchun Nyutonning II qonunini (1.2) yozamiz va dr ikkala qismni va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa nuqta tezligiga skalyar ko‘paytiramiz. , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ Oʻzgartirishlardan soʻng ikkala tomonni dt ga koʻpaytirib, t1 dan t2 gacha boʻlgan chegaralar ichida integrallash va ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1) deb faraz qilish. ), ua = va (t2) , biz 24 ma ua2 ma va2 - = 2 2 Ra ∫ (F , dr) ni olamiz. a a (1.7) ra Keyinchalik, Fa kuchini potentsial va dissipativ kuchlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz Fa = Fapot + Faad. Dissipativ kuchlar mexanik energiyaning tarqalishiga olib keladigan kuchlardir, ya'ni. uni boshqa energiya turlariga aylantirish. Potensial kuchlar yopiq tsikldagi ishi nolga teng bo'lgan kuchlardir. A = ∫ (Fapot, dra) = 0 . (1.8) L potentsial maydon gradient ekanligini ko'rsatamiz, ya'ni. ⎛ ∂n a ∂n a ∂n a ⎞ +j +k Fapot = − grad n a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa Darhaqiqat, Stoks teoremasiga muvofiq, biz ter ter ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (rot Fa , ds) , L S yozishimiz mumkin, bu erda S - sirt bilan qoplangan sirt. kontur L 5-rasm. S L 5-rasm – Kontur va sirt Stokes teoremasi ravshan munosabat tufayli (1.9) ning haqiqiyligini isbotlashga olib keladi rot Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇n a ] = 0 , ∇ ∇n 25 t Ya'ni vektor maydon skalyar funksiyaning gradienti bilan ifodalansa, uning yopiq kontur bo'yicha ishi majburiy ravishda nolga teng bo'ladi. Qarama-qarshi fikr ham to'g'ri: agar vektor maydonining yopiq kontur bo'ylab aylanishi nolga teng bo'lsa, u holda har doim mos keladigan skalyar maydonni topish mumkin, uning gradienti berilgan vektor maydoni. (1.9) ni hisobga olgan holda (1.7) munosabatni R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + n a (Ra) ⎬ − ⎨ + n a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra shaklida ifodalash mumkin. ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Jami bizda N ta shunday tenglamalar mavjud. Ushbu tenglamalarning barchasini qo'shib, biz klassik mexanikada energiyaning saqlanish qonunini olamiz 1: tizimning umumiy mexanik energiyasining o'zgarishi dissipativ kuchlar ishiga teng ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + n a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a a + n a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ mavjud boʻlsa () dissipativ kuchlar yo'q, mexanik tizimning umumiy (kinetik ortiqcha potentsial) energiyasi o'zgarmaydi ("konservalangan") va tizim konservativ deb ataladi. 1.6. Dinamikaning asosiy differensial tenglamasidan burchak impulsining saqlanish qonunini chiqarish N ta moddiy nuqta sistemasini ko'rib chiqaylik. Har bir “a” nuqta uchun Nyutonning II qonunini (1.2) yozamiz va chap tomondagi ikkala tomonni vektoriy ravishda nuqtaning radius vektoriga ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a ga ko’paytiramiz. . dt ⎦ ⎣ 1 Mexanik energiyaning o'zgarishi haqidagi bu g'oya, agar biz moddiy materiyaning maydon materiyasiga aylanishi bilan birga bo'lmagan hodisalarni ko'rib chiqsakgina ob'ektiv haqiqatga adekvat bo'lib chiqadi va aksincha. 26 K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) kattalik koordinataga nisbatan Fa kuch momenti deyiladi. Aniq munosabat tufayli d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , d ⎦ t ⎣ d ⎦ t ⎥ ⎣ ⎣ d ⎡ ⎣ ra, ma va ⎤⎦ = Ka. dt Avvalgidek, bunday tenglamalar soni N ga teng va ularni qo'shib, dM =K, (1.12) dt ni olamiz, bu erda N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 qo'shimcha kattalik deyiladi. mexanik tizimning burchak momentumi. Agar sistemaga ta sir etuvchi kuchlar momenti nolga teng bo lsa, u holda sistemaning burchak impulsi saqlanib qoladi N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. Harakatning integrallari 1.4-1.6-bandlarda ko'rib chiqilgan, ma'lum sharoitlarda saqlanadigan miqdorlar: impuls, energiya va burchak impulslari dinamikaning asosiy differentsial tenglamasining yagona integratsiyasi natijasida olinadi - harakat tenglamasi, ya'ni. ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning birinchi integrallari. Shu sababli, bu barcha jismoniy miqdorlar odatda harakat integrallari deb ataladi. Keyinchalik, ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalarini o'rganishga bag'ishlangan bo'limda (Nyutonning konfiguratsiya fazosining ikkinchi qonuni aylantirilgan tenglamalar27) biz harakat integrallarini Nyuton fazosi va vaqti xususiyatlarining natijasi sifatida ko'rib chiqish mumkinligini ko'rsatamiz. . Energiyaning saqlanish qonuni vaqt shkalasining bir hilligining natijasidir. Fazoning bir jinsliligidan impulsning saqlanish qonuni, fazoning izotropiyasidan esa burchak momentining saqlanish qonuni kelib chiqadi. 1.8. Inertial bo'lmagan mos yozuvlar tizimlarida harakat 1.9. Test topshirig'i 1.9.1. Masalani yechishga misol. C1 markazga tortuvchi kuch va markazga nisbatan C2 ga nisbatan itarish kuchi ta’sirida markazlargacha bo’lgan masofalarga proporsional nuqta harakati tenglamalarini toping. Proportsionallik koeffitsientlari mos ravishda k1m va k2m ga teng, bu erda m - M nuqtaning massasi. Vaqtning ixtiyoriy momentidagi markazlarning koordinatalari munosabatlar bilan belgilanadi: X1(t) = acosōt; Y1(t) = asinōt; Z1 = shlt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. Vaqtning dastlabki momentida nuqta koordinatalari x = a; y = 0; z=0 va tezlik vx = vy = vz =0 komponentlar bilan. Masalani k1 > k2 shartida yeching. Ikki F1 va F2 kuchlari ta’sirida moddiy nuqtaning harakati (5-rasm) dinamikaning asosiy differensial tenglamasi – Nyutonning ikkinchi qonuni bilan aniqlanadi: mr = F1 + F2, bu erda belgi ustidagi ikkita nuqta vaqt bo‘yicha takroriy differensiallanishni bildiradi. . Masalaning shartlariga ko'ra F1 va F2 kuchlari munosabatlar bilan aniqlanadi: 28 F1 = - k1mr1 ; F2 = k2 mr2. Kerakli miqdor M nuqtaning radius vektoridir, shuning uchun r1 va r2 vektorlari radius vektori va ma'lum vektorlar R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ōt + ja sin orqali ifodalanishi kerak. ōt + k cosh lt va R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh lt, bu erda i, j, k Dekart koordinata tizimining bazis vektorlari. M r1 r r2 S1 R1 R2 O S2 “O” - koordinatalarning boshi, R1 va R2 - tortishish va itaruvchi markazlarning radius vektorlari, r - M nuqtaning radius vektori, r1 va r2 - pozitsiyani aniqlovchi vektorlar. M nuqtaning markazlarga nisbatan. 6-rasm - Ikki markaz maydonidagi M nuqta 6-rasmdan r1 = r - R1 ni olamiz; r2 = r - R2. Bu munosabatlarning barchasini Nyutonning ikkinchi qonuniga almashtirib, tenglamaning har ikki tomonini m massaga bo‘lib, koeffitsientlari doimiy bo‘lgan ikkinchi tartibli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamani olamiz: r + (k1 - k2)r = k1a (i cos ōt + j sin). ōt) + k (k1 - k2)ch lt . Muammoning shartlariga ko'ra, k1 > k2 bo'lgani uchun, belgini kiritish mantiqiy bo'ladi - musbat qiymat k2 = k1 - k2. Keyin hosil bo'lgan differensial tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: r + k 2 r = k1a (i cos ōt + j sin ōt) + k 2ch lt. Bu tenglamaning yechimini bir jinsli ro + k 2 ro = 0 tenglamaning umumiy yechimi ro va bir jinsli tenglamaning xususiy yechimi rch r = ro + rch yig‘indisi ko‘rinishida izlash kerak. Umumiy yechimni qurish uchun l2 + k2 = 0 xarakteristikasi tenglamani tuzamiz, uning ildizlari xayoliy: l1,2 = ± ik, bu erda i = -1. Shu sababli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi r = A cos kt + B sin kt ko‘rinishda yozilishi kerak, bunda A va B vektor integrasiya konstantalari. Aniqlanmagan a1, a 2, a 3 rc = a1 cos ōt + a 2 sin ōt + a 3ch lt, rc = -ō2a1 cos ōt - ō2 koeffitsientlarini kiritish orqali o'ng tomonning shakli bilan muayyan yechim topish mumkin. 2 sin ōt + l 2a 3ch lt. Bu yechimni bir jinsli bo'lmagan tenglamaga qo'yib, tenglamalarning chap va o'ng tomonlaridagi bir xil vaqt funksiyalari uchun koeffitsientlarni tenglashtirib, noaniq koeffitsientlarni aniqlovchi tenglamalar tizimini olamiz: a1 (k 2 - ō2) = iak1 ; a 2 (k 2 - ō2) = jak1 ; a 3 (k 2 + l 2) = ik 2. Demak, bir jinsli bo lmagan tenglamaning umumiy yechimi 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh lt ko rinishga ega bo ladi. (cos ō + sin ō) + k 2 - ō2 k 2 + l2 Integratsiya konstantalari dastlabki shartlardan aniqlanadi, ularni vektor ko‘rinishida yozish mumkin: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0 . Integratsiya konstantalarini aniqlash uchun nuqtaning ixtiyoriy vaqt momentidagi tezligini bilish kerak ōk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ōt k −ō 2 lk + j) cos ōt) + 2 k sinh lt. k + l2 Topilgan eritmaga dastlabki shartlarni qo yib, (t = 0) hosil bo ladi: k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ōa. 2 k −ʼn k +l k −ō Bu yerdan integrallash konstantalarini topamiz va ularni k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch lt − cos kt) harakat tenglamalaridagi tenglamaga almashtiramiz. ō k + l2 Bu ifoda vektor ko'rinishdagi harakatning kerakli tenglamalarini ifodalaydi. Ushbu harakat tenglamalarini, shuningdek, ularni izlashning butun jarayonini Dekart koordinata tizimining o'qlari bo'yicha proyeksiyalarda yozish mumkin. + 1.9.2. Test topshiriqlarining variantlari O1 markazga tortish kuchi va O2 markazdan itarish kuchi ta’sirida moddiy nuqtaning harakat tenglamalarini toping. Kuchlar markazlarga bo'lgan masofalarga proportsionaldir, mutanosiblik koeffitsientlari mos ravishda k1m va k2m ga teng, bu erda m - nuqta massasi. 31 ta markazning koordinatalari, dastlabki shartlar va koeffitsientlarga qo'yiladigan shartlar jadvalda keltirilgan. Birinchi ustunda variant raqami mavjud. Toq variantlarda k1 > k2, toq variantlarda k2 > k1 ko‘rib chiqiladi. Nazorat topshiriqlarining variantlari 1-jadvalda keltirilgan. Ikkinchi va uchinchi ustunlarda t ning ixtiyoriy momentidagi tortishish va itarish markazlarining koordinatalari ko'rsatilgan. Oxirgi oltita ustunlar integratsiya konstantalarini aniqlash uchun zarur bo'lgan moddiy nuqtaning boshlang'ich koordinatalarini va uning boshlang'ich tezligining tarkibiy qismlarini aniqlaydi. 1-jadval. Test ishining variantlari 1. a, b, c, R, l va ō kattaliklar doimiy kattaliklardir 1-variant 1 Markazning koordinatalari O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + kosh lt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt; X 2 = X 1 + achit; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt; Y2 = Y1 + R cos ōt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ōt. X 1 = a + bt; X 2 = X 1 + ach lt; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashht; Z1 = R cos ōt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ōt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ōt; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ōt; Boshlang'ich qiymatlar Y2 = Y1 + R sin ōt ; lt 2 Markazning koordinatalari O2 Y2 = Y1 + kul lt; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 1-jadvalning davomi 1 6 7 2 X 1 = kul lt; 3 X 2 = Y1 + R cos ōt; Y1 = ach lt; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ōt. X 1 = ct; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ōt; Z 2 = R sin ōt. Z1 = ae lt. 8 4 X 1 = kul lt; X 2 = X 1 + RCosōt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach lt. Z 2 = Z1 + RSinōt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ōt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ōt; Z 2 = e -lt. lt Z1 = ae. 10 X 1 = a + ct 3; Y1 = a + bt; Z1 = aett. 11 X 1 = a + bt 2; Y1 = ach lt; Z1 = kul lt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ōt; Z 2 = R sin ōt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ōt; Z 2 = Z1 + R sin ōt. X 2 = R sin ōt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt; 4 Z1 = a + bt. 4 13 X 1 = kul lt; Y1 = 0; Z1 = ach lt. 14 X 1 = ae−2lt ; Y1 = ae 2 lt; Z1 = a + bt + ct 4. 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ōt; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ōt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct; 3 Z 2 = Z1 + R sin ōt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ōt. 33 1-jadval oxiri 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae -2 lt 2 lt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = kul lt; Y2 = 0; Z1 = ach lt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ōt ; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2; Y2 = Y1; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ōt ; X 2 = X 1 + kul lt; Y1 = 0; Y2 = a + bt; Z1 = R sin ōt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ōt; 2 19 Z 2 = a cos ōt. X 2 = a sin ōt ; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4. 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach lt. X1 = X2; X 2 = a + bt; Y1 = 0; Y2 = kul; Z1 = 0. Z 2 = achit. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinōt; Y1 = 0; Y2 = aCosōt; Z1 = a + bt + ct 4. Z 2 = 0. X 1 = kul; X 2 = 0; Y1 = achit; Y2 = a + bt + ct; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Test topshirig‘i uchun adabiyotlar 1. Meshcherskiy I.V. Nazariy mexanikadan masalalar to‘plami. M., 1986. B. 202. (Muammolar No 27.53 - 27.56, 27.62, 27.63). 2. Olxovskiy I.I. Fiziklar uchun nazariy mexanika kursi. M., 1974. S. 43 – 63. 34 1.10. Yakuniy nazorat (imtihon) testlari 1.10.1. A maydoni A.1.1. Moddiy nuqta dinamikasi uchun asosiy differensial tenglama... ko'rinishga ega. A.1.2. Dinamikaning bevosita masalasini yechish degani... A1.3. Dinamikaning teskari masalasini yechish degani... A.1.5. Moddiy nuqtalar sistemasiga ta'sir etuvchi ichki kuchlar yig'indisi... tufayli yo'qoladi. A.1.6. Kuch impulsi... A.1.7. Inertsiya markazi sistemasi mos yozuvlar tizimi bo'lib, unda A.1.8. Massa markazi... A.1.9. Massalar markazining koordinatalari A.1.10 formula bilan aniqlanadi. Inersiya markazining tezligi... formula bilan aniqlanadi. A.1.11. Moddiy nuqtalar sistemasining impuls momentining saqlanish qonuni eng umumiy shaklda... A.1.12. Potensial kuch maydoni ... munosabati bilan aniqlanadi (asosiy ta'rif) A.1.13. Potensial kuch maydoni ... munosabati bilan aniqlanadi (asosiy ta'rifning natijasi) A.1.14. Agar F maydoni potentsial bo'lsa, u holda... A.1.15. Moddiy nuqtalar sistemasining burchak impulsi miqdori... A.1.16. Mexanik sistemaga tasir etuvchi kuchlar momentini munosabat bilan aniqlash mumkin... A.1.17. Agar mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar momenti nolga teng bo'lsa, u holda ... A.1.18 saqlanadi. Agar mexanik tizimga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda ... A.1.19 saqlanadi. Dissipativ kuchlar mexanik tizimga ta'sir qilmasa, u holda ... A.1.20 qoladi. Mexanik tizim yopiq deb ataladi, agar 35 1.10.2. B ua B.1.1 maydoni. ∑ ∫ d (m d v) a a a va integralini hisoblash natijasi ... B.1.2 ifodasidir. Mexanik sistemaning K sanoq sistemasidagi impulsi unga nisbatan V tezlik bilan harakatlanayotgan sanoq sistemasi K′ impulsi bilan ... munosabati bilan bog’liq. B.1.3. Agar F = -∇n bo'lsa, u holda... B.1.4. F = −∇n kuchining yopiq aylana bo‘ylab bajargan ish … d va2 B1 tufayli yo‘qoladi. 5. Vaqt hosilasi ... dt ga teng B.1.6. Impuls momentining vaqt hosilasi d ... dt ga teng 1.10.3. C maydoni C.1.1. Agar m massali nuqta t vaqtda uning koordinatalari x = x(t), y = y(t), z = z (t) bo'ladigan darajada harakatlansa, unga F kuch, Fx (Fy) komponent ta'sir qiladi. , Fz) ga teng... C.1.2. Agar nuqta kmr kuch ta'sirida harakatlansa va t = 0 da uning koordinatalari (m) (x0, y0, z0) va tezligi (m/s) (Vx, Vy, Vz) bo'lsa, u holda hozirgi vaqtda t = t1 s uning koordinatasi x ga teng bo'ladi...(m) C.1.3. Tomonlari a, b va c boʻlgan toʻgʻri burchakli parallelepipedning choʻqqilarida m1, m2, m3 va m4 nuqta massalari joylashgan. Inersiya markazining koordinatasini (xc, yc, zc) toping. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x 7-rasm – C.1.3 C.1.4-topshiriq uchun. Uzunlikdagi tayoqning zichligi r = r(x) qonuniga ko'ra o'zgaradi. Bunday tayoqning massa markazi koordinatadan uzoqda joylashgan... C.1.5. Koordinatalari x = a, y = b, z = c bo'lgan nuqtaga F = (Fx, Fy, Fz) kuch qo'llaniladi. Bu kuch momentining koordinatalar boshiga nisbatan proyeksiyalari teng... 37 2. MARKAZIY SIMMETRIK MAYDONDAGI HARAKAT 2.1. “Foydalanish” bo‘limining tuzilishi Egri chiziqli koordinatalarda tezlik va tezlanish Tenzor tahlili “izlar” “foydalanish” Boshqarish bloki harakatining integrallari “izlar” “foydalanish” Sektor tezligi Vektor mahsuloti “izlar” “foydalanish” Traektoriya tenglamasi Aniq integral “izlar” "" "foydalanadi" "foydalanadi" "Ruterford formulasi Steradian 8-rasm - "markaziy simmetrik maydon" bo'limining tuzilishi 38 2.2. Markazi simmetrik maydon tushunchasi Moddiy nuqtaning potentsial energiyasi faqat r dan qandaydir “O” markazgacha bo'lgan masofaga bog'liq bo'lgan maydonni markaziy simmetrik deb ataymiz. Agar Dekart koordinata tizimining kelib chiqishi "O" nuqtasiga joylashtirilsa, u holda bu masofa nuqtaning radius vektorining moduli bo'ladi, ya'ni. P = P(r), r = x 2 + y 2 + z 2. Potensial maydonning ta’rifiga muvofiq nuqtaga ∂Ln ∂n ∂r ∂Ln r ∂n (2.1) F =− =− =− =− er ta’sir qiladi. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r Bunday maydonda ekvipotensial sirtlar P(r) = const sferik koordinatalarda r = const koordinata sirtlari bilan mos tushadi. Dekart koordinatalarida uchta nolga teng bo'lmagan komponentga ega bo'lgan kuch (2.1), sferik koordinatalarda faqat bitta nolga teng bo'lmagan komponentga ega - bazis vektoriga proyeksiya er. Yuqoridagilarning barchasi bizni sferik koordinatalarga o'tishga majbur qiladi, ularning simmetriyasi fizik maydonning simmetriyasiga to'g'ri keladi. Sferik koordinatalar ortogonal egri chiziqli koordinatalarning alohida holatidir. 2.3. Egri chiziqli koordinatalardagi tezlik xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) dekart koordinatalari, p = p i(xk) esa egri chiziqli koordinatalar bo lsin – Dekart koordinatalarining birma-bir funksiyalari. Ta'rifga ko'ra, tezlik vektori dr (pi (t)) ∂r ∂li v= = i = ei i , (2.2) ∂l ∂t dt, bunda ∂r ei = i (2.3) ∂l i 39 vektorlari deb atalmish koordinatali (golonomik yoki integral) asos. Tezlik vektorining kvadrati v 2 = (ei, e j) l i p j = gij l i p j ga teng. Miqdorlar ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j∂j l∂l∂l⎾ p ∂l ∂l ∂l ∂l metrik tensorning kovariant komponentlarini ifodalaydi. Moddiy nuqtaning egri chiziqli koordinatalarda kinetik energiyasi mv 2 1 T= = mgij i p j ko rinishni oladi. (2.5) 2 2 2.4. Egri chiziqli koordinatalarda tezlanish Egri chiziqli koordinatalarda nafaqat harakatlanuvchi nuqtaning koordinatalari vaqtga, balki u bilan birga harakatlanuvchi bazis vektorlariga ham bog'liq bo'lib, ular uchun kengayish koeffitsientlari tezlik va tezlanishning o'lchangan komponentlari hisoblanadi. Shu sababli egri chiziqli koordinatalarda nuqta koordinatalarigina emas, balki dei (pi (t)) d v dei li (t) i i bazis vektorlari ham differensiallanadi. (2.6) W= = = ei p + p dt dt dt Kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasi bo'yicha dei (pi (t)) ∂ei d p j = j ∂l dt dt Vektorning hosilasiga nisbatan. koordinata ham vektor∂ei torusdir, shuning uchun to'qqiz vektorning har biri ∂l j bazis vektorlariga kengaytirilishi mumkin ∂ei (2.7) = Dijk ek . j ∂l 40 Dijk kengayish koeffitsientlari afin ulanish koeffitsientlari deyiladi. Affin bog'lanish koeffitsientlari aniqlangan bo'shliqlar afin bog'lanish fazolari deyiladi. Affin bog'lanish koeffitsientlari nolga teng bo'lgan bo'shliqlar afin fazolar deyiladi. Affin fazoda, eng umumiy holatda, faqat har bir o'q bo'ylab ixtiyoriy masshtabli to'g'ri chiziqli qiya koordinatalar kiritilishi mumkin. Bunday fazodagi bazis vektorlari uning barcha nuqtalarida bir xil. Agar koordinata asosi (2.3) tanlansa, u holda affin bog'lanish koeffitsientlari pastki yozuvlarda simmetrik bo'lib chiqadi va bu holda ular Kristoffel belgilari deb ataladi. Kristoffel belgilarini metrik tenzorning komponentlari va ularning koordinata hosilalari ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 D ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬ koordinatalari bilan ifodalash mumkin. ∂l ∂li ⎭ 2 ⎩ ∂l gij kattaliklar metrik tenzorning kontravariant komponentlari - matritsaning gijga teskari elementlari. Tezlanish vektorining asosiy bazis vektorlari bo'yicha kengayish koeffitsientlari Dl k k k k i j W = p + dij p p =. (2.9) dt tezlanish vektorining kontravariant komponentlarini ifodalaydi. 2.5. Sferik koordinatalarda tezlik va tezlanish Sferik koordinatalar p1 = r, p2 = th, p3 = z dekart koordinatalari x, y va z bilan quyidagi munosabatlar orqali bog'lanadi (9-rasm): x = rsinthicosō, y = rsinths,zos = . 41 z th y r z x x 9-rasm – Dekart koordinatalari x, y, z sferik koordinatalar bilan r, th, s o‘rtasidagi munosabat. Bu munosabatlarni (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂11 = (2.4) ifodaga almashtirib, metrik tenzorning komponentlarini topamiz. 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂l ∂l ∂l ∂l ∂l ∂l ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂2 2 2 g = 2 ∂ 2 + z + 2 ∂ 2 = ∂ p ∂ p ∂l ∂l ∂l ∂l 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎟⎜ = ⎟; ⎝ ∂th ⎠ ⎝ ∂th ⎠ ⎝ ∂th ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂l ∂l ∂l ∂l 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 sin 2 th. ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ∂s ⎠ Metrik tenzorning diagonal bo'lmagan komponentlari nolga teng, chunki sharsimon koordinatalar ortogonal egri chiziqli koordinatalardir. Buni to'g'ridan-to'g'ri hisob-kitoblar yoki asosiy vektorlarning koordinata chiziqlariga teginishlar qurish orqali tekshirish mumkin (10-rasm). er ew th eth 10-rasm - Sferik koordinatalardagi koordinatali chiziqlar va bazis vektorlari Asosiy va o'zaro bazislardan tashqari, ko'pincha jismoniy bazis deb ataladigan narsa qo'llaniladi - koordinata chiziqlariga teginish birlik vektorlari. Shu asosda vektor komponentlarining fizik o'lchami, odatda jismoniy deb ham ataladi, uning modulining o'lchami bilan mos keladi, bu baza nomini belgilaydi. Metrik tenzorning hosil bo'lgan komponentlarini (2.5) ga almashtirib, sferik koordinatalarda 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2th2 + r 2 sin 2 th2 dagi moddiy nuqtaning kinetik energiyasining ifodasini olamiz. 2 2 Sferik koordinatalar markaziy simmetrik maydonning simmetriyasini aks ettirgani uchun (2.10) ifoda moddiy nuqtaning markaziy simmetrik maydondagi harakatini tasvirlash uchun ishlatiladi. () 43 (2.9) formuladan foydalanib tezlanishning kontravariant komponentlarini topish uchun avvalo matritsa elementlari sifatida metrik tenzorning kontravariant komponentlarini topish kerak, teskari matritsa gij, keyin esa (2.8) formulalarga muvofiq Kristoffel belgilari. Gij matritsa ortogonal koordinatalarda diagonal bo'lgani uchun uning teskari matritsasining elementlari (shuningdek diagonal) oddiygina gij elementlariga teskari: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2th. Keling, birinchi navbatda Kristoffel belgilaridan qaysi biri nolga teng bo'lmasligini bilib olaylik. Buning uchun ustki belgisini 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 D1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ ga teng qilib, (2.8) munosabatni yozamiz. 2 ∂l ⎭ ⎩ ∂l ∂l Metrik tenzorning diagonal bo'lmagan komponentlari nolga teng va g11 = 1 komponenti (doimiy) bo'lgani uchun qavs ichidagi oxirgi ikki had nolga aylanadi va birinchi had bo'lmagan bo'ladi. i = j = 2 va i = j = 3 uchun nol. Shunday qilib, yuqorida indeks 1 bo'lgan Christoffel belgilari orasida faqat D122 va D133 nolga teng bo'lmaydi. Xuddi shunday, biz yuqorida 2 va 3 indekslari bilan nolga teng bo'lmagan Christoffel belgilarini topamiz. Jami 6 ta nolga teng boʻlmagan Kristoffel belgilari mavjud: D122 = −r ; D133 = - r sin 2 th; 1 2 2 D12 = D 221 =; D33 = − sin th cos th; r 1 3 D13 = D331 =; D323 = D332 = ctgs. r (2.11) Bu munosabatlarni (1.3) ifodaga almashtirib, sferik koordinatalarda kontravariant tezlanish komponentlarini olamiz: 44 W 1 = p1 + D122l 2 l2 + D133l3z3 = r - rth2 - r sin2; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = p 2 + 2D12 p p + D33 p p = th + r th - sin th cos th2; (2.12) r 2 3 1 3 Vt 3 = p3 + 2D13 p p + 2D323l2 p3 = z + r z + 2ctgthu. r 2.6. Markazi simmetrik maydondagi harakat tenglamalari Sferik koordinatalarda kuch vektori faqat bitta nolga teng bo'lmagan komponentga ega d p (r) (2.13) Fr = − dr Shu sababli moddiy nuqta uchun Nyutonning ikkinchi qonuni d N (r) ko'rinishni oladi. ) (2.14) mVt 1 = m r - r th2 - r sin 2 thu2 = - dr 2 (2.15) W 2 = th + rth - sin th cos thu2 = 0 r 2 (2.16) W th 3 + th th = 0 r (2.15 ) tenglama ikkita qisman yechimga ega ⎧0 ⎪ th = ⎨p (2.17) ⎪⎩ 2 Bu yechimlarning birinchisi egri chiziqli koordinatalarga qo’yilgan shartga zid keladi, th = 0 bo’lganda JK = o’zgarishlarning yakobian vanishesi. g = r 2 sin th = 0 ( ) th= 0 Ikkinchi yechim (2.17) ni hisobga olgan holda (2.14) va (2.16) tenglamalar d N (r) (2.18) m (r − r s2) = ko‘rinishda bo‘ladi. − dr 45 2 (2.19) s + rru = 0 r (2.19) tenglama d s dr = r s o‘zgaruvchilarni va birinchi integral r 2s = C, (2.20) ni ajratish imkonini beradi, bunda C integrallash doimiysi. Keyingi paragrafda bu konstanta sektor tezligining ikki barobarini ifodalashi va shuning uchun integralning o'zi (2.20) Keplerning ikkinchi qonuni yoki maydon integrali ekanligi ko'rsatiladi. (2.18) tenglamaning birinchi integralini topish uchun (2.18) ga almashtiramiz. 18) munosabat (2.20) ⎛ C2 ⎞ d N (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ va o‘zgaruvchilarni ajrating dr 1 dr 2 C 2 1 d N (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr Integrallash natijasida ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + n (r) = const = E = T + n (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ni olamiz. ⎝ 2 t. e. (2.17) va (2.20) ni (2.10) ga almashtirish orqali tekshirish oson bo'lgan mexanik energiyaning saqlanish qonuni. 2.7. Sektor tezligi va sektor tezlashuvi Sektor tezligi – qiymat, raqamli maydoniga teng, vaqt birligidagi nuqtaning radius vektori bilan taralgan dS s= . dt 11-rasmdan ko'rinib turibdiki 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ], 2 2 va sektor tezligi 1 (2.22) s = ⎡⎣ r, r ⎤⎦ munosabati bilan aniqlanadi. 2 Silindrsimon koordinatalarda tekis harakatda r = ix + jy, x = r cos s, y = r sin z (2.22) i j k 1 1 1 s = x y 0 = kr 2s = C ko rinishni oladi. (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS 11-rasm – Radius vektori bo lgan maydon Shunday qilib, C integrallash konstantasi sektor tezligidan ikki baravar katta. (2.22) ifodaning vaqt hosilasini hisoblab, sektor tezlanishi 47 1 ⎡r , r ⎤ ni olamiz. (2.24) 2⎣ ⎦ Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra, (2.24) ifoda kuchning massaga bo'lingan yarmini ifodalaydi va bu momentni nolga aylantirish burchak momentumining saqlanishiga olib keladi (1.2-bo'limga qarang). Sektor tezligi burchak momentining yarmini massaga bo'linadi. Boshqacha qilib aytganda, markazlashgan simmetrik maydondagi harakat tenglamalarining birinchi integrallarini harakatning differensial tenglamalarini aniq integrallashsiz yozish mumkin edi, faqat 1) harakat dissipativ kuchlar bo'lmaganda sodir bo'ladi; 2) kuchlar momenti 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) m nolga aylanadi. s= 2,8. Gravitatsiya maydoni va Kulon maydonidagi moddiy nuqtaning harakat tenglamasi 2.8.1. Samarali energiya (2.21) munosabatidagi o'zgaruvchilar osongina ajratiladi dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2n (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ va natijada (2.26) munosabatni tahlil qilish mumkin. Kulon va tortishish maydonlarida potentsial energiya markazgacha bo'lgan masofaga teskari proportsionaldir a ⎧a > 0 – tortishish kuchi; n (r) = - ⎨ (2.27) r ⎩a< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Umumiy energiya massasi M va radiusi R bo'lgan sayyora yuzasida joylashgan nuqta mv 2 GMm a2 - = - munosabati bilan aniqlanadi. E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Nuqtaning traektoriyasi giperboladir. Nuqtaning umumiy energiyasi noldan katta. 2.9. Ikki tana muammosini bitta tana muammosiga kamaytirish. Kichraytirilgan massa Ikki jismning faqat bir-biri bilan o'zaro ta'sir kuchi ta'sirida harakatlanishi masalasini ko'rib chiqamiz (14-rasm) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O - koordinatalarning kelib chiqishi; m1 va m2 – oʻzaro taʼsir qiluvchi jismlarning massalari 14-rasm – Ikki tanali masala Har bir jism uchun Nyutonning ikkinchi qonunini yozamiz 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) r vektor uchun r = r2 - r1 ga egamiz. (2.36) r1 va r2 vektorlarini r vektor orqali ifodalash masalasini qo'yaylik. Buning uchun (2.36) tenglamaning o'zi etarli emas. Ushbu vektorlarni aniqlashdagi noaniqlik koordinatalarning kelib chiqishini tanlashning o'zboshimchalik bilan bog'liq. Ushbu tanlovni hech qanday tarzda cheklamasdan, r1 va r2 vektorlarini r vektori bo'yicha yagona ifodalash mumkin emas. Koordinatalarning kelib chiqishi pozitsiyasi faqat ushbu ikki jismning pozitsiyasi bilan aniqlanishi kerakligi sababli, uni tizimning massa markazi (inertsiya markazi) bilan birlashtirish mantiqan to'g'ri keladi, ya'ni. m1r1 + m2 r2 = 0 ni qo'ying. (2.37) r2 vektorini r1 vektor yordamida (2.37) yordamida ifodalab, (2.36) ga almashtirsak, m2 m1 r1 = - r ni olamiz; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Bu munosabatlarni (2.35) ga almashtirib, ikkita tenglama oʻrniga bitta mr = F (r) hosil boʻladi, bu yerda m miqdori kiritiladi, kamaytirilgan massa mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Shunday qilib, ikki jismning bir-biriga o'zaro ta'sir qilish maydonidagi harakati muammosi inertsiya markazidagi markazlashtirilgan simmetrik maydonda massasi kamaygan nuqtaning harakati muammosiga keltiriladi. 53 2.10. Rezerford formulasi Oldingi paragraf natijalariga ko'ra, ikkita zarrachaning to'qnashuvi va ularning keyingi harakati muammosini statsionar markazning markaziy maydonidagi zarrachaning harakatiga keltirish mumkin. Bu masala E.Rezerford tomonidan moddaning atomlari tomonidan a-zarrachalarning sochilishiga oid tajriba natijalarini tushuntirish uchun koʻrib chiqilgan (15-rasm). dch dch Vm dr V∞ r 15-rasm – rm s s ch a-zarrachaning statsionar atom tomonidan sochilishi Atom tomonidan buritilgan zarrachaning traektoriyasi tarqalish markazidan tushirilgan traektoriyaga perpendikulyarga nisbatan simmetrik boʻlishi kerak ( asimptotlar hosil qilgan burchakning bissektrisasi). Bu vaqtda zarracha markazdan rm eng qisqa masofada joylashgan. a-zarrachalar manbai joylashgan masofa rm dan ancha katta, shuning uchun zarracha cheksizlikdan harakatlanmoqda deb taxmin qilishimiz mumkin. Bu zarrachaning cheksizlikdagi tezligi 15-rasmda V∞ bilan ko'rsatilgan. Tezlik vektori V∞ chizig'ining tarqalish markazidan o'tuvchi unga parallel bo'lgan chiziqdan r masofasi zarba masofasi deyiladi. Tarqalgan zarracha traektoriyasining markaziy chiziq bilan (bir vaqtning o'zida qutb koordinata tizimining qutb 54 o'qi) asimptotasidan hosil bo'lgan burchak ch tarqalish burchagi deb ataladi. Tajribaning o'ziga xosligi shundaki, ta'sir masofasini, qoida tariqasida, tajriba davomida aniqlab bo'lmaydi. O'lchovlar natijasi faqat tarqalish burchaklari ma'lum bir intervalga tegishli bo'lgan dN zarrachalar soni bo'lishi mumkin [ch,ch + dc]. Vaqt birligiga tushadigan N zarrachalar sonini ham, ularning oqim zichligini ham n = (S - tushayotgan nurning ko'ndalang kesimi maydoni) aniqlab bo'lmaydi. Shu sababli, (2.39) dN formula bilan aniqlangan samarali sochilish kesimi ds deb ataladigan narsa sochilish xarakteristikasi sifatida qabul qilinadi. (2.39) ds = n Oddiy hisoblash natijasida olingan dN n/ 2prd r = = 2prd r ds = n n/ ifodasi tushayotgan zarrachalar oqimining zichligiga bog’liq emas, lekin baribir zarba masofasiga bog’liq. Tarqalish burchagi ta'sir masofasining monotonik (monotonik kamayuvchi) funksiyasi ekanligini ko'rish qiyin emas, bu esa samarali sochilish kesimini quyidagicha ifodalash imkonini beradi: dr (2,40) d s = 2pr dc . dch dr< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным chiziqli tenglamalar ikkinchi tartibli yoki ō = ō1 + iō2 yordamchi kompleks o'zgaruvchisi yordamida. Bu tenglamalarning ikkinchisini i = −1 ga ko‘paytirib, ō kompleks qiymati uchun birinchisini qo‘shib, dō = iŌō tenglamani olamiz, uning dt yechimi ō = AeiŌt ko‘rinishga ega bo‘ladi, bu erda A - integrasiya konstantasi. Haqiqiy va xayoliy qismlarni tenglashtirib, ō1 = AcosŌt, ō2 = AsinŌt ni olamiz. Burchak tezligi vektorining yuqori simmetriya o'qiga perpendikulyar tekislikka proyeksiyasi ō⊥ = ō12 + ʼn22 = const, kattaligi doimiy bo'lib, x3 o'qi atrofida burchak tezligi (3,26) bilan burchak deb ataladigan doirani tasvirlaydi. presessiya tezligi. 3.10. Eyler burchaklari Eyler teoremasi: Qattiq jismning qo'zg'almas nuqta atrofida o'zboshimchalik bilan aylanishini qo'zg'almas nuqtadan o'tuvchi uchta o'q atrofida ketma-ket uchta aylanish orqali 82 bajarish mumkin. Isbot. Faraz qilaylik, jismning yakuniy holati koordinata sistemasining O'z o'rni bilan berilgan va aniqlanadi (25-rasm). Oxy va OlēĶ tekisliklari kesishuvining ON to'g'ri chizig'ini ko'rib chiqaylik. Bu to'g'ri chiziq tugunlar chizig'i deb ataladi. Keling, ON tugunlari chizig'ida ijobiy yo'nalishni tanlaylik, shunda Oz o'qidan Oz o'qiga eng qisqa o'tish tugunlar chizig'ining ijobiy yo'nalishidan ko'rib chiqilganda ijobiy yo'nalishda (soat miliga teskari) aniqlansin. z Ķ ē th N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i s x ps n ps y′ th y s e1 j p N 25-rasm – Eyler burchaklari s burchak ostida birinchi aylanish (Oks o‘qining musbat yo‘nalishlari orasidagi burchak va tugunlar chizig'i ON) Oz o'qi atrofida amalga oshiriladi. Birinchi aylanishdan so'ng, vaqtning boshlang'ich momentida Ox o'qi bilan mos keladigan O' o'qi ON tugunlari chizig'iga, O' o'qi Oy" to'g'ri chiziqqa to'g'ri keladi. th burchak ostida ikkinchi aylanish amalga oshiriladi. tugunlar chizig'i atrofida. Ikkinchi aylanishdan so'ng O'n tekisligi o'zining yakuniy pozitsiyasiga to'g'ri keladi. O' o'qi baribir ON tugunlari chizig'iga to'g'ri keladi, O' o'qi 83 to'g'ri chiziq Oy" bilan mos keladi. O' o'qi uning yakuniy holatiga to‘g‘ri keladi.Uchinchi (oxirgi) aylanish OZ o‘qi atrofida ps burchak bilan amalga oshiriladi.Harakatlanuvchi tizim o‘qi uchinchi aylangandan so‘ng koordinatalar o‘zining oxirgi, oldindan belgilangan holatini oladi.Teorema isbotlangan. yuqorida ko'rinib turibdiki s, th va ps burchaklar qo'zg'almas nuqta atrofida harakatlanuvchi jismning o'rnini aniqlaydi.Bu burchaklar deyiladi: s - pretsessiya burchagi, th - nutatsiya burchagi va ps - burchakning o'z aylanishi.. Shubhasiz, har bir moment. vaqt jismning ma'lum bir pozitsiyasiga va Eyler burchaklarining ma'lum qiymatlariga to'g'ri keladi.Binobarin, Eyler burchaklari vaqt funktsiyalari bo'ladi s = s (t), th = th (t) va ps = ps (t) . Bu funksional bog`liqliklar qattiq jismning qo`zg`almas nuqta atrofida harakatlanish tenglamalari deb ataladi, chunki ular uning harakat qonunini aniqlaydi. Aylanadigan koordinatalar sistemasida istalgan vektorni yozish uchun qattiq jismga muzlatilgan aylanuvchi koordinatalar sistemasining e1, e2, e3 vektorlari orqali i, j, k statsionar koordinatalar sistemasining bazis vektorlarini ifodalash kerak. Shu maqsadda biz uchta yordamchi vektorni kiritamiz. Tugunlar qatorining birlik vektorini n bilan belgilaymiz. Ikki yordamchi koordinatali uchburchak tuzamiz: n, n1, k va n, n2, k, o‘ng qo‘l koordinatalar sistemasi sifatida yo‘naltirilgan (22-rasm), vektor n1 Oksi tekislikda, vektor n2 esa O‘n tekislikda. Koordinatalar sistemasining tinch holatda birlik vektorlarini shu yordamchi vektorlar orqali ifodalaymiz 84 i = n cos s − n1 sin z; j = n sin s + n1 cos z; (3.27) k = e3 cos th + n 2 sin th. Yordamchi vektorlar, o'z navbatida, n = e1 cos ps - e2 sin ps aylanadigan koordinatalar sistemasi vektorlari orqali oson ifodalanishi mumkin; n1 = n 2 cos th - e3 sin th; (3.28) n 2 = e1 sin ps + e2 cos ps. (3.27) ni (3.28) ga almashtirib, statsionar koordinatalar sistemasining bazis vektorlari va aylanuvchi koordinatalar sistemasining bazis vektorlari i = (e1 cos ps − e2 sin ps) cos s − −[(e1) o‘rtasidagi yakuniy bog‘lanishni olamiz. sin ps + e2 cos ps) cos th − e3 sin th]sin ϕ = = e1 (cos ps cos s − sin ps sin ϕ cos th) − − e2 (sin ps cos ph + e2 cos ps sin ϕ cos th) e3 sin s sin th; j = (e1 cos ps − e2 sin ps) sin ph + +[(e1 sin ps + e2 cos ps) cos th − e3 sin th]cos ϕ = = e1 (cos ps sin ϕ + cos ps sin ps cos th) + + e2 (− sin ps sin ϕ + cos s cos ps cos th) − e3 sin th cos z; k = e3 cos th + (e1 sin ps + e2 cos ps) sin th = = e1 sin ps sin th + e2 cos ps sin th + e3 cos th. Bu o'zgarishlarni L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 matritsa shaklida yozish mumkin. L31 L32 L33 Aylanish matritsasi L11 = cospscosŕ – sinpssinϕcosth elementlari bilan aniqlanadi; L12 = cospssinu + sinpscosϕcosth; 85 L13 = sinps; L21 = sinpscosŕ + cospssinϕcosth; L22 = – sinpssinu + cospscosϕcosth; L23 = cospssinth; L31 = sinusinth; L32 = –sinthcosŕ; L11 = costh. U holda umumiy koordinata atrofida aylanish burchak tezligining ixtiyoriy vektorining komponentlarini qattiq jismga muzlatilgan aylanuvchi koordinata tizimidagi burchak tezligining komponentlari orqali quyidagicha ifodalash mumkin: L11 L12 L13 Ōx Ōy Ō z = Ō1 L21 Ō L22 L31 L32 L23. L33 vazifasi. Statsionar koordinatalar tizimidan aylanuvchi koordinatalar tizimiga teskari o'zgarishlarni yozing. 3.11. Inertial bo'lmagan sanoq sistemalarida harakat 1-bandda. 4. Biz bir mos yozuvlar tizimidan (K) ikkinchisiga (K´) o'tishni ko'rib chiqdik, birinchisiga nisbatan translyatsion ravishda harakatlanuvchi, ushbu mos yozuvlar tizimlarida (bu kuzatuvchilar tomonidan) o'lchangan ixtiyoriy "M" nuqtasining radius vektorlari bog'liq. munosabati bilan (4-rasm, 23-bet) r = r' + R. Keling, 1.4-bandda bo'lgani kabi, dr dr ′ dR , = + dt dt dt iboraning vaqt hosilasini hisoblaylik, endi K´ mos yozuvlar tizimi va u bilan bog'langan koordinatalar tizimi ma'lum bir burchak tezligi ō(t) bilan aylanadi deb faraz qilamiz. . Tarjima harakati holatida, oxirgi ifodaning o'ng tomonidagi birinchi atama kuzatuvchi K´ tomonidan o'lchangan M nuqtaning tezligi edi. Aylanma harakatda r ′ vektori K´ kuzatuvchisi tomonidan, vaqt hosilasi esa kuzatuvchi K tomonidan hisoblanganligi ma’lum bo‘ladi. M nuqtaning nisbiy tezligini ajratib olish uchun (3.22) formuladan foydalanamiz. Translyatsion harakatlanuvchi sanoq sistemasidagi vektorning vaqt hosilasi bilan aylanuvchi sanoq sistemasidagi hosila o‘rtasidagi bog‘liqlik dr ′ d ′r ′ = + [ ō, r ′] = u′ + [ ō, r ′], dt dt bu yerda d ′r ′ u′ = dt Kuzatuvchi K´ tomonidan o'lchangan vaqt hosilasi. Shunday qilib, qutb sifatida R radius vektori bilan aniqlangan K´ sistema koordinatalarining kelib chiqishini tanlab, u = V + u′ + [ ō, r ′] aylanuvchi koordinatalar tizimi uchun tezliklarni qo'shish teoremasini olamiz. , (3.29) bunda belgilar 1.4-bandning belgilariga mos keladi. (3.29) ifodaning vaqt hosilasini hisoblash du dV du′ ⎡ d ō ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ō, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ dt hosilasini va dt hosilasini aylantirish ⎦ u′ = + [ ō, u′] , dt dt tezlashuvlar orasidagi bog‘lanishni olamiz du dV d ′u ′ = + + 2 [ ō, u′] + [ e, r ′] + ⎡⎣ō, [ ō , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt Bu tezlanishlar uchun umumiy belgilar ularning fizik ma’nosiga mos keladi: du Wabs = – M nuqtaning tezlashishi, kuzatuvchi tinch holatda o’lchanadi dt – mutlaq tezlanish; 87 dV ′ – kuzatuvchi K’ ning kuzatuvchi dt K ga nisbatan tezlashishi – portativ tezlanish; d ′u′ Wrel = – kuzatuvchi K´ tomonidan o'lchangan M nuqtaning tezlanishi – nisbiy tezlanish; WCor = 2 [ ō, u′] – Wper harakatidan kelib chiqadigan tezlanish = M nuqtaning burchak tezlik vektoriga parallel bo'lmagan tezlikda aylanuvchi mos yozuvlar tizimidagi harakati, – Koriolis tezlanishi; [ e, r ′] - K´ mos yozuvlar tizimining aylanish harakatining notekisligi tufayli tezlashuv, umumiy qabul qilingan nomga ega emas; Ws = ⎡⎣ō, [ ō, r ′]⎤⎦ – normal yoki markazga yo'naltirilgan tezlanish, uning ma'nosi aylanuvchi diskning alohida holatida, ō vektori r ′ vektoriga perpendikulyar bo'lganda aniq bo'ladi. Haqiqatan ham, bu holda Wtss = ⎡⎣ō, [ ō, r ′]⎤⎦ = ō (ō, r ′) − r ′ō2 = −r ′ō2 – vektor chiziqli tezlik bo‘ylab perpendikulyar (odatda) yo‘naltirilgan. markazga radius. 3.12. Nazorat ishi
Galiley-Nyutonning mexanika qonunlari
Dinamika qonunlarga (aksiomalarga) asoslanadi, ular amaliy inson faoliyatining umumlashmasi hisoblanadi. Bu qonuniyatlardan mexanikaning turli tamoyillari mantiqan kelib chiqadi. Bu qonunlar Galiley va Nyuton tomonidan umumlashtirilib, moddiy nuqtaga nisbatan tuzilgan.
Nyutonning birinchi qonuni(inertsiya qonuni). Kuchlar ta'sir qilmaydigan yoki kuchlarning muvozanat tizimi ta'sir qiladigan moddiy nuqta o'zining tinch holatini yoki bir tekis va chiziqli harakatini saqlab turish qobiliyatiga ega.
Birinchi va ikkinchi holatda ham nuqtaning tezlanishi nolga teng.Nuqtaning bunday kinematik holati deyiladi. inertial.
Inersiya qonuni amal qiladigan barcha sanoq sistemalari deyiladi inertial.
Nyutonning ikkinchi qonuni(dinamikaning asosiy qonuni). Moddiy nuqtaning inertial sanoq sistemasiga nisbatan tezlashishi nuqtaga tatbiq etilgan kuchga mutanosib va shu kuch boʻylab yoʻnalgan (1-rasm).
Ushbu qonunni shaklda ifodalash mumkin
(1)
Qayerda m moddiy nuqtaning inertial xossalarini tavsiflovchi musbat koeffitsientga nuqta massasi deyiladi. Klassik mexanikada massa doimiy miqdor deb hisoblanadi. SI massa birligi - kilogramm (kg); - nuqta tezlashishi; - nuqtaga qo'llaniladigan kuch.
| Guruch. 1 | Guruch. 2 |
Massa, odatda, tortishish kuchi va Yer yuzasida tortishish tufayli tezlashishi bilan aniqlanadi. (1) ga binoan bizda bor
Nyutonning uchinchi qonuni(harakat va reaksiya kuchlarining tengligi to'g'risidagi qonun). Ikki moddiy nuqta orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari kattaligi bo'yicha teng va yo'nalishda qarama-qarshidir (2-rasm), ya'ni. 
To'rtinchi qonun(kuchlar harakatining mustaqilligi qonuni). Bir vaqtning o'zida bir nechta kuchlar ta'sirida, moddiy nuqta ushbu kuchlarning har biri alohida ta'sirida erishadigan tezlanishlarning geometrik yig'indisiga teng tezlanishga ega bo'ladi. Shunday qilib, moddiy nuqtaga qo'llaniladigan kuchlar unga bir-biridan mustaqil ravishda ta'sir qiladi.
Moddiy nuqtaga kuchlar sistemasi qo'llanilsin 
u holda Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra, har bir kuchning ta'siridan tezlanish (1) ifoda bilan aniqlanadi:
Barcha kuchlarning bir vaqtning o'zida ta'siri bilan tezlashtirish
(3)
(2) va (3) dan foydalanib, biz nuqta dinamikasi uchun asosiy tenglamani olamiz:
Ammo nuqta bir kuch ta'sirida bir xil tezlanishga ega bo'ladi
Kuchlar tizimidan boshlab 
va kuch nuqtaga bir xil tezlanishni beradi, keyin bu kuchlar tizimi va kuch ekvivalent bo'ladi.
Moddiy nuqta harakatining differensial tenglamalari
3.1.2.1. Erkin nuqta harakatining differensial tenglamalari
| Guruch. 3 |
Erkin moddiy nuqtaga natijaga ega bo'lgan kuchlar tizimi ta'sir qilsin, rasmga qarang. 3. Keyin, dinamikaning asosiy qonuniga ko'ra,
(4)
Nuqtaning tezlanishini quyidagicha ifodalash mumkin 
, shuning uchun (4) tenglik quyidagi shaklni oladi:
. (5)
Tenglama (5) - moddiy nuqta harakatining vektor differensial tenglamasi. Agar biz uni Dekart koordinata tizimining o'qlariga proyeksiya qilsak, biz ushbu o'qlarga proyeksiyalarda moddiy nuqta harakatining differentsial tenglamalarini olamiz:
Nuqta tekislikda harakat qilganda Oksi(6) tenglamalar tizimi quyidagi shaklni oladi:
Nuqta o'q bo'ylab to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qilganda ho'kiz harakatning bitta differensial tenglamasini olamiz:
Tenglikni (5) tabiiy koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, biz nuqtaning tabiiy koordinata o'qlariga proyeksiyalardagi differensial harakati tenglamalarini olamiz:
1.2.2. Erkin bo'lmagan nuqta harakatining differensial tenglamalari
Bog'lanishlardan ozod bo'lish printsipiga asoslanib, erkin bo'lmagan nuqtani bog'lanishlar harakatini ularning reaktsiyalari bilan almashtirish orqali erkin nuqtaga aylantirish mumkin. Bog'lanish reaktsiyalarining natijasi bo'lsin, u holda nuqta dinamikasining asosiy tenglamasi quyidagi shaklni oladi:
(7)
Dekart koordinata tizimining o'qlariga (7) proyeksiya qilib, biz ushbu o'qlarga proyeksiyalarda erkin bo'lmagan nuqta harakatining differentsial tenglamalarini olamiz:
Masalalarni yechish uchun bu tenglamalarga cheklovchi tenglamalarni qo'shish kerak.
Tabiiy koordinata o'qlariga proyeksiyalarda nuqta harakatining differensial tenglamalari:
1.2.3. Nuqtaning nisbiy harakati uchun differensial tenglamalar
Nuqtalar dinamikasining asosiy tenglamasi 
tezlanish mutlaq bo'lgan inertial sanoq sistemasi uchun amal qiladi. Koriolis teoremasiga ko'ra mutlaq tezlanish
portativ harakatning tezlashishi qayerda; – harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan nuqtaning nisbiy tezlanishi; - Koriolis tezlashishi.
Mutlaq tezlanish ifodasini nuqta dinamikasining asosiy tenglamasiga almashtirib, biz hosil qilamiz.
Keling, quyidagi belgini kiritamiz: 
– portativ inertsiya kuchi; 
- Koriolis inersiya kuchi.
Keyin (9) tenglama shaklni oladi
(10)
Olingan tenglik dinamik Koriolis teoremasini ifodalaydi.
Koriolis teoremasi. Agar nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarga ko‘chirish va Koriolis inersiya kuchlari qo‘shilsa, moddiy nuqtaning nisbiy harakatini mutlaq deb hisoblash mumkin.
Nuqtaning nisbiy muvozanat holatini ko'rib chiqamiz 
Keyin Koriolis tezlashishi 
Ushbu qiymatlarni (10) tenglamaga almashtirib, biz nuqtaning nisbiy muvozanati uchun shartni olamiz:
Nuqtaning nisbiy harakati uchun dinamikaning asosiy qonuni uning mutlaq harakatining asosiy qonuniga mos kelishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:
Agar harakatlanuvchi koordinatalar tizimi translyatsion harakat qilsa, bu shart qondiriladi 
tekis va tekis 
Ushbu mos yozuvlar tizimlariga nisbatan, shuningdek, statsionarlarga nisbatan, qachon 
inersiya qonuni bajariladi. Shunday qilib, translyatsion, to'g'ri chiziqli va bir xilda harakatlanadigan barcha mos yozuvlar tizimlari, shuningdek, tinch holatda bo'lganlar inertial.
Dinamika qonunlari barcha inertial sanoq sistemalarida bir xil bo'lganligi sababli, bu tizimlarning barchasida xuddi shu hodisa mos yozuvlar nuqtasi sifatida qabul qilinsa, mexanik hodisalar aynan bir xil tarzda davom etadi. Bu klassik mexanikaning nisbiylik printsipiga amal qiladi.
Klassik mexanikaning nisbiylik printsipi. Hech qanday mexanik tajribalar ushbu harakatda ishtirok etuvchi mos yozuvlar tizimining inertial harakatini aniqlay olmaydi.
Moddiy nuqtaning erkin tebranishlari. Doimiy kuchning erkin tebranishga ta'siri
Erkin tebranishlar(yoki o'zingizniki tebranishlar) - bu tebranishlar tashqi ta'sirlar bo'lmaganda faqat dastlabki berilgan energiya (potentsial yoki kinetik) tufayli amalga oshiriladigan tebranish tizimi
Erkin tebranishlarning differensial tenglamasi qarshilik bo'lmasa:
Bu tenglamaning umumiy yechimi qaerda ko'rinishga ega
Moddiy nuqtaga ta'sir etuvchi pozitsion kuch uni asl holatiga qaytarishga moyil bo'lsa, nuqta harakati tebranish xarakteriga ega bo'ladi. Bu kuch odatda restorativ deb ataladi.
Qayta tiklovchi kuch ta'sirida moddiy nuqta sinusoidal qonunga muvofiq harakat qiladi, ya'ni. garmonik tebranish harakati.
Doimiy P kuch tiklovchi kuch F ta'sirida nuqta tomonidan sodir bo'ladigan tebranishlarning tabiatini o'zgartirmaydi, faqat bu tebranishlar markazini statik og'ish miqdori bo'yicha P kuch ta'siriga siljitadi.
Rezonans sharoitida moddiy nuqtaning harakati
Qachon bo'lsa, ya'ni. bezovta qiluvchi kuchning chastotasi tabiiy tebranishlar chastotasiga teng bo'lganda, rezonans deb ataladigan hodisa sodir bo'ladi.
Rezonans - bu majburiy tebranishlar amplitudasining keskin oshishi. Tabiiy tebranishlar chastotasi harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga to'g'ri kelganda paydo bo'ladi
Rezonans paytida majburiy tebranishlar diapazoni vaqt o'tishi bilan cheksiz ortadi
Tezlikka proportsional qarshilikka ega bo'lgan moddiy nuqtaning majburiy tebranishlari.
Aylanma harakat
Ushbu holatda . Keyin
- aylanish harakati paytida jismning kinetik energiyasi tananing aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti va uning burchak tezligi kvadratining yarmiga teng.
Koenig teoremasi
Mexanik tizimning kinetik energiyasi massa markazining harakat energiyasi va massa markaziga nisbatan harakat energiyasidir:
T=T0+Tr(\ displaystyle (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)
Bu yerda T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt - sistemaning umumiy kinetik energiyasi, (\displaystyle T_(0))T0 - massa markazi harakatining kinetik energiyasi, (\displaystyle T_(r))Tr sistemaning nisbiy kinetik energiyasi.
Boshqacha qilib aytganda, murakkab harakatdagi jism yoki jismlar tizimining umumiy kinetik energiyasi tizimning translatsiya harakatidagi energiyasi va uning sharsimon harakatida massa markaziga nisbatan energiya yig'indisiga teng.
Aniqroq formula: butun tizimning umumiy kinetik energiyasi uning massa markazida to'plangan va massa markazi tezligida harakatlanadigan tizimning butun massasining kinetik energiyasi yig'indisiga va kinetikga teng. bir xil tizimning massa markaziga nisbatan nisbiy tizimidagi energiyasi
1-rasm - Tananing erkin tushishi.
Yuk kichik bo'lgani uchun havo qarshiligi juda kichik va uni engish uchun energiya kichik va uni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Tananing tezligi yuqori emas va qisqa masofada havo bilan ishqalanish bilan muvozanatlashgan va tezlanish to'xtagan paytga etib bormaydi.
Er bilan to'qnashuv paytida kinetik energiya maksimaldir. Chunki tananing maksimal tezligi bor. Va potentsial energiya nolga teng, chunki tana er yuzasiga etib borgan va balandligi nolga teng. Ya'ni, yuqori nuqtadagi maksimal potentsial energiya harakatlanayotganda kinetik energiyaga aylanadi, bu esa o'z navbatida pastki nuqtada maksimal darajaga etadi. Ammo harakat paytida tizimdagi barcha energiyalar yig'indisi doimiy bo'lib qoladi. Potensial energiya kamayishi bilan kinetik energiya ortadi.
Ideal aloqalar
Nuqta sirt bo'ylab yoki egri chiziq bo'ylab harakat qilganda, ulanishning reaktsiyasi normal va tangensial komponentlarga ajralishi mumkin. Reaksiyaning tangensial komponenti ishqalanish kuchini ifodalaydi. Sirt yoki egri chiziq qanchalik silliq bo'lsa, reaksiyaning tangensial komponenti shunchalik kichik bo'ladi. Agar sirt yoki egri butunlay silliq bo'lsa, u holda reaktsiya sirt uchun normaldir
Ideal aloqalar reaksiyalari tangensial komponentlarga ega bo'lmagan ishqalanishsiz bog'lanishlar deyiladi
Aloqalardan ozod qilish printsipi, unga ko'ra erkin bo'lmagan jismni erkin deb hisoblash mumkin, agar biz unga ta'sir qiluvchi bog'larni tashlab, ularni kuchlar bilan almashtirsak - bog'lanishlarning reaktsiyalari.
Aloqa reaktsiyasi Berilgan bog'lanishning tanaga ta'sir qiladigan, uning u yoki bu harakatlariga to'sqinlik qiladigan kuchga bog'lanish reaktsiyasi deyiladi. Aloqa reaktsiyasi aloqa tananing harakatlanishiga to'sqinlik qiladigan joyga qarama-qarshi tomonga yo'naltirilgan.
Qattiq muhr
Qattiq joylashtirishning reaktsiyasini topish komponentlarni aniqlashga to'g'ri keladi X A Va Y A kuchlar ta'sir tekisligida nurning chiziqli harakatini oldini olish va momentning algebraik qiymati m A, unga qo'llaniladigan kuchlar ta'sirida nurning aylanishiga yo'l qo'ymaslik. 
4-rasm
Yechim. Bu muammoni muvozanat tenglamalarini tuzish orqali ma'lum statik usullar yordamida hal qilish mumkin. Ammo bu holda siz birinchi navbatda novdalardagi kuchlarni topishingiz kerak bo'ladi. Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi bizga kuch topishga imkon beradi F oddiyroq, statikaning umumiy tenglamasidan foydalangan holda.
Biz faol kuchlarni ko'rsatamiz va. Biz novdani aylantirish orqali tizimga mumkin bo'lgan harakatni beramiz OAJ burchak ostida (66-rasm). Chut tarjima harakatini amalga oshirganligi sababli, uning barcha nuqtalarining harakati bir xil bo'ladi:
Qayerda a=AO=BD.
Ish tenglamasini tuzamiz: . Burchak.
Shuning uchun biz olamiz. Bu yerdan.
Dinamikaning umumiy tenglamasi.
D'Alember printsipiga ko'ra, ma'lum kuchlar ta'sirida harakatlanadigan moddiy tizimni, agar ularning inertsiya kuchlari tizimning barcha nuqtalariga ta'sir etsa, muvozanatda deb hisoblash mumkin. Bu siz mumkin bo'lgan harakatlar tamoyilidan foydalanishingiz mumkin degan ma'noni anglatadi.
Ish tenglamasiga (1) nuqtalarning inertsiya kuchlarining ularning mumkin bo'lgan harakatlari bo'yicha ishlari yig'indisi qo'shiladi:
Yoki mumkin bo'lgan tezliklar printsipiga ko'ra (2):
Bu tenglamalar deyiladi dinamikaning umumiy tenglamasi . Bu juda murakkab moddiy tizimlarning harakatini o'rganish bilan bog'liq muammolarning katta sinfini hal qilishga imkon beradi.
(3) va (4) tenglamalar shuni ko'rsatadiki, har qanday sobit vaqt momentida, tizimga ideal va cheklovchi ulanishlar o'rnatilgan bo'lsa, har qanday virtual siljishlar bo'yicha faol kuchlar va inertial kuchlarning elementar ishlarining yig'indisi nolga teng.
Bu usulning yana bir muhim afzalligini, dinamikaning umumiy tenglamasini ta'kidlash joiz - sistemaning harakatini o'rganishda (ideal) bog'lanishlarning reaktsiyalari chiqarib tashlanadi.
Ba'zan bu tenglama mexanik tizimlarning harakatini o'rganish uchun va barcha ulanishlar ideal bo'lmagan hollarda, masalan, ishqalanish bilan bog'lanishlar mavjud bo'lganda foydalanish mumkin. Buning uchun faol kuchlarga ishqalanish kuchlarining mavjudligidan kelib chiqadigan reaktsiyalarning tarkibiy qismlarini qo'shish kerak.
11-rasm
Agar bu holatda bo'lgan tanaga past tezlik berilsa yoki kichik masofaga siljitsa va kelajakda bu og'ishlar ortib ketmasa, muvozanat barqaror hisoblanadi.
Isbotlash mumkinki (Lagranj-Dirichlet teoremasi), agar konservativ tizimning muvozanat holatida uning potentsial energiyasi minimal bo'lsa, u holda bu muvozanat holati barqarordir.
Bir daraja erkinlikka ega bo'lgan konservativ tizim uchun minimal potentsial energiya sharti va shuning uchun muvozanat holatining barqarorligi ikkinchi hosila bilan belgilanadi, uning muvozanat holatidagi qiymati,
Klassik mexanika qonunlari. Moddiy nuqta harakatining differensial tenglamasi.
Inertial deb ataladigan shunday mos yozuvlar tizimlari mavjud bo'lib, ularga nisbatan hech qanday kuchlar (yoki o'zaro muvozanatli kuchlar ularga ta'sir qiladigan) moddiy nuqtalar tinch yoki bir tekis chiziqli harakatda bo'ladi.
Inertial sanoq sistemasida doimiy massaga ega bo‘lgan moddiy nuqta tomonidan qabul qilingan tezlanish unga tatbiq etilgan barcha kuchlarning natijasiga to‘g‘ridan-to‘g‘ri proportsional va uning massasiga teskari proportsionaldir.
Moddiy nuqtalar bir-biri bilan bir xil tabiatdagi kuchlar bilan o'zaro ta'sir qiladi, bu nuqtalarni bog'laydigan to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilgan, kattaligi teng va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi.
SX = m (d 2 x/dt 2); SY = m (d 2 y/dt 2),
Bu yerda SX va SY nuqtaga taʼsir etuvchi kuchlarning mos keladigan nuqtaga proyeksiyalarining algebraik yigʻindisidir. koordinata o'qlari; x va y nuqtaning joriy koordinatalari.
Olingan differensial bog'liqliklardan foydalanib, ikkita asosiy dinamika muammosi hal qilinadi:
- nuqtaning berilgan harakatidan kelib chiqib, unga ta'sir qiluvchi kuchlar aniqlanadi;
- Bir nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarni bilib, ular uning harakatini aniqlaydilar.
Yuklanmoqda...