Ikkita teng raqib shaxmat o'ynaydi. Ekvivalent transformatsiyalar. Formulalarni soddalashtirish. Mukammal oddiy shakllar
Ta'rif. Ikki f 1 (x) = g 1 (x) va f 2 (x) = g 2 (x) tenglamalar, agar ularning ildizlari to'plamlari mos kelsa, ekvivalent deyiladi.
Masalan, tenglamalar x 2 - 9 = 0 va (2 X + 6)(X- 3) = 0 ekvivalentdir, chunki ikkalasining ildizi sifatida 3 va -3 raqamlari mavjud. Tenglamalar (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 va x 2+ 1 = 0, chunki ikkalasida ham ildiz yo'q, ya'ni. ularning ildizlari to'plamlari mos keladi.
Ta'rif. Tenglamani ekvivalent tenglama bilan almashtirish ekvivalent o'zgartirish deyiladi.
Keling, qanday o'zgarishlar ekvivalent tenglamalarni olishga imkon berishini bilib olaylik.
Teorema 1. Tenglama bo'lsin f(x) va g(x) to'plamda belgilangan va h(x) bir xil to‘plamda aniqlangan ifodadir. Keyin tenglamalar f(x) = g(x)(1) va f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) ekvivalentdir.
Isbot. bilan belgilaymiz T 1 -(1) tenglamaning yechimlari to'plami va orqali T 2 -(2) tenglamaning yechimlari to'plami. U holda (1) va (2) tenglamalar agar bo'lsa ekvivalent bo'ladi T 1 = T 2. Buni tekshirish uchun har qanday ildiz ekanligini ko'rsatish kerak T 1 tenglamaning ildizi (2) va aksincha, har qanday ildiz T 2(1) tenglamaning ildizidir.
Raqamga ruxsat bering A- tenglamaning ildizi (1). Keyin a? T 1, va (1) tenglamaga almashtirilganda uni haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi f(a) = g(a), va ifoda h(x) sonli ifodaga aylantiradi h(a), bu to'plamda mantiqiy X. Haqiqiy tenglikning ikkala tomoniga ham qo'shamiz f(a) = g(a) raqamli ifoda h(a). Haqiqiy sonli tengliklarning xossalariga ko'ra haqiqiy sonli tenglikni olamiz f(a) + h(a) =g(a) + h(a), bu raqamni bildiradi A(2) tenglamaning ildizidir.
Demak, (1) tenglamaning har bir ildizi ham (2) tenglamaning ildizi ekanligi isbotlangan, ya’ni. T 1 Bilan T 2.
Hozir ruxsat bering A -(2) tenglamaning ildizi. Keyin A? T 2 va (2) tenglamaga almashtirilsa, uni haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi f(a) + h(a) =g(a) + h(a). Keling, bu tenglikning ikkala tomoniga raqamli ifodani qo'shamiz - h(a), Biz haqiqiy sonli tenglikni olamiz f(x) = g(x), bu raqam ekanligini bildiradi A -(1) tenglamaning ildizi.
Demak, (2) tenglamaning har bir ildizi ham (1) tenglamaning ildizi ekanligi isbotlangan, ya’ni. T 2 Bilan T 1.
Chunki T 1 Bilan T 2 Va T 2 Bilan T 1, keyin teng to'plamlar ta'rifi bilan T 1= T 2, bu (1) va (2) tenglamalar ekvivalent ekanligini bildiradi.
Bu teorema boshqacha shakllantirilishi mumkin: agar tenglamaning ikkala tomoni ta'rif sohasi bilan bo'lsa X bir xil to'plamda aniqlangan o'zgaruvchi bilan bir xil ifodani qo'shing, keyin biz berilgan tenglamaga ekvivalent yangi tenglamani olamiz.
Ushbu teoremadan tenglamalarni yechishda foydalaniladigan xulosalar kelib chiqadi:
1. Agar tenglamaning ikkala tomoniga bir xil sonni qo'shsak, berilgan tenglamaga ekvivalent tenglamani olamiz.
2. Agar biron-bir atama (raqamli ifoda yoki o'zgaruvchili ifoda) tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkazilsa, atama belgisini teskarisiga o'zgartirsa, u holda biz berilganga ekvivalent tenglamani olamiz.
Teorema 2. Tenglama bo'lsin f(x) = g(x) to'plamda aniqlanadi X Va h(x) - bir xil to'plamda aniqlangan va hech qanday qiymat uchun yo'qolmaydigan ifoda X ko'pchilikdan X. Keyin tenglamalar f(x) = g(x) Va f(x) h(x) =g(x) h(x) ekvivalentdir.
Bu teoremaning isboti 1-teoremaning isbotiga o'xshaydi.
2-teorema boshqacha shakllantirilishi mumkin: agar tenglamaning ikkala tomoni ham domenga ega bo'lsa X bir xil to'plamda aniqlangan va unda yo'qolmaydigan bir xil ifodaga ko'paytirilsa, biz berilgan tenglamaga ekvivalent yangi tenglamani olamiz.
Bu teoremadan xulosa kelib chiqadi: Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil noldan boshqa raqamga ko'paytirilsa (yoki bo'linsa), berilgan tenglamaga ekvivalentni olamiz.
Bir o'zgaruvchili tenglamalarni yechish
1- tenglamani yechamiz x/3 = x/6, x ? R va biz hal qilish jarayonida amalga oshiradigan barcha o'zgarishlarni oqlaymiz.
| Transformatsiyalar | Transformatsiya uchun asos |
| 1. Tenglamaning chap va o‘ng tomonidagi ifodalarni umumiy maxrajga keltiramiz: (6-2) X)/ 6 = X/6 | Biz tenglamaning chap tomonidagi ifodani bir xil o'zgartirishni amalga oshirdik. |
| 2. Umumiy maxrajni olib tashlaylik: 6-2 X = X | Biz tenglamaning ikkala tomonini 6 ga ko'paytirdik (2-teorema) va shunga teng tenglamani oldik. |
| 3. -2x ifodasini qarama-qarshi ishorali tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz: 6 = X+2X. | Biz 1-teoremaning xulosasidan foydalandik va oldingisiga, demak, berilganiga teng tenglamani oldik. |
| 4. Tenglamaning o'ng tomonida o'xshash shartlarni keltiramiz: 6 = 3 X. | Ifodaning identifikatorini o'zgartirishni amalga oshirdi. |
| 5. Tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo‘ling: X = 2. | Biz 2-teoremadan olingan natijadan foydalandik va avvalgisiga, shuning uchun bu tenglamaga tenglamani oldik. |
Ushbu tenglamani yechishda amalga oshirgan barcha o'zgarishlar ekvivalent bo'lganligi sababli, 2 ni bu tenglamaning ildizi deb aytishimiz mumkin.
Agar tenglamani yechish jarayonida 1 va 2 teoremalarning shartlari bajarilmasa, u holda ildizlarning yo'qolishi yoki begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Shuning uchun, oddiyroq tenglamani olish uchun tenglamani o'zgartirganda, ular berilgan tenglamaga ekvivalent bo'lishini ta'minlash muhimdir.
Masalan, tenglamani ko'rib chiqing x(x - 1) = 2x, x? R. Keling, ikkala qismni ham ajratamiz X, tenglamani olamiz X - 1 = 2, qaerdan X= 3, ya'ni bu tenglama bitta ildizga ega - 3 raqami. Lekin bu to'g'rimi? Bu tenglamada o'zgaruvchi o'rniga if ekanligini ko'rish oson X 0 o'rniga qo'yilsa, u haqiqiy sonli tenglikka aylanadi 0·(0 - 1) = 2·0. Bu shuni anglatadiki, 0 bu tenglamaning ildizi bo'lib, biz transformatsiyalarni amalga oshirishda yo'qotdik. Keling, ularni tahlil qilaylik. Biz qilgan birinchi narsa tenglamaning ikkala tomonini bo'lish edi X, bular. ifodaga ko'paytiriladi1/ x, lekin da X= Oh, bu mantiqqa to'g'ri kelmaydi. Binobarin, biz 2-teorema shartini bajarmadik, bu esa ildizning yo'qolishiga olib keldi.
Bu tenglamaning ildizlar to'plami ikkita 0 va 3 raqamlaridan iborat ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz boshqa yechimni taqdim etamiz. Keling, 2 ifodani harakatlantiramiz X o'ngdan chapga: x(x- 1) - 2x = 0. Uni tenglamaning chap tomonidagi qavslar ichidan chiqaramiz. X va shunga o'xshash shartlarni bering: x(x - 3) = 0. Ikki omilning ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi, agar va faqat ulardan kamida bittasi nolga teng bo‘lsa, shuning uchun x= 0 yoki X- 3 = 0. Bu erdan biz bu tenglamaning ildizlari 0 va 3 ekanligini ko'ramiz.
Matematikaning boshlang'ich kursida nazariy asos Tenglamalarni yechish - harakatlarning tarkibiy qismlari va natijalari o'rtasidagi bog'liqlik. Masalan, tenglamani yechish ( X·9):24 = 3 quyidagicha oqlanadi. Noma'lum narsa dividendda bo'lganligi sababli, dividendni topish uchun bo'luvchini bo'linmaga ko'paytirish kerak: X·9 = 24·3, yoki X·9 = 72.
Noma'lum omilni topish uchun mahsulotni ma'lum omilga bo'lish kerak: x = 72:9 yoki x = 8, shuning uchun bu tenglamaning ildizi 8 raqamidir.
Mashqlar
1 . Quyidagi yozuvlardan qaysi biri bitta o‘zgaruvchidagi tenglama ekanligini aniqlang:
A) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3) 5 = 12; d) ( X-3)· y =12X;
V) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Tenglama 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 to'plamda aniqlangan natural sonlar. Nima uchun 1 raqami bu tenglamaning ildizi, lekin 2 va -1 uning ildizi emasligini tushuntiring.
3. tenglamada ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 bitta raqam o'chiriladi va nuqta bilan almashtiriladi. Agar siz ushbu tenglamaning ildizi 2 raqami ekanligini bilsangiz, o'chirilgan raqamni toping.
4. Quyidagi shartlarni tuzing:
a) 5 raqami tenglamaning ildizidir f(x) = g(x);
b) 7 raqami tenglamaning ildizi emas f(x) = g(x).
5. Quyidagi juft tenglamalardan qaysi biri haqiqiy sonlar to‘plamiga ekvivalent ekanligini aniqlang:
a) 3 + 7 X= -4 va 2(3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 va 6 + 7 X = -1;
c) 3 + 7 X= -4 va l X + 2 = 0.
6. Tenglama ekvivalentlik munosabatining xossalarini tuzing. Ulardan qaysi biri tenglamani yechish jarayonida ishlatiladi?
7. Tenglamalarni yeching (ularning barchasi haqiqiy sonlar to'plamida berilgan) va ularni soddalashtirish jarayonida bajarilgan barcha o'zgarishlarni asoslang:
a) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
2-da X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Talaba 5-tenglamani yechdi X + 15 = 3 X+ 9 quyidagicha: chap tomondagi qavslardan 5 raqamini va o'ngdagi 3 raqamini oldim va tenglamani oldim. 5(x+ 3) = 3(X+ 3) va keyin ikkala tomonni ifodaga bo'linadi X+ 3. Men 5 = 3 tengligini oldim va bu tenglamaning ildizi yo'q degan xulosaga keldim. Talaba to'g'rimi?
9. 2/(2- tenglamasini yeching. x) – ½ = 4/((2- x)x); X? R. 2 raqami bu tenglamaning ildizimi?
10. Komponentlar va harakatlar natijalari o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanib, tenglamalarni yeching:
A) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Masalalarni arifmetik va algebraik usullar yordamida yechish:
a) Birinchi javonda ikkinchisiga qaraganda 16 ta ko'proq kitob bor. Agar siz har bir javondan 3 ta kitobni olib tashlasangiz, birinchi javonda ikkinchisiga qaraganda bir yarim baravar ko'p kitoblar bo'ladi. Har bir javonda nechta kitob bor?
b) Velosipedchi lager joyidan stansiyagacha bo'lgan 26 km ga teng bo'lgan butun masofani 1 soat 10 daqiqada bosib o'tdi. Bu vaqtning dastlabki 40 daqiqasida u bir tezlikda, qolgan vaqtda esa 3 km/soat kamroq tezlikda yurdi. Sayohatning birinchi qismida velosipedchining tezligini toping.
2-bo'lim. Formulalarning mantiqiy ekvivalentligi. Taklifli algebra formulalari uchun normal shakllar
Ekvivalentlik munosabati
Haqiqat jadvallaridan foydalanib, siz kiritilgan o'zgaruvchilarning qaysi haqiqat qiymatlari to'plami uchun formula haqiqiy yoki noto'g'ri qiymat olishini (shuningdek, tegishli mantiqiy tuzilishga ega bo'lgan bayonot), qaysi formulalar tavtologiya yoki qarama-qarshilik bo'lishini aniqlashingiz mumkin. ikkita formula berilgan yoki yo'qligini ham aniqlang ekvivalent.
Mantiqda ikkita gapning ikkalasi ham to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lsa, ekvivalent deyiladi. Ushbu iboradagi "bir vaqtning o'zida" so'zi noaniq. Shunday qilib, "Ertaga seshanba bo'ladi" va "Kecha yakshanba edi" jumlalari uchun bu so'z to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega: dushanba kuni ikkalasi ham to'g'ri, haftaning qolgan kunlarida ikkalasi ham yolg'on. Tenglamalar uchun " x = 2"Va" 2x = 4""bir vaqtning o'zida" "o'zgaruvchining bir xil qiymatlarida" degan ma'noni anglatadi. "Ertaga yomg'ir yog'adi" va "Ertaga yomg'ir yog'maydi" degan bashoratlar bir vaqtning o'zida tasdiqlanadi (to'g'ri bo'lib chiqadi) yoki tasdiqlanmaydi (noto'g'ri bo'lib chiqadi). Aslida, bu formulalar bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan ikki xil shaklda ifodalangan bir xil prognozdir. X Va . Bu formulalar ham to'g'ri, ham noto'g'ri. Tekshirish uchun haqiqat jadvalini yaratish kifoya:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Birinchi va oxirgi ustunlardagi haqiqat qiymatlari mos kelishini ko'ramiz. Bunday formulalarni, shuningdek, tegishli jumlalarni ekvivalent deb hisoblash tabiiydir.
F 1 va F 2 formulalari ekvivalent deb ataladi, agar ularning ekvivalenti tavtologiya bo'lsa.
Ikki formulaning ekvivalentligi quyidagicha yoziladi: (o'qing: formula F 1 formulaga teng F 2).
Formulalarning ekvivalentligini tekshirishning uchta usuli mavjud: 1) ularning ekvivalentini yaratish va uning tavtologiya ekanligini tekshirish uchun haqiqat jadvalidan foydalanish; 2) har bir formula uchun haqiqat jadvalini tuzing va yakuniy natijalarni taqqoslang; agar natijada bir xil o'zgaruvchan qiymatlar to'plamiga ega ustunlarda bo'lsa ikkala formulaning haqiqat qiymatlari teng, keyin formulalar ekvivalent; 3) ekvivalent transformatsiyalar yordamida.
2.1-misol: Formulalar ekvivalent ekanligini aniqlang: 1) , ; 2) , .
1) Ekvivalentlikni aniqlashda birinchi usuldan foydalanamiz, ya'ni formulalar ekvivalentligi ham tavtologiya ekanligini aniqlaymiz.
Ekvivalent formula tuzamiz: . Olingan formula ikki xil o'zgaruvchini o'z ichiga oladi ( A Va IN) va 6 ta amal: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Bu shuni anglatadiki, mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 8 ustunga ega bo'ladi:
| A | IN | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Haqiqat jadvalining yakuniy ustunidan ko'rinib turibdiki, tuzilgan ekvivalentlik tavtologiya va shuning uchun .
2) Formulalarning ekvivalentligini aniqlash uchun ikkinchi usuldan foydalanamiz, ya’ni formulalarning har biri uchun haqiqat jadvalini tuzamiz va olingan ustunlarni solishtiramiz. ( Izoh. Ikkinchi usuldan samarali foydalanish uchun barcha tuzilgan haqiqat jadvallari bir xil boshlanishi kerak, ya'ni o'zgaruvchan qiymatlar to'plami mos keladigan qatorlarda bir xil edi .)
Formula ikki xil o'zgaruvchi va 2 ta amalni o'z ichiga oladi, ya'ni mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 4 ustunga ega:
| A | IN | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Formula ikki xil o'zgaruvchi va 3 ta amalni o'z ichiga oladi, ya'ni mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 5 ustunga ega:
| A | IN | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Tuzilgan haqiqat jadvallarining natija ustunlarini solishtirsak (jadvallar bir xil boshlanganligi sababli, biz o'zgaruvchan qiymatlar to'plamiga e'tibor bera olmaymiz), biz ularning mos kelmasligini va shuning uchun formulalar ekvivalent emasligini ko'ramiz ().
Ifoda formula emas (chunki " " belgisi hech qanday mantiqiy amalni bildirmaydi). U ifodalaydi munosabat formulalar orasidagi (shuningdek, raqamlar orasidagi tenglik, chiziqlar orasidagi parallellik va boshqalar).
Ekvivalentlik munosabatining xossalari haqidagi teorema o'rinli:
2.1 teorema. Taklifli algebra formulalari orasidagi ekvivalentlik munosabati:
1) refleksli ravishda: ;
2) simmetrik tarzda: agar , keyin ;
3) o‘timli: agar va bo‘lsa, keyin.
Mantiq qonunlari
Taklif mantiqiy formulalarining ekvivalentlari ko'pincha deyiladi mantiq qonunlari. Biz ulardan eng muhimlarini sanab o'tamiz:
1. – o‘ziga xoslik qonuni.
2. – istisno qilingan o'rta qonuni
3. – qarama-qarshilik qonuni
4. – nol bilan dis’yunksiya
5. – nol bilan birikma
6. – birlik bilan ajralish
7. – biri bilan qo‘shma
8. – ikkilamchi inkor qonuni
9. – qo‘shma gapning kommutativligi
10. – diszyunksiyaning kommutativligi
11. – qo‘shma gapning assosiativligi
12. – diszyunksiyaning assotsiativligi
13. – qo‘shma gapning taqsimlanishi
14. – dis’yunksiyaning distributivligi
15. – identifikatorlik qonunlari
16. 
; 
- absorbsiya qonunlari
17. 
; 
- De Morgan qonunlari
18. 
- diszyunksiya orqali implikatsiyani ifodalovchi qonun
19. 
- qarama-qarshilik qonuni
20. – ekvivalentlikni boshqa mantiqiy amallar orqali ifodalovchi qonunlar
Mantiq qonunlari murakkab formulalarni soddalashtirish va formulalarning bir xil haqiqat yoki yolg'onligini isbotlash uchun ishlatiladi.
Ekvivalent transformatsiyalar. Formulalarni soddalashtirish
Agar bir xil formula hamma joyda ba'zi o'zgaruvchilar o'rniga ekvivalent formulalarga almashtirilsa, yangi olingan formulalar ham almashtirish qoidasiga muvofiq ekvivalent bo'lib chiqadi. Shunday qilib, har bir ekvivalentdan istalgancha yangi ekvivalentlarni olish mumkin.
1-misol: Agar o'rniga De Morgan qonunida X o'rniga va o'rniga Y o'rniga , biz yangi ekvivalentga ega bo'lamiz. Olingan ekvivalentlikning haqiqiyligini haqiqat jadvali yordamida osongina tekshirish mumkin.
Formulaning bir qismi bo'lgan har qanday formula bo'lsa F, formulaga ekvivalent formula bilan almashtiring, keyin hosil bo'lgan formula formulaga teng bo'ladi F.
Keyin 2-misoldagi formulaga quyidagi almashtirishlar kiritilishi mumkin:
– ikki tomonlama inkor qonuni;
- De Morgan qonuni;
– ikki tomonlama inkor qonuni;
– assotsiativlik qonuni;
- identifikatorlik qonuni.
Ekvivalentlik munosabatining tranzitivlik xususiyatiga ko'ra shuni aytishimiz mumkin 
.
Bir formulani unga ekvivalent bo'lgan boshqa formula bilan almashtirish deyiladi ekvivalent transformatsiya formulalar.
ostida soddalashtirish Elementar bo'lmagan formulalarni (xususan, qo'sh negativlar) inkorlarini o'z ichiga olmaydigan yoki jami kamroq sonli birikma va ayirma belgilarini o'z ichiga olgan formulaga olib keladigan ekvivalent o'zgartirish, implikatsiya va ekvivalentlik belgilarini o'z ichiga olmagan formulalar tushuniladi. asl.
2.2-misol: Keling, formulani soddalashtiraylik 
.
Birinchi bosqichda biz implikatsiyani diszyunksiyaga aylantiruvchi qonunni qo'lladik. Ikkinchi bosqichda biz kommutativ qonunni qo'lladik. Uchinchi bosqichda biz identifikatorlik qonunini qo'lladik. To'rtinchisi - De Morgan qonuni. Beshinchisi esa ikkilamchi inkor qonunidir.
Eslatma 1. Agar ma'lum bir formula tavtologiya bo'lsa, unga teng keladigan har qanday formula ham tavtologiya hisoblanadi.
Shunday qilib, ekvivalent transformatsiyalar ma'lum formulalarning bir xil haqiqatini isbotlash uchun ham ishlatilishi mumkin. Buning uchun bu formula tavtologiya bo'lgan formulalardan biriga ekvivalent transformatsiyalar olib borish kerak.
Eslatma 2. Ayrim tavtologiya va ekvivalentlar juftlarga birlashtiriladi (qarama-qarshilik qonuni va alternativ, kommutativ, assotsiativ qonunlar qonuni va boshqalar). Bu yozishmalar deb atalmish ochib beradi ikkilik printsipi .
O'z ichiga implikatsiya va ekvivalentlik belgilari bo'lmagan ikkita formula deyiladi ikkilik , agar ularning har biri mos ravishda belgilarni almashtirish orqali boshqasidan olinishi mumkin bo'lsa.
Ikkilik printsipi quyidagilarni ta'kidlaydi:
2.2 teorema: Agar implikatsiya va ekvivalentlik belgilari bo'lmagan ikkita formula ekvivalent bo'lsa, ularning ikkilik formulalari ham ekvivalentdir.
Oddiy shakllar
Oddiy shakl berilgan funksiyani amalga oshiradigan formulani sintaktik jihatdan aniq yozish usulidir.
Mantiqning ma'lum qonunlaridan foydalanib, har qanday formulani shaklning ekvivalent formulasiga aylantirish mumkin 
, bu yerda va har biri oʻzgaruvchi, yoki oʻzgaruvchining inkori, yoki oʻzgaruvchilar birikmasi yoki ularning inkori. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, har qanday formulani oddiy standart shakldagi ekvivalent formulaga keltirish mumkin, bu elementlarning dis'yunksiyasi bo'ladi, ularning har biri alohida turli mantiqiy o'zgaruvchilarning inkor belgisi bilan yoki bo'lmagan birikmasidir.
2.3-misol: Katta formulalarda yoki ko'p o'zgartirishlar paytida birikma belgisini tashlab qo'yish odatiy holdir (ko'paytirish belgisi bilan o'xshashlik bo'yicha): . Amalga oshirilgan transformatsiyalardan so'ng formula uchta birikmaning diszyunksiyasi ekanligini ko'ramiz.
Ushbu shakl deyiladi disjunktiv normal shakl (DNF). Shaxsiy DNF elementi chaqiriladi elementar birikma yoki birlikning tarkibiy qismi.
Xuddi shunday, har qanday formulani ekvivalent formulaga keltirish mumkin, bu elementlarning birikmasi bo'ladi, ularning har biri mantiqiy o'zgaruvchilarning inkor belgisi bo'lgan yoki bo'lmagan diszyunksiyasi bo'ladi. Ya'ni, har bir formulani shaklning ekvivalent formulasiga keltirish mumkin 
, bu yerda va har biri oʻzgaruvchi yoki oʻzgaruvchining inkori yoki oʻzgaruvchilarning diszyunksiyasi yoki ularning inkori. Ushbu shakl deyiladi konyunktiv normal shakl
(KNF).
2.4-misol:
CNF ning alohida elementi deyiladi elementar disjunktsiya yoki nolning tarkibiy qismi.
Shubhasiz, har bir formulada cheksiz ko'p DNF va CNF mavjud.
2.5-misol: Keling, formula uchun bir nechta DNFlarni topamiz 
.
Mukammal oddiy shakllar
SDNF (mukammal DNF) - bu DNF bo'lib, unda har bir elementar birikma barcha elementar gaplarni yoki ularning inkorlarini bir marta o'z ichiga oladi; elementar birikmalar takrorlanmaydi.
SKNF (mukammal CNF) bu CNF bo'lib, unda har bir elementar dis'yunktsiya barcha elementar bayonotlarni yoki ularning inkorlarini bir marta o'z ichiga oladi; elementar dis'yunktsiyalar takrorlanmaydi.
2.6-misol: 1) - SDNF
2) 1 - SKNF
Keling, shakllantiraylik xarakterli xususiyatlar SDNF (SKNF).
1) Dizyunksiyaning (qo‘shma gapning) barcha a’zolari har xil;
2) Har bir bog‘lovchining (dizyunksiyaning) barcha a’zolari har xil;
3) Birorta ham bog‘lovchi (dizyunksiya) o‘zgaruvchini ham, uning inkorini ham o‘z ichiga olmaydi;
4) Har bir birikma (dizyunksiya) dastlabki formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga oladi.
Ko'rib turganimizdek, xarakterli xususiyatlar (lekin shakllar emas!) Ikkilik ta'rifini qondiradi, shuning uchun ikkalasini ham olishni o'rganish uchun bitta shaklni tushunish kifoya.
Ekvivalent transformatsiyalar yordamida DNF (CNF) dan SDNF (SKNF) ni osongina olish mumkin. Mukammal normal shakllarni olish qoidalari ham ikki tomonlama bo'lganligi sababli, biz SDNFni olish qoidasini batafsil tahlil qilamiz va ikkilik ta'rifidan foydalanib, SCNFni o'zingiz olish qoidasini shakllantiramiz.
Umumiy qoida Ekvivalent transformatsiyalar yordamida formulani SDNF ga keltirish:
Formulani berish uchun F, SDNF uchun bir xil noto'g'ri emas, bu etarli:
1) uni qandaydir DNFga olib boring;
2) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan diszyunksiya shartlarini inkori bilan birga olib tashlash (agar mavjud bo'lsa);
3) dis'yunksiyaning bir xil atamalaridan tashqari hammasini olib tashlash (agar mavjud bo'lsa);
4) har bir bog‘lovchining bir xil a’zosidan tashqari hammasini olib tashlash (mavjud bo‘lsa);
5) agar biron bir birikmada dastlabki formulaga kiritilgan oʻzgaruvchilar orasidan oʻzgaruvchi boʻlmasa, bu birikmaga atama qoʻshing va tegishli taqsimot qonunini qoʻllang;
6) agar paydo bo'lgan disjunction bir xil atamalarni o'z ichiga olsa, 3-retseptdan foydalaning.
Olingan formula bu formulaning SDNF sidir.
2.7-misol: Formula uchun SDNF va SCNF ni topamiz 
.
Ushbu formula uchun DNF allaqachon topilganligi sababli (2.5-misolga qarang), biz SDNFni olishdan boshlaymiz:
2) hosil bo'lgan dis'yunksiyada ularning inkorlari bilan birga o'zgaruvchilar ham bo'lmaydi;
3) diszyunksiyada bir xil a'zolar mavjud emas;
4) hech qanday qo‘shma gapda bir xil o‘zgaruvchilar yo‘q;
5) birinchi elementar bog‘lanishda asl formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilar bor, ikkinchi elementar birikmada esa o‘zgaruvchi yo‘q. z, shuning uchun unga a'zo qo'shamiz va distributiv qonunni qo'llaymiz: ;
6) disjunktsiyada bir xil atamalar paydo bo'lganligini payqash oson, shuning uchun biz bittasini olib tashlaymiz (3-retsept);
3) bir xil ajratmalardan birini olib tashlang: 
;
4) qolgan diszyunksiyalar bir xil atamalarga ega emas;
5) elementar ayirmalarning hech birida dastlabki formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilar mavjud emas, shuning uchun ularning har birini qo‘shma gap bilan to‘ldiramiz: ;
6) hosil bo‘lgan qo‘shma gapda bir xil ayirma gaplar bo‘lmaydi, shuning uchun topilgan qo‘shma shakl mukammal bo‘ladi.
Chunki agregatda SKNF va SDNF formulalari mavjud F 8 a'zo, keyin ular to'g'ri topilgan.
Har bir amalga oshiriladigan (soxtalashtiriladigan) formulada bitta noyob SDNF va bitta noyob SCNF mavjud. Tavtologiyada SKNF yo'q, ammo ziddiyatda SKNF yo'q.
Ta'rif. Ikkita mantiqiy algebra formulalari A va B chaqiriladi ekvivalent, agar ular elementar bayonotlar formulalariga kiritilgan har qanday qiymatlar to'plamida bir xil mantiqiy qiymatlarni qabul qilsalar.
Formulalarning ekvivalentligini belgi va yozuv bilan belgilaymiz A IN formulalarni bildiradi A va B ekvivalentdir.
Masalan, formulalar ekvivalentdir:
Formula A deb ataladi xuddi shunday haqiqat (yoki tavtologiya), agar unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun 1 qiymatini qabul qilsa.
Masalan, formulalar ham to'g'ri , .
Formula A chaqirdi xuddi shunday yolg'on, agar unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun 0 qiymatini qabul qilsa.
Masalan, formula xuddi shunday noto'g'ri.
Ko'rinib turibdiki, ekvivalentlik munosabati refleksiv, simmetrik va tranzitivdir.
Ekvivalentlik va ekvivalentlik tushunchalari o'rtasida quyidagi bog'liqlik mavjud: formulalar bo'lsa A Va IN ekvivalent, keyin formula A IN- tavtologiya va aksincha, formula bo'lsa A IN- tavtologiya, keyin formulalar A Va IN ekvivalentdir.
Mantiq algebrasining eng muhim ekvivalentlarini uch guruhga bo'lish mumkin.
1. Asosiy ekvivalentlar:
Yutish qonunlaridan birini isbotlaylik. Formulani ko'rib chiqing . Agar ushbu formulada bo'lsa A= 1 keyin, shubhasiz, va keyin ikkita haqiqiy bayonotning birikmasi sifatida. Keling, formulada A x = 0. Ammo keyin qo‘shma gap amalining ta’rifiga ko‘ra, bog‘lovchi ham yolg‘on bo‘ladi . Shunday qilib, barcha holatlarda formulaning qiymatlari A qiymatlarga mos keladi A, va shuning uchun A x.
2. Ayrim mantiqiy amallarni boshqalar orqali ifodalovchi ekvivalentlar:
5 va 6 ekvivalentlar mos ravishda 3 va 4 ekvivalentlardan olinadi, agar ikkinchisining ikkala qismidan inkorlar olib, qo'sh inkorlarni olib tashlash qonunidan foydalansak. Shunday qilib, birinchi to'rtta ekvivalentlik isbotga muhtoj. Keling, ulardan ikkitasini isbotlaylik: birinchi va uchinchi.
Chunki bir xil mantiqiy qiymatlar bilan X Va da, , , formulalari rost bo’lsa, bog’lovchi ham to’g’ri bo’ladi 
.
Shuning uchun, bu holda, ekvivalentlikning ikkala tomoni bir xil haqiqiy qiymatlarga ega.
Hozir ruxsat bering X Va da turli mantiqiy qiymatlarga ega. Keyin ekvivalentlik va ikkita ta'sirdan biri yoki noto'g'ri bo'ladi. Xuddi o'sha payt
qo‘shma gap yolg‘on bo‘ladi . Shunday qilib, bu holda, ekvivalentlikning ikkala tomoni bir xil mantiqiy ma'noga ega.
Ekvivalentlikni hisobga oling 3. Agar X Va da bir vaqtning o'zida haqiqiy qiymatlarni qabul qiling, shunda birikma haqiqat bo'ladi x&y va qo‘shma gapning yolg‘on inkori. Shu bilan birga va va noto'g'ri bo'ladi va shuning uchun diszyunktsiya ham yolg'on bo'ladi .
Keling, o'zgaruvchilardan kamida bittasini olaylik X yoki da noto'g'ri deb baholaydi. Shunda qo‘shma gap yolg‘on bo‘ladi x&y va uning haqiqiy inkori. Shu bilan birga, o'zgaruvchilardan kamida bittasining inkori to'g'ri bo'ladi va shuning uchun dis'yunksiya ham to'g'ri bo'ladi. .
Shuning uchun hamma hollarda 3-ekvivalentning ikkala tomoni ham bir xil mantiqiy qiymatlarni oladi.
2 va 4 ekvivalentlar xuddi shunday tarzda isbotlangan.
Bu guruhning ekvivalentlaridan kelib chiqadiki, mantiq algebrasidagi har qanday formula faqat ikkita mantiqiy amalni o'z ichiga olgan ekvivalent formula bilan almashtirilishi mumkin: konyunksiya va inkor yoki dis'yunksiya va inkor.
Mantiqiy operatsiyalarni boshqa yo'q qilish mumkin emas. Demak, agar biz faqat birikmani ishlatsak, unda inkor kabi formula X bog‘lovchi operator yordamida ifodalab bo‘lmaydi.
Biroq, biz foydalanadigan beshta mantiqiy amaldan istalganini ifodalash mumkin bo'lgan operatsiyalar mavjud. Bunday operatsiya, masalan, "Schefferning zarbasi" operatsiyasi. Ushbu operatsiya belgisi bilan ko'rsatilgan x|y va quyidagi haqiqat jadvali bilan aniqlanadi:
| x | y | x|y |
Shubhasiz, ekvivalentlar mavjud:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Ushbu ikkita ekvivalentlikdan kelib chiqadiki, mantiq algebrasidagi har qanday formula faqat "Schaeffer zarbasi" operatsiyasini o'z ichiga olgan ekvivalent formula bilan almashtirilishi mumkin.
Shu esta tutilsinki .
Operatsiya xuddi shunday kiritilishi mumkin 
.
3. Mantiq algebrasining asosiy qonunlarini ifodalovchi ekvivalentlar:
1. x&y y&x - qo‘shma gapning kommutativligi.
2. x da y X-dizyunksiyaning kommutativligi.
3. x&(y&y) (x&y)&z- qo‘shma gapning assotsiativligi.
4. X(y z ) (X y) z - dis'yunksiyaning assotsiativligi.
5. x&(y z) (x&y) (x&z)- qo‘shma gapning diszyunksiyaga nisbatan taqsimlanishi.
6. X (y&z) (X y)& (x z ) -dizyunksiyaning qo‘shma gapga nisbatan taqsimlanishi.
Keling, sanab o'tilgan qonunlarning oxirgisini isbotlaylik. Agar X= 1 bo'lsa, formulalar to'g'ri bo'ladi X (y& z), X y, x z . Ammo keyin qo'shma gap ham to'g'ri bo'ladi (X y)& (x z ). Shunday qilib, qachon X= 1, 6 ekvivalentining ikkala tomoni bir xil mantiqiy qiymatlarni oladi (to'g'ri).
Hozir ruxsat bering x = 0. Keyin X (y&z) y&z,x da da Va x z z , va shuning uchun birikma X (y&z) y&z. Demak, bu yerda 6-ekvivalentning ikkala tomoni bir xil formulaga ekvivalentdir y&z, va shuning uchun bir xil mantiqiy qiymatlarni qabul qiling.
§ 5. Formulalarni ekvivalent o'zgartirishlar
I, II va III guruhlarning ekvivalentlaridan foydalanib, formulaning bir qismini yoki formulani ekvivalent formula bilan almashtirishingiz mumkin. Formulalarning bunday o'zgarishi deyiladi ekvivalent.
Ekvivalent transformatsiyalar ekvivalentlikni isbotlash, formulalarni berilgan shaklga keltirish, formulalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.
Formula A uning ekvivalent formulasidan oddiyroq hisoblanadi IN, agar u kamroq harflarni o'z ichiga olsa, kamroq mantiqiy operatsiyalar. Bunda ekvivalentlik va implikatsiya amallari odatda dis'yunksiya va konyunksiya amallari bilan almashtiriladi va inkor elementar gaplar sifatida tasniflanadi. Keling, bir qator misollarni ko'rib chiqaylik.
1. Ekvivalentlikni isbotlang 
.
I, II va III guruhlarning ekvivalentlaridan foydalanish
2.
Formulani soddalashtiring 
.
Ekvivalent formulalar zanjirini yozamiz:
3. Formulaning bir xil haqiqatini isbotlang
Ekvivalent formulalar zanjirini yozamiz:
Mantiqiy algebra
III guruh ekvivalentlari mantiq algebrasi konyunksiya va dis’yunksiya amallari bo‘yicha kommutativ va assotsiativ qonunlarga va dis’yunksiyaga oid konyunksiyaning distributiv qonuniga ega ekanligini ko‘rsatadi; xuddi shu qonunlar sonlar algebrasida ham amal qiladi. Demak, sonlar algebrasida bajariladigan mantiq algebrasi formulalarida ham xuddi shunday o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin (qavslarni ochish, ularni qavs ichiga olish, umumiy ko'rsatkichni qavs ichidan chiqarish).
Ammo mantiq algebrasida ekvivalentlardan foydalanishga asoslangan boshqa o'zgarishlar ham mumkin:
Bu xususiyat bizga keng qamrovli umumlashmalarga kelish imkonini beradi.
Bo'sh bo'lmagan to'plamni ko'rib chiqing M har qanday tabiatning elementlari ( x,y,z,...} , bunda “=” (teng) munosabati va uchta amal aniqlanadi: “+” (qo‘shish), “ ” (ko‘paytirish) va “-” (inkor), quyidagi aksiomalarga rioya qilgan holda:
Kommutativ qonunlar:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
Uyushma qonunlari:
2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (y z) = (x y) z.
Tarqatish qonunlari:
3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Identifikatorlik qonunlari:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
Ikki tomonlama inkor qonuni:
De Morgan qonunlari:
6a. , 6b . .
Yutish qonunlari:
7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x.
Juda ko'p M chaqirdi Mantiqiy algebra.
Agar asosiy elementlar ostida bo'lsa x, y, z, ... Agar mos ravishda “+”, “ ”, “-” dis’yunksiya, kon’yunksiya, inkor amallari orqali gaplarni nazarda tutsak va tenglik belgisi tenglik belgisi sifatida qaralsa, I, II va III guruh ekvivalentlaridan quyidagicha kelib chiqadi. , mantiqiy algebraning barcha aksiomalari qanoatlantiriladi.
Aksiomalarning ma'lum bir tizimi uchun barcha aksiomalar qoniqtirilishi uchun aniq ob'ektlarni va ular orasidagi o'ziga xos munosabatlarni tanlash mumkin bo'lgan hollarda, ular topilgan deb aytishadi. talqin qilish(yoki modeli) bu aksiomalar tizimining.
Bu mantiq algebrasi mantiqiy algebraning talqini ekanligini anglatadi. Boole algebrasi boshqa talqinlarga ham ega. Misol uchun, agar asosiy elementlar ostida bo'lsa x, y, z, ... to'plamlar M to‘plamlarni, mos ravishda “+”, “ ”, “-” birlashma, kesish, qo‘shish amallarini, teng belgisi esa to‘plamlarning teng belgisini nazarda tutsak, to‘plamlar algebrasiga kelamiz. To'plamlar algebrasida Boole algebrasining barcha aksiomalari qanoatlantirilganligini tekshirish qiyin emas.
Mantiqiy algebraning turli talqinlari orasida texnik xarakterdagi talqinlar mavjud. Ulardan biri quyida muhokama qilinadi. Ko'rsatilgandek, u zamonaviy avtomatlashtirishda muhim rol o'ynaydi.
Mantiqiy algebra funktsiyalari
Yuqorida aytib o'tilganidek, mantiqiy algebra formulasining ma'nosi to'liq ushbu formulaga kiritilgan bayonotlarning ma'nolariga bog'liq. Demak, mantiq algebrasining formulasi unga kiritilgan elementar gaplarning funktsiyasidir.
Masalan, formula funktsiyadir
uchta o'zgaruvchi f(x,y,z). Bu funktsiyaning o'ziga xosligi shundaki, uning argumentlari ikkita qiymatdan birini oladi: nol yoki bitta va shu bilan birga funktsiya ikkita qiymatdan birini oladi: nol yoki bitta.
Ta'rif. Mantiqiy algebra funksiyasi gektar o'zgaruvchilar (yoki Mantiqiy funktsiya) ha o'zgaruvchilarning funktsiyasi deb ataladi, bunda har bir o'zgaruvchi ikkita qiymatni oladi: 0 va 1 va funktsiya faqat ikkita qiymatdan birini qabul qilishi mumkin: 0 yoki 1.
Ko'rinib turibdiki, mantiq algebrasining bir xil to'g'ri va bir xil noto'g'ri formulalari doimiy funktsiyalar, va ikkita ekvivalent formulalar bir xil funktsiyani ifodalaydi.
n ta o‘zgaruvchining funksiyalar soni qancha ekanligini bilib olaylik. Shubhasiz, mantiq algebrasining har bir funktsiyasi (shuningdek, mantiq algebrasining formulasi) 2 n qatordan iborat bo'lgan haqiqat jadvali yordamida aniqlanishi mumkin. Shunday qilib, n ta o'zgaruvchining har bir funktsiyasi nol va birlardan tashkil topgan 2 n qiymatni oladi. Shunday qilib, n o'zgaruvchining funktsiyasi nollar va uzunligi 2 n bo'lgan birliklar qiymatlari to'plami bilan to'liq aniqlanadi. (Nollar va 2 n uzunlikdagi birliklar to'plamining umumiy soni ga teng. Bu shuni anglatadiki, mantiq algebrasining turli vazifalari P o'zgaruvchilar ga teng.
Xususan, bitta o‘zgaruvchining to‘rt xil funksiyasi, ikki o‘zgaruvchining o‘n olti xil funksiyasi mavjud. Keling, mantiq algebrasining barcha funktsiyalarini bittasiga yozamiz Va ikkita o'zgaruvchi.
Bitta o'zgaruvchining turli funktsiyalari uchun haqiqat jadvalini ko'rib chiqing. Bu aniq ko'rinadi:
| x | f 1 (x) | f2(x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Ushbu jadvaldan kelib chiqadiki, bitta o'zgaruvchining ikkita funktsiyasi doimiy bo'ladi: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, a f2(x) X, Va f 3 (x) .
Ikki o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan funktsiyalari uchun haqiqat jadvali quyidagi shaklga ega:
f i = f i (x, y)
| x | y | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | f 7 | f 8 | f 9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Bu funksiyalarning analitik ifodalarini quyidagicha yozish mumkinligi aniq.
Yechishdagi tenglamadan atalmish tenglamaga o'tish imkonini beradi ekvivalent tenglamalar Va xulosa tenglamalari, ularning yechimlaridan dastlabki tenglamaning yechimini aniqlash mumkin. Ushbu maqolada qaysi tenglamalar ekvivalent va qaysi biri xulosa tenglamalar deb ataladiganligini batafsil tahlil qilamiz, tegishli ta’riflarni beramiz, tushuntiruvchi misollar keltiramiz va ekvivalent tenglama va xulosa tenglamaning ma’lum ildizlaridan foydalangan holda tenglamaning ildizlarini qanday topishni tushuntiramiz. .
Ekvivalent tenglamalar, ta'rif, misollar
Ekvivalent tenglamalarni aniqlaylik.
Ta'rif
Ekvivalent tenglamalar- bu bir xil ildizga ega yoki ildizi bo'lmagan tenglamalar.
Ma’nosi bir xil, lekin ifodalanishida biroz farq qiluvchi ta’riflar turli matematika darsliklarida berilgan, masalan:
Ta'rif
f(x)=g(x) va r(x)=s(x) ikkita tenglama deyiladi ekvivalent, agar ular bir xil ildizga ega bo'lsa (yoki, xususan, ikkala tenglamada ham ildiz bo'lmasa).
Ta'rif
Ildizlari bir xil bo'lgan tenglamalar deyiladi ekvivalent tenglamalar. Ildizlari bo'lmagan tenglamalar ham ekvivalent hisoblanadi.
Xuddi shu ildizlar deganda quyidagilar tushuniladi: agar biron bir son ekvivalent tenglamalardan birining ildizi bo'lsa, u boshqa tenglamalarning ildizi ham bo'ladi va ekvivalent tenglamalarning birortasi ham tenglama bo'lmagan ildizga ega bo'lishi mumkin emas. ularning har qanday boshqasining ildizi. bu tenglamalar.
Ekvivalent tenglamalarga misollar keltiramiz. Masalan, 4 x = 8, 2 x = 4 va x = 2 uchta tenglama ekvivalentdir. Darhaqiqat, ularning har biri bitta ildiz 2 ga ega, shuning uchun ular ta'rifi bo'yicha ekvivalentdir. Yana bir misol: ikkita x·0=0 va 2+x=x+2 tenglamalar ekvivalent, ularning yechimlari to'plamlari mos keladi: ularning birinchi va ikkinchisining ildizi istalgan son. Ikki x=x+5 va x 4 =−1 tenglamalari ham ekvivalent tenglamalarga misol boʻladi; ularning har ikkalasining ham haqiqiy yechimi yoʻq.
Rasmni to'ldirish uchun teng bo'lmagan tenglamalarga misollar keltirish kerak. Masalan, x=2 va x 2 =4 tenglamalar ekvivalent emas, chunki ikkinchi tenglama birinchi tenglamaning ildizi bo'lmagan -2 ildizga ega. Tenglamalar va ular ham ekvivalent emas, chunki ikkinchi tenglamaning ildizlari har qanday sonlar va nol soni birinchi tenglamaning ildizi emas.
Ekvivalent tenglamalarning ko'rsatilgan ta'rifi bitta o'zgaruvchiga ega tenglamalarga ham, o'zgaruvchilari ko'p bo'lgan tenglamalarga ham tegishli. Biroq, ikki, uch va boshqalar bilan tenglamalar uchun. o'zgaruvchilar, ta'rifdagi "ildiz" so'zi "yechimlar" so'zi bilan almashtirilishi kerak. Shunday qilib,
Ta'rif
Ekvivalent tenglamalar- bular bir xil yechimga ega yoki ular yo'q tenglamalar.
Bir necha o'zgaruvchiga ega ekvivalent tenglamalarga misol keltiramiz. x 2 +y 2 +z 2 =0 va 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - bu erda uchta o'zgaruvchili x, y va z bo'lgan ekvivalent tenglamalarga misol, ularning ikkalasi ham yagona yechimga ega (0, 0) , 0). Ammo ikkita o'zgaruvchili x+y=5 va x·y=1 tenglamalar ekvivalent emas, chunki, masalan, x=2, y=3 qiymatlari juftligi birinchi tenglamaning yechimidir (bu qiymatlarni almashtirganda birinchi tenglamada biz to'g'ri tenglikni olamiz 2+3=5), lekin ikkinchisining yechimi emas (bu qiymatlarni ikkinchi tenglamaga almashtirganda 2·3=1 noto'g'ri tenglikni olamiz).
Natija tenglamalari
Mana maktab darsliklaridan xulosa tenglamalarining ta'riflari:
Ta'rif
Agar f(x)=g(x) tenglamaning har bir ildizi bir vaqtning o‘zida p(x)=h(x) tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda p(x)=h(x) tenglama deyiladi. oqibat f(x)=g(x) tenglamalari.
Ta'rif
Agar birinchi tenglamaning barcha ildizlari ikkinchi tenglamaning ildizlari bo'lsa, ikkinchi tenglama deyiladi. oqibat birinchi tenglama.
Keling, xulosa tenglamalarga bir nechta misol keltiraylik. x 2 =3 2 tenglama x−3=0 tenglamaning natijasidir. Darhaqiqat, ikkinchi tenglama bitta ildizga ega x=3, bu ildiz ham x 2 =3 2 tenglamaning ildizi, shuning uchun ta'rifiga ko'ra, x 2 =3 2 tenglama x−3= tenglamaning natijasidir. 0. Yana bir misol: (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 tenglama tenglamaning natijasidir. 
, chunki ikkinchi tenglamaning barcha ildizlari (ulardan ikkitasi bor, bular 2 va 3) birinchi tenglamaning ildizlari ekanligi aniq.
Xulosa tenglamaning ta'rifidan kelib chiqadiki, mutlaqo har qanday tenglama hech qanday ildizga ega bo'lmagan har qanday tenglamaning natijasidir.
Ekvivalent tenglamalarning ta'rifi va natijaviy tenglamaning ta'rifidan bir qancha aniq natijalarni keltirish kerak:
- Agar ikkita tenglama ekvivalent bo'lsa, ularning har biri boshqasining natijasidir.
- Agar ikkita tenglamaning har biri ikkinchisining natijasi bo'lsa, bu tenglamalar ekvivalentdir.
- Ikki tenglama, agar ularning har biri boshqasining natijasi bo'lsa, ekvivalent hisoblanadi.
1. Ikki teng o'yinchi durang bo'lmagan o'yinni o'ynaydi. Birinchi o'yinchining g'alaba qozonish ehtimoli qanday: a) ikkitadan bitta o'yin? b) to'rtdan ikkitasi? c) oltitadan uchtasi?
Javob: A) ; b) ; V)
3. Segment AB nuqta bilan ajratilgan BILAN 2: 1 nisbatda. Ushbu segmentga tasodifiy to'rtta nuqta tashlanadi. Ulardan ikkitasi C nuqtaning chap tomonida, ikkitasi esa o'ngda bo'lish ehtimolini toping.
Javob:
4. Har bir sinovda bu hodisaning sodir bo‘lish ehtimoli 0,25 bo‘lsa, A hodisasining 243 ta sinovda roppa-rosa 70 marta sodir bo‘lish ehtimolini toping.
Javob: .
5. O'g'il tug'ilish ehtimoli 0,515 ga teng. 100 ta yangi tug'ilgan chaqaloq orasida teng miqdordagi o'g'il va qiz bolalar bo'lish ehtimolini toping.
Javob: 0,0782
6. Do'konga shisha idishlarda 500 ta shisha keldi. Har qanday shishani tashish paytida sindirish ehtimoli 0,003 ga teng. Do'konga singan shishalarni olish ehtimolini toping: a) aniq ikkita; b) ikkitadan kam; c) kamida ikkita; d) kamida bitta.
Javob: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95
7. Avtomobil zavodi 80% avtomobillarni sezilarli nuqsonlarisiz ishlab chiqaradi. Zavoddan avtomobil birjasiga yetkazib berilgan 600 ta mashina ichida kamida 500 tasi sezilarli nuqsoni bo‘lmagan mashinalar bo‘lish ehtimoli qanday?
Javob: 0,02.
8. Tangani necha marta tashlash kerak, shunda 0,95 ehtimollik bilan gerb paydo bo'lishining nisbiy chastotasi ehtimollikdan chetga chiqishini kutish mumkin. R=0,5 gerbning bir tanga otilishi bilan ko'rinishi 0,02 dan oshmaydi?
Javob: n ≥ 2401.
9. 100 ta mustaqil hodisaning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli doimiy va teng p=0,8. Hodisa paydo bo'lish ehtimolini toping: a) kamida 75 marta va 90 martadan ko'p bo'lmagan; b) kamida 75 marta; v) 74 martadan ko'p bo'lmagan.
Javob: a B C).
10. Mustaqil sinovlarning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli 0,2 ga teng. Hodisa yuzaga kelishining nisbiy chastotasining uning ehtimolidan qanday og‘ishini 0,9128 ehtimollik bilan 5000 ta sinovdan kutish mumkinligini toping.
Javob:
11. Tangani necha marta tashlash kerak, shunda 0,6 ehtimollik bilan gerb paydo bo'lishining nisbiy chastotasining ehtimollikdan chetlanishini kutish mumkin. p=0,5 mutlaq qiymatda 0,01 dan oshmaydi.
Javob: n = 1764.
12. 10 000 ta mustaqil sinovning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli 0,75 ga teng. Hodisa yuzaga kelishining nisbiy chastotasi uning mutlaq qiymatdagi ehtimolidan 0,01 dan ko‘p bo‘lmagan chetga chiqish ehtimolini toping.
Javob: .
13. Mustaqil sinovlarning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimolligi 0,5 ga teng. Sinovlar sonini toping n, bunda 0,7698 ehtimollik bilan voqea sodir bo'lishining nisbiy chastotasi uning mutlaq qiymatdagi ehtimolidan 0,02 dan ko'p bo'lmagan chetga chiqishini kutishimiz mumkin.
Yuklanmoqda...