Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi. Diskret ikki o'lchovli tasodifiy miqdorlar Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimotini toping

Ikki o'lchovli bo'lsin tasodifiy qiymat$(X,Y)$.

Ta'rif 1

$(X,Y)$ ikki oʻlchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni $(x_i,\ y_j)$ (bu yerda $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) va ularning mumkin boʻlgan juftliklari toʻplamidir. ehtimolliklar $p_(ij)$ .

Ko'pincha ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval shaklida yoziladi (1-jadval).

Shakl 1. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni.

Endi eslaylik mustaqil hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasi.

Teorema 1

$(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ chekli sonli mustaqil hodisalar yigʻindisining ehtimoli quyidagi formula boʻyicha hisoblanadi:

Ushbu formuladan foydalanib, siz ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchining har bir komponenti uchun taqsimot qonunlarini olishingiz mumkin, ya'ni:

Bundan kelib chiqadiki, ikki o'lchovli tizimning barcha ehtimolliklari yig'indisi quyidagi shaklga ega:

Keling, ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tushunchasi bilan bog'liq muammoni batafsil (bosqichma-bosqich) ko'rib chiqaylik.

1-misol

Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagi jadvalda berilgan:

2-rasm.

$X,\ Y$, $X+Y$ tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonunlarini toping va har bir holatda ehtimollarning umumiy yig‘indisi birga teng ekanligini tekshiring.

Avval $X$ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimotini topamiz. $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x_1=2, $$x_2=3$, $x_3=5$ qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Tarqatishni topish uchun biz 1-teoremadan foydalanamiz.

Avval $x_1$ ehtimollar yig‘indisini quyidagicha topamiz:

3-rasm.

Xuddi shunday, biz $P\left(x_2\right)$ va $P\left(x_3\right)$ topamiz:

\ \

4-rasm.

Keling, $Y$ tasodifiy miqdorning taqsimlanishini topamiz. $Y$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $x_1=1, $$x_2=3$, $x_3=4$ qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Tarqatishni topish uchun biz 1-teoremadan foydalanamiz.

Avval $y_1$ ehtimollar yig‘indisini quyidagicha topamiz:

5-rasm.

Xuddi shunday, biz $P\left(y_2\right)$ va $P\left(y_3\right)$ topamiz:

\ \

Bu shuni anglatadiki, $X$ qiymatining taqsimlanish qonuni quyidagi shaklga ega:

6-rasm.

Keling, ehtimollar umumiy yig'indisining tengligini tekshiramiz:

$X+Y$ tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini topish qoladi.

Qulaylik uchun uni $Z$ bilan belgilaymiz: $Z=X+Y$.

Birinchidan, bu miqdor qanday qiymatlarni olishi mumkinligini aniqlaymiz. Buning uchun biz $X$ va $Y$ qiymatlarini juft-juft qilib qoʻshamiz. Biz quyidagi qiymatlarni olamiz: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Endi mos qiymatlardan voz kechsak, $X+Y$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $z_1 qiymatlarini olishi mumkinligini aniqlaymiz. =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Avval $P(z_1)$ ni topamiz. $z_1$ qiymati bitta bo'lgani uchun u quyidagicha topiladi:

7-rasm.

$P(z_4)$ dan tashqari barcha ehtimollar xuddi shunday topiladi:

Keling, $P(z_4)$ ni quyidagicha topamiz:

8-rasm.

Bu shuni anglatadiki, $Z$ qiymatini taqsimlash qonuni quyidagi shaklga ega:

9-rasm.

Keling, ehtimollar umumiy yig'indisining tengligini tekshiramiz:

ikki o'lchovli diskret taqsimot tasodifiy

Ko'pincha tajriba natijasi bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar bilan tavsiflanadi: . Masalan, kunning ma'lum bir vaqtidagi ob-havo quyidagi tasodifiy o'zgaruvchilar bilan tavsiflanishi mumkin: X 1 - harorat, X 2 - bosim, X 3 - havo namligi, X 4 - shamol tezligi.

Bunday holda, biz ko'p o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi yoki tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi haqida gapiramiz.

Mumkin qiymatlari raqamlar juftligi bo'lgan ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing. Geometrik jihatdan ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchini tekislikdagi tasodifiy nuqta sifatida talqin qilish mumkin.

Agar komponentlar X Va Y diskret tasodifiy o'zgaruvchilar, u holda diskret ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar va agar X Va Y uzluksiz, u holda uzluksiz ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchidir.

Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti qonuni - bu mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlik.

Ikki o'lchovli diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni ikki tomonlama kirishga ega bo'lgan jadval shaklida ko'rsatilishi mumkin (6.1-jadvalga qarang), bu erda komponentning bo'lish ehtimoli. X ma'no oldi x i, va komponent Y- ma'nosi y j .

6.1.1-jadval.

	y 1	y 2	y j	y m
x 1	p 11	p 12	p 1j	p 1m
x 2	p 21	p 22	p 2j	p 2m

x i	p i1	p i2	p ij	p im

x n	p n1	p n2	p nj	p nm

Hodisalar juft-juft mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qilganligi sababli, ehtimollar yig'indisi 1 ga teng, ya'ni.

6.1-jadvaldan siz bir o'lchovli komponentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini topishingiz mumkin X Va Y.

Misol 6.1.1 . Komponentlarning taqsimlanish qonuniyatlarini toping X Va Y, agar ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimoti 6.1.2-jadval shaklida berilgan bo'lsa.

6.1.2-jadval.

Agar biz argumentlardan birining qiymatini aniqlasak, masalan, natijada qiymat taqsimoti X shartli taqsimot deyiladi. Shartli taqsimot ham xuddi shunday aniqlanadi Y.

Misol 6.1.2 . Jadvalda berilgan ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimlanishi bo'yicha. 6.1.2, toping: a) komponentning shartli taqsimot qonuni X shartiga ko'ra; b) shartli taqsimot qonuni Y sharti bilan.

Yechim. Komponentlarning shartli ehtimolliklari X Va Y formulalar yordamida hisoblab chiqiladi

Shartli taqsimot qonuni X shaklga ega bo'lishi sharti bilan

Boshqaruv: .

Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni shaklda ko'rsatilishi mumkin tarqatish funktsiyalari, bu har bir juft son uchun buning ehtimolini aniqlaydi X dan kichikroq qiymat qabul qiladi X, va unda Y dan kichikroq qiymat qabul qiladi y:

Geometrik jihatdan funktsiya tasodifiy nuqtaning nuqtadagi tepasi bilan cheksiz kvadratga tushish ehtimolini anglatadi (6.1.1-rasm).

Keling, xususiyatlariga e'tibor qaratamiz.

1. Funktsiya qiymatlari diapazoni , ya'ni. .
2. Funksiya - har bir argument uchun kamaymaydigan funksiya.
3. Cheklovchi munosabatlar mavjud:

Tizimning taqsimlash funktsiyasi komponentning taqsimlash funktsiyasiga teng bo'lganda X, ya'ni. .

Xuddi shunday, .

Buni bilib, siz tasodifiy nuqtaning ABCD to'rtburchaklar ichiga tushish ehtimolini topishingiz mumkin.

Aynan,

6.1.3-misol. Ikki o'lchovli diskret tasodifiy o'zgaruvchi taqsimot jadvali bilan belgilanadi

Tarqatish funksiyasini toping.

Yechim. Diskret komponentlar holatidagi qiymat X Va Y barcha ehtimolliklarni indekslar bilan yig‘ish yo‘li bilan topiladi i Va j, buning uchun, . Keyin, agar va, keyin (hodisalar va mumkin emas). Xuddi shunday, biz ham olamiz:

agar va, keyin;

agar va, keyin.

Olingan natijalarni qiymatlar jadvali (6.1.3) ko'rinishida keltiramiz:

Uchun ikki o'lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor, ehtimollik zichligi tushunchasi kiritiladi

Geometrik ehtimollik zichligi kosmosdagi taqsimot yuzasi

Ikki o'lchovli ehtimollik zichligi quyidagi xususiyatlarga ega:

3. Taqsimlash funksiyasini formula orqali ifodalash mumkin

4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning mintaqaga tushish ehtimoli teng

5. Funksiyaning (4) xossasiga muvofiq quyidagi formulalar bajariladi:

6.1.4-misol. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi berilgan

Ta'rif. Agar elementar hodisalarning bir xil fazosida ikkita tasodifiy miqdor berilgan bo'lsa X Va Y, keyin berilgan, deyishadi ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi (X, Y) .

Misol. Mashina po'lat plitkalarni shtamplaydi. Boshqariladigan uzunlik X va kenglik Y. − ikki o‘lchovli SV.

NE X Va Y o'z taqsimlash funktsiyalari va boshqa xususiyatlarga ega.

Ta'rif. Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchining (X,Y) taqsimot funksiyasi funksiya deb ataladi.

Ta'rif. Diskret ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni (X, Y) stol deb ataladi

			…


…

Ikki o'lchovli diskret SV uchun.

Xususiyatlari:

2) agar , keyin ; agar , keyin ;

4) − taqsimlash funksiyasi X;

− taqsimlash funksiyasi Y.

Ikki o'lchovli SV qiymatlarining to'rtburchakka tushish ehtimoli:

Ta'rif. Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi (X,Y) chaqirdi davomiy , agar uning taqsimlash funktsiyasi uzluksiz va hamma joyda (cheklangan sonli egri chiziqlardan tashqari) 2-tartibdagi uzluksiz aralash qisman hosilaga ega .

Ta'rif. Ikki o'lchovli uzluksiz SV ning qo'shma ehtimollik taqsimotining zichligi funksiya deb ataladi.

Keyin aniq .

1-misol. Ikki o'lchovli uzluksiz SV taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi

Keyin tarqatish zichligi shaklga ega

2-misol. Ikki o'lchovli uzluksiz SV taqsimot zichligi bilan belgilanadi

Uning taqsimot funksiyasini topamiz:

Xususiyatlari:

3) har qanday hudud uchun.

Birgalikda taqsimlanish zichligi ma'lum bo'lsin. Keyin ikki o'lchovli SV ning har bir komponentining taqsimlanish zichligi quyidagicha topiladi:

2-misol (davomi).

Ba'zi mualliflar ikki o'lchovli SW komponentlarini taqsimlash zichligini chaqirishadi marginal ehtimolliklarni taqsimlash zichliklari .

Diskret SVlar sistemasi komponentlarini taqsimlashning shartli qonuniyatlari.

Shartli ehtimollik, bu yerda .

Komponentning shartli taqsimot qonuni X da :

X			…
R			…

Xuddi shunday, qaerda uchun.

Shartli taqsimot qonunini tuzamiz X da Y= 2.

Keyin shartli taqsimot qonuni

X	-1
R

Ta'rif. X komponentning shartli taqsimlanish zichligi berilgan qiymatda Y=y chaqirdi.

O'xshash: .

Ta'rif. Shartli matematik diskret SV Y ni kutish at deyiladi, bu erda - yuqoriga qarang.

Demak, .

Uchun davomiy NE Y .

Shubhasiz, bu argumentning funktsiyasidir X. Bu funksiya deyiladi Y ning X ustidagi regressiya funksiyasi .

Xuddi shunday ta'riflangan X ga Y regressiya funksiyasi : .

Teorema 5. (Mustaqil SV larning taqsimot funksiyasi haqida)

NE X Va Y

Natija. Uzluksiz SV X Va Y mustaqil bo'ladi, agar va faqat bo'lsa.

1-misolda da. Shuning uchun, SV X Va Y mustaqil.

Ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning tarkibiy qismlarining raqamli xarakteristikalari

Diskret SV uchun:

Uzluksiz CB uchun: .

Barcha SVlar uchun dispersiya va standart og'ish bizga ma'lum bo'lgan bir xil formulalar yordamida aniqlanadi:

Ta'rif. Nuqta deyiladi dispersiya markazi ikki o'lchovli SV.

Ta'rif. Kovariatsiya (korrelyatsiya momenti) SV deb ataladi

Diskret SV uchun: .

Uzluksiz CB uchun: .

Hisoblash uchun formula: .

Mustaqil SVlar uchun.

Xarakteristikaning noqulayligi uning o'lchamidir (komponentlarning o'lchov birligining kvadrati). Quyidagi miqdor bu kamchilikdan xoli.

Ta'rif. Korrelyatsiya koeffitsienti NE X Va Y chaqirdi

Mustaqil SVlar uchun.

Har qanday SV juftligi uchun . Ma'lumki agar va faqat agar, qachon, qaerda.

Ta'rif. NE X Va Y chaqiriladi bog'liq bo'lmagan , Agar .

Korrelyatsiya va SV qaramligi o'rtasidagi bog'liqlik:

- agar SV bo'lsa X Va Y o'zaro bog'liq, ya'ni. , keyin ular qaram bo'ladi; teskari emas;

- agar SV bo'lsa X Va Y mustaqildirlar ; buning aksi to'g'ri emas.

Eslatma 1. Agar NE X Va Y oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi va , keyin ular mustaqil.

Eslatma 2. Amaliy ahamiyati qaramlik o'lchovi sifatida faqat juftlikning birgalikdagi taqsimoti normal yoki taxminan normal bo'lganda oqlanadi. O'zboshimchalik bilan SV uchun X Va Y siz noto'g'ri xulosaga kelishingiz mumkin, ya'ni. balkim qachon ham X Va Y qat'iy funksional bog'liqlik bilan bog'langan.

Eslatma 3. IN matematik statistika korrelyatsiya - bu, umuman olganda, qat'iy funktsional xususiyatga ega bo'lmagan miqdorlar orasidagi ehtimollik (statistik) bog'liqlik. Korrelyatsiya bog'liqligi kattaliklardan biri faqat ikkinchisiga emas, balki bir qancha tasodifiy omillarga ham bog'liq bo'lganda yoki u yoki bu miqdor bog'liq bo'lgan shartlar orasida ularning ikkalasiga ham umumiy shartlar mavjud bo'lganda yuzaga keladi.

4-misol. SV uchun X Va Y 3-misoldan toping .

Yechim.

5-misol. Ikki o'lchovli SV ning qo'shma taqsimlanishining zichligi berilgan.

Tasodifiy o'zgaruvchilar to'plami X 1 ,X 2 ,...,X p, ehtimollik maydoni () shakllari bo'yicha aniqlangan P- o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi ( X 1 ,X 2 ,...,X p). Agar iqtisodiy jarayon ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar yordamida tasvirlangan X 1 va X 2, keyin ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi aniqlanadi ( X 1 ,X 2) yoki ( X,Y).

Tarqatish funksiyasi ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi ( X,Y), o‘zgaruvchilar funksiyasi sifatida qaraladi hodisaning yuzaga kelish ehtimoli deyiladi :

Tarqatish funktsiyasi qiymatlari tengsizlikni qondiradi

BILAN geometrik nuqta tarqatish funktsiyasi ko'rinishi F(x,y) tasodifiy nuqta bo'lish ehtimolini aniqlaydi ( X,Y) cho'qqisi ( nuqtada) bilan cheksiz kvadrantga tushadi. X,da), nuqtadan beri ( X,Y) ko'rsatilgan cho'qqidan pastda va chapda bo'ladi (9.1-rasm).

X,Y) yarim chiziqda (9.2-rasm) yoki yarim chiziqda (9.3-rasm) formulalar bilan ifodalanadi:

mos ravishda. Qiymatlarga erishish ehtimoli X,Y) to'rtburchak shaklida (9.4-rasm) quyidagi formula yordamida topish mumkin:

9.2-rasm 9.3-rasm 9.4-rasm

Diskret komponentlari diskret bo'lgan ikki o'lchovli miqdor deb ataladi.

Tarqatish qonuni ikki o'lchovli diskret tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y) - barcha mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami ( x i, y j), , diskret tasodifiy miqdorlar X Va Y va ularning mos keladigan ehtimoli , komponentning ehtimolini tavsiflovchi X qiymatini oladi x i va ayni paytda komponent Y qiymatini oladi y j, va

Ikki o'lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni ( X,Y) jadval shaklida berilgan. 9.1.

9.1-jadval

Ω X Ω Y	x 1	x 2	…	x i	…
y 1	p(x 1 ,y 1)	p(x 2 ,y 1)	…	p( x i,y 1)	…
y 2	p(x 1 ,y 2)	p(x 2 ,y 2)	…	p( x i,y 2)	…
…	…	…	…	…	…
y i	p(x 1 ,y i)	p(x 2 ,y i)	…	p( x i,y i)	…
…	…	…	…	…	…

Davomiy komponentlari uzluksiz bo'lgan ikki o'lchovli tasodifiy miqdor deb ataladi. Funktsiya R(X,da), chegarasiga teng ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli nisbati ( X,Y) tomonlari bo'lgan to'rtburchakga va bu to'rtburchakning maydoniga, agar to'rtburchakning ikkala tomoni nolga moyil bo'lsa, deyiladi. ehtimollik taqsimoti zichligi:

Tarqatish zichligini bilib, siz tarqatish funktsiyasini formuladan foydalanib topishingiz mumkin:

Tarqatish funktsiyasining ikkinchi tartibli aralash hosilasi mavjud bo'lgan barcha nuqtalarda , ehtimollik taqsimoti zichligi formuladan foydalanib topish mumkin:

Tasodifiy nuqtaga urish ehtimoli ( X,da) hududga D tenglik bilan belgilanadi:

Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lish ehtimoli X ma'no oldi X<х tasodifiy o'zgaruvchi bo'lishi sharti bilan Y belgilangan qiymatni oldi Y=y, quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Xuddi shunday,

Komponentlarning shartli ehtimollik taqsimot zichligini hisoblash uchun formulalar X Va Y :

Shartli ehtimollar to'plami p(x 1 |y i), p(x 2 |y i), …, p(x i |y i), … shartni bajarish Y=y i, komponentning shartli taqsimlanishi deyiladi X da Y=y iX,Y), Qayerda

Xuddi shunday, komponentning shartli taqsimlanishi Y da X=x i diskret ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y) shartga mos keladigan shartli ehtimollar to‘plamidir X=x i, Qayerda

Buyurtmaning dastlabki momentik+s ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y va , ya'ni. .

Agar X Va Y - diskret tasodifiy o'zgaruvchilar, keyin

Agar X Va Y - uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar, keyin

Markaziy daqiqa buyurtma k+s ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y) mahsulotlarning matematik kutilishi deyiladi Va ,bular.

Agar komponent miqdorlari diskret bo'lsa, u holda

Agar komponent miqdorlari uzluksiz bo'lsa, u holda

Qayerda R(X,y) – ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi ( X,Y).

Shartli matematik kutishY(X)da X=x(da Y=y) shaklning ifodasi deyiladi:

- diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun Y(X);

– uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun Y(X).

Komponentlarning matematik taxminlari X Va Y Ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

Korrelyatsiya momenti mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar X Va Y ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchiga kiritilgan ( X,Y), bu miqdorlarning og'ishlari mahsulotining matematik kutilishi deyiladi:

Ikki mustaqil tasodifiy miqdorning korrelyatsiya momenti XX,Y), nolga teng.

Korrelyatsiya koeffitsienti tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchiga kiritilgan ( X,Y), korrelyatsiya momentining ushbu miqdorlarning standart og'ishlari ko'paytmasiga nisbati deyiladi:

Korrelyatsiya koeffitsienti orasidagi chiziqli korrelyatsiya darajasini (yaqinligini) xarakterlaydi X Va Y. Tasodifiy o'zgaruvchilar, ular uchun korrelyatsiyasiz deyiladi.

Korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi xususiyatlarga javob beradi:

1. Korrelyatsiya koeffitsienti tasodifiy miqdorlarning o'lchov birliklariga bog'liq emas.

2. Korrelyatsiya koeffitsientining mutlaq qiymati birdan oshmaydi:

3. Agar u holda komponentlar orasida X Va Y tasodifiy o'zgaruvchi ( X, Y) chiziqli funksional munosabat mavjud:

4. Agar keyin komponentlar X Va Y ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar o'zaro bog'liq emas.

5. Agar keyin komponentlar X Va Y ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq.

Tenglamalar M(X|Y=y)=φ( da) Va M(Y|X=x)=ψ( x) regressiya tenglamalari, ular orqali aniqlangan chiziqlar esa regressiya chiziqlari deyiladi.

Vazifalar

9.1. Ikki o'lchovli diskret tasodifiy miqdor (X, Y) taqsimlash qonuni bilan belgilanadi:

9.2-jadval

Ō x Ō y
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

Toping: a) komponentlarning tarqalish qonuniyatlarini X Va Y;

b) qiymat taqsimotining shartli qonuni Y da X =1;

v) taqsimlash funksiyasi.

Miqdorlarning mustaqilligini aniqlang X Va Y. Ehtimollik va asosiy raqamli xarakteristikalarni hisoblang M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .

Yechim. a) Tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y elementar natijalardan iborat to'plamda aniqlanadi, ular quyidagi shaklga ega:

Tadbir ( X= 1) birinchi komponenti 1 ga teng bo'lgan natijalar to'plamiga mos keladi: (1;0), (1;1), (1;2). Bu natijalar mos kelmaydi. Buning ehtimoli X qiymatini oladi x i, Kolmogorovning 3 aksiomasiga ko'ra, quyidagilarga teng:

Xuddi shunday

Shuning uchun komponentning marjinal taqsimoti X, jadval shaklida ko'rsatilishi mumkin. 9.3.

9.3-jadval

b) Shartli ehtimollar to'plami R(1;0), R(1;1), R(1;2) shartni bajarish X=1, komponentning shartli taqsimlanishi deyiladi Y da X=1. Qiymat qiymatlarining ehtimoli Y da X=1 formuladan foydalanib topamiz:

Demak, mos keladigan ehtimollarning qiymatlarini almashtirib, biz olamiz

Demak, komponentning shartli taqsimlanishi Y da X=1 quyidagi shaklga ega:

9.5-jadval

y j
	0,48	0,30	0,22

Shartli va shartsiz taqsimot qonunlari bir-biriga mos kelmasligi sababli (9.4 va 9.5-jadvallarga qarang), qiymatlar X Va Y qaram. Bu xulosa tenglik bilan tasdiqlanadi

har qanday mumkin bo'lgan qiymatlar juftligi uchun X Va Y.

Masalan,

c) Tarqatish funksiyasi F(x,y) ikki o'lchovli tasodifiy miqdor (X,Y) shaklga ega:

bu erda yig'ish tengsizliklar bir vaqtning o'zida qondiriladigan barcha nuqtalar () bo'yicha bajariladi. x i Va y j . Keyin berilgan taqsimot qonuni uchun biz quyidagilarni olamiz:

Natijani 9.6-jadval shaklida taqdim etish qulayroqdir.

9.6-jadval

X y

0,20 0,35 0,43 0,48
0,30 0,5 0,63 0,78
0,35 0,62 0,83
9.3 va 9.4-jadvallarning dastlabki momentlari va natijalari uchun formulalardan foydalanamiz va komponentlarning matematik taxminlarini hisoblaymiz. X Va Y:

Biz ikkinchi boshlang'ich moment va jadval natijalari yordamida dispersiyalarni hisoblaymiz. 9.3 va 9.4:

Kovariatsiyani hisoblash uchun TO(X, Y) biz boshlang'ich moment orqali shunga o'xshash formuladan foydalanamiz:

Korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Kerakli ehtimollik tegishli tengsizlik bilan aniqlangan tekislikdagi mintaqaga tushish ehtimoli sifatida aniqlanadi:

9.2. Kema "SOS" xabarini uzatadi, uni ikkita radiostansiya qabul qilishi mumkin. Bu signalni bir radiostansiya boshqasidan mustaqil ravishda qabul qilishi mumkin. Signalning birinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinishi ehtimoli 0,95; signalni ikkinchi radiostantsiya qabul qilish ehtimoli 0,85 ga teng. Ikki radiostantsiya tomonidan signalni qabul qilishni tavsiflovchi ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping. Tarqatish funksiyasini yozing.

Yechim: Mayli X– signalning birinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinishidan iborat hodisa. Y– voqea shundan iboratki, signal ikkinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinadi.

Ko'p ma'nolar .

X=1 – birinchi radiostansiya qabul qilgan signal;

X=0 – signal birinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinmadi.

Ko'p ma'nolar .

Y=l - ikkinchi radiostansiya tomonidan qabul qilingan signal,

Y=0 – signal ikkinchi radiostansiya tomonidan qabul qilinmaydi.

Signalni birinchi yoki ikkinchi radiostansiyalar qabul qilmaslik ehtimoli:

Birinchi radiostansiya tomonidan signalni qabul qilish ehtimoli:

Signalni ikkinchi radiostantsiya qabul qilish ehtimoli:

Signalni birinchi va ikkinchi radiostantsiyalar qabul qilish ehtimoli quyidagilarga teng: .

U holda ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagilarga teng bo'ladi:

y x
0,007 0,142
0,042 0,807
X,y) ma'nosi F(X,y) tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli yig'indisiga teng ( X,Y), belgilangan to'rtburchak ichiga tushadi.

Keyin tarqatish funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

9.3. Ikki kompaniya bir xil mahsulotlarni ishlab chiqaradi. Har biri bir-biridan mustaqil ravishda ishlab chiqarishni modernizatsiya qilishga qaror qilishi mumkin. Birinchi firmaning bunday qaror qabul qilish ehtimoli 0,6 ga teng. Ikkinchi firma tomonidan bunday qaror qabul qilish ehtimoli 0,65 ga teng. Ikki firma ishlab chiqarishni modernizatsiya qilish qarorini tavsiflovchi ikki o'lchovli tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini yozing. Tarqatish funksiyasini yozing.

Javob: Tarqatish qonuni:

0,14 0,21
0,26 0,39
Koordinatali nuqtaning har bir sobit qiymati uchun ( x,y) qiymat belgilangan to'rtburchak ichiga tushadigan mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimollik yig'indisiga teng .

9.4. Avtomobil dvigatellari uchun piston halqalari avtomatik tornada ishlab chiqariladi. Ringning qalinligi o'lchanadi (tasodifiy qiymat X) va teshik diametri (tasodifiy qiymat Y). Ma'lumki, barcha piston halqalarining taxminan 5% buzuq. Bundan tashqari, nuqsonlarning 3% nostandart teshik diametrlaridan kelib chiqadi, 1% - nostandart qalinligi va 1% - har ikkala asosda ham rad etiladi. Toping: ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning birgalikda taqsimlanishi ( X,Y); komponentlarning bir o'lchovli taqsimlanishi X Va Y;komponentlarning matematik taxminlari X Va Y; komponentlar orasidagi korrelyatsiya momenti va korrelyatsiya koeffitsienti X Va Y ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y).

Javob: Tarqatish qonuni:

0,01 0,03
0,01 0,95
; ; ; ; ; .

9.5. Zavod mahsulotlari nuqsonlar tufayli nuqsonli A 4% ni tashkil etadi va nuqson tufayli IN- 3,5%. Standart ishlab chiqarish 96% ni tashkil qiladi. Barcha mahsulotlarning necha foizida ikkala turdagi nuqsonlar borligini aniqlang.

9.6. Tasodifiy qiymat ( X,Y)doimiy zichlik bilan taqsimlanadi kvadrat ichida R, ularning uchlari koordinatalariga ega (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligini aniqlang ( X,Y) va shartli taqsimot zichliklari R(X\da), R(da\X).

Yechim. Keling, samolyotda quraylik x 0y berilgan kvadrat (9.5-rasm) va ikkita berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasidan foydalanib, ABCD kvadratining tomonlari tenglamalarini aniqlang: Cho'qqilarning koordinatalarini almashtirish A Va IN tomonning tenglamasini ketma-ket olamiz AB: yoki .

Xuddi shunday, biz tomonning tenglamasini topamiz Quyosh: ; tomonlar CD: va tomonlar D.A.: . : .D X, Y) - radiusning boshida joylashgan yarim shar R.Ehtimollik taqsimoti zichligini toping.

Javob:

9.10. Diskret ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi berilgan:

0,25 0,10
0,15 0,05
0,32 0,13
Toping: a) shartli taqsimot qonuni X, sharti bilan y= 10;

b) shartli taqsimot qonuni Y, sharti bilan x =10;

v) matematik kutish, dispersiya, korrelyatsiya koeffitsienti.

9.11. Uzluksiz ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi ( X,Y)cho'qqilari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak ichida teng taqsimlangan HAQIDA(0;0), A(0;8), IN(8,0).

Toping: a) ehtimollikni taqsimlash zichligi;