Inqilob jismlarining hajmlarini hisoblash formulasi. Aniq integral yordamida aylanish jismining hajmini qanday hisoblash mumkin? Yassi figuraning maydoni

Ta'rif 3. Revolyutsiya jismi - bu figurani kesib o'tmaydigan va u bilan bir tekislikda yotadigan o'q atrofida tekis figurani aylantirish natijasida olingan jism.

Aylanish o'qi, agar u figuraning simmetriya o'qi bo'lsa, uni kesishishi mumkin.

Teorema 2.
, eksa
va tekis segmentlar
Va

o'q atrofida aylanadi
. Keyin hosil bo'lgan aylanish jismining hajmini formuladan foydalanib hisoblash mumkin

(2)

Isbot. Bunday tana uchun abscissa bilan kesma radiusli doiradir
, anglatadi
va formula (1) kerakli natijani beradi.

Agar raqam ikkita uzluksiz funktsiyaning grafiklari bilan cheklangan bo'lsa
Va
, va chiziq segmentlari
Va
, va
Va
, keyin x o'qi atrofida aylanishda biz hajmi bo'lgan tanani olamiz

3-misol. Doira bilan chegaralangan doirani aylantirish natijasida olingan torusning hajmini hisoblang

abscissa o'qi atrofida.

R qaror. Ko'rsatilgan doira quyida funktsiya grafigi bilan cheklangan
, va yuqoridan -
. Ushbu funktsiyalar kvadratlarining farqi:

Kerakli hajm

(integralning grafigi yuqori yarim doira, shuning uchun yuqorida yozilgan integral yarim doira maydonidir).

4-misol. Asosli parabolik segment
, va balandligi , taglik atrofida aylanadi. Olingan tananing hajmini hisoblang ("Kavalieri tomonidan limon").

R qaror. Parabolani rasmda ko'rsatilganidek joylashtiramiz. Keyin uning tenglamasi
, va
. Parametrning qiymatini topamiz :
. Shunday qilib, kerakli hajm:

Teorema 3. Uzluksiz manfiy bo'lmagan funksiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya bo'lsin
, eksa
va tekis segmentlar
Va
, va
, o'q atrofida aylanadi
. Keyin hosil bo'lgan aylanish jismining hajmini formula bo'yicha topish mumkin

(3)

Isbot fikri. Biz segmentni ajratamiz
nuqta

, qismlarga bo'ling va to'g'ri chiziqlar torting
. Butun trapezoid chiziqlarga bo'linadi, ularni taxminan asosli to'rtburchaklar deb hisoblash mumkin.
va balandligi
.

Olingan tsilindrni uning generatrix bo'ylab bunday to'rtburchakni aylantirib kesib, uni ochamiz. Biz o'lchamlari bilan "deyarli" parallelepipedni olamiz:
,
Va
. Uning hajmi
. Shunday qilib, inqilob tanasining hajmi uchun biz taxminan tenglikka ega bo'lamiz

Aniq tenglikka erishish uchun chegaraga borish kerak
. Yuqorida yozilgan yig'indi funktsiyaning integral yig'indisidir
, shuning uchun chegarada (3) formuladan integral olamiz. Teorema isbotlangan.

Eslatma 1. 2 va 3 teoremalarda shart
o'tkazib yuborilishi mumkin: formula (2) odatda belgiga sezgir emas
, va (3) formulada bu etarli
bilan almashtirildi
.

5-misol. Parabolik segment (asosiy
, balandligi ) balandlik atrofida aylanadi. Olingan jismning hajmini toping.

Yechim. Parabolani rasmda ko'rsatilganidek joylashtiramiz. Va aylanish o'qi shaklni kesib o'tgan bo'lsa-da, u - o'qi - simmetriya o'qi. Shuning uchun biz segmentning faqat o'ng yarmini hisobga olishimiz kerak. Parabola tenglamasi
, va
, anglatadi
. Hajmi uchun bizda:

Eslatma 2. Egri chiziqli trapetsiyaning egri chiziqli chegarasi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo'lsa
,
,
Va
,
keyin (2) va (3) formulalarni almashtirish bilan ishlatishingiz mumkin yoqilgan
Va
yoqilgan
o'zgarganda t dan
oldin .

6-misol. Bu raqam sikloidning birinchi yoyi bilan cheklangan
,
,
, va x o'qi. Ushbu rasm atrofida aylantirilganda olingan tananing hajmini toping: 1) o'q
; 2) o'qlar
.

Yechim. 1) Umumiy formula
Bizning holatda:

2) Umumiy formula
Bizning raqamimiz uchun:

Talabalarni barcha hisob-kitoblarni o'zlari bajarishga taklif qilamiz.

Eslatma 3. Uzluksiz chiziq bilan chegaralangan egri sektor bo'lsin
va nurlar
,

, qutb o'qi atrofida aylanadi. Olingan tananing hajmini formuladan foydalanib hisoblash mumkin.

7-misol. Kardioid bilan chegaralangan shaklning bir qismi
, doiradan tashqarida yotish
, qutb o'qi atrofida aylanadi. Olingan jismning hajmini toping.

Yechim. Ikkala chiziq va shuning uchun ular cheklaydigan raqam qutb o'qiga nisbatan simmetrikdir. Shuning uchun, faqat qaysi qismini hisobga olish kerak
. Egri chiziqlar kesishadi
Va

da
. Bundan tashqari, bu raqamni ikkita sektorning farqi deb hisoblash mumkin va shuning uchun hajmni ikkita integralning farqi sifatida hisoblash mumkin. Bizda ... bor:

Vazifalar mustaqil qaror qabul qilish uchun.

1. Aylana bo‘lak, uning asosi
, balandligi , taglik atrofida aylanadi. Aylanish jismining hajmini toping.

2. Asosi aylanma paraboloidning hajmini toping , balandligi esa .

3. Astroid bilan chegaralangan rasm
,
abscissa o'qi atrofida aylanadi. Olingan jismning hajmini toping.

4. Chiziqlar bilan chegaralangan rasm
Va
x o'qi atrofida aylanadi. Aylanish jismining hajmini toping.

Mavzu: “Aniq integral yordamida inqilob jismlarining hajmlarini hisoblash”

Dars turi: birlashtirilgan.

Darsning maqsadi: integrallar yordamida inqilob jismlarining hajmlarini hisoblashni o'rganing.

Vazifalar:

bir qator geometrik figuralardan egri chiziqli trapetsiyalarni aniqlash qobiliyatini mustahkamlash va egri chiziqli trapetsiyalarning maydonlarini hisoblash malakasini rivojlantirish;

uch o‘lchamli figura tushunchasi bilan tanishish;

inqilob jismlarining hajmlarini hisoblashni o'rganish;

mantiqiy fikrlashni, malakali matematik nutqni, chizmalarni qurishda aniqlikni rivojlantirishga yordam berish;

fanga qiziqishni, matematik tushunchalar va tasvirlar bilan ishlashga, yakuniy natijaga erishishda iroda, mustaqillik va qat'iyatni tarbiyalash.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

Guruhdan salom. Dars maqsadlarini talabalarga etkazish.

Men bugungi darsimizni masal bilan boshlamoqchiman. “Bir paytlar hamma narsani biladigan bir donishmand yashagan ekan. Bir kishi donishmand hamma narsani bilmasligini isbotlamoqchi edi. U kaftida kapalakni ushlab so'radi: "Aytingchi, donishmand, qaysi kapalak mening qo'limda: o'likmi yoki tirikmi?" Va u shunday deb o'ylaydi: "Agar tirik odam aytsa, men uni o'ldiraman, agar o'lik aytsa, men uni qo'yib yuboraman". Donishmand o'ylanib, javob berdi: "Hammasi sizning qo'lingizda."

Shunday ekan, keling, bugundan samarali mehnat qilaylik, yangi bilimlar zahirasini egallasak, olingan ko‘nikma va malakalarni kelgusi hayotimizda, amaliy faoliyatimizda qo‘llaymiz.“Hammasi o‘z qo‘lingda”.

II. Oldin o'rganilgan materialni takrorlash.

Oldin o'rganilgan materialning asosiy fikrlarini eslaylik. Buning uchun "Qo'shimcha so'zni yo'q qilish" topshirig'ini bajaramiz.

(Talabalar qo'shimcha so'z aytadilar.)

To'g'ri "Differentsial". Qolgan so'zlarni bitta umumiy so'z bilan nomlashga harakat qiling. (Integral hisob.)

Keling, integral hisoblash bilan bog'liq asosiy bosqichlarni va tushunchalarni eslaylik.

Mashq qilish. Bo'shliqlarni tiklang. (Talaba chiqib, marker bilan kerakli so'zlarni yozadi.)

Daftarlarda ishlash.

Nyuton-Leybnits formulasi ingliz fizigi Isaak Nyuton (1643-1727) va nemis faylasufi Gotfrid Leybnits (1646-1716) tomonidan ishlab chiqilgan. Va bu ajablanarli emas, chunki matematika tabiatning o'zi gapiradigan tildir.

Keling, ushbu formuladan amaliy muammolarni hal qilishda qanday foydalanilishini ko'rib chiqaylik.

1-misol: Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Yechim: Koordinata tekisligida funksiyalar grafiklarini tuzamiz . Keling, topilishi kerak bo'lgan rasmning maydonini tanlaymiz.

III. Yangi materialni o'rganish.

Ekranga e'tibor bering. Birinchi rasmda nima tasvirlangan? (Rasmda tekis shakl ko'rsatilgan.)

Ikkinchi rasmda nima tasvirlangan? Bu raqam tekismi? (Rasmda uch o'lchamli shakl ko'rsatilgan.)

Kosmosda, er yuzida va kundalik hayotda biz nafaqat tekis raqamlarga, balki uch o'lchamli raqamlarga ham duch kelamiz, ammo bunday jismlarning hajmini qanday hisoblashimiz mumkin? Masalan: sayyora, kometa, meteorit va boshqalar hajmi.

Odamlar uy qurishda ham, suvni bir idishdan ikkinchisiga quyishda ham hajm haqida o'ylashadi. Hajmlarni hisoblash qoidalari va texnikasi paydo bo'lishi kerak edi, ularning qanchalik to'g'ri va asosli ekanligi boshqa masala.

1612 yil mashhur astronom Iogannes Kepler yashagan Avstriyaning Linz shahri aholisi uchun, ayniqsa, uzum uchun juda samarali bo'ldi. Odamlar vino bochkalarini tayyorlab, ularning hajmlarini amalda qanday aniqlashni bilishni xohlashdi.

Shunday qilib, Keplerning ko'rib chiqilgan asarlari 17-asrning so'nggi choragida yakunlangan butun tadqiqot oqimining boshlanishini belgiladi. I. Nyuton va G.V asarlarida dizayn. Differensial va integral hisoblarning Leybnits. Shu davrdan boshlab matematik bilimlar tizimida oʻzgaruvchilar matematikasi yetakchi oʻrinni egalladi.

Bugun siz va men shunday amaliy ishlar bilan shug'ullanamiz, shuning uchun

Darsimizning mavzusi: "Aniq integral yordamida aylanish jismlarining hajmlarini hisoblash."

Quyidagi topshiriqni bajarish orqali siz inqilob tanasining ta'rifini bilib olasiz.

"Labirint".

Mashq qilish. Chalkash vaziyatdan chiqish yo'lini toping va ta'rifni yozing.

IVHajmlarni hisoblash.

Aniq integraldan foydalanib, ma'lum bir jismning hajmini, xususan, inqilob tanasini hisoblashingiz mumkin.

Revolyutsiya jismi - bu kavisli trapetsiyani asosi atrofida aylantirish natijasida olingan jism (1, 2-rasm).

Revolyutsiya jismining hajmi formulalardan biri yordamida hisoblanadi:

1. OX o'qi atrofida.

2. , agar kavisli trapezoidning aylanishi op-amp o'qi atrofida.

Talabalar asosiy formulalarni daftarga yozadilar.

O‘qituvchi doskadagi misollar yechimini tushuntiradi.

1. Chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning ordinat o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Yechim.

Javob: 1163 sm3.

2. Parabolik trapetsiyani x o‘qi atrofida aylantirish natijasida olingan jismning hajmini toping. y =, x = 4, y = 0.

Yechim.

V. Matematik simulyator.

2. Berilgan funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plami deyiladi

A) noaniq integral;

B) funktsiya;

B) farqlash.

7. Chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning abscissa o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping:

D/Z. Yangi materialni birlashtirish

Gulbargning x o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan tananing hajmini hisoblang y = x2, y2 = x.

Funktsiyaning grafiklarini tuzamiz. y = x2, y2 = x. y2 = x grafigini y = ko'rinishga o'tkazamiz.

Bizda V = V1 - V2 bor, har bir funktsiyaning hajmini hisoblaymiz:

Xulosa:

Aniq integral matematikani o'rganish uchun ma'lum bir asos bo'lib, amaliy muammolarni hal qilishda o'zgarmas hissa qo'shadi.

"Integral" mavzusi matematika va fizika, biologiya, iqtisodiyot va texnologiya o'rtasidagi bog'liqlikni aniq ko'rsatib beradi.

Zamonaviy ilm-fanning rivojlanishini integraldan foydalanmasdan tasavvur qilib bo'lmaydi. Shu munosabat bilan uni o‘rta maxsus ta’lim doirasida o‘rganishni boshlash kerak!

VI. Baholash.(Izoh bilan.)

Buyuk Umar Xayyom - matematik, shoir, faylasuf. U bizni o'z taqdirimizga usta bo'lishga undaydi. Keling, uning ijodidan parchani tinglaymiz:

Siz aytasiz, bu hayot bir lahza.
Uni qadrlang, undan ilhom oling.
Qanchalik sarflasangiz, o'tib ketadi.
Unutmang: u sizning ijodingiz.

Integrallar yordamida aylanish jismlarining hajmlarini topish

Matematikaning amaliy foydaliligi, bu holda

Maxsus matematik bilimlar qurilma va zamonaviy texnologiyalardan foydalanish tamoyillarini tushunishni qiyinlashtiradi. Har bir inson hayotida juda murakkab hisob-kitoblarni amalga oshirishi, tez-tez ishlatiladigan asbob-uskunalardan foydalanishi, ma'lumotnomalardan kerakli formulalarni topishi va muammolarni hal qilish uchun oddiy algoritmlarni yaratishi kerak. Zamonaviy jamiyatda yuqori darajadagi ta'limni talab qiladigan tobora ko'proq mutaxassisliklar matematikani bevosita qo'llash bilan bog'liq. Shunday qilib, matematika talaba uchun kasbiy ahamiyatga ega bo'lgan fanga aylanadi. Algoritmik tafakkurni shakllantirishda matematika etakchi rol o'ynaydi, u berilgan algoritm bo'yicha harakat qilish va yangi algoritmlarni qurish qobiliyatini rivojlantiradi.

Revolyutsiya jismlarining hajmlarini hisoblash uchun integraldan foydalanish mavzusini o'rganayotganda, men tanlov sinflarida o'quvchilarga "Integrallar yordamida inqilob jismlarining hajmlari" mavzusini ko'rib chiqishni taklif qilaman. Quyida ushbu mavzuni ko'rib chiqish bo'yicha uslubiy tavsiyalar keltirilgan:

1. Yassi figuraning maydoni.

Algebra kursidan bilamizki, amaliy xarakterdagi masalalar aniq integral tushunchasiga olib kelgan..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=". >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Singan chiziq y=f(x), Ox o'qi, x=a va x=b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Ox o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan aylanish jismining hajmini topish uchun hisoblaymiz. formuladan foydalanib

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y"

3. Silindr hajmi.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Konus ABC to'g'ri burchakli uchburchakni (C = 90) AC oyog'i yotgan Ox o'qi atrofida aylantirish orqali olinadi.

AB segmenti y=kx+c to'g'ri chiziqda yotadi, bu erda https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

a=0, b=H (H - konusning balandligi), keyin Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=" bo'lsin. ">.

5.Kesilgan konusning hajmi.

Kesilgan konusni to'g'ri burchakli ABCD (CDOx) trapesiyani Ox o'qi atrofida aylantirish orqali olish mumkin.

AB segmenti y=kx+c to'g'ri chiziqda yotadi, bu erda , c=r.

To'g'ri chiziq A nuqtadan o'tganligi uchun (0;r).

Shunday qilib, to'g'ri chiziq https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> ga o'xshaydi.

a=0, b=H (H - kesilgan konusning balandligi), keyin https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" bo'lsin. ="> = .

6. To'pning hajmi.

To'pni markazi (0;0) bo'lgan doirani Ox o'qi atrofida aylantirish orqali olish mumkin. Ox o'qi ustida joylashgan yarim doira tenglama bilan berilgan

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Dars turi: birlashtirilgan.

Darsning maqsadi: integrallar yordamida inqilob jismlarining hajmlarini hisoblashni o'rganing.

Vazifalar:

bir qator geometrik figuralardan egri chiziqli trapetsiyalarni aniqlash qobiliyatini mustahkamlash va egri chiziqli trapezoidlarning maydonlarini hisoblash malakasini rivojlantirish;
uch o‘lchamli figura tushunchasi bilan tanishish;
inqilob jismlarining hajmlarini hisoblashni o'rganish;
mantiqiy fikrlashni, malakali matematik nutqni, chizmalarni qurishda aniqlikni rivojlantirishga yordam berish;
fanga qiziqishni, matematik tushunchalar va tasvirlar bilan ishlashga, yakuniy natijaga erishishda iroda, mustaqillik va qat'iyatni tarbiyalash.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

Guruhdan salom. Dars maqsadlarini talabalarga etkazish.

Reflektsiya. Tinch ohang.

- Men bugungi darsni masal bilan boshlamoqchiman. “Bir paytlar hamma narsani biladigan bir donishmand yashagan ekan. Bir kishi donishmand hamma narsani bilmasligini isbotlamoqchi edi. U kaftida kapalakni ushlab so'radi: "Aytingchi, donishmand, qaysi kapalak mening qo'limda: o'likmi yoki tirikmi?" Va uning o'zi shunday deb o'ylaydi: "Agar tirik odam aytsa, men uni o'ldiraman, o'lik esa: "Men uni ozod qilaman". Donishmand o‘ylanib, javob berdi: "Hammasi sening qo'lingda". (Taqdimot.Slayd)

– Shunday ekan, keling, bugundan samarali mehnat qilaylik, yangi bilimlar zaxirasini egallasak, olingan ko‘nikma va ko‘nikmalarni kelgusi hayotimizda, amaliy faoliyatimizda qo‘llaymiz. "Hammasi sizning qo'lingizda".

II. Oldin o'rganilgan materialni takrorlash.

- Oldin o'rganilgan materialning asosiy fikrlarini eslaylik. Buning uchun topshiriqni bajaramiz "Qo'shimcha so'zni yo'q qiling."(Slayd.)

(Talaba shaxsiy guvohnomaga boradi. qo'shimcha so'zni olib tashlash uchun o'chirgichdan foydalanadi.)

- To'g'ri "Differentsial". Qolgan so'zlarni bitta umumiy so'z bilan nomlashga harakat qiling. (Integral hisob.)

- Keling, integral hisoblash bilan bog'liq asosiy bosqichlar va tushunchalarni eslaylik.

"Matematik to'plam".

Mashq qilish. Bo'shliqlarni tiklang. (O‘quvchi chiqib, qalam bilan kerakli so‘zlarni yozadi.)

– Integrallarning qo‘llanilishi bo‘yicha konspektni keyinroq eshitamiz.

Daftarlarda ishlash.

- Nyuton-Leybnits formulasini ingliz fizigi Isaak Nyuton (1643-1727) va nemis faylasufi Gotfrid Leybnits (1646-1716) ishlab chiqqan. Va bu ajablanarli emas, chunki matematika tabiatning o'zi gapiradigan tildir.

- Keling, ushbu formuladan amaliy muammolarni hal qilishda qanday foydalanilishini ko'rib chiqaylik.

1-misol: Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang

Yechish: Koordinata tekisligida funksiyalar grafiklarini quramiz . Keling, topilishi kerak bo'lgan rasmning maydonini tanlaymiz.

III. Yangi materialni o'rganish.

- Ekranga e'tibor bering. Birinchi rasmda nima tasvirlangan? (Slayd) (Rasmda tekis shakl ko'rsatilgan.)

- Ikkinchi rasmda nima tasvirlangan? Bu raqam tekismi? (Slayd) (Rasmda uch o'lchamli shakl ko'rsatilgan.)

- Kosmosda, erda va kundalik hayotda biz nafaqat tekis figuralarga, balki uch o'lchamli raqamlarga ham duch kelamiz, ammo bunday jismlarning hajmini qanday hisoblashimiz mumkin? Masalan, sayyora, kometa, meteorit va boshqalar hajmi.

– Odamlar uy qurishda ham, bir idishdan ikkinchisiga suv quyishda ham hajm haqida o‘ylashadi. Hajmlarni hisoblash qoidalari va usullari paydo bo'lishi kerak edi, ular qanchalik to'g'ri va oqilona edi - bu boshqa masala.

Talabadan kelgan xabar. (Tyurina Vera.)

- Shunday qilib, Keplerning ko'rib chiqilgan asarlari 17-asrning so'nggi choragida yakuniga etgan butun tadqiqot oqimiga asos soldi. I. Nyuton va G.V asarlarida dizayn. Differensial va integral hisoblarning Leybnits. Shu davrdan boshlab matematik bilimlar tizimida oʻzgaruvchilar matematikasi yetakchi oʻrinni egalladi.

- Bugun siz va men shunday amaliy ishlar bilan shug'ullanamiz, shuning uchun

Darsimizning mavzusi: "Aniq integral yordamida aylanish jismlarining hajmlarini hisoblash." (Slayd)

– Quyidagi topshiriqni bajarish orqali aylanish jismining ta’rifini bilib olasiz.

"Labirint".

Labirint (yunoncha soʻz) yer ostiga borishni bildiradi. Labirint - bu yo'llar, o'tish joylari va bir-biriga bog'langan xonalarning murakkab tarmog'idir.

Ammo ta'rif "buzilgan" bo'lib, o'qlar shaklida maslahatlar qoldirdi.

Mashq qilish. Chalkash vaziyatdan chiqish yo'lini toping va ta'rifni yozing.

Slayd. "Xarita ko'rsatmasi" Hajmlarni hisoblash.

Aniq integraldan foydalanib, ma'lum bir jismning hajmini, xususan, inqilob tanasini hisoblashingiz mumkin.

Revolyutsiya jismi - bu kavisli trapetsiyani asosi atrofida aylantirish natijasida olingan jism (1, 2-rasm).

Aylanish jismining hajmi quyidagi formulalardan biri yordamida hisoblanadi:

1. OX o'qi atrofida.

2. , agar kavisli trapezoidning aylanishi op-amp o'qi atrofida.

Har bir talaba ko'rsatma kartasini oladi. O'qituvchi asosiy fikrlarni ta'kidlaydi.

– Doskadagi misollar yechimini o‘qituvchi tushuntiradi.

Keling, A. S. Pushkinning "Tsar Saltan, uning ulug'vor va qudratli o'g'li shahzoda Gidon Saltanovich va go'zal malika oqqush haqidagi ertaki" ertakidan parchani ko'rib chiqaylik. (4-slayd):

…..
Va mast xabarchi olib keldi
Xuddi shu kuni buyurtma quyidagicha:
"Qirol o'z boyarlariga buyuradi,
Vaqtni boy bermasdan,
Va malika va nasl
Yashirincha suv tubiga tashlang."
Qilish uchun hech narsa yo'q: boyarlar,
Suveren haqida qayg'urish
Va yosh malikaga,
Uning yotoqxonasiga olomon keldi.
Ular qirolning vasiyatini e'lon qildilar -
U va uning o'g'li yomon ulushga ega,
Biz farmonni ovoz chiqarib o'qiymiz,
Va malika o'sha soatda
Meni o'g'lim bilan bochkaga solib qo'yishdi,
Ular qatron qoqib, haydab ketishdi
Va ular meni okiyanga kiritishdi -
Bu podshoh Saltonning buyrug'i edi.

Malika va uning o'g'li unga sig'ishi uchun barrelning hajmi qanday bo'lishi kerak?

- Quyidagi vazifalarni ko'rib chiqing

1. Chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning ordinat o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Javob: 1163 sm 3 .

Parabolik trapetsiyani abtsissa o'qi atrofida aylantirish natijasida olingan jismning hajmini toping y =, x = 4, y = 0.

IV. Yangi materialni birlashtirish

Misol 2. Gulbargning x o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan tananing hajmini hisoblang. y = x 2 , y 2 = x.

Funktsiyaning grafiklarini tuzamiz. y = x 2 , y 2 = x. Jadval y2 = x shaklga aylantiring y= .

Bizda ... bor V = V 1 – V 2 Keling, har bir funktsiyaning hajmini hisoblaymiz

– Endi, Moskvadagi Shabolovkada rus muhandisi, faxriy akademik V. G. Shuxov loyihasi bo‘yicha qurilgan radiostansiya minorasini ko‘rib chiqaylik. U qismlardan iborat - aylanish giperboloidlari. Bundan tashqari, ularning har biri qo'shni doiralarni bog'laydigan to'g'ri metall rodlardan yasalgan (8, 9-rasm).

- Keling, muammoni ko'rib chiqaylik.

Giperbola yoylarini aylantirish natijasida olingan jism hajmini toping rasmda ko'rsatilganidek, uning xayoliy o'qi atrofida. 8, qayerda

kub birliklar

Guruh topshiriqlari. Talabalar topshiriqlar bilan qur’a tashlashadi, whatman qog‘oziga chizma chizishadi, guruh vakillaridan biri esa ishni himoya qiladi.

1-guruh.

Urish! Urish! Yana bir zarba!
To'p darvozaga uchadi - BALL!
Va bu tarvuz to'pi
Yashil, yumaloq, mazali.
Yaxshilab ko'ring - qanday to'p!
U doiralardan boshqa hech narsadan iborat emas.
Tarvuzni doira shaklida kesib oling
Va ularni tatib ko'ring.

Cheklangan funksiyaning OX o'qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping

Xato! Xatcho'p aniqlanmagan.

- Iltimos, ayting-chi, biz bu raqamni qaerda uchratamiz?

Uy. 1 guruh uchun topshiriq. TILINDIR (slayd) .

"Tsilindr - bu nima?" – deb so‘radim dadamdan.
Ota kulib: Yuqori qalpoq shlyapa.
To'g'ri fikrga ega bo'lish uchun,
Tsilindr, aytaylik, qalay qutidir.
Bug'li qayiq trubkasi - silindr,
Bizning tomdagi quvur ham,

Barcha quvurlar silindrga o'xshaydi.
Va men shunday misol keltirdim -
Mening sevimli kaleydoskopim,
Undan ko'z uzolmaysiz,
Va u ham silindrga o'xshaydi.

- Mashq qilish. Uyga vazifa: funksiya grafigini tuzish va hajmni hisoblash.

2-guruh. KONUS (slayd).

Onam dedi: Va hozir
Mening hikoyam konus haqida bo'ladi.
Baland shlyapa kiygan Stargazer
Yil davomida yulduzlarni sanaydi.
KONUS - yulduzlar shlyapasi.
U shunday. Tushundingizmi? Bo'ldi shu.
Onam stolda turardi,
Men idishlarga moy quydim.
- Voronka qayerda? Huni yo'q.
Uni qidiring. Chetda turmang.
-Ona, men qo'rqmayman.
Bizga konus haqida ko'proq ma'lumot bering.
– Huni sug‘orish idishi konus shaklida.
Qani, uni menga tezroq top.
Men huni topa olmadim
Ammo onam sumka yasadi,
Men kartonni barmog'imga o'rab oldim
Va u mohirlik bilan uni qog'oz qisqich bilan mahkamladi.
Yog 'oqmoqda, onam xursand,
Konus to'g'ri chiqdi.

Mashq qilish. Abtsissa o'qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini hisoblang

Uy. 2-guruh uchun vazifa. PIRAMIDA(slayd).

Men rasmni ko'rdim. Bu rasmda
Qumli cho'lda PIRAMID mavjud.
Piramidadagi hamma narsa g'ayrioddiy,
Unda qandaydir sir va sir bor.
Qizil maydondagi Spasskaya minorasi
Bu bolalarga ham, kattalarga ham juda tanish.
Minoraga qarasangiz, u oddiy ko'rinadi,
Buning ustiga nima bor? Piramida!

Mashq qilish. Uyga vazifa: funksiya grafigini tuzing va piramida hajmini hisoblang

– Biz integral yordamida jismlar hajmlarining asosiy formulasi asosida turli jismlarning hajmlarini hisoblab chiqdik.

Bu aniq integral matematikani o'rganish uchun qandaydir asos ekanligining yana bir tasdig'idir.

- Mayli, endi biroz dam olaylik.

Juft toping.

Matematik domino ohangi o'ynaydi.

"Men izlagan yo'l hech qachon unutilmaydi..."

Tadqiqot ishi. Integralning iqtisodiyot va texnologiyada qo'llanilishi.

Kuchli talabalar va matematik futbol uchun testlar.

Matematik simulyator.

2. Berilgan funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plami deyiladi

A) noaniq integral;

B) funktsiya;

B) farqlash.

7. Chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning abscissa o‘qi atrofida aylanish natijasida olingan jismning hajmini toping:

D/Z. Aylanish jismlarining hajmlarini hisoblang.

Reflektsiya.

Shaklda aks ettirishni qabul qilish sinxronlash(besh qator).

1-qator - mavzu nomi (bitta ot).

2-qator - mavzuni ikki so'z, ikkita sifat bilan tavsiflash.

3-qator - ushbu mavzu doirasidagi harakatni uchta so'z bilan tavsiflash.

4-qator - mavzuga munosabatni ko'rsatadigan to'rtta so'z birikmasi (butun bir jumla).

5-qator mavzuning mohiyatini takrorlovchi sinonimdir.

Ovoz balandligi.
Aniq integral, integral funksiya.
Biz quramiz, aylantiramiz, hisoblaymiz.
Egri trapezoidni aylantirish natijasida olingan tana (uning asosi atrofida).
Aylanish tanasi (hajmli geometrik tana).

Xulosa (slayd).

Aniq integral matematikani o'rganish uchun ma'lum bir asos bo'lib, amaliy muammolarni hal qilishda o'zgarmas hissa qo'shadi.
"Integral" mavzusi matematika va fizika, biologiya, iqtisodiyot va texnologiya o'rtasidagi bog'liqlikni aniq ko'rsatib beradi.
Zamonaviy ilm-fanning rivojlanishini integraldan foydalanmasdan tasavvur qilib bo'lmaydi. Shu munosabat bilan uni o‘rta maxsus ta’lim doirasida o‘rganishni boshlash kerak!

Baholash. (Izoh bilan.)

Buyuk Umar Xayyom - matematik, shoir, faylasuf. U bizni o'z taqdirimizga usta bo'lishga undaydi. Keling, uning ijodidan parchani tinglaymiz:

Siz aytasiz, bu hayot bir lahza.
Uni qadrlang, undan ilhom oling.
Qanchalik sarflasangiz, o'tib ketadi.
Unutmang: u sizning ijodingiz.