The uslubiy material faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va mavzularning keng doirasiga tegishli. Maqolada asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari haqida umumiy ma'lumot berilgan va eng muhim masala ko'rib chiqiladi - grafikni qanday qilib to'g'ri va TEZ qurish kerak. O'qish davomida oliy matematika asosiy jadvallarni bilmasdan elementar funktsiyalar Bu qiyin bo'ladi, shuning uchun parabola, giperbola, sinus, kosinus va boshqalarning grafiklari qanday ko'rinishini eslab qolish va ba'zi funktsiyalar qiymatlarini eslab qolish juda muhimdir. Shuningdek, biz asosiy funktsiyalarning ba'zi xususiyatlari haqida gapiramiz.

Men materiallarning to'liqligi va ilmiy puxtaligiga da'vo qilmayman, asosiy e'tibor, birinchi navbatda, amaliyotga qaratiladi. har qadamda, oliy matematikaning istalgan mavzusida tom ma'noda duch keladi. Dummies uchun jadvallar? Shunday deyish mumkin.

O'quvchilarning ko'plab so'rovlari tufayli bosiladigan tarkib jadvali:

Bundan tashqari, mavzu bo'yicha ultra qisqacha konspekt mavjud
- OLTI sahifani o'rganish orqali 16 turdagi jadvallarni o'zlashtiring!

Jiddiy, olti, hatto men hayron bo'ldim. Ushbu xulosa yaxshilangan grafiklarni o'z ichiga oladi va nominal to'lov evaziga mavjud; demo versiyasini ko'rish mumkin. Grafiklar doimo qo'lda bo'lishi uchun faylni chop etish qulay. Loyihani qo'llab-quvvatlaganingiz uchun tashakkur!

Va darhol boshlaylik:

Koordinata o'qlarini qanday qilib to'g'ri qurish mumkin?

Amalda, testlar deyarli har doim o'quvchilar tomonidan kvadrat shaklida chizilgan alohida daftarlarda to'ldiriladi. Nega sizga katakli belgilar kerak? Axir, ish, qoida tariqasida, A4 varaqlarida bajarilishi mumkin. Va qafas faqat chizmalarning yuqori sifatli va aniq dizayni uchun kerak.

Funksiya grafigining har qanday chizmasi bilan boshlanadi koordinata o'qlari .

Chizmalar ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli bo'lishi mumkin.

Keling, birinchi navbatda ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqaylik Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi:

1) Koordinata o'qlarini chizish. Eksa deyiladi x o'qi , va o'qi y o'qi . Biz har doim ularni chizishga harakat qilamiz toza va egri emas. O'qlar ham Papa Karloning soqoliga o'xshamasligi kerak.

2) Biz o'qlarni "X" va "Y" katta harflari bilan imzolaymiz. Boltalarni belgilashni unutmang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating: nol va ikkita birlikni chizish. Chizma chizishda eng qulay va tez-tez ishlatiladigan masshtab: 1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan) - iloji bo'lsa, unga yopishib oling. Biroq, vaqti-vaqti bilan chizilgan daftar varag'iga mos kelmasligi sodir bo'ladi - keyin biz o'lchovni kamaytiramiz: 1 birlik = 1 katak (o'ngda chizilgan). Bu kamdan-kam uchraydi, lekin chizilgan o'lchovni yanada qisqartirish (yoki oshirish) kerak bo'ladi.

…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … ni “pulemyot” o'rnatishga HAQIQAT YO'Q. Uchun koordinata tekisligi Dekartning yodgorligi emas, talaba esa kaptar emas. qo'yamiz nol Va eksa bo'ylab ikkita birlik. Ba'zan o'rniga birliklarda, boshqa qiymatlarni "belgilash" qulay, masalan, abscissa o'qida "ikki" va ordinatalar o'qida "uch" - va bu tizim (0, 2 va 3) koordinatalar panjarasini ham noyob tarzda aniqlaydi.

Chizmani qurishdan oldin chizmaning taxminiy o'lchamlarini taxmin qilish yaxshiroqdir. Shunday qilib, masalan, agar vazifa cho'qqilari bilan uchburchak chizishni talab qilsa , , , unda 1 birlik = 2 katakning mashhur shkalasi ishlamasligi aniq. Nega? Keling, bir nuqtaga qaraylik - bu erda siz o'n besh santimetr pastga o'lchashingiz kerak bo'ladi va aniqki, chizma daftar varag'iga sig'maydi (yoki deyarli sig'maydi). Shuning uchun biz darhol kichikroq o'lchovni tanlaymiz: 1 birlik = 1 hujayra.

Aytgancha, taxminan santimetr va daftar hujayralari. 30 ta daftar xujayrasi 15 santimetrdan iborat ekanligi rostmi? O'yin-kulgi uchun daftaringizdagi 15 santimetrni chizg'ich bilan o'lchang. SSSRda bu to'g'ri bo'lgan bo'lishi mumkin ... Qizig'i shundaki, agar siz xuddi shu santimetrlarni gorizontal va vertikal ravishda o'lchasangiz, natijalar (hujayralarda) boshqacha bo'ladi! Qat'iy aytganda, zamonaviy daftarlar katak emas, balki to'rtburchaklar. Bu bema'ni tuyulishi mumkin, ammo bunday vaziyatlarda, masalan, kompas bilan doira chizish juda noqulay. Rostini aytsam, shunday paytlarda siz mahalliy avtomobilsozlik, qulagan samolyotlar yoki portlovchi elektr stantsiyalari haqida gapirmasa ham, ishlab chiqarishdagi xakerlik uchun lagerlarga yuborilgan o'rtoq Stalinning to'g'riligi haqida o'ylay boshlaysiz.

Sifat haqida gapirganda yoki ish yuritish bo'yicha qisqacha tavsiya. Bugungi kunda sotuvga qo'yilgan noutbuklarning aksariyati, hech bo'lmaganda, butunlay axlatdir. Ular nafaqat jel qalamlardan, balki sharikli qalamlardan ham namlanadi! Ular qog'ozga pul tejashadi. Ro'yxatdan o'tish uchun testlar Men Arxangelsk pulpa va qog'oz fabrikasidan (18 varaq, panjara) yoki "Pyaterochka" daftarlaridan foydalanishni maslahat beraman, garchi u qimmatroq bo'lsa. Jel qalamini tanlash tavsiya etiladi, hatto eng arzon xitoy jeli ham qog'ozni bo'yaydigan yoki yirtib yuboradigan sharikli qalamga qaraganda ancha yaxshi. Men eslay oladigan yagona "raqobatbardosh" sharikli qalam - Erich Krause. U aniq, chiroyli va izchil yozadi - to'liq yadro bilan yoki deyarli bo'sh.

Qo'shimcha: To'rtburchaklar koordinata tizimini analitik geometriya ko'zlari bilan ko'rish maqolada yoritilgan. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari, koordinata choraklari haqida batafsil ma'lumotni darsning ikkinchi xatboshida topish mumkin Chiziqli tengsizliklar.

3D korpus

Bu erda deyarli bir xil.

1) Koordinata o'qlarini chizish. Standart: eksa qo'llaniladi – yuqoriga yo‘naltirilgan, eksa – o‘ngga, o‘q – pastga qarab chapga yo‘naltirilgan qat'iy 45 daraja burchak ostida.

2) O'qlarni belgilang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating. Eksa bo'ylab masshtab boshqa o'qlar bo'ylab shkaladan ikki marta kichikdir. Shuni ham yodda tutingki, o'ng chizmada men eksa bo'ylab nostandart "chechak" ishlatganman (bu imkoniyat yuqorida aytib o'tilgan). Mening fikrimcha, bu aniqroq, tezroq va estetik jihatdan yoqimli - mikroskop ostida hujayraning o'rtasini izlash va koordinatalarning kelib chiqishiga yaqin bo'lgan birlikni "haykal" qilishning hojati yo'q.

3D chizmani yaratishda yana o'lchovga ustunlik bering
1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan).

Bu qoidalarning barchasi nima uchun? Qoidalar buzish uchun yaratilgan. Men hozir shunday qilaman. Gap shundaki, maqolaning keyingi chizmalari men tomonidan Excelda tuziladi va koordinata o'qlari nuqtai nazardan noto'g'ri ko'rinadi. to'g'ri dizayn. Men barcha grafiklarni qo'lda chizishim mumkin edi, lekin ularni chizish juda qo'rqinchli, chunki Excel ularni aniqroq chizishni istamaydi.

Elementar funksiyalarning grafiklari va asosiy xossalari

Chiziqli funktsiya tenglama bilan berilgan. Chiziqli funksiyalar grafigi bevosita. To'g'ri chiziqni qurish uchun ikkita nuqtani bilish kifoya.

1-misol

Funksiya grafigini tuzing. Keling, ikkita nuqtani topamiz. Nuqtalardan biri sifatida nolni tanlash foydalidir.

Agar , keyin

Yana bir nuqtani olaylik, masalan, 1.

Agar , keyin

Vazifalarni bajarishda nuqtalarning koordinatalari odatda jadvalda umumlashtiriladi:

Va qiymatlarning o'zi og'zaki yoki qoralama, kalkulyatorda hisoblanadi.

Ikki nuqta topildi, keling, chizamiz:

Chizma tayyorlashda biz har doim grafikaga imzo chekamiz.

Chiziqli funktsiyaning maxsus holatlarini eslash foydali bo'ladi:

Imzolarni qanday qo'yganimga e'tibor bering, imzolar chizmani o'rganishda nomuvofiqlikka yo'l qo'ymasligi kerak. IN Ushbu holatda Chiziqlarning kesishish nuqtasi yonida yoki grafiklar orasidagi pastki o'ngda imzo qo'yish juda istalmagan.

1) () ko'rinishdagi chiziqli funksiya to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik deyiladi. Masalan, . To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik grafigi har doim koordinatali nuqtadan o'tadi. Shunday qilib, to'g'ri chiziqni qurish soddalashtirilgan - faqat bitta nuqtani topish kifoya.

2) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni belgilaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funksiya grafigi darhol, hech qanday nuqta topilmagan holda tuziladi. Ya'ni, yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x ning har qanday qiymati uchun y har doim -4 ga teng."

3) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni belgilaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funktsiyaning grafigi ham darhol chiziladi. Yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x har doim, y ning har qanday qiymati uchun 1 ga teng."

Ba'zilar so'rashadi, nega 6-sinfni eslaysiz?! Bu shunday, balki shundaydir, lekin ko'p yillik amaliyot davomida men yoki kabi grafik yaratish vazifasidan hayratda qolgan o'nlab talabalarni uchratdim.

To'g'ri chiziqni qurish - chizmalarni tuzishda eng keng tarqalgan harakatdir.

To'g'ri chiziq analitik geometriya kursida batafsil muhokama qilinadi va qiziquvchilar maqolaga murojaat qilishlari mumkin. Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kvadrat, kub funksiya grafigi, ko‘phadning grafigi

Parabola. Jadval kvadratik funktsiya () parabolani ifodalaydi. Mashhur ishni ko'rib chiqing:

Funktsiyaning ba'zi xususiyatlarini eslaylik.

Demak, tenglamamizning yechimi: – aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan. Nima uchun bu shunday bo'lganligini hosila haqidagi nazariy maqolada va funktsiyaning ekstremallari bo'yicha darsda topish mumkin. Ayni paytda, keling, mos keladigan "Y" qiymatini hisoblaymiz:

Shunday qilib, cho'qqi nuqtada

Endi biz parabolaning simmetriyasini qo'pol ravishda ishlatib, boshqa nuqtalarni topamiz. Funktsiyani ta'kidlash kerak – hatto emas, ammo, shunga qaramay, hech kim parabolaning simmetriyasini bekor qilmadi.

Qolgan nuqtalarni qanday tartibda topish, menimcha, yakuniy jadvaldan aniq bo'ladi:

Ushbu qurilish algoritmini majoziy ma'noda "shuttle" yoki Anfisa Chexova bilan "oldinga va orqaga" tamoyili deb atash mumkin.

Keling, rasm chizamiz:

Ko'rib chiqilgan grafiklardan yana bir foydali xususiyat aqlga keladi:

Kvadrat funksiya uchun () quyidagilar to'g'ri:

Agar , u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi.

Agar , u holda parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi.

Egri chiziq haqida chuqur bilimlarni Giperbola va parabola darsida olish mumkin.

Funktsiya tomonidan kubik parabola berilgan. Mana maktabdan tanish rasm:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz

Funksiya grafigi

U parabolaning shoxlaridan birini ifodalaydi. Keling, rasm chizamiz:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bunday holda, eksa vertikal asimptota da giperbolaning grafigi uchun.

Agar chizma chizishda grafikning asimptota bilan kesishishiga beparvolik bilan yo'l qo'ysangiz, bu YUQO'L xato bo'ladi.

Bundan tashqari, bir tomonlama chegaralar bizga giperbola ekanligini aytadi yuqoridan cheklanmagan Va pastdan cheklanmagan.

Funktsiyani cheksizlikda ko'rib chiqamiz: , ya'ni, agar biz o'q bo'ylab chapga (yoki o'ngga) abadiylikka harakat qilishni boshlasak, u holda "o'yinlar" tartibli qadamda bo'ladi. cheksiz yaqin nolga yaqinlashadi va shunga mos ravishda giperbolaning shoxlari cheksiz yaqin o'qiga yaqinlashing.

Shunday qilib, eksa gorizontal asimptota funktsiya grafigi uchun, agar "x" ortiqcha yoki minus cheksizlikka moyil bo'lsa.

Funktsiya shunday g'alati, va shuning uchun giperbola kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir. Bu haqiqat chizmadan yaqqol ko'rinib turibdi, qo'shimcha ravishda u analitik jihatdan osongina tekshiriladi: .

() ko'rinishdagi funktsiya grafigi giperbolaning ikkita tarmog'ini ifodalaydi.

Agar , u holda giperbola birinchi va uchinchi koordinata choraklarida joylashgan(yuqoridagi rasmga qarang).

Agar bo'lsa, giperbola ikkinchi va to'rtinchi koordinata choraklarida joylashgan.

Ko'rsatilgan giperbolaning yashash sxemasini grafiklarning geometrik o'zgarishlari nuqtai nazaridan tahlil qilish oson.

3-misol

Giperbolaning o'ng shoxini tuzing

Biz nuqtaviy qurilish usulidan foydalanamiz va qiymatlarni butunga bo'linadigan qilib tanlash foydalidir:

Keling, rasm chizamiz:

Giperbolaning chap novdasini qurish qiyin bo'lmaydi, bu erda funktsiyaning g'alatiligi yordam beradi. Taxminan aytganda, nuqtaviy qurilish jadvalida biz har bir raqamga minus qo'shamiz, tegishli nuqtalarni qo'yamiz va ikkinchi novdani chizamiz.

Ko'rib chiqilgan chiziq haqida batafsil geometrik ma'lumotni Giperbola va parabola maqolasida topish mumkin.

Ko‘rsatkichli funksiya grafigi

IN ushbu paragraf Men darhol eksponensial funktsiyani ko'rib chiqaman, chunki oliy matematika muammolarida 95% hollarda eksponensial ko'rinadi.

Shuni eslatib o'tamanki, bu irratsional raqam: , bu grafikni qurishda talab qilinadi, men buni marosimsiz quraman. Uch ball etarli bo'lishi mumkin:

Funksiya grafigini hozircha yolg‘iz qoldiraylik, bu haqda keyinroq to‘xtalib o‘tamiz.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Funksiya grafiklari va boshqalar asosan bir xil ko'rinishga ega.

Aytishim kerakki, ikkinchi holat amalda kamroq uchraydi, lekin u sodir bo'ladi, shuning uchun men uni ushbu maqolaga kiritishni zarur deb bildim.

Logarifmik funktsiyaning grafigi

Natural logarifmli funksiyani ko‘rib chiqaylik.
Keling, nuqtama-nuqta chizamiz:

Agar siz logarifm nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, maktab darsliklariga murojaat qiling.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Domen:

Qiymatlar diapazoni: .

Funktsiya yuqoridan cheklanmagan: , asta-sekin bo'lsa-da, lekin logarifmning shoxchasi cheksizlikka ko'tariladi.
Keling, o'ngdagi nolga yaqin funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik: . Shunday qilib, eksa vertikal asimptota funktsiya grafigi uchun "x" o'ngdan nolga intiladi.

Logarifmning odatiy qiymatini bilish va eslab qolish juda muhimdir: .

Asosan, logarifmning asosga grafigi bir xil ko'rinadi: , , (asosga o'nlik logarifm 10) va hokazo. Bundan tashqari, taglik qanchalik katta bo'lsa, grafik tekisroq bo'ladi.

Biz ishni ko'rib chiqmaymiz; oxirgi marta qachon bunday asosga ega grafik qurganimni eslay olmayman. Va logarifm oliy matematika muammolarida juda kam uchraydigan mehmon bo'lib tuyuladi.

Ushbu paragrafning oxirida yana bir faktni aytaman: Ko‘rsatkichli funksiya va logarifmik funksiya- bu ikkita o'zaro teskari funktsiya. Agar siz logarifm grafigiga diqqat bilan qarasangiz, bu bir xil ko'rsatkich ekanligini ko'rishingiz mumkin, u biroz boshqacha joylashgan.

Trigonometrik funksiyalarning grafiklari

Trigonometrik azob maktabda qaerdan boshlanadi? To'g'ri. Sinusdan

Keling, funktsiyani chizamiz

Bu qator deyiladi sinusoid.

Eslatib o‘taman, “pi” irratsional son: , trigonometriyada esa ko‘zni qamashtiradi.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bu funksiya davriy davr bilan. Bu nima degani? Keling, segmentni ko'rib chiqaylik. Uning chap va o'ng tomonida grafikning aynan bir qismi cheksiz takrorlanadi.

Domen: , ya'ni "x" ning har qanday qiymati uchun sinus qiymati mavjud.

Qiymatlar diapazoni: . Funktsiya shunday cheklangan: , ya'ni barcha "o'yinlar" segmentda qat'iy o'tiradi.
Bu sodir bo'lmaydi: yoki, aniqrog'i, sodir bo'ladi, lekin bu tenglamalar yechimga ega emas.

1. Kasr chiziqli funksiya va uning grafigi

P(x) va Q(x) polinom bo‘lgan y = P(x) / Q(x) ko‘rinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi.

Ehtimol, siz ratsional sonlar tushunchasi bilan tanish bo'lgansiz. Xuddi shunday ratsional funktsiyalar ikki ko‘phadning bo‘limi sifatida ifodalanishi mumkin bo‘lgan funksiyalardir.

Agar kasrli ratsional funktsiya ikkita chiziqli funktsiyaning koeffitsienti bo'lsa - birinchi darajali polinomlar, ya'ni. shakl funktsiyasi

y = (ax + b) / (cx + d), keyin u kasr chiziqli deb ataladi.

y = (ax + b) / (cx + d) funktsiyasida c ≠ 0 (aks holda funktsiya chiziqli y = ax/d + b/d ga aylanadi) va a/c ≠ b/d (aks holda funktsiya doimiy). Chiziqli kasr funktsiyasi x = -d/c dan tashqari barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi. Kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari siz bilgan y = 1/x grafigidan shakli jihatidan farq qilmaydi. y = 1/x funksiyaning grafigi bo'lgan egri chiziq deyiladi giperbola. Mutlaq qiymatdagi x ning cheksiz o'sishi bilan y = 1/x funksiya mutlaq qiymatda cheksiz kamayadi va grafikning ikkala shoxlari ham abscissaga yaqinlashadi: o'ng tomon yuqoridan, chap tomon esa pastdan. Giperbolaning shoxlari yaqinlashadigan chiziqlar uning deyiladi asimptotlar.

1-misol.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Yechim.

Butun qismni tanlaymiz: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi o‘zgartirishlar orqali olinganligini ko‘rish oson: 3 birlik segmentga o‘ngga siljish, Oy o‘qi bo‘ylab 7 marta cho‘zish va 2 ga siljish. birlik segmentlari yuqoriga.

Har qanday kasr y = (ax + b) / (cx + d) "butun qism" ni ta'kidlab, shunga o'xshash tarzda yozilishi mumkin. Binobarin, barcha kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari koordinata o'qlari bo'ylab turli yo'llar bilan siljigan va Oy o'qi bo'ylab cho'zilgan giperbolalardir.

Har qanday ixtiyoriy kasr-chiziqli funktsiyaning grafigini qurish uchun ushbu funktsiyani aniqlaydigan kasrni o'zgartirish umuman shart emas. Grafik giperbola ekanligini bilganimiz uchun uning shoxlari yaqinlashadigan to'g'ri chiziqlarni - x = -d/c va y = a/c giperbolaning asimptotalarini topish etarli bo'ladi.

2-misol.

y = (3x + 5)/(2x + 2) funksiya grafigining asimptotalarini toping.

Yechim.

Funktsiya aniqlanmagan, x = -1 da. Demak, x = -1 to'g'ri chiziq vertikal asimptota vazifasini bajaradi. Gorizontal asimptotani topish uchun x argumenti mutlaq qiymatga oshganda y(x) funksiyaning qiymatlari qanday yondashishini aniqlaylik.

Buning uchun kasrning soni va maxrajini x ga bo'ling:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

X → ∞ sifatida kasr 3/2 ga moyil bo'ladi. Bu gorizontal asimptota y = 3/2 to'g'ri chiziq ekanligini anglatadi.

3-misol.

y = (2x + 1)/(x + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Kasrning "butun qismini" tanlaymiz:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi oʻzgartirishlar orqali olinganligini koʻrish oson: chapga 1 birlikka siljish, Oxga nisbatan simmetrik displey va quyidagi oʻzgartirishlar. Oy o'qi bo'ylab 2 birlik segment yuqoriga.

Domen D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Qiymatlar diapazoni E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

O'qlar bilan kesishish nuqtalari: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktsiya aniqlanish sohasining har bir oralig'ida ortadi.

Javob: 1-rasm.

2. Kasr ratsional funksiya

y = P(x) / Q(x) ko'rinishdagi kasrli ratsional funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu erda P(x) va Q(x) birinchidan yuqori darajali polinomlardir.

Bunday ratsional funktsiyalarga misollar:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) yoki y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Agar y = P(x) / Q(x) funksiya ikki darajali ko‘phadning birinchisidan yuqori bo‘linmasini ifodalasa, uning grafigi, qoida tariqasida, murakkabroq bo‘ladi va ba’zan uni to‘g‘ri qurish qiyin bo‘lishi mumkin. , barcha tafsilotlar bilan. Biroq, ko'pincha biz yuqorida tanishtirganlarga o'xshash usullardan foydalanish kifoya.

Kasr to'g'ri kasr bo'lsin (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Shubhasiz, kasr ratsional funktsiyaning grafigi elementar kasrlar grafiklarining yig'indisi sifatida olinishi mumkin.

Kasrli ratsional funksiyalarning grafiklarini tuzish

Kasrli ratsional funktsiyaning grafiklarini qurishning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz.

4-misol.

y = 1/x 2 funksiya grafigini chizing.

Yechim.

y = 1/x 2 grafigini qurish uchun y = x 2 funksiya grafigidan foydalanamiz va grafiklarni “bo‘lish” texnikasidan foydalanamiz.

Domen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

E(y) = (0; +∞) qiymatlar diapazoni.

O'qlar bilan kesishish nuqtalari yo'q. Funktsiya teng. Barcha x uchun (-∞; 0) oraliqdan ortadi, x uchun 0 dan +∞ gacha kamayadi.

Javob: 2-rasm.

5-misol.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Domen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Bu erda chiziqli funktsiyani faktorizatsiya qilish, kamaytirish va kamaytirish texnikasidan foydalandik.

Javob: 3-rasm.

6-misol.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Ta'rif sohasi D(y) = R. Funktsiya juft bo'lgani uchun grafik ordinataga nisbatan simmetrikdir. Grafikni qurishdan oldin, keling, butun qismini ajratib ko'rsatib, ifodani yana o'zgartiramiz:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

E'tibor bering, kasr ratsional funktsiya formulasida butun son qismini ajratib olish grafiklarni qurishda asosiylaridan biridir.

Agar x → ±∞ bo'lsa, u holda y → 1, ya'ni. y = 1 to'g'ri chiziq gorizontal asimptotadir.

Javob: 4-rasm.

7-misol.

y = x/(x 2 + 1) funksiyani ko'rib chiqamiz va uning eng katta qiymatini aniq topishga harakat qilamiz, ya'ni. grafikning o'ng yarmidagi eng yuqori nuqta. Ushbu grafikni to'g'ri tuzish uchun bugungi bilim etarli emas. Shubhasiz, bizning egri chiziq juda baland "ko'tarilishi" mumkin emas, chunki maxraj tezlik bilan hisoblagichni "quvib o'tishni" boshlaydi. Funktsiyaning qiymati 1 ga teng bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz. Buning uchun x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 tenglamasini yechishimiz kerak. Bu tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Bu bizning taxminimiz noto'g'ri ekanligini anglatadi. Funksiyaning eng katta qiymatini topish uchun A = x/(x 2 + 1) tenglamaning qaysi eng katta Ada yechimi bo'lishini aniqlash kerak. Dastlabki tenglamani kvadratik tenglamaga almashtiramiz: Ax 2 – x + A = 0. Bu tenglama 1 – 4A 2 ≥ 0 bo‘lganda yechimga ega. Bu yerdan A = 1/2 eng katta qiymatni topamiz.

Javob: 5-rasm, max y(x) = ½.

Hali ham savollaringiz bormi? Funksiyalarni qanday grafik qilishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Matematikadagi eng mashhur eksponensial funktsiyalardan biri bu ko'rsatkichdir. Belgilangan quvvatga ko'tarilgan Eyler raqamini ifodalaydi. Excelda uni hisoblash imkonini beruvchi alohida operator mavjud. Keling, amalda qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqaylik.

Eksponent - berilgan darajaga ko'tarilgan Eyler soni. Eyler raqamining o'zi taxminan 2,718281828 ni tashkil qiladi. Ba'zan u Napier raqami deb ham ataladi. Ko'rsatkich funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda e - Eyler soni va n - ko'tarilish darajasi.

Excelda ushbu ko'rsatkichni hisoblash uchun alohida operator ishlatiladi - EXP. Bundan tashqari, ushbu funktsiyani grafik sifatida ko'rsatish mumkin. Ushbu vositalar bilan ishlash haqida keyinroq gaplashamiz.

1-usul: Funktsiyani qo'lda kiritish orqali ko'rsatkichni hisoblang

EXP(raqam)

Ya'ni, bu formula faqat bitta argumentni o'z ichiga oladi. Eyler raqamini ko'tarish kerak bo'lgan kuchdir. Ushbu dalil shaklda bo'lishi mumkin raqamli qiymat, va ko'rsatkichni o'z ichiga olgan katakchaga havola shaklini oling.

2-usul: Funksiya ustasidan foydalanish

Ko'rsatkichni hisoblash sintaksisi juda oddiy bo'lsa-da, ba'zi foydalanuvchilar foydalanishni afzal ko'rishadi Funktsiya ustasi. Keling, bu qanday amalga oshirilganini misol bilan ko'rib chiqaylik.

Agar ko'rsatkichni o'z ichiga olgan hujayra havolasi argument sifatida ishlatilsa, kursorni maydonga qo'yishingiz kerak. "Raqam" va shunchaki varaqdagi katakchani tanlang. Uning koordinatalari darhol maydonda ko'rsatiladi. Shundan so'ng, natijani hisoblash uchun tugmani bosing "KELISHDIKMI".

3-usul: chizma tuzish

Bundan tashqari, Excelda ko'rsatkichni asos sifatida hisoblash natijasida olingan natijalardan foydalanib, grafik yaratish mumkin. Grafikni yaratish uchun varaqda turli kuchlar ko'rsatkichining hisoblangan qiymatlari bo'lishi kerak. Ular yuqorida tavsiflangan usullardan biri yordamida hisoblanishi mumkin.

y (x) = e x, hosilasi funksiyaning o'ziga teng.

Ko'rsatkich , yoki sifatida belgilanadi.

Raqam e

Ko'rsatkich darajasining asosi raqam e. Bu irratsional raqam. Bu taxminan teng
e ≈ 2,718281828459045...

E soni ketma-ketlikning chegarasi orqali aniqlanadi. Bu deb ataladigan narsa ikkinchi ajoyib chegara:
.

e soni qator sifatida ham ifodalanishi mumkin:
.

Eksponensial grafik

Eksponensial grafik, y = e x .

Grafik eksponensialni ko'rsatadi e darajaga qadar X.
y (x) = e x
Grafik ko'rsatkichning monoton ravishda ortib borishini ko'rsatadi.

Formulalar

Asosiy formulalar bilan bir xil eksponensial funktsiya quvvat bazasi bilan e.

;
;
;

Ko'rsatkichli funktsiyani ixtiyoriy a darajali asosli eksponensial orqali ifodalash:
.

Shaxsiy qadriyatlar

Keling, y (x) = e x. Keyin
.

Ko‘rsatkich xossalari

Ko'rsatkich quvvat asosli ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatlariga ega e > 1 .

Domen, qiymatlar to'plami

Koʻrsatkich y (x) = e x barcha x uchun belgilangan.
Uning ta'rif sohasi:
- ∞ < x + ∞ .
Uning ko'p ma'nolari:
0 < y < + ∞ .

Ekstremal, ortib boruvchi, kamayuvchi

Eksponensial monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun u ekstremalga ega emas. Uning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.

Teskari funksiya

Ko'rsatkichning teskarisi natural logarifmdir.
;
.

Ko'rsatkichning hosilasi

Hosil e darajaga qadar X ga teng e darajaga qadar X :
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Integral

Kompleks sonlar

bilan harakatlar murakkab sonlar yordamida amalga oshiriladi Eyler formulalari:
,
xayoliy birlik qayerda:
.

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

; ;
.

Trigonometrik funksiyalar yordamida ifodalar

; ;
;
.

Quvvat seriyasining kengayishi

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.