Keling, funktsiyani grafik yordamida qanday tekshirishni ko'rib chiqaylik. Ma'lum bo'lishicha, grafikaga qarab, bizni qiziqtirgan hamma narsani bilib olishimiz mumkin, xususan:

• funktsiya sohasi
• funktsiya diapazoni
• funktsiya nollari
• ortish va pasayish intervallari
• maksimal va minimal ball
• segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati.

Keling, terminologiyaga aniqlik kiritaylik:

Abscissa nuqtaning gorizontal koordinatasi hisoblanadi.
Ordinatsiya qilish- vertikal koordinata.
Abtsissa o'qi- ko'pincha eksa deb ataladigan gorizontal o'q.
Y o'qi- vertikal o'q yoki eksa.

Dalil- funktsiya qiymatlari bog'liq bo'lgan mustaqil o'zgaruvchi. Ko'pincha ko'rsatilgan.
Boshqacha qilib aytganda, biz ni tanlaymiz, formulaga funktsiyalarni almashtiramiz va ni olamiz.

Domen funktsiyalar - bu funktsiya mavjud bo'lgan (va faqat o'sha) argument qiymatlari to'plami.
Belgilangan: yoki.

Bizning rasmimizda funksiyani aniqlash sohasi segmentdir. Aynan shu segmentda funksiya grafigi chiziladi. Bu funksiya mavjud bo'lgan yagona joy.

Funktsiya diapazoni o'zgaruvchi qabul qiladigan qiymatlar to'plamidir. Bizning rasmimizda bu segment - eng pastdan eng yuqori qiymatgacha.

Funktsiya nollari- funksiyaning qiymati nolga teng bo'lgan nuqtalar, ya'ni. Bizning rasmimizda bu nuqtalar va .

Funktsiya qiymatlari ijobiy qayerda. Bizning rasmimizda bu intervallar va .
Funktsiya qiymatlari salbiy qayerda. Biz uchun bu dan gacha bo'lgan interval (yoki interval).

Asosiy tushunchalar - oshirish va kamaytirish funktsiyasi ba'zi to'plamda. To'plam sifatida siz segmentni, intervalni, intervallar birligini yoki butun son chizig'ini olishingiz mumkin.

Funktsiya ortadi

Boshqacha aytganda, qancha ko'p , shuncha ko'p, ya'ni grafik o'ngga va yuqoriga boradi.

Funktsiya kamayadi to'plamda agar har qanday bo'lsa va to'plamga tegishli bo'lsa, tengsizlik tengsizlikni bildiradi.

Kamayuvchi funktsiya uchun kattaroq qiymat kichikroq qiymatga mos keladi. Grafik o'ngga va pastga tushadi.

Bizning rasmimizda funktsiya oraliqda ortib boradi va intervallarda kamayadi.

Keling, nima ekanligini aniqlaylik funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalari.

Maksimal nuqta- bu ta'rif sohasining ichki nuqtasi bo'lib, undagi funktsiyaning qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalardan kattaroqdir.
Boshqacha qilib aytganda, maksimal nuqta - bu funktsiyaning qiymati bo'lgan nuqta Ko'proq qo'shnilarga qaraganda. Bu grafikdagi mahalliy "tepalik".

Bizning rasmimizda maksimal nuqta bor.

Minimal nuqta- ta'rif sohasining ichki nuqtasi, undagi funktsiyaning qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalardan kichik bo'ladi.
Ya'ni, minimal nuqta shundayki, undagi funktsiyaning qiymati qo'shnilariga qaraganda kamroq. Bu grafikdagi mahalliy "teshik".

Bizning rasmimizda minimal nuqta bor.

Nuqta - bu chegara. Bu ta'rif sohasining ichki nuqtasi emas va shuning uchun maksimal nuqta ta'rifiga mos kelmaydi. Axir, uning chap tomonida qo'shnilari yo'q. Xuddi shu tarzda, bizning jadvalimizda minimal nuqta bo'lishi mumkin emas.

Maksimal va minimal nuqtalar birgalikda deyiladi funktsiyaning ekstremal nuqtalari. Bizning holatlarimizda bu va.

Agar topish kerak bo'lsa, nima qilish kerak, masalan, minimal funktsiya segmentida? IN Ushbu holatda javob: . Chunki minimal funktsiya uning minimal nuqtadagi qiymati.

Xuddi shunday, bizning funktsiyamizning maksimal qiymati . Bu nuqtaga erishiladi.

Funksiyaning ekstremallari va ga teng, deyishimiz mumkin.

Ba'zan muammolar topishni talab qiladi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari ma'lum bir segmentda. Ular ekstremal holatlarga to'g'ri kelishi shart emas.

Bizning holatda eng kichik funktsiya qiymati segmentdagi funktsiyaning minimaliga teng va mos keladi. Ammo uning ushbu segmentdagi eng katta qiymati ga teng. U segmentning chap uchida joylashgan.

Har holda, eng katta va eng kichik qiymatlar doimiy funktsiya segmentda ekstremum nuqtalarda yoki segmentning oxirida erishiladi.

The uslubiy material faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va mavzularning keng doirasiga tegishli. Maqolada asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari haqida umumiy ma'lumot berilgan va eng muhim masala ko'rib chiqiladi - grafikni qanday qilib to'g'ri va TEZ qurish kerak. Asosiy grafiklarni bilmasdan oliy matematikani o'rganish jarayonida elementar funktsiyalar Bu qiyin bo'ladi, shuning uchun parabola, giperbola, sinus, kosinus va boshqalarning grafiklari qanday ko'rinishini eslab qolish va ba'zi funktsiyalar qiymatlarini eslab qolish juda muhimdir. Shuningdek, biz asosiy funktsiyalarning ba'zi xususiyatlari haqida gapiramiz.

Men materiallarning to'liqligi va ilmiy puxtaligiga da'vo qilmayman, asosiy e'tibor, birinchi navbatda, amaliyotga qaratiladi. har qadamda, oliy matematikaning istalgan mavzusida tom ma'noda duch keladi. Dummies uchun jadvallar? Shunday deyish mumkin.

O'quvchilarning ko'plab so'rovlari tufayli bosiladigan tarkib jadvali:

Bundan tashqari, mavzu bo'yicha ultra qisqacha konspekt mavjud
- OLTI sahifani o'rganish orqali 16 turdagi jadvallarni o'zlashtiring!

Jiddiy, olti, hatto men hayron bo'ldim. Ushbu xulosa yaxshilangan grafiklarni o'z ichiga oladi va nominal to'lov evaziga mavjud; demo versiyasini ko'rish mumkin. Grafiklar doimo qo'lda bo'lishi uchun faylni chop etish qulay. Loyihani qo'llab-quvvatlaganingiz uchun tashakkur!

Va darhol boshlaylik:

Koordinata o'qlarini qanday qilib to'g'ri qurish mumkin?

Amalda, testlar deyarli har doim o'quvchilar tomonidan kvadrat shaklida chizilgan alohida daftarlarda to'ldiriladi. Nega sizga katakli belgilar kerak? Axir, ish, qoida tariqasida, A4 varaqlarida bajarilishi mumkin. Va qafas faqat chizmalarning yuqori sifatli va aniq dizayni uchun kerak.

Funksiya grafigining har qanday chizmasi bilan boshlanadi koordinata o'qlari .

Chizmalar ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli bo'lishi mumkin.

Keling, birinchi navbatda ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqaylik Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi:

1) Koordinata o'qlarini chizish. Eksa deyiladi x o'qi , va o'qi y o'qi . Biz har doim ularni chizishga harakat qilamiz toza va egri emas. O'qlar ham Papa Karloning soqoliga o'xshamasligi kerak.

2) Biz o'qlarni "X" va "Y" katta harflari bilan imzolaymiz. Boltalarni belgilashni unutmang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating: nol va ikkita birlikni chizish. Chizma chizishda eng qulay va tez-tez ishlatiladigan masshtab: 1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan) - iloji bo'lsa, unga yopishib oling. Biroq, vaqti-vaqti bilan chizilgan daftar varag'iga mos kelmasligi sodir bo'ladi - keyin biz o'lchovni kamaytiramiz: 1 birlik = 1 katak (o'ngda chizilgan). Bu kamdan-kam uchraydi, lekin chizilgan o'lchovni yanada qisqartirish (yoki oshirish) kerak bo'ladi.

…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … ni “pulemyot” o'rnatishga HAQIQAT YO'Q. Uchun koordinata tekisligi Dekartning yodgorligi emas, talaba esa kaptar emas. qo'yamiz nol Va eksa bo'ylab ikkita birlik. Ba'zan o'rniga birliklarda, boshqa qiymatlarni "belgilash" qulay, masalan, abscissa o'qida "ikki" va ordinatalar o'qida "uch" - va bu tizim (0, 2 va 3) koordinatalar panjarasini ham noyob tarzda aniqlaydi.

Chizmani qurishdan oldin chizmaning taxminiy o'lchamlarini taxmin qilish yaxshiroqdir. Shunday qilib, masalan, agar vazifa cho'qqilari bilan uchburchak chizishni talab qilsa , , , unda 1 birlik = 2 katakning mashhur shkalasi ishlamasligi aniq. Nega? Keling, bir nuqtaga qaraylik - bu erda siz o'n besh santimetr pastga o'lchashingiz kerak bo'ladi va aniqki, chizma daftar varag'iga sig'maydi (yoki deyarli sig'maydi). Shuning uchun biz darhol kichikroq o'lchovni tanlaymiz: 1 birlik = 1 hujayra.

Aytgancha, taxminan santimetr va daftar hujayralari. 30 ta daftar xujayrasi 15 santimetrdan iborat ekanligi rostmi? O'yin-kulgi uchun daftaringizdagi 15 santimetrni chizg'ich bilan o'lchang. SSSRda bu to'g'ri bo'lgan bo'lishi mumkin ... Qizig'i shundaki, agar siz xuddi shu santimetrlarni gorizontal va vertikal ravishda o'lchasangiz, natijalar (hujayralarda) boshqacha bo'ladi! Qat'iy aytganda, zamonaviy daftarlar katak emas, balki to'rtburchaklar. Bu bema'ni tuyulishi mumkin, ammo bunday vaziyatlarda, masalan, kompas bilan doira chizish juda noqulay. Rostini aytsam, shunday paytlarda siz mahalliy avtomobilsozlik, qulagan samolyotlar yoki portlovchi elektr stantsiyalari haqida gapirmasa ham, ishlab chiqarishdagi xakerlik uchun lagerlarga yuborilgan o'rtoq Stalinning to'g'riligi haqida o'ylay boshlaysiz.

Sifat haqida gapirganda yoki ish yuritish bo'yicha qisqacha tavsiya. Bugungi kunda sotuvga qo'yilgan noutbuklarning aksariyati, hech bo'lmaganda, butunlay axlatdir. Ular nafaqat jel qalamlardan, balki sharikli qalamlardan ham namlanadi! Ular qog'ozga pul tejashadi. Ro'yxatdan o'tish uchun testlar Men Arxangelsk pulpa va qog'oz fabrikasidan (18 varaq, panjara) yoki "Pyaterochka" daftarlaridan foydalanishni maslahat beraman, garchi u qimmatroq bo'lsa. Jel qalamini tanlash tavsiya etiladi, hatto eng arzon xitoy jeli ham qog'ozni bo'yaydigan yoki yirtib yuboradigan sharikli qalamga qaraganda ancha yaxshi. Men eslay oladigan yagona "raqobatbardosh" sharikli qalam - Erich Krause. U aniq, chiroyli va izchil yozadi - to'liq yadro bilan yoki deyarli bo'sh.

Qo'shimcha: To'rtburchaklar koordinata tizimini analitik geometriya ko'zlari bilan ko'rish maqolada yoritilgan. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari, batafsil ma'lumot koordinata choraklari haqida darsning ikkinchi xatboshida topish mumkin Chiziqli tengsizliklar.

3D korpus

Bu erda deyarli bir xil.

1) Koordinata o'qlarini chizish. Standart: eksa qo'llaniladi – yuqoriga yo‘naltirilgan, eksa – o‘ngga, o‘q – pastga qarab chapga yo‘naltirilgan qat'iy 45 daraja burchak ostida.

2) O'qlarni belgilang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating. Eksa bo'ylab masshtab boshqa o'qlar bo'ylab shkaladan ikki marta kichikdir. Shuni ham yodda tutingki, o'ng chizmada men eksa bo'ylab nostandart "chechak" ishlatganman (bu imkoniyat yuqorida aytib o'tilgan). Mening fikrimcha, bu aniqroq, tezroq va estetik jihatdan yoqimli - mikroskop ostida hujayraning o'rtasini izlash va koordinatalarning kelib chiqishiga yaqin bo'lgan birlikni "haykal" qilishning hojati yo'q.

3D chizmani yaratishda yana o'lchovga ustunlik bering
1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan).

Bu qoidalarning barchasi nima uchun? Qoidalar buzish uchun yaratilgan. Men hozir shunday qilaman. Gap shundaki, maqolaning keyingi chizmalari men tomonidan Excelda tuziladi va koordinata o'qlari nuqtai nazardan noto'g'ri ko'rinadi. to'g'ri dizayn. Men barcha grafiklarni qo'lda chizishim mumkin edi, lekin ularni chizish juda qo'rqinchli, chunki Excel ularni aniqroq chizishni istamaydi.

Elementar funksiyalarning grafiklari va asosiy xossalari

Chiziqli funktsiya tenglama bilan berilgan. Chiziqli funksiyalar grafigi bevosita. To'g'ri chiziqni qurish uchun ikkita nuqtani bilish kifoya.

1-misol

Funksiya grafigini tuzing. Keling, ikkita nuqtani topamiz. Nuqtalardan biri sifatida nolni tanlash foydalidir.

Agar , keyin

Yana bir nuqtani olaylik, masalan, 1.

Agar , keyin

Vazifalarni bajarishda nuqtalarning koordinatalari odatda jadvalda umumlashtiriladi:

Va qiymatlarning o'zi og'zaki yoki qoralama, kalkulyatorda hisoblanadi.

Ikki nuqta topildi, keling, chizamiz:

Chizma tayyorlashda biz har doim grafikaga imzo chekamiz.

Chiziqli funktsiyaning maxsus holatlarini eslash foydali bo'ladi:

Imzolarni qanday qo'yganimga e'tibor bering, imzolar chizmani o'rganishda nomuvofiqlikka yo'l qo'ymasligi kerak. Bunday holda, chiziqlarning kesishish nuqtasi yonida yoki grafiklar orasidagi pastki o'ngda imzo qo'yish juda istalmagan.

1) () ko'rinishdagi chiziqli funksiya to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik deyiladi. Masalan, . To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik grafigi har doim koordinatali nuqtadan o'tadi. Shunday qilib, to'g'ri chiziqni qurish soddalashtirilgan - faqat bitta nuqtani topish kifoya.

2) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni belgilaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funksiya grafigi darhol, hech qanday nuqta topilmagan holda tuziladi. Ya'ni, yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x ning har qanday qiymati uchun y har doim -4 ga teng."

3) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni belgilaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funktsiyaning grafigi ham darhol chiziladi. Yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x har doim, y ning har qanday qiymati uchun 1 ga teng."

Ba'zilar so'rashadi, nega 6-sinfni eslaysiz?! Bu shunday, balki shundaydir, lekin ko'p yillik amaliyot davomida men yoki kabi grafik yaratish vazifasidan hayratda qolgan o'nlab talabalarni uchratdim.

To'g'ri chiziqni qurish - chizmalarni tuzishda eng keng tarqalgan harakatdir.

To'g'ri chiziq analitik geometriya kursida batafsil muhokama qilinadi va qiziquvchilar maqolaga murojaat qilishlari mumkin. Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kvadrat, kub funksiya grafigi, ko‘phadning grafigi

Parabola. Jadval kvadratik funktsiya () parabolani ifodalaydi. Mashhur ishni ko'rib chiqing:

Funktsiyaning ba'zi xususiyatlarini eslaylik.

Demak, tenglamamizning yechimi: – aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan. Nima uchun bu shunday bo'lganligini hosila haqidagi nazariy maqolada va funktsiyaning ekstremallari bo'yicha darsda topish mumkin. Ayni paytda, keling, mos keladigan "Y" qiymatini hisoblaymiz:

Shunday qilib, cho'qqi nuqtada

Endi biz parabolaning simmetriyasini qo'pol ravishda ishlatib, boshqa nuqtalarni topamiz. Funktsiyani ta'kidlash kerak – hatto emas, ammo, shunga qaramay, hech kim parabolaning simmetriyasini bekor qilmadi.

Qolgan nuqtalarni qanday tartibda topish, menimcha, yakuniy jadvaldan aniq bo'ladi:

Ushbu qurilish algoritmini majoziy ma'noda "shuttle" yoki Anfisa Chexova bilan "oldinga va orqaga" tamoyili deb atash mumkin.

Keling, rasm chizamiz:

Ko'rib chiqilgan grafiklardan yana bir foydali xususiyat aqlga keladi:

Kvadrat funksiya uchun () quyidagilar to'g'ri:

Agar , u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi.

Agar , u holda parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi.

Egri chiziq haqida chuqur bilimlarni Giperbola va parabola darsida olish mumkin.

Funktsiya tomonidan kubik parabola berilgan. Mana maktabdan tanish rasm:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz

Funksiya grafigi

U parabolaning shoxlaridan birini ifodalaydi. Keling, rasm chizamiz:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bunday holda, eksa vertikal asimptota da giperbolaning grafigi uchun.

Agar chizma chizishda grafikning asimptota bilan kesishishiga beparvolik bilan yo'l qo'ysangiz, bu YUQO'L xato bo'ladi.

Bundan tashqari, bir tomonlama chegaralar bizga giperbola ekanligini aytadi yuqoridan cheklanmagan Va pastdan cheklanmagan.

Funktsiyani cheksizlikda ko'rib chiqamiz: , ya'ni, agar biz o'q bo'ylab chapga (yoki o'ngga) abadiylikka harakat qilishni boshlasak, u holda "o'yinlar" tartibli qadamda bo'ladi. cheksiz yaqin nolga yaqinlashadi va shunga mos ravishda giperbolaning shoxlari cheksiz yaqin o'qiga yaqinlashing.

Shunday qilib, eksa gorizontal asimptota funktsiya grafigi uchun, agar "x" ortiqcha yoki minus cheksizlikka moyil bo'lsa.

Funktsiya shunday g'alati, va shuning uchun giperbola kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir. Bu haqiqat chizmadan yaqqol ko'rinib turibdi, qo'shimcha ravishda u analitik jihatdan osongina tekshiriladi: .

() ko'rinishdagi funktsiya grafigi giperbolaning ikkita tarmog'ini ifodalaydi.

Agar , u holda giperbola birinchi va uchinchi koordinata choraklarida joylashgan(yuqoridagi rasmga qarang).

Agar bo'lsa, giperbola ikkinchi va to'rtinchi koordinata choraklarida joylashgan.

Ko'rsatilgan giperbolaning yashash sxemasini grafiklarning geometrik o'zgarishlari nuqtai nazaridan tahlil qilish oson.

3-misol

Giperbolaning o'ng shoxini tuzing

Biz nuqtaviy qurilish usulidan foydalanamiz va qiymatlarni butunga bo'linadigan qilib tanlash foydalidir:

Keling, rasm chizamiz:

Giperbolaning chap novdasini qurish qiyin bo'lmaydi, bu erda funktsiyaning g'alatiligi yordam beradi. Taxminan aytganda, nuqtaviy qurilish jadvalida biz har bir raqamga minus qo'shamiz, tegishli nuqtalarni qo'yamiz va ikkinchi novdani chizamiz.

Ko'rib chiqilgan chiziq haqida batafsil geometrik ma'lumotni Giperbola va parabola maqolasida topish mumkin.

Ko‘rsatkichli funksiya grafigi

IN ushbu paragraf Men darhol eksponensial funktsiyani ko'rib chiqaman, chunki oliy matematika muammolarida 95% hollarda eksponensial ko'rinadi.

Shuni eslatib o'tamanki, bu irratsional raqam: , bu grafikni qurishda talab qilinadi, men buni marosimsiz quraman. Uch ball etarli bo'lishi mumkin:

Funksiya grafigini hozircha yolg‘iz qoldiraylik, bu haqda keyinroq to‘xtalib o‘tamiz.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Funksiya grafiklari va boshqalar asosan bir xil ko'rinishga ega.

Aytishim kerakki, ikkinchi holat amalda kamroq uchraydi, lekin u sodir bo'ladi, shuning uchun men uni ushbu maqolaga kiritishni zarur deb bildim.

Logarifmik funktsiyaning grafigi

Natural logarifmli funksiyani ko‘rib chiqaylik.
Keling, nuqtama-nuqta chizamiz:

Agar siz logarifm nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, maktab darsliklariga murojaat qiling.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Domen:

Qiymatlar diapazoni: .

Funktsiya yuqoridan chegaralanmagan: asta-sekin bo'lsa-da, logarifmning bo'limi cheksizlikka ko'tariladi.
Keling, o'ngdagi nolga yaqin funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik: . Shunday qilib, eksa vertikal asimptota funktsiya grafigi uchun "x" o'ngdan nolga intiladi.

Logarifmning odatiy qiymatini bilish va eslab qolish juda muhimdir: .

Asosan, logarifmning asosga grafigi bir xil ko'rinadi: , , (asosga o'nlik logarifm 10) va hokazo. Bundan tashqari, taglik qanchalik katta bo'lsa, grafik tekisroq bo'ladi.

Biz ishni ko'rib chiqmaymiz; oxirgi marta qachon bunday asosga ega grafik qurganimni eslay olmayman. Va logarifm oliy matematika muammolarida juda kam uchraydigan mehmon bo'lib tuyuladi.

Ushbu paragrafning oxirida yana bir faktni aytaman: Ko‘rsatkichli funksiya va logarifmik funksiya- ikkisi o'zaro teskari funktsiyalar . Agar siz logarifm grafigiga diqqat bilan qarasangiz, bu bir xil ko'rsatkich ekanligini ko'rishingiz mumkin, u biroz boshqacha joylashgan.

Trigonometrik funksiyalarning grafiklari

Trigonometrik azob maktabda qaerdan boshlanadi? To'g'ri. Sinusdan

Keling, funktsiyani chizamiz

Bu qator deyiladi sinusoid.

Eslatib o‘taman, “pi” irratsional son: , trigonometriyada esa ko‘zni qamashtiradi.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bu funksiya davriy davr bilan. Bu nima degani? Keling, segmentni ko'rib chiqaylik. Uning chap va o'ng tomonida grafikning aynan bir qismi cheksiz takrorlanadi.

Domen: , ya'ni "x" ning har qanday qiymati uchun sinus qiymati mavjud.

Qiymatlar diapazoni: . Funktsiya shunday cheklangan: , ya'ni barcha "o'yinlar" segmentda qat'iy o'tiradi.
Bu sodir bo'lmaydi: yoki, aniqrog'i, sodir bo'ladi, lekin bu tenglamalar yechimga ega emas.

1. Kasr chiziqli funksiya va uning grafigi

P(x) va Q(x) polinom bo‘lgan y = P(x) / Q(x) ko‘rinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi.

Ehtimol, siz ratsional sonlar tushunchasi bilan tanish bo'lgansiz. Xuddi shunday ratsional funktsiyalar ikki ko‘phadning bo‘limi sifatida ifodalanishi mumkin bo‘lgan funksiyalardir.

Agar kasrli ratsional funktsiya ikkita chiziqli funktsiyaning koeffitsienti bo'lsa - birinchi darajali polinomlar, ya'ni. shakl funktsiyasi

y = (ax + b) / (cx + d), keyin u kasr chiziqli deb ataladi.

y = (ax + b) / (cx + d) funktsiyasida c ≠ 0 (aks holda funktsiya chiziqli y = ax/d + b/d ga aylanadi) va a/c ≠ b/d (aks holda funktsiya doimiy). Chiziqli kasr funktsiyasi x = -d/c dan tashqari barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi. Kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari siz bilgan y = 1/x grafigidan shakli jihatidan farq qilmaydi. y = 1/x funksiyaning grafigi bo'lgan egri chiziq deyiladi giperbola. Mutlaq qiymatdagi x ning cheksiz o'sishi bilan y = 1/x funksiya mutlaq qiymatda cheksiz kamayadi va grafikning ikkala shoxlari ham abscissaga yaqinlashadi: o'ng tomon yuqoridan, chap tomon esa pastdan. Giperbolaning shoxlari yaqinlashadigan chiziqlar uning deyiladi asimptotlar.

1-misol.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Yechim.

Butun qismni tanlaymiz: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi o‘zgartirishlar orqali olinganligini ko‘rish oson: 3 birlik segmentga o‘ngga siljish, Oy o‘qi bo‘ylab 7 marta cho‘zish va 2 ga siljish. birlik segmentlari yuqoriga.

Har qanday kasr y = (ax + b) / (cx + d) "butun qism" ni ta'kidlab, shunga o'xshash tarzda yozilishi mumkin. Binobarin, barcha kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari koordinata o'qlari bo'ylab turli yo'llar bilan siljigan va Oy o'qi bo'ylab cho'zilgan giperbolalardir.

Har qanday ixtiyoriy kasr-chiziqli funktsiyaning grafigini qurish uchun ushbu funktsiyani aniqlaydigan kasrni o'zgartirish umuman shart emas. Grafik giperbola ekanligini bilganimiz uchun uning shoxlari yaqinlashadigan to'g'ri chiziqlarni - x = -d/c va y = a/c giperbolaning asimptotalarini topish etarli bo'ladi.

2-misol.

y = (3x + 5)/(2x + 2) funksiya grafigining asimptotalarini toping.

Yechim.

Funktsiya aniqlanmagan, x = -1 da. Demak, x = -1 to'g'ri chiziq vertikal asimptota vazifasini bajaradi. Gorizontal asimptotani topish uchun x argumenti mutlaq qiymatga oshganda y(x) funksiyaning qiymatlari qanday yondashishini aniqlaylik.

Buning uchun kasrning soni va maxrajini x ga bo'ling:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

X → ∞ sifatida kasr 3/2 ga moyil bo'ladi. Bu gorizontal asimptota y = 3/2 to'g'ri chiziq ekanligini anglatadi.

3-misol.

y = (2x + 1)/(x + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Kasrning "butun qismini" tanlaymiz:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi oʻzgartirishlar orqali olinganligini koʻrish oson: chapga 1 birlikka siljish, Oxga nisbatan simmetrik displey va quyidagi oʻzgartirishlar. Oy o'qi bo'ylab 2 birlik segment yuqoriga.

Domen D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Qiymatlar diapazoni E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

O'qlar bilan kesishish nuqtalari: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktsiya aniqlanish sohasining har bir oralig'ida ortadi.

Javob: 1-rasm.

2. Kasr ratsional funksiya

y = P(x) / Q(x) ko'rinishdagi kasrli ratsional funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu erda P(x) va Q(x) birinchidan yuqori darajali polinomlardir.

Bunday ratsional funktsiyalarga misollar:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) yoki y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Agar y = P(x) / Q(x) funksiya ikki darajali ko‘phadning birinchisidan yuqori bo‘linmasini ifodalasa, uning grafigi, qoida tariqasida, murakkabroq bo‘ladi va ba’zan uni to‘g‘ri qurish qiyin bo‘lishi mumkin. , barcha tafsilotlar bilan. Biroq, ko'pincha biz yuqorida tanishtirganlarga o'xshash usullardan foydalanish kifoya.

Kasr to'g'ri kasr bo'lsin (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Shubhasiz, kasr ratsional funktsiyaning grafigi elementar kasrlar grafiklarining yig'indisi sifatida olinishi mumkin.

Kasrli ratsional funksiyalarning grafiklarini tuzish

Kasrli ratsional funktsiyaning grafiklarini qurishning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz.

4-misol.

y = 1/x 2 funksiya grafigini chizing.

Yechim.

y = 1/x 2 grafigini qurish uchun y = x 2 funksiya grafigidan foydalanamiz va grafiklarni “bo‘lish” texnikasidan foydalanamiz.

Domen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

E(y) = (0; +∞) qiymatlar diapazoni.

O'qlar bilan kesishish nuqtalari yo'q. Funktsiya teng. Barcha x uchun (-∞; 0) oraliqdan ortadi, x uchun 0 dan +∞ gacha kamayadi.

Javob: 2-rasm.

5-misol.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Domen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Bu erda chiziqli funktsiyani faktorizatsiya qilish, kamaytirish va kamaytirish texnikasidan foydalandik.

Javob: 3-rasm.

6-misol.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Ta'rif sohasi D(y) = R. Funktsiya juft bo'lgani uchun grafik ordinataga nisbatan simmetrikdir. Grafikni qurishdan oldin, keling, butun qismini ajratib ko'rsatib, ifodani yana o'zgartiramiz:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

E'tibor bering, kasr ratsional funktsiya formulasida butun son qismini ajratib olish grafiklarni qurishda asosiylaridan biridir.

Agar x → ±∞ bo'lsa, u holda y → 1, ya'ni. y = 1 to'g'ri chiziq gorizontal asimptotadir.

Javob: 4-rasm.

7-misol.

y = x/(x 2 + 1) funksiyani ko'rib chiqamiz va uning eng katta qiymatini aniq topishga harakat qilamiz, ya'ni. grafikning o'ng yarmidagi eng yuqori nuqta. Ushbu grafikni to'g'ri tuzish uchun bugungi bilim etarli emas. Shubhasiz, bizning egri chiziq juda baland "ko'tarilishi" mumkin emas, chunki maxraj tezlik bilan hisoblagichni "quvib o'tishni" boshlaydi. Funktsiyaning qiymati 1 ga teng bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz. Buning uchun x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 tenglamasini yechishimiz kerak. Bu tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Bu bizning taxminimiz noto'g'ri ekanligini anglatadi. Funksiyaning eng katta qiymatini topish uchun A = x/(x 2 + 1) tenglamaning qaysi eng katta Ada yechimi bo'lishini aniqlash kerak. Dastlabki tenglamani kvadratik tenglamaga almashtiramiz: Ax 2 – x + A = 0. Bu tenglama 1 – 4A 2 ≥ 0 bo‘lganda yechimga ega. Bu yerdan topamiz. eng yuqori qiymat A = 1/2.

Javob: 5-rasm, max y(x) = ½.

Hali ham savollaringiz bormi? Funksiyalarni qanday grafik qilishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Milliy tadqiqot universiteti

Amaliy geologiya kafedrasi

Mavhum oliy matematika

Mavzu bo'yicha: "Asosiy elementar funktsiyalar,

ularning xossalari va grafiklari"

Bajarildi:

Tekshirildi:

o'qituvchi

Ta'rif. Funktsiya, formula bilan berilgan y=a x (bu yerda a>0, a≠1) asosi a bo‘lgan ko‘rsatkichli funksiya deyiladi.

Keling, asosiy xususiyatlarni tuzamiz eksponensial funktsiya:

1. Ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar to'plami (R).

2. Diapazon - barcha musbat haqiqiy sonlar to'plami (R+).

3. a > 1 uchun funksiya butun son chizig‘i bo‘ylab ortadi; 0 da<а<1 функция убывает.

4. Umumiy shakl funksiyasi hisoblanadi.

, xO [-3;3] oraliqda, xO [-3;3] oraliqda

y(x)=x n ko‘rinishdagi funksiya, bu yerda n OR soni bo‘lib, daraja funksiyasi deyiladi. n soni turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin: ham butun, ham kasr, ham juft, ham toq. Bunga qarab quvvat funktsiyasi boshqa shaklga ega bo'ladi. Quvvat funksiyasi bo'lgan va bu turdagi egri chiziqning asosiy xossalarini quyidagi tartibda aks ettiruvchi maxsus holatlarni ko'rib chiqamiz: quvvat funksiyasi y=x² (juft darajali funktsiya - parabola), quvvat funktsiyasi y=x³ (toq darajali funktsiya). - kub parabola) va y=√x funksiyasi (x ½ darajasiga) (kasr ko'rsatkichli funktsiya), manfiy butun ko'rsatkichli funktsiya (giperbola).

Quvvat funktsiyasi y=x²

1. D(x)=R – funksiya butun son o‘qda aniqlanadi;

2. E(y)= va oraliqda ortadi

Quvvat funktsiyasi y=x³

1. y=x³ funksiyaning grafigi kubik parabola deyiladi. y=x³ quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

2. D(x)=R – funksiya butun son o‘qda aniqlanadi;

3. E(y)=(-∞;∞) – funksiya oʻzining taʼrif sohasidagi barcha qiymatlarni oladi;

4. x=0 y=0 bo‘lganda – funksiya O(0;0) koordinatalarining boshi orqali o‘tadi.

5. Funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

6. Funktsiya g'alati (boshiga nisbatan simmetrik).

, xO [-3;3] oraliqda

X³ oldidagi raqamli omilga qarab, funktsiya tik/tekis va ortib/kamayuvchi bo'lishi mumkin.

Manfiy butun ko'rsatkichli quvvat funktsiyasi:

Agar n ko'rsatkichi toq bo'lsa, unda bunday daraja funksiyasining grafigi giperbola deb ataladi. Butun sonli manfiy darajali quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Har qanday n uchun D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), agar n toq son bo’lsa; E(y)=(0;∞), agar n juft son boʻlsa;

3. Agar n toq son bo'lsa, funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi; funktsiya (-∞;0) intervalda ortadi va (0;∞) oraliqda kamayadi, agar n juft son bo'lsa.

4. Agar n toq son bo lsa, funksiya toq (koordinata boshiga nisbatan simmetrik); funktsiya n juft son bo'lsa ham.

5. Funksiya agar n toq son bo‘lsa (1;1) va (-1;-1) nuqtalardan, agar n juft son bo‘lsa (1;1) va (-1;1) nuqtalardan o‘tadi.

, xO [-3;3] oraliqda

Kasr darajali quvvat funksiyasi

Kasr ko'rsatkichli quvvat funksiyasi (rasm) rasmda ko'rsatilgan funktsiyaning grafigiga ega. Kasr ko'rsatkichli quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega: (rasm)

1. D(x) OR, agar n toq son bo‘lsa va D(x)= bo‘lsa, xO oralig‘ida, xO [-3;3] oralig‘ida.

y = log a x logarifmik funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Aniqlanish sohasi D(x)O (0; + ∞).

2. E(y) qiymatlar diapazoni O (- ∞; + ∞)

3. Funksiya juft ham, toq ham emas (umumiy shaklda).

4. Funksiya a > 1 uchun (0; + ∞) oraliqda ortadi, 0 uchun (0; + ∞) kamayadi.< а < 1.

y = log a x funksiya grafigini y = a x funktsiya grafigidan y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya o'zgartirish yordamida olish mumkin. 9-rasmda a > 1 uchun logarifmik funktsiyaning grafigi va 0 uchun 10-rasm ko'rsatilgan.< a < 1.

; xO oralig'ida; xO oralig'ida

y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x funksiyalar deyiladi. trigonometrik funktsiyalar.

y = sin x, y = tan x, y = ctg x funksiyalar toq, y = cos x funksiya esa juft.

y = sin(x) funksiyasi.

1. Ta'rif sohasi D(x) OR.

2. E(y) qiymatlar diapazoni O [ - 1; 1].

3. Funksiya davriy; asosiy davr 2p.

4. Funktsiya toq.

5. Funksiya [ -p/2 + 2pn oraliqlarida ortadi; p/2 + 2pn] va [p/2 + 2pn] oraliqlarida kamayadi; 3p/2 + 2pn], n O Z.

y = sin (x) funksiyaning grafigi 11-rasmda keltirilgan.