Geografik koordinatalar. Yerning shakli va kattaligi. koordinata tizimlari. Balandliklar

Polar koordinatalar tizimi ma'lum bir nuqtani belgilash orqali aniqlanadi O, qutb deb ataladi, nurning bu nuqtasidan chiqadi O.A.(shuningdek, sifatida belgilanadi ho'kiz), qutb o'qi deb ataladi va uzunliklarni o'zgartirish uchun shkala. Bundan tashqari, qutbli koordinatalar tizimini ko'rsatishda, nuqta atrofida qanday aylanishlarni aniqlash kerak O ijobiy hisoblanadi (chizmalarda soat miliga teskari burilishlar odatda ijobiy hisoblanadi).

Shunday qilib, keling, samolyotda ma'lum bir nuqtani tanlaymiz (yuqoridagi rasm) O(qutb) va undan chiqadigan qandaydir nur ho'kiz. Bundan tashqari, biz o'lchov birligini ko'rsatamiz. Nuqtaning qutb koordinatalari M ikkita r va ph raqamlari chaqiriladi, ularning birinchisi (qutb radiusi r) nuqta masofasiga teng M qutbdan O, ikkinchisi (qutb burchagi ph, bu ham amplituda deb ataladi) nurni soat miliga teskari aylantirish kerak bo'lgan burchakdir. ho'kiz nur bilan tekislashdan oldin OM.

Nuqta M qutb koordinatalari bilan r va ph belgisi bilan belgilanadi M(ρ, φ) .

Qutb koordinatalari va dekart koordinatalari o'rtasidagi bog'liqlik

Keling, o'rnatamiz nuqtaning qutb koordinatalari va uning dekart koordinatalari o'rtasidagi munosabat . Dekart to‘rtburchaklar koordinata sistemasining kelib chiqishi qutbda, abtsissaning musbat yarim o‘qi qutb o‘qiga to‘g‘ri keladi, deb faraz qilamiz. Nuqtaga ruxsat bering M Dekart koordinatalariga ega x Va y va qutb koordinatalari r va ph.Keyin

x= r cos ph)

y= r sin ph) .

Nuqtaning r va ph qutb koordinatalari M Dekart koordinatalari bilan quyidagicha aniqlanadi:

ph burchagining qiymatini topish uchun siz belgilardan foydalanishingiz kerak x Va y, nuqta joylashgan kvadrantni aniqlang M, va qo'shimcha ravishda, ph burchakning tangensi ga teng bo'lishidan foydalaning.

Yuqoridagi formulalar dekartdan qutb koordinatalariga o'tish formulalari deb ataladi.

Qutb koordinata sistemasidagi nuqtalarga oid masalalar

1-misol.

A(3; π /4) ;

B(2; -π /2) ;

C(3; -π /3) .

Qutb o'qiga nisbatan ushbu nuqtalarga simmetrik bo'lgan nuqtalarning qutb koordinatalarini toping.

Yechim. Simmetriya bilan nurning uzunligi o'zgarmaydi. Binobarin, qutb o'qiga nisbatan simmetrik nuqta uchun birinchi koordinata - nurning uzunligi - berilgan nuqta bilan bir xil bo'ladi. Dars boshidagi rasmdan ko'rinib turibdiki, qutb o'qiga nisbatan nosimmetrik nuqta qurishda bu nuqtani qutb o'qi atrofida bir xil ph burchak bilan aylantirish kerak. Binobarin, qutb koordinata tizimida simmetrik nuqtaning ikkinchi koordinatasi qarama-qarshi belgi bilan olingan dastlabki nuqta uchun burchak, ya'ni -ph bo'ladi. Demak, qutb o'qiga nisbatan berilgan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning qutb koordinatalari faqat ikkinchi koordinatada farq qiladi va bu koordinata qarama-qarshi belgiga ega bo'ladi. Kerakli nosimmetrik nuqtalarning qutb koordinatalari quyidagicha bo'ladi:

A"(3; -π /4) ;

B"(2; π /2) ;

C"(3; π /3) .

2-misol. Qutb koordinata tizimida nuqtalar tekislikda berilgan

A(1; π /4) ;

B(5; π /2) ;

C(2; -π /3) .

Ushbu nuqtalarga simmetrik bo'lgan nuqtalarning qutbga nisbatan qutb koordinatalarini toping.

Yechim. Simmetriya bilan nurning uzunligi o'zgarmaydi. Binobarin, qutbga nisbatan simmetrik nuqta uchun birinchi koordinata - nur uzunligi - berilgan nuqta bilan bir xil bo'ladi. Qutbga nisbatan nosimmetrik nuqta boshlang'ich nuqtani soat miliga teskari 180 daraja, ya'ni burchak bilan aylantirish orqali olinadi. π . Binobarin, qutbga nisbatan berilgan nuqtaga simmetrik nuqtaning ikkinchi koordinatasi quyidagicha hisoblanadi. φ + π (agar natija maxrajdan kattaroq bo'lsa, natijada olingan sondan bitta to'liq aylanish ayiriladi, ya'ni 2 π ). Biz qutbga nisbatan ma'lumotlarga simmetrik nuqtalarning quyidagi koordinatalarini olamiz:

A"(1; 3π /4) ;

B"(5; -π /2) ;

C"(2; 2π /3) .

3-misol. Qutb koordinata tizimining qutbi dekart to‘rtburchaklar koordinatalarining kelib chiqishi bilan, qutb o‘qi esa abtsissaning musbat yarim o‘qi bilan to‘g‘ri keladi. Nuqtalar qutb koordinata tizimida berilgan

A(6; π /2) ;

B(5; 0) ;

C(2; π /4) .

Bu nuqtalarning dekart koordinatalarini toping.

Yechim. Biz qutb koordinatalaridan kartezianga o'tish uchun formulalardan foydalanamiz:

x= r cos ph)

y= r sin ph) .

Ushbu nuqtalarning quyidagi dekart koordinatalarini olamiz:

A(0; 6) ;

B(5; 0) ;

C"(√2; √2) .

4-misol. Qutb koordinata tizimining qutbi dekart to‘rtburchaklar koordinatalarining kelib chiqishi bilan, qutb o‘qi esa abtsissaning musbat yarim o‘qi bilan to‘g‘ri keladi. Nuqtalar Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan

A(0; 5) ;

B(-3; 0) ;

C(√3; 1) .

Bu nuqtalarning qutb koordinatalarini toping.

Topografiyada qo‘llaniladigan koordinata tizimlari: geografik, tekis to‘rtburchak, qutb va bipolyar koordinatalar, ularning mohiyati va qo‘llanilishi.

Koordinatalar nuqtaning istalgan sirtdagi yoki fazodagi holatini aniqlaydigan burchak va chiziqli kattaliklar (sonlar) deyiladi.

Topografiyada er yuzidagi nuqtalarning o'rnini erdagi to'g'ridan-to'g'ri o'lchash natijalari bo'yicha ham, xaritalar yordamida ham eng sodda va aniq aniqlash imkonini beradigan koordinata tizimlari qo'llaniladi. Bunday tizimlarga geografik, tekis to'rtburchaklar, qutbli va bipolyar koordinatalar kiradi.

Geografik koordinatalar(1-rasm) - burchak qiymatlari: kenglik (Y) va uzunlik (L), koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan ob'ektning er yuzasidagi holatini aniqlaydi - asosiy (Grinvich) meridianining ekvator bilan kesishish nuqtasi. Xaritada geografik to'r xarita ramkasining barcha tomonidagi masshtab bilan ko'rsatilgan. Ramkaning g'arbiy va sharqiy tomonlari meridianlar, shimoliy va janubiy tomonlari esa paralleldir. Xarita varag'ining burchaklarida ramka tomonlarining kesishish nuqtalarining geografik koordinatalari yoziladi.

Guruch. 1. Yer yuzasidagi geografik koordinatalar tizimi

Geografik koordinatalar sistemasida er yuzasidagi istalgan nuqtaning koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan joylashuvi burchak o‘lchovida aniqlanadi. Mamlakatimizda va boshqa aksariyat mamlakatlarda bosh (Grinvich) meridianining ekvator bilan kesishgan nuqtasi boshlanish sifatida qabul qilinadi. Shunday qilib, butun sayyoramiz uchun bir xil bo'lgan geografik koordinatalar tizimi muammolarni aniqlash orqali hal qilish uchun qulaydir. o'zaro pozitsiya bir-biridan sezilarli masofada joylashgan ob'ektlar.

Shuning uchun harbiy ishlarda bu tizim asosan jangovar qurollardan foydalanish bilan bog'liq hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ishlatiladi. uzoq masofa, masalan, ballistik raketalar, aviatsiya va boshqalar.

Tekislik to'rtburchaklar koordinatalari(2-rasm) - koordinatalarning qabul qilingan boshiga nisbatan ob'ektning tekislikdagi o'rnini aniqlaydigan chiziqli kattaliklar - ikkita o'zaro perpendikulyar chiziqning kesishishi ( koordinata o'qlari X va Y).

Topografiyada har bir 6 graduslik zonaning o'ziga xos to'rtburchaklar koordinatalari tizimi mavjud. X o'qi zonaning eksenel meridiani, Y o'qi ekvator, eksenel meridianning ekvator bilan kesishish nuqtasi koordinatalarning boshi hisoblanadi.

Guruch. 2. Xaritalardagi tekis to'rtburchaklar koordinatalar tizimi

Tekislik to'rtburchak koordinatalar tizimi zonaldir; u xaritalarda Gauss proyeksiyasida tasvirlanganda Yer yuzasi bo'lingan har bir olti graduslik zona uchun belgilanadi va bu proyeksiyada er yuzasi nuqtalari tasvirlarining tekislikdagi (xaritadagi) o'rnini ko'rsatish uchun mo'ljallangan. .

Zonadagi koordinatalarning kelib chiqishi eksenel meridianning ekvator bilan kesishish nuqtasi bo'lib, unga nisbatan zonadagi boshqa barcha nuqtalarning joylashuvi chiziqli o'lchovda aniqlanadi. Zonaning kelib chiqishi va uning koordinata o'qlari er yuzasida qat'iy belgilangan pozitsiyani egallaydi. Shuning uchun har bir zonaning tekis to'rtburchaklar koordinatalari tizimi boshqa barcha zonalarning koordinata tizimlari bilan ham, geografik koordinatalar tizimi bilan ham bog'langan.

Nuqtalarning holatini aniqlash uchun chiziqli kattaliklardan foydalanish tekis to'rtburchaklar koordinatalar tizimini erda ishlaganda ham, xaritada ham hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun juda qulay qiladi. Shuning uchun bu tizim qo'shinlar orasida eng ko'p qo'llaniladi. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalari er punktlari, ularning jangovar tuzilmalari va nishonlarini ko'rsatadi va ularning yordami bilan bir koordinata zonasi ichidagi yoki ikkita zonaning qo'shni hududlaridagi ob'ektlarning nisbiy holatini aniqlaydi.

Polar va bipolyar koordinatalar tizimlari mahalliy tizimlardir. Harbiy amaliyotda ular relyefning nisbatan kichik joylarida ba'zi nuqtalarning boshqalarga nisbatan o'rnini aniqlash uchun ishlatiladi, masalan, nishonlarni belgilashda, nishonlarni va nishonlarni belgilashda, relef diagrammalarini tuzishda va hokazo. Bu tizimlar bilan bog'lanishi mumkin. to'rtburchaklar va geografik koordinatalar tizimlari.

Agar biz koordinatalar tizimini tekislikda yoki uch o'lchamli fazoda kiritsak, biz tasvirlay olamiz. geometrik raqamlar va ularning xossalarini tenglamalar va tengsizliklar yordamida, ya'ni algebra usullarini qo'llash imkoniyatiga ega bo'lamiz. Shuning uchun koordinatalar tizimi tushunchasi juda muhimdir.

Ushbu maqolada biz tekislik va uch o'lchovli fazoda to'rtburchaklar Dekart koordinatalari tizimi qanday aniqlanishini ko'rsatamiz va nuqtalarning koordinatalari qanday aniqlanishini bilib olamiz. Aniqlik uchun biz grafik rasmlarni taqdim etamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tekislikdagi to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi.

Keling, tekislikka to'rtburchaklar koordinatalar tizimini kiritaylik.

Buning uchun tekislikda ikkita o'zaro perpendikulyar chiziq torting va ularning har birini tanlang ijobiy yo'nalish, uni o'q bilan ko'rsating va ularning har birini tanlang masshtab(uzunlik birligi). Ushbu chiziqlarning kesishish nuqtasini O harfi bilan belgilaymiz va uni ko'rib chiqamiz boshlang'ich nuqtasi. Shunday qilib, oldik to'rtburchaklar koordinatalar tizimi yuzada.

Tanlangan kelib chiqishi O, yo'nalishi va masshtabli to'g'ri chiziqlarning har biri deyiladi koordinatali chiziq yoki koordinata o'qi.

Tekislikdagi to'rtburchak koordinatalar tizimi odatda Oksi bilan belgilanadi, bu erda Ox va Oy uning koordinata o'qlaridir. Ox o'qi deyiladi x o'qi, va Oy o'qi - y o'qi.

Endi tekislikdagi to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasi tasvirini kelishib olaylik.

Odatda, Ox va Oy o'qlari bo'yicha uzunlik o'lchov birligi bir xil qilib tanlanadi va har bir koordinata o'qi bo'yicha koordinata boshidan musbat yo'nalishda (koordinata o'qlarida chiziqcha bilan belgilanadi va birlik yoniga yoziladi) u), abscissa o'qi o'ngga, ordinata o'qi esa yuqoriga yo'naltirilgan. Koordinata o'qlari yo'nalishining barcha boshqa variantlari koordinata tizimini koordinata boshiga nisbatan ma'lum bir burchakka aylantirib, unga boshqa tomondan qarash orqali ovozli (Ox o'qi - o'ngga, Oy o'qi - yuqoriga) qisqartiriladi. samolyotning (agar kerak bo'lsa).

To'rtburchaklar koordinatalar tizimi ko'pincha Dekart deb ataladi, chunki u birinchi marta tekislikda Rene Dekart tomonidan kiritilgan. Yana keng tarqalgan bo'lib, to'rtburchaklar koordinatalar tizimi to'rtburchaklar Dekart koordinatalari tizimi deb ataladi va barchasini birlashtiradi.

Uch o'lchovli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimi Oxyz uch o'lchovli Evklid fazosida xuddi shunday tarzda o'rnatiladi, faqat ikkita emas, balki uchta o'zaro perpendikulyar chiziq olinadi. Boshqacha qilib aytganda, Ox va Oy koordinata o'qlariga Oz koordinata o'qi qo'shiladi, bu deyiladi. eksa qo'llaniladi.

Koordinata o'qlarining yo'nalishiga qarab, uch o'lchovli fazoda o'ng va chap to'rtburchaklar koordinata tizimlari farqlanadi.

Agar Oz o'qining musbat yo'nalishidan qaralsa va Ox o'qining musbat yo'nalishidan Oy o'qining musbat yo'nalishiga eng qisqa aylanish soat miliga teskari bo'lsa, u holda koordinatalar tizimi deyiladi. to'g'ri.

Agar Oz o'qining musbat yo'nalishidan qaralsa va Ox o'qining musbat yo'nalishidan Oy o'qining musbat yo'nalishiga eng qisqa aylanish soat yo'nalishi bo'yicha sodir bo'lsa, u holda koordinatalar tizimi deyiladi. chap.

Dekart koordinata sistemasidagi nuqtaning tekislikdagi koordinatalari.

Birinchidan, Ox koordinata chizig'ini ko'rib chiqing va unga M nuqtasini oling.

Har bir haqiqiy son ushbu koordinata chizig'idagi bitta M nuqtaga to'g'ri keladi. Masalan, koordinata chizig'ida koordinata chizig'ida koordinata chizig'ida musbat yo'nalishdagi koordinata boshidan uzoqlikda joylashgan nuqta raqamga mos keladi va -3 soni manfiy yo'nalishda koordinata boshidan 3 masofada joylashgan nuqtaga mos keladi. 0 raqami boshlang'ich nuqtasiga mos keladi.

Boshqa tomondan, Ox koordinata chizig'idagi har bir M nuqta haqiqiy songa to'g'ri keladi. Agar M nuqta koordinata (O nuqta) bilan mos tushsa, bu haqiqiy son nolga teng. Bu haqiqiy son musbat va agar M nuqta koordinata boshidan musbat yo‘nalishda olib tashlansa, berilgan masshtabdagi OM segmentining uzunligiga teng. Bu haqiqiy son manfiy va minus belgisi bo'lgan OM segmentining uzunligiga teng bo'lib, agar M nuqta manfiy yo'nalishda boshdan olib tashlansa.

Raqam chaqiriladi muvofiqlashtirish koordinata chizig'idagi M nuqtalari.

Endi kiritilgan to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimiga ega bo'lgan tekislikni ko'rib chiqing. Bu tekislikda ixtiyoriy M nuqtani belgilaymiz.

M nuqtaning Ox to‘g‘risiga proyeksiyasi, M nuqtaning Oy koordinata chizig‘iga proyeksiyasi bo‘lsin (agar kerak bo‘lsa, maqolaga qarang). Ya'ni, agar M nuqta orqali Ox va Oy koordinata o'qlariga perpendikulyar chiziqlar o'tkazsak, u holda bu chiziqlarning Ox va Oy chiziqlar bilan kesishish nuqtalari mos ravishda nuqta va hisoblanadi.

Raqam Ox koordinata o'qidagi nuqtaga, raqam esa Oy o'qidagi nuqtaga to'g'ri kelsin.

Berilgan to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimidagi tekislikning har bir M nuqtasi haqiqiy sonlarning yagona tartiblangan juftligiga mos keladi. M nuqtaning koordinatalari yuzada. Koordinata deyiladi M nuqtaning absissasi, A - M nuqtaning ordinatasi.

Qarama-qarshi fikr ham to'g'ri: har bir tartiblangan haqiqiy sonlar juftligi ma'lum koordinatalar tizimidagi tekislikdagi M nuqtaga to'g'ri keladi.

Uch o'lchovli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqtaning koordinatalari.

Keling, uch o'lchamli fazoda aniqlangan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida M nuqtaning koordinatalari qanday aniqlanishini ko'rsatamiz.

M nuqtaning mos ravishda Ox, Oy va Oz koordinata o‘qlariga proyeksiyalari bo‘lsin va bo‘lsin. Ox, Oy va Oz koordinata o'qlaridagi bu nuqtalar haqiqiy sonlarga mos kelsin va.

M nuqtaning koordinata o‘qlariga proyeksiyalarini Ox, Oy va Oz to‘g‘rilarga perpendikulyar tekisliklarni yasash va M nuqtadan o‘tish yo‘li bilan ham olish mumkin. Bu tekisliklar Ox, Oy va Oz koordinata chiziqlarini mos ravishda nuqtalarda kesib o'tadi.

Berilgan Dekart koordinata tizimidagi uch o'lchovli fazodagi har bir nuqta haqiqiy sonlarning tartiblangan uchligiga to'g'ri keladi. M nuqtaning koordinatalari, raqamlar chaqiriladi abscissa, ordinata Va ariza berish mos ravishda M nuqtalari. Qarama-qarshi fikr ham to'g'ri: berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi haqiqiy sonlarning har bir tartiblangan uchligi uch o'lchovli fazodagi M nuqtaga to'g'ri keladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometriya. 7-9-sinflar: umumta'lim muassasalari uchun darslik.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G.. Geometriya. Umumta’lim maktablarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 1-qism: umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik.

Nuqtaning fazodagi o'rnini aniqlash

Demak, nuqtaning fazodagi o‘rnini faqat ba’zi boshqa nuqtalarga nisbatan aniqlash mumkin. Boshqa nuqtalarning pozitsiyasi ko'rib chiqiladigan nuqta deyiladi mos yozuvlar nuqtasi . Shuningdek, biz mos yozuvlar nuqtasi uchun boshqa nomdan foydalanamiz - kuzatish nuqtasi . Odatda mos yozuvlar nuqtasi (yoki kuzatish nuqtasi) ba'zilari bilan bog'lanadi koordinata tizimi , deb ataladi mos yozuvlar tizimi. Tanlangan mos yozuvlar tizimida HAR bir nuqtaning pozitsiyasi UCHTA koordinata bilan aniqlanadi.

O'ng tarafdagi dekart (yoki to'rtburchaklar) koordinatalar tizimi

Ushbu koordinatalar tizimi uchta o'zaro perpendikulyar yo'naltirilgan chiziqlardan iborat bo'lib, ular ham deyiladi koordinata o'qlari , bir nuqtada (kelib chiqishi) kesishadi. Boshlanish nuqtasi odatda O harfi bilan belgilanadi.

Koordinata o'qlari quyidagicha nomlanadi:

1. Abscissa o'qi - OX sifatida belgilanadi;

2. Y o'qi - OY sifatida belgilanadi;

3. Qo'llash o'qi - OZ sifatida belgilanadi

Endi bu koordinatalar tizimi nima uchun o'ng qo'l deb atalishini tushuntiramiz. Keling, rasmda ko'rsatilganidek, XOY tekisligini OZ o'qining musbat yo'nalishidan, masalan, A nuqtadan ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, OX o'qini O nuqta atrofida aylantirishni boshlaymiz. Demak - to'g'ri koordinatalar tizimi shunday xususiyatga egaki, agar siz XOY tekisligiga musbat yarim o'q OZning istalgan nuqtasidan qarasangiz (biz uchun bu A nuqta) , keyin OX o'qini soat sohasi farqli ravishda 90 ga aylantirganda, uning ijobiy yo'nalishi OY o'qining ijobiy yo'nalishiga to'g'ri keladi.

Bu qaror yilda qabul qilingan ilmiy dunyo, biz uni qanday bo'lsa shunday qabul qilishimiz kerak.

Shunday qilib, biz mos yozuvlar tizimi haqida qaror qabul qilganimizdan so'ng (bizning holatda, o'ng tomondagi Dekart koordinatalari tizimi) har qanday nuqtaning pozitsiyasi uning koordinatalarining qiymatlari yoki boshqacha qilib aytganda, qiymatlar orqali tavsiflanadi. bu nuqtaning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalarining.

Bu shunday yoziladi: A(x, y, z), bu erda x, y, z - A nuqtaning koordinatalari.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimini uchta o'zaro perpendikulyar tekislikning kesishish chiziqlari deb hisoblash mumkin.

Shuni ta'kidlash kerakki, siz to'rtburchaklar koordinatalar tizimini kosmosda xohlagan tarzda yo'naltirishingiz mumkin va faqat bitta shart bajarilishi kerak - koordinatalarning kelib chiqishi mos yozuvlar markazi (yoki kuzatish nuqtasi) bilan mos kelishi kerak.

Sferik koordinatalar tizimi

Nuqtaning fazodagi o‘rnini boshqa yo‘l bilan tasvirlash mumkin. Faraz qilaylik, biz O (yoki kuzatish nuqtasi) joylashgan fazoning mintaqasini tanladik va biz mos yozuvlar nuqtasidan ma'lum A nuqtagacha bo'lgan masofani ham bilamiz. Bu ikki nuqtani OA to'g'ri chiziq bilan bog'laymiz. . Bu qator deyiladi radius vektori va sifatida belgilanadi r. Bir xil radius vektor qiymatiga ega bo'lgan barcha nuqtalar sferada yotadi, uning markazi mos yozuvlar nuqtasida (yoki kuzatish nuqtasida) va bu sharning radiusi mos ravishda radius vektoriga teng.

Shunday qilib, radius vektorining qiymatini bilish bizni qiziqtirgan nuqtaning pozitsiyasi haqida aniq javob bermasligi bizga ayon bo'ladi. Sizga yana ikkita koordinata kerak, chunki nuqtaning joylashishini aniq aniqlash uchun koordinatalar soni UCHTA bo'lishi kerak.

Keyinchalik, biz quyidagicha davom etamiz - biz ikkita o'zaro perpendikulyar tekislikni quramiz, ular tabiiy ravishda kesishish chizig'ini beradi va bu chiziq cheksiz bo'ladi, chunki samolyotlarning o'zi hech narsa bilan cheklanmaydi. Keling, ushbu chiziqqa nuqta o'rnatamiz va uni, masalan, O1 nuqtasi deb belgilaymiz. Keling, ushbu O1 nuqtasini sharning markazi - O nuqtasi bilan birlashtiramiz va nima sodir bo'lishini ko'ramiz?

Va juda qiziqarli rasm paydo bo'ladi:

· Bir va boshqa samolyotlar ham bo'ladi markaziy samolyotlar.

· Bu tekisliklarning shar yuzasi bilan kesishishi bilan belgilanadi katta doiralar

· Bu doiralardan biri - o'zboshimchalik bilan, biz qo'ng'iroq qilamiz EKVATOR, keyin boshqa doira chaqiriladi ASOSIY MERIDIAN.

· Ikki tekislikning kesishish chizig'i yo'nalishni aniq belgilaydi ASOSIY MERIDIAN CHIZIQLARI.

Asosiy meridian chizig'ining shar yuzasi bilan kesishish nuqtalarini M1 va M2 deb belgilaymiz.

Sfera markazi, asosiy meridian tekisligidagi O nuqta orqali biz asosiy meridian chizig'iga perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Bu to'g'ri chiziq deyiladi Qutb o'qi .

Qutb o'qi sharning sirtini ikki nuqtada kesib o'tadi SFERA QUTUBLARI. Keling, ushbu nuqtalarni P1 va P2 deb belgilaymiz.

Fazodagi nuqtaning koordinatalarini aniqlash

Endi biz fazodagi nuqtaning koordinatalarini aniqlash jarayonini ko'rib chiqamiz, shuningdek, bu koordinatalarga nom beramiz. Rasmni to'ldirish uchun nuqtaning o'rnini aniqlashda biz koordinatalar hisoblangan asosiy yo'nalishlarni, shuningdek hisoblashda ijobiy yo'nalishni ko'rsatamiz.

1. Malumot nuqtasi (yoki kuzatish nuqtasi) bo'shlig'idagi joyni o'rnating. Bu nuqtani O harfi bilan belgilaymiz.

2. Radiusi A nuqta radius vektorining uzunligiga teng bo'lgan sharni tuzing (A nuqtaning radius vektori O va A nuqtalari orasidagi masofa). Sfera markazi O nuqtada joylashgan.

3. EQUATOR tekisligining fazodagi holatini va shunga mos ravishda ASOSIY MERIDIAN tekisligini o'rnatamiz. Shuni esda tutish kerakki, bu tekisliklar o'zaro perpendikulyar va markaziydir.

4. Bu tekisliklarning shar yuzasi bilan kesishishi biz uchun ekvator aylanasi, bosh meridian aylanasi holatini, shuningdek, bosh meridian va qutb o‘qi chizig‘ining yo‘nalishini belgilaydi.

5. Qutb o'qi qutblari va asosiy meridian chizig'i qutblari o'rnini aniqlang. (Qutb o'qining qutblari - qutb o'qining shar yuzasi bilan kesishish nuqtalari. Bosh meridian chizig'ining qutblari - asosiy meridian chizig'ining shar yuzasi bilan kesishish nuqtalari. ).

6. A nuqta va qutb o‘qi orqali biz tekislikni quramiz, uni A nuqta meridianining tekisligi deb ataymiz. Bu tekislik shar yuzasi bilan kesishganda katta doira hosil bo‘ladi, biz uni A nuqta meridianining tekisligi deb ataymiz. A nuqtaning MERIDIANI.

7. A nuqtaning meridiani EKVATOR doirasini qaysidir nuqtada kesib o'tadi, biz uni E1 deb belgilaymiz.

8. E1 nuqtaning ekvatorial aylanadagi o‘rni M1 va E1 nuqtalar orasiga o‘ralgan yoy uzunligi bilan aniqlanadi. Ortga hisoblash soat miliga teskari. M1 va E1 nuqtalar orasiga o'ralgan ekvatorial aylana yoyi A nuqtaning BO'YLIGI deb ataladi. Uzunlik harf bilan belgilanadi.  .

Keling, oraliq natijalarni sarhisob qilaylik. Ayni paytda biz A nuqtaning kosmosdagi o'rnini tavsiflovchi uchta koordinataning IKKITAsini bilamiz - bu radius vektori (r) va uzunlik (). Endi biz uchinchi koordinatani aniqlaymiz. Bu koordinata A nuqtaning uning meridianidagi holati bilan aniqlanadi. Ammo sanash amalga oshiriladigan boshlang'ich nuqtaning pozitsiyasi aniq belgilanmagan: biz ham sharning qutbidan (P1 nuqtasi) ham, E1 nuqtasidan ham, ya'ni meridian chiziqlarining kesishgan nuqtasidan hisoblashni boshlashimiz mumkin. A nuqtadan va ekvatordan (yoki boshqacha aytganda - ekvator chizig'idan).

Birinchi holda, A nuqtaning meridiandagi o'rni POLAR DISTANCE deb ataladi (bunday qilib belgilanadi). R) va P1 nuqta (yoki sharning qutb nuqtasi) va A nuqta orasiga o'ralgan yoy uzunligi bilan aniqlanadi. Sanoq P1 nuqtadan A nuqtagacha meridian chizig'i bo'ylab amalga oshiriladi.

Ikkinchi holda, ortga hisoblash ekvator chizig'idan bo'lsa, A nuqtaning meridian chizig'idagi o'rni KEENG deb ataladi (bunday qilib belgilanadi).   va E1 nuqta va A nuqta orasiga o‘ralgan yoy uzunligi bilan aniqlanadi.

Endi biz nihoyat aytishimiz mumkinki, A nuqtaning sferik koordinatalar tizimidagi o'rni quyidagicha aniqlanadi:

· shar radiusi uzunligi (r),

uzunlik yoyi uzunligi (),

qutb masofasining yoy uzunligi (p)

Bunda A nuqtaning koordinatalari quyidagicha yoziladi: A(r, , p)

Agar biz boshqa mos yozuvlar tizimidan foydalansak, u holda sferik koordinatalar tizimidagi A nuqtaning o'rni quyidagicha aniqlanadi:

· shar radiusi uzunligi (r),

uzunlik yoyi uzunligi (),

· kenglikning yoy uzunligi ()

Bunda A nuqtaning koordinatalari quyidagicha yoziladi: A(r, , )

Yoylarni o'lchash usullari

Savol tug'iladi - bu yoylarni qanday o'lchaymiz? Eng oddiy va eng tabiiy usul yoylarning uzunligini moslashuvchan o'lchagich bilan to'g'ridan-to'g'ri o'lchashdir va bu sharning o'lchami odamning o'lchami bilan taqqoslansa mumkin. Ammo bu shart bajarilmasa nima qilish kerak?

Bunday holda, biz RELATIVE yoy uzunligini o'lchashga murojaat qilamiz. Biz aylanani standart sifatida olamiz, qismi qaysi yoy bizni qiziqtiradi. Buni qanday qilishim mumkin?

Koordinatalar tizimi- raqamlar yordamida fazodagi nuqtalarni belgilash usuli. Kosmosdagi har qanday nuqtani yagona aniqlash uchun zarur bo'lgan raqamlar soni uning o'lchamini aniqlaydi. Koordinatalar tizimining majburiy elementi hisoblanadi kelib chiqishi- masofalar hisoblangan nuqta. Yana bir talab qilinadigan element - bu masofalarni o'lchash imkonini beruvchi uzunlik birligi. Bir o'lchovli fazoning barcha nuqtalari bitta raqam yordamida tanlangan boshlanish bilan belgilanishi mumkin. Ikki o'lchovli makon uchun ikkita raqam, uch o'lchamli bo'shliq uchun uchta raqam kerak bo'ladi. Bu raqamlar deyiladi koordinatalar.

1. Tarix

Insoniyat tarixida koordinatalar sistemalarining rivojlanishi kartografiya va astronomiyaga asoslangan navigatsiya sanʼatining ham matematik masalalari, ham amaliy masalalari bilan bogʻliq. Ma'lum tizim koordinatalar, to'rtburchaklar, yili Rene Dekart tomonidan taklif qilingan. Evropa matematikasida qutbli koordinatalar tizimi kontseptsiyasi shu davrlarda rivojlangan, ammo bu haqda birinchi g'oyalar Qadimgi Yunonistonda, Ka'ba yo'nalishini hisoblash usullarini ishlab chiqqan o'rta asr arab matematiklarida mavjud edi.

Koordinata tizimlari tushunchasining paydo bo'lishi geometriyaning yangi bo'limlari: analitik, proyektiv, tavsifiy bo'limlarning rivojlanishiga olib keldi.

2. Dekart koordinatalar tizimi

Matematikada eng keng tarqalgan koordinatalar tizimi Dekart koordinata tizimi bo'lib, Rene Dekart nomi bilan atalgan. Dekart koordinata tizimi koordinata o'qlarining yo'nalishini aniqlaydigan boshlang'ich va uchta vektor bilan belgilanadi. Kosmosdagi har bir nuqta shu nuqtadan masofaga mos keladigan raqamlar bilan belgilanadi koordinata tekisliklari.

Dekart sistemasining kovakdagi koordinatalari odatda fazoda bilan belgilanadi.

Har xil dekart koordinata tizimlari affin transformatsiyalar orqali o'zaro bog'langan: siljish va aylanish.

3. Egri chiziqli koordinatalar sistemalari

Dekart koordinata tizimiga asoslanib, egri chiziqli koordinatalar tizimini aniqlash mumkin, ya'ni, masalan, Dekart koordinatalari bilan bog'langan sonlarning uch o'lchovli fazosi uchun:

Bu erda barcha funktsiyalar bir qiymatli va doimiy ravishda farqlanadi va Yakobiy:

Tekislikdagi egri chiziqli koordinatalar tizimiga misol sifatida qutbli koordinatalar sistemasi misol bo‘la oladi, bunda nuqtaning o‘rni ikki raqam bilan belgilanadi: nuqta va koordinatalar o‘rtasidagi masofa va koordinata boshini bog‘lovchi nur orasidagi burchak. nuqta va tanlangan o'q. Nuqtaning kartezian va qutb koordinatalari bir-biri bilan quyidagi formulalar bilan bog'lanadi:

Uch o'lchovli makon uchun silindrsimon va sferik koordinatalar tizimlari mashhur. Shunday qilib, samolyotning koinotdagi holati uchta raqam bilan aniqlanishi mumkin: balandlik, Yer yuzasida u uchadigan nuqtagacha bo'lgan masofa va samolyotga yo'nalish va shimolga yo'nalish o'rtasidagi burchak. Bu vazifa silindrsimon koordinatalar tizimiga to'g'ri keladi.Shuningdek, samolyotning o'rnini unga bo'lgan masofa va ikki burchak: qutbli va azimutal bilan belgilash mumkin. Bu vazifa sferik koordinatalar tizimiga mos keladi.

Koordinata tizimlarining xilma-xilligi sanab o'tilganlar bilan cheklanmaydi. U yoki bu masalani hal qilishda foydalanish uchun qulay bo'lgan ko'plab egri chiziqli koordinatalar tizimlari mavjud matematik muammo.

3.1. Xususiyatlari

Tenglamalarning har biri aniqlaydi koordinata tekisligi. Har xil bo'lgan ikkita koordinatali tekislikning kesishishi i to'plamlar koordinatali chiziq. Kosmosdagi har bir nuqta uchta koordinata tekisligining kesishishi bilan belgilanadi.

Egri chiziqli koordinatalar sistemalarining muhim xarakteristikalari yoy elementining uzunligi va ulardagi hajm elementidir. Bu miqdorlar integratsiyada ishlatiladi. Yoy elementining uzunligi kvadratik shakl bilan beriladi:

Ular metrik tensorning tarkibiy qismlaridir.

Egri chiziqli koordinatalar tizimida hajm elementi teng

Yakobiy kvadrati metrik tensorning determinantiga teng:

Koordinatalar tizimi deyiladi to'g'ri, agar ular koordinata chiziqlariga tegsa, tegishli koordinatalarning o'sish yo'nalishi bo'yicha yo'naltirilgan bo'lsa, ular vektorlarning o'ng tomonli uchligini hosil qiladi.

Egri chiziqli koordinatalar sistemasidagi vektorlarni tavsiflashda har bir nuqtada aniqlangan lokal bazadan foydalanish qulay.

4. Geografiya fanidan

6. Fizika fanidan

Jismoniy jismlarning harakatini tasvirlash uchun fizika tushunchasidan foydalanadi