Qo'g'irchoqlar uchun integrallar: yechish usuli, hisoblash qoidalari, tushuntirish. Noaniq integralning asosiy xossalari Noaniq integralning ko'paytirishning xossalari.

Ushbu maqolada biz aniq integralning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz. Bu xossalarning aksariyati Riman va Darbu aniq integrali tushunchalari asosida isbotlangan.

Aniq integralni hisoblash juda tez-tez dastlabki besh xususiyat yordamida amalga oshiriladi, shuning uchun kerak bo'lganda ularga murojaat qilamiz. Aniq integralning qolgan xossalari asosan turli ifodalarni baholash uchun ishlatiladi.

Davom etishdan oldin aniq integralning asosiy xossalari, a dan b dan oshmasligiga rozi bo'laylik.

x = a da aniqlangan y = f(x) funksiya uchun tenglik rost.

Ya'ni, bir xil integrallash chegaralariga ega bo'lgan aniq integralning qiymati nolga teng. Bu xususiyat Rieman integralining ta'rifining natijasidir, chunki bu holda oraliqning har qanday bo'limi va nuqtalarning har qanday tanlovi uchun har bir integral yig'indisi nolga teng, chunki integral yig'indilarning chegarasi nolga teng.

Intervalda integrallanadigan funksiya uchun, .

Boshqacha qilib aytganda, integratsiyaning yuqori va pastki chegaralari o'rnini almashtirganda, aniq integralning qiymati teskari tomonga o'zgaradi. Aniq integralning bu xossasi ham Riman integrali tushunchasidan kelib chiqadi, faqat segment bo'limining raqamlanishi x = b nuqtadan boshlanishi kerak.

y = f(x) va y = g(x) oraliqda integrallanadigan funksiyalar uchun.

Isbot.

Funktsiyaning integral yig'indisini yozamiz segmentning ma'lum bir qismi va berilgan nuqtalarni tanlash uchun:

bu yerda va segmentning berilgan bo‘limi uchun mos ravishda y = f(x) va y = g(x) funksiyalarning integral yig‘indilari.

Cheklovga o'tish Riman integralining ta’rifi bo‘yicha isbotlanayotgan xususiyat bayoniga ekvivalent ekanligini olamiz.

Doimiy koeffitsientni aniq integral belgisidan chiqarish mumkin. Ya’ni intervalda integrallanadigan y = f(x) funksiya va ixtiyoriy k soni uchun quyidagi tenglik bajariladi: .

Aniq integralning bu xossasining isboti avvalgisiga mutlaqo o'xshaydi:


y = f(x) funksiya X oraliqda integrallansin, va undan keyin .

Bu xususiyat ikkalasi uchun ham, va yoki uchun ham to'g'ri.

Isbotlash aniq integralning oldingi xossalari asosida amalga oshirilishi mumkin.

Agar funktsiya oraliqda integrallanadigan bo'lsa, u har qanday ichki intervalda integrallanadi.

Dalil Darboux summalarining xususiyatiga asoslanadi: agar segmentning mavjud bo'limiga yangi nuqtalar qo'shilsa, u holda pastki Darboux summasi kamaymaydi va yuqorisi ko'paymaydi.

Agar y = f(x) funksiya intervalda va argumentning istalgan qiymati uchun integrallansa, u holda .

Bu xususiyat Riemann integralining ta'rifi orqali isbotlangan: segmentning bo'linish nuqtalari va nuqtalarining har qanday tanlovi uchun har qanday integral yig'indi manfiy bo'lmaydi (musbat emas).

Natija.

Intervalda integrallanadigan y = f(x) va y = g(x) funksiyalar uchun quyidagi tengsizliklar bajariladi:


Ushbu bayonot tengsizliklarni birlashtirishga ruxsat berilganligini anglatadi. Ushbu xulosadan quyidagi xususiyatlarni isbotlash uchun foydalanamiz.

y = f(x) funksiya oraliqda integrallanuvchi bo'lsin, u holda tengsizlik o'rinli bo'ladi .

Isbot.

Bu aniq . Oldingi xususiyatda biz tengsizlikni atama bo'yicha integrallash mumkinligini aniqladik, shuning uchun bu to'g'ri . Bu juft tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin .

y = f(x) va y = g(x) funksiyalar intervalda va argumentning istalgan qiymati uchun integrallansin. , Qayerda Va .

Tasdiqlash xuddi shunday amalga oshiriladi. Chunki m va M eng kichik va eng yuqori qiymat y = f(x) funksiyasi segmentida, keyin . Ikki karra tengsizlikni manfiy bo'lmagan y = g (x) funktsiyaga ko'paytirish bizni quyidagilarga olib keladi. ikki tomonlama tengsizlik. Uni intervalda integratsiyalash orqali biz isbotlangan bayonotga erishamiz.

Natija.

Agar g(x) = 1 ni olsak, tengsizlik shaklni oladi .

Birinchi o'rtacha formula.

y = f(x) funksiya intervalda integrallansin, Va , keyin shunday bir raqam bor.

Natija.

Agar y = f(x) funksiya intervalda uzluksiz bo'lsa, unda shunday son mavjud .

Umumlashtirilgan shakldagi birinchi o'rtacha qiymat formulasi.

y = f(x) va y = g(x) funksiyalar intervalda integrallansin, Va , va argumentning istalgan qiymati uchun g(x) > 0 . Keyin shunday raqam bor .

Ikkinchi o'rtacha formula.

Agar intervalda y = f(x) funksiya integrallansa va y = g(x) monotonik bo‘lsa, unda shunday son mavjud bo‘ladiki, bu tenglik .

Differensial hisoblashning asosiy vazifasi hosilasini topishdan iborat f'(x) yoki differentsial df=f'(x)dx funktsiyalari f(x). Integral hisobda teskari masala yechiladi. tomonidan berilgan funksiya f(x) bunday funktsiyani topishingiz kerak F(x), Nima F'(x)=f(x) yoki dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Shunday qilib, integral hisoblashning asosiy vazifasi funktsiyani tiklash hisoblanadi F(x) bu funktsiyaning ma'lum hosilasi (differensial) bo'yicha. Integral hisob geometriya, mexanika, fizika va texnologiyada ko'plab qo'llanmalarga ega. U maydonlarni, hajmlarni, tortishish markazlarini va boshqalarni topishning umumiy usulini beradi.

Ta'rif. FunktsiyaF(x), , funksiyaning anti hosilasi deyiladif(x) X to'plamda, agar u har qanday va uchun differentsiallanadigan bo'lsaF'(x)=f(x) yokidF(x)=f(x)dx.

Teorema. Intervaldagi har qanday uzluksiz chiziq [a;b] funktsiyasif(x) bu segmentda antiderivativga egaF(x).

Teorema. AgarF 1 (x) vaF 2 (x) – bir funksiyaning ikki xil antiderivativif(x) x to'plamida, keyin ular bir-biridan doimiy had bilan farqlanadi, ya'ni.F 2 (x)=F 1x)+C, bu erda C doimiydir.

Yo'q aniq integral, uning xususiyatlari.

Ta'rif. JamiyatF(x)+Barcha antiderivativ funktsiyalardanf(x) X to'plamdagi noaniq integral deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

- (1)

Formulada (1) f(x)dx chaqirdi integral ifodasi,f(x) – integral funksiya, x – integrasiya o‘zgaruvchisi, A C – integratsiya konstantasi.

Keling, xususiyatlarni ko'rib chiqaylik noaniq integral, uning ta'rifidan kelib chiqadi.

1. Noaniq integralning hosilasi integradaga, noaniq integralning differensiali integralga teng:

Va .

2. Ayrim funksiya differensialining noaniq integrali summasiga teng bu funksiya va ixtiyoriy doimiy:

3. Doimiy koeffitsient a (a≠0) noaniq integralning belgisi sifatida chiqarilishi mumkin:

4. Cheklangan sonli funksiyalar algebraik yig‘indisining noaniq integrali ushbu funksiyalar integrallarining algebraik yig‘indisiga teng:

5. AgarF(x) – funksiyaning anti hosilasif(x), keyin:

6 (integratsiya formulalarining o'zgarmasligi). Har qanday integratsiya formulasi, agar integratsiya o'zgaruvchisi ushbu o'zgaruvchining har qanday differentsiallanuvchi funktsiyasi bilan almashtirilsa, o'z shaklini saqlab qoladi:

Qayerdau differensiallanuvchi funksiyadir.

Noaniq integrallar jadvali.

beraylik funktsiyalarni birlashtirishning asosiy qoidalari.

beraylik asosiy noaniq integrallar jadvali.(E'tibor bering, bu erda, differentsial hisobda bo'lgani kabi, harf u mustaqil o'zgaruvchi sifatida belgilanishi mumkin (u=x), va mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

1 dan 17 gacha integrallar deyiladi jadvalli.

Hosilalar jadvalida o'xshashi bo'lmagan integrallar jadvalidagi yuqoridagi formulalarning ba'zilari ularning o'ng tomonlarini farqlash yo'li bilan tekshiriladi.

O'zgaruvchining o'zgarishi va noaniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash.

O'zgartirish orqali integratsiya (o'zgaruvchan almashtirish). Integralni hisoblash zarur bo'lsin

, bu jadval shaklida emas. O'zgartirish usulining mohiyati shundaki, integralda o'zgaruvchi mavjud X o'zgaruvchi bilan almashtiring t formula bo'yicha x=ph(t), qayerda dx=ph’(t)dt.

Teorema. Funktsiyaga ruxsat beringx=ph(t) ma'lum bir T to'plamida aniqlanadi va differentsiallanadi va X bu funktsiyaning qiymatlari to'plami bo'lsin, bunda funktsiya aniqlanadi.f(x). Keyin X to'plamida funktsiyaf(

Anti hosila va noaniq integral.

f(x) funksiyaning (a; b) oraliqdagi anti hosilasi F(x) funksiya bo‘lib, berilgan oraliqdan istalgan x uchun tenglik bajariladi.

Agar doimiy S ning hosilasi nolga teng ekanligini hisobga olsak, tenglik to'g'ri bo'ladi. . Shunday qilib, f(x) funksiya ixtiyoriy doimiy C uchun F(x)+C antiderivativlar to‘plamiga ega va bu antiderivativlar bir-biridan ixtiyoriy doimiy qiymat bilan farqlanadi.

f(x) funksiyaning butun anti hosilalari to'plami bu funktsiyaning noaniq integrali deb ataladi va belgilanadi. .

Ifodaga integrand, f(x) esa integrand deyiladi. Integrand f(x) funksiyaning differentsialini ifodalaydi.

Noma’lum funksiyani differentsial berilgan holda topish amali noaniq integrasiya deb ataladi, chunki integrasiya natijasi bitta F(x) funksiya emas, balki uning F(x)+C ga qarshi hosilalari to‘plamidir.

Jadval integrallari

Integrallarning eng oddiy xossalari

1. Integratsiya natijasining hosilasi integralga teng.

2. Funksiya differentsialining noaniq integrali funksiyaning o‘zi va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng.

3. Koeffitsientni noaniq integral belgisidan chiqarish mumkin.

4. Funksiyalar yig‘indisi/farqining noaniq integrali funksiyalarning noaniq integrallari yig‘indisi/ayrimiga teng.

Aniqlik uchun noaniq integralning birinchi va ikkinchi xossalarining oraliq tengliklari berilgan.

Uchinchi va to‘rtinchi xossalarni isbotlash uchun tengliklarning o‘ng tomonlarining hosilalarini topish kifoya:

Bu hosilalar integrallarga teng bo'lib, bu birinchi xususiyat tufayli dalildir. U oxirgi o'tishlarda ham qo'llaniladi.

Shunday qilib, integratsiya muammosi differensiallash muammosiga teskari bo'lib, bu muammolar o'rtasida juda yaqin bog'liqlik mavjud:

birinchi xususiyat integratsiyani tekshirish imkonini beradi. Amalga oshirilgan integratsiyaning to'g'riligini tekshirish uchun olingan natijaning hosilasini hisoblash kifoya. Agar differentsiallash natijasida olingan funksiya integrandaga teng bo'lib chiqsa, bu integrasiya to'g'ri amalga oshirilganligini bildiradi;

noaniq integralning ikkinchi xossasi funksiyaning ma lum differensialidan uning anti hosilasini topish imkonini beradi. Noaniq integrallarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash ushbu xususiyatga asoslanadi.

1.4.Integratsiya shakllarining o'zgarmasligi.

Invariant integratsiya - argumentlari guruh elementlari yoki bir jinsli fazo nuqtalari boʻlgan funksiyalar uchun integrasiya turi (bunday fazodagi istalgan nuqta guruhning berilgan harakati bilan boshqasiga oʻtkazilishi mumkin).

f(x) funksiya f.w differensial ko'rinishning integralini hisoblashga qisqartiradi, bu erda

Quyida r(x) ning aniq formulasi keltirilgan. Shartnoma sharti shaklga ega .

bu yerda Tg gOG yordamida X da siljish operatorini bildiradi: Tgf(x)=f(g-1x). X=G topologiya bo'lsin, o'z-o'zidan chapga siljishlar bilan ishlaydigan guruh. I. va. G mahalliy darajada ixcham bo'lgan taqdirdagina mavjud bo'ladi (xususan, cheksiz o'lchovli guruhlarda I.I. mavjud emas). I.ning kichik toʻplami uchun va. xarakterli funktsiya cA (A da 1 ga va A tashqari 0 ga teng) chap Xaar o'lchovini m (A) belgilaydi. Ushbu o'lchovning aniqlovchi xususiyati uning chapga siljishlar ostida o'zgarmasligi: barcha gOG uchun m(g-1A)=m(A). Guruhdagi chap Haar o'lchovi musbat skalyar omilgacha yagona tarzda aniqlanadi. Agar Haar oʻlchovi m maʼlum boʻlsa, I. va. f funksiyasi formula bilan berilgan . To'g'ri Haar o'lchovi shunga o'xshash xususiyatlarga ega. G guruhining DG guruhining (ko'paytirish bo'yicha) pozitsiyasiga doimiy gomomorfizm (guruh xususiyatini saqlaydigan xarita) mavjud. buning uchun raqamlar

bu erda dmr va dmi o'ng va chap Haar o'lchovlari. DG(g) funksiyasi chaqiriladi G guruhining moduli. Agar , u holda G guruhi chaqiriladi. bir modulli; bu holda o'ng va chap Haar o'lchovlari mos keladi. Yilni, yarim sodda va nilpotent (xususan, kommutativ) guruhlar unimoduldir. Agar G n o'lchovli Li guruhi bo'lsa va q1,...,qn chap o'zgarmas 1-shakllar fazosida G'dagi bazis bo'lsa, G dagi chap Haar o'lchovi n-shakl bilan beriladi. Hisoblash uchun mahalliy koordinatalarda

qi ni hosil qiladi, siz G guruhining har qanday matritsasini amalga oshirishdan foydalanishingiz mumkin: 1-shakldagi g-1dg matritsasi o'zgarmas qoladi va uning koeffitsienti. chap oʻzgarmas skalyar 1-shakllar boʻlib, ulardan kerakli bazis tanlanadi. Masalan, GL(n, R) to'liq matritsa guruhi unimodulli bo'lib, undagi Haar o'lchovi shakl bilan berilgan. Mayli X=G/H - bir jinsli fazo bo'lib, u uchun mahalliy ixcham G guruhi transformatsion guruh, yopiq kichik guruh H esa ma'lum bir nuqtaning stabilizatori hisoblanadi. i.i.ning X da mavjud boʻlishi uchun barcha hOH uchun DG(h)=DH(h) tengligi amal qilishi zarur va yetarli. Xususan, bu H ixcham yoki yarim oddiy bo'lganda to'g'ri keladi. I.ning toʻliq nazariyasi va. cheksiz o'lchovli manifoldlarda mavjud emas.

O'zgaruvchilarni almashtirish.

Bu xossalar integralni elementar integrallardan biriga qisqartirish va keyingi hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ishlatiladi.

1. Noaniq integralning hosilasi integralga teng:

2. Noaniq integralning differensiali integralga teng:

3. Muayyan funktsiya differensialining noaniq integrali ushbu funktsiya va ixtiyoriy doimiyning yig'indisiga teng:

4. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:

Bundan tashqari, a ≠ 0

5. Yig‘indining (farq) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:

6. Mulk 4 va 5 xossalarning birikmasidir:

Bundan tashqari, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xossasi:

Agar , keyin

8. Mulk:

Agar , keyin

Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Avval 5-xususiyatni, keyin 4-xususiyatni qo'lladik, so'ngra antiderivativlar jadvalidan foydalandik va natijaga erishdik.

Onlayn integral kalkulyatorimiz algoritmi yuqorida sanab o'tilgan barcha xususiyatlarni qo'llab-quvvatlaydi va osongina topish mumkin. batafsil yechim integralingiz uchun.

Integrallarni yechish oson ish, lekin faqat tanlanganlar uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun, lekin ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral... Nima uchun kerak? Uni qanday hisoblash mumkin? Aniq va noaniq integrallar nima?

Agar integral uchun siz biladigan yagona narsa bu integral piktogramma shaklidagi ilgak yordamida erishish qiyin joylardan foydali narsalarni olish bo'lsa, xush kelibsiz! Eng oddiy va boshqa integrallarni qanday yechish mumkinligini va nima uchun matematikada usiz qilolmaysiz.

Biz kontseptsiyani o'rganamiz « integral »

Integratsiya ilgari ma'lum bo'lgan Qadimgi Misr. Albatta, zamonaviy shaklda emas, lekin baribir. O'shandan beri matematiklar bu mavzuda ko'plab kitoblar yozdilar. Ayniqsa, o'zlarini ajralib turishdi Nyuton Va Leybnits , lekin narsalarning mohiyati o'zgarmadi.

Integrallarni noldan qanday tushunish mumkin? Bo'lishi mumkin emas! Ushbu mavzuni tushunish uchun siz hali ham asoslar haqida asosiy tushunchaga muhtoj bo'lasiz. matematik tahlil. Bizning blogimizda integrallarni tushunish uchun zarur bo'lgan chegaralar va hosilalar haqida allaqachon ma'lumotlar mavjud.

Noaniq integral

Keling, qandaydir funktsiyaga ega bo'lamiz f(x) .

Noaniq integral funksiya f(x) bu funksiya deyiladi F(x) , hosilasi funksiyaga teng f(x) .

Boshqacha qilib aytganda, integral teskari hosila yoki antiderivativdir. Aytgancha, derivativlarni qanday hisoblash haqida bizning maqolamizni o'qing.

Antiderivativ hamma uchun mavjud uzluksiz funktsiyalar. Shuningdek, antiderivativga ko'pincha doimiy belgi qo'shiladi, chunki doimiy bilan farq qiluvchi funktsiyalarning hosilalari mos keladi. Integralni topish jarayoni integrasiya deb ataladi.

Oddiy misol:

Doimiy ravishda antiderivativlarni hisoblamaslik uchun elementar funktsiyalar, ularni jadvalda umumlashtirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay.

Talabalar uchun integrallarning to'liq jadvali

Aniq integral

Integral tushunchasi bilan ishlashda biz cheksiz kichik miqdorlar bilan ishlaymiz. Integral figuraning maydonini, bir xil bo'lmagan jismning massasini, notekis harakat paytida bosib o'tgan masofani va boshqa ko'p narsalarni hisoblashda yordam beradi. Shuni esda tutish kerakki, integral cheksiz ko'p sonli cheksiz kichik hadlar yig'indisidir.

Misol tariqasida, qandaydir funksiyaning grafigini tasavvur qiling.

Funktsiya grafigi bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topish mumkin? Integraldan foydalanish! Funktsiyaning koordinata o'qlari va grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani cheksiz kichik segmentlarga ajratamiz. Shu tarzda raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlar maydonlarining yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo esda tutingki, bunday hisob-kitob taxminiy natija beradi. Biroq, segmentlar qanchalik kichik va torroq bo'lsa, hisoblash qanchalik aniq bo'ladi. Agar biz ularni uzunligi nolga moyil bo'ladigan darajada kamaytirsak, u holda segmentlar maydonlarining yig'indisi rasmning maydoniga to'g'ri keladi. Bu aniq integral bo'lib, u quyidagicha yozilgan:

a va b nuqtalar integrasiya chegaralari deyiladi.

« Integral »

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud har qanday ish turi

Dumilar uchun integrallarni hisoblash qoidalari

Noaniq integralning xossalari

Noaniq integral qanday yechiladi? Bu erda biz noaniq integralning xossalarini ko'rib chiqamiz, bu misollarni yechishda foydali bo'ladi.

• Integralning hosilasi integralga teng:

• Konstanta integral belgisi ostidan chiqarilishi mumkin:

• Yig'indining integrali integrallar yig'indisiga teng. Bu farq uchun ham amal qiladi:

Aniq integralning xossalari

• Lineerlik:

• Integratsiya chegaralari almashtirilsa, integral belgisi o'zgaradi:

• Da har qanday ball a, b Va Bilan:

Aniq integral yig'indining chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Lekin misolni yechishda ma'lum bir qiymatni qanday olish mumkin? Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi mavjud:

Integrallarni yechishga misollar

Quyida noaniq integral va yechimli misollarni ko'rib chiqamiz. Yechimning nozik tomonlarini o'zingiz aniqlashni taklif qilamiz va agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda savollar bering.

Materialni mustahkamlash uchun integrallarning amalda yechilishi haqida videoni tomosha qiling. Agar integral darhol berilmasa, umidsizlikka tushmang. Talabalar uchun professional xizmatga murojaat qiling va yopiq sirt ustidagi har qanday uch yoki egri integral sizning kuchingiz doirasida bo'ladi.