Integrallar va ularning xossalari. Noaniq integralning asosiy xossalari. Aniq integralning asosiy xossalari

Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) [ oraliqda aniqlanadi. a, b ], a < b. Keling, quyidagi operatsiyalarni bajaramiz:

1) bo'linamiz [ a, b] nuqta a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b yoqilgan n qisman segmentlar [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) qisman segmentlarning har birida [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, ixtiyoriy nuqtani tanlang va ushbu nuqtadagi funktsiyaning qiymatini hisoblang: f(z i ) ;

3) asarlarni toping f(z i ) · Δ x i , bu erda qisman segmentning uzunligi [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) yarashamiz integral yig'indisi funktsiyalari y = f(x) segmentida [ a, b ]:

BILAN geometrik nuqta Vizual nuqtai nazardan, bu s yig'indisi asoslari qisman segmentlar bo'lgan to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisidir. x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ] va balandliklar teng f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) mos ravishda (1-rasm). bilan belgilaymiz λ eng uzun qisman segment uzunligi:

5) qachon integral yig‘indining chegarasini toping λ → 0.

Ta'rif. Agar integral yig'indining (1) chekli chegarasi bo'lsa va u segmentni bo'lish usuliga bog'liq bo'lmasa [ a, b] qisman segmentlarga, na nuqta tanlashdan z i ularda, keyin bu chegara deyiladi aniq integral funktsiyasidan y = f(x) segmentida [ a, b] va belgilanadi

Shunday qilib,

Bu holda funksiya f(x) deyiladi ajralmas kuni [ a, b]. Raqamlar a Va b mos ravishda integratsiyaning pastki va yuqori chegaralari deb ataladi, f(x) – integral funksiya, f(x ) dx- integral ifoda, x– integratsiya o‘zgaruvchisi; chiziq segmenti [ a, b] integrallash intervali deyiladi.

Teorema 1. Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] bo'lsa, u bu oraliqda integrallanadi.

Integrallash chegaralari bir xil bo'lgan aniq integral nolga teng:

Agar a > b, keyin, ta'rifga ko'ra, biz taxmin qilamiz

2. Aniq integralning geometrik ma’nosi

Segmentga ruxsat bering [ a, b] uzluksiz manfiy bo'lmagan funksiya ko'rsatilgan y = f(x ) . Egri chiziqli trapezoid yuqorida funktsiya grafigi bilan chegaralangan raqam y = f(x), pastdan - Ox o'qi bo'ylab, chapga va o'ngga - to'g'ri chiziqlar x = a Va x = b(2-rasm).

Manfiy bo'lmagan funksiyaning aniq integrali y = f(x) geometrik nuqtai nazardan maydoniga teng yuqorida funktsiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoid y = f(x), chap va o'ng - chiziq segmentlari x = a Va x = b, pastdan - Ox o'qining segmenti.

3. Aniq integralning asosiy xossalari

1. Ma'nosi aniq integral integratsiya o'zgaruvchisining belgilanishiga bog'liq emas:

2. Aniq integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:

3. Ikki funktsiyaning algebraik yig‘indisining aniq integrali bu funksiyalarning aniq integralining algebraik yig‘indisiga teng:

4.Agar funksiyasi y = f(x) [ da integrallanishi mumkin a, b] Va a < b < c, Bu

5. (o'rtacha qiymat teoremasi). Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b], keyin bu segmentda shunday nuqta bor

4. Nyuton-Leybnits formulasi

Teorema 2. Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] Va F(x) ushbu segmentdagi har qanday antiderivativ bo'lsa, quyidagi formula to'g'ri keladi:

qaysi deyiladi Nyuton-Leybnits formulasi. Farq F(b) - F(a) odatda quyidagicha yoziladi:

bu erda belgi qo'sh joker belgi deb ataladi.

Shunday qilib, formula (2) quyidagicha yozilishi mumkin:

1-misol. Integralni hisoblang

Yechim. Integral uchun f(x ) = x 2 ixtiyoriy antiderivativ shaklga ega

Nyuton-Leybnits formulasida har qanday antiderivativdan foydalanish mumkinligi sababli, integralni hisoblash uchun biz eng oddiy shaklga ega bo'lgan antiderivativni olamiz:

5. Aniq integralda o'zgaruvchining o'zgarishi

Teorema 3. Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b]. Agar:

1) funktsiya x = φ ( t) va uning hosilasi ph "( t) uchun uzluksiz;

2) funksiya qiymatlari to‘plami x = φ ( t) uchun bu segment [ a, b ];

3) ph ( a) = a, φ ( b) = b, keyin formula haqiqiy hisoblanadi

qaysi deyiladi Aniq integraldagi o'zgaruvchini o'zgartirish formulasi .

Undan farqli o'laroq noaniq integral, V Ushbu holatda Hojati yo'q asl integratsiya o'zgaruvchisiga qaytish uchun - a va b integratsiyaning yangi chegaralarini topish kifoya (buning uchun siz o'zgaruvchini hal qilishingiz kerak. t tenglamalar ph ( t) = a va ph ( t) = b).

O'zgartirish o'rniga x = φ ( t) almashtirishdan foydalanishingiz mumkin t = g(x). Bunday holda, o'zgaruvchi bo'yicha integratsiyaning yangi chegaralarini topish t soddalashtiradi: a = g(a) , β = g(b) .

2-misol. Integralni hisoblang

Yechim. Formuladan foydalanib yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Tenglikning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz 1 + ni olamiz x = t 2 , qayerda x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Biz integratsiyaning yangi chegaralarini topamiz. Buning uchun eski chegaralarni formulaga almashtiramiz x = 3 va x = 8. Biz olamiz: , qaerdan t= 2 va a = 2; , qayerda t= 3 va b = 3. Demak,

3-misol. Hisoblash

Yechim. Mayli u= jurnal x, Keyin, v = x. Formula bo'yicha (4)

Anti hosila va noaniq integral.

f(x) funksiyaning (a; b) oraliqdagi anti hosilasi F(x) funksiya bo‘lib, berilgan oraliqdan istalgan x uchun tenglik bajariladi.

Agar doimiy S ning hosilasi nolga teng ekanligini hisobga olsak, tenglik to'g'ri bo'ladi. . Shunday qilib, f(x) funksiya ixtiyoriy doimiy C uchun F(x)+C antiderivativlar to‘plamiga ega va bu antiderivativlar bir-biridan ixtiyoriy doimiy qiymat bilan farqlanadi.

f(x) funksiyaning butun anti hosilalari to'plami bu funktsiyaning noaniq integrali deb ataladi va belgilanadi. .

Ifodaga integrand, f(x) esa integrand deyiladi. Integrand f(x) funksiyaning differentsialini ifodalaydi.

Noma’lum funksiyani differentsial berilgan holda topish amali noaniq integrasiya deb ataladi, chunki integrasiya natijasi bitta F(x) funksiya emas, balki uning F(x)+C ga qarshi hosilalari to‘plamidir.

Jadval integrallari

Integrallarning eng oddiy xossalari

1. Integratsiya natijasining hosilasi integralga teng.

2. Differensial funksiyaning noaniq integrali summasiga teng funktsiyaning o'zi va ixtiyoriy doimiy.

3. Koeffitsientni noaniq integral belgisidan chiqarish mumkin.

4. Funksiyalar yig‘indisi/farqining noaniq integrali funksiyalarning noaniq integrallari yig‘indisi/ayrimiga teng.

Aniqlik uchun noaniq integralning birinchi va ikkinchi xossalarining oraliq tengliklari berilgan.

Uchinchi va to‘rtinchi xossalarni isbotlash uchun tengliklarning o‘ng tomonlarining hosilalarini topish kifoya:

Bu hosilalar integrallarga teng bo'lib, bu birinchi xususiyat tufayli dalildir. U oxirgi o'tishlarda ham qo'llaniladi.

Shunday qilib, integratsiya muammosi differensiallash muammosiga teskari bo'lib, bu muammolar o'rtasida juda yaqin bog'liqlik mavjud:

birinchi xususiyat integratsiyani tekshirish imkonini beradi. Amalga oshirilgan integratsiyaning to'g'riligini tekshirish uchun olingan natijaning hosilasini hisoblash kifoya. Agar differentsiallash natijasida olingan funksiya integrandaga teng bo'lib chiqsa, bu integrasiya to'g'ri amalga oshirilganligini bildiradi;

noaniq integralning ikkinchi xossasi funksiyaning ma lum differensialidan uning anti hosilasini topish imkonini beradi. Noaniq integrallarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash ushbu xususiyatga asoslanadi.

1.4.Integratsiya shakllarining o'zgarmasligi.

Invariant integratsiya - argumentlari guruh elementlari yoki bir jinsli fazo nuqtalari boʻlgan funksiyalar uchun integrasiya turi (bunday fazodagi istalgan nuqta guruhning berilgan harakati bilan boshqasiga oʻtkazilishi mumkin).

f(x) funksiya f.w differensial ko'rinishning integralini hisoblashga qisqartiradi, bu erda

Quyida r(x) ning aniq formulasi keltirilgan. Shartnoma sharti shaklga ega .

bu yerda Tg gOG yordamida X da siljish operatorini bildiradi: Tgf(x)=f(g-1x). X=G topologiya bo'lsin, o'z-o'zidan chapga siljishlar bilan ishlaydigan guruh. I. va. G mahalliy darajada ixcham bo'lgan taqdirdagina mavjud bo'ladi (xususan, cheksiz o'lchovli guruhlarda I.I. mavjud emas). I.ning kichik toʻplami uchun va. xarakterli funktsiya cA (A da 1 ga va A tashqari 0 ga teng) chap Xaar o'lchovini m (A) belgilaydi. Ushbu o'lchovning aniqlovchi xususiyati uning chapga siljishlar ostida o'zgarmasligi: barcha gOG uchun m(g-1A)=m(A). Guruhdagi chap Haar o'lchovi musbat skalyar omilgacha yagona tarzda aniqlanadi. Agar Haar oʻlchovi m maʼlum boʻlsa, I. va. f funksiyasi formula bilan berilgan . To'g'ri Haar o'lchovi shunga o'xshash xususiyatlarga ega. G guruhining DG guruhining (ko'paytirish bo'yicha) pozitsiyasiga doimiy gomomorfizm (guruh xususiyatini saqlaydigan xarita) mavjud. buning uchun raqamlar

bu erda dmr va dmi o'ng va chap Haar o'lchovlari. DG(g) funksiyasi chaqiriladi G guruhining moduli. Agar , u holda G guruhi chaqiriladi. bir modulli; bu holda o'ng va chap Haar o'lchovlari mos keladi. Yilni, yarim sodda va nilpotent (xususan, kommutativ) guruhlar unimoduldir. Agar G n o'lchovli Li guruhi bo'lsa va q1,...,qn chap o'zgarmas 1-shakllar fazosida G'dagi bazis bo'lsa, G dagi chap Haar o'lchovi n-shakl bilan beriladi. Hisoblash uchun mahalliy koordinatalarda

qi ni hosil qiladi, siz G guruhining har qanday matritsasini amalga oshirishdan foydalanishingiz mumkin: 1-shakldagi g-1dg matritsasi o'zgarmas qoladi va uning koeffitsienti. chap oʻzgarmas skalyar 1-shakllar boʻlib, ulardan kerakli bazis tanlanadi. Masalan, GL(n, R) to'liq matritsa guruhi unimodulli bo'lib, undagi Haar o'lchovi shakl bilan berilgan. Mayli X=G/H - bir jinsli fazo bo'lib, u uchun mahalliy ixcham G guruhi transformatsion guruh, yopiq kichik guruh H esa ma'lum bir nuqtaning stabilizatori hisoblanadi. i.i.ning X da mavjud boʻlishi uchun barcha hOH uchun DG(h)=DH(h) tengligi amal qilishi zarur va yetarli. Xususan, bu H ixcham yoki yarim oddiy bo'lganda to'g'ri keladi. I.ning toʻliq nazariyasi va. cheksiz o'lchovli manifoldlarda mavjud emas.

O'zgaruvchilarni almashtirish.

Integrallarni yechish oson ish, lekin faqat tanlanganlar uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun, lekin ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral... Nima uchun kerak? Uni qanday hisoblash mumkin? Aniq va noaniq integrallar nima?

Agar integral uchun siz biladigan yagona narsa bu integral piktogramma shaklidagi ilgak yordamida erishish qiyin joylardan foydali narsalarni olish bo'lsa, xush kelibsiz! Eng oddiy va boshqa integrallarni qanday yechish mumkinligini va nima uchun matematikada usiz qilolmaysiz.

Biz kontseptsiyani o'rganamiz « integral »

Integratsiya ilgari ma'lum bo'lgan Qadimgi Misr. Albatta, zamonaviy shaklda emas, lekin baribir. O'shandan beri matematiklar bu mavzuda ko'plab kitoblar yozdilar. Ayniqsa, o'zlarini ajralib turishdi Nyuton Va Leybnits , lekin narsalarning mohiyati o'zgarmadi.

Integrallarni noldan qanday tushunish mumkin? Bo'lishi mumkin emas! Ushbu mavzuni tushunish uchun siz hali ham asoslar haqida asosiy tushunchaga muhtoj bo'lasiz. matematik tahlil. Bizning blogimizda integrallarni tushunish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar allaqachon mavjud.

Noaniq integral

Keling, qandaydir funktsiyaga ega bo'lamiz f(x) .

Noaniq integral funksiya f(x) bu funksiya deyiladi F(x) , hosilasi funksiyaga teng f(x) .

Boshqacha qilib aytganda, integral teskari hosila yoki antiderivativdir. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday qilib o'qing.

Barcha uzluksiz funksiyalar uchun antiderivativ mavjud. Shuningdek, antiderivativga ko'pincha doimiy belgi qo'shiladi, chunki doimiy bilan farq qiluvchi funktsiyalarning hosilalari mos keladi. Integralni topish jarayoni integrasiya deb ataladi.

Oddiy misol:

Doimiy ravishda antiderivativlarni hisoblamaslik uchun elementar funktsiyalar, ularni jadvalda umumlashtirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay.

Talabalar uchun integrallarning to'liq jadvali

Aniq integral

Integral tushunchasi bilan ishlashda biz cheksiz kichik miqdorlar bilan ishlaymiz. Integral figuraning maydonini, bir xil bo'lmagan jismning massasini, notekis harakat paytida bosib o'tgan masofani va boshqalarni hisoblashda yordam beradi. Shuni esda tutish kerakki, integral cheksiz ko'p sonli cheksiz kichik hadlar yig'indisidir.

Misol tariqasida, qandaydir funksiyaning grafigini tasavvur qiling.

Funktsiya grafigi bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topish mumkin? Integraldan foydalanish! Funktsiyaning koordinata o'qlari va grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani cheksiz kichik segmentlarga ajratamiz. Shu tarzda raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlar maydonlarining yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo esda tutingki, bunday hisob-kitob taxminiy natija beradi. Biroq, segmentlar qanchalik kichik va torroq bo'lsa, hisoblash qanchalik aniq bo'ladi. Agar biz ularni uzunligi nolga moyil bo'ladigan darajada kamaytirsak, u holda segmentlar maydonlarining yig'indisi rasmning maydoniga moyil bo'ladi. Bu aniq integral bo'lib, u quyidagicha yozilgan:

a va b nuqtalar integrasiya chegaralari deyiladi.

« Integral »

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud

Dumilar uchun integrallarni hisoblash qoidalari

Noaniq integralning xossalari

Noaniq integral qanday yechiladi? Bu erda biz noaniq integralning xossalarini ko'rib chiqamiz, bu misollarni yechishda foydali bo'ladi.

• Integralning hosilasi integralga teng:

• Konstanta integral belgisi ostidan chiqarilishi mumkin:

• Yig'indining integrali integrallar yig'indisiga teng. Bu farq uchun ham amal qiladi:

Aniq integralning xossalari

• Lineerlik:

• Integratsiya chegaralari almashtirilsa, integral belgisi o'zgaradi:

• Da har qanday ball a, b Va Bilan:

Aniq integral yig'indining chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Lekin misolni yechishda ma'lum bir qiymatni qanday olish mumkin? Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi mavjud:

Integrallarni yechishga misollar

Quyida noaniq integral va yechimli misollarni ko'rib chiqamiz. Yechimning nozik tomonlarini o'zingiz aniqlashni taklif qilamiz va agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda savollar bering.

Materialni mustahkamlash uchun integrallarning amalda yechilishi haqida videoni tomosha qiling. Agar integral darhol berilmasa, umidsizlikka tushmang. Talabalar uchun professional xizmatga murojaat qiling va yopiq sirt ustidagi har qanday uch yoki egri integral sizning kuchingiz doirasida bo'ladi.

Ushbu maqolada aniq integralning asosiy xususiyatlari haqida batafsil so'z boradi. Ular Riman va Darbu integrali tushunchasi yordamida isbotlangan. Aniq integralni hisoblash 5 ta xususiyat tufayli amalga oshiriladi. Qolganlari turli iboralarni baholash uchun ishlatiladi.

Aniq integralning asosiy xossalariga o'tishdan oldin a dan b dan oshmasligiga ishonch hosil qilish kerak.

Aniq integralning asosiy xossalari

x = a da aniqlangan y = f (x) funksiya ∫ a a f (x) d x = 0 adolatli tenglikka o'xshaydi.

Dalil 1

Bundan ko'ramizki, chegaralari mos keladigan integralning qiymati nolga teng. Bu Riman integralining natijasidir, chunki [ a oraliqdagi istalgan bo'lim uchun har bir integral yig'indisi s; a ] va har qanday nuqta tanlash z i nolga teng, chunki x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , ya’ni biz integral funksiyalar chegarasi nolga teng ekanligini topamiz.

Ta'rif 2

[a oraliqda integrallanadigan funksiya uchun; b ] , ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x sharti bajariladi.

Dalil 2

Boshqacha qilib aytganda, agar siz integratsiyaning yuqori va pastki chegaralarini almashtirsangiz, integralning qiymati qarama-qarshi qiymatga o'zgaradi. Bu xossa Riman integralidan olingan. Biroq, segmentning bo'linishini raqamlash x = b nuqtadan boshlanadi.

Ta'rif 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x [ a oraliqda aniqlangan y = f (x) va y = g (x) tipidagi integrallanuvchi funksiyalarga taalluqlidir; b].

Dalil 3

y = f (x) ± g (x) funksiyaning integral yig‘indisini z i nuqtalari berilgan segmentlarga bo‘lish uchun yozing: s = ∑ i = 1 n f z i ± g z i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (z i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g z i · x i - x i - 1 = s f ± s g

Bu erda s f va s g - segmentni bo'lish uchun y = f (x) va y = g (x) funktsiyalarining integral yig'indisi. l = m a x i = 1, 2, da chegaraga o'tgandan keyin. . . , n (x i - x i - 1) → 0 lim l → 0 s = lim l → 0 s f ± s g = lim l → 0 s g ± lim l → 0 s g ekanligini olamiz.

Rimanning ta'rifiga ko'ra, bu ifoda ekvivalentdir.

Ta'rif 4

Doimiy omilni aniq integral belgisidan tashqariga kengaytirish. oraliqdan integrallashgan funksiya [a; b ] ixtiyoriy qiymatga ega bo'lgan k ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ko'rinishdagi adolatli tengsizlikka ega.

Isbot 4

Aniq integral xususiyatning isboti avvalgisiga o'xshaydi:

s = ∑ i = 1 n k · f z i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f z i · (x i - x i - 1) = k · s f ⇒ lim l → 0 s = lim l → 0 (k · s f) = k · lim l → 0 s f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Ta'rif 5

Agar y = f (x) ko‘rinishdagi funksiya a ∈ x, b ∈ x bo‘lgan x oraliqda integrallanadigan bo‘lsa, ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d ekanligini olamiz. x.

Dalil 5

Mulk c ∈ a uchun haqiqiy hisoblanadi; b, c ≤ a va c ≥ b uchun. Isbot oldingi xususiyatlarga o'xshaydi.

Ta'rif 6

Funksiyani segmentdan integrallash mumkin bo'lganda [a; b ], u holda bu har qanday ichki segment c uchun amalga oshirilishi mumkin; d ∈ a; b.

Isbot 6

Isbot Darboux xususiyatiga asoslangan: agar segmentning mavjud bo'limiga nuqtalar qo'shilsa, u holda pastki Darboux summasi kamaymaydi va yuqorisi ko'paymaydi.

Ta'rif 7

Funktsiya [a; b ] har qanday x ∈ a qiymati uchun f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 dan; b , u holda ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ekanligini olamiz.

Xususiyatni Rieman integralining ta'rifi yordamida isbotlash mumkin: f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 manfiy bo'lmagan holda segmentning bo'linish nuqtalari va z i nuqtalarining istalgan tanlovi uchun har qanday integral yig'indi. .

Dalil 7

Agar y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [ a oraliqda integrallansa; b ] bo‘lsa, quyidagi tengsizliklar o‘rinli hisoblanadi:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Bayonot tufayli biz integratsiya joiz ekanligini bilamiz. Ushbu xulosa boshqa xususiyatlarni isbotlashda qo'llaniladi.

Ta'rif 8

Integrallanuvchi funksiya uchun y = f (x) oraliqdan [ a ; b ] ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi adolatli tengsizlikka egamiz.

Isbot 8

Bizda shunday - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Oldingi xususiyatdan biz tengsizlikni had bo'yicha integrallash mumkinligini aniqladik va u - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ko'rinishdagi tengsizlikka mos keladi. Bu qo‘sh tengsizlikni boshqa ko‘rinishda yozish mumkin: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Ta'rif 9

y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [ a oraliqdan integrallashganda; b ] uchun g (x) ≥ 0 har qanday x ∈ a uchun; b , m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz, bu erda m = m i n x ∈ a ; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x) .

Dalil 9

Tasdiqlash xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi. M va m [a segmentidan aniqlangan y = f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari hisoblanadi; b ] , keyin m ≤ f (x) ≤ M . Ikki karrali tengsizlikni y = g (x) funktsiyaga ko'paytirish kerak, bu qiymatni beradi ikki tomonlama tengsizlik shakldagi m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Uni [a oraliqda integrallash kerak; b ] bo‘lsa, u holda isbotlangan gapni olamiz.

Natija: g (x) = 1 uchun tengsizlik m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) ko'rinishini oladi.

Birinchi o'rtacha formula

y = f (x) oraliqda integrallanuvchi uchun [ a ; b ] bilan m = m i n x ∈ a; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x) m ∈ m son mavjud; ∫ a b f (x) d x = m · b - a ga mos keladigan M .

Natija: y = f (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ], u holda c ∈ a soni mavjud; b, ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a tengligini qanoatlantiradi.

Umumlashtirilgan shakldagi birinchi o'rtacha formula

y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [ a oraliqdan integrallansa; b ] bilan m = m i n x ∈ a; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x) , va har qanday x ∈ a qiymati uchun g (x) > 0; b. Bu yerdan biz m ∈ m soni borligini aniqlaymiz; ∫ a b f (x) · g (x) d x = m · ∫ a b g (x) d x tenglikni qanoatlantiradigan M .

Ikkinchi o'rtacha formula

y = f (x) funksiya [ a oraliqdan integrallansa; b ], va y = g (x) monotonik bo'lsa, u holda c ∈ a bo'lgan son mavjud; b , bu erda ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x ko'rinishdagi adolatli tenglikni olamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Differensial hisoblashda muammo hal qilinadi: bu funksiya ostida ƒ(x) uning hosilasini toping(yoki differentsial). Integral hisob teskari masalani hal qiladi: uning hosilasi F "(x)=ƒ(x) (yoki differentsial) ni bilgan holda F(x) funksiyani toping. Qidirilayotgan F(x) funksiya ƒ(x) funksiyaning anti hosilasi deyiladi. ).

F(x) funksiya chaqiriladi antiderivativ(a; b) oraliqda ƒ(x) funksiyasi, agar har qanday x ê (a; b) uchun tenglik

F " (x)=ƒ(x) (yoki dF(x)=ƒ(x)dx).

Masalan, y = x 2, x ê R funksiyaning anti hosilasi funktsiya, chunki

Shubhasiz, har qanday funktsiyalar ham antiderivativ bo'ladi

bu erda C doimiy, chunki

Teorema 29. 1. Agar F(x) funksiya (a;b) bo‘yicha ƒ(x) funksiyaning anti hosilasi bo‘lsa, ƒ(x) ning barcha anti hosilalari to‘plami F(x)+ formula bilan topiladi. C, bu erda C doimiy son.

▲ F(x)+C funksiya ƒ(x) ga qarshi hosiladir.

Darhaqiqat, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

F(x) ƒ(x) funksiyaning F(x) dan farqli boshqa anti hosilasi bo‘lsin, ya’ni F "(x)=ƒ(x). U holda har qanday x ê (a; b) uchun bizda mavjud bo‘ladi.

Va bu shuni anglatadiki (Nulosa 25.1 ga qarang).

bu erda C doimiy son. Demak, F(x)=F(x)+S.▼

ƒ(x) uchun barcha antiderivativ F(x)+S funksiyalar to‘plami deyiladi ƒ(x) funksiyaning noaniq integrali va ∫ ƒ(x) dx belgisi bilan belgilanadi.

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Bu yerda ƒ(x) deyiladi integral funktsiyasi, ƒ(x)dx — integral ifodasi, X - integratsiya o'zgaruvchisi, ∫ -noaniq integralning belgisi.

Funktsiyaning noaniq integralini topish amali bu funksiyani integrallash deyiladi.

Geometrik jihatdan noaniq integral "parallel" egri chiziqlar oilasi y=F(x)+C (C ning har bir raqamli qiymati oilaning o'ziga xos egri chizig'iga to'g'ri keladi) (166-rasmga qarang). Har bir antiderivativning grafigi (egri) deyiladi integral egri chiziq.

Har bir funktsiya noaniq integralga egami?

“(a;b) da uzluksiz bo‘lgan har bir funktsiya shu oraliqda anti hosilaga ega” va demak, noaniq integralga ega degan teorema mavjud.

Noaniq integralning ta'rifidan kelib chiqadigan bir qancha xossalarini qayd qilaylik.

1. Noaniq integralning differensiali integradaga, noaniq integralning hosilasi esa integralga teng:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dx, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Haqiqatan ham, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Ushbu xususiyat tufayli integratsiyaning to'g'riligi differentsiallash orqali tekshiriladi. Masalan, tenglik

∫(3x 2 + 4) dx=x z +4x+S

rost, chunki (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Muayyan funksiya differensialining noaniq integrali shu funksiya va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng:

∫dF(x)= F(x)+C.

Haqiqatan ham,

3. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:

a ≠ 0 doimiy hisoblanadi.

Haqiqatan ham,

(C 1 / a = C qo'ying.)

4. Chekli sonli uzluksiz funksiyalar algebraik yig‘indisining noaniq integrali funksiyalar yig‘indilari integrallarining algebraik yig‘indisiga teng:

F"(x)=ƒ(x) va G"(x)=g(x) bo'lsin. Keyin

bu erda C 1 ±C 2 =C.

5. (Integratsiya formulasining o'zgarmasligi).

Agar , bu yerda u=ph(x) uzluksiz hosilali ixtiyoriy funksiya.

▲ x mustaqil o‘zgaruvchi, ƒ(x) uzluksiz funksiya va F(x) uning anti hosilasi bo‘lsin. Keyin

Endi u=ph(x) belgilaymiz, bunda ph(x) uzluksiz differentsiallanuvchi funksiya. F(u)=F(ph(x)) kompleks funksiyani ko'rib chiqaylik. Funksiyaning birinchi differentsial shaklining o'zgarmasligi tufayli (160-betga qarang) bizda mavjud.

Bu yerdan▼

Shunday qilib, noaniq integral formulasi integratsiya o'zgaruvchisi mustaqil o'zgaruvchimi yoki uning uzluksiz hosilasi bo'lgan har qanday funktsiyasidan qat'iy nazar o'z kuchida qoladi.

Shunday qilib, formuladan x ni u bilan almashtirib (u=ph(x)) olamiz

Ayniqsa,

29.1-misol. Integralni toping

bu yerda C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

29.2-misol. Integral yechimni toping:

• 29.3. Asosiy noaniq integrallar jadvali

Integrasiya differensiallanishning teskari harakati ekanligidan foydalanib, differensial hisoblashning mos formulalarini (differensiallar jadvali) teskari aylantirish va noaniq integralning xossalaridan foydalanib, asosiy integrallar jadvalini olish mumkin.

Masalan, chunki

d(sin u)=cos u . du

Jadvaldagi bir qator formulalarning kelib chiqishi integratsiyaning asosiy usullarini ko'rib chiqishda beriladi.

Quyidagi jadvaldagi integrallar jadvalli deyiladi. Ularni yoddan bilish kerak. Integral hisoblashda differensial hisobdagi kabi elementar funksiyalarning antiderivativlarini topishning oddiy va universal qoidalari mavjud emas. Antiderivativlarni topish usullari (ya'ni, funktsiyani integrallash) berilgan (izlangan) integralni jadvalga keltiradigan ko'rsatuvchi usullarga qisqartiriladi. Shuning uchun jadval integrallarini bilish va ularni taniy bilish kerak.

E'tibor bering, asosiy integrallar jadvalida integratsiya o'zgaruvchisi mustaqil o'zgaruvchini ham, mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasini ham ko'rsatishi mumkin (integratsiya formulasining o'zgarmaslik xususiyatiga ko'ra).

Quyidagi formulalarning to'g'riligini o'ng tomonidagi differentsialni olish orqali tekshirish mumkin, bu formulaning chap tomonidagi integralga teng bo'ladi.

Masalan, 2-formulaning to'g'riligini isbotlaylik. 1/u funksiya noldan boshqa va barcha qiymatlar uchun aniqlangan va uzluksizdir.

Agar u > 0 bo'lsa, u holda ln|u|=lnu, u holda Shunung uchun

Agar u<0, то ln|u|=ln(-u). Ноvositalari

Shunday qilib, formula 2 to'g'ri. Xuddi shunday, 15-formulani tekshiramiz:

Bosh integrallar jadvali

Do'stlar! Sizni muhokama qilishga taklif qilamiz. Agar sizda o'z fikringiz bo'lsa, sharhlarda bizga yozing.