Integratsiya - MT1205: Iqtisodchilar uchun matematik tahlil - Biznes informatika. Ayrim kasrlarni integrallash. Yechish usullari va texnikasi Kasrlarni integratsiyalash qoidalari

Kasr deyiladi to'g'ri, agar hisoblagichning eng yuqori darajasi maxrajning eng yuqori darajasidan kichik bo'lsa. To'g'ri ratsional kasrning integrali quyidagi ko'rinishga ega:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ratsional kasrlarni integrallash formulasi ko‘phadning maxrajdagi ildizlariga bog‘liq. Agar $ ax^2+bx+c $ polinomida:

1. Faqat murakkab ildizlar, keyin undan to'liq kvadrat ajratib olish kerak: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Turli xil haqiqiy ildizlar $ x_1 $ va $ x_2 $, keyin siz integralni kengaytirishingiz va noaniq koeffitsientlarni topishingiz kerak $ A $ va $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Bir nechta ildiz $ x_1 $, keyin biz integralni kengaytiramiz va quyidagi formula uchun $ A $ va $ B $ noaniq koeffitsientlarini topamiz: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Agar kasr bo'lsa noto'g'ri, ya'ni hisoblagichdagi eng yuqori daraja maxrajning eng yuqori darajasidan katta yoki unga teng bo'lsa, avval uni qisqartirish kerak. to'g'ri ko'phadni sondan ko'phadni maxrajdan bo'lish orqali hosil bo'ladi. IN Ushbu holatda ratsional kasrni integrallash formulasi quyidagi shaklga ega:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Yechimlarga misollar

Ushbu mavzu bo‘yicha berilgan material “Ratsional kasrlar. Ratsional kasrlarni elementar (oddiy) kasrlarga bo‘linishi” mavzusidagi ma’lumotlarga asoslanadi. O'qishga o'tishdan oldin hech bo'lmaganda ushbu mavzuni ko'rib chiqishingizni tavsiya qilaman. ushbu materialdan. Bundan tashqari, bizga noaniq integrallar jadvali kerak bo'ladi.

Sizga bir nechta atamalarni eslatib o'taman. Ular tegishli mavzuda muhokama qilindi, shuning uchun men bu erda qisqacha formula bilan cheklanaman.

Ikki polinomning nisbati $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ratsional funksiya yoki ratsional kasr deyiladi. Ratsional kasr deyiladi to'g'ri, agar $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется noto'g'ri.

Elementar (eng oddiy) ratsional kasrlar to'rt turdagi ratsional kasrlardir:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Eslatma (matnni toʻliqroq tushunish uchun zarur): koʻrsatish\ yashirish

$p^2-4q sharti nima uchun kerak?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Masalan, $x^2+5x+10$ ifodasi uchun biz quyidagilarni olamiz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 dan beri< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Aytgancha, bu tekshirish uchun $x^2$ dan oldingi koeffitsient 1 ga teng bo'lishi shart emas. Masalan, $5x^2+7x-3=0$ uchun biz quyidagilarni olamiz: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. $D > 0$ boʻlgani uchun $5x^2+7x-3$ ifodasi faktorlarga ajratiladi.

Ratsional kasrlarga (to'g'ri va noto'g'ri) misollar, shuningdek, ratsional kasrni elementar kasrlarga parchalash misollarini topish mumkin. Bu erda bizni faqat ularning integratsiyasi masalalari qiziqtiradi. Elementar kasrlarni integrallashdan boshlaylik. Shunday qilib, yuqoridagi to'rt turdagi elementar kasrlarning har birini quyidagi formulalar yordamida integrallash oson. Eslatib o'taman, (2) va (4) turdagi kasrlarni integrallashda $n=2,3,4,\ldots$ qabul qilinadi. (3) va (4) formulalar $p^2-4q shartining bajarilishini talab qiladi< 0$.

\begin(tenglama) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(tenglama) \begin(tenglama) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(tenglama) \begin(tenglama) \int \frac(Mx+N)(x^2) +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(tenglama)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ uchun $t=x+\frac(p)(2)$ almashtirish amalga oshiriladi, shundan so'ng natijada olingan interval bo'ladi. ikkiga bo'lingan. Birinchisi differensial belgi ostida kiritish orqali hisoblab chiqiladi, ikkinchisi esa $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ koʻrinishiga ega boʻladi. Bu integral takrorlanish munosabati yordamida olinadi

\begin(tenglama) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na) ^2)I_n,\; n\in N\end(tenglama)

Bunday integralni hisoblash 7-sonli misolda muhokama qilinadi (uchinchi qismga qarang).

Ratsional funktsiyalarning integrallarini hisoblash sxemasi (ratsional kasrlar):

1. Agar integral elementar bo'lsa, (1)-(4) formulalarini qo'llang.
2. Agar integrasiya elementar bo'lmasa, uni elementar kasrlar yig'indisi sifatida ifodalang va keyin (1)-(4) formulalar yordamida integrallang.

Ratsional kasrlarni integratsiyalashning yuqoridagi algoritmi inkor etilmaydigan afzalliklarga ega - bu universaldir. Bular. Ushbu algoritm yordamida siz integratsiya qilishingiz mumkin har qanday ratsional kasr. Shuning uchun ham noaniq integraldagi o'zgaruvchilarning deyarli barcha o'zgarishlari (Eyler, Chebishev, universal trigonometrik almashtirish) shunday amalga oshiriladiki, bu o'zgarishdan keyin biz interval ostida ratsional kasr olamiz. Va keyin unga algoritmni qo'llang. Biz kichik eslatma qilgandan so'ng, misollar yordamida ushbu algoritmning to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilishini tahlil qilamiz.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Asosan, bu integralni formulani mexanik qo'llamasdan olish oson. Agar integral belgisidan doimiy $7$ ni olib, $dx=d(x+9)$ ekanligini hisobga olsak, quyidagilarga erishamiz:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Batafsil ma'lumot uchun men mavzuni ko'rib chiqishni tavsiya qilaman. Bunday integrallar qanday yechilishini batafsil tushuntirib beradi. Aytgancha, formula uni "qo'lda" hal qilishda ushbu bandda qo'llanilgan o'zgarishlar bilan tasdiqlangan.

2) Yana ikkita yo'l bor: tayyor formuladan foydalaning yoki usiz bajaring. Agar siz formulani qo'llasangiz, $x$ (4-raqam) oldidagi koeffitsientni olib tashlash kerakligini hisobga olishingiz kerak. Buni amalga oshirish uchun keling, bu to'rttasini qavs ichidan chiqaraylik:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\o'ng)\o'ng)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\o'ng)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\ chap (x + \ frac (19) (4) \ o'ng) ^ 8). $$

Endi formulani qo'llash vaqti keldi:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\o'ng)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \o'ng)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \o'ng)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \o'ng )^7)+C. $$

Siz formuladan foydalanmasdan qilishingiz mumkin. Va hatto qavsdan doimiy $4$ ni olmasdan ham. Agar $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ ekanligini hisobga olsak:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Bunday integrallarni topish bo'yicha batafsil tushuntirishlar "O'zgartirish yo'li bilan integratsiya (differensial belgi ostida almashtirish)" mavzusida berilgan.

3) $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ kasrni integrallashimiz kerak. Bu kasr $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ tuzilishiga ega, bunda $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Biroq, bu haqiqatan ham uchinchi turdagi elementar kasr ekanligiga ishonch hosil qilish uchun $p^2-4q sharti bajarilganligini tekshirishingiz kerak.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Keling, xuddi shu misolni hal qilaylik, lekin tayyor formuladan foydalanmasdan. Maxrajning hosilasini payda ajratib olishga harakat qilaylik. Bu nimani anglatadi? Biz bilamizki, $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Aynan $2x+10$ ifodasini hisoblagichda ajratib olishimiz kerak. Hozircha hisoblagichda faqat $4x+7$ mavjud, lekin bu uzoq davom etmaydi. Keling, hisoblagichga quyidagi o'zgartirishni qo'llaymiz:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Endi hisoblagichda kerakli $2x+10$ ifodasi paydo bo'ladi. Va bizning integralimizni quyidagicha qayta yozish mumkin:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Keling, integralni ikkiga ajratamiz. Xo'sh, va shunga ko'ra, integralning o'zi ham "bifurkatsiyalangan":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \o‘ng)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Keling, birinchi navbatda birinchi integral haqida gapiraylik, ya'ni. taxminan $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ bo'lgani uchun, u holda integralning soni maxrajning differentsialini o'z ichiga oladi. Qisqasi, uning o'rniga $( 2x+10)dx$ ifodasidan $d(x^2+10x+34)$ yozamiz.

Endi ikkinchi integral haqida bir necha so'z aytaylik. Maxrajdagi to‘liq kvadratni tanlaymiz: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Bundan tashqari, biz $dx=d(x+5)$ ni hisobga olamiz. Endi biz ilgari olingan integrallar yig'indisini biroz boshqacha ko'rinishda qayta yozish mumkin:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Agar birinchi integralda $u=x^2+10x+34$ almashtirishni amalga oshirsak, u holda u $\int\frac(du)(u)$ ko'rinishini oladi va uni oddiygina ikkinchi formulani qo'llash orqali olish mumkin. . Ikkinchi integralga kelsak, u uchun $u=x+5$ o'zgarishi mumkin, shundan so'ng u $\int\frac(du)(u^2+9)$ ko'rinishini oladi. Bu noaniq integrallar jadvalidagi eng sof o'n birinchi formuladir. Shunday qilib, integrallar yig'indisiga qaytsak, bizda:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Biz formulani qo'llashda bo'lgani kabi bir xil javob oldik, bu ajablanarli emas. Umuman olganda, formula biz ushbu integralni topishda foydalangan usullar bilan isbotlangan. O'ylaymanki, diqqatli o'quvchi bu erda bitta savolga ega bo'lishi mumkin, shuning uchun men uni shakllantiraman:

Savol № 1

Agar noaniq integrallar jadvalidagi ikkinchi formulani $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ integraliga qo‘llasak, quyidagini olamiz:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Nima uchun yechimda modul yo'q edi?

№1 savolga javob

Savol mutlaqo tabiiy. Modul etishmayotgan edi, chunki har qanday $x\in R$ uchun $x^2+10x+34$ ifodasi noldan katta. Buni bir necha usul bilan ko'rsatish juda oson. Masalan, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ va $(x+5)^2 ≥ 0$ boʻlgani uchun $(x+5)^2+9 > 0$ . To'liq kvadratni tanlashdan foydalanmasdan, siz boshqacha o'ylashingiz mumkin. $10^2-4\cdot 34=-16 dan beri< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ har qanday $x\in R$ uchun (agar bu mantiqiy zanjir hayratlanarli bo'lsa, kvadrat tengsizliklarni echishning grafik usulini ko'rib chiqishni maslahat beraman). Har holda, $x^2+10x+34 > 0$ bo'lgani uchun, keyin $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ya'ni. Modul o'rniga oddiy qavslardan foydalanishingiz mumkin.

1-misolning barcha nuqtalari hal qilindi, javobni yozish qoladi.

Javob:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Misol № 2

$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integralini toping.

Bir qarashda $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ integral kasr uchinchi turdagi elementar kasrga juda o'xshaydi, ya'ni. tomonidan $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Ko'rinib turibdiki, yagona farq $3$ $x^2$ oldidagi koeffitsientdir, lekin koeffitsientni olib tashlash ko'p vaqt talab qilmaydi (uni qavsdan chiqarib tashlang). Biroq, bu o'xshashlik aniq. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kasr uchun $p^2-4q sharti majburiydir.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$ dan oldingi koeffitsientimiz birga teng emas, shuning uchun $p^2-4q shartini tekshiring< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, shuning uchun $3x^2-5x-2$ ifodasini faktorlarga ajratish mumkin. Bu $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ kasr uchinchi turdagi elementar kasr emasligini anglatadi va $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) integralga 5x-2)dx$ formulasi mumkin emas.

Xo'sh, agar berilgan ratsional kasr elementar kasr bo'lmasa, uni elementar kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash va keyin integrallash kerak. Qisqasi, izdan foydalaning. Ratsional kasrni elementar kasrlarga qanday ajratish kerakligi batafsil yozilgan. Keling, maxrajni faktorlarga ajratishdan boshlaylik:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \boshlang(hizalangan) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(hizalangan)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\chap(x-\left(-\frac(1)(3)\o'ng)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\o'ng)(x-2). $$

Biz subinterkal fraktsiyani quyidagi shaklda taqdim etamiz:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\chap(x+\frac(1)(3)\o'ng)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\o'ng)(x-2)). $$

Endi $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ kasrini elementar kasrlarga ajratamiz:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\chap(x+\frac(1)(3)\o'ng)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\chap(x+\frac(1)(3)\o'ng))(\chap(x+) \frac(1)(3)\o'ng)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\chap(x+\frac(1)( 3) \ o'ng). $$

$A$ va $B$ koeffitsientlarini topishning ikkita standart usuli mavjud: aniqlanmagan koeffitsientlar usuli va qisman qiymatlarni almashtirish usuli. $x=2$ va keyin $x=-\frac(1)(3)$ oʻrniga qisman qiymatni almashtirish usulini qoʻllaymiz:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\chap(x+\frac(1)(3)\o'ng).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\chap(2+\frac(1)(3)\o'ng); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \o'ng)+4=A\chap(-\frac(1)(3)-2\o'ng)+B\chap (-\ frac (1) (3) + \ frac (1) (3) \ o'ng); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Koeffitsientlar topilganligi sababli, tugallangan kengayishni yozish qoladi:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\chap(x+\frac(1)(3)\o'ng)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Asosan, siz ushbu yozuvni qoldirishingiz mumkin, lekin menga aniqroq variant yoqadi:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\chap(x+\frac(1)(3)\o'ng)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Dastlabki integralga qaytsak, hosil bo'lgan kengayishni unga almashtiramiz. Keyin biz integralni ikkiga bo'lamiz va formulani har biriga qo'llaymiz. Men darhol konstantalarni integral belgisidan tashqariga qo'yishni afzal ko'raman:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\o'ng)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\o'ng)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Javob: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\o'ng| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Misol № 3

$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integralini toping.

$\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ kasrini integrallashimiz kerak. Numerator ikkinchi darajali ko'phadni, maxraji esa uchinchi darajali ko'phadni o'z ichiga oladi. Numeratordagi ko'phadning darajasi maxrajdagi ko'phadning darajasidan kichik bo'lgani uchun, ya'ni. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$

Bizga faqat berilgan integralni uchga bo'lish va formulani har biriga qo'llash kifoya. Men darhol konstantalarni integral belgisidan tashqariga qo'yishni afzal ko'raman:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \o'ng)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Javob: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Ushbu mavzu bo'yicha misollarni tahlil qilishning davomi ikkinchi qismda joylashgan.

Shuni eslatib o'tamiz kasr-ratsional$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)) koʻrinishdagi funksiyalar deyiladi, $$ umumiy holatda ikki polinom %%P_n(x)%% va % nisbati boʻladi. %Q_m(x)% %.

Agar %%m > n \geq 0%% bo'lsa, ratsional kasr deyiladi to'g'ri, aks holda - noto'g'ri. Ko'phadlarni bo'lish qoidasidan foydalanib, noto'g'ri ratsional kasrni%%P_(n - m)%%%%n - m%% ko'phadning yig'indisi va qandaydir to'g'ri kasrning yig'indisi sifatida ifodalash mumkin, ya'ni. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ bu yerda daraja %%l%% %%P_l(x)%% polinomining %%Q_n(x)%% polinomining %%n%% darajasidan kichik.

Shunday qilib, noaniq integral ratsional funktsiyani ko'p nomli va to'g'ri ratsional kasrning noaniq integrallari yig'indisi sifatida ifodalash mumkin.

Oddiy ratsional kasrlardan integrallar

To'g'ri ratsional kasrlar orasida to'rtta tur mavjud bo'lib, ular quyidagicha tasniflanadi oddiy ratsional kasrlar:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

bu yerda %%k > 1%% butun son va %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. kvadrat tenglamalar haqiqiy ildizlarga ega emas.

Birinchi ikki turdagi kasrlarning noaniq integrallarini hisoblash

Birinchi ikki turdagi kasrlarning noaniq integrallarini hisoblash qiyinchilik tug'dirmaydi: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a) )^(k-1)) + C. \end(massiv) $$

Uchinchi turdagi kasrlarning noaniq integrallarini hisoblash

Biz birinchi navbatda uchinchi kasr turini maxrajdagi mukammal kvadratni ajratib ko'rsatish orqali o'zgartiramiz: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), $$ beri %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, biz %%a^2%% deb belgilaymiz. Shuningdek, %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%% almashtirib, maxrajni o‘zgartiramiz va uchinchi turdagi kasrning integralini $$ \begin(massiv) ko‘rinishida yozamiz. )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(massiv) $$

Noaniq integralning chiziqliligidan foydalanib, oxirgi integralni ikkining yig'indisi sifatida ifodalaymiz va ularning birinchisida differensial belgisi ostida %%t%% kiritamiz: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (+ (B - A p /2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ da) 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\o'ng))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\o'ng| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(massiv) $$

Dastlabki %%x%% o'zgaruvchiga qaytsak, natijada uchinchi turdagi bir qism uchun $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x ni olamiz. = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\o'ng| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ bunda %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

4-toifa integralni hisoblash qiyin va shuning uchun bu kursda ko'rib chiqilmaydi.

Kasrli ratsional funktsiyaning noaniq integralini topish uchun oddiy kasrlarni integrallashni boshlashdan oldin, "Kasrlarni oddiy kasrlarga ajratish" bo'limini to'ldirish tavsiya etiladi.

1-misol

Noaniq integral ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x topilsin.

Yechim

Ko'phadni ko'phadga ustun bilan bo'lish yo'li bilan butun qismni tanlaymiz, bunda integratsiyaning sonining darajasi maxraj darajasiga teng ekanligini hisobga olamiz:

Shuning uchun 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Biz to'g'ri ratsional kasrni oldik - 2 x + 3 x 3 + x, uni endi oddiy kasrlarga ajratamiz - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Demak,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Biz uchinchi turdagi eng oddiy kasrning integralini oldik. Siz uni differentsial belgi ostiga qo'yib olishingiz mumkin.

d x 2 + 1 = 2 x d x bo'lgani uchun 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 bo'ladi. Shunung uchun
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Demak,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , bu erda C = - C 1

Keling, har bir to'rt turdagi oddiy kasrlarni integrallash usullarini tasvirlaylik.

Birinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash A x - a

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usulidan foydalanamiz:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

2-misol

y = 3 2 x - 1 funksiyaning anti hosilalari to'plamini toping.

Yechim

Integrasiya qoidasi, anti hosilaning xossalari va antiderivativlar jadvalidan foydalanib, noaniq integral ∫ 3 d x 2 x - 1 ni topamiz: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Javob: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Ikkinchi turdagi A x - a n oddiy kasrlarni integrallash

To'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli bu erda ham qo'llaniladi: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

3-misol

∫ d x 2 x - 3 7 noaniq integralni topish kerak.

Yechim

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Javob:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Uchinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Birinchi qadam noaniq integral ∫ M x + N x 2 + p x + qni yig'indi sifatida taqdim etishdir:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Birinchi integralni olish uchun biz differentsial belgini yig'ish usulidan foydalanamiz:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Shunung uchun,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Biz ∫ d x x 2 + p x + q integralini oldik. Keling, uning maxrajini o'zgartiramiz:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Demak,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Uchinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash formulasi quyidagi shaklni oladi:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

4-misol

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x noaniq integralni topish kerak.

Yechim

Keling, formulani qo'llaymiz:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t x + 1 3 + S

Ikkinchi yechim quyidagicha ko'rinadi:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = konvertatsiya qilinadigan qiymat = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Javob: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

To'rtinchi turdagi eng oddiy kasrlarning integrasiyasi M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Avvalo, biz differentsial belgini ayirishni bajaramiz:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Keyin takrorlanish formulalari yordamida J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n ko'rinishdagi integral topamiz. Qaytalanish formulalari haqida ma'lumotni "Takrorlanish formulalari yordamida integratsiya" mavzusida topish mumkin.

Muammoimizni hal qilish uchun J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 ko'rinishdagi takrorlanuvchi formula. 4 q mos keladi - p 2 · J n - 1.

5-misol

∫ d x x 5 x 2 - 1 noaniq integralni topish kerak.

Yechim

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Ushbu turdagi integrallar uchun almashtirish usulidan foydalanamiz. X 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x yangi o'zgaruvchini kiritamiz.

Biz olamiz:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Biz to'rtinchi turdagi kasrning integralini topishga keldik. Bizning holatlarimizda koeffitsientlar mavjud M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 va n = 3. Biz takroriy formulani qo'llaymiz:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Teskari almashtirishdan keyin z = x 2 - 1 natijaga erishamiz:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Javob:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Yuqorida aytib o'tganimdek, integral hisobda kasrni integrallash uchun qulay formula mavjud emas. Va shuning uchun achinarli tendentsiya mavjud: kasr qanchalik murakkab bo'lsa, uning integralini topish shunchalik qiyin bo'ladi. Shu munosabat bilan siz turli xil fokuslarga murojaat qilishingiz kerak, bu haqda men hozir aytib beraman. Tayyorlangan o'quvchilar darhol foyda olishlari mumkin Mundarija:

• Oddiy kasrlar uchun differentsial belgini yig'ish usuli

Sun'iy hisoblagichlarni aylantirish usuli

1-misol

Aytgancha, ko'rib chiqilayotgan integral o'zgaruvchan usulini o'zgartirish orqali ham echilishi mumkin, deb belgilovchi, lekin yechimni yozish ancha uzoq bo'ladi.

2-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirishni amalga oshiring.

Bu misol uchun mustaqil qaror. Shuni ta'kidlash kerakki, o'zgaruvchan almashtirish usuli bu erda endi ishlamaydi.

Diqqat, muhim! 1, 2-misollar odatiy va tez-tez uchraydi. Xususan, bunday integrallar ko'pincha boshqa integrallarni yechishda, xususan, irratsional funktsiyalarni (ildizlarni) integrallashda paydo bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan texnika bu holatda ham ishlaydi agar hisoblagichning eng yuqori darajasi maxrajning eng yuqori darajasidan katta bo'lsa.

3-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirishni amalga oshiring.

Numeratorni tanlashni boshlaymiz.

Numeratorni tanlash algoritmi quyidagicha:

1) Numeratorda men tashkil qilishim kerak , lekin u erda . Nima qilish kerak? Men uni qavs ichiga qo'yaman va ga ko'paytiraman: .

2) Endi men bu qavslarni ochishga harakat qilaman, nima bo'ladi? . Hmm ... bu yaxshiroq, lekin dastlab hisoblagichda ikkitasi yo'q. Nima qilish kerak? Siz ko'paytirishingiz kerak:

3) Qavslarni yana ochaman: . Va bu erda birinchi muvaffaqiyat! Bu to'g'ri chiqdi! Ammo muammo shundaki, qo'shimcha atama paydo bo'ldi. Nima qilish kerak? Ifodaning o'zgarishiga yo'l qo'ymaslik uchun men konstruktsiyamga xuddi shunday qo'shishim kerak:
. Hayot osonlashdi. Numeratorda yana tartibga solish mumkinmi?

4) Bu mumkin. Kel urinib ko'ramiz: . Ikkinchi davr qavslarini oching:
. Kechirasiz, lekin oldingi bosqichda menda bor edi, yo'q. Nima qilish kerak? Ikkinchi shartni quyidagicha ko'paytirish kerak:

5) Yana tekshirish uchun men qavslarni ikkinchi muddatda ochaman:
. Endi bu normal: 3-bandning yakuniy qurilishidan olingan! Ammo yana kichik "lekin" qo'shimcha atama paydo bo'ldi, demak men o'z ifodamga qo'shishim kerak:

Agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, biz barcha qavslarni ochganimizda integrandning asl numeratorini olishimiz kerak. Biz tekshiramiz:
Kaput.

Shunday qilib:

Tayyor. Oxirgi muddatda funktsiyani differentsial ostida yig'ish usulidan foydalandim.

Agar javobning hosilasini topib, ifodani umumiy maxrajga keltirsak, u holda aynan asl integrasiya funksiyasini olamiz. Yig'indiga ajratishning ko'rib chiqilgan usuli ifodani umumiy maxrajga olib kelishning teskari harakatidan boshqa narsa emas.

Bunday misollarda hisoblagichni tanlash algoritmi eng yaxshi qoralama shaklida amalga oshiriladi. Ba'zi ko'nikmalar bilan u aqliy jihatdan ham ishlaydi. Men 11-chi kuch uchun tanlovni amalga oshirganimda rekord darajadagi ishni eslayman va numeratorning kengayishi Verdning deyarli ikki qatorini egalladi.

4-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirishni amalga oshiring.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Oddiy kasrlar uchun differentsial belgini yig'ish usuli

Keling, keyingi turdagi kasrlarni ko'rib chiqishga o'tamiz.
, , , (koeffitsientlar va nolga teng emas).

Darsda arksinus va arktangent bilan bir nechta holatlar allaqachon aytib o'tilgan Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli. Bunday misollar funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish va jadval yordamida keyingi integrallash orqali hal qilinadi. Bu erda uzoq va yuqori logarifmlarga ega bo'lgan odatiy misollar mavjud:

5-misol

6-misol

Bu erda integrallar jadvalini olib, qanday formulalar va qanday ekanligini ko'rish tavsiya etiladi Qanaqasiga transformatsiya sodir bo'ladi. Eslatma, qanday va nima uchun Ushbu misollardagi kvadratlar ta'kidlangan. Xususan, 6-misolda biz birinchi navbatda maxrajni shaklda ifodalashimiz kerak , keyin uni differensial belgi ostiga keltiring. Va bularning barchasi standart jadval formulasidan foydalanish uchun bajarilishi kerak .

Nima uchun qarang, 7, 8-misollarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, ayniqsa ular juda qisqa:

7-misol

8-misol

Noaniq integralni toping:

Agar siz ham ushbu misollarni tekshirishga muvaffaq bo'lsangiz, unda katta hurmat - sizning farqlash qobiliyatingiz juda yaxshi.

To'liq kvadrat tanlash usuli

Shaklning integrallari (koeffitsientlar va nolga teng emas) yechiladi to'liq kvadrat qazib olish usuli, bu allaqachon darsda paydo bo'lgan Grafiklarning geometrik o'zgarishlari.

Aslida, bunday integrallar biz ko'rib chiqqan to'rtta jadvalli integraldan biriga kamayadi. Va bunga tanish qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida erishiladi:

Formulalar aynan shu yo'nalishda qo'llaniladi, ya'ni usulning g'oyasi iboralarni yoki maxrajda sun'iy tartibga solish va keyin ularni mos ravishda har biriga aylantirishdir.

9-misol

Noaniq integralni toping

Bu eng oddiy misol, unda muddatli - birlik koeffitsienti bilan(va ba'zi bir raqam yoki minus emas).

Keling, denominatorga qaraylik, bu erda hamma narsa tasodifga bog'liq. Keling, denominatorni aylantirishni boshlaylik:

Shubhasiz, siz 4 qo'shishingiz kerak. Va ifoda o'zgarmasligi uchun bir xil to'rttasini ayiring:

Endi siz formulani qo'llashingiz mumkin:

Konvertatsiya tugagandan so'ng DOIM Teskari harakatni bajarish tavsiya etiladi: hamma narsa yaxshi, hech qanday xatolik yo'q.

Ko'rib chiqilayotgan misolning yakuniy dizayni quyidagicha ko'rinishi kerak:

Tayyor. Xulosa qilish "bepul" murakkab funktsiya differensial belgisi ostida: , asosan, e'tibordan chetda qolishi mumkin

10-misol

Noaniq integralni toping:

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol, javob dars oxirida

11-misol

Noaniq integralni toping:

Oldinda minus bo'lsa nima qilish kerak? Bunday holda, biz qavs ichidan minusni olib tashlashimiz va shartlarni bizga kerak bo'lgan tartibda joylashtirishimiz kerak: . Doimiy(bu holda ikkita) tegmang!

Endi biz qavs ichida birini qo'shamiz. Ifodani tahlil qilib, biz qavslar tashqarisida bittasini qo'shishimiz kerak degan xulosaga keldik:

Bu erda biz formulani olamiz, amal qiling:

DOIM Biz loyihani tekshiramiz:
, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Toza misol shunday ko'rinadi:

Vazifani murakkablashtirish

12-misol

Noaniq integralni toping:

Bu erda atama endi birlik koeffitsienti emas, balki "besh" dir.

(1) Agar doimiy qiymat bo'lsa, biz uni darhol qavsdan chiqaramiz.

(2) Umuman olganda, bu doimiy to'sqinlik qilmasligi uchun integraldan tashqariga ko'chirish har doim yaxshiroqdir.

(3) Shubhasiz, hamma narsa formulaga tushadi. Biz atamani tushunishimiz kerak, ya'ni "ikki" ni olishimiz kerak.

(4) Ha, . Bu shuni anglatadiki, biz ifodaga qo'shamiz va bir xil kasrni ayitamiz.

(5) Endi to'liq kvadratni tanlang. Umumiy holatda, biz ham hisoblashimiz kerak , lekin bu erda biz uzun logarifm uchun formulaga egamiz , va harakatni bajarishning ma'nosi yo'q; nima uchun quyida aniq bo'ladi.

(6) Aslida, biz formulani qo'llashimiz mumkin , faqat "X" o'rniga bizda mavjud bo'lib, bu jadval integralining haqiqiyligini inkor etmaydi. To'g'risini aytganda, bir qadam o'tkazib yuborildi - integratsiyadan oldin funktsiya differentsial belgi ostida qabul qilinishi kerak edi: , lekin, men bir necha bor ta'kidlaganimdek, bu ko'pincha e'tibordan chetda.

(7) Ildiz ostidagi javobda barcha qavslarni orqaga kengaytirish tavsiya etiladi:

Qiyinmi? Bu integral hisobning eng qiyin qismi emas. Garchi ko'rib chiqilayotgan misollar unchalik murakkab emas, chunki ular yaxshi hisoblash texnikasini talab qiladi.

13-misol

Noaniq integralni toping:

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Javob dars oxirida.

Maxrajda ildizlari bo'lgan integrallar mavjud bo'lib, ular almashtirish yordamida ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallarga keltiriladi; ular haqida maqolada o'qishingiz mumkin. Kompleks integrallar, lekin u juda tayyor talabalar uchun mo'ljallangan.

Numeratorni differentsial belgi ostida yig'ish

Bu darsning yakuniy qismi, ammo bu turdagi integrallar juda keng tarqalgan! Agar charchagan bo'lsangiz, ertaga o'qiganingiz yaxshiroqmi? ;)

Biz ko'rib chiqadigan integrallar oldingi paragrafning integrallariga o'xshaydi, ular quyidagi shaklga ega: yoki (koeffitsientlar , va nolga teng emas).

Ya'ni, bizda endi numeratorda chiziqli funktsiya mavjud. Bunday integrallarni qanday yechish mumkin?