Monotonlik va ekstremum nuqtalar uchun funktsiyani o'rganish. "Funktsiyani monotonlik uchun o'rganish" darsi

Ekstremal va qavariq.

Funksiya grafigining asimptotalari

Ta'rif.Kritik nuqta funktsiyalari da = f(X) hosila nolga teng bo‘lgan yoki mavjud bo‘lmagan nuqtadir.

Teorema. Agar (a; b) oraliqda hosila ijobiy/salbiy, keyin bu oraliqda funktsiya ortadi/kamayadi.

Teorema. Agar, kritik nuqtadan o'tib, hosila belgisini “+” dan “−” ga (“-” dan “+” ga) o‘zgartirsa, u holda − funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasi bo‘ladi.

Ta'rif. Funktsiya chaqirdi qavariq yuqoriga (pastga)(a; b) oraliqda, agar bu oraliqda grafik nuqtalari shu nuqtalarda tuzilgan tangenslar ostida (yuqorida) yotsa. Burilish nuqtasi- funksiya grafigidagi uni qavariqlik yo‘nalishlari turlicha bo‘lgan qismlarga ajratuvchi nuqta.

2.3-misol.

Funktsiyani o'rganish monotonlik va ekstremallik, qavariq uchun.

1. Funksiyani monotonlik va ekstremallik uchun tekshiramiz.

Keling, rasm chizamiz ( guruch. 2.1).

y'

x

−

−

+

y

nashr pastga

nashr yuqoriga

nashr pastga

Guruch. 2.2. Qavariqlik funksiyasini o‘rganish

Grafikning burilish nuqtalarining ordinatalarini hisoblaymiz:

Burilish nuqtalarining koordinatalari: (0; 0), (1; -1).

2.32. Funktsiyani monotonlik va ekstremallik uchun tekshiring:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping:

1) interval bo'yicha;

2) [−1 oraliqda; 1];

3) [−4 oraliqda; 4];

4) [−2 oraliqda; 1].

2.34. Ishlab chiqarish xarajatlari C (cu) mahsulot hajmiga bog'liq X(birliklar): Agar eng yuqori ishlab chiqarish xarajatlarini toping X intervalgacha o'zgaradi. Qiymat toping X, agar mahsulot birligini sotishdan tushgan daromad 15 c.u ga teng bo'lsa, foyda maksimal bo'ladi. e.

2.35. 512 m2 bo'lgan to'rtburchaklar shaklidagi er uchastkasini ajratish, uni to'sib qo'yish va uni to'siq bilan uchastkaning bir tomoniga parallel ravishda uchta teng qismga bo'lish talab etiladi. Fextavonie uchun eng kam miqdordagi material ishlatilishi uchun saytning o'lchami qanday bo'lishi kerak?

2.36. To'rtburchak oynaning perimetrini hisobga olib, uning o'lchamlarini toping, shunda u eng ko'p yorug'lik kiritadi.

2.37. Agar daromad R va xarajatlar C formulalar bilan aniqlansa, maksimal foydani toping: bu erda X− sotilgan tovarlar miqdori.

2.38. Ishlab chiqarish hajmining bog'liqligi V kapital xarajatlardan TO funktsiyasi bilan aniqlanadi
O'zgartirish oralig'ini toping TO, bu erda kapital xarajatlarni oshirish samarasiz.

2.39. Xarajatlar funksiyasi ko'rinishga ega bo'lib, mahsulot birligini sotishdan olingan daromad 200 ga teng. Ishlab chiqaruvchi uchun mahsulotning optimal qiymatini toping.

2.40. Mahsulot hajmining (pul birliklarida) kapital xarajatlarga bog'liqligi funktsiya bilan belgilanadi Kapital xarajatlarni oshirish samarasiz bo'lgan qiymatlar oralig'ini toping.

2.41. Reklama xarajatlaridan (million rubl) sotishning ko'payishi nisbati bilan belgilanadi, deb ishoniladi. Mahsulot birligini sotishdan olingan daromad 20 ming rublga teng. Kompaniya maksimal foyda oladigan reklama xarajatlari darajasini toping.

2.42. Resurs birliklaridan foydalangan holda mahsulot ishlab chiqarishdan olingan daromad teng Resurs birligining narxi 10 den. birliklar Eng katta foyda olish uchun qancha resurs sotib olish kerak?

2.43. Xarajat funksiyasi shaklga ega Mahsulot birligini sotishdan olingan daromad 50. Ishlab chiqaruvchi olishi mumkin bo'lgan maksimal foyda qiymatini toping.

2.44. Monopoliya daromadining mahsulot miqdoriga bog'liqligi quyidagicha aniqlanadi: Bu oraliqdagi xarajat funksiyasi ko'rinishga ega. Monopoliya uchun optimal ishlab chiqarish qiymatini toping.

2.45. Monopol ishlab chiqaruvchining mahsulot narxi sifatida belgilangan nisbatga muvofiq belgilanadi . Mahsulot ishlab chiqarishning qaysi qiymatida uni sotishdan tushgan daromad eng katta bo'ladi?

2.46. Xarajat funksiyasi quyidagi shaklga ega da da . Hozirgi vaqtda ishlab chiqarish darajasi Parametr bo'yicha qanday sharoitda p Agar mahsulot birligini sotishdan tushgan daromad 50 ga teng bo'lsa, kompaniya ishlab chiqarishni qisqartirish foydalimi?

10-sinfda algebra fanidan "Funksiyani monotonlik uchun tekshirish. Tadqiqot algoritmi" mavzusidagi dars va taqdimot.

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

1C dan 10-sinf uchun Integral onlayn-do'konidagi qo'llanmalar va simulyatorlar
Parametrlar bilan algebraik masalalar, 9-11 sinflar
"1C: Matematik konstruktor 6.1" dasturiy muhiti

Biz nimani o'rganamiz:
1. Kamaytiruvchi va ortib boruvchi funksiyalar.
2. Funktsiyaning hosilasi va monotonligi o'rtasidagi bog'liqlik.
3. Monotonlik haqidagi ikkita muhim teorema.
4. Misollar.

Bolalar, avval biz turli xil funktsiyalarni ko'rib chiqdik va ularni chizdik. Endi biz ko'rib chiqqan va ko'rib chiqishda davom etadigan barcha funktsiyalar uchun ishlaydigan yangi qoidalarni kiritaylik.

Kamaytirish va oshirish funktsiyalari

O'sish va kamayuvchi funktsiyalar tushunchasini ko'rib chiqaylik. Bolalar, funksiya nima?

Funksiya y= f(x) muvofiqligi bo‘lib, unda x ning har bir qiymati y ning bitta qiymati bilan bog‘lanadi.

Keling, ba'zi funktsiyaning grafigini ko'rib chiqaylik:

Bizning grafik ko'rsatadi: x qanchalik katta bo'lsa, y kichikroq. Shunday qilib, kamayuvchi funktsiyani aniqlaymiz. Argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya kamayuvchi deyiladi.

Agar x2 > x1 bo'lsa, f(x2) Endi bu funksiyaning grafigini ko'rib chiqamiz:
Bu grafik x qanchalik katta bo'lsa, y kattaligini ko'rsatadi. Shunday qilib, ortib borayotgan funktsiyani aniqlaymiz. Argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya ortib boruvchi deyiladi.
Agar x2 > x1 bo'lsa, f(x2 > f(x1) yoki: x katta bo'lsa, y katta bo'ladi.

Agar funktsiya ma'lum oraliqda ortib yoki kamaysa, u holda deyiladi bu intervalda monotonikdir.

Funktsiyaning hosilasi va monotonligi o'rtasidagi bog'liqlik

Bolalar, keling, funksiya grafiklarini o‘rganishda hosila tushunchasini qanday qo‘llash mumkinligi haqida o‘ylab ko‘raylik. Keling, ortib boruvchi differentsiallanuvchi funktsiyaning grafigini chizamiz va grafigimizga bir nechta tangenslarni chizamiz.

Agar siz tangenslarimizga qarasangiz yoki boshqa tangensni vizual ravishda chizsangiz, x o'qining tangensi va musbat yo'nalishi o'rtasidagi burchak o'tkir bo'lishini sezasiz. Bu tangens musbat qiyalikka ega ekanligini bildiradi. Tangens qiyalik qiymatiga teng teginish nuqtasi abscissasida hosila. Shunday qilib, hosilaning qiymati bizning grafikimizning barcha nuqtalarida ijobiydir. Ortib boruvchi funksiya uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: f"(x) ≥ 0, har qanday x nuqta uchun.

Bolalar, endi qandaydir kamayuvchi funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz va funksiya grafigiga teginishlar yasaymiz.

Keling, tangenslarni ko'rib chiqamiz va boshqa har qanday tangensni vizual ravishda chizamiz. Biz tangens va x o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak o'tmas ekanligini ko'ramiz, ya'ni tangens manfiy nishabga ega. Shunday qilib, hosilaning qiymati bizning grafikimizning barcha nuqtalarida manfiydir. Kamayuvchi funksiya uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: f"(x) ≤ 0, istalgan x nuqta uchun.

Demak, funktsiyaning monotonligi hosila belgisiga bog'liq:

Agar funktsiya oraliqda ortib borsa va shu oraliqda hosilasi bo'lsa, bu hosila manfiy bo'lmaydi.

Agar funktsiya oraliqda kamaysa va bu oraliqda hosilasi bo'lsa, bu hosila ijobiy bo'lmaydi.

Muhim, shuning uchun biz funktsiyani ko'rib chiqadigan intervallar ochiq!

Monotonlik haqidagi ikkita muhim teorema

Teorema 1. Agar f'(x) ≥ 0 tengsizlik X ochiq oraliqning barcha nuqtalarida bajarilsa (va hosilaning nolga tengligi yo bajarilmaydi yoki bajariladi, faqat cheklangan nuqtalar to'plamida), u holda y= f(x) funksiya X oraliqda ortadi.

Teorema 2. Agar f'(x) ≤ 0 tengsizlik X ochiq oraliqning barcha nuqtalarida o‘rinli bo‘lsa (va hosilaning nolga tengligi yo o‘rinli bo‘lmasa yoki bajariladi, faqat cheklangan nuqtalar to‘plamida), u holda y= f(x) funksiya X oraliqda kamayadi.

Teorema 3. Agar ochiq intervalning barcha nuqtalarida X tenglik
f’(x)= 0, u holda y= f(x) funksiya bu oraliqda doimiy bo’ladi.

Monotonlik uchun funktsiyani o'rganishga misollar

1) y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 funksiya butun son qatorida ortib borayotganligini isbotlang.

Yechish: Funktsiyamizning hosilasini topamiz: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. X da daraja juft bo'lgani uchun daraja funksiyasi faqat musbat qiymatlarni oladi. U holda har qanday x uchun y" > 0 bo'ladi, ya'ni teorema bo'yicha. 1, bizning funktsiyamiz butun son chizig'i bo'ylab ortadi.

2) Funksiyaning kamayishini isbotlang: y= sin(2x) - 3x.

Funktsiyamizning hosilasi topilsin: y"= 2cos(2x) - 3.
Tengsizlikni yeching:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Chunki -1 ≤ cos(x) ≤ 1, ya’ni bizning tengsizligimiz istalgan x uchun qanoatlansa, 2-teoremaga ko‘ra y= sin(2x) - 3x funksiya kamayadi.

3) Funksiyaning monotonligini tekshiring: y= x 2 + 3x - 1.

Yechish: Funktsiyamizning hosilasini topamiz: y"= 2x + 3.
Tengsizlikni yeching:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Keyin funksiyamiz x ≥ -3/2 uchun ortadi va x ≤ -3/2 uchun kamayadi.
Javob: x ≥ -3/2 uchun funksiya ortadi, x ≤ -3/2 uchun funksiya kamayadi.

4) Funksiyaning monotonligini tekshiring: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Yechish: Funktsiyamizning hosilasini topamiz: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Tengsizlikni yechamiz: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Bizning tengsizligimiz noldan katta yoki teng:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Tengsizlikni yeching:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Lekin bu mumkin emas, chunki Kvadrat ildiz faqat ijobiy ifodalar uchun aniqlanadi, ya'ni bizning funksiyamizda kamayuvchi intervallar yo'q.
Javob: x ≥ 1/3 uchun funksiya ortadi.

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

a) y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 funksiya butun son chizig‘i bo‘ylab ortib borayotganligini isbotlang.
b) Funksiyaning kamayishini isbotlang: y= cos(5x) - 7x.
v) funksiyaning monotonligini tekshiring: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Funksiyaning monotonligini tekshiring: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Biz ilk bor 7-sinf algebra kursida tanishganmiz. Funksiya grafigiga qarab, biz tegishli ma'lumotlarni olib tashladik: agar grafik bo'ylab chapdan o'ngga harakat qilsak, biz bir vaqtning o'zida pastdan yuqoriga harakat qilsak (go'yo tepalikka chiqayotgandek), u holda biz funktsiyani e'lon qilamiz ortib bormoqda (124-rasm); agar yuqoridan pastga harakat qilsak (tepalikdan pastga tushsak), u holda biz funktsiyani kamayib borayotgan deb e'lon qildik (125-rasm).

Biroq, matematiklar funktsiyaning xususiyatlarini o'rganishning bu usulini unchalik yoqtirmaydilar. Ular tushunchalarning ta'riflari chizmaga asoslanmasligi kerak, deb hisoblashadi - chizma faqat funktsiyaning u yoki bu xususiyatini tasvirlashi kerak. grafika. Keling, o'suvchi va kamayuvchi funktsiyalar tushunchalariga qat'iy ta'riflar beraylik.

Ta'rif 1. y = f(x) funksiya X oraliqda ortib borayotgan deyiladi, agar x 1 tengsizlikdan< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Ta'rif 2. y = f(x) funksiya X oraliqda kamayuvchi deyiladi, agar tengsizlik x 1 bo'lsa.< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует tengsizlik f(x 1) > f(x 2).

Amalda, quyidagi formulalardan foydalanish qulayroqdir:

argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya ortadi;
Agar argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya kamayadi.

Ushbu ta'riflar va § 33da o'rnatilgan raqamli tengsizliklarning xususiyatlaridan foydalanib, biz ilgari o'rganilgan funktsiyalarning ko'payishi yoki kamayishi haqidagi xulosalarni asoslashimiz mumkin.

1. Chiziqli funksiya y = kx +m

Agar k > 0 bo'lsa, u holda funksiya butun davomida ortadi (126-rasm); agar k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Isbot. f(x) = kx +m bo‘lsin. Agar x 1< х 2 и k >Oh, u holda 3 ta raqamli tengsizlikning xususiyatiga ko'ra (33-§ ga qarang), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. chiziqli y = kx+ m funksiyalar.

Agar x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 va 2 xossaga ko'ra, kx 1 > kx 2 dan kx 1 + m> kx 2 + ya'ni kelib chiqadi.

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Bu y = f(x), ya'ni y = kx + m chiziqli funktsiyaning kamayishi degan ma'noni anglatadi.

Agar funktsiya o'zining butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib ketsa (kamaysa), u holda intervalni ko'rsatmasdan uni ko'taruvchi (kamayuvchi) deb atash mumkin. Masalan, y = 2x - 3 funktsiyasi haqida biz butun son chizig'i bo'ylab ortib bormoqda deyishimiz mumkin, lekin uni qisqacha aytishimiz mumkin: y = 2x - 3 - ortib boruvchi.
funktsiyasi.

2. y = x2 funksiya

1. Nurdagi y = x 2 funksiyani ko'rib chiqaylik. Keling, x 1 bo'lgan ikkita musbat bo'lmagan x 1 va x 2 sonlarni olaylik< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. - x 1 va - x 2 raqamlari manfiy bo'lmaganligi sababli, oxirgi tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz bir xil ma'noli (-x 1) 2 > (-x 2) 2 tengsizlikni olamiz, ya'ni. Bu f(x 1) > f(x 2) ekanligini bildiradi.

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Demak, y = x 2 funksiya nurda kamayadi (- 00, 0] (128-rasm).

1. (0, + 00) oraliqdagi funksiyani ko'rib chiqaylik.
x1 bo'lsin< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Bu funksiya ochiq nurda (0, + 00) kamayishini bildiradi (129-rasm).

2. (-oo, 0) oraliqdagi funksiyani ko'rib chiqaylik. X 1 bo'lsin< х 2 , х 1 и х 2 - manfiy raqamlar. Keyin - x 1 > - x 2 va oxirgi tengsizlikning ikkala tomoni ham musbat sonlar va shuning uchun (biz yana 33-§ dan 1-misolda isbotlangan tengsizlikdan foydalandik). Keyingi, biz qaerdan olish.

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2) ya'ni. funksiya ochiq nurda kamayadi (- 00 , 0)

Odatda "ortib boruvchi funktsiya" va "kamayuvchi funktsiya" atamalari monotonik funktsiyaning umumiy nomi ostida birlashtiriladi va o'sish va kamayish funktsiyasini o'rganish monotonlik uchun funktsiyani o'rganish deb ataladi.

Yechim.

1) y = 2x2 funksiya grafigini tuzamiz va bu parabolaning x nuqtadagi shoxini olamiz.< 0 (рис. 130).

2) uning qismini segmentda tuzing va tanlang (131-rasm).

3) Giperbolani tuzamiz va uning ochiq nurda (4, + 00) qismini tanlaymiz (132-rasm).
4) Keling, bitta koordinata tizimidagi uchta "bo'lak" ni tasvirlaymiz - bu y = f(x) funksiyaning grafigi (133-rasm).

y = f(x) funksiyaning grafigini o‘qib chiqamiz.

1. Funksiyaning aniqlanish sohasi butun son qatoridir.

2. x = 0 da y = 0; x > 0 uchun y > 0.

3. Funktsiya nurda kamayadi (-oo, 0], segmentda ortadi, nurda kamayadi, segmentda yuqoriga qavariq, nurda pastga qavariq)