Paritet funksiyasiga misollar bilan tanishing. Juft va toq funksiyalar. Davriy funktsiyalar. Juft funksiya grafigi

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Maqsadlar:

funktsiyaning pariteti va toqligi haqidagi tushunchani shakllantirish, bu xossalarni qachon aniqlash va undan foydalanish malakasini o‘rgatish funktsional tadqiqotlar, chizma tuzish;
talabalarning ijodiy faolligini rivojlantirish; mantiqiy fikrlash, solishtirish, umumlashtirish qobiliyati;
mehnatsevarlik va matematik madaniyatni tarbiyalash; muloqot qobiliyatlarini rivojlantirish .

Uskunalar: multimedia o'rnatish, interaktiv doska, Tarqatma.

Ish shakllari: qidiruv va tadqiqot faoliyati elementlari bilan frontal va guruh.

Axborot manbalari:

1. Algebra 9-sinf A.G.Mordkovich. Darslik.
2. Algebra 9-sinf A.G.Mordkovich. Muammoli kitob.
3. Algebra 9-sinf. Talabalarni o'rganish va rivojlantirish bo'yicha vazifalar. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

Dars uchun maqsad va vazifalarni belgilash.

2. Uy vazifasini tekshirish

10.17-son (9-sinf muammoli kitob. A.G. Mordkovich).

A) da = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 da X ~ 0,4
4. f(X) >0 da X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsiya bilan ortadi X € [– 2; + ∞)
6. Funktsiya pastdan cheklangan.
7. da naim = – 3, da naib mavjud emas
8. Funksiya uzluksiz.

(Funktsiyani o'rganish algoritmidan foydalanganmisiz?) Slayd.

2. Slayddan so'ralgan jadvalni tekshiramiz.

Jadvalni to'ldiring
	Domen	Funktsiya nollari	Belgilarning doimiyligi intervallari		Grafikning Oy bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari
	Domen	Funktsiya nollari			Grafikning Oy bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilimlarni yangilash

- Funktsiyalar berilgan.
– Har bir funksiya uchun taʼrif doirasini belgilang.
– Har bir argument qiymatlari juftligi uchun har bir funktsiya qiymatini solishtiring: 1 va – 1; 2 va - 2.
– Ta’rif sohasida ushbu funksiyalarning qaysi biri uchun tenglik mavjud f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (olingan ma'lumotlarni jadvalga kiriting) Slayd

		f(1) va f(– 1)	f(2) va f(– 2)	grafiklar	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		va aniqlanmagan

4. Yangi material

– Bolalar, bu ishni bajarayotib, biz funksiyaning siz uchun notanish bo‘lgan, ammo boshqalardan kam bo‘lmagan boshqa xususiyatini aniqladik – bu funktsiyaning tengligi va to‘qligidir. Dars mavzusini yozing: "Juft va toq funktsiyalar", bizning vazifamiz funktsiyaning juft va toqligini aniqlashni o'rganish, bu xususiyatning funktsiyalarni o'rganish va grafiklarini tuzishdagi ahamiyatini aniqlashdir.
Demak, darslikdagi ta’riflarni topib, o‘qib chiqamiz (110-bet). . Slayd

Def. 1 Funktsiya da = f (X), X to'plamda aniqlangan deyiladi hatto, har qanday qiymat uchun XÊ X bajariladi f(–x)= f(x) tengligi. Misollar keltiring.

Def. 2 Funktsiya y = f(x), X to'plamda aniqlangan deb ataladi g'alati, har qanday qiymat uchun XÊ X f(–x)= –f(x) tengligi bajariladi. Misollar keltiring.

Biz "juft" va "toq" atamalarini qayerda uchratdik?
Sizningcha, bu funksiyalarning qaysi biri teng bo'ladi? Nega? Qaysi biri g'alati? Nega?
Shaklning har qanday funktsiyasi uchun da= x n, Qayerda n– butun son, bu funksiya qachon toq ekanligi haqida bahslashish mumkin n– toq va funksiya qachon juft bo‘ladi n- hatto.
- Funktsiyalarni ko'rish da= va da = 2X– 3 juft ham, toq ham emas, chunki tengliklari qondirilmaydi f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Funksiyaning juft yoki toq ekanligini oʻrganish funksiya paritetini oʻrganish deyiladi. Slayd

1 va 2 ta'riflarda biz x va - x da funksiya qiymatlari haqida gapirgan edik, shuning uchun funktsiya qiymatda ham aniqlangan deb taxmin qilinadi. X, va da - X.

Def 3. Agar sonli to‘plam o‘zining har bir elementi x bilan birga qarama-qarshi element –xni ham o‘z ichiga olsa, u holda to‘plam X simmetrik to'plam deb ataladi.

Misollar:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simmetrik toʻplamlar, , [–5;4] esa assimetrik toʻplamlardir.

– Hatto funksiyalar ham nosimmetrik to‘plam bo‘lgan ta’rif sohasiga egami? G'alatilarmi?
– Agar D( f) assimetrik to‘plam bo‘lsa, u holda funksiya nima?
– Shunday qilib, agar funktsiya da = f(X) – juft yoki toq, u holda uning aniqlanish sohasi D( f) simmetrik to‘plamdir. Qarama-qarshi gap to'g'rimi: agar funktsiyaning aniqlanish sohasi simmetrik to'plam bo'lsa, u juft yoki toqmi?
- Bu shuni anglatadiki, ta'rif sohasining nosimmetrik to'plamining mavjudligi zaruriy shart, ammo etarli emas.
– Xo‘sh, funksiyani paritet uchun qanday tekshirasiz? Keling, algoritm yaratishga harakat qilaylik.

Slayd

Paritet uchun funktsiyani o'rganish algoritmi

1. Funksiyaning aniqlanish sohasi simmetrik ekanligini aniqlang. Agar yo'q bo'lsa, u holda funktsiya juft ham, toq ham emas. Ha bo'lsa, algoritmning 2-bosqichiga o'ting.

2. uchun ifoda yozing f(–X).

3. Taqqoslash f(–X).Va f(X):

Agar f(–X).= f(X), u holda funksiya juft bo'ladi;
Agar f(–X).= – f(X), u holda funksiya toq bo'ladi;
Agar f(–X) ≠ f(X) Va f(–X) ≠ –f(X), u holda funksiya juft ham, toq ham emas.

Misollar:

a) funksiyani paritet uchun tekshiring da= x 5 +; b) da= ; V) da= .

Yechim.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik toʻplam.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funksiya h(x) = x 5 + toq.

b) y =,

da = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), assimetrik to'plam, ya'ni funktsiya juft ham, toq ham emas.

V) f(X) =, y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Variant 2

1. Berilgan to‘plam simmetrikmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Funksiyani paritet uchun tekshiring:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Rasmda. grafik tuzilgan da = f(X), Barcha uchun X, shartni qondirish X? 0.
Funktsiyaning grafigini chizing da = f(X), Agar da = f(X) juft funksiyadir.

3. Rasmda. grafik tuzilgan da = f(X), x shartni qanoatlantiradigan barcha x uchun? 0.
Funktsiyaning grafigini chizing da = f(X), Agar da = f(X) g‘alati funksiyadir.

Slaydda o'zaro baholash.

6. Uyga vazifa: 11.11, 11.21, 11.22;

Paritet xossasining geometrik ma’nosini isbotlash.

***(Yagona davlat imtihonini topshirish varianti).

1. y = f(x) toq funksiya butun sonlar qatorida aniqlangan. x o'zgaruvchining har qanday manfiy bo'lmagan qiymati uchun bu funktsiyaning qiymati g() funktsiyasining qiymatiga to'g'ri keladi. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyaning qiymatini toping. X) = da X = 3.

7. Xulosa qilish

Funksiya eng muhim matematik tushunchalardan biridir. Funktsiya y o'zgaruvchining x o'zgaruvchiga bog'liqligi, agar x ning har bir qiymati y ning bitta qiymatiga to'g'ri kelsa. X o'zgaruvchisi mustaqil o'zgaruvchi yoki argument deb ataladi. y o'zgaruvchiga bog'liq o'zgaruvchi deyiladi. Mustaqil o'zgaruvchining barcha qiymatlari (x o'zgaruvchisi) funktsiyani aniqlash sohasini tashkil qiladi. Bog'liq o'zgaruvchi (y o'zgaruvchisi) oladigan barcha qiymatlar funktsiya diapazonini tashkil qiladi.

Funksiya grafigi - bu koordinata tekisligining barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ularning abscissalari argument qiymatlariga, ordinatalari esa funktsiyaning tegishli qiymatlariga teng, ya'ni. x o'zgaruvchining qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab, y o'zgaruvchining qiymatlari esa ordinat o'qi bo'ylab chizilgan. Funksiyaning grafigini tuzish uchun funksiya xossalarini bilish kerak. Funktsiyaning asosiy xususiyatlari quyida muhokama qilinadi!

Funksiya grafigini yaratish uchun biz dasturimizdan foydalanishni tavsiya qilamiz - Graphing functions online. Agar sizda ushbu sahifadagi materialni o'rganishda savollaringiz bo'lsa, ularni har doim bizning forumimizda so'rashingiz mumkin. Shuningdek, forumda ular sizga matematika, kimyo, geometriya, ehtimollar nazariyasi va boshqa ko'plab fanlardan muammolarni hal qilishda yordam beradi!

Funksiyalarning asosiy xossalari.

1) Funktsiyani aniqlash sohasi va funksiya qiymatlari diapazoni.

Funktsiya sohasi x argumentining (x o'zgaruvchisi) barcha haqiqiy haqiqiy qiymatlari to'plami bo'lib, u uchun y = f (x) funktsiyasi aniqlanadi.
Funktsiya diapazoni - bu funktsiya qabul qiladigan barcha haqiqiy y qiymatlari to'plami.

Boshlang'ich matematikada funksiyalar faqat haqiqiy sonlar to'plamida o'rganiladi.

2) funksiyaning nollari.

y=0 bo'lgan x qiymatlari chaqiriladi funktsiya nollari. Bular funktsiya grafigining Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarining abstsissalari.

3) Funksiyaning doimiy ishorali intervallari.

Funktsiyaning doimiy belgisi intervallari - y funksiyaning qiymatlari faqat ijobiy yoki faqat manfiy bo'lgan x qiymatlari oraliqlari deyiladi. funksiyaning doimiy ishorali intervallari.

4) Funksiyaning monotonligi.

Ortib boruvchi funktsiya (ma'lum bir oraliqda) bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga mos keladigan funktsiyadir.

Kamayuvchi funktsiya (ma'lum oraliqda) bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kichikroq qiymatiga mos keladigan funktsiyadir.

5) Funksiyaning juftligi (to‘qligi).

Juft funksiya deganda aniqlanish sohasi boshiga va har qanday x f(-x) = f(x) uchun simmetrik bo lgan funksiya tushuniladi. Jadval hatto funktsiya ordinata o'qiga nisbatan simmetrik.

Toq funksiya deganda aniqlanish sohasi koordinata boshiga nisbatan simmetrik va aniqlanish sohasidagi istalgan x uchun f(-x) = - f(x) tenglik togri bolgan funksiya tushuniladi. Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.

Hatto funktsiya
1) Ta'rif sohasi (0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrik, ya'ni a nuqta aniqlanish sohasiga tegishli bo'lsa, -a nuqta ham aniqlanish sohasiga tegishli.
2) har qanday qiymat uchun x f(-x)=f(x)
3) Juft funksiya grafigi Oy o'qiga nisbatan simmetrikdir.

G'alati funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega:
1) Ta'rif sohasi (0; 0) nuqtaga nisbatan simmetrikdir.
2) taʼrif sohasiga tegishli boʻlgan har qanday x qiymati uchun f(-x)=-f(x) tenglik bajariladi.
3) Toq funksiya grafigi koordinata boshiga (0; 0) nisbatan simmetrikdir.

Har bir funktsiya juft yoki toq emas. Funksiyalar umumiy ko'rinish juft ham, toq ham emas.

6) Cheklangan va cheklanmagan funksiyalar.

Agar shunday bo'lsa, funksiya chegaralangan deb ataladi ijobiy raqam M shundayki |f(x)| x ning barcha qiymatlari uchun ≤ M. Agar bunday raqam mavjud bo'lmasa, u holda funktsiya cheksizdir.

7) Funksiyaning davriyligi.

f(x) funksiya davriy bo'lib, agar nolga teng bo'lmagan T soni mavjud bo'lsa, unda funktsiyaning aniqlanish sohasidagi istalgan x uchun quyidagi amal bajariladi: f(x+T) = f(x). Bu eng kichik raqam funktsiya davri deb ataladi. Hammasi trigonometrik funktsiyalar davriydir. (Trigonometrik formulalar).

Agar ta'rif sohasidagi istalgan x uchun f(x)=f(x-T)=f(x+T) tenglik bajariladigan son mavjud bo'lsa, f funksiya davriy deyiladi. T - funksiyaning davri.

Har bir davriy funktsiya cheksiz sonli davrlarga ega. Amalda, odatda, eng kichik ijobiy davr hisoblanadi.

Davriy funktsiyaning qiymatlari davrga teng oraliqdan keyin takrorlanadi. Bu grafiklarni qurishda ishlatiladi.

2020-yil iyul oyida NASA Marsga ekspeditsiyani boshlaydi. Kosmik kema Marsga barcha ro'yxatdan o'tgan ekspeditsiya ishtirokchilarining ismlari ko'rsatilgan elektron vositani yetkazib beradi.

Agar ushbu post muammoingizni hal qilgan bo'lsa yoki sizga shunchaki yoqqan bo'lsa, unga havolani ijtimoiy tarmoqlardagi do'stlaringiz bilan baham ko'ring.

Ushbu kod opsiyalaridan birini nusxalash va veb-sahifangizning kodiga, yaxshisi teglar orasiga yoki tegdan keyin darhol joylashtirish kerak. Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytning boshqaruv paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, yuqorida keltirilgan yuklab olish kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini unga nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Ana xolos. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML ning belgilash sintaksisini bilib oling va siz joylashtirishga tayyormiz. matematik formulalar saytingizning veb-sahifalariga.

Yana bir yangi yil kechasi... sovuq ob-havo va deraza oynasidagi qor parchalari... Bularning barchasi meni yana... fraktallar va Volfram Alfa bu haqda nima bilishi haqida yozishga undadi. Ushbu mavzu bo'yicha qiziqarli maqola mavjud bo'lib, unda ikki o'lchovli fraktal tuzilmalarning misollari mavjud. Bu erda biz ko'proq narsani ko'rib chiqamiz murakkab misollar uch o'lchovli fraktallar.

Fraktal vizual ravishda geometrik shakl yoki tana sifatida tasvirlanishi (ta'riflanishi) mumkin (ya'ni ikkalasi ham to'plamdir, Ushbu holatda, nuqtalar to'plami), tafsilotlari asl rasmning o'zi bilan bir xil shaklga ega. Ya'ni, bu o'ziga o'xshash tuzilma bo'lib, uning tafsilotlarini o'rganib chiqsak, kattalashganda biz kattalashtirilmagan shaklni ko'ramiz. Oddiy holatda bo'lsa geometrik shakl(fraktal emas), kattalashganda biz asl shaklning o'zidan oddiyroq shaklga ega bo'lgan tafsilotlarni ko'ramiz. Misol uchun, etarlicha yuqori kattalashtirishda ellipsning bir qismi to'g'ri chiziq segmentiga o'xshaydi. Fraktallar bilan bu sodir bo'lmaydi: ularning har qanday ko'payishi bilan biz yana xuddi shunday ko'ramiz murakkab shakl, bu har bir o'sish bilan qayta-qayta takrorlanadi.

Fraktallar fanining asoschisi Benua Mandelbrot o‘zining “Fraktallar va fan nomidagi san’at” maqolasida shunday yozgan edi: “Fraktallar umumiy shaklidagidek detallari bilan ham murakkab geometrik shakllardir.Ya’ni fraktalning bir qismi bo‘lsa. butunning o'lchamiga qadar kattalashadi, u to'liq yoki ehtimol bir oz deformatsiya bilan yaxlit ko'rinadi."

- (matematik.) y = f (x) funktsiya mustaqil o'zgaruvchi faqat ishorani o'zgartirganda o'zgarmasa ham chaqiriladi, ya'ni f (x) = f (x). Agar f (x) = f (x), f (x) funksiya toq deyiladi. Masalan, y = cosx, y = x2... ...

F(x) = x toq funksiyaga misoldir. f(x) = x2 juft funksiyaga misoldir. f(x) = x3 ... Vikipediya

f (x) = f (x) tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya. Qarang Juft va toq funksiyalar... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

F(x) = x toq funksiyaga misoldir. f(x) = x2 juft funksiyaga misoldir. f(x) = x3 ... Vikipediya

1868 yilda frantsuz matematigi E. Matye tomonidan elliptik membrananing tebranishiga oid masalalarni yechishda kiritilgan maxsus funksiyalar. M. f. elliptik silindrda elektromagnit to'lqinlarning tarqalishini o'rganishda ham qo'llaniladi ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

"Gunoh" so'rovi bu erda qayta yo'naltiriladi; boshqa maʼnolarga ham qarang. "Sec" so'rovi bu erda qayta yo'naltiriladi; boshqa maʼnolarga ham qarang. "Sine" so'rovi bu erda qayta yo'naltiriladi; boshqa maʼnolarga ham qarang... Vikipediya

Funktsiya har qanday va tenglik uchun juft (toq) deb ataladi

Juft funksiya grafigi o‘qga nisbatan simmetrikdir
.

Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.

6.2-misol. Funktsiyaning juft yoki toq ekanligini tekshiring

1)
; 2)
; 3)
.

Yechim.

1) Funktsiya qachon aniqlanadi
. Biz topamiz
.

Bular.
. Bu shuni anglatadiki, bu funktsiya tengdir.

2) Funktsiya qachon aniqlanadi

Bular.
. Shunday qilib, bu funktsiya g'alati.

3) funksiya uchun aniqlangan, ya'ni. Uchun

,
. Shuning uchun funksiya juft ham, toq ham emas. Uni umumiy shakl funksiyasi deb ataymiz.

3. Monotonlik uchun funksiyani o'rganish.

Funktsiya
Agar bu oraliqda argumentning har bir katta qiymati funktsiyaning kattaroq (kichik) qiymatiga to'g'ri kelsa, ma'lum bir oraliqda ortib borish (kamayish) deb ataladi.

Muayyan oraliqda ortib boruvchi (kamayuvchi) funksiyalar monotonik deyiladi.

Agar funktsiya
oraliqda differensiallanadi
va ijobiy (salbiy) hosilaga ega
, keyin funksiya
bu oraliqda ortadi (kamayadi).

6.3-misol. Funksiyalarning monotonlik intervallarini toping

1)
; 3)
.

Yechim.

1) Bu funksiya butun son qatorida aniqlanadi. Keling, hosilani topamiz.

Agar hosilasi nolga teng
Va
. Ta'rif sohasi nuqtalar bilan bo'lingan raqamlar o'qidir
,
intervallarda. Har bir intervaldagi hosila belgisini aniqlaymiz.

Intervalda
hosila manfiy, funksiya shu intervalda kamayadi.

Intervalda
hosila ijobiy, shuning uchun funktsiya bu oraliqda ortadi.

2) Bu funksiya agar aniqlanadi
yoki

Har bir oraliqda kvadratik uchlik belgisini aniqlaymiz.

Shunday qilib, funksiyani aniqlash sohasi

Keling, hosilani topamiz
,
, Agar
, ya'ni.
, Lekin
. Intervallardagi hosila belgisini aniqlaymiz
.

Intervalda
hosila manfiy, shuning uchun funksiya intervalda kamayadi
. Intervalda
hosilasi musbat, funksiya intervalda ortadi
.

4. Ekstremumdagi funktsiyani o'rganish.

Nuqta
funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasi deb ataladi
, agar nuqtaning bunday mahallasi mavjud bo'lsa bu hamma uchun
bu mahalladan tengsizlik mavjud

.

Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari ekstremum nuqtalar deyiladi.

Agar funktsiya
nuqtada ekstremumga ega bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas (ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart).

Hosil nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik deyiladi.

5. Ekstremumning mavjudligi uchun etarli shartlar.

1-qoida. Agar o'tish paytida (chapdan o'ngga) tanqidiy nuqta orqali hosila
belgisini "+" dan "-" ga, so'ngra nuqtaga o'zgartiradi funktsiyasi
maksimal darajaga ega; agar "-" dan "+" gacha bo'lsa, minimal; Agar
belgisini o'zgartirmaydi, keyin ekstremum yo'q.

2-qoida. Nuqtaga ruxsat bering
funktsiyaning birinchi hosilasi
nolga teng
, va ikkinchi hosila mavjud va noldan farq qiladi. Agar
, Bu – maksimal nuqta, agar
, Bu – funksiyaning minimal nuqtasi.

6.4-misol. Maksimal va minimal funktsiyalarni o'rganing:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Yechim.

1) Funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz
.

Keling, hosilani topamiz
va tenglamani yeching
, ya'ni.
.Bu yerdan
- tanqidiy nuqtalar.

oraliqlarda hosila belgisini aniqlaymiz,
.

Nuqtalardan o'tayotganda
Va
lotin belgisi "-" dan "+" ga o'zgaradi, shuning uchun 1-qoidaga muvofiq
- minimal ball.

Bir nuqtadan o'tayotganda
lotin belgisi "+" dan "-" ga o'zgaradi, shuning uchun
- maksimal nuqta.

,
.

2) funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz
. Keling, hosilani topamiz
.

Tenglamani yechgandan keyin
, topamiz
Va
- tanqidiy nuqtalar. Agar maxraj bo'lsa
, ya'ni.
, keyin hosila mavjud emas. Shunday qilib,
- uchinchi muhim nuqta. Hosilaning ishorasini intervallarda aniqlaylik.

Demak, funksiya nuqtada minimumga ega
, maksimal ball
Va
.

3) Funktsiya aniqlangan va uzluksiz bo'lsa
, ya'ni. da
.

Keling, hosilani topamiz

Kritik nuqtalarni topamiz:

Nuqtalarning qo'shnilari
ta'rif sohasiga tegishli emas, shuning uchun ular ekstremal emas. Shunday qilib, keling, tanqidiy fikrlarni ko'rib chiqaylik
Va
.