Raqamning kvadrat ildizini qo'lda qanday topish mumkin. Kvadrat ildiz nima? Yuzning kvadrat ildizi nima?

Matematika va fizika kursidan turli masalalarni yechishda o'quvchilar va talabalar ko'pincha ikkinchi, uchinchi yoki n-darajali ildizlarni olish zarurati bilan duch kelishadi. Albatta, asrda axborot texnologiyalari Kalkulyator yordamida bu muammoni hal qilish qiyin bo'lmaydi. Biroq, elektron yordamchidan foydalanishning iloji bo'lmagan holatlar yuzaga keladi.

Misol uchun, ko'plab imtihonlar sizga elektronikani olib kelishingizga ruxsat bermaydi. Bundan tashqari, qo'lingizda kalkulyator bo'lmasligi mumkin. Bunday hollarda, hech bo'lmaganda, radikallarni qo'lda hisoblashning ba'zi usullarini bilish foydalidir.

Kvadratlar jadvali yordamida kvadrat ildizlarni topish

Ildizlarni hisoblashning eng oddiy usullaridan biri maxsus jadval yordamida. Bu nima va uni qanday qilib to'g'ri ishlatish kerak?

Jadvaldan foydalanib, siz 10 dan 99 gacha bo'lgan istalgan raqamning kvadratini topishingiz mumkin. Jadvalning qatorlarida o'nlab qiymatlar, ustunlar esa birlik qiymatlarini o'z ichiga oladi. Qator va ustunning kesishmasidagi katakda ikki xonali sonning kvadrati mavjud. 63 ning kvadratini hisoblash uchun siz 6 qiymatiga ega bo'lgan qatorni va 3 qiymatiga ega ustunni topishingiz kerak. Kesishmada biz 3969 raqamiga ega katakni topamiz.

Ildizni olish kvadratga solishning teskari operatsiyasi bo'lganligi sababli, bu amalni bajarish uchun siz teskarisini qilishingiz kerak: birinchi navbatda radikalini hisoblamoqchi bo'lgan raqamga ega bo'lgan katakchani toping, so'ngra javobni aniqlash uchun ustun va qator qiymatlaridan foydalaning. . Misol sifatida, hisob-kitobni ko'rib chiqing kvadrat ildiz 169.

Jadvalda bu raqamga ega katakni topamiz, gorizontal ravishda biz o'nlablarni aniqlaymiz - 1, vertikal ravishda biz birliklarni topamiz - 3. Javob: √169 = 13.

Xuddi shunday, tegishli jadvallar yordamida kub va n-chi ildizlarni hisoblashingiz mumkin.

Usulning afzalligi uning soddaligi va qo'shimcha hisob-kitoblarning yo'qligi. Kamchiliklari aniq: usul faqat cheklangan sonlar diapazoni uchun ishlatilishi mumkin (ildiz topilgan raqam 100 dan 9801 gacha bo'lishi kerak). Bundan tashqari, agar berilgan raqam jadvalda bo'lmasa, u ishlamaydi.

Asosiy faktorizatsiya

Agar kvadratchalar jadvali qo'lda bo'lmasa yoki uning yordami bilan ildizni topishning iloji bo'lmasa, siz sinab ko'rishingiz mumkin. ildiz ostidagi sonni tub ko‘rsatkichlarga ko‘paytiring. Bosh omillar - bu to'liq (qoldiqsiz) faqat o'ziga yoki bittaga bo'linishi mumkin bo'lgan omillar. Misollar 2, 3, 5, 7, 11, 13 va boshqalar bo'lishi mumkin.

Misol sifatida √576 yordamida ildizni hisoblashni ko'rib chiqamiz. Keling, uni asosiy omillarga ajratamiz. Quyidagi natijani olamiz: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². √a² = a ildizlarning asosiy xususiyatidan foydalanib, biz ildizlar va kvadratlardan xalos bo'lamiz va keyin javobni hisoblaymiz: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Ko'paytiruvchilardan birortasining o'z juftligi bo'lmasa nima qilish kerak? Masalan, √54 ni hisoblashni ko'rib chiqing. Faktorizatsiyadan so'ng natijani quyidagi shaklda olamiz: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Olib bo'lmaydigan qism ildiz ostida qoldirilishi mumkin. Ko'pgina geometriya va algebra masalalari uchun bu javob yakuniy javob sifatida hisoblanadi. Ammo taxminiy qiymatlarni hisoblash zarurati tug'ilsa, siz quyida muhokama qilinadigan usullardan foydalanishingiz mumkin.

Heron usuli

Hech bo'lmaganda olingan ildiz nimaga teng ekanligini bilishingiz kerak bo'lganda nima qilish kerak (agar butun sonni olishning iloji bo'lmasa)? Heron usuli yordamida tez va etarlicha aniq natijaga erishiladi. Uning mohiyati taxminiy formuladan foydalanishdir:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

bu erda R - ildizi hisoblanishi kerak bo'lgan son, a - ildiz qiymati ma'lum bo'lgan eng yaqin son.

Keling, bu usul amalda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik va uning qanchalik to'g'riligini baholaymiz. Keling, √111 nimaga teng ekanligini hisoblaylik. Ildizi ma'lum bo'lgan 111 ga eng yaqin raqam 121. Shunday qilib, R = 111, a = 121. Qiymatlarni formulaga almashtiring:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Endi usulning to'g'riligini tekshiramiz:

10,55² = 111,3025.

Usulning xatosi taxminan 0,3 ni tashkil etdi. Agar usulning aniqligini yaxshilash kerak bo'lsa, siz ilgari tasvirlangan amallarni takrorlashingiz mumkin:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Hisoblashning to'g'riligini tekshiramiz:

10,536² = 111,0073.

Formulani qayta qo'llaganingizdan so'ng, xato butunlay ahamiyatsiz bo'lib qoldi.

Uzun bo'linish orqali ildizni hisoblash

Kvadrat ildiz qiymatini topishning bu usuli avvalgilariga qaraganda biroz murakkabroq. Biroq, bu kalkulyatorsiz boshqa hisoblash usullari orasida eng aniq hisoblanadi.

Aytaylik, siz kvadrat ildizni 4 kasrgacha aniq topishingiz kerak. Keling, ixtiyoriy 1308.1912 raqami misolida hisoblash algoritmini tahlil qilaylik.

1. Qog'oz varag'ini vertikal chiziq bilan 2 qismga bo'ling, so'ngra undan o'ngga, yuqori chetidan bir oz pastroqda yana bir chiziq torting. Keling, raqamni chap tomonga yozamiz, uni 2 raqamdan iborat guruhlarga ajratamiz, o'ngga harakat qilamiz va chap tomoni verguldan. Chapdagi birinchi raqam juftliksiz bo'lishi mumkin. Agar raqamning o'ng tomonida belgi yo'q bo'lsa, unda siz 0 qo'shishingiz kerak. Bizning holatlarimizda natija 13 08.19 12 bo'ladi.
2. Keling, eng yaxshisini tanlaylik katta raqam, uning kvadrati raqamlarning birinchi guruhidan kichik yoki teng bo'ladi. Bizning holatda bu 3. Keling, uni yuqori o'ng tomonga yozamiz; 3 - natijaning birinchi raqami. Pastki o'ng tomonda biz 3 × 3 = 9 ni ko'rsatamiz; bu keyingi hisob-kitoblar uchun kerak bo'ladi. Ustundagi 13 dan 9 ni olib tashlaymiz, qolgan 4 ni olamiz.
3. Keyingi son juftligini qolgan 4 ga belgilaymiz; Biz 408 ni olamiz.
4. Yuqoridagi o'ngdagi raqamni 2 ga ko'paytiring va pastki o'ngga yozing, unga _ x _ = qo'shing. Biz 6_ x _ = olamiz.
5. Chiziqlar o'rniga siz 408 dan kichik yoki teng bir xil raqamni almashtirishingiz kerak. Biz 66 × 6 = 396 ni olamiz. Yuqori o'ngdan 6 ni yozamiz, chunki bu natijaning ikkinchi raqami. 408 dan 396 ni ayirib, 12 ni olamiz.
6. 3-6 bosqichlarni takrorlaymiz. Pastga ko'chirilgan raqamlar sonning kasr qismida bo'lgani uchun 6 dan keyin yuqori o'ng tomonda kasrni qo'yish kerak. Qo'sh natijani tire bilan yozamiz: 72_ x _ =. Tegishli raqam 1 bo'ladi: 721×1 = 721. Keling, uni javob sifatida yozamiz. 1219 - 721 = 498 ni ayiraylik.
7. Kerakli o'nli kasr sonini olish uchun oldingi bandda berilgan harakatlar ketma-ketligini yana uch marta bajaramiz. Agar keyingi hisob-kitoblar uchun etarli belgilar bo'lmasa, chapdagi joriy raqamga ikkita nol qo'shishingiz kerak.

Natijada, biz javob olamiz: √1308.1912 ≈ 36.1689. Agar kalkulyator yordamida harakatni tekshirsangiz, barcha belgilar to'g'ri aniqlanganligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin.

Bit bo'yicha kvadrat ildizni hisoblash

Usul juda aniq. Bundan tashqari, bu juda tushunarli va formulalarni yodlash yoki murakkab harakatlar algoritmini talab qilmaydi, chunki usulning mohiyati to'g'ri natijani tanlashdir.

Keling, 781 raqamining ildizini chiqaramiz. Keling, harakatlar ketma-ketligini batafsil ko'rib chiqaylik.

1. Keling, kvadrat ildiz qiymatining qaysi raqami eng muhim bo'lishini bilib olaylik. Buning uchun 0, 10, 100, 1000 va hokazolarni kvadratga aylantiramiz va ularning qaysilari orasida radikal son joylashganligini aniqlaymiz. Biz 10² ni olamiz< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Keling, o'nliklarning qiymatini tanlaymiz. Buning uchun navbatma-navbat 10, 20, ..., 90 ning darajasini 781 dan kattaroq raqamga ko‘taramiz. Bizning holatimizda biz 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 ni olamiz. natijaning qiymati n 20 ichida bo'ladi< n <30.
3. Oldingi bosqichga o'xshab, birliklar raqamining qiymati tanlanadi. 21,22, ..., 29 ni birma-bir kvadratga aylantiramiz: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 282, biz = 78 ni olamiz.< n < 28.
4. Har bir keyingi raqam (o'ninchi, yuzinchi va boshqalar) yuqorida ko'rsatilganidek hisoblab chiqiladi. Hisob-kitoblar kerakli aniqlikka erishilgunga qadar amalga oshiriladi.

Video

Ushbu video sizga kalkulyatordan foydalanmasdan kvadrat ildizlarni qanday topishni ko'rsatib beradi.

Ko'pincha, muammolarni hal qilishda biz olishimiz kerak bo'lgan katta raqamlarga duch kelamiz Kvadrat ildiz. Ko'pgina talabalar bu xato deb qaror qilishadi va butun misolni qayta echishni boshlaydilar. Hech qanday holatda buni qilmaslik kerak! Buning ikkita sababi bor:

1. Katta sonlarning ildizlari muammolarda paydo bo'ladi. Ayniqsa matnli matnlarda;
2. Bu ildizlar deyarli og'zaki hisoblab chiqilgan algoritm mavjud.

Bugun biz ushbu algoritmni ko'rib chiqamiz. Ehtimol, ba'zi narsalar sizga tushunarsiz bo'lib tuyuladi. Ammo agar siz ushbu darsga e'tibor qaratsangiz, sizga qarshi kuchli qurol olasiz kvadrat ildizlar.

Shunday qilib, algoritm:

1. Yuqoridagi va pastdagi kerakli ildizni 10 ga karrali raqamlar bilan cheklang. Shunday qilib, biz qidiruv oralig'ini 10 raqamga qisqartiramiz;
2. Ushbu 10 ta raqamdan, albatta, ildiz bo'la olmaydiganlarni olib tashlang. Natijada, 1-2 raqam qoladi;
3. Ushbu 1-2 raqamni kvadratga aylantiring. Kvadrati asl raqamga teng bo'lgan kishi ildiz bo'ladi.

Ushbu algoritmni amalda qo'llashdan oldin, keling, har bir bosqichni ko'rib chiqaylik.

Ildiz chegarasi

Avvalo, ildizimiz qaysi raqamlar orasida joylashganligini aniqlashimiz kerak. Raqamlar o'nga karrali bo'lishi juda ma'qul:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Biz bir qator raqamlarni olamiz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu raqamlar bizga nimani bildiradi? Hammasi oddiy: biz chegaralarni olamiz. Masalan, 1296 raqamini olaylik. U 900 dan 1600 gacha boʻladi. Shuning uchun uning ildizi 30 dan kichik va 40 dan katta boʻlishi mumkin emas:

[Rasm uchun sarlavha]

Xuddi shu narsa kvadrat ildizni topishingiz mumkin bo'lgan har qanday boshqa raqamga ham tegishli. Masalan, 3364:

[Rasm uchun sarlavha]

Shunday qilib, tushunarsiz raqam o'rniga biz asl ildiz yotadigan juda aniq diapazonni olamiz. Qidiruv maydonini yanada toraytirish uchun ikkinchi bosqichga o'ting.

Shubhasiz keraksiz raqamlarni yo'q qilish

Shunday qilib, bizda 10 ta raqam bor - ildiz uchun nomzodlar. Biz ularni juda tez, murakkab fikrlash va ustunda ko'paytirmasdan oldik. Davom etish vaqti keldi.

Xoh ishoning, xoh ishonmang, endi biz nomzodlar sonini ikkitaga kamaytiramiz - yana hech qanday murakkab hisob-kitoblarsiz! Maxsus qoidani bilish kifoya. Mana:

Kvadratning oxirgi raqami faqat oxirgi raqamga bog'liq asl raqam.

Boshqacha qilib aytganda, kvadratning oxirgi raqamiga qarang va biz asl raqam qaerda tugashini darhol tushunamiz.

Oxirgi o'ringa kelishi mumkin bo'lgan atigi 10 ta raqam mavjud. Keling, ular kvadratga aylantirilganda nimaga aylanishini aniqlashga harakat qilaylik. Jadvalga qarang:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ushbu jadval ildizni hisoblash uchun yana bir qadamdir. Ko'rib turganingizdek, ikkinchi qatordagi raqamlar beshga nisbatan nosimmetrik bo'lib chiqdi. Masalan:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Ko'rib turganingizdek, oxirgi raqam ikkala holatda ham bir xil. Bu shuni anglatadiki, masalan, 3364 ning ildizi 2 yoki 8 bilan tugashi kerak. Boshqa tomondan, biz avvalgi xatboshidagi cheklovni eslaymiz. Biz olamiz:

[Rasm uchun sarlavha]

Qizil kvadratlar bu raqamni hali bilmasligimizdan dalolat beradi. Ammo ildiz 50 dan 60 gacha bo'lgan oraliqda joylashgan bo'lib, unda 2 va 8 bilan tugaydigan faqat ikkita raqam mavjud:

[Rasm uchun sarlavha]

Ana xolos! Barcha mumkin bo'lgan ildizlardan faqat ikkita variantni qoldirdik! Va bu eng qiyin holatda, chunki oxirgi raqam 5 yoki 0 bo'lishi mumkin. Va keyin ildizlar uchun faqat bitta nomzod bo'ladi!

Yakuniy hisob-kitoblar

Demak, bizda 2 ta nomzod raqami qoldi. Qaysi biri ildiz ekanligini qanday bilasiz? Javob aniq: ikkala raqamni kvadratga aylantiring. Kvadrati asl raqamni beradigan raqam ildiz bo'ladi.

Masalan, 3364 raqami uchun biz ikkita nomzod raqamini topdik: 52 va 58. Keling, ularni kvadratga aylantiramiz:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

Ana xolos! Ildiz 58 ekanligi ma'lum bo'ldi! Shu bilan birga, hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun yig'indi va ayirma kvadratlari uchun formuladan foydalandim. Buning yordamida men raqamlarni ustunga ko'paytirishim shart emas edi! Bu hisoblashni optimallashtirishning yana bir darajasi, lekin, albatta, bu mutlaqo ixtiyoriy :)

Ildizlarni hisoblash misollari

Albatta, nazariya yaxshi. Ammo buni amalda tekshirib ko'raylik.

[Rasm uchun sarlavha]

Birinchidan, 576 raqami qaysi raqamlar orasida joylashganligini bilib olaylik:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Endi oxirgi raqamga qaraylik. Bu 6 ga teng. Bu qachon sodir bo'ladi? Faqat ildiz 4 yoki 6 bilan tugasa. Biz ikkita raqamni olamiz:

Har bir raqamni kvadratga solish va uni asl raqam bilan solishtirish qoladi:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Ajoyib! Birinchi kvadrat asl raqamga teng bo'lib chiqdi. Demak, bu ildiz.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:

[Rasm uchun sarlavha]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadrati:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Mana javob: 37.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:

[Rasm uchun sarlavha]

Biz raqamni cheklaymiz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadrati:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Biz javob oldik: 52. Ikkinchi raqamni endi kvadratga solish kerak bo'lmaydi.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:

[Rasm uchun sarlavha]

Biz raqamni cheklaymiz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

4225 → 5;
65.

Ko'rib turganingizdek, ikkinchi bosqichdan keyin faqat bitta variant qoladi: 65. Bu kerakli ildiz. Ammo keling, uni kvadratga aylantiramiz va tekshiramiz:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Hammasi to'g'ri. Javobni yozamiz.

Xulosa

Afsuski, yaxshiroq emas. Keling, sabablarni ko'rib chiqaylik. Ulardan ikkitasi bor:

• Har qanday oddiy matematika imtihonida, xoh Davlat imtihonida, xoh Yagona davlat imtihonida, kalkulyatordan foydalanish taqiqlanadi. Agar siz sinfga kalkulyator olib kirsangiz, imtihondan osongina haydashingiz mumkin.
• Ahmoq amerikaliklar kabi bo'lmang. Ular ildizlarga o'xshamaydi - ular ikkita tub sonni qo'sha olmaydi. Va kasrlarni ko'rganlarida, ular odatda isterik bo'lib qoladilar.

Matematikada ildizni topish muammosi sonni darajaga ko'tarishning teskari masalasidir. Turli xil ildizlar mavjud: ikkinchi darajali ildizlar, uchinchi darajali ildizlar, to'rtinchi darajali ildizlar va boshqalar. Bu raqam dastlab qanday quvvatga ko'tarilganiga bog'liq. Ildiz belgisi bilan ko'rsatilgan: √ - kvadrat ildiz, ya'ni ikkinchi darajali ildiz; agar ildiz ikkinchidan kattaroq darajaga ega bo'lsa, unda tegishli daraja ildiz belgisi ustida belgilanadi. Ildiz belgisi ostidagi raqam radikal ifodadir. Ildizni topishda, ildizni topishda xato qilmaslikka yordam beradigan bir nechta qoidalar mavjud:

• Manfiy sonning juft ildizi (agar daraja 2, 4, 6, 8 va hokazo bo'lsa) YO'Q. Agar radikal ifoda manfiy bo'lsa, lekin toq darajaning ildizi qidirilsa (3, 5, 7 va boshqalar), natija salbiy bo'ladi.
• Birning har qanday kuchining ildizi har doim bitta: √1 = 1.
• Nolning ildizi nolga teng: √0 = 0.

100 ning ildizini qanday topish mumkin

Agar muammo darajaning qaysi ildizini topish kerakligini aytmasa, bu odatda ikkinchi daraja (kvadrat) ildizini topish kerakligini anglatadi.
√100 = ni topamiz? Biz ikkinchi darajaga ko'tarilganda 100 raqamini beradigan raqamni topishimiz kerak. Shubhasiz, bunday raqam 10 raqamidir, chunki: 10 2 = 100. Shuning uchun, √100 = 10: 100 ning kvadrat ildizi 10.

Kvadrat ildiz nima?

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Bu tushuncha juda oddiy. Tabiiyki, deyman. Matematiklar har bir harakat uchun reaktsiya topishga harakat qilishadi. Qo'shish bor - ayirish ham bor. Ko'paytirish bor - bo'lish ham bor. Kvadratlash bor... Shunday qilib, ham bor kvadrat ildizni olish! Ana xolos. Bu harakat ( kvadrat ildiz) matematikada ushbu belgi bilan ko'rsatilgan:

Belgining o'zi chiroyli so'z deb ataladi " radikal".

Ildizni qanday olish mumkin? Ko'rish yaxshidir misollar.

9 ning kvadrat ildizi nima? Qaysi sonning kvadrati bizga 9 ni beradi? 3 kvadrat bizga 9 ni beradi! Bular:

Lekin nolning kvadrat ildizi nima? Hammasi joyida! Nol qaysi sonning kvadratini hosil qiladi? Ha, u nol beradi! Ma'nosi:

Tushundim, kvadrat ildiz nima? Keyin ko'rib chiqamiz misollar:

Javoblar (tartibsiz): 6; 1; 4; 9; 5.

Qaror qildingizmi? Haqiqatan ham, bu qanchalik oson?!

Lekin... Odam qandaydir vazifani ildizi bor ko‘rsa nima qiladi?

Inson xafa bo'la boshlaydi ... U o'z ildizlarining soddaligi va engilligiga ishonmaydi. Garchi u bilganga o'xshaydi kvadrat ildiz nima...

Buning sababi shundaki, odam ildizlarni o'rganishda bir nechta muhim fikrlarni e'tiborsiz qoldirgan. Keyin bu modalar sinov va imtihonlardan shafqatsiz qasos oladilar...

Birinchi nuqta. Siz ildizlarni ko'rish orqali tan olishingiz kerak!

49 ning kvadrat ildizi nima? Yetti? To'g'ri! Yetti ekanligini qayerdan bildingiz? Yetti kvadrat bo'lib, 49 ni topdingizmi? To'g'ri! Shuni esda tuting ildizni chiqarib oling 49 tadan biz teskari operatsiyani bajarishimiz kerak edi - 7 kvadrat! Va o'tkazib yubormasligimizga ishonch hosil qiling. Yoki ular o'tkazib yuborishlari mumkin edi ...

Bu qiyinchilik ildiz chiqarish. Kvadrat Hech qanday muammosiz istalgan raqamdan foydalanishingiz mumkin. Raqamni ustun bilan o'z-o'zidan ko'paytiring - bu hammasi. Lekin uchun ildiz chiqarish Bunday oddiy va muvaffaqiyatsiz texnologiya yo'q. Biz .. qilishimiz kerak olib ketish; ko'tarish javob bering va uning to'g'riligini kvadratga solish orqali tekshiring.

Bu murakkab ijodiy jarayon - javob tanlash - agar siz juda soddalashtirilgan eslab qoling mashhur raqamlar kvadratlari. Ko'paytirish jadvali kabi. Aytaylik, 4 ni 6 ga ko'paytirish kerak bo'lsa, siz to'rt 6 marta qo'shmaysiz, shunday emasmi? 24-javob darhol paydo bo'ladi, lekin hamma ham buni tushunavermaydi, ha...

Ildizlar bilan erkin va muvaffaqiyatli ishlash uchun 1 dan 20 gacha bo'lgan raqamlarning kvadratlarini bilish kifoya. U yerda Va orqaga. Bular. siz ikkalasini ham, aytaylik, 11 kvadrat va 121 ning kvadrat ildizini osongina o'qiy olishingiz kerak. Bu yodga erishish uchun ikkita yo'l bor. Birinchisi, kvadratchalar jadvalini o'rganishdir. Bu misollarni hal qilishda katta yordam beradi. Ikkinchisi ko'proq misollarni hal qilishdir. Bu kvadratchalar jadvalini eslab qolishingizga katta yordam beradi.

Va kalkulyatorlar yo'q! Faqat sinov maqsadida. Aks holda imtihon vaqtida shafqatsizlarcha tezlikni pasaytirasiz...

Shunday qilib, kvadrat ildiz nima Xo'sh qanday ildizlarni ajratib oling- Menimcha, aniq. Keling, ularni NIMAdan olishimiz mumkinligini bilib olaylik.

Ikkinchi nuqta. Root, men sizni tanimayman!

Qaysi raqamlardan kvadrat ildiz olish mumkin? Ha, ularning deyarli har biri. Bu nimadan ekanligini tushunish osonroq bu taqiqlangan ularni chiqarib oling.

Keling, ushbu ildizni hisoblashga harakat qilaylik:

Buning uchun kvadrati bizga -4 beradigan raqamni tanlashimiz kerak. Biz tanlaymiz.

Nima, mos emasmi? 2 2 +4 beradi. (-2) 2 yana +4 beradi! Hammasi shu... Kvadratga aylantirilganda bizga manfiy son beradigan raqamlar yo'q! Garchi men bu raqamlarni bilsam ham. Lekin men sizga aytmayman). Kollejga boring va buni o'zingiz bilib olasiz.

Xuddi shu voqea har qanday salbiy raqam bilan sodir bo'ladi. Demak, xulosa:

Kvadrat ildiz belgisi ostida manfiy raqam bo'lgan ifoda - ma'noga ega emas! Bu taqiqlangan operatsiya. Bu nolga bo'lish kabi taqiqlangan. Bu haqiqatni qattiq eslang! Yoki boshqacha aytganda:

Manfiy sonlardan kvadrat ildiz chiqara olmaysiz!

Ammo boshqalar orasida bu mumkin. Masalan, hisoblash juda mumkin

Bir qarashda, bu juda qiyin. Kasrlarni tanlash va ularni kvadratga solish... Xavotir olmang. Ildizlarning xususiyatlarini tushunganimizda, bunday misollar kvadratlarning bir xil jadvaliga tushiriladi. Hayot osonroq bo'ladi!

Yaxshi, kasrlar. Ammo biz hali ham shunday iboralarni uchratamiz:

Hammasi joyida; shu bo'ladi. Hammasi bir xil. Ikkining kvadrat ildizi - bu kvadratga aylantirilganda bizga ikkitani beradigan son. Faqat bu raqam mutlaqo notekis... Mana:

Qizig'i shundaki, bu kasr hech qachon tugamaydi ... Bunday raqamlar irratsional deb ataladi. Kvadrat ildizlarda bu eng keng tarqalgan narsa. Aytgancha, shuning uchun ildizli iboralar deyiladi mantiqsiz. Bunday cheksiz kasrni doimo yozish noqulay ekanligi aniq. Shuning uchun, ular cheksiz kasr o'rniga, uni quyidagicha qoldiradilar:

Agar misolni echishda siz chiqarib bo'lmaydigan narsaga duch kelsangiz, masalan:

keyin biz uni shunday qoldiramiz. Bu javob bo'ladi.

Belgilar nimani anglatishini aniq tushunishingiz kerak

Albatta, agar raqamning ildizi olinsa silliq, buni qilishingiz kerak. Vazifaning javobi, masalan, shaklda

Juda to'liq javob.

Va, albatta, siz xotiradan taxminiy qiymatlarni bilishingiz kerak:

Bu bilim murakkab vazifalarda vaziyatni baholashga katta yordam beradi.

Uchinchi nuqta. Eng ayyor.

Ildizlar bilan ishlashda asosiy chalkashliklar shu nuqtadan kelib chiqadi. Aynan u o'z qobiliyatiga ishonch bag'ishlaydi... Keling, bu nuqtani to'g'ri hal qilaylik!

Birinchidan, yana to'rttasining kvadrat ildizini olaylik. Men sizni bu ildiz bilan bezovta qildimmi?) Hechqisi yo'q, endi qiziqarli bo'ladi!

4 kvadrat qaysi raqamni tashkil qiladi? Xo'sh, ikki, ikki - men norozi javoblarni eshitaman ...

To'g'ri. Ikki. Biroq shu bilan birga minus ikki 4 kvadrat beradi ... Ayni paytda, javob

to'g'ri va javob

qo'pol xato. Mana bunday.

Xo‘sh, nima gap?

Haqiqatan ham, (-2) 2 = 4. Va to'rtta kvadrat ildizning ta'rifi ostida minus ikki juda mos keladi... Bu ham to'rtning kvadrat ildizi.

Lekin! Maktab matematika kursida kvadrat ildizlarni hisobga olish odatiy holdir faqat manfiy bo'lmagan raqamlar! Ya'ni, nol va barchasi ijobiydir. Hatto maxsus atama ham ixtiro qilingan: raqamdan A- Bu salbiy bo'lmagan kvadrati bo'lgan raqam A. Arifmetik kvadrat ildizni chiqarishda salbiy natijalar shunchaki o'chiriladi. Maktabda hamma narsa kvadrat ildizlardan iborat - arifmetik. Garchi bu alohida aytilmagan bo'lsa-da.

OK, bu tushunarli. Salbiy natijalar bilan bezovta qilmaslik ham yaxshi... Bu hali chalkashlik emas.

Kvadrat tenglamalarni yechishda chalkashlik boshlanadi. Masalan, quyidagi tenglamani yechish kerak.

Tenglama oddiy, biz javobni yozamiz (o'rgatilganidek):

Bu javob (aytmoqchi, mutlaqo to'g'ri) faqat qisqartirilgan versiya ikki javoblar:

To'xta, to'xta! Yuqorida men kvadrat ildiz son ekanligini yozdim Har doim salbiy emas! Va bu erda javoblardan biri - salbiy! Tartibsizlik. Bu ildizlarga ishonchsizlikni keltirib chiqaradigan birinchi (lekin oxirgi emas) muammo... Keling, bu muammoni hal qilaylik. Keling, javoblarni (faqat tushunish uchun!) quyidagicha yozamiz:

Qavslar javobning mohiyatini o'zgartirmaydi. Men uni faqat qavslar bilan ajratdim belgilar dan ildiz. Endi siz ildizning o'zi (qavslar ichida) hali ham manfiy bo'lmagan raqam ekanligini aniq ko'rishingiz mumkin! Va belgilar tenglamani yechish natijasi. Axir, har qanday tenglamani yechishda biz yozishimiz kerak Hammasi Dastlabki tenglamaga almashtirilganda to'g'ri natija beradigan Xs. Beshning ildizi (ijobiy!) Ham ortiqcha, ham minus bilan bizning tenglamamizga mos keladi.

Mana bunday. Agar Siz faqat kvadrat ildizni oling har qanday narsadan, siz Har doim olasiz bitta salbiy bo'lmagan natija. Masalan:

Chunki u - arifmetik kvadrat ildiz.

Ammo agar siz kvadrat tenglamani yechsangiz, masalan:

Bu Har doim chiqadi ikki javob (ortiqcha va minus bilan):

Chunki bu tenglamaning yechimi.

Umid, kvadrat ildiz nima Sizning fikrlaringiz aniq. Endi ildizlar bilan nima qilish mumkinligini, ularning xususiyatlari qanday ekanligini aniqlash qoladi. Va qanday nuqtalar va tuzoqlar bor ... kechirasiz, toshlar!)

Bularning barchasi keyingi darslarda.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Savodxonlik belgisi bo'lgan ko'plab bilimlar orasida alifbo birinchi o'rinda turadi. Keyingi, teng ravishda "belgi" elementi - bu qo'shish-ko'paytirish va ularga qo'shni, ammo ma'no jihatidan qarama-qarshi bo'lgan ayirish-bo'lishning arifmetik operatsiyalari. Uzoq maktab bolaligida o'rganilgan ko'nikmalar kechayu kunduz sadoqat bilan xizmat qiladi: televizor, gazeta, SMS va biz hamma joyda o'qiymiz, yozamiz, hisoblaymiz, qo'shamiz, ayitamiz, ko'paytiramiz. Va ayting-chi, siz dachadan tashqari hayotingizda tez-tez ildiz otishingiz kerak edimi? Misol uchun, 12345 raqamining kvadrat ildizi kabi qiziqarli muammo ... Kolbalarda hali ham porox bormi? Biz buni hal qila olamizmi? Hech narsa oddiyroq bo'lishi mumkin emas! Mening kalkulyatorim qani... Usiz esa qo‘l jangi kuchsizmi?

Birinchidan, bu nima ekanligini aniqlab olaylik - sonning kvadrat ildizi. Umuman olganda, "sonning ildizini olish" uni bir darajaga ko'tarishga qarama-qarshi arifmetik amalni bajarishni anglatadi - bu erda hayotda qo'llaniladigan qarama-qarshiliklarning birligi mavjud. Aytaylik, kvadrat sonni o'z-o'zidan ko'paytirishdir, ya'ni maktabda o'rgatilgan X * X = A yoki boshqa yozuvda X2 = A va so'z bilan aytganda - "X kvadrat A ga teng". Shunda teskari masala quyidagicha yangradi: A sonining kvadrat ildizi X soni bo‘lib, kvadrati A ga teng bo‘ladi.

Kvadrat ildizni olish

Maktab arifmetika kursidan dastlabki to'rtta arifmetik amaldan foydalangan holda har qanday hisob-kitoblarni bajarishga yordam beradigan "ustundagi" hisoblash usullari ma'lum. Afsuski... Kvadrat, va faqat kvadrat ildizlar uchun bunday algoritmlar mavjud emas. Va bu holda, kvadrat ildizni kalkulyatorsiz qanday chiqarish mumkin? Kvadrat ildizning ta'rifiga asoslanib, faqat bitta xulosa bor - kvadrati radikal ifoda qiymatiga yaqinlashadigan raqamlarni ketma-ket sanash orqali natijaning qiymatini tanlash kerak. Ana xolos! Bir yoki ikki soat o'tishidan oldin, siz "ustun" da, har qanday kvadrat ildizda taniqli ko'paytirish usulidan foydalangan holda hisoblashingiz mumkin. Agar sizda mahorat bo'lsa, bu bir necha daqiqa vaqt oladi. Hatto kalkulyator yoki kompyuterning unchalik ilg'or bo'lmagan foydalanuvchisi ham buni bir zarbada amalga oshirishi mumkin - taraqqiyot.

Ammo jiddiy tarzda, kvadrat ildizni hisoblash ko'pincha "artilleriya vilkalari" texnikasi yordamida amalga oshiriladi: birinchi navbatda kvadrati radikal ifodaga mos keladigan raqamni oling. "Bizning kvadrat" bu ifodadan biroz kichikroq bo'lsa yaxshi bo'ladi. Keyin ular raqamni o'zlarining qobiliyatlari va tushunchalariga ko'ra moslashtiradilar, masalan, ikkiga ko'paytiradilar va ... yana kvadrat. Agar natija ildiz ostidagi raqamdan kattaroq bo'lsa, asl raqamni ketma-ket sozlash, asta-sekin ildiz ostidagi "hamkasbi" ga yaqinlashadi. Ko'rib turganingizdek - kalkulyator yo'q, faqat "ustunda" hisoblash qobiliyati. Albatta, kvadrat ildizni hisoblash uchun ko'plab ilmiy isbotlangan va optimallashtirilgan algoritmlar mavjud, ammo "uyda foydalanish" uchun yuqoridagi texnika natijaga 100% ishonch beradi.

Ha, men unutib qo'ydim, savodxonligimizni oshirishni tasdiqlash uchun avval ko'rsatilgan 12345 raqamining kvadrat ildizini hisoblaylik. Biz buni bosqichma-bosqich bajaramiz:

1. Sof intuitiv ravishda X=100 ni olaylik. Keling, hisoblab chiqamiz: X * X = 10000. Sezgi eng yaxshi holatda - natija 12345 dan kam.

2. Keling, sinab ko'raylik, shuningdek, sof intuitiv ravishda, X = 120. Keyin: X * X = 14400. Va yana, sezgi tartibda - natija 12345 dan ortiq.

3. Yuqorida biz 100 va 120 dan iborat "vilka" oldik. Keling, yangi raqamlarni tanlaymiz - 110 va 115. Biz mos ravishda 12100 va 13225 ni olamiz - vilka torayadi.

4. Keling, “balki” X=111 ni sinab ko‘raylik. Biz X * X = 12321 ni olamiz. Bu raqam allaqachon 12345 ga yaqin. Kerakli aniqlikka muvofiq, olingan natijada "moslash" davom etishi yoki to'xtatilishi mumkin. Ana xolos. Va'da qilinganidek - hamma narsa juda oddiy va kalkulyatorsiz.

Bir oz tarix...

Pifagorchilar, maktab o'quvchilari va Pifagor izdoshlari, miloddan avvalgi 800 yil ichida kvadrat ildizlardan foydalanish g'oyasini ilgari surdilar. va keyin biz raqamlar sohasida yangi kashfiyotlar bilan "yugurib ketdik". Va bu qaerdan paydo bo'ldi?

1. Ildizni ajratib olish masalasini yechish yangi sinf raqamlari ko'rinishidagi natijani beradi. Ularni irratsional, boshqacha qilib aytganda, "aqlsiz" deb atashgan, chunki. ular to'liq son sifatida yozilmagan. Bunday turdagi eng klassik misol 2 ning kvadrat ildizidir. Bu holat tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratning diagonalini hisoblashga to'g'ri keladi - bu Pifagor maktabining ta'siri. Ma'lum bo'lishicha, tomonlarning o'ziga xos birlik o'lchamiga ega bo'lgan uchburchakda gipotenuzaning "oxiri yo'q" raqam bilan ifodalanadigan o'lchami bor. Ular matematikada shunday paydo bo'lgan

2. Ma'lum bo'lishicha, bu matematik amal yana bir tutqichni o'z ichiga oladi - ildizni ajratib olishda biz radikal ifodaning kvadrati ijobiy yoki salbiy qaysi son ekanligini bilmaymiz. Bu noaniqlik, bitta operatsiyaning qo'sh natijasi shu tarzda qayd etiladi.

Bu hodisa bilan bog`liq masalalarni o`rganish matematikada murakkab o`zgaruvchilar nazariyasi deb ataladigan yo`nalishga aylandi, bu matematik fizikada katta amaliy ahamiyatga ega.

Qizig'i shundaki, xuddi shu I. Nyuton o'zining "Universal arifmetika" asarida ildiz - radikal belgisini qo'llagan va ildizning aniq belgilanishining zamonaviy shakli 1690 yildan beri frantsuz Rolning "Manual" kitobidan ma'lum. Algebra".