To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini qanday topish mumkin? Geometriya asoslari. To‘g‘ri burchakli uchburchakni yechish To‘g‘ri burchakli uchburchakda oyoqni topish

Kalkulyatordan foydalanib, chiqarib oling Kvadrat ildiz gipotenuzaning kvadrati va ma'lum oyoqning farqidan, shuningdek kvadrat. Oyoq to'g'ri burchakka qo'shni to'g'ri burchakli uchburchakning tomoni deb ataladi. Bu ifoda Pifagor teoremasidan olingan bo'lib, unda uchburchak gipotenuzasi kvadrati summasiga teng oyoq kvadratlari.

Oyoqni topishning turli usullarini ko'rib chiqishdan oldin to'g'ri uchburchak Keling, bir nechta eslatmani olaylik. Ro'yxatda keltirilgan holatlardan qaysi biri sizning muammoingiz holatiga mos kelishini tekshiring va shunga qarab, tegishli paragrafga amal qiling. Ko'rib chiqilayotgan uchburchakdagi qanday miqdorlar sizga ma'lum ekanligini bilib oling. Oyoqni hisoblash uchun quyidagi ifodadan foydalaning: a=sqrt(c^2-b^2), agar siz gipotenuzaning va boshqa oyoqning qiymatlarini bilsangiz.

Ushbu geometrik figuraning tomonlari va burchaklari orasidagi bog'lanishlar trigonometriyaning matematik fanida batafsil muhokama qilinadi. Ushbu tenglamani qo'llash uchun siz to'g'ri burchakli uchburchakning istalgan ikki tomonining uzunligini bilishingiz kerak.

Agar gipotenuzaning va ikkinchi oyog'ining o'lchamlari ma'lum bo'lsa, oyoqlardan birining uzunligini hisoblang. Agar masalada gipotenuza va unga tutash o'tkir burchaklardan biri berilgan bo'lsa, Bradys jadvallaridan foydalaning.

Ichki uchburchak tashqi uchburchakka o'xshash bo'ladi, chunki median chiziqlar mos ravishda oyoq va gipotenuzaga parallel va ularning yarmiga teng. Gipotenuza noma'lum bo'lgani uchun, topish o'rta chiziq M_c siz Pifagor teoremasidan radikalni almashtirishingiz kerak.

Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzun tomonidir. U to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotadi. Gipotenuzaning uzunligini topish mumkin turli yo'llar bilan. Agar ikkala oyoqning uzunligi ma'lum bo'lsa, unda uning o'lchami Pifagor teoremasi bilan hisoblanadi: ikki oyoq kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng. Barcha burchaklarning yig'indisi 180 ° ekanligini bilib, biz to'g'ri burchakni va allaqachon ma'lum bo'lgan burchakni olib tashlaymiz.

To'g'ri burchakli uchburchakning parametrlarini hisoblashda ma'lum qiymatlarga e'tibor berish va muammoni eng oddiy formuladan foydalanib hal qilish muhimdir. Birinchidan, to'g'ri burchakli uchburchak nima ekanligini eslaylik. To'g'ri uchburchak geometrik shakl bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydigan nuqtalarni bog'laydigan uchta segmentdan iborat va bu raqamning burchaklaridan biri 90 daraja. Oyoqning uzunligini aniqlashning bir necha yo'li mavjud.

Formula: c²=a²+b², bu erda c - gipotenuza, a va b - oyoqlar

Agar biz gipotenuzani va oyoqni bilsak, u holda Pifagor teoremasi yordamida noma'lum oyoqning uzunligini topishimiz mumkin. Bu shunday eshitiladi: "Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng". Trigonometrik funktsiyalar yordamida oyoqni topishning to'rtta varianti mavjud: sinus, kosinus, tangens, kotangent bo'yicha. Burchakning sinusi (sin) qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati. Formula: sin \u003d a / c, bu erda a - berilgan burchakka qarama-qarshi oyoq va c - gipotenuza.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning g'ayrioddiy xususiyatlarini qadimgi yunon olimi Pifagor kashf etgan va u bunday uchburchaklardagi gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng ekanligini aniqlagan.

Balandlik - bu uchburchakning istalgan cho'qqisidan qarama-qarshi tomonga (yoki uning kengaytmasi, o'tkir burchakli uchburchak uchun) perpendikulyar. Uchburchakning balandliklari bir nuqtada kesishadi, bu nuqta ortosentr deb ataladi. Agar u ixtiyoriy to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, unda ma'lumotlar etarli emas.

Shuningdek, 30, 45, 60, 90, 180 darajali eng tipik burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini bilish foydalidir. Agar shartlar oyoqlarning o'lchamlarini ko'rsatsa, gipotenuzaning uzunligini toping. Hayotda biz tez-tez duch kelamiz matematik muammolar: maktabda, universitetda, keyin esa bolangizga uy vazifasini bajarishda yordam berish.

Keyinchalik, formulani o'zgartiramiz va olamiz: a=sin*c

Muammolarni hal qilish uchun quyidagi jadval bizga yordam beradi. Keling, ushbu variantlarni ko'rib chiqaylik. Qiziqarli maxsus holat - o'tkir burchaklardan biri 30 darajaga teng bo'lsa.

Muayyan kasb egalari har kuni matematikaga duch kelishadi.

To'g'ri burchakli uchburchakning boshqa tomoni va har qanday o'tkir burchagi ma'lum bo'lsa, noma'lum oyoqni topish ham mumkin. Pifagor teoremasidan foydalanib, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonini toping. Bundan tashqari, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini topish mumkin turli formulalar ma'lum o'zgaruvchilar soniga bog'liq.

Uchburchakning gipotenuzasini topishdan oldin, bu raqam qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlashingiz kerak. Keling, asosiylarini ko'rib chiqaylik:

1. To'g'ri burchakli uchburchakda ikkala o'tkir burchakning qo'shilishi 90º ga etadi.
2. 30º burchakka qarama-qarshi yotgan oyoq gipotenuzaning ½ qismiga teng bo'ladi.
3. Agar oyoq gipotenuzaning ½ qiymatiga teng bo'lsa, ikkinchi burchak bir xil qiymatga ega bo'ladi - 30º.

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzani topishning bir necha yo'li mavjud. Eng oddiy yechim - oyoqlar orqali hisoblash. Aytaylik, siz A va B tomonlarning oyoqlari qiymatlarini bilasiz. Keyin Pifagor teoremasi yordamga keladi va agar biz har bir oyoq qiymatini kvadratga aylantirsak va olingan ma'lumotlarni yig'sak, biz gipotenuzaning nima ekanligini bilib olamiz. hisoblanadi. Shunday qilib, biz faqat kvadrat ildiz qiymatini chiqarishimiz kerak:

Misol uchun, agar oyoq A = 3 sm va B oyog'i = 4 sm bo'lsa, unda hisoblash quyidagicha bo'ladi:

Burchak orqali gipotenuzani qanday topish mumkin?

To'g'ri burchakli uchburchakdagi gipotenuzaning nimaga teng ekanligini aniqlashning yana bir usuli - berilgan burchak orqali hisoblash. Buning uchun sinus formulasi orqali qiymatni olishimiz kerak. Aytaylik, biz oyoqning qiymatini (A) va qarama-qarshi burchakning qiymatini (a) bilamiz. U holda butun yechim bitta formulada: S=A/sin(a).

Masalan, oyoqning uzunligi 40 sm va burchagi 45 ° bo'lsa, u holda gipotenuzaning uzunligini quyidagicha chiqarish mumkin:

Kosinus orqali kerakli qiymatni ham aniqlashingiz mumkin berilgan burchak. Aytaylik, biz bir oyoqning (B) va o'tkir burchakning (a) qiymatini bilamiz. U holda masalani yechish uchun bitta formula kerak: S=V/ cos(a).

Misol uchun, agar oyoq uzunligi 50 sm va burchak 45 ° bo'lsa, gipotenuzani quyidagicha hisoblash mumkin:

Shunday qilib, biz uchburchakda gipotenuzani topishning asosiy usullarini ko'rib chiqdik. Vazifani hal qilishda mavjud ma'lumotlarga e'tibor qaratish muhim, keyin noma'lum qiymatni topish juda oddiy bo'ladi. Siz bir nechta formulalarni bilishingiz kerak va muammolarni hal qilish jarayoni oddiy va yoqimli bo'ladi.

To'g'ri uchburchakda juda ko'p sonli bog'liqliklar mavjud. Bu uni turli xil geometrik masalalar uchun jozibali ob'ektga aylantiradi. Eng keng tarqalgan muammolardan biri gipotenuzani topishdir.

To'g'ri uchburchak

To'g'ri burchakli uchburchak - bu to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan uchburchak, ya'ni. 90 daraja burchak. Faqat to'g'ri burchakli uchburchakda ifodalash mumkin trigonometrik funktsiyalar tomonlarning o'lchamlari orqali. O'zboshimchalik bilan uchburchakda qo'shimcha konstruktsiyalar qilish kerak bo'ladi.
To'g'ri burchakli uchburchakda uchta balandlikdan ikkitasi tomonlarga to'g'ri keladi oyoqlar deyiladi. Uchinchi tomon gipotenuza deb ataladi. Gipotenuzaga chizilgan balandlik bu turdagi uchburchakda qo'shimcha konstruktsiyalarni talab qiladigan yagona balandlikdir.

Guruch. 1. Uchburchaklar turlari.

To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchaklar bo'lishi mumkin emas. Xuddi ikkinchi to'g'ri burchakning mavjudligi mumkin emas. Bunday holda, har doim 180 gradusga teng bo'lgan uchburchak burchaklari yig'indisining o'ziga xosligi buziladi.

Gipotenuza

Keling, to'g'ridan-to'g'ri uchburchakning gipotenuzasiga boraylik. Gipotenuza uchburchakning eng uzun tomonidir. Gipotenuza har doim oyoqlarning har qandayidan kattaroqdir, lekin u har doim oyoqlarning yig'indisidan kichikdir. Bu uchburchak tengsizlik teoremasining natijasidir.

Teorema shuni ko'rsatadiki, uchburchakda tomonlarning hech biri qolgan ikkitasining yig'indisidan katta bo'lishi mumkin emas. Ikkinchi formula yoki teoremaning ikkinchi qismi ham mavjud: uchburchakda, kattaroq tomonga qarama-qarshi, kattaroq burchak va aksincha.

Guruch. 2. To‘g‘ri burchakli uchburchak.

To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchak katta burchakdir, chunki yuqorida aytib o'tilgan sabablarga ko'ra ikkinchi to'g'ri burchak yoki o'tmas burchak bo'lishi mumkin emas. Bu shuni anglatadiki, eng uzun tomon har doim to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotadi.

Nima uchun to'g'ri burchakli uchburchak har bir tomon uchun alohida nomga loyiq bo'lganligi tushunarsiz ko'rinadi. Aslida, teng yonli uchburchakda tomonlarning ham o'z nomlari bor: tomonlar va asos. Ammo oyoqlar va gipotenuslar uchun o'qituvchilar, ayniqsa, deuces qo'yishni yaxshi ko'radilar. Nega? Bir tomondan, bu qadimgi yunonlar, matematika ixtirochilari xotirasiga hurmat. Aynan ular to'g'ri burchakli uchburchaklarni o'rganishgan va bu bilimlar bilan bir qatorda qurish uchun butun ma'lumot qatlamini qoldirganlar. zamonaviy fan. Boshqa tomondan, bu nomlarning mavjudligi teoremalar va trigonometrik identifikatsiyalarni shakllantirishni sezilarli darajada osonlashtiradi.

Pifagor teoremasi

Agar o'qituvchi to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi formulasi haqida so'rasa, u holda 90% ehtimollik bilan u Pifagor teoremasini anglatadi. Teorema shunday deydi: to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Guruch. 3. To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi.

Teorema qanchalik aniq va lo'nda tuzilganiga e'tibor bering. Gipotenuza va oyoq tushunchalarini ishlatmasdan bunday soddalikka erishib bo'lmaydi.

Teorema quyidagi formulaga ega:

$c^2=b^2+a^2$ – bu yerda c gipotenuza, a va b toʻgʻri burchakli uchburchakning oyoqlari.

Biz nimani o'rgandik?

Biz to'g'ri burchakli uchburchak nima ekanligi haqida gaplashdik. Biz nima uchun ular oyoqlarning nomlari va gipotenuza bilan kelishganini bilib oldik. Biz gipotenuzaning ayrim xossalarini aniqladik va Pifagor teoremasi orqali uchburchak gipotenuzasi uzunligi formulasini berdik.

Mavzu viktorina

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.6. Qabul qilingan umumiy baholar: 213.

Uchburchak - bir chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan tashkil topgan geometrik raqam. Uchburchakni tashkil etuvchi nuqtalar uning nuqtalari deb ataladi va segmentlar yonma-yon joylashgan.

Uchburchakning turiga qarab (to'rtburchaklar, monoxrom va boshqalar) kiritilgan ma'lumotlarga va masalaning shartlariga qarab, uchburchak tomonini turli usullar bilan hisoblashingiz mumkin.

Maqola uchun tezkor navigatsiya

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini hisoblash uchun Pifagor teoremasi qo'llaniladi, unga ko'ra gipotenuzaning kvadrati oyoq kvadratlari yig'indisiga teng.

Agar oyoqlarni "a" va "b" bilan, gipotenuzani esa "c" bilan belgilasak, sahifalarni quyidagi formulalar bilan topish mumkin:

To'g'ri burchakli uchburchakning (a va b) o'tkir burchaklari ma'lum bo'lsa, uning tomonlarini quyidagi formulalar bilan topish mumkin:

kesilgan uchburchak

Ikkala tomoni bir xil bo'lgan uchburchak teng tomonli uchburchak deyiladi.

Ikki oyoqdagi gipotenuzani qanday topish mumkin

Agar "a" harfi bir xil varaq bilan bir xil bo'lsa, "b" - asos, "b" - asosga qarama-qarshi burchak, "a" - qo'shni burchak, sahifalarni hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:

Ikki burchak va yon

Har qanday uchburchakning bir sahifasi (c) va ikkita burchagi (a va b) ma'lum bo'lsa, qolgan sahifalarni hisoblash uchun sinus formulasidan foydalaniladi:

Uchinchi qiymatni topishingiz kerak y = 180 - (a + b), chunki

uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng;

Ikki tomon va burchak

Agar uchburchakning ikki tomoni (a va b) va ular orasidagi burchak (y) ma'lum bo'lsa, uchinchi tomonni hisoblash uchun kosinus teoremasidan foydalanish mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini qanday aniqlash mumkin

Uchburchak uchburchak uchburchak bo'lib, ulardan biri 90 gradus, qolgan ikkitasi o'tkir. hisoblash perimetri shunday uchburchak u haqida ma'lum ma'lumotlar miqdoriga bog'liq.

Sizga kerak bo'ladi

• Vaziyatga qarab, uchburchakning uch tomonining 2-ko'nikmalari, shuningdek, uning o'tkir burchaklaridan biri.

ko'rsatmalar

birinchi Usul 1. Agar barcha uchta sahifa ma'lum bo'lsa uchburchak Keyin, perpendikulyar yoki uchburchak bo'lmasin, perimetr quyidagicha hisoblanadi: P = A + B + C, iloji bo'lsa, c - gipotenuza; a va b oyoqlardir.

ikkinchi 2-usul.

Agar to'rtburchakning faqat ikkita tomoni bo'lsa, Pifagor teoremasidan foydalanib, uchburchak quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: P = v (a2 + b2) + a + b yoki P = v (c2 - b2) + b + c.

uchinchi 3-usul. Gipotenuza c va o'tkir burchak bo'lsin? To'g'ri burchakli uchburchak berilgan bo'lsa, perimetrni shu tarzda topish mumkin bo'ladi: P = (1 + sin?

to'rtinchi Usul 4. To'g'ri uchburchakda bir oyoqning uzunligi a ga teng va aksincha, o'tkir burchakka ega ekanligini aytishadi. Keyin hisoblang perimetri Bu uchburchak formula bo'yicha amalga oshiriladi: P = a * (1 / tg?

1 / o'g'lim? + 1)

beshinchi 5-usul.

Uchburchakni onlayn hisoblash

Oyog'imiz olib borsin va unga qo'shilsin, keyin diapazon quyidagicha hisoblanadi: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Shu kabi videolar

Pifagor teoremasi har qanday matematikaning asosidir. Haqiqiy uchburchakning tomonlari orasidagi munosabatni belgilaydi. Endi bu teoremaning 367 ta isboti mavjud.

ko'rsatmalar

birinchi Pifagor teoremasining klassik maktab formulasi shunday eshitiladi: gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Ikki Katetli to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzani topish uchun siz oyoqlarning uzunligini kvadratga aylantirishingiz, ularni yig'ishingiz va yig'indining kvadrat ildizini olishingiz kerak. Uning bayonotining dastlabki formulasida bozor Catete tomonidan ishlab chiqarilgan 2 kvadratning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lgan gipotenuzaga asoslanadi. Biroq, zamonaviy algebraik formulalar domen tasvirini kiritishni talab qilmaydi.

ikkinchi Masalan, oyoqlari 7 sm va 8 sm bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak.

Keyin Pifagor teoremasiga ko'ra kvadrat gipotenuza R + S = 49 + 64 = 113 sm. Gipotenuza 113 ning kvadrat ildiziga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakning burchaklari

Natijada asossiz raqam paydo bo'ldi.

uchinchi Agar uchburchaklar oyoqlari 3 va 4 bo'lsa, u holda gipotenuza = 25 = 5. Kvadrat ildizni olganingizda, siz olasiz natural son. 3, 4, 5 raqamlari Pigagor uchligini hosil qiladi, chunki ular x munosabatini qanoatlantiradi? +Y? = Z, bu tabiiydir.

Pifagor uchligining boshqa misollari: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

to'rtinchi Bunday holda, agar oyoqlar bir-biriga o'xshash bo'lsa, Pifagor teoremasi yanada ibtidoiy tenglamaga aylanadi. Masalan, bunday qo'l A soniga teng bo'lsin va C uchun gipotenuza aniqlansin, keyin esa c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bu holda sizga A kerak emas.

beshinchi Pifagor teoremasi umumiy kosinus teoremasidan kattaroq bo'lgan maxsus holat bo'lib, uchburchakning uch tomoni o'rtasida ularning ikkalasi orasidagi istalgan burchak uchun bog'lanishni o'rnatadi.

Maslahat 2: Oyoqlar va burchaklar uchun gipotenuzani qanday aniqlash mumkin

Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomoni deb ataladi.

ko'rsatmalar

birinchi Taniqli kateterlarda, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagida, gipotenuzaning o'lchami oyoqning bu burchakning kosinusiga / sinusiga nisbatiga teng bo'lishi mumkin, agar burchak qarama-qarshi bo'lsa / e o'z ichiga oladi. : H \u003d C1 (yoki C2) / sin, H \u003d C1 (yoki S2 ?) / cos ?. Misol: ABC ga gipotenuzasi AB va to'g'ri burchakli C burchakli tartibsiz uchburchak berilsin.

B 60 daraja va A 30 daraja bo'lsin. BC poyasining uzunligi 8 sm .AB gipotenuzaning uzunligini topish kerak. Buning uchun siz yuqoridagi usullardan birini qo'llashingiz mumkin: AB = BC / cos60 = 8 sm.AB = BC / sin30 = 8 sm.

Gipotenuza to'rtburchakning eng uzun tomonidir uchburchak. U to'g'ri burchak ostida joylashgan. To'rtburchakning gipotenuzasini topish usuli uchburchak manba ma'lumotlariga bog'liq.

ko'rsatmalar

birinchi Agar oyoqlaringiz perpendikulyar bo'lsa uchburchak, keyin to'rtburchakning gipotenuzasi uzunligi uchburchak Pifagor analogi bilan topish mumkin - gipotenuzaning uzunligi kvadrati oyoqlar uzunliklari kvadratlari yig'indisiga teng: c2 = a2 + b2, bu erda a va b - o'ng oyoqlarning uzunligi. uchburchak .

ikkinchi Agar ma'lum bo'lsa va oyoqlardan biri o'tkir burchak ostida bo'lsa, gipotenuzani topish formulasi ostida bor yoki yo'qligiga bog'liq bo'ladi. ma'lum burchak ma'lum oyoqqa nisbatan - qo'shni (oyoq yaqinida joylashgan) yoki aksincha (qarama-qarshi holat nego joylashgan. Belgilangan burchakning V kosinus burchagida oyoqning gipotenuzasi ulushiga teng: a = a / cos; E, boshqa tomondan, gipotenuza sinusoidal burchaklar nisbati bilan bir xil: da = a / sin.

Shu kabi videolar

Foydali maslahatlar
Tomonlari 3:4:5 nisbatda bir-biriga bog'langan burchakli uchburchak Misr deltasi deb ataladi, chunki bu raqamlar qadimgi Misr me'morlari tomonidan keng qo'llanilgan.

Bu, shuningdek, Jeron uchburchaklarining eng oddiy misolidir, sahifalar va maydon butun sonlar bilan ifodalanadi.

Uchburchak to'rtburchaklar deyiladi, uning burchagi 90 °. O'ng burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza, ikkinchi tomoni oyoqlar deb ataladi.

Agar siz to'g'ri burchakli uchburchakning muntazam uchburchaklarning ba'zi xossalari, ya'ni o'tkir burchaklarining yig'indisi 90 ° bo'lganligi va qarama-qarshi oyog'ining uzunligi gipotenuzaning yarmi bo'lishi bilan qanday hosil bo'lishini topmoqchi bo'lsangiz. 30°.

Maqola uchun tezkor navigatsiya

kesilgan uchburchak

Teng uchburchakning xususiyatlaridan biri shundaki, uning ikki burchagi bir xil.

To'g'ri burchakli uchburchakning burchagini hisoblash uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

• Bu 90 ° dan yomon emas.
• O'tkir burchaklarning qiymatlari quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, ya'ni.

  a va b burchaklari 45°.

Agar o'tkir burchaklardan birining ma'lum qiymati ma'lum bo'lsa, ikkinchisini quyidagi formula yordamida topish mumkin: b = 180º-90º-a yoki a = 180º-90º-b.

Bu nisbat eng ko'p burchaklardan biri 60 ° yoki 30 ° bo'lsa ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.

Chunki u bir daraja, ikkitasi keskin qoladi.

Uchburchakni onlayn hisoblang

Agar siz ularni topmoqchi bo'lsangiz, quyidagilarni bilishingiz kerak:

boshqa usullar

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchak qiymatlarini o'rtacha qiymatdan hisoblash mumkin - uchburchakning qarama-qarshi tomonidagi nuqtadan chiziq bilan va balandlik - chiziq gipotenuzadan to'g'ri burchak ostida chizilgan perpendikulyar.

Mediana o'ng burchakdan gipotenuzaning o'rtasiga cho'zilgan va h balandlikda bo'lsin. Bunday holda ma'lum bo'ladi:

• sina = b / (2 * s); sin b = a / (2 * s).
• cosa = a / (2 * s); cos b = b / (2 * s).
• sina = h / b; sin b = h / a.

Ikki sahifa

Agar gipotenuzaning uzunligi va oyoqlardan birining uzunligi to'g'ri burchakli uchburchakda yoki ikki tomondan ma'lum bo'lsa, o'tkir burchaklarning qiymatlarini aniqlash uchun trigonometrik identifikatsiyalar qo'llaniladi:

• a=arksin(a/c), b=arksin(b/c).
• a=arcos(b/c), b=arcos(a/c).
• a = arktan (a / b), b = arktan (b / a).

To'g'ri burchakli uchburchakning uzunligi

Uchburchakning maydoni va maydoni

perimetri

Har qanday uchburchakning aylanasi uch tomonning uzunliklari yig'indisiga teng. Umumiy formula uchburchak uchburchakni topish uchun:

Bu erda P - uchburchakning aylanasi, a, b va c - uning tomonlari.

Teng uchburchakning perimetri uning tomonlarining uzunliklarini ketma-ket birlashtirib yoki yon uzunligini 2 ga ko'paytirib, taglikning uzunligini mahsulotga qo'shib topish mumkin.

Muvozanat uchburchagini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda P - teng uchburchakning perimetri, lekin b, b asosi.

Teng tomonli uchburchakning perimetri tomonlarning uzunliklarini ketma-ket birlashtirish yoki istalgan sahifaning uzunligini 3 ga ko'paytirish orqali topish mumkin.

Teng tomonli uchburchaklar chetini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda P - teng yonli uchburchakning perimetri, a - uning istalgan tomonlari.

mintaqa

Agar siz uchburchakning maydonini o'lchamoqchi bo'lsangiz, uni parallelogramm bilan solishtirishingiz mumkin. ABC uchburchagini ko'rib chiqing:

Agar biz bir xil uchburchakni olib, uni parallelogramm olish uchun tuzatsak, biz bu uchburchak bilan bir xil balandlik va asosga ega parallelogramma olamiz:

Bunday holda, uchburchaklarning umumiy tomoni qoliplangan parallelogrammaning diagonali bo'ylab birlashtiriladi.

Paralelogramma xossalaridan. Ma'lumki, parallelogrammaning diagonallari har doim ikkita teng uchburchakka bo'linadi, keyin har bir uchburchakning yuzasi parallelogramma diapazonining yarmiga teng bo'ladi.

Paralelogrammaning maydoni uning taglik balandligining mahsuloti bo'lganligi sababli, uchburchakning maydoni ushbu mahsulotning yarmiga teng bo'ladi. Shunday qilib, DABC uchun maydon bir xil bo'ladi

Endi to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing:

Ikkita bir xil to'g'ri burchakli uchburchakni to'rtburchak qilib egish mumkin, agar u ularga suyansa, bu boshqa har bir gipotenuzadir.

To'rtburchakning yuzasi qo'shni tomonlarning yuzasiga to'g'ri kelganligi sababli, bu uchburchakning maydoni bir xil:

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning yuzasi 2 ga bo'lingan oyoqlarning ko'paytmasiga teng.

Ushbu misollardan xulosa qilishimiz mumkinki, har bir uchburchakning yuzasi uzunlikning ko'paytmasi bilan bir xil bo'ladi va balandligi 2 ga bo'lingan poydevorga kamayadi.

Uchburchakning maydonini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda S - uchburchakning maydoni, lekin uning asosi, lekin balandligi a pastga tushadi.

To'g'ri burchakli uchburchaklar mavzusini o'rganib chiqqandan so'ng, talabalar ko'pincha ular haqidagi barcha ma'lumotlarni boshlaridan chiqarib tashlashadi. Jumladan, gipotenuzani qanday topish mumkin, uning nima ekanligini aytmaslik kerak.

Va behuda. Chunki kelajakda to'rtburchakning diagonali mana shu gipotenuzaga aylanadi va uni topish kerak. Yoki aylananing diametri uchburchakning eng katta tomoniga to'g'ri keladi, uning burchaklaridan biri to'g'ri. Va bu bilimsiz uni topish mumkin emas.

Uchburchakning gipotenuzasini topishning bir necha usullari mavjud. Usulni tanlash miqdorlar masalasida dastlabki ma'lumotlar to'plamiga bog'liq.

1-usul: ikkala oyoq ham beriladi

Bu eng esda qolarli usul, chunki u Pifagor teoremasidan foydalanadi. Faqat ba'zida talabalar bu formula gipotenuzaning kvadrati ekanligini unutishadi. Shunday qilib, tomonning o'zini topish uchun siz kvadrat ildizni olishingiz kerak bo'ladi. Shuning uchun odatda "c" harfi bilan belgilanadigan gipotenuza formulasi quyidagicha ko'rinadi:

c = √ (a 2 + a 2), bu erda "a" va "b" harflari to'g'ri burchakli uchburchakning ikkala oyog'i yoziladi.

2-usul: oyoq va unga qo'shni burchak ma'lum

Gipotenuzani qanday topishni o'rganish uchun trigonometrik funktsiyalarni eslab qolish kerak. Ya'ni kosinus. Qulaylik uchun "a" oyog'i va unga qo'shni a burchak berilgan deb faraz qilamiz.

Endi biz to'g'ri burchakli uchburchakning kosinusu ikki tomonning nisbatiga teng ekanligini esga olishimiz kerak. Numerator oyoqning qiymati, maxraj esa gipotenuza bo'ladi. Shundan kelib chiqadiki, ikkinchisini quyidagi formula bo'yicha hisoblash mumkin:

c = a / cos a.

3-usul: oyoq va unga qarama-qarshi bo'lgan burchak berilgan

Formulalarda chalkashmaslik uchun biz ushbu burchak uchun belgini kiritamiz - b va tomonni "a" sifatida qoldiramiz. Bunday holda, yana bir trigonometrik funktsiya talab qilinadi - sinus.

Oldingi misolda bo'lgani kabi, sinus oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng. Ushbu usulning formulasi quyidagicha ko'rinadi:

c \u003d a / sin b.

Trigonometrik funktsiyalarda chalkashmaslik uchun siz oddiy mnemonik qoidani eslab qolishingiz mumkin: agar muammo O qarama-qarshi burchak, keyin siz bilan foydalanishingiz kerak Va nous if - oh pr Va yolg'on gapirish, keyin O sinus. Birinchi unli tovushlarga e'tibor bering kalit so'zlar. Ular juftlik hosil qiladi oh va yoki va taxminan.

4-usul: chegaralangan doira radiusi bo'ylab

Endi, gipotenuzani qanday topishni bilish uchun, siz to'g'ri burchakli uchburchak atrofida tasvirlangan aylananing xususiyatini eslab qolishingiz kerak. U quyidagicha o'qiladi. Doira markazi gipotenuzaning o'rta nuqtasiga to'g'ri keladi. Boshqacha qilib aytganda, to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzun tomoni aylananing diagonaliga teng. Ya'ni, radiusni ikki baravar oshiring. Ushbu vazifaning formulasi quyidagicha ko'rinadi:

c = 2 * r, bu erda r ma'lum radiusni bildiradi.

Bularning barchasi to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini topishning mumkin bo'lgan usullari. har biridan zavqlaning aniq vazifa Ma'lumotlar to'plamiga ko'proq mos keladigan usul kerak.

№1 vazifaga misol

Shart: to'g'ri burchakli uchburchakda ikkala oyog'iga medianalar chizilgan. Kattaroq tomonga chizilgan uzunligi √52 ga teng. Boshqa mediananing uzunligi √73 ga teng. Gipotenuzani hisoblashingiz kerak.

Medianlar uchburchakda chizilganligi sababli, ular oyoqlarni ikkita teng segmentga bo'lishadi. Fikrlash va gipotenuzani qanday topishni topish qulayligi uchun siz bir nechta belgilarni kiritishingiz kerak. Kattaroq oyoqning ikkala yarmi "x" harfi bilan, ikkinchisi esa "y" bilan belgilansin.

Endi biz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqishimiz kerak, ularning gipotenuslari ma'lum medianalardir. Ular uchun siz Pifagor teoremasining formulasini ikki marta yozishingiz kerak:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Ushbu ikkita tenglama ikkita noma'lumli tizimni tashkil qiladi. Ularni hal qilib, ulardan asl uchburchakning oyoqlarini va uning gipotenuzasini topish oson bo'ladi.

Avval siz hamma narsani ikkinchi darajaga ko'tarishingiz kerak. Ma'lum bo'lishicha:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Ikkinchi tenglamadan y 2 \u003d 73 - 4x 2 ekanligini ko'rish mumkin. Ushbu ifoda birinchisiga almashtirilishi va "x" ni hisoblashi kerak:

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Konvertatsiya qilinganidan keyin:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 yoki 15 x 2 \u003d 240.

Oxirgi ifodadan x = √16 = 4.

Endi siz "y" ni hisoblashingiz mumkin:

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Shartga ko'ra, dastlabki uchburchakning oyoqlari 6 va 8 ekanligi ma'lum bo'ladi. Shunday qilib, siz birinchi usuldagi formuladan foydalanib, gipotenuzani topishingiz mumkin:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Javob: gipotenuza 10 ga teng.

№2 topshiriq misoli

Shart: kichikroq tomoni 41 ga teng bo'lgan to'rtburchakda chizilgan diagonalni hisoblang. Agar u burchakni 2 dan 1 gacha bog'liq bo'lganlarga ajratishi ma'lum bo'lsa.

Bu masalada to'rtburchakning diagonali 90º uchburchakning eng uzun tomoni hisoblanadi. Shunday qilib, hamma narsa gipotenuzani qanday topishga bog'liq.

Muammo burchaklar bilan bog'liq. Bu shuni anglatadiki, siz trigonometrik funktsiyalar mavjud bo'lgan formulalardan birini ishlatishingiz kerak bo'ladi. Va birinchi navbatda o'tkir burchaklardan birining qiymatini aniqlash kerak.

Shartda aytilgan burchaklarning eng kichiki a bilan belgilansin. Keyin diagonalga bo'lingan to'g'ri burchak 3a ga teng bo'ladi. Buning uchun matematik belgilar quyidagicha ko'rinadi:

Bu tenglamadan a ni aniqlash oson. 30º ga teng bo'ladi. Bundan tashqari, u to'rtburchakning kichik tomoniga qarama-qarshi yotadi. Shuning uchun 3-sonli usulda tasvirlangan formula kerak bo'ladi.

Gipotenuza oyoqning qarama-qarshi burchak sinusiga nisbatiga teng, ya'ni:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Javob: Gipotenuza 82 ga teng.