1°

1°. Sirtni aniq belgilash holati uchun tangens tekislik va normal tenglamalar.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilalarining geometrik qo‘llanilishidan birini ko‘rib chiqamiz. Funktsiyaga ruxsat bering z = f (x ;y) nuqtada farqlanadi (x 0; y 0) ba'zi hudud DÎ R 2. Keling, sirtni kesib olaylik S, funksiyani ifodalaydi z, samolyotlar x = x 0 Va y = y 0(11-rasm).

Samolyot X = x 0 sirtini kesib o'tadi S ba'zi bir chiziq bo'ylab z 0 (y), tenglamasi asl funktsiya ifodasiga almashtirish orqali olinadi z ==f (x ;y) o'rniga X raqamlar x 0. Nuqta M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) egri chiziqqa tegishli z 0 (y). Differensiallanuvchi funksiya tufayli z nuqtada M 0 funktsiyasi z 0 (y) nuqtada ham farqlanadi y =y 0 . Shuning uchun, samolyotda bu nuqtada x = x 0 egri chiziqqa z 0 (y) tangensni chizish mumkin l 1.

Bo'lim uchun shunga o'xshash fikr yuritish da = y 0, tangens quramiz l 2 egri chiziqqa z 0 (x) nuqtada X = x 0 - To'g'ridan-to'g'ri 1 1 Va 1 2 deb nomlangan tekislikni aniqlang tangens tekisligi yuzasiga S nuqtada M 0.

Uning tenglamasini tuzamiz. Samolyot nuqtadan o'tganligi sababli oy(x 0;y 0 ;z 0), u holda uning tenglamasini quyidagicha yozish mumkin

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

bu shunday qayta yozilishi mumkin:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(tenglamani -C ga bo'lish va belgilash ).

Biz topamiz A 1 va B 1.

Tangens tenglamalari 1 1 Va 1 2 o'xshamoq

mos ravishda.

Tangent l 1 tekislikda yotadi a , shuning uchun barcha nuqtalarning koordinatalari l 1(1) tenglamani qanoatlantiring. Bu fakt tizim shaklida yozilishi mumkin

Ushbu sistemani B 1 ga nisbatan yechib, biz shuni olamiz.Tangens uchun shunga o'xshash fikr yuritish l 3, buni aniqlash oson.

Qiymatlarni almashtirish A 1 va B 1 ni (1) tenglamaga kiritsak, biz kerakli tangens tekislik tenglamasini olamiz:

Nuqtadan o'tuvchi chiziq M 0 va sirtning shu nuqtasida qurilgan tangens tekislikka perpendikulyar uning deyiladi normal.

Chiziq va tekislikning perpendikulyarlik shartidan foydalanib, kanonik normal tenglamalarni olish oson:

Izoh. Sirtning oddiy, ya'ni maxsus bo'lmagan nuqtalari uchun teginish tekisligi va sirtga normal formulalar olinadi. Nuqta M 0 sirt deyiladi maxsus, agar bu nuqtada barcha qisman hosilalar nolga teng bo'lsa yoki ulardan kamida bittasi mavjud bo'lmasa. Biz bunday fikrlarni hisobga olmaymiz.

Misol. Tangens tekislik va uning nuqtasidagi sirtga normal tenglamalarni yozing M(2; -1; 1).

Yechim. Keling, ushbu funktsiyaning qisman hosilalarini va ularning M nuqtadagi qiymatlarini topamiz

Bu erdan (2) va (3) formulalarni qo'llash orqali biz quyidagilarga ega bo'lamiz: z-1=2(x-2)+2(y+1) yoki 2x+2u-z-1=0- tangens tekislik tenglamasi va - normal tenglamalar.

2°. Tangens tekislik tenglamalari va sirtni aniq belgilash holati uchun normal.

Agar sirt S tenglama bilan berilgan F (x ; y;z)= 0, keyin (2) va (3) tenglamalar, qisman hosilalarni yashirin funktsiyaning hosilalari sifatida topish mumkinligini hisobga olgan holda.

Oddiy tekislik tenglamasi

1.

4.

Tangens tekislik va sirt normal

Ba'zi sirt berilgan bo'lsin, A - sirtning qo'zg'almas nuqtasi va B - sirtning o'zgaruvchan nuqtasi,

(1-rasm).

Nolga teng bo'lmagan vektor

→

n

chaqirdi normal vektor A nuqtada sirtga, agar

lim B → A j = π 2 .

F (x, y, z) = 0 sirt nuqtasi, agar bu nuqtada oddiy deyiladi

1. F " x , F "y , F " z qisman hosilalari uzluksiz;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Agar ushbu shartlardan kamida bittasi buzilgan bo'lsa, sirt nuqtasi chaqiriladi sirtning maxsus nuqtasi .

Teorema 1. Agar M(x 0 , y 0 , z 0 ) sirtning oddiy nuqtasi F (x , y , z) = 0 , u holda vektor

→ n = grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → i + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

M nuqtada bu sirt uchun normaldir (x 0, y 0, z 0).

Isbot kitobida berilgan I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Proxorenko, V.F. Safonova `` Kurs oliy matematika: Integral hisob. Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari. Differensial tenglamalar. M.: MPEI nashriyoti, 2002 (128-bet).

Oddiy sirt qaysidir nuqtada yoʻnalish vektori shu nuqtada sirtga normal boʻlgan va shu nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq mavjud.

Kanonik normal tenglamalar shaklida ifodalanishi mumkin

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Tangens tekisligi sirtga ma'lum bir nuqtada bu nuqtadan sirtga normal perpendikulyar ravishda o'tadigan tekislikdir.

Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki tangens tekislik tenglamasi shaklga ega:

(3)

Agar sirtdagi nuqta yagona bo'lsa, u holda sirtga normal vektor mavjud bo'lmasligi mumkin va shuning uchun sirt normal va teginish tekisligiga ega bo'lmasligi mumkin.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsialining geometrik ma'nosi

z = f (x, y) funksiya a (x 0, y 0) nuqtada differentsiallansin. Uning grafigi sirtdir

f (x, y) − z = 0.

z 0 = f (x 0 , y 0 ) ni qo'yaylik. U holda A nuqta (x 0, y 0, z 0) sirtga tegishli.

F (x, y, z) = f (x, y) − z funksiyaning qisman hosilalari

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = - 1

va A nuqtada (x 0 , y 0 , z 0 )

1. ular doimiy;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Demak, A F (x, y, z) sirtining oddiy nuqtasidir va bu nuqtada sirtga teginish tekisligi mavjud. (3) ga binoan, tangens tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ) - (z - z 0 ) = 0.

A (x 0, y 0) nuqtadan ixtiyoriy p (x, y) nuqtaga o'tishda nuqtaning tangens tekislikdagi vertikal siljishi B Q ga teng (2-rasm). Murojaatlarning tegishli o'sishi

(z - z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 )

Bu erda o'ng tomonda differentsial mavjud d z funksiya z = f (x, y) a nuqtada (x 0, x 0). Demak,
d f (x 0 , y 0 ). f (x, y) funksiya grafigiga (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) nuqtadagi tangens tekislik qo‘llanilishining o‘sishidir.

Differensial ta'rifdan kelib chiqadiki, funktsiya grafigidagi P nuqta bilan tangens tekislikdagi Q nuqta orasidagi masofa cheksiz ko'pdir. yuqori tartib p nuqtadan a nuqtagacha bo'lgan masofadan.

Bir nuqtada va uning uzluksiz qisman hosilalari mavjud bo'lib, ulardan kamida bittasi yo'qolmaydi, keyin bu nuqtaga yaqin joyda (1) tenglama bilan aniqlangan sirt bo'ladi. to'g'ri sirt.

Yuqoridagilarga qo'shimcha ravishda aniq belgilashning yashirin usuli sirtini aniqlash mumkin aniq, agar o'zgaruvchilardan biri, masalan, z, boshqalari bilan ifodalanishi mumkin bo'lsa:

Shuningdek bor parametrik tayinlash usuli. Bunday holda, sirt tenglamalar tizimi bilan aniqlanadi:

Oddiy sirt haqida tushuncha

Aniqroq aytganda, oddiy sirt birlik kvadrat ichki qismini gomeomorf xaritalash (ya'ni birma-bir va o'zaro uzluksiz xaritalash) tasviri deyiladi. Bu ta'rifga analitik ifoda berilishi mumkin.

Ichki nuqtalarining koordinatalari 0 tengsizliklarni qanoatlantiruvchi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi u va v bo‘lgan tekislikda kvadrat berilgan bo‘lsin.< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для turli nuqtalar(u, v) va (u, v") turli xil mos nuqtalar (x, y, z) va (x, y, z") edi.

Misol oddiy sirt yarim shardir. Butun soha unday emas oddiy sirt. Bu sirt tushunchasini yanada umumlashtirishni taqozo etadi.

Bo'shliqning kichik to'plami, har bir nuqtasining qo'shnisi bor oddiy sirt, chaqirildi to'g'ri sirt .

Differensial geometriyadagi sirt

Helikoid

Katenoid

Metrik sirt shaklini yagona aniqlamaydi. Masalan, mos ravishda parametrlangan helikoid va katenoid metrikasi mos keladi, ya'ni ularning mintaqalari o'rtasida barcha uzunliklarni (izometriyani) saqlaydigan muvofiqlik mavjud. Izometrik o'zgarishlarda saqlanib qolgan xususiyatlar deyiladi ichki geometriya yuzalar. Ichki geometriya sirtning fazodagi holatiga bog'liq emas va uni tarangliksiz yoki siqilishsiz egilganda (masalan, silindrni konusga egilganda) o'zgarmaydi.

Metrik koeffitsientlar nafaqat barcha egri chiziqlar uzunligini, balki umuman sirt ichidagi barcha o'lchovlarning natijalarini (burchaklar, maydonlar, egrilik va boshqalar) aniqlaydi. Shuning uchun, faqat metrikaga bog'liq bo'lgan hamma narsa ichki geometriyaga tegishli.

Oddiy va oddiy bo'lim

Sirt nuqtalarida normal vektorlar

Sirtning asosiy xususiyatlaridan biri uning normal- berilgan nuqtada tangens tekislikka perpendikulyar birlik vektor:

.

Normalning belgisi koordinatalarni tanlashga bog'liq.

Oddiy (ma'lum bir nuqtada) o'z ichiga olgan tekislikdagi sirt kesimi sirtda ma'lum bir egri chiziq hosil qiladi, bu deyiladi. oddiy bo'lim yuzalar. Oddiy bo'lim uchun asosiy norma sirt uchun normalga to'g'ri keladi (belgiga qadar).

Agar sirtdagi egri chiziq normal kesma bo'lmasa, u holda uning asosiy normali sirt normali bilan ma'lum bir burchak th hosil qiladi. Keyin egrilik k egrilik bilan bog'liq egri chiziq k n Meunier formulasi bo'yicha normal kesma (bir xil tangens bilan):

Sirtni aniqlashning turli usullari uchun normal birlik vektorining koordinatalari jadvalda keltirilgan:

	Sirt nuqtasidagi normal koordinatalar
bilvosita topshiriq
aniq topshiriq
parametrik spetsifikatsiya

Egrilik

Sirtning ma'lum bir nuqtasida turli yo'nalishlar uchun oddiy bo'limning turli egriligi olinadi, bu deyiladi normal egrilik; agar egri chiziqning asosiy normali sirtga normal bilan bir xil yo'nalishda ketsa, unga ortiqcha belgisi yoki normalarning yo'nalishlari qarama-qarshi bo'lsa, minus belgisi beriladi.

Umuman olganda, sirtning har bir nuqtasida ikkita perpendikulyar yo'nalish mavjud e 1 va e 2, bunda normal egrilik minimal va maksimal qiymatlarni oladi; bu yo'nalishlar deyiladi asosiy. Istisno, barcha yo'nalishlarda normal egrilik bir xil bo'lganda (masalan, shar yaqinida yoki inqilob ellipsoidining oxirida), u holda nuqtadagi barcha yo'nalishlar asosiy hisoblanadi.

Salbiy (chapda), nol (markazda) va ijobiy (o'ngda) egrilikka ega yuzalar.

Asosiy yo'nalishlarda oddiy egriliklar deyiladi asosiy egriliklar; ularni k 1 va k 2 ni belgilaymiz. Hajmi:

K= k 1 k 2

chaqirdi Gauss egriligi, to'liq egrilik yoki oddiygina egrilik yuzalar. Bu atama ham bor egrilik skalyar, bu egrilik tensorining konvolyutsiyasi natijasini nazarda tutadi; bunda egrilik skalyar Gauss egriligidan ikki barobar katta.

Gauss egriligini metrik orqali hisoblash mumkin va shuning uchun sirtlarning ichki geometriyasining ob'ekti hisoblanadi (asosiy egriliklar ichki geometriyaga tegishli emasligini unutmang). Siz egrilik belgisi asosida sirt nuqtalarini tasniflashingiz mumkin (rasmga qarang). Samolyotning egri chizig'i nolga teng. Radiusi R bo'lgan sharning egri chizig'i hamma joyda teng. Bundan tashqari, doimiy salbiy egrilik yuzasi - psevdosfera mavjud.

Geodezik chiziqlar, geodezik egrilik

Sirtdagi egri chiziq deyiladi geodezik chiziq, yoki oddiygina geodezik, agar uning barcha nuqtalarida egri chiziqning asosiy normali sirt normaliga to'g'ri kelsa. Misol: tekislikda geodeziya to'g'ri chiziqlar va to'g'ri chiziqlar segmentlari, sharda - katta doiralar va ularning segmentlari.

Ekvivalent ta’rif: geodezik chiziq uchun uning bosh normalining oskulatsiyalanuvchi tekislikka proyeksiyasi nol vektor hisoblanadi. Agar egri chiziq geodezik bo'lmasa, u holda ko'rsatilgan proyeksiya nolga teng emas; uning uzunligi deyiladi geodezik egrilik k g yuzasida egri chiziq. Munosabatlar mavjud:

,

Qayerda k- bu egri chiziqning egriligi, k n- uning normal kesimining bir xil tangens bilan egriligi.

Geodeziya chiziqlari ichki geometriyaga tegishli. Keling, ularning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz.

• orqali bu nuqta ma'lum bir yo'nalishdagi yuzalar bitta va faqat bitta geodezik mavjud.
• Sirtning etarlicha kichik maydonida ikkita nuqta har doim geodezik bilan, va bundan tashqari, faqat bitta bilan bog'lanishi mumkin. Izoh: sharda qarama-qarshi qutblar cheksiz ko'p meridianlar bilan bog'langan va ikkita yaqin nuqtani nafaqat katta doiraning segmenti, balki uni to'liq doiraga qo'shish orqali ham bog'lash mumkin, shuning uchun o'ziga xoslik faqat saqlanib qoladi. kichikda.
• Geodeziya eng qisqa yo'ldir. Aniqroq aytganda: sirtning kichik qismida berilgan nuqtalar orasidagi eng qisqa yo'l geodezik bo'ylab yotadi.

Kvadrat

Sirtning yana bir muhim atributi uning kvadrat, bu formula bo'yicha hisoblanadi:

2 oʻzgaruvchili z = f(x,y) funksiya grafigi D funksiyaning aniqlanish sohasiga XOY tekisligiga proyeksiyalangan sirtdir.
Sirtni ko'rib chiqing σ , z = f(x,y) tenglama bilan berilgan, bu yerda f(x,y) differensiallanuvchi funksiya va M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) s sirtda qoʻzgʻalmas nuqta boʻlsin, yaʼni. z 0 = f(x 0 ,y 0). Maqsad. Onlayn kalkulyator topish uchun mo'ljallangan tangens tekislik va sirt normal tenglamalari. Yechim Word formatida tuzilgan. Agar egri chiziqqa teguvchi tenglamani topish kerak bo'lsa (y = f(x)), unda siz ushbu xizmatdan foydalanishingiz kerak.

Funksiyalarni kiritish qoidalari:

Funksiyalarni kiritish qoidalari:

1. Barcha o'zgaruvchilar x,y,z orqali ifodalanadi

Sirtga teguvchi tekislik σ uning nuqtasida M 0 - sirtda chizilgan barcha egri chiziqlarning teglari yotadigan tekislik σ nuqta orqali M 0 .
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) nuqtada z = f(x,y) tenglama bilan aniqlangan sirtga teginish tekisligining tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Vektor sirt normal vektori deyiladi σ M 0 nuqtasida. Oddiy vektor tangens tekislikka perpendikulyar.
Oddiy sirt σ nuqtada M 0 - bu nuqtadan o'tuvchi va N vektor yo'nalishiga ega bo'lgan to'g'ri chiziq.
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) nuqtada z = f(x,y) tenglama bilan aniqlangan sirtga normalning kanonik tenglamalari, bunda z 0 = f(x 0,y 0), shaklga ega:

Misol № 1. Sirt x 3 +5y tenglama bilan berilgan. M 0 (0;1) nuqtada sirtga teginish tekisligi tenglamasini toping.
Yechim. Tangens tenglamalarni umumiy shaklda yozamiz: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y) - y 0)
Masalaning shartlariga ko'ra, x 0 = 0, y 0 = 1, keyin z 0 = 5
z = x^3+5*y funksiyaning qisman hosilalari topilsin:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0,1) nuqtasida qisman hosilalarning qiymatlari:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Formuladan foydalanib, M 0 nuqtadagi sirtga teginish tekisligi tenglamasini olamiz: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) yoki -5 y+z = 0

Misol № 2. Sirt aniq y 2 -1/2*x 3 -8z sifatida aniqlanadi. M 0 (1;0;1) nuqtadagi sirtga teginish tekisligi tenglamasini toping.
Yechim. Funksiyaning qisman hosilalarini topish. Funktsiya bilvosita ko'rsatilganligi sababli, hosilalarni quyidagi formuladan foydalanib qidiramiz:

Bizning funktsiyamiz uchun:

Keyin:

M 0 (1,0,1) nuqtada qisman hosilalarning qiymatlari:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Formuladan foydalanib, M 0 nuqtadagi sirtga teginish tekisligi tenglamasini olamiz: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) yoki 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Misol. Yuzaki σ tenglama bilan berilgan z= y/x + xy – 5x 3. Tangens tekislik va sirtga normal tenglamani toping σ nuqtada M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), unga tegishli bo'lsa, agar x 0 = –1, y 0 = 2.
Funktsiyaning qisman hosilalarini topamiz z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y ' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Nuqta M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) sirtga tegishli σ , shuning uchun biz hisoblashimiz mumkin z 0 , berilgan o'rniga x 0 = –1 va y 0 = 2 sirt tenglamasiga:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Shu nuqtada M 0 (–1, 2, 1) qisman hosila qiymatlari:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Formuladan (5) foydalanib, biz sirtga teginish tekisligining tenglamasini olamiz σ nuqtada M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
(6) formuladan foydalanib, biz sirtga normalning kanonik tenglamalarini olamiz σ nuqtada M 0: .
Javoblar: tangens tekislik tenglamasi: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; Oddiy tenglamalar: .

Misol № 1. z=f(x,y) funksiya va ikkita nuqta A(x 0, y 0) va B(x 1, y 1) berilgan. Talab qilinadi: 1) funksiyaning z 1 qiymatini B nuqtada hisoblash; 2) funksiyaning A nuqtadagi z 0 qiymatidan kelib chiqib, B nuqtadagi funksiyaning taxminiy qiymati z 1 ni A nuqtadan B nuqtaga o‘tishda funksiyaning o‘sishini differentsial bilan almashtirib hisoblang; 3) C(x 0 ,y 0 ,z 0) nuqtada z = f(x,y) sirtga teginish tekisligi uchun tenglama tuzing.
Yechim.
Tangens tenglamalarni umumiy shaklda yozamiz:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Masalaning shartlariga ko'ra, x 0 = 1, y 0 = 2, keyin z 0 = 25
z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 funksiyaning qisman hosilalari topilsin:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
M 0 (1,2) nuqtada qisman hosilalarning qiymatlari:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Formuladan foydalanib, M 0 nuqtasida sirtga teginish tekisligi tenglamasini olamiz:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
yoki
-26 x-36 y+z+73 = 0

Misol № 2. (1;-1;3) nuqtadagi z = 2x 2 + y 2 elliptik paraboloidning teginish tekisligi va normal tenglamalarini yozing.

Tangens tekisliklar geometriyada katta rol o'ynaydi. Tangens tekisliklarni qurish amaliy ahamiyatga ega, chunki ularning mavjudligi aloqa nuqtasida sirtga normaning yo'nalishini aniqlashga imkon beradi. Ushbu muammo muhandislik amaliyotida keng qo'llaniladi. Tangens tekisliklari eskizlarni qurish uchun ham ishlatiladi. geometrik shakllar, yopiq yuzalar bilan cheklangan. Nazariy jihatdan, sirtga tegib turgan tekisliklar differensial geometriyada kontakt nuqtasi hududidagi sirt xususiyatlarini o'rganish uchun ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar va ta'riflar

Sirtga teginish tekisligi sekant tekisligining cheklovchi pozitsiyasi sifatida ko'rib chiqilishi kerak (egri chiziqqa teginish chizig'iga o'xshab, u ham sekantning cheklovchi pozitsiyasi sifatida belgilanadi).

Sirtning ma'lum bir nuqtasida sirtga teguvchi tekislik barcha to'g'ri chiziqlar to'plamidir - ma'lum bir nuqta orqali sirtga o'tkaziladigan teglar.

Differensial geometriyada oddiy nuqtada chizilgan sirtga barcha teglar koplanar (bir tekislikka tegishli) ekanligi isbotlangan.

Keling, sirtga teginish to'g'ri chiziqni qanday chizishni bilib olaylik. Sirtda ko'rsatilgan M nuqtada (203-rasm) b sirtga teginish t ikki nuqtada (MM 1, MM 2, ..., MM n) sirtni kesib o'tuvchi l j sekantning chegaralangan holatini ifodalaydi. kesishish nuqtalari mos keladi (M ≡ M n, l n ≡ l M). Shubhasiz (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, chunki g ⊂ b. Yuqoridagilardan quyidagi ta'rif kelib chiqadi: sirtga teginish - sirtga tegishli har qanday egri chiziqqa teguvchi to'g'ri chiziq.

Tekislik ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziq bilan aniqlanganligi sababli, ma'lum bir nuqtada sirtga teguvchi tekislikni aniqlash uchun, bu nuqta orqali sirtga tegishli ikkita ixtiyoriy chiziqni (shaklida sodda) o'tkazish kifoya qiladi va teglar hosil qiladi. ularning har biri bu chiziqlarning kesishish nuqtasida. Tuzilgan tangenslar tangens tekisligini noyob tarzda aniqlaydi. Berilgan M nuqtada b sirtga a tangens tekislik chizishning vizual tasviri rasmda keltirilgan. 204. Bu rasmda b sirtga normal n ni ham ko'rsatadi.

Berilgan nuqtadagi sirtning normali teginish tekisligiga perpendikulyar va teginish nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir.

Sirtning normaldan o'tuvchi tekislik bilan kesishish chizig'i sirtning normal kesimi deyiladi. Sirt turiga qarab, teginish tekisligi sirt bilan bir yoki bir nechta nuqtaga (chiziq) ega bo'lishi mumkin. Tangens chizig'i bir vaqtning o'zida sirtning tekislik bilan kesishish chizig'i bo'lishi mumkin.

Bundan tashqari, sirtda yuzaga teginish mumkin bo'lmagan nuqtalar mavjud bo'lgan holatlar ham mavjud; bunday nuqtalar birlik deyiladi. Yagona nuqtalarga misol sifatida torso yuzasining qaytib chetiga tegishli nuqtalarni yoki aylanish yuzasi meridianining uning o'qi bilan kesishish nuqtasini keltirish mumkin, agar meridian va o'q o'ng tomonda kesishmasa. burchaklar.

Tegish turlari sirt egriligining tabiatiga bog'liq.

Yuzaki egrilik

Sirt egriligi masalalarini fransuz matematigi F.Dyupin (1784-1873) o‘rganib, sirtning normal kesimlari egriligidagi o‘zgarishlarni tasvirlashning vizual usulini taklif qilgan.

Buning uchun M nuqtasida ko'rib chiqilayotgan sirtga teginish tekisligida (205, 206-rasm), bu kesmalarning tegishli egrilik radiuslari qiymatlarining kvadrat ildizlariga teng bo'lgan segmentlar teglar ustiga yotqiziladi. bu nuqtaning har ikki tomonidagi normal bo'limlar. Nuqtalar to'plami - segmentlarning uchlari chaqirilgan egri chiziqni belgilaydi Dupin ko'rsatkichi. Dupin indikatrisini tuzish algoritmini (205-rasm) yozish mumkin:

1. M ∈ a, M ∈ b ∧ a b;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

bu erda R - egrilik radiusi.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) Dupin indikatoridir.

Agar sirtning Dupin ko'rsatkichi ellips bo'lsa, M nuqta elliptik, sirt esa elliptik nuqtali sirt deb ataladi.(206-rasm). Bunday holda, teginish tekisligi sirt bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega va sirtga tegishli va ko'rib chiqilayotgan nuqtada kesishgan barcha chiziqlar teginish tekisligining bir tomonida joylashgan. Elliptik nuqtalari bo'lgan sirtlarga misollar: inqilob paraboloidi, inqilob ellipsoidi, shar (bu holda Dupin ko'rsatkichi aylana va boshqalar).

Tangens tekislikni torso yuzasiga chizishda tekislik bu sirtga to'g'ri generatrix bo'ylab tegadi. Bu chiziqdagi nuqtalar deyiladi parabolik, sirt esa parabolik nuqtalari bo'lgan sirtdir. Dupin ko'rsatkichi bu holda ikkita parallel chiziqdir (207-rasm*).

Shaklda. 208 nuqtalardan tashkil topgan sirtni ko'rsatadi

* Ikkinchi tartibli egri chiziq - parabola - ma'lum sharoitlarda ikkita haqiqiy parallel chiziqqa, ikkita xayoliy parallel chiziqqa, ikkita mos keladigan chiziqqa bo'linishi mumkin. Shaklda. 207 biz ikkita haqiqiy parallel chiziq bilan ishlaymiz.

Har qanday tangens tekislik sirtni kesib o'tadi. Bunday sirt deyiladi giperbolik, va unga tegishli nuqtalar giperbolik nuqtalar. Dupin indikatori Ushbu holatda- giperbola.

Barcha nuqtalari giperbolik bo'lgan sirt egar shakliga ega (qiyshiq tekislik, bir varaqli giperboloid, inqilobning konkav yuzalari va boshqalar).

Bir yuzada nuqta bo'lishi mumkin turli xil turlari, masalan, torso yuzasiga yaqin joyda (209-rasm) M nuqtasi elliptik; N nuqta parabolik; K nuqtasi giperbolikdir.

Differensial geometriya kursida egrilik qiymatlari K j = 1/ R j (bu erda R j - ko'rib chiqilayotgan kesimning egrilik radiusi) ekstremal qiymatlarga ega bo'lgan normal bo'limlar ikkitada joylashganligi isbotlangan. o'zaro perpendikulyar tekisliklar.

Bunday egriliklar K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min asosiy qiymatlar deb ataladi va H = (K 1 + K 2)/2 va K = K 1 K 2 qiymatlari mos ravishda sirtning o'rtacha egriligi va umumiy ( Gauss) ko'rib chiqilayotgan nuqtada sirtning egriligi. Elliptik nuqtalar uchun K > 0, giperbolik nuqtalar K

Monge diagrammasida sirtga teginish tekisligini ko'rsatish

Quyida aniq misollar Elliptik (1-misol), parabolik (2-misol) va giperbolik (3-misol) nuqtalari bo'lgan sirtga teginish tekisligini qurishni ko'rsatamiz.

O'RNAK 1. Elliptik nuqtalari bo'lgan b aylanish yuzasiga teginish a tekislikni tuzing. Bu masalani yechishning ikkita variantini ko‘rib chiqamiz: a) M ∈ b nuqta va b) M ∉ b nuqta.

Variant a (210-rasm).

Tangens tekislik M nuqtada b sirtning parallel va meridianiga chizilgan ikkita t 1 va t 2 tangenslari bilan aniqlanadi.

t 1 tangensining b sirtning h paralleliga proyeksiyalari t" 1 ⊥ (S"M") va t" 1 bo'ladi || x o'qi M nuqtadan o'tuvchi b sirtning d meridianiga t" 2 tegining gorizontal proyeksiyasi meridianning gorizontal proyeksiyasiga to'g'ri keladi. t" 2 tangensining frontal proyeksiyasini topish uchun g(g) meridional tekislik. ∋ M) p 2 tekislikka parallel b 1 sirt o'qi atrofida aylanib g holatiga o'tkaziladi. Bunda M → M 1 nuqta (M" 1, M" 1).Tangensning proyeksiyasi t" 2 rarr; t" 2 1 (M" 1 S") bilan aniqlanadi. Agar endi g 1 tekislikni dastlabki holatiga qaytarsak, u holda S" nuqta o'z o'rnida qoladi (aylanish o'qiga tegishli) va M" 1 → M" va tangensning frontal proyeksiyasi t" 2 bo'ladi. aniqlanadi (M" S")

M ∈ b nuqtada kesishgan ikkita t 1 va t 2 tangenslari b sirtga teguvchi a tekislikni aniqlaydi.

Variant b (211-rasm)

Sirtga tegishli bo'lmagan nuqtadan o'tuvchi sirtga teginish tekisligini qurish uchun quyidagi mulohazalardan kelib chiqish kerak: elliptik nuqtalardan iborat sirtdan tashqaridagi nuqta orqali sirtga teguvchi ko'plab tekisliklarni o'tkazish mumkin. Bu sirtlarning konverti ba'zi konusning yuzasi bo'ladi. Shuning uchun, agar qo'shimcha ko'rsatmalar bo'lmasa, u holda muammoning ko'plab echimlari mavjud va bu holda konusning sirtini g teginish berilgan sirtga chizishga qisqartiradi.

Shaklda. 211-rasmda b sharga teguvchi konussimon yuzaning qurilishi ko'rsatilgan. Konussimon sirtga g teggan har qanday a tekislik b sirtga teginish bo'ladi.

M" va M" nuqtalardan g sirtning proyeksiyalarini qurish uchun h" va f" aylanalarga - sharning proyeksiyalariga teginishlar o'tkazamiz. 1 (1" va 1"), 2 (2" va 2"), 3 (3" va 3") va 4 (4" va 4") teginish nuqtalarini belgilang. Doiraning gorizontal proyeksiyasi - konusning yuza va sharning teginish chizig'i [ 1"2"] ga proyeksiyalanadi, bu doira proyeksiyalarning frontal tekisligiga proyeksiyalanadigan ellips nuqtalarini topish uchun biz foydalanamiz. sharning parallellari.

Shaklda. 211 shu tarzda E va F (E" va F") nuqtalarning frontal proyeksiyalari aniqlanadi. Konussimon sirtga ega bo'lgan g, biz unga teginish a tekisligini quramiz. Grafikning tabiati va ketma-ketligi

Buning uchun bajarilishi kerak bo'lgan konstruktsiyalar quyidagi misolda keltirilgan.

2-MISAL Parabolik nuqtalar bilan b sirtga teguvchi a tekislik yasang.

1-misoldagi kabi ikkita yechimni ko'rib chiqamiz: a) N ∈ b nuqta; b) N ∉ b nuqta

Variant a (212-rasm).

Konussimon sirt deganda parabolik nuqtalari boʻlgan sirtlar tushuniladi (207-rasmga qarang.) Konussimon sirtga tegib turgan tekislik unga toʻgʻri chiziq boʻylab tegadi.Uni qurish uchun quyidagilar zarur:

1) berilgan N nuqta orqali SN (S"N" va S"N" generatorini chizish;

2) generatrixning kesishish nuqtasini (SN) yo'riqnoma d bilan belgilang: (SN) ∩ d = A;

3) shuningdek, A nuqtada t dan d gacha bo'lgan tangensga zarba beradi.

Generator (SA) va uni kesib o'tuvchi t tangensi berilgan N* nuqtada konusning b sirtiga teguvchi a tekislikni aniqlaydi.

Konussimon sirtga teguvchi b va N nuqtadan o'tuvchi a tekislikni chizish uchun tegishli emas.

* b sirt parabolik nuqtalardan (S cho'qqisidan tashqari) iborat bo'lganligi uchun unga tegib turgan a tekislik umumiy N nuqtaga emas, balki to'g'ri chiziqqa (SN) ega bo'ladi.

berilgan sirtni bosish uchun quyidagilar kerak:

1) berilgan N nuqta va konussimon yuzaning S uchi b orqali a (a" va a") to'g'ri chiziqni o'tkazamiz;

2) bu to'g'ri chiziqning H a gorizontal izini aniqlang;

3) H a orqali h 0b egri chizig'ining t" 1 va t" 2 tangenslarini chizamiz - konusning sirtining gorizontal izi;

4) A (A" va A") va B (B" va B") teginish nuqtalarini S (S" va S") konusning sirtining cho'qqisiga ulang.

Kesishuvchi chiziqlar t 1, (AS) va t 2, (BS) kerakli tangens tekisliklarni aniqlaydi a 1 va a 2

O'RNAK 3. Giperbolik nuqtalar bilan b sirtga teginish a tekislik yasang.

K nuqtasi (214-rasm) globoid yuzasida (halqaning ichki yuzasi) joylashgan.

Tangens a tekisligining holatini aniqlash uchun quyidagilar zarur:

1) K nuqta orqali b h(h", h") sirtga parallel chizamiz;

2) K" nuqta orqali t" 1 (t" 1 ≡ h") teginishini chizamiz;

3) tangens proyeksiyalarining meridional kesimga yo‘nalishlarini aniqlash uchun K nuqta va sirt o‘qi orqali g tekislikni o‘tkazish kerak, gorizontal proyeksiya t” 2 h 0g ga to‘g‘ri keladi; qurish uchun. tangensning frontal proyeksiyasi t" 2, biz birinchi navbatda g tekislikni aylanish sirtining o'qi atrofida aylantirib, g 1 holatiga aylantiramiz || p 2. Bunda g tekislik bo'yicha meridional kesma frontal proyeksiyaning chap kontur yoyi - yarim doira g" bilan tekislanadi.

Meridional kesim egri chizig'iga tegishli K (K, K" nuqtasi K 1 (K" 1, K" 1) holatiga o'tadi. K" 1 orqali g 1 || tekislik bilan birlashtirilgan t" 2 1 tangensining frontal proyeksiyasini chizamiz. p 2 holati va uning kesishish nuqtasini aylanish o'qining frontal proyeksiyasi bilan belgilang S" 1. Biz g 1 tekislikni dastlabki holatiga qaytaramiz, K" 1 → K" nuqtasi (S" 1 ≡ S" nuqtasi) t" 2 tangensining frontal proyeksiyasi K" va S" nuqtalari bilan aniqlanadi.

t 1 va t 2 tangenslari l egri chizig'i bo'ylab b sirtni kesib o'tuvchi kerakli teginish tekisligini a aniqlaydi.

O'RNAK 4. K nuqtada b sirtga teguvchi a tekislik yasang. K nuqta bir varaqli aylanma giperboloid yuzasida joylashgan (215-rasm).

Bu muammoni oldingi misolda qo'llanilgan algoritmga rioya qilish yo'li bilan hal qilish mumkin, lekin bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasi ikki to'g'ri chiziqli generatorlar oilasiga va har bir generatorga ega bo'lgan boshqariladigan sirt ekanligini hisobga olsak. oila boshqa oilaning barcha generatorlarini kesib o'tadi (32-§, 138-rasmga qarang). Ushbu sirtning har bir nuqtasi orqali ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziq - generatorlar o'tkazilishi mumkin, ular bir vaqtning o'zida bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasiga tegib turadi.

Bu tangenslar tangens tekisligini belgilaydi, ya'ni bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasiga teguvchi tekislik bu sirtni ikkita g 1 va g 2 to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tadi. Bu chiziqlarning proyeksiyalarini qurish uchun K nuqtaning gorizontal proyeksiyasini va t" 1 va t" 2 tangenslarini gorizontalga olib borish kifoya.

aylananing tal proyeksiyasi d" 2 - bir varaqli inqilob giperboloidi yuzasining tomog'i; t" 1 va t" 2 bir va d 1 yo'naltiruvchi yuzalarni kesishadigan 1" va 2 nuqtalarni aniqlang. 1" va 2" dan biz 1" va 2" ni topamiz, ular K" bilan birgalikda kerakli chiziqlarning frontal proyeksiyalarini aniqlaydi.