Chekni kutishni qanday aniqlash mumkin. Matematik kutish formulasi. Ehtimollar nazariyasi asoslari
Diskretning matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.
Tasodifiy o'zgaruvchi faqat mos ravishda teng bo'lgan ehtimollik qiymatlarini qabul qilsin, keyin tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tenglik bilan aniqlanadi.
Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini qabul qilsa, u holda
Bundan tashqari, tenglikning o'ng tomonidagi qatorlar mutlaqo yaqinlashsa, matematik kutish mavjud.
Izoh. Ta'rifdan kelib chiqadiki, diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) miqdordir.
Umumiy holatda matematik kutishning ta'rifi
Taqsimlanishi mutlaqo diskret bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlaylik. Keling, manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilardan boshlaylik. Maqsad, matematik kutish allaqachon aniqlangan diskretlardan foydalangan holda bunday tasodifiy o'zgaruvchilarni taxmin qilish va matematik taxminni qo'yishdir. chegarasiga teng unga yaqinlashuvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik taxminlari. Aytgancha, bu juda foydali umumiy g'oya, ya'ni oddiy ob'ektlar uchun qandaydir xarakteristikalar avval aniqlanadi, keyin esa murakkabroq ob'ektlar uchun ularni oddiyroqlari bilan yaqinlashtirish orqali aniqlanadi.
Lemma 1. Ixtiyoriy manfiy bo'lmagan tasodifiy miqdor bo'lsin. Keyin diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi mavjud bo'lib, shunday
Isbot. Yarim o'qni teng uzunlikdagi segmentlarga ajratamiz va aniqlaymiz
Keyin tasodifiy o'zgaruvchining ta'rifidan 1 va 2 xossalar osongina kelib chiqadi va
Lemma 2. Lemma 1dan 1-3 xossalarga ega bo'lgan manfiy bo'lmagan tasodifiy miqdor va va ikkita diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi bo'lsin.
Isbot. E'tibor bering, salbiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun biz ruxsat beramiz
3-xususiyat tufayli ketma-ketlik borligini ko'rish oson ijobiy raqamlar, shu kabi
Bundan kelib chiqadi
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik taxminlar xususiyatlaridan foydalanib, biz olamiz
Cheklovga o'tib, biz Lemma 2 bayonotini olamiz.
Ta'rif 1. Manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin, - Lemma 1dan 1-3 xossalarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi bu sondir.
Lemma 2, u yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tanlashga bog'liq emasligini kafolatlaydi.
Keling, ixtiyoriy tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Keling, aniqlaymiz
Ta'rifdan va bu osonlik bilan kelib chiqadi
Ta'rif 2. Ixtiyoriy tasodifiy miqdorning matematik kutilishi sondir
Agar bu tenglikning o'ng tomonidagi raqamlardan kamida bittasi chekli bo'lsa.
Matematik kutishning xossalari
Mulk 1. Kutilgan qiymat doimiy qiymat doimiyning o'ziga teng:
Isbot. Biz doimiyni bitta mumkin bo'lgan qiymatga ega bo'lgan va uni ehtimollik bilan qabul qiladigan diskret tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqamiz, shuning uchun
Izoh 1. Keling, mumkin bo'lgan qiymatlari mumkin bo'lgan qiymatlar bo'yicha doimiy o'zgaruvchining mahsulotiga teng bo'lgan diskret tasodifiy o'zgarmas o'zgaruvchining mahsulotini aniqlaylik; mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklari mos keladigan mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklariga teng.Masalan, mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli teng bo'lsa, qiymatning qiymatni olish ehtimoli ham teng bo'ladi.
Xossa 2. Matematik kutilma belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:
Isbot. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik taqsimoti qonuni bilan berilgan bo'lsin:
1-izohni hisobga olib, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozamiz
Izoh 2. Keyingi xususiyatga o'tishdan oldin, ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ulardan birining taqsimot qonuni boshqa o'zgaruvchi qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, mustaqil deb nomlanishini ta'kidlaymiz. Aks holda, tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'ladi. Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ularning har qanday sonining taqsimlanish qonunlari qolgan o'zgaruvchilar qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, o'zaro mustaqil deb ataladi.
Izoh 3. Keling, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotini aniqlaylik va tasodifiy o'zgaruvchi sifatida, uning mumkin bo'lgan qiymatlari har bir mumkin bo'lgan qiymat bo'yicha har bir mumkin bo'lgan qiymatning mahsulotiga teng bo'lsa, mahsulotning mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli teng bo'ladi. omillarning mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli mahsuloti. Misol uchun, agar mumkin bo'lgan qiymat ehtimoli bo'lsa, mumkin bo'lgan qiymat ehtimoli bo'lsa, unda mumkin bo'lgan qiymat ehtimoli bo'ladi.
Xossa 3. Ikkita mustaqil tasodifiy miqdor ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko‘paytmasiga teng:
Isbot. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar o'zlarining ehtimollik taqsimot qonunlari bilan aniqlansin:
Keling, tasodifiy o'zgaruvchi olishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlarni kompilyatsiya qilaylik.Buni amalga oshirish uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni har bir mumkin bo'lgan qiymatga ko'paytiramiz; Natijada, biz olamiz va 3-mulohazani inobatga olgan holda, soddalik uchun mahsulotning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari har xil deb hisoblab, taqsimot qonunini yozamiz (agar bunday bo'lmasa, isbotlash quyidagi tartibda amalga oshiriladi). shunga o'xshash usul):
Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga teng:
Natija. Bir nechta o'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.
4-xususiyat. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik kutilmalari yig‘indisiga teng:
Isbot. Tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin va quyidagi taqsimot qonunlari bilan belgilansin:
Keling, miqdorning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini tuzamiz.Buni amalga oshirish uchun har bir mumkin bo'lgan qiymatni har bir mumkin bo'lgan qiymatga qo'shamiz; Keling, oddiylik uchun bu mumkin bo'lgan qiymatlar boshqacha deb faraz qilaylik (agar bunday bo'lmasa, isbot xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi) va biz ularning ehtimolliklarini mos ravishda va bilan belgilaymiz.
Qiymatning matematik kutilishi mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga teng:
Qiymatni qabul qiladigan Hodisa (bu hodisaning ehtimolligi teng) yoki (qo'shilish teoremasi bo'yicha bu hodisaning ehtimoli teng) qiymatni qabul qiladigan hodisaga olib kelishini isbotlaylik. Demak, tengliklar xuddi shunday isbotlangan
Ushbu tengliklarning o'ng tomonlarini (*) nisbatga almashtirib, biz hosil bo'lamiz
yoki nihoyat
Dispersiya va standart og'ish
Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha qiymati atrofida tarqalishini baholash kerak. Masalan, artilleriyada snaryadlar urilgan nishonga qanchalik yaqin tushishini bilish muhimdir.
Bir qarashda, dispersiyani baholashning eng oson usuli tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan og'ishlarini hisoblash va keyin ularning o'rtacha qiymatini topishdir. Biroq, bu yo'l hech narsa bermaydi, chunki og'ishning o'rtacha qiymati, ya'ni. har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun nolga teng. Bu xususiyat ba'zi mumkin bo'lgan og'ishlar ijobiy, boshqalari esa salbiy ekanligi bilan izohlanadi; ularning o'zaro bekor qilinishi natijasida o'rtacha og'ish qiymati nolga teng. Ushbu mulohazalar mumkin bo'lgan og'ishlarni almashtirishning maqsadga muvofiqligini ko'rsatadi mutlaq qiymatlar yoki ularning kvadratlari. Ular amalda shunday qilishadi. To'g'ri, mumkin bo'lgan og'ishlar mutlaq qiymatlar bilan almashtirilganda, mutlaq qiymatlar bilan ishlashga to'g'ri keladi, bu ba'zan jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun, ko'pincha ular boshqa yo'lni tanlaydilar, ya'ni. dispersiya deb ataladigan kvadrat og'ishning o'rtacha qiymatini hisoblang.
Matematik kutish - bu ta'rif
Checkmate kutish bittasi eng muhim tushunchalar V matematik statistika va ehtimollik nazariyasi, qiymatlarning taqsimlanishini tavsiflovchi yoki ehtimolliklar tasodifiy o'zgaruvchi. Odatda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan parametrlarining o'rtacha og'irligi sifatida ifodalanadi. ichida keng qo'llaniladi texnik tahlil, tadqiqot raqamlar seriyasi, uzluksiz va uzoq muddatli jarayonlarni o'rganish. Moliyaviy bozorlarda savdo qilishda risklarni baholash, narx ko'rsatkichlarini bashorat qilishda muhim ahamiyatga ega va o'yin taktikasi strategiyalari va usullarini ishlab chiqishda qo'llaniladi. qimor o'yinlari nazariyalari.
Checkmate kutmoqda- Bu tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati, taqsimoti ehtimolliklar tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladi.
Checkmate kutish ehtimollik nazariyasidagi tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining o'lchovi. Tasodifiy o'zgaruvchining kutilishini tekshiring x bilan belgilanadi M(x).
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Checkmate kutish
Checkmate kutish ehtimollik nazariyasida tasodifiy o'zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan qiymatlarning o'rtacha og'irligi.
Checkmate kutish tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari mahsuloti yig'indisi va bu qiymatlarning ehtimolliklari.
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
Checkmate kutish ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin.
Checkmate kutish qimor nazariyasida chayqovchi har bir tikish bo'yicha o'rtacha hisobda olishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan yutuq miqdori. Qimor o'yinlari tilida chayqovchilar Bu ba'zan "afzallik" deb ataladi chayqovchi" (agar u chayqovchi uchun ijobiy bo'lsa) yoki "uy chekkasi" (agar u chayqovchi uchun salbiy bo'lsa).
Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi
uchun vazifalar ham bo'ladi mustaqil qaror, unga javoblarni ko'rishingiz mumkin.
Kutish va dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining eng ko'p qo'llaniladigan raqamli xarakteristikalaridir. Ular taqsimotning eng muhim xususiyatlarini tavsiflaydi: uning joylashuvi va tarqalish darajasi. Ko'pincha kutilgan qiymat oddiygina o'rtacha deb ataladi. tasodifiy o'zgaruvchi. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi - dispersiyaning xarakteristikasi, tasodifiy miqdorning tarqalishi uning matematik kutilishi haqida.
Ko'pgina amaliy masalalarda tasodifiy o'zgaruvchining to'liq, to'liq xarakteristikasi - taqsimot qonunini olish mumkin emas yoki umuman kerak emas. Bunday hollarda raqamli xarakteristikalar yordamida tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi bilan cheklanadi.
Diskret tasodifiy miqdorni kutish
Keling, matematik kutish tushunchasiga kelaylik. Qandaydir moddaning massasi x o'qi nuqtalari orasida taqsimlansin x1 , x 2 , ..., x n. Bundan tashqari, har bir moddiy nuqta ehtimoli bo'lgan mos keladigan massaga ega p1 , p 2 , ..., p n. Butun tizimning holatini tavsiflovchi abscissa o'qida bitta nuqtani tanlash kerak moddiy nuqtalar, ularning massasini hisobga olgan holda. Bunday nuqta sifatida moddiy nuqtalar sistemasining massa markazini olish tabiiydir. Bu tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha og'irligi X, har bir nuqtaning abssissasi xi mos keladigan ehtimolga teng "og'irlik" bilan kiradi. Shu tarzda olingan tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati X uning matematik kutilishi deyiladi.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir:
1-misol. Yutuqli lotereya uyushtirildi. 1000 ta yutuq bor, ulardan 400 tasi 10 rubl. Har biri 300-20 rubl. Har biri 200-100 rubl. va har biri 100 - 200 rubl. Bitta chipta sotib olgan odamning o'rtacha yutug'i qancha?
Yechim. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubl boʻlgan yutuqning umumiy miqdorini 1000 ga (yutuqning umumiy miqdori) boʻlsak, oʻrtacha yutuqni topamiz. Keyin biz 50000/1000 = 50 rubl olamiz. Ammo o'rtacha yutuqni hisoblash uchun ifoda quyidagi shaklda taqdim etilishi mumkin:
Boshqa tomondan, bunday sharoitlarda g'alaba qozongan o'lcham tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, u 10, 20, 100 va 200 rubl qiymatlarini olishi mumkin. mos ravishda 0,4 ga teng ehtimollar bilan; 0,3; 0,2; 0.1. Shuning uchun, kutilgan o'rtacha daromad summasiga teng yutuq miqdoridagi mahsulotlar va ularni olish ehtimoli.
2-misol. Nashriyot nashr etishga qaror qildi yangi kitob. U kitobni 280 rublga sotishni rejalashtirmoqda, uning o'zi 200, 50 - kitob do'koni va 30 - muallif. Jadvalda kitobni nashr qilish xarajatlari va kitobning ma'lum miqdordagi nusxalarini sotish ehtimoli haqida ma'lumot berilgan.
Nashriyotning kutilayotgan foydasini toping.
Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchan "foyda" sotishdan olingan daromad va xarajatlar qiymati o'rtasidagi farqga teng. Misol uchun, agar kitobning 500 nusxasi sotilgan bo'lsa, u holda sotishdan tushgan daromad 200 * 500 = 100 000, nashr qilish narxi esa 225 000 rublni tashkil qiladi. Shunday qilib, nashriyot 125 000 rubl zararga duch keladi. Quyidagi jadval tasodifiy o'zgaruvchining kutilayotgan qiymatlarini umumlashtiradi - foyda:
| Raqam | Foyda xi | Ehtimollik pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Jami: | 1,00 | 25000 |
Shunday qilib, biz nashriyot foydasining matematik taxminini olamiz:
.
3-misol. Bir zarba bilan urish ehtimoli p= 0,2. 5 ga teng bo'lgan zarbalar sonining matematik taxminini ta'minlaydigan snaryadlar iste'molini aniqlang.
Yechim. Biz hozirgacha ishlatgan bir xil matematik kutish formulasidan biz ifodalaymiz x- qobiq iste'moli:
.
4-misol. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlang x uchta zarba bilan zarbalar soni, agar har bir zarba bilan urish ehtimoli bo'lsa p = 0,4 .
Maslahat: tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari ehtimolini toping Bernulli formulasi .
Matematik kutishning xossalari
Keling, matematik kutishning xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.
Mulk 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi ushbu doimiyga teng:
Mulk 2. Doimiy omilni matematik kutish belgisidan chiqarish mumkin:
Mulk 3. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining (farqining) matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga (farqiga) teng:
Mulk 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng:
Mulk 5. Agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlari bo'lsa X bir xil songa kamayishi (ortishi). BILAN, keyin uning matematik kutilishi bir xil songa kamayadi (ko'payadi):
O'zingizni faqat matematik kutish bilan cheklay olmasangiz
Ko'pgina hollarda, faqat matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchini etarli darajada tavsiflay olmaydi.
Tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin X Va Y Quyidagi taqsimot qonunlari bilan belgilanadi:
| Ma'nosi X | Ehtimollik |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Ma'nosi Y | Ehtimollik |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Ushbu miqdorlarning matematik taxminlari bir xil - nolga teng:
Biroq, ularning tarqalish shakllari boshqacha. Tasodifiy qiymat X faqat matematik kutilganidan ozgina farq qiladigan qiymatlarni va tasodifiy o'zgaruvchini olishi mumkin Y matematik kutilganidan sezilarli darajada chetga chiqadigan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shunga o'xshash misol: o'rtacha ish haqi yuqori va kam maosh oladigan ishchilarning ulushini baholashga imkon bermaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, hech bo'lmaganda o'rtacha hisobda undan qanday og'ishlar bo'lishi mumkinligini matematik kutishdan xulosa qilib bo'lmaydi. Buning uchun tasodifiy miqdorning dispersiyasini topish kerak.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi
Farqlanish diskret tasodifiy o'zgaruvchi X uning matematik kutishdan chetlanish kvadratining matematik kutilishi deyiladi:
Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi X uning dispersiyasi kvadrat ildizining arifmetik qiymati deyiladi:
.
5-misol. Tasodifiy o'zgaruvchilarning dispersiyalari va standart og'ishlarini hisoblang X Va Y, taqsimot qonunlari yuqoridagi jadvallarda keltirilgan.
Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik taxminlari X Va Y, yuqorida topilganidek, nolga teng. da dispersiya formulasiga ko'ra E(X)=E(y)=0 biz olamiz:
Keyin tasodifiy o'zgaruvchilarning standart og'ishlari X Va Y grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq
.
Shunday qilib, bir xil matematik taxminlar bilan, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X juda kichik, lekin tasodifiy o'zgaruvchi Y- muhim. Bu ularning taqsimlanishidagi farqlarning natijasidir.
6-misol. Investorda 4 ta muqobil investitsiya loyihasi mavjud. Jadvalda ushbu loyihalarda kutilayotgan foyda tegishli ehtimollik bilan jamlangan.
| Loyiha 1 | Loyiha 2 | Loyiha 3 | Loyiha 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Har bir muqobil uchun matematik kutilma, dispersiya va standart og‘ish toping.
Yechim. Keling, ushbu qiymatlar 3-variant uchun qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz:
Jadvalda barcha alternativlar uchun topilgan qiymatlar jamlangan.
Barcha muqobil variantlar bir xil matematik taxminlarga ega. Bu shuni anglatadiki, uzoq muddatda hamma bir xil daromadga ega. Standart og'ish xavf o'lchovi sifatida talqin qilinishi mumkin - u qanchalik yuqori bo'lsa, investitsiya xavfi shunchalik yuqori bo'ladi. Ko'p tavakkal qilishni xohlamaydigan investor 1-loyihani tanlaydi, chunki u eng kichik standart og'ish (0) ga ega. Agar investor qisqa vaqt ichida tavakkalchilik va yuqori daromad olishni afzal ko'rsa, u eng katta standart og'ish bilan loyihani tanlaydi - 4-loyiha.
Dispersiya xususiyatlari
Dispersiyaning xossalarini keltiramiz.
Mulk 1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng:
Mulk 2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin:
.
Mulk 3. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ushbu qiymat kvadratining matematik kutilishiga teng bo'lib, undan qiymatning matematik kutish kvadrati ayiriladi:
,
Qayerda 
.
Mulk 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining (farqining) dispersiyasi ularning dispersiyalarining yig'indisiga (farqiga) teng:
7-misol. Ma'lumki, diskret tasodifiy miqdor X faqat ikkita qiymatni oladi: −3 va 7. Bundan tashqari, matematik taxmin ma'lum: E(X) = 4. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
Yechim. bilan belgilaymiz p tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olish ehtimoli x1 = −3 . Keyin qiymatning ehtimolligi x2 = 7 1 - bo'ladi p. Matematik kutish uchun tenglamani chiqaramiz:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
ehtimollarni qaerdan olamiz: p= 0,3 va 1 - p = 0,7 .
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini dispersiyaning 3-xususiyatidan formuladan foydalanib hisoblaymiz:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminini o'zingiz toping va keyin yechimga qarang
8-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X faqat ikkita qiymatni oladi. U 0,4 ehtimollik bilan 3 qiymatdan kattasini qabul qiladi. Bundan tashqari, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ma'lum D(X) = 6. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.
9-misol. Bir urnada 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Idishdan 3 ta shar chiqariladi. Chizilgan to'plar orasidagi oq sharlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir X. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Yechim. Tasodifiy qiymat X 0, 1, 2, 3 qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Tegishli ehtimollarni dan hisoblash mumkin ehtimollarni ko'paytirish qoidasi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Shunday qilib, bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Berilgan tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Uzluksiz tasodifiy miqdorning kutilishi va dispersiyasi
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutishning mexanik talqini bir xil ma'noni saqlab qoladi: zichlik bilan x o'qi bo'ylab doimiy ravishda taqsimlangan birlik massa uchun massa markazi. f(x). Funktsiya argumenti bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchidan farqli o'laroq xi to'satdan o'zgaradi; uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun argument doimiy ravishda o'zgaradi. Ammo uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi ham uning o'rtacha qiymati bilan bog'liq.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topish uchun aniq integrallarni topish kerak. . Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan bo'lsa, u to'g'ridan-to'g'ri integratsiyaga kiradi. Agar ehtimollikni taqsimlash funktsiyasi berilgan bo'lsa, uni farqlash orqali siz zichlik funktsiyasini topishingiz kerak.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati deyiladi matematik kutish, yoki bilan belgilanadi.
2. Ehtimollar nazariyasi asoslari
Kutilgan qiymat
Raqamli qiymatlarga ega tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing. Ko'pincha raqamni ushbu funktsiya bilan bog'lash foydalidir - uning "o'rtacha qiymati" yoki ular aytganidek " o'rtacha qiymat", "markaziy tendentsiya indeksi". Bir qator sabablarga ko'ra, ularning ba'zilari keyinroq aniq bo'ladi, odatda matematik kutish "o'rtacha qiymat" sifatida ishlatiladi.
Ta'rif 3. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X chaqirilgan raqam
bular. tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi - bu tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining og'irliklari mos keladigan elementar hodisalarning ehtimolliklariga teng bo'lgan og'irlikdagi yig'indisi.
6-misol. Keling, matritsaning yuqori yuzida paydo bo'ladigan raqamning matematik taxminini hisoblaylik. Bu to'g'ridan-to'g'ri 3 ta'rifidan kelib chiqadi
Bayonot 2. Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin X qadriyatlarni oladi x 1, x 2,…, xm. Shunda tenglik to'g'ri bo'ladi
(5)
bular. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum qiymatlarni olish ehtimoliga teng og'irliklarga ega tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining og'irlashtirilgan yig'indisidir.
(4) dan farqli o'laroq, yig'ish elementar hodisalar bo'yicha to'g'ridan-to'g'ri amalga oshiriladi, tasodifiy hodisa bir nechta elementar hodisalardan iborat bo'lishi mumkin.
Ba'zan (5) munosabat matematik kutishning ta'rifi sifatida qabul qilinadi. Biroq, quyida ko'rsatilganidek, 3-ta'rifdan foydalanib, (5) munosabatdan foydalanishdan ko'ra, real hodisalarning ehtimollik modellarini qurish uchun zarur bo'lgan matematik kutishning xususiyatlarini aniqlash osonroqdir.
(5) munosabatni isbotlash uchun tasodifiy o'zgaruvchining bir xil qiymatlari bo'lgan (4) shartlarga guruhlaymiz:
O'zgarmas koeffitsientni yig'indining belgisidan chiqarish mumkin bo'lgani uchun, demak
Hodisa ehtimolini aniqlash orqali
Oxirgi ikkita munosabatdan foydalanib, biz kerakli narsani olamiz:
Ehtimoliy-statistik nazariyadagi matematik kutish tushunchasi mexanikadagi tortishish markazi tushunchasiga mos keladi. Keling, buni nuqtalarga qo'yaylik x 1, x 2,…, xm massa soni o'qida P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) mos ravishda. Keyin tenglik (5) shuni ko'rsatadiki, ushbu moddiy nuqtalar tizimining og'irlik markazi matematik kutish bilan mos keladi, bu 3 ta'rifning tabiiyligini ko'rsatadi.
Bayonot 3. Mayli X- tasodifiy qiymat, M(X)- uning matematik taxmini, A- ma'lum bir raqam. Keyin
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 million[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Buni isbotlash uchun avvalo doimiy bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik, ya'ni. funksiya elementar hodisalar fazosini bitta nuqtaga joylashtiradi A. Doimiy ko'paytmani yig'indining belgisidan tashqarida olish mumkinligi sababli, u holda
Agar yig’indining har bir a’zosi ikki a’zoga bo’lingan bo’lsa, u holda butun yig’indi ikkita yig’indiga bo’linadi, shundan birinchisi birinchi haddan, ikkinchisi esa ikkinchisidan iborat bo’ladi. Shuning uchun ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi X+Y, elementar hodisalarning bir xil fazosida aniqlangan, matematik taxminlar yig'indisiga teng M(X) Va M(U) bu tasodifiy o'zgaruvchilar:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Va shuning uchun M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Yuqorida ko'rsatilganidek, M(M(X)) = M(X). Demak, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Chunki (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Bu M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Keling, oxirgi tenglikni soddalashtiraylik. 3-bandning isboti boshida ko'rsatilganidek, doimiyning matematik kutilishi doimiyning o'zi va shuning uchun M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Doimiy ko'paytmani yig'indining belgisidan tashqarida olish mumkinligi sababli, u holda M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Oxirgi tenglikning o'ng tomoni 0 ga teng, chunki yuqorida ko'rsatilganidek, M(X-M(X))=0. Demak, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.
Yuqoridagilardan shunday xulosa kelib chiqadi M[(X- a) 2 ] minimal darajaga etadi A, teng M[(X- M(X)) 2 ], da a = M(X), chunki tenglikdagi ikkinchi had 3) har doim manfiy emas va faqat belgilangan qiymat uchun 0 ga teng A.
Bayonot 4. Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin X qadriyatlarni oladi x 1, x 2,…, xm, va f sonli argumentning qandaydir funksiyasi. Keyin
Buni isbotlash uchun keling, tenglikning (4) o'ng tomonida matematik kutilmani, bir xil qiymatlarga ega atamalarni belgilaydi:
O'zgarmas omilni yig'indi belgisidan chiqarish mumkinligi va tasodifiy hodisaning (2) ehtimolini aniqlashdan foydalanib, biz olamiz
Q.E.D.
Bayonot 5. Mayli X Va U- elementar hodisalarning bir xil fazosida aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchilar; A Va b- ba'zi raqamlar. Keyin M(aX+ by Y)= aM(X)+ bM(Y).
Matematik kutishning ta'rifi va yig'ish belgisining xususiyatlaridan foydalanib, biz tenglik zanjirini olamiz:
Talab qilinganligi isbotlangan.
Yuqoridagilar matematik kutishning boshqa mos yozuvlar nuqtasiga va boshqa o'lchov birligiga (o'tish) o'tishga qanday bog'liqligini ko'rsatadi. Y=aX+b), shuningdek, tasodifiy o'zgaruvchilarning funktsiyalariga. Olingan natijalar texnik-iqtisodiy tahlilda, korxonaning moliyaviy-xo'jalik faoliyatini baholashda, bir valyutadan ikkinchi valyutaga o'tish davrida tashqi iqtisodiy hisob-kitoblarda, me'yoriy-texnik hujjatlarda va hokazolarda doimiy ravishda qo'llaniladi. Ko'rib chiqilayotgan natijalar. turli parametrlar shkalasi va siljishi uchun bir xil hisoblash formulalaridan foydalanish.
| Oldingi |
- 10 ta yangi tug'ilgan chaqaloqlar orasida o'g'il bolalar soni.
Bu raqam oldindan ma'lum emasligi aniq va keyingi o'nta bola tug'ilishi mumkin:
Yoki o'g'il bolalar - bitta va yagona sanab o'tilgan variantlardan.
Va shaklni saqlab qolish uchun ozgina jismoniy tarbiya:
- uzunlikka sakrash masofasi (ba'zi birliklarda).
Hatto sport ustasi ham buni bashorat qila olmaydi :)
Biroq, sizning farazlaringiz?
2) Uzluksiz tasodifiy miqdor - qabul qiladi Hammasi raqamli qiymatlar qandaydir chekli yoki cheksiz intervaldan.
Eslatma : V o'quv adabiyoti mashhur qisqartmalar DSV va NSV
Birinchidan, diskret tasodifiy o'zgaruvchini tahlil qilaylik, keyin - davomiy.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
- Bu yozishmalar bu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasida. Ko'pincha qonun jadvalda yoziladi: 
Bu atama juda tez-tez uchraydi qator
tarqatish, lekin ba'zi holatlarda bu noaniq ko'rinadi va shuning uchun men "qonun" ga amal qilaman.
Endi esa Juda muhim nuqta
: tasodifiy o'zgaruvchidan beri Majburiy qabul qiladi qadriyatlardan biri, keyin tegishli hodisalar hosil bo'ladi to'liq guruh va ularning paydo bo'lish ehtimoli yig'indisi bittaga teng:
yoki qisqartirilgan holda yozilgan bo'lsa:
Shunday qilib, masalan, matritsaga o'ralgan nuqtalarning ehtimollik taqsimoti qonuni quyidagi ko'rinishga ega: 
Sharxsiz.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi faqat "yaxshi" butun son qiymatlarini olishi mumkin degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Keling, illyuziyani yo'q qilaylik - ular hamma narsa bo'lishi mumkin:
1-misol
Ba'zi o'yinlarda quyidagi yutuq tarqatish qonuni mavjud: 
...siz bunday vazifalarni anchadan beri orzu qilgandirsiz :) Men sizga bir sirni aytaman - men ham. Ayniqsa, ishni tugatgandan keyin maydon nazariyasi.
Yechim: tasodifiy o'zgaruvchi uchta qiymatdan faqat bittasini olishi mumkinligi sababli, tegishli hodisalar hosil bo'ladi to'liq guruh, ya'ni ularning ehtimolliklari yig'indisi birga teng: 
"Partizan" ni fosh qilish: 
- Shunday qilib, an'anaviy birliklarni yutish ehtimoli 0,4 ga teng.
Nazorat: bunga ishonch hosil qilishimiz kerak edi.
Javob:
Tarqatish to'g'risidagi qonunni o'zingiz ishlab chiqishingiz kerak bo'lgan holatlar kam uchraydi. Buning uchun ular foydalanadilar ehtimollikning klassik ta'rifi, hodisa ehtimollari uchun ko'paytirish/qo'shish teoremalari va boshqa chiplar tervera:
2-misol
Qutida 50 ta lotereya chiptasi mavjud bo'lib, ulardan 12 tasi g'alaba qozonadi va ulardan 2 tasi har biri 1000 rubldan, qolganlari esa 100 rubldan yutadi. Tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash qonunini tuzing - agar bitta chipta qutidan tasodifiy olingan bo'lsa, yutuq hajmi.
Yechim: siz sezganingizdek, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari odatda joylashtiriladi ortib borayotgan tartibda. Shuning uchun biz eng kichik yutuqlardan, ya'ni rubldan boshlaymiz.
Hammasi bo'lib 50 ta bunday chipta mavjud - 12 = 38 va shunga ko'ra klassik ta'rif:
- tasodifiy chizilgan chipta yutqazish ehtimoli.
Boshqa hollarda, hamma narsa oddiy. Rublni yutish ehtimoli:
Tekshiring: - va bu bunday vazifalarning ayniqsa yoqimli daqiqasi!
Javob: yutuqni taqsimlashning istalgan qonuni: 
Quyidagi vazifani o'zingiz hal qilishingiz kerak:
3-misol
Otuvchining nishonga tegish ehtimoli. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash qonunini tuzing - 2 zarbadan keyin urishlar soni.
...Uni sog'inganingizni bilardim :) Keling, eslaylik ko'paytirish va qo'shish teoremalari. Yechim va javob dars oxirida.
Taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflaydi, ammo amalda uning faqat bir qismini bilish foydali bo'lishi mumkin (va ba'zan foydaliroq). raqamli xususiyatlar .
Diskret tasodifiy miqdorni kutish
Gapirmoqda oddiy tilda, Bu o'rtacha kutilgan qiymat sinov ko'p marta takrorlanganda. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsin 
mos ravishda. Keyin bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi teng bo'ladi mahsulotlar yig'indisi uning barcha qiymatlari mos keladigan ehtimollarga:
yoki qulab tushdi: 
Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini hisoblaylik - o'limga o'ralgan ballar sonini:
Endi faraziy o'yinimizni eslaylik: 
Savol tug'iladi: umuman bu o'yinni o'ynash foydalimi? ...kimning taassurotlari bor? Shunday qilib, siz buni "o'z-o'zidan" deb ayta olmaysiz! Ammo bu savolga matematik kutishni hisoblash orqali osongina javob berish mumkin, asosan - vaznli o'rtacha g'alaba qozonish ehtimoli bo'yicha:
Shunday qilib, bu o'yinning matematik kutish yo'qotish.
Taassurotlaringizga ishonmang - raqamlarga ishoning!
Ha, bu yerda siz ketma-ket 10 yoki hatto 20-30 marta g'alaba qozonishingiz mumkin, ammo uzoq muddatda bizni muqarrar halokat kutmoqda. Va men sizga bunday o'yinlarni o'ynashni maslahat bermayman :) Xo'sh, ehtimol faqat o'yin-kulgi uchun.
Yuqorida aytilganlarning barchasidan kelib chiqadiki, matematik kutish endi RANDOM qiymat emas.
Ijodiy vazifa mustaqil tadqiqot uchun:
4-misol
Janob X Evropa ruletini quyidagi tizim yordamida o'ynaydi: u doimo "qizil" ga 100 rubl tikadi. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing - uning yutuqlari. Yutuqlarning matematik taxminini hisoblang va uni eng yaqin tiyingacha yaxlitlang. Necha o'rtacha O'yinchi har yuz tikgan pul uchun yutqazadimi?
Malumot : Yevropa ruletida 18 qizil, 18 qora va 1 yashil sektor ("nol") mavjud. Agar "qizil" paydo bo'lsa, o'yinchiga ikki baravar pul to'lanadi, aks holda u kazino daromadiga o'tadi.
O'zingizning ehtimollik jadvallarini yaratishingiz mumkin bo'lgan boshqa ko'plab rulet tizimlari mavjud. Ammo bu bizga tarqatish qonunlari yoki jadvallari kerak bo'lmaganda, chunki o'yinchining matematik kutishlari aynan bir xil bo'lishi aniq belgilangan. Tizimdan tizimga o'zgarib turadigan yagona narsa
Yuklanmoqda...