O'qga proyeksiya belgisini qanday aniqlash mumkin. Vektorning o'qga proyeksiyasi yordamida masofalarni topish uchun asosiy formulalar. Koordinata birlik vektorlarining vektor mahsuloti

§ 3. Vektorning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari

1. Geometrik usulda proyeksiyalarni topish.

Vektor
- vektorning o'qga proyeksiyasi OX
- vektorning o'qga proyeksiyasi OY

Ta'rif 1. Vektor proyeksiyasi har qanday koordinata o'qida vektorning boshidan va oxiridan koordinata o'qiga tushirilgan perpendikulyarlarning asoslari o'rtasida joylashgan segment uzunligiga mos keladigan ortiqcha yoki minus belgisi bilan olingan raqam.

Proyeksiya belgisi quyidagicha aniqlanadi. Agar koordinata o'qi bo'ylab harakatlanayotganda vektor boshining proyeksiya nuqtasidan vektor oxirining proyeksiya nuqtasiga o'qning musbat yo'nalishi bo'yicha harakat bo'lsa, u holda vektorning proyeksiyasi musbat hisoblanadi. . Agar u o'qga qarama-qarshi bo'lsa, u holda proyeksiya salbiy hisoblanadi.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, agar vektor qandaydir tarzda koordinata o'qiga qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qga proyeksiyasi manfiy bo'ladi. Agar vektor qandaydir tarzda koordinata o'qining musbat yo'nalishiga yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qga proyeksiyasi ijobiy bo'ladi.

Agar vektor koordinata o'qiga perpendikulyar bo'lsa, uning bu o'qga proyeksiyasi nolga teng.
Agar vektor o'q bilan ko'p yo'nalishli bo'lsa, uning bu o'qga proyeksiyasi vektorning mutlaq qiymatiga teng bo'ladi.
Agar vektor koordinata o'qiga qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lsa, uning bu o'qga proyeksiyasi mutlaq qiymatida minus belgisi bilan olingan vektorning mutlaq qiymatiga teng bo'ladi.

2. Ko'pchilik umumiy ta'rif prognozlar.

To'g'ri uchburchakdan ABD: .

Ta'rif 2. Vektor proyeksiyasi har qanday koordinata o'qida vektor moduli va koordinata o'qining musbat yo'nalishi bo'lgan vektor tomonidan hosil qilingan burchak kosinusining mahsulotiga teng sondir.

Proyeksiyaning belgisi musbat o'q yo'nalishi bo'lgan vektor tomonidan hosil qilingan burchakning kosinus belgisi bilan aniqlanadi.
Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda kosinus ijobiy belgiga ega va proyeksiyalar ijobiydir. O'tkir burchaklar uchun kosinus manfiy belgiga ega, shuning uchun bunday hollarda o'qga proyeksiyalar manfiy bo'ladi.
- shuning uchun o'qga perpendikulyar vektorlar uchun proyeksiya nolga teng.

9-sinf uchun fizikadan (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
vazifa №5
bobiga" 1-BOB. TRAFIK HAQIDA UMUMIY MA'LUMOT».

1. Vektorning koordinata o'qiga proyeksiyasi nima deyiladi?

1. A vektorning koordinata o‘qiga proyeksiyasi a vektorning boshi va oxiri (bu nuqtalardan o‘qga tushirilgan perpendikulyarlar)ning shu koordinata o‘qiga proyeksiyalari orasidagi segmentning uzunligi.

2. Jismning siljish vektori uning koordinatalari bilan qanday bog'langan?

2. Koordinata o'qlaridagi siljish vektori s proyeksiyalari mos keladigan jism koordinatalarining o'zgarishiga teng.

3. Agar nuqta koordinatasi vaqt o tishi bilan ortib borsa, u holda siljish vektorining koordinata o qqa proyeksiyasi qanday belgiga ega? Agar u kamaysa nima bo'ladi?

3. Agar nuqta koordinatasi vaqt o’tishi bilan ortib borsa, u holda koordinata o’qiga siljish vektorining proyeksiyasi musbat bo’ladi, chunki. bu holda biz vektorning boshi proyeksiyasidan o'qning o'zi yo'nalishi bo'yicha oxiri proyeksiyasiga o'tamiz.

Agar nuqta koordinatasi vaqt o'tishi bilan kamayib ketsa, u holda siljish vektorining koordinata o'qiga proyeksiyasi manfiy bo'ladi, chunki bu holda biz boshining proyeksiyasidan vektorning oxirining o'qning o'zi yo'naltiruvchisiga qarshi proyeksiyasiga o'tamiz.

4. Agar siljish vektori X o'qiga parallel bo'lsa, u holda vektorning bu o'qqa proyeksiyasining moduli nechaga teng? Xuddi shu vektorning Y o'qiga proyeksiyasining moduli haqida nima deyish mumkin?

4. Agar siljish vektori X o'qiga parallel bo'lsa, u holda vektorning bu o'qga proyeksiyasining moduli vektorning o'z moduliga teng, Y o'qiga proyeksiyasi esa nolga teng.

5. 22-rasmda ko'rsatilgan siljish vektorlarining X o'qiga proyeksiyalar belgilarini aniqlang. Ushbu siljishlar paytida tananing koordinatalari qanday o'zgaradi?

5. Quyidagi barcha holatlarda tananing Y koordinatasi o'zgarmaydi va tananing X koordinatasi quyidagicha o'zgaradi:

a) s 1;

s 1 vektorining X o'qiga proyeksiyasi manfiy va absolyut qiymatda s 1 vektor uzunligiga teng. Bunday harakat bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 1 ga kamayadi.

b) s 2 ;

s 2 vektorining X o'qiga proyeksiyasi musbat va kattaligi bo'yicha s 1 vektor uzunligiga teng. Bunday harakat bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 2 ga ortadi.

c) s 3 ;

s 3 vektorining X o'qiga proyeksiyasi manfiy va kattaligi bo'yicha s 3 vektorining uzunligiga teng. Bunday harakat bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 3 ga kamayadi.

d) s 4;

s 4 vektorining X o'qiga proyeksiyasi musbat va kattaligi bo'yicha s 4 vektor uzunligiga teng. Bunday harakat bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 4 ga ortadi.

e) s 5;

s 5 vektorining X o'qidagi proyeksiyasi manfiy va kattaligi bo'yicha s 5 vektor uzunligiga teng. Bunday harakat bilan tananing X koordinatasi vektor uzunligi s 5 ga kamayadi.

6. Agar bosib o'tgan masofaning qiymati katta bo'lsa, u holda siljish moduli kichik bo'lishi mumkinmi?

6. Balki. Buning sababi, siljish (o'zgartirish vektori) vektor miqdori, ya'ni. tananing dastlabki holatini keyingi pozitsiyalari bilan bog'laydigan yo'naltirilgan to'g'ri chiziq segmentidir. Va tananing oxirgi holati (bo'lgan masofadan qat'iy nazar) tananing boshlang'ich holatiga kerakli darajada yaqin bo'lishi mumkin. Agar tananing oxirgi va boshlang'ich pozitsiyalari mos kelsa, siljish moduli nolga teng bo'ladi.

7. Nima uchun jismning harakat vektori mexanikada uning bosib o‘tgan yo‘liga qaraganda muhimroq?

7. Mexanikaning asosiy vazifasi har qanday vaqtda tananing holatini aniqlashdir. Tananing harakat vektorini bilib, biz tananing koordinatalarini aniqlashimiz mumkin, ya'ni. tananing har qanday lahzadagi holati va faqat bosib o'tgan masofani bilgan holda, biz tananing koordinatalarini aniqlay olmaymiz, chunki bizda harakat yo'nalishi haqida hech qanday ma'lumot yo'q, lekin faqat ma'lum bir vaqtda bosib o'tilgan yo'lning uzunligini hukm qilishimiz mumkin.

O'q - bu yo'nalish. Bu shuni anglatadiki, o'qga yoki yo'naltirilgan chiziqqa proyeksiya bir xil deb hisoblanadi. Proyeksiya algebraik yoki geometrik bo'lishi mumkin. Geometrik so'zlarda vektorning o'qqa proyeksiyasi vektor, algebraik so'zlarda esa son deb tushuniladi. Ya'ni vektorning o'qga proyeksiyasi va vektorning o'qga sonli proyeksiyasi tushunchalari qo'llaniladi.

Agar bizda L o'qi va nolga teng bo'lmagan A B → vektori bo'lsa, u holda A 1 B 1 ⇀ vektorini qurishimiz mumkin, uning A 1 va B 1 nuqtalarining proyeksiyalarini belgilaymiz.

A 1 B → 1 A B → vektorining L ga proyeksiyasi bo'ladi.

Ta'rif 1

Vektorning o'qga proyeksiyasi boshi va oxiri berilgan vektorning boshi va oxirining proyeksiyalari bo'lgan vektor. n p L A B → → L ga A B → proyeksiyasini belgilash odatiy holdir. L ga proyeksiya yasash uchun L ga perpendikulyarlar tushiriladi.

1-misol

O'qga vektor proyeksiyasiga misol.

Yoniq koordinata tekisligi X y haqida M 1 (x 1 , y 1) nuqta ko'rsatilgan. M 1 nuqtaning radius vektorini tasvirlash uchun O x va O y ga proyeksiyalar qurish kerak. (x 1, 0) va (0, y 1) vektorlarning koordinatalarini olamiz.

Agar biz a → ning nolga teng bo'lmagan b → yoki a ning b → yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasi haqida gapiradigan bo'lsak, u holda biz a → ning b → yo'nalishi mos keladigan o'qga proyeksiyasini tushunamiz. a → ning b → bilan aniqlangan chiziqqa proyeksiyasi n p b → a → → belgilanadi. Ma'lumki, a → va b → , n p b → a → → va b → o'rtasidagi burchakni ko'proq yo'nalishli deb hisoblash mumkin. Burchak o'tmas bo'lgan holatda, n p b → a → → va b → qarama-qarshi yo'nalishda. Perpendikulyarlik a → va b → va a → nolga teng bo‘lgan vaziyatda a → ning b → yo‘nalishidagi proyeksiyasi nol vektor hisoblanadi.

Vektorni o'qqa proyeksiyalashning sonli xarakteristikasi vektorning berilgan o'qga sonli proyeksiyasidir.

Ta'rif 2

Vektorning o'qga sonli proyeksiyasi- berilgan vektor uzunligi va berilgan vektor va o'qning yo'nalishini aniqlaydigan vektor orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng bo'lgan son.

A B → ning L ga sonli proyeksiyasi n p L A B →, a → esa b → - n p b → a → deb belgilanadi.

Formulaga asoslanib, n p b → a → = a → · cos a →, b → ^ ni olamiz, bu yerdan a → vektor uzunligi a → , a ⇀ , b → ^ a → vektorlari orasidagi burchak. va b → .

Raqamli proyeksiyani hisoblash formulasini olamiz: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Bu a → va b → ma'lum uzunliklar va ular orasidagi burchak uchun amal qiladi. Formula ma'lum a → va b → koordinatalari uchun amal qiladi, ammo soddalashtirilgan shakl mavjud.

2-misol

a → uzunligi a → 8 ga teng va ular orasidagi burchak 60 gradus bo'lgan b → yo'nalishidagi to'g'ri chiziqqa sonli proyeksiyasini toping. Shart bo'yicha bizda ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° ga egamiz. Shunday qilib, keling, almashtiramiz raqamli qiymatlar formulaga n p b ⇀ a → = a → · cos a →, b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

Javob: 4.

Ma'lum cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → bilan biz a → va b → ning skalyar ko'paytmasi sifatida a →, b → ga egamiz. n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^ formulasidan kelib chiqib, b → vektor bo‘ylab yo‘naltirilgan a → sonli proyeksiyani topib, n p b → a → = a →, b → b → ni olishimiz mumkin. Formula paragraf boshida berilgan ta'rifga teng.

Ta'rif 3

a → vektorining b → yo‘nalishi bo‘yicha mos keladigan o‘qga sonli proyeksiyasi a → va b → vektorlarining skalyar ko‘paytmasining b → uzunligiga nisbati hisoblanadi. n p b → a → = a →, b → b → formulasi a → va b → koordinatalari ma'lum bo'lgan b → yo'nalishi bo'yicha mos keladigan chiziqqa a → ning sonli proyeksiyasini topish uchun qo'llaniladi.

3-misol

Berilgan b → = (- 3 , 4) . L ga a → = (1, 7) sonli proyeksiyasini toping.

Yechim

Koordinata tekisligida n p b → a → = a →, b → b → n p b → a → = a →, b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 ko‘rinishga ega, a → = (a x, a y ) va b → = b x, b y. a → vektorining L o'qiga sonli proyeksiyasini topish uchun quyidagilar kerak: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Javob: 5.

4-misol

a → ning L bo'yicha b → yo'nalishiga to'g'ri keladigan proyeksiyasini toping, bu erda a → = - 2, 3, 1 va b → = (3, - 2, 6) mavjud. Uch o'lchovli bo'shliq ko'rsatilgan.

Yechim

a → = a x, a y, a z va b → = b x, b y, b z berilgan bo‘lsa, skalyar ko‘paytmani hisoblaymiz: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → uzunligi b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 formulasi yordamida topiladi. Bundan kelib chiqadiki, a → sonli proyeksiyani aniqlash formulasi: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 bo‘ladi.

Raqamli qiymatlarni almashtiring: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Javob: - 6 7.

a → on L bilan proyeksiya uzunligi a → L bo‘yicha bog‘lanishni ko‘rib chiqamiz. L o‘qini L o‘qini chizamiz, unga L nuqtadan a → va b → qo‘shamiz, shundan so‘ng a → oxiridan L ga perpendikulyar chiziq o‘tkazamiz va L ga proyeksiya qilamiz. Tasvirning 5 ta varianti mavjud:

Birinchidan a → = n p b → a → → a → = n p b → a → → ni bildiradigan holat, demak, n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Ikkinchi holat n p b → a → ⇀ = a → · cos a →, b → dan foydalanishni nazarda tutadi, bu n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → ni bildiradi.

Uchinchi holat tushuntiradi, qachonki n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, keyin n p b → a → → = 0 ni olamiz. va n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

To'rtinchi holatda n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) ni ko'rsatadi, n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Beshinchisi holatda a → = n p b → a → → ni ko‘rsatadi, bu a → = n p b → a → → ni bildiradi, demak, bizda n p b → a → = a → · cos a →, b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Ta'rif 4

a → vektorining b → bilan bir xil yo'naltirilgan L o'qiga sonli proyeksiyasi quyidagi qiymatga ega:

a → vektorining L ga proyeksiyasining uzunligi, a → va b → orasidagi burchak 90 darajadan kam yoki 0 ga teng bo'lishi sharti bilan: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ (a) sharti bilan → , b →) ^< 90 ° ;
a → va b → perpendikulyar bo'lishi sharti bilan nol: n p b → a → = 0, (a → , b → ^) = 90 ° bo'lganda;
a → va b → vektorlarining o'tmas yoki to'g'ri burchagi mavjud bo'lganda, a → L ga proyeksiyaning uzunligi -1 ga ko'paytiriladi: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° shart bilan< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5-misol

L ga proyeksiya uzunligi a → berilgan bo‘lsa, 2 ga teng. Burchak 5 p 6 radian bo‘lishi sharti bilan a → sonli proyeksiyasini toping.

Yechim

Shartdan ko'rinib turibdiki, bu burchak to'g'ri burchakli: p 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Javob: - 2.

6-misol

Vektor uzunligi a → 6 3 ga teng, b → (- 2, 1, 2) 30 gradus burchakli O x y z tekislik berilgan. L o'qiga a → proyeksiyasining koordinatalarini toping.

Yechim

Birinchidan, a → vektorining sonli proyeksiyasini hisoblaymiz: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Shart bo'yicha burchak o'tkir, keyin sonli proyeksiya a → = vektor proyeksiyasining uzunligi a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Bu holat n p L a → → va b → vektorlari birgalikda yo‘naltirilganligini ko‘rsatadi, ya’ni tenglik to‘g‘ri bo‘lgan t soni bor: n p L a → → = t · b →. Bu yerdan n p L a → → = t · b → ekanligini ko‘ramiz, ya’ni t parametrining qiymatini topish mumkin: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Keyin n p L a → → = 3 · b → a → vektorining L o'qiga proyeksiyasining koordinatalari bilan b → = (- 2, 1, 2) ga teng bo'ladi, bu erda qiymatlarni ko'paytirish kerak bo'ladi. 3. Bizda n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Javob: (- 6, 3, 6).

Vektorlarning kollinearlik sharti haqida ilgari o'rganilgan ma'lumotlarni takrorlash kerak.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Vektorning algebraik proyeksiyasi har qanday o'qda vektor uzunligi va eksa va vektor orasidagi burchak kosinusining mahsulotiga teng:

Pr a b = |b|cos(a,b) yoki

Bu yerda a b vektorlarning skalyar mahsuloti, |a| - a vektorining moduli.

Ko'rsatmalar. Pr a b vektorining proyeksiyasini onlayn topish uchun a va b vektorlarning koordinatalarini ko'rsatish kerak. Bunda vektor tekislikda (ikki koordinata) va fazoda (uchta koordinata) belgilanishi mumkin. Olingan yechim Word faylida saqlanadi. Agar vektorlar nuqta koordinatalari orqali ko'rsatilgan bo'lsa, unda siz ushbu kalkulyatordan foydalanishingiz kerak.

Vektor proyeksiyalarining tasnifi

Ta'rifi bo'yicha proyeksiyalar turlari vektor proyeksiyasi

AB vektorining o'qqa (vektor) geometrik proyeksiyasi A"B vektori deb ataladi, uning boshi A' - A boshining o'qqa (vektor), oxiri B' proyeksiyasi. B uchini bir xil o'qga.
AB vektorining o'qqa (vektor) algebraik proyeksiyasi A"B" vektorining o'q bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lishiga qarab + yoki - belgisi bilan olingan A"B" vektorining uzunligi deb ataladi ( vektor).

Koordinatalar tizimiga ko'ra proyeksiyalar turlari

Vektor proyeksiyasining xossalari

Vektorning geometrik proyeksiyasi vektor (yo'nalishi bor).
Vektorning algebraik proyeksiyasi sondir.

Vektor proyeksiyasi teoremalari

Teorema 1. Vektorlar yig'indisining istalgan o'qga proyeksiyasi vektorlar yig'indilarining bir o'qga proyeksiyasiga teng.

AC" =AB" +B"C"

Teorema 2. Vektorning har qanday o'qga algebraik proyeksiyasi vektor uzunligi va eksa va vektor orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Vektor proyeksiyalarining turlari

OX o'qiga proyeksiya qilish.
OY o'qiga proyeksiya qilish.
vektorga proyeksiya qilish.

OX o'qi bo'yicha proyeksiya	OY o'qi bo'yicha proyeksiya	Vektorga proyeksiya
Agar A’B’ vektor yo‘nalishi OX o‘qi yo‘nalishiga to‘g‘ri kelsa, A’B’ vektorning proyeksiyasi ijobiy belgiga ega bo‘ladi.	Agar A’B’ vektor yo’nalishi OY o’qi yo’nalishiga to’g’ri kelsa, u holda A’B’ vektorning proyeksiyasi ijobiy belgiga ega bo’ladi.	Agar A’B’ vektor yo’nalishi NM vektor yo’nalishiga to’g’ri kelsa, A’B’ vektorning proyeksiyasi ijobiy belgiga ega bo’ladi.
Agar vektor yo'nalishi OX o'qi yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi manfiy belgiga ega.	Agar A'B' vektorining yo'nalishi OY o'qi yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, u holda A'B' vektorining proyeksiyasi manfiy belgiga ega.	Agar A’B’ vektor yo’nalishi NM vektor yo’nalishiga qarama-qarshi bo’lsa, A’B’ vektorning proyeksiyasi manfiy ishoraga ega bo’ladi.
Agar AB vektori OX oʻqiga parallel boʻlsa, A’B’ vektorning proyeksiyasi AB vektorining absolyut qiymatiga teng boʻladi.	Agar AB vektori OY o‘qiga parallel bo‘lsa, A’B’ vektorning proyeksiyasi AB vektorining absolyut qiymatiga teng bo‘ladi.	Agar AB vektori NM vektoriga parallel bo‘lsa, A’B’ vektorning proyeksiyasi AB vektorining absolyut qiymatiga teng bo‘ladi.
Agar AB vektori OX oʻqiga perpendikulyar boʻlsa, u holda A’B’ proyeksiyasi nolga teng (nol vektor).	Agar AB vektori OY o'qiga perpendikulyar bo'lsa, u holda A'B' proyeksiyasi nolga teng (nol vektor).	Agar AB vektori NM vektoriga perpendikulyar bo'lsa, u holda A'B' proyeksiyasi nolga teng (nol vektor).

1. Savol: Vektorning proyeksiyasi manfiy belgiga ega bo'lishi mumkinmi? Javob: Ha, proyeksiya vektori manfiy qiymat bo'lishi mumkin. Bunday holda, vektor qarama-qarshi yo'nalishga ega (OX o'qi va AB vektori qanday yo'naltirilganligini ko'ring)
2. Savol: Vektorning proyeksiyasi vektorning absolyut qiymati bilan mos kelishi mumkinmi? Javob: Ha, mumkin. Bu holda vektorlar parallel (yoki bir xil chiziqda yotadi).
3. Savol: Vektorning proyeksiyasi nolga teng bo'lishi mumkinmi (nol vektor). Javob: Ha, mumkin. Bunday holda vektor mos keladigan o'qga (vektor) perpendikulyar bo'ladi.

1-misol. Vektor (1-rasm) OX o'qi bilan 60 ° burchak hosil qiladi (u a vektor bilan belgilanadi). Agar OE masshtab birligi bo'lsa, u holda |b|=4, shuning uchun .

Darhaqiqat, vektor uzunligi ( geometrik proyeksiya b) 2 ga teng va yo'nalishi OX o'qi yo'nalishiga to'g'ri keladi.

2-misol. Vektor (2-rasm) OX o'qi (a vektori bilan) bilan (a,b) = 120 o burchak hosil qiladi. Uzunlik |b| b vektor 4 ga teng, shuning uchun pr a b=4·cos120 o = -2.

Darhaqiqat, vektorning uzunligi 2 ga teng, yo'nalish esa o'qning yo'nalishiga qarama-qarshidir.

Proyeksiya o'qga vektor - vektorning bu o'qga skalyar proyeksiyasini va bu o'qning birlik vektorini ko'paytirish yo'li bilan olingan vektor. Masalan, agar x - skalyar proyeksiya vektor A X o'qiga, keyin esa x i- uning bu o'qqa vektor proyeksiyasi.

belgilaylik vektor proyeksiyasi vektorning o'zi bilan bir xil, lekin vektor proyeksiya qilingan o'qning indeksi bilan. Demak, vektorning vektor proyeksiyasi A X o'qida biz belgilaymiz A x ( semiz vektorni va eksa nomining pastki belgisini bildiruvchi harf) yoki (vektorni bildiruvchi qalin bo'lmagan harf, lekin tepada o'q (!) va o'q nomining pastki belgisi).

Skalyar proyeksiya eksa boshiga vektor deyiladi raqam, uning mutlaq qiymati vektorning boshlang'ich nuqtasi va oxirgi nuqtasi proektsiyalari orasiga o'ralgan o'q segmentining uzunligiga (tanlangan shkala bo'yicha) teng. Odatda ifoda o'rniga skalyar proyeksiya ular shunchaki aytadilar - proyeksiya. Proyeksiya proyeksiyalangan vektor bilan bir xil harf bilan (oddiy, qalin bo'lmagan yozuvda), bu vektor proyeksiya qilinadigan o'q nomining pastki indeksi (qoida tariqasida) bilan belgilanadi. Masalan, vektor X o'qiga proyeksiyalansa A, u holda uning proyeksiyasi x bilan belgilanadi. Xuddi shu vektorni boshqa o'qqa proyeksiya qilganda, agar o'q Y bo'lsa, uning proyeksiyasi y bilan belgilanadi.

Proyeksiyani hisoblash uchun vektor o'qda (masalan, X o'qi) boshlang'ich nuqtaning koordinatasini uning oxirgi nuqtasi koordinatasidan ayirish kerak, ya'ni
a x = x k - x n.
Vektorning o'qga proyeksiyasi sondir. Bundan tashqari, agar x k qiymati x n qiymatidan katta bo'lsa, proyeksiya ijobiy bo'lishi mumkin,

manfiy, agar x k qiymati x n qiymatidan kichik bo'lsa

va nolga teng, agar x k teng x n bo'lsa.

Vektorning o'qga proyeksiyasini vektorning moduli va bu o'q bilan qilgan burchagini bilish orqali ham topish mumkin.

Rasmdan a x = a Cos a ekanligi ayon bo'ladi

ya'ni vektorning o'qga proyeksiyasi vektor moduli va o'q yo'nalishi orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng. vektor yo'nalishi. Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda
Cos a > 0 va a x > 0, agar o'tmas bo'lsa, u holda o'tmas burchakning kosinasi manfiy bo'ladi va vektorning o'qqa proyeksiyasi ham manfiy bo'ladi.

O'qdan soat miliga teskari yo'nalishda o'lchangan burchaklar musbat, eksa bo'ylab o'lchangan burchaklar esa salbiy hisoblanadi. Biroq, kosinus juft funktsiya bo'lgani uchun, ya'ni Cos a = Cos (− a), proyeksiyalarni hisoblashda burchaklarni soat yo'nalishi bo'yicha ham, soat miliga teskari yo'nalishda ham hisoblash mumkin.

Vektorning o'qga proyeksiyasini topish uchun bu vektorning modulini o'qning yo'nalishi va vektor yo'nalishi orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirish kerak.

Vektor koordinatalari— tanlangan koordinatalar tizimidagi bazis vektorlarining yagona mumkin bo'lgan chiziqli birikmasining berilgan vektorga teng koeffitsientlari.

vektorning koordinatalari qayerda.

Skalyar mahsulot vektorlar

Vektorlarning skalyar mahsuloti[- chekli o'lchovli vektor maydoni ko'paytirilayotgan bir xil komponentlar mahsuloti yig'indisi sifatida aniqlanadi vektorlar.

Masalan, S.p.v. a = (a 1 , ..., a n) Va b = (b 1 , ..., b n):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n