Pi sonining boshqa nomi nima? PI raqami nima va u nimani anglatadi? p hisoblarining qisqacha tarixi

Kirish

Maqolada matematik formulalar mavjud, shuning uchun o'qish uchun ularni to'g'ri ko'rsatish uchun saytga o'ting.\(\pi\) raqami boy tarixga ega. Bu doimiy aylana aylanasining diametriga nisbatini bildiradi.

Fanda \(\pi \) soni doiralar bilan bog'liq har qanday hisob-kitoblarda qo'llaniladi. Bir quti soda hajmidan boshlab, sun'iy yo'ldoshlar orbitalarigacha. Va nafaqat doiralar. Darhaqiqat, egri chiziqlarni o'rganishda \(\pi \) soni davriy va tebranish tizimlarini tushunishga yordam beradi. Masalan, elektromagnit to'lqinlar va hatto musiqa.

1706 yilda ingliz olimi Uilyam Jonsning (1675-1749) "Matematikaga yangi kirish" kitobida yunon alifbosidagi \(\pi\) harfi birinchi marta 3,141592 raqamini ifodalash uchun ishlatilgan.... Bu belgi yunoncha pistuestrea - aylana, periferiya va pérúkes - perimetr so'zlarining bosh harfidan kelib chiqqan. Belgilanish 1737 yilda Leonhard Eyler ishidan keyin umumiy qabul qilindi.

Geometrik davr

Har qanday aylana uzunligining uning diametriga nisbati doimiyligi uzoq vaqt davomida kuzatilgan. Mesopotamiya aholisi \(\pi\) sonining nisbatan qo'pol taxminini ishlatishgan. Qadimgi masalalardan kelib chiqqan holda, ular hisob-kitoblarida \(\pi ≈ 3\) qiymatidan foydalanadilar.

Qadimgi misrliklar \(\pi\) uchun aniqroq qiymatdan foydalanganlar. London va Nyu-Yorkda qadimgi Misr papirusining ikkita qismi saqlanadi, ular "Rinda papirus" deb ataladi. Papirus 2000-1700 yillarda yozuvchi Armes tomonidan tuzilgan. Miloddan avvalgi Armes o'zining papirusida \(r\) radiusi bo'lgan doiraning maydoni \(\frac(8)(9)\) ga teng bo'lgan kvadratning maydoniga teng ekanligini yozgan. doira diametri \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), ya'ni \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Demak, \(\pi = 3,16\).

Qadimgi yunon matematigi Arximed (miloddan avvalgi 287-212) birinchi bo'lib aylana o'lchash masalasini ilmiy asosga qo'ygan. U \(3\frac(10)(71) ball oldi.< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Usul juda oddiy, ammo trigonometrik funktsiyalarning tayyor jadvallari bo'lmasa, ildizlarni olish kerak bo'ladi. Bundan tashqari, yaqinlashish \(\pi \) ga juda sekin yaqinlashadi: har bir iteratsiya bilan xato faqat to'rt baravar kamayadi.

Analitik davr

Shunga qaramay, 17-asrning o'rtalariga qadar evropalik olimlarning \(\pi\) sonini hisoblash bo'yicha barcha urinishlari ko'pburchak tomonlarini kattalashtirishga olib keldi. Misol uchun, golland matematigi Lyudolf van Zeylen (1540-1610) \(\pi\) sonining taxminiy qiymatini 20 kasr sonigacha aniq hisoblab chiqdi.

Hisoblash uchun unga 10 yil kerak bo'ldi. Arximed usulidan foydalanib, chizilgan va chegaralangan ko'pburchaklarning tomonlarini ikki barobarga oshirib, 20 kasrli \(\pi \) ni hisoblash uchun \(60 \cdot 2^(29) \) - uchburchakka erishdi.

O'limidan so'ng qo'lyozmalarida \(\pi\) sonining yana 15 ta aniq raqamlari topilgan. Lyudolf vasiyat qilib, topilgan belgilar uning qabr toshiga o'yilgan. Uning sharafiga \(\pi\) raqami ba'zan "Lyudolf soni" yoki "Lyudolf doimiysi" deb ataldi.

Arximeddan farqli usulni birinchilardan bo'lib joriy etganlardan biri Fransua Viet (1540-1603) edi. U diametri bir ga teng bo'lgan aylananing maydoniga ega bo'lgan degan xulosaga keldi:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots)))) \]

Boshqa tomondan, maydon \(\frac(\pi)(4)\). Ifodani almashtirish va soddalashtirish orqali \(\frac(\pi)(2)\ ning taxminiy qiymatini hisoblash uchun quyidagi cheksiz mahsulot formulasini olishimiz mumkin:

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Olingan formula \(\pi\) sonining birinchi aniq analitik ifodasidir. Ushbu formulaga qo'shimcha ravishda, Vyet Arximed usulidan foydalanib, 6-burchakdan boshlanib, \(2^(16) \cdot 6 \) tomonlari bo'lgan ko'pburchak bilan tugaydigan, chizilgan va chegaralangan ko'pburchaklardan foydalangan holda, taxminiylikni berdi. sonining \(\pi \) o'ng belgilari bilan 9 bilan.

Ingliz matematigi Uilyam Brounker (1620-1684) davomli kasrdan foydalanib, \(\frac(\pi)(4)\ ni hisoblash uchun quyidagi natijalarni oldi:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

\(\frac(4)(\pi)\) sonining yaqinligini hisoblashning bu usuli hatto kichik bir taxminni ham olish uchun juda koʻp hisob-kitoblarni talab qiladi.

O'zgartirish natijasida olingan qiymatlar \(\pi\) sonidan kattaroq yoki kichikroq bo'ladi va har safar ular haqiqiy qiymatga yaqinroq bo'ladi, lekin 3.141592 qiymatini olish uchun juda katta bajarish kerak bo'ladi. hisob-kitoblar.

Yana bir ingliz matematigi Jon Makin (1686-1751) 1706 yilda 100 kasrli \(\pi\) sonini hisoblash uchun 1673 yilda Leybnits tomonidan olingan formuladan foydalangan va uni quyidagicha qo‘llagan:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

Seriya tezda birlashadi va uning yordami bilan siz \(\pi \) sonini katta aniqlik bilan hisoblashingiz mumkin. Ushbu turdagi formulalar kompyuter davrida bir nechta rekordlarni o'rnatish uchun ishlatilgan.

17-asrda o'zgaruvchan qiymatli matematika davri boshlanishi bilan \(\pi\) ni hisoblashning yangi bosqichi boshlandi. Nemis matematigi Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) 1673 yilda \(\pi\) sonining parchalanishini topdi, uni umuman quyidagi cheksiz qator sifatida yozish mumkin:

\[ \pi = 1 – 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) – \frac(1)(7) + \frac(1)(9) – \frac(1) (11) + \cdots) \]

Qator x = 1 ni \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) – \frac(x^7)(7) + ga almashtirish orqali olinadi. \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Leonhard Eyler Leybnits g'oyasini \(\pi\) sonini hisoblashda arktan x uchun qatorlardan foydalanish haqidagi asarlarida rivojlantiradi. 1738 yilda yozilgan "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (aylana kvadratini taxminiy sonlar bilan ifodalashning turli usullari haqida) risolasida Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarni takomillashtirish usullari muhokama qilinadi.

Eylerning yozishicha, agar argument nolga moyil bo'lsa, arktangent uchun qator tezroq yaqinlashadi. \(x = 1\) uchun qatorning yaqinlashuvi juda sekin: 100 ta raqamli aniqlik bilan hisoblash uchun qatorning \(10^(50)\) shartlarini qo'shish kerak. Argument qiymatini kamaytirish orqali hisob-kitoblarni tezlashtirishingiz mumkin. Agar \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\) olsak, qatorni olamiz.

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot) 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) – \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdot) \]

Eylerning fikricha, agar bu qatorning 210 ta shartini olsak, sonning 100 ta to'g'ri raqamini olamiz. Olingan qator noqulay, chunki \(\sqrt(3)\) irratsional sonning yetarlicha aniq qiymatini bilish zarur. Eyler o'z hisob-kitoblarida arktangentlarni kichikroq argumentlar arktangentlari yig'indisiga kengaytirishdan ham foydalangan:

\[bu erda x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Eyler o'z daftarlarida qo'llagan \(\pi\) ni hisoblash formulalarining hammasi ham nashr etilmagan. Nashr etilgan maqolalar va daftarlarda u arktangentni hisoblash uchun 3 xil seriyani ko'rib chiqdi, shuningdek, ma'lum bir aniqlik bilan \(\pi\) ning taxminiy qiymatini olish uchun zarur bo'lgan yig'iladigan shartlar soniga oid ko'plab bayonotlar berdi.

Keyingi yillarda \(\pi\) raqamining qiymatini yaxshilash tezroq va tezroq sodir bo'ldi. Masalan, 1794 yilda Georg Vega (1754-1802) allaqachon 140 ta belgini aniqlagan, ulardan faqat 136 tasi to'g'ri bo'lgan.

Hisoblash davri

20-asr \(\pi\) sonini hisoblashda mutlaqo yangi bosqich bilan belgilandi. Hind matematigi Srinivasa Ramanujan (1887-1920) \(\pi\) uchun ko'plab yangi formulalarni kashf etdi. 1910 yilda u Teylor qatoridagi arktangens kengayishi orqali \(\pi\) ni hisoblash formulasini oldi:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100 da \(\pi\) sonining 600 ta to'g'ri raqamining aniqligiga erishiladi.

Kompyuterlarning paydo bo'lishi qisqa vaqt ichida olingan qiymatlarning aniqligini sezilarli darajada oshirish imkonini berdi. 1949 yilda atigi 70 soat ichida ENIAC yordamida Jon fon Neyman (1903-1957) boshchiligidagi bir guruh olimlar \(\pi\) soni uchun 2037 kasrli kasrni olishdi. 1987 yilda Devid va Gregoriy Chudnovskiy formulani qo'lga kiritdilar, uning yordamida \(\pi\) ni hisoblashda bir nechta rekordlarni o'rnatishga muvaffaq bo'lishdi:

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Seriyaning har bir a'zosi 14 ta raqamni beradi. 1989 yilda 1 011 196 691 kasr olingan. Ushbu formula shaxsiy kompyuterlarda \(\pi \) ni hisoblash uchun juda mos keladi. Hozirda aka-uka Nyu-York universiteti politexnika instituti professori.

1997 yilda Simon Plouffe tomonidan formulaning kashf qilinishi so'nggi muhim voqea bo'ldi. U oldingi raqamlarni hisoblamasdan \(\pi\) sonining istalgan o'n oltilik raqamini chiqarish imkonini beradi. Formula birinchi marta nashr etilgan maqola mualliflari sharafiga "Bailey-Borwain-Plouffe formulasi" deb ataladi. Bu shunday ko'rinadi:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4) ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

2006 yilda Saymon PSLQ-dan foydalanib, \(\pi\) ni hisoblash uchun bir qancha chiroyli formulalarni ishlab chiqdi. Masalan,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n)) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

bu erda \(q = e^(\pi)\). 2009 yilda yapon olimlari T2K Tsukuba System superkompyuteridan foydalanib, 2 576 980 377 524 kasrli \(\pi\) raqamini olishdi. Hisob-kitoblar 73 soat 36 daqiqa davom etdi. Kompyuter sekundiga 95 trillion operatsiyani bajarishni ta'minlovchi 640 ta to'rt yadroli AMD Opteron protsessorlari bilan jihozlangan.

\(\pi\) ni hisoblashdagi navbatdagi yutuq frantsuz dasturchisi Fabris Bellardga tegishli boʻlib, u 2009-yil oxirida oʻzining Fedora 10-da ishlaydigan shaxsiy kompyuterida \(\pi\) sonining 2.699.999.990.000 kasrini hisoblab, rekord oʻrnatgan. ). So'nggi 14 yil ichida bu superkompyuterdan foydalanmasdan o'rnatilgan birinchi jahon rekordidir. Yuqori samaradorlik uchun Fabris aka-uka Chudnovskiy formulasidan foydalangan. Hammasi bo'lib, hisob-kitob 131 kun davom etdi (hisoblash uchun 103 kun va natijani tekshirish uchun 13 kun). Bellarning yutug‘i shuni ko‘rsatdiki, bunday hisob-kitoblar uchun superkompyuter kerak emas.

Faqat olti oy o'tgach, Fransua rekordini muhandislar Aleksandr Yi va Singer Kondo yangiladi. \(\pi\) ning 5 trillion o'nlik kasrlari rekordini o'rnatish uchun shaxsiy kompyuter ham ishlatilgan, ammo yanada ta'sirchan xususiyatlarga ega: 3,33 gigagertsli ikkita Intel Xeon X5680 protsessorlari, 96 GB operativ xotira, 38 TB disk xotirasi va operatsion tizim Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Hisob-kitoblar uchun Aleksandr va Qoshiqchi aka-uka Chudnovskiy formulasidan foydalanganlar. Hisoblash jarayoni 90 kun va 22 TB disk maydonini oldi. 2011-yilda ular \(\pi\) soni uchun 10 trillion kasrni hisoblab, yana bir rekord o‘rnatdilar. Hisob-kitoblar avvalgi rekord o'rnatilgan kompyuterda amalga oshirildi va jami 371 kun davom etdi. 2013-yil oxirida Aleksandr va Singeru rekordni \(\pi\) sonining 12,1 trillion raqamigacha yaxshiladi, bu esa ularni hisoblash uchun atigi 94 kun vaqt sarfladi. Ushbu samaradorlikni yaxshilashga dasturiy ta'minotning ishlashini optimallashtirish, protsessor yadrolari sonini ko'paytirish va dasturiy ta'minotning xatolarga chidamliligini sezilarli darajada yaxshilash orqali erishiladi.

Hozirgi rekord Aleksandr Yee va Singer Kondoning rekordidir, bu 12,1 trillion o'nlik kasr \(\pi\).

Shunday qilib, biz qadimgi davrlarda qo'llanilgan \(\pi\) sonini hisoblash usullarini, analitik usullarni ko'rib chiqdik, shuningdek, kompyuterlarda \(\pi\) sonini hisoblashning zamonaviy usullari va yozuvlarini ko'rib chiqdik.

Manbalar ro'yxati

1. Jukov A.V. Hamma joyda joylashgan Pi - M .: LKI nashriyoti, 2007 - 216 p.
2. F.Rudio. F. Rudio tomonidan tuzilgan masala tarixini qo'llash bilan doira kvadrati bo'yicha. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP SSSR, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
4. Shuxman, E.V. Leonhard Eyler / E.V.ning nashr etilgan va nashr etilmagan asarlarida arctan x seriyasidan foydalangan holda Pi ni taxminiy hisoblash. Shuxman. – Fan va texnologiya tarixi, 2008 yil – 4-son. – B. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae sientiarum Petropolitanae. 1744 yil - 9-jild - 222-236 p.
6. Shumixin, S. Pi soni. 4000 yillik tarix / S. Shumixin, A. Shumixina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 b.
7. Borwein, J.M. Ramanujan va Pi soni. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Ilm-fan olamida. 1988 yil - 4-son. – 58-66-betlar.
8. Aleks Yee. Raqamlar dunyosi. Kirish rejimi: numberworld.org

Yoqdimi?

Ayting

Pi - eng mashhur matematik tushunchalardan biri. U haqida suratlar yoziladi, filmlar suratga olinadi, cholg‘u asboblarida chalinadi, she’rlar, bayramlar unga bag‘ishlanadi, muqaddas matnlardan izlanadi, topiladi.

Pi kim kashf etgan?

p raqamini kim va qachon birinchi marta kashf etganligi haligacha sirligicha qolmoqda. Ma'lumki, qadimgi Bobil quruvchilari allaqachon o'z dizaynlarida undan to'liq foydalanganlar. Ming yillar yashagan mixxat tabletkalari hatto p yordamida hal qilinishi taklif qilingan muammolarni ham saqlaydi. To'g'ri, keyin p uchga teng deb ishonishgan. Buni Bobildan ikki yuz kilometr uzoqlikda joylashgan Suza shahridan topilgan planshet tasdiqlaydi, u erda p soni 3 1/8 sifatida ko'rsatilgan.

p ni hisoblash jarayonida bobilliklar aylana radiusi akkord sifatida unga olti marta kirishini aniqladilar va aylanani 360 gradusga bo'lishdi. Va ayni paytda ular quyosh orbitasi bilan ham xuddi shunday qilishdi. Shunday qilib, ular bir yilda 360 kun borligini hisobga olishga qaror qilishdi.

Qadimgi Misrda p 3,16 ga teng edi.
Qadimgi Hindistonda - 3088.
Italiyada davr boshida p 3,125 ga teng deb hisoblangan.

Antik davrda p haqida eng qadimgi eslatma doirani kvadratlashning mashhur muammosiga, ya'ni maydoni ma'lum bir doiraning maydoniga teng bo'lgan kvadratni qurish uchun kompas va o'lchagichdan foydalanishning mumkin emasligiga ishora qiladi. Arximed p ni 22/7 kasrga tenglashtirgan.

p ning aniq qiymatiga eng yaqin odamlar Xitoyda kelgan. Milodiy V asrda hisoblangan. e. mashhur xitoy astronomi Tzu Chun Chji. p juda oddiy hisoblangan. Toq sonlarni ikki marta yozish kerak edi: 11 33 55, keyin ularni yarmiga bo'lib, birinchisini kasrning maxrajiga, ikkinchisini esa hisoblagichga qo'ying: 355/113. Natijada yettinchi raqamgacha bo'lgan p ning zamonaviy hisob-kitoblari bilan mos keladi.

Nima uchun p - p?

Endi hatto maktab o'quvchilari ham bilishadi p soni aylana aylanasining diametrining uzunligiga nisbati va p 3,1415926535 ... va keyin o'nli kasrdan keyin - cheksizlikka teng bo'lgan matematik doimiydir.

Raqam o'zining p belgisini murakkab tarzda oldi: birinchidan, 1647 yilda matematik Outrade aylana uzunligini tasvirlash uchun ushbu yunoncha harfdan foydalangan. U yunoncha "periferiya" so'zining birinchi harfini oldi. 1706 yilda ingliz o'qituvchisi Uilyam Jons o'zining "Matematika yutuqlarini ko'rib chiqish" asarida aylana aylanasining diametriga nisbatini p harfi bilan atagan. Va bu nom 18-asr matematigi Leonard Eyler tomonidan mustahkamlangan, uning hokimiyati oldida qolganlar bosh egishgan. Shunday qilib, p p ga aylandi.

Raqamning o'ziga xosligi

Pi - haqiqiy noyob raqam.

1. Olimlar p sonidagi raqamlar soni cheksiz deb hisoblaydilar. Ularning ketma-ketligi takrorlanmaydi. Bundan tashqari, hech kim hech qachon takroriy topa olmaydi. Raqam cheksiz bo'lgani uchun u mutlaqo hamma narsani, hatto Raxmaninoff simfoniyasini, Eski Ahdni, telefon raqamingizni va Apokalipsis sodir bo'ladigan yilni o'z ichiga olishi mumkin.

2. p xaos nazariyasi bilan bog'liq. Olimlar Beylining kompyuter dasturini yaratgandan so'ng shunday xulosaga kelishdi, u p dagi raqamlar ketma-ketligi mutlaqo tasodifiy ekanligini ko'rsatdi, bu nazariyaga mos keladi.

3. Raqamni to'liq hisoblash deyarli mumkin emas - bu juda ko'p vaqtni oladi.

4. p - irratsional son, ya'ni uning qiymatini kasr shaklida ifodalab bo'lmaydi.

5. p – transsendental son. Butun sonlar ustida hech qanday algebraik amallarni bajarish orqali uni olish mumkin emas.

6. Vodorod atomi radiusi xatosi bilan Koinotdagi maʼlum kosmik jismlarni oʻrab turgan aylana uzunligini hisoblash uchun p sonidagi oʻttiz toʻqqiz kasr yetarli.

7. p soni "oltin nisbat" tushunchasi bilan bog'liq. Gizaning Buyuk Piramidasini o'lchash jarayonida arxeologlar aylana radiusi uzunligi bilan bog'liq bo'lgani kabi, uning balandligi ham poydevor uzunligiga bog'liqligini aniqladilar.

p ga tegishli yozuvlar

2010-yilda Yahoo matematigi Nikolas Je p sonida ikki kvadrillion o‘nli kasrni (2x10) hisoblay oldi. Bu 23 kun davom etdi va matematikga minglab kompyuterlarda ishlaydigan, taqsimlangan hisoblash texnologiyasidan foydalangan holda birlashtirilgan ko'plab yordamchilar kerak edi. Usul shunday ajoyib tezlikda hisob-kitoblarni amalga oshirish imkonini berdi. Xuddi shu narsani bitta kompyuterda hisoblash uchun 500 yildan ko'proq vaqt kerak bo'ladi.

Bularning barchasini oddiygina qog'ozga yozish uchun sizga ikki milliard kilometrdan ortiq qog'oz lenta kerak bo'ladi. Agar siz bunday rekordni kengaytirsangiz, uning oxiri quyosh tizimidan tashqariga chiqadi.

Xitoylik Liu Chao p sonining raqamlar ketma-ketligini yodlash bo‘yicha rekord o‘rnatdi. 24 soatu 4 daqiqa ichida Liu Chao bitta xatoga yo'l qo'ymasdan 67 890 kasrni aytdi.

p ning ko'plab muxlislari bor. U musiqa asboblarida o'ynaladi va u juda yaxshi "tovushli" ekanligi ma'lum bo'ldi. Ular buni eslab qolishadi va buning uchun turli xil texnikalarni o'ylab topishadi. O‘yin-kulgi uchun ular uni o‘z kompyuterlariga yuklab olishadi va kim ko‘proq yuklab olgani haqida bir-birlari bilan maqtanadilar. Unga yodgorliklar o'rnatilgan. Masalan, Sietlda shunday yodgorlik bor. U San'at muzeyi oldidagi zinapoyalarda joylashgan.

p dekoratsiya va interyer dizaynida qo'llaniladi. Unga she'rlar bag'ishlanadi, uni muqaddas kitoblardan izlaydi, qazishmalarda. Hatto "klub p" ham bor.
p ning eng yaxshi an'analarida yiliga bir emas, balki ikki butun kun raqamga bag'ishlangan! Birinchi marta p kuni 14 martda nishonlanadi. Siz bir-biringizni 1 soat, 59 daqiqa, 26 soniyada tabriklashingiz kerak. Shunday qilib, sana va vaqt raqamning birinchi raqamlariga to'g'ri keladi - 3.1415926.

Ikkinchi marta p bayrami 22 iyulda nishonlanadi. Bu kun Arximed kasr sifatida yozgan "taxminan p" bilan bog'liq.
Odatda shu kuni talabalar, maktab o‘quvchilari va olimlar tomonidan kulgili flesh-moblar va aksiyalar tashkil etiladi. Matematiklar zavqlanib, tushayotgan sendvich qonunlarini hisoblash uchun p dan foydalanadilar va bir-birlariga kulgili mukofotlar berishadi.
Aytgancha, p ni muqaddas kitoblarda topish mumkin. Masalan, Bibliyada. Va u erda p soni ... uchtaga teng.

Pi nimaga teng? biz maktabdan bilamiz va eslaymiz. Bu 3,1415926 ga teng va hokazo... Oddiy odam bu raqamni aylana aylanasini diametriga bo'lish orqali olishini bilish kifoya. Ammo ko'pchilik Pi raqami nafaqat matematika va geometriya, balki fizikada ham kutilmagan sohalarda paydo bo'lishini biladi. Xo'sh, agar siz ushbu raqamning tabiati tafsilotlarini o'rgansangiz, cheksiz raqamlar qatori orasida juda ko'p hayratlanarli narsalarni ko'rasiz. Pi koinotning eng chuqur sirlarini yashirayotgan bo'lishi mumkinmi?

Cheksiz son

Pi sonining o'zi bizning dunyomizda diametri birga teng bo'lgan doira uzunligi sifatida namoyon bo'ladi. Biroq, Pi ga teng bo'lgan segment juda cheklangan bo'lishiga qaramay, Pi soni 3,1415926 dan boshlanadi va hech qachon takrorlanmaydigan sonlar qatorida cheksizlikka boradi. Birinchi ajablanarli fakt shundaki, geometriyada qo'llaniladigan bu sonni butun sonlarning bir qismi sifatida ifodalab bo'lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, siz uni ikkita a/b sonning nisbati sifatida yoza olmaysiz. Bundan tashqari, Pi soni transsendentaldir. Bu shuni anglatadiki, yechimi Pi soni bo'ladigan butun sonli koeffitsientli tenglama (polinom) mavjud emas.

Pi sonining transsendental ekanligi 1882 yilda nemis matematigi fon Lindeman tomonidan isbotlangan. Aynan shu dalil kompas va o'lchagich yordamida maydoni berilgan doiraning maydoniga teng bo'lgan kvadratni chizish mumkinmi degan savolga javob bo'ldi. Bu muammo qadim zamonlardan beri insoniyatni tashvishga solib kelgan aylana kvadratini izlash deb nomlanadi. Aftidan, bu muammoning yechimi oddiy va hal qilinayotgandek edi. Lekin aynan Pi sonining tushunarsiz xususiyati aylanani kvadratga solish masalasiga yechim yo‘qligini ko‘rsatdi.

Kamida to'rt yarim ming yil davomida insoniyat Pi uchun tobora aniqroq qiymat olishga harakat qilmoqda. Misol uchun, Injilda, Shohlarning uchinchi kitobida (7:23) Pi soni 3 ga teng.

Ajoyib aniqlikning Pi qiymatini Giza piramidalarida topish mumkin: piramidalarning perimetri va balandligi nisbati 22/7 ni tashkil qiladi. Bu kasr 3,142 ga teng Pi ning taxminiy qiymatini beradi ... Agar, albatta, misrliklar bu nisbatni tasodifan o'rnatmasalar. Xuddi shu qiymat miloddan avvalgi 3-asrda buyuk Arximed tomonidan Pi sonini hisoblash bilan bog'liq holda olingan.

Miloddan avvalgi 1650 yilga oid qadimgi Misr matematika darsligi Ahmes papirusida Pi 3,160493827 deb hisoblanadi.

Miloddan avvalgi 9-asr atrofidagi qadimgi hind matnlarida eng aniq qiymat 339/108 raqami bilan ifodalangan bo'lib, u 3,1388... ga teng edi.

Arximeddan keyin deyarli ikki ming yil davomida odamlar Pi hisoblash usullarini topishga harakat qilishdi. Ular orasida mashhur va noma'lum matematiklar ham bor edi. Masalan, Rim arxitektori Mark Vitruviy Pollio, misrlik astronom Klavdiy Ptolemey, xitoylik matematigi Lyu Xuy, hind donishmasi Aryabxata, Fibonachchi nomi bilan mashhur bo‘lgan o‘rta asr matematigi Pizalik Leonardo, arab olimi Al-Xorazmiy nomidan kelib chiqqan. "algoritm" paydo bo'ldi. Ularning barchasi va boshqa ko'plab odamlar Pi ni hisoblashning eng aniq usullarini izlashdi, ammo 15-asrgacha hisob-kitoblarning murakkabligi tufayli ular hech qachon 10 dan ortiq kasrga ega bo'lishmadi.

Nihoyat, 1400 yilda Sangamagramdan kelgan hind matematigi Madhava Pi ni 13 ta raqam aniqligi bilan hisoblab chiqdi (garchi u oxirgi ikkitasida hali ham xato qilgan bo'lsa ham).

Belgilar soni

17-asrda Leybnits va Nyuton cheksiz kichik miqdorlar tahlilini kashf etdilar, bu esa Pi ni progressiv ravishda - darajali qatorlar va integrallar orqali hisoblash imkonini berdi. Nyutonning o'zi 16 kasrni hisoblab chiqdi, lekin bu haqda o'z kitoblarida eslatib o'tmagan - bu uning o'limidan keyin ma'lum bo'ldi. Nyutonning ta'kidlashicha, u Pi ni faqat zerikkanlik uchun hisoblagan.

Taxminan bir vaqtning o'zida boshqa unchalik mashhur bo'lmagan matematiklar ham oldinga chiqib, Pi sonini trigonometrik funktsiyalar orqali hisoblash uchun yangi formulalarni taklif qilishdi.

Misol uchun, bu 1706 yilda astronomiya o'qituvchisi Jon Machin tomonidan Pi ni hisoblash uchun ishlatilgan formula: PI / 4 = 4arctg (1/5) - arctg (1/239). Machin analitik usullardan foydalanib, ushbu formuladan Pi sonini yuz kasrgacha chiqardi.

Aytgancha, o'sha 1706 yilda Pi raqami yunoncha harf ko'rinishida rasmiy belgi oldi: Uilyam Jons uni matematika bo'yicha ishida ishlatib, yunoncha "chekka" so'zining birinchi harfini olib, "doira" degan ma'noni anglatadi. ”. 1707 yilda tug'ilgan buyuk Leonhard Euler hozirda har qanday maktab o'quvchisiga ma'lum bo'lgan ushbu belgini ommalashtirdi.

Kompyuterlar davridan oldin matematiklar iloji boricha ko'proq belgilarni hisoblashga e'tibor berishgan. Shu munosabat bilan ba'zida kulgili narsalar paydo bo'ldi. Havaskor matematik U.Shenks 1875 yilda Pi ning 707 ta raqamini hisoblab chiqdi. Ushbu etti yuzta belgi 1937 yilda Parijdagi Discovery saroyi devorida abadiylashtirildi. Biroq, to'qqiz yil o'tgach, kuzatuvchan matematiklar faqat dastlabki 527 belgi to'g'ri hisoblanganligini aniqladilar. Xatoni tuzatish uchun muzey katta xarajatlarga majbur bo'ldi - endi barcha raqamlar to'g'ri.

Kompyuterlar paydo bo'lganda, Pi raqamlari soni mutlaqo tasavvur qilib bo'lmaydigan tartibda hisoblana boshladi.

1946 yilda yaratilgan birinchi elektron kompyuterlardan biri ENIAC o'lchamlari juda katta bo'lgan va shu qadar ko'p issiqlik hosil qilganki, xona 50 daraja Selsiyga qadar qizib ketgan, Pi ning birinchi 2037 raqamlari hisoblangan. Ushbu hisoblash mashinaga 70 soat vaqt sarfladi.

Kompyuterlar takomillashgani sayin, Pi haqidagi bilimlarimiz cheksizlikka ko'tarildi. 1958 yilda raqamning 10 ming raqami hisoblab chiqilgan. 1987 yilda yaponlar 10 013 395 belgini hisoblab chiqdilar. 2011 yilda yapon tadqiqotchisi Shigeru Xondo 10 trillion belgidan oshib ketdi.

Pini yana qayerda uchratish mumkin?

Shunday qilib, ko'pincha Pi soni haqidagi bilimimiz maktab darajasida qoladi va biz bu raqamni birinchi navbatda geometriyada almashtirib bo'lmasligini aniq bilamiz.

Doira uzunligi va maydoni formulalaridan tashqari, Pi soni ellipslar, sharlar, konuslar, silindrlar, ellipsoidlar va boshqalar uchun formulalarda qo'llaniladi: ba'zi joylarda formulalar oddiy va eslab qolish oson, lekin boshqalarda ular juda murakkab integrallarni o'z ichiga oladi.

Keyin biz Pi sonini matematik formulalarda uchratishimiz mumkin, bu erda birinchi qarashda geometriya ko'rinmaydi. Masalan, 1/(1-x^2) ning noaniq integrali Pi ga teng.

Pi ko'pincha ketma-ket tahlilda qo'llaniladi. Masalan, Pi ga yaqinlashadigan oddiy qator:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Seriyalar orasida Pi eng kutilmagan tarzda mashhur Riemann zeta funktsiyasida paydo bo'ladi. Bu haqda qisqacha gapirishning iloji yo'q, deylik, qachondir Pi soni tub sonlarni hisoblash formulasini topishga yordam beradi.

Va hayratlanarli: Pi matematikaning ikkita eng chiroyli "qirollik" formulalarida - Stirling formulasida (faktorial va gamma funksiyalarning taxminiy qiymatini topishga yordam beradi) va Eyler formulasida (beshtagacha matematik konstantalarni bog'laydi) paydo bo'ladi.

Biroq, ehtimollar nazariyasi bo'yicha matematiklarni eng kutilmagan kashfiyot kutdi. Pi raqami ham mavjud.

Masalan, ikkita sonning nisbatan tub bo'lish ehtimoli 6/PI^2 ga teng.

Pi 18-asrda ishlab chiqilgan Buffonning igna otish muammosida paydo bo'ladi: chiziqli qog'ozga tashlangan igna chiziqlardan birini kesib o'tish ehtimoli qanday? Agar igna uzunligi L bo'lsa va chiziqlar orasidagi masofa L va r > L bo'lsa, u holda 2L/rPI ehtimollik formulasi yordamida Pi qiymatini taxminan hisoblashimiz mumkin. Tasavvur qiling - biz tasodifiy hodisalardan Pi ni olishimiz mumkin. Aytgancha, Pi normal ehtimollik taqsimotida mavjud bo'lib, mashhur Gauss egri chizig'ining tenglamasida paydo bo'ladi. Bu Pi aylananing diametrga nisbatidan ham muhimroq ekanligini anglatadimi?

Biz Pi bilan fizikada ham uchrashishimiz mumkin. Pi ikki zaryad oʻrtasidagi oʻzaro taʼsir kuchini tavsiflovchi Kulon qonunida, sayyoraning Quyosh atrofida aylanish davrini koʻrsatuvchi Kepler uchinchi qonunida uchraydi va hatto vodorod atomining elektron orbitallarining joylashishida ham namoyon boʻladi. Va yana hayratlanarlisi shundaki, Pi soni Geyzenberg noaniqlik printsipi formulasida - kvant fizikasining asosiy qonunida yashiringan.

Pi sirlari

Xuddi shu nomdagi film asos qilib olingan Karl Saganning "Kontakt" romanida o'zga sayyoraliklar qahramonga Pi belgilari orasida Xudodan yashirin xabar borligini aytishadi. Muayyan pozitsiyadan boshlab, raqamdagi raqamlar tasodifiy bo'lishni to'xtatadi va koinotning barcha sirlari yozilgan kodni ifodalaydi.

Bu roman haqiqatan ham butun dunyo matematiklarining ongini band qilgan sirni aks ettirdi: Pi raqamlari teng chastotada tarqalgan oddiy raqammi yoki bu raqamda xatolik bormi? Garchi olimlar birinchi variantga moyil bo'lsalar ham (lekin buni isbotlay olmasalar ham), Pi soni juda sirli ko'rinadi. Bir yaponiyalik bir marta Pi ning birinchi trillion raqamlarida 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlar necha marta kelishini hisoblab chiqdi. Va men 2, 4 va 8 raqamlari boshqalarga qaraganda ko'proq ekanligini ko'rdim. Bu Pi ning mutlaqo normal emasligi va undagi raqamlar tasodifiy emasligi haqidagi maslahatlardan biri bo'lishi mumkin.

Keling, yuqorida o'qiganlarimizni eslaylik va o'zimizga savol beraylik, haqiqiy dunyoda yana qanday irratsional va transsendental raqam tez-tez uchraydi?

Va do'konda ko'proq g'alati narsalar mavjud. Masalan, Pi ning birinchi yigirmata raqamining yig'indisi 20 ga, birinchi 144 raqamining yig'indisi esa "hayvonning soni" 666 ga teng.

Amerikaning "Gumonli" serialining bosh qahramoni professor Finch talabalarga Pi sonining cheksizligi tufayli unda tug'ilgan kuningiz raqamlaridan tortib murakkabroq raqamlargacha bo'lgan har qanday raqamlar kombinatsiyasini topish mumkinligini aytdi. . Masalan, 762-pozitsiyada oltita to'qqizlik ketma-ketlik mavjud. Ushbu pozitsiya ushbu qiziqarli kombinatsiyani payqagan mashhur fizik sharafiga Feynman nuqtasi deb ataladi.

Pi raqami 0123456789 ketma-ketligini o'z ichiga olganligini ham bilamiz, lekin u 17,387,594,880-raqamda joylashgan.

Bularning barchasi Pi sonining cheksizligida nafaqat raqamlarning qiziqarli kombinatsiyalarini, balki "Urush va tinchlik" ning kodlangan matnini, Bibliyani va hatto mavjud bo'lsa, Koinotning asosiy sirini ham topish mumkinligini anglatadi.

Aytgancha, Bibliya haqida. Mashhur matematika ommalashtiruvchisi Martin Gardner 1966 yilda Pi ning millioninchi raqami (o'sha paytda hali noma'lum) 5 raqami bo'lishini ta'kidlagan edi. U o'z hisoblarini Injilning inglizcha versiyasida 3 kitob, 14-bob, 16 misra (3-14-16) ettinchi so'z beshta harfdan iborat. Millioninchi raqam sakkiz yildan keyin erishildi. Bu beshinchi raqam edi.

Shundan keyin Pi soni tasodifiy ekanligini ta'kidlashga arziydimi?

Pi ning har qanday ko'p sonli belgilarini hisoblash uchun avvalgi usul endi mos kelmaydi. Ammo Pi ga tezroq yaqinlashadigan ko'p sonli ketma-ketliklar mavjud. Masalan, Gauss formulasidan foydalanamiz:

Ushbu formulaning isboti qiyin emas, shuning uchun biz uni o'tkazib yuboramiz.

Dasturning manba kodi, shu jumladan "uzun arifmetika"

Dastur Pi ning birinchi raqamlarining NbDigitlarini hisoblab chiqadi. Arktanni hisoblash funksiyasi arkkot deb ataladi, chunki arktan(1/p) = arkkot(p), lekin hisob arktangens uchun maxsus Teylor formulasiga muvofiq amalga oshiriladi, ya'ni arktan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - .. x=1/p, ya'ni arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Hisoblashlar rekursiv ravishda sodir bo'ladi: yig'indining oldingi elementi bo'linadi va beradi keyingisi.