Kasrli misollarni qanday to'g'ri yechish mumkin. Kasrli murakkab ifodalar. Jarayon. Aralash kasrlarni ko'paytirish

O‘quvchilar kasrlar bilan 5-sinfda tanishadilar. Ilgari, kasrlar bilan operatsiyalarni qanday bajarishni biladigan odamlar juda aqlli hisoblangan. Birinchi kasr 1/2, ya'ni yarmi, keyin 1/3 paydo bo'ldi va hokazo. Bir necha asrlar davomida misollar juda murakkab deb hisoblangan. Endi kasrlarni aylantirish, qo'shish, ko'paytirish va boshqa operatsiyalar uchun batafsil qoidalar ishlab chiqilgan. Materialni biroz tushunish kifoya va yechim oson bo'ladi.

Oddiy kasr deb ataladigan oddiy kasr ikki sonning bo'linishi sifatida yoziladi: m va n.

M - dividend, ya'ni kasrning soni, bo'luvchi n esa maxraj deyiladi.

To'g'ri kasrlarni aniqlang (m< n) а также неправильные (m >n).

To'g'ri kasr birdan kichik (masalan, 5/6 - bu bittadan 5 qism olinadi; 2/8 - 2 qism birdan olinadi). Noto'g'ri kasr 1 ga teng yoki undan katta (8/7 - birlik 7/7 va yana bir qism ortiqcha sifatida olinadi).

Shunday qilib, bitta raqam va maxraj mos kelganda (3/3, 12/12, 100/100 va boshqalar).

Oddiy kasrlar bilan amallar, 6-sinf

Oddiy kasrlar bilan quyidagilarni qilishingiz mumkin:

• Kasrni kengaytiring. Agar kasrning yuqori va pastki qismlarini har qanday bir xil raqamga ko'paytirsangiz (faqat nolga emas), u holda kasrning qiymati o'zgarmaydi (3/5 = 6/10 (shunchaki 2 ga ko'paytiriladi).
• Kasrlarni qisqartirish kengaytirishga o'xshaydi, lekin bu erda ular songa bo'linadi.
• Taqqoslash. Agar ikkita kasrning soni bir xil bo'lsa, maxraji kichikroq bo'lgan kasr kattaroq bo'ladi. Agar maxrajlar bir xil bo'lsa, u holda eng katta hisoblagichga ega bo'lgan kasr kattaroq bo'ladi.
• Qo‘shish va ayirish amallarini bajaring. Xuddi shu denominatorlar bilan buni qilish oson (biz yuqori qismlarni jamlaymiz, lekin pastki qismi o'zgarmaydi). Agar ular boshqacha bo'lsa, siz umumiy maxraj va qo'shimcha omillarni topishingiz kerak bo'ladi.
• Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish.

Quyida kasrlar bilan amallar misollarini ko'rib chiqamiz.

Qisqartirilgan kasrlar 6-sinf

Kamaytirish kasrning yuqori va pastki qismini teng songa bo'lishdir.

Rasmda qisqartirishning oddiy misollari ko'rsatilgan. Birinchi variantda siz darhol hisoblagich va maxraj 2 ga bo'linishini taxmin qilishingiz mumkin.

Eslatmada! Agar son juft bo'lsa, u har qanday usulda 2 ga bo'linadi.Juft sonlar 2, 4, 6...32 8 (juft son bilan tugaydi) va hokazo.

Ikkinchi holda, 6 ni 18 ga bo'lganda, raqamlar 2 ga bo'linishi darhol aniq bo'ladi. Bo'linish, biz 3/9 ni olamiz. Bu kasr yana 3 ga bo'linadi. Keyin javob 1/3 bo'ladi. Agar ikkala bo'luvchini ko'paytirsangiz: 2 ni 3 ga ko'paytirsangiz, siz 6 ga erishasiz. Ma'lum bo'lishicha, kasr oltiga bo'lingan. Bu bosqichma-bosqich bo'linish deyiladi kasrlarni umumiy bo'luvchilar orqali ketma-ket qisqartirish.

Ba'zi odamlar darhol 6 ga bo'linadi, boshqalari qismlarga bo'lishlari kerak. Asosiysi, oxirida hech qanday tarzda kamaytirib bo'lmaydigan qism qoladi.

E'tibor bering, agar raqam raqamlardan iborat bo'lsa, ularning qo'shilishi natijasida 3 ga bo'linadigan son paydo bo'lsa, asl raqam ham 3 ga kamaytirilishi mumkin. Misol: 341 raqami. Raqamlarni qo'shing: 3 + 4 + 1 = 8 (8) 3 ga bo'linmaydi, bu 341 raqamini qoldiqsiz 3 ga kamaytirmaslikni anglatadi). Yana bir misol: 264. Qo'shing: 2 + 6 + 4 = 12 (3 ga bo'linadi). Biz olamiz: 264: 3 = 88. Bu katta sonlarni kamaytirishni osonlashtiradi.

Kasrlarni umumiy bo'luvchilar bo'yicha ketma-ket kamaytirish usulidan tashqari, boshqa usullar ham mavjud.

GCD eng ko'p katta bo'luvchi raqam uchun. Maxraj va numerator uchun gcd ni topib, darhol kasrni kamaytirishingiz mumkin to'g'ri raqam. Qidiruv har bir raqamni bosqichma-bosqich bo'lish orqali amalga oshiriladi. Keyinchalik, ular qaysi bo'linuvchilar mos kelishini ko'rishadi; agar ularning bir nechtasi bo'lsa (quyidagi rasmda bo'lgani kabi), siz ko'paytirishingiz kerak.

Aralash kasrlar 6-sinf

Barcha noto'g'ri kasrlarni ulardan butun qismini ajratib, aralash kasrlarga aylantirish mumkin. Butun raqam chap tomonda yozilgan.

Ko'pincha siz noto'g'ri kasrdan aralash raqam yasashingiz kerak. O'tkazish jarayoni quyidagi misolda ko'rsatilgan: 22/4 = 22 4 ga bo'linadi, biz 5 ta tamsayı olamiz (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Biz 5 ta butun va 2/4 ni olamiz (maxraj o'zgarmaydi). Kasrni kamaytirish mumkinligi sababli, biz yuqori va pastki qismlarni 2 ga ajratamiz.

Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantirish oson (bu kasrlarni bo'lish va ko'paytirishda kerak). Buning uchun: butun sonni kasrning pastki qismiga ko'paytiring va unga numeratorni qo'shing. Tayyor. Maxraj o'zgarmaydi.

Kasrlar bilan hisoblar 6-sinf

Aralash raqamlar qo'shilishi mumkin. Agar maxrajlar bir xil bo'lsa, unda buni qilish oson: butun qismlar va sonlarni qo'shing, maxraj joyida qoladi.

Turli xil maxrajli raqamlarni qo'shganda, jarayon yanada murakkablashadi. Birinchidan, biz raqamlarni bitta eng kichik maxrajga (LSD) qisqartiramiz.

Quyidagi misolda 9 va 6 raqamlari uchun maxraj 18 bo'ladi. Shundan so'ng qo'shimcha omillar kerak bo'ladi. Ularni topish uchun siz 18 ni 9 ga bo'lishingiz kerak, siz qo'shimcha raqamni shunday topasiz - 2. 8/18 kasrni olish uchun uni 4 raqamga ko'paytiramiz). Ular ikkinchi kasr bilan ham xuddi shunday qilishadi. Biz allaqachon aylantirilgan kasrlarni qo'shamiz (butun sonlar va numeratorlar alohida, biz maxrajni o'zgartirmaymiz). Misolda javobni to'g'ri kasrga aylantirish kerak edi (dastlab hisoblagich maxrajdan katta bo'lib chiqdi).

E'tibor bering, kasrlar farq qilganda, harakatlar algoritmi bir xil bo'ladi.

Kasrlarni ko'paytirishda ikkalasini ham bir chiziq ostiga qo'yish muhimdir. Agar raqam aralashgan bo'lsa, biz uni oddiy kasrga aylantiramiz. Keyinchalik, yuqori va pastki qismlarni ko'paytiring va javobni yozing. Agar kasrlarni kamaytirish mumkinligi aniq bo'lsa, biz ularni darhol kamaytiramiz.

Yuqoridagi misolda siz hech narsani kesishingiz shart emas edi, siz faqat javobni yozib, butun qismini ajratib ko'rsatdingiz.

Ushbu misolda biz bitta chiziq ostidagi raqamlarni kamaytirishimiz kerak edi. Garchi siz tayyor javobni qisqartirishingiz mumkin.

Bo'lishda algoritm deyarli bir xil bo'ladi. Birinchidan, aralash kasrni noto'g'ri kasrga aylantiramiz, so'ngra raqamlarni bir qator ostida yozamiz, bo'linishni ko'paytirish bilan almashtiramiz. Ikkinchi kasrning yuqori va pastki qismlarini almashtirishni unutmang (bu kasrlarni bo'lish qoidasi).

Agar kerak bo'lsa, biz raqamlarni kamaytiramiz (quyidagi misolda biz ularni besh va ikkiga kamaytirdik). Biz butun qismni ajratib ko'rsatish orqali noto'g'ri kasrni aylantiramiz.

Asosiy kasr masalalari 6-sinf

Videoda yana bir nechta vazifalar ko'rsatilgan. Aniqlik uchun, fraktsiyalarni ko'rishga yordam berish uchun echimlarning grafik tasvirlari ishlatiladi.

Tushuntirishlar bilan kasrlarni ko'paytirish misollari 6-sinf

Ko'paytirish kasrlari bir qator ostida yoziladi. Keyin ular bir xil raqamlarga bo'linish yo'li bilan kamayadi (masalan, maxrajdagi 15 va hisoblagichdagi 5 ni beshga bo'lish mumkin).

Kasrlarni taqqoslash 6-sinf

Kasrlarni solishtirish uchun siz ikkita oddiy qoidani eslab qolishingiz kerak.

Qoida 1. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa

2-qoida. Maxrajlar bir xil bo'lganda

Masalan, 7/12 va 2/3 kasrlarni solishtiring.

1. Biz maxrajlarga qaraymiz, ular mos kelmaydi. Shuning uchun siz umumiy narsani topishingiz kerak.
2. Kasrlar uchun umumiy maxraj 12 ga teng.
3. Biz birinchi navbatda 12 ni birinchi kasrning pastki qismiga ajratamiz: 12: 12 = 1 (bu birinchi kasr uchun qo'shimcha omil).
4. Endi biz 12 ni 3 ga bo'lamiz, biz 4 ni olamiz - qo'shimcha. 2-kasrning koeffitsienti.
5. Olingan sonlarni kasrlarni aylantirish uchun sonlar bilan ko'paytiramiz: 1 x 7 = 7 (birinchi kasr: 7/12); 4 x 2 = 8 (ikkinchi kasr: 8/12).
6. Endi biz taqqoslashimiz mumkin: 7/12 va 8/12. Bu chiqdi: 7/12< 8/12.

Kasrlarni yaxshiroq ifodalash uchun ob'ekt qismlarga bo'lingan joyda (masalan, tort) aniqlik uchun rasmlardan foydalanishingiz mumkin. Agar siz 4/7 va 2/3 ni solishtirmoqchi bo'lsangiz, unda birinchi holatda pirojnoe 7 qismga bo'linadi va ulardan 4 tasi tanlanadi. Ikkinchisida ular 3 qismga bo'linadi va 2 ni oladi. Yalang'och ko'z bilan 2/3 4/7 dan katta bo'lishi aniq bo'ladi.

Trening uchun kasrlar bilan misollar 6-sinf

Amaliyot sifatida quyidagi vazifalarni bajarishingiz mumkin.

• Kasrlarni solishtiring

• ko'paytirishni bajaring

Maslahat: agar kasrlar uchun eng kichik umumiy maxrajni topish qiyin bo'lsa (ayniqsa ularning qiymatlari kichik bo'lsa), unda siz birinchi va ikkinchi kasrlarning maxrajini ko'paytirishingiz mumkin. Misol: 2/8 va 5/9. Ularning maxrajini topish juda oddiy: 8 ni 9 ga ko'paytirsangiz, 72 ni olasiz.

Kasrli tenglamalarni yechish 6-sinf

Tenglamalarni echish kasrlar bilan amallarni eslab qolishni talab qiladi: ko'paytirish, bo'lish, ayirish va qo'shish. Agar omillardan biri noma'lum bo'lsa, mahsulot (jami) ma'lum omilga bo'linadi, ya'ni kasrlar ko'paytiriladi (ikkinchisi aylantiriladi).

Agar dividend noma'lum bo'lsa, unda maxraj bo'luvchiga ko'paytiriladi va bo'luvchini topish uchun dividendni ko'rsatkichga bo'lish kerak.

Tasavvur qilaylik oddiy misollar tenglamalar yechimlari:

Bu erda umumiy maxrajga olib kelmasdan, faqat kasrlar farqini chiqarish kerak.

Javob noto'g'ri kasr sifatida chiqdi. Uni 1 butun va 3/5 ga aylantirish mumkin.

Ikkinchi usulda, maxrajni ag'darish o'rniga, pastki qismni bekor qilish uchun pay va maxraj 4 ga ko'paytirildi.

Kimyo, fizika va hatto biologiya kabi fanlarda qo'llanilishi mumkin bo'lgan eng muhim fanlardan biri bu matematikadir. Ushbu fanni o'rganish sizga ba'zi aqliy fazilatlarni rivojlantirish va diqqatni jamlash qobiliyatini yaxshilash imkonini beradi. Matematika kursida alohida e'tiborga loyiq mavzulardan biri kasrlarni qo'shish va ayirishdir. Ko'pgina talabalar o'qishni qiyinlashtiradi. Ehtimol, bizning maqolamiz ushbu mavzuni yaxshiroq tushunishga yordam beradi.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qanday ayirish mumkin

Kasrlar - bu siz ishlab chiqarishingiz mumkin bo'lgan bir xil raqamlar turli harakatlar. Ularning butun sonlardan farqi maxrajning mavjudligidadir. Shuning uchun kasrlar bilan amallarni bajarishda ularning ayrim xususiyatlari va qoidalarini o'rganish kerak. Eng oddiy holat - maxrajlari bir xil son sifatida ifodalangan oddiy kasrlarni ayirish. Agar siz oddiy qoidani bilsangiz, ushbu amalni bajarish qiyin bo'lmaydi:

• Bir kasrdan soniyani ayirish uchun kamaytirilayotgan kasr sonidan ayirilgan kasrning payini ayirish kerak. Bu raqamni ayirma soniga yozamiz va maxrajni bir xil qoldiramiz: k/m - b/m = (k-b)/m.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni ayirish misollari

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

"7" kasrning hisoblagichidan biz ayirilishi kerak bo'lgan "3" kasrning sonini ayirib, "4" ni olamiz. Biz bu raqamni javobning numeratoriga yozamiz va maxrajga birinchi va ikkinchi kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni qo'yamiz - "19".

Quyidagi rasmda yana bir nechta shunga o'xshash misollar ko'rsatilgan.

Keling, maxrajlari o'xshash bo'lgan kasrlarni ayirish uchun murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

“29” kasr sonidan keyingi barcha kasrlarning soni - “3”, “8”, “2”, “7” navbat bilan ayirish yo'li bilan kamaytiriladi. Natijada, biz javobning numeratoriga yozgan "9" natijasini olamiz va maxrajda biz barcha kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni yozamiz - "47".

Bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish xuddi shu printsipga amal qiladi.

• Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun sonlarni qo'shish kerak. Olingan son yig'indining numeratoridir va maxraj bir xil bo'lib qoladi: k/m + b/m = (k + b)/m.

Keling, misol yordamida bu qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kasrning birinchi hadining hisoblagichiga - "1" - kasrning ikkinchi hadining hisoblagichi - "2" qo'shing. Natija - "3" - yig'indining numeratoriga yoziladi va maxraj kasrlarda mavjud bo'lgani kabi qoladi - "4".

Turli xil maxrajli kasrlar va ularni ayirish

Biz allaqachon bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlar bilan operatsiyani ko'rib chiqdik. Ko'rib turganingizdek, oddiy qoidalarni bilish, bunday misollarni hal qilish juda oson. Ammo har xil denominatorlarga ega bo'lgan kasrlar bilan operatsiyani bajarish kerak bo'lsa-chi? Ko'pgina o'rta maktab o'quvchilari bunday misollar bilan sarosimaga tushishadi. Ammo bu erda ham, agar siz yechim tamoyilini bilsangiz, misollar endi siz uchun qiyin bo'lmaydi. Bu erda ham qoida bor, ularsiz bunday kasrlarni echish mumkin emas.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ularni bir xil eng kichik maxrajga kamaytirish kerak.



Buni qanday qilish haqida batafsilroq gaplashamiz.

Kasrning xossasi

Bir necha kasrni bir xil maxrajga keltirish uchun eritmada kasrning asosiy xossasidan foydalanish kerak: pay va maxrajni bir xil songa bo’lish yoki ko’paytirishdan keyin berilgan kasrga teng kasr olinadi.

Shunday qilib, masalan, 2/3 kasrda "6", "9", "12" va hokazo kabi maxrajlar bo'lishi mumkin, ya'ni u "3" ga karrali har qanday son shakliga ega bo'lishi mumkin. Numerator va maxrajni "2" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 4/6 kasrni olamiz. Asl kasrning sonini va maxrajini "3" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 6/9 ni olamiz va "4" raqami bilan shunga o'xshash amalni bajarsak, biz 8/12 ni olamiz. Bitta tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday aylantirish mumkin

Keling, bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday kamaytirishni ko'rib chiqaylik. Misol uchun, quyidagi rasmda ko'rsatilgan kasrlarni olaylik. Avval qaysi raqam ularning barchasi uchun maxraj bo'lishi mumkinligini aniqlashingiz kerak. Ishni osonlashtirish uchun keling, mavjud maxrajlarni faktorlarga ajratamiz.

1/2 kasrning maxraji va 2/3 kasrni koeffitsientlarga ajratish mumkin emas. 7/9 maxraji ikkita omilga ega 7/9 = 7/(3 x 3), kasrning maxraji 5/6 = 5/(2 x 3). Endi biz ushbu to'rtta kasr uchun qaysi omillar eng kichik bo'lishini aniqlashimiz kerak. Birinchi kasr maxrajda "2" raqamiga ega bo'lganligi sababli, u barcha maxrajlarda bo'lishi kerak, 7/9 kasrda ikkita uchlik bor, ya'ni ularning ikkalasi ham maxrajda bo'lishi kerak. Yuqoridagilarni hisobga olib, maxraj uchta omildan iborat ekanligini aniqlaymiz: 3, 2, 3 va 3 x 2 x 3 = 18 ga teng.



Keling, birinchi kasrni ko'rib chiqaylik - 1/2. Uning maxrajida "2" bor, lekin bitta "3" raqami yo'q, lekin ikkita bo'lishi kerak. Buning uchun biz maxrajni ikki uchga ko'paytiramiz, lekin kasrning xususiyatiga ko'ra, hisobni ikki uch barobarga ko'paytirishimiz kerak:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Qolgan kasrlar bilan bir xil operatsiyalarni bajaramiz.

• 2/3 - maxrajda bitta uch va bitta ikkitasi etishmayapti:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 yoki 7/(3 x 3) - maxrajda ikkitasi etishmayapti:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 yoki 5/(2 x 3) - maxrajda uchtasi etishmayapti:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Hammasi birgalikda quyidagicha ko'rinadi:



Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni qanday ayirish va qo'shish

Yuqorida aytib o'tilganidek, maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak, keyin esa bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni ayirish qoidalaridan foydalanish kerak, ular allaqachon muhokama qilingan.

Keling, buni misol sifatida ko'rib chiqaylik: 4/18 - 3/15.

18 va 15 sonlarning karralisini topish:

• 18 raqami 3 x 2 x 3 dan iborat.
• 15 raqami 5 x 3 dan iborat.
• Umumiy ko'paytma quyidagi omillar bo'ladi: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Maxraj topilgandan so'ng, har bir kasr uchun har xil bo'ladigan koeffitsientni hisoblash kerak, ya'ni faqat maxrajni emas, balki sonni ham ko'paytirish kerak bo'lgan sonni hisoblash kerak. Buning uchun biz topgan sonni (umumiy karrali) qo'shimcha omillarni aniqlash kerak bo'lgan kasrning maxrajiga bo'ling.

• 90 15 ga bo'linadi. Natijada "6" soni 3/15 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.
• 90 18 ga bo'linadi. Natijada "5" soni 4/18 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.

Bizning yechimimizning keyingi bosqichi har bir kasrni "90" maxrajiga kamaytirishdir.

Bu qanday amalga oshirilganligi haqida biz allaqachon gaplashdik. Keling, bu misolda qanday yozilganligini ko'rib chiqaylik:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Agar kasrlar kichik raqamlarga ega bo'lsa, quyidagi rasmda ko'rsatilgan misolda bo'lgani kabi, umumiy maxrajni aniqlashingiz mumkin.



Xuddi shu narsa turli xil denominatorlarga ega bo'lganlar uchun ham amal qiladi.

Ayirish va butun qismlarga ega bo'lish

Biz allaqachon kasrlarni ayirish va ularni qo'shishni batafsil ko'rib chiqdik. Ammo kasr mavjud bo'lsa, qanday ayirish kerak butun qismi? Yana bir nechta qoidalardan foydalanamiz:

• Butun qismga ega bo'lgan barcha kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring. Gapirmoqda oddiy so'zlar bilan, butun qismini olib tashlang. Buning uchun butun qismning sonini kasrning maxrajiga ko'paytiring va hosil bo'lgan ko'paytmani hisoblagichga qo'shing. Ushbu harakatlardan keyin chiqadigan raqam noto'g'ri kasrning soni hisoblanadi. Maxraj o'zgarishsiz qoladi.
• Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak.
• Xuddi shu maxrajlar bilan qo'shish yoki ayirish amallarini bajaring.
• Noto'g'ri kasrni olganingizda, butun qismni tanlang.



Butun qismlarga ega kasrlarni qo'shish va ayirishning yana bir usuli mavjud. Buning uchun amallar butun qismlar bilan alohida, kasrlar bilan esa alohida bajariladi va natijalar birgalikda qayd etiladi.



Keltirilgan misol bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlardan iborat. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa, ular bir xil qiymatga keltirilishi kerak, so'ngra misolda ko'rsatilganidek, amallarni bajarish kerak.

Butun sonlardan kasrlarni ayirish

Kasrlar bilan bajariladigan amallarning yana bir turi kasrdan ayirish kerak bo'lgan holdir.Bir qarashda bunday misolni yechish qiyindek tuyuladi. Biroq, bu erda hamma narsa juda oddiy. Buni hal qilish uchun siz butun sonni kasrga va ayirilgan kasrdagi bir xil maxrajga aylantirishingiz kerak. Keyinchalik, bir xil maxrajlar bilan ayirishga o'xshash ayirishni bajaramiz. Bir misolda u shunday ko'rinadi:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Ushbu maqolada keltirilgan kasrlarni olib tashlash (6-sinf) ko'proq narsani hal qilish uchun asosdir murakkab misollar, ular keyingi darslarda muhokama qilinadi. Ushbu mavzu bo'yicha bilimlar keyinchalik funksiyalar, hosilalar va boshqalarni yechish uchun ishlatiladi. Shuning uchun yuqorida muhokama qilingan kasrlar bilan operatsiyalarni tushunish va tushunish juda muhimdir.

Deyarli har beshinchi sinf o'quvchisi oddiy kasrlar bilan birinchi tanishganidan keyin biroz hayratda. Siz nafaqat kasrlarning mohiyatini tushunishingiz, balki ular bilan ishlashingiz kerak arifmetik amallar. Shundan so'ng, kichik o'quvchilar ushbu kasrlar qachon tugashini bilish uchun o'qituvchilarini muntazam ravishda so'roq qilishadi.

Bunday holatlarga yo'l qo'ymaslik uchun, bu qiyin mavzuni bolalarga iloji boricha sodda tushuntirish kifoya qiladi va yaxshiroq, o'yin shakli.

Kasrning mohiyati

Kasr nima ekanligini bilishdan oldin, bola tushuncha bilan tanishishi kerak baham ko'ring . Bu erda assotsiativ usul eng mos keladi.

Bir nechta teng qismlarga bo'lingan butun kekni tasavvur qiling, masalan, to'rtta. Keyin kekning har bir qismini ulush deb atash mumkin. Agar siz to'rtta bo'lakdan birini olsangiz, u to'rtdan bir bo'ladi.

Aktsiyalar har xil, chunki butunni butunlay boshqa qismlarga bo'lish mumkin. Umuman olganda, aktsiyalar qanchalik ko'p bo'lsa, ular shunchalik kichik bo'ladi va aksincha.

Aktsiyalarni belgilash uchun ular shunday matematik tushunchaga ega bo'lishdi oddiy kasr. Kasr bizga kerak bo'lganda qancha aktsiyalarni yozishga imkon beradi.

Kasrning tarkibiy qismlari ayiruvchi va maxraj bo'lib, ular kasr chizig'i yoki qiyshiq chiziq bilan ajratiladi. Ko'pgina bolalar ularning ma'nosini tushunmaydilar va shuning uchun fraktsiyaning mohiyati ularga tushunarli emas. Kasr chizig'i bo'linishni ko'rsatadi, bu erda murakkab narsa yo'q.

Maxrajni pastga, kasr chizig'i ostiga yoki oldinga chiziqning o'ng tomoniga yozish odatiy holdir. U butunning qismlari sonini ko'rsatadi. Numerator, kasr chizig'ining tepasida yoki oldingi chiziqning chap tomonida yozilgan bo'lib, qancha aktsiya olinganligini aniqlaydi.Masalan, kasr 4/7. IN Ushbu holatda 7 - bu atigi 7 ta aktsiya mavjudligini ko'rsatadi va 4 soni ettita aktsiyadan to'rttasi olinganligini ko'rsatadi.

Asosiy aktsiyalar va ularning kasrlarda yozilishi:

Oddiy kasrdan tashqari o'nli kasr ham mavjud.

Kasrlar bilan amallar 5-sinf

Beshinchi sinfda ular kasrlar bilan barcha arifmetik amallarni bajarishni o'rganadilar.

Kasrlar bilan barcha operatsiyalar qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi va siz qoidani o'rganmasdan hamma narsa o'z-o'zidan ishlaydi deb umid qilmasligingiz kerak. Shuning uchun, og'iz qismini e'tiborsiz qoldirmang uy vazifasi matematika.

Biz allaqachon o'nlik va oddiy kasrning yozuvi boshqacha ekanligini tushundik, shuning uchun arifmetik amallar boshqacha bajariladi. Oddiy kasrlar bilan harakatlar maxrajdagi raqamlarga va o'nli kasrda - o'ngdagi kasrdan keyin bo'lgan raqamlarga bog'liq.

Bir xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar uchun qo'shish va ayirish algoritmi juda oddiy. Biz harakatlarni faqat hisoblagichlar bilan bajaramiz.

Turli xil maxrajli kasrlar uchun siz topishingiz kerak Eng kichik umumiy maxraj (LCD). Bu barcha maxrajlarga qoldiqsiz bo'linadigan son va agar ular bir nechta bo'lsa, bunday sonlarning eng kichigi bo'ladi.

O'nli kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun ularni vergul ostiga vergul qo'yib, ustunga yozish va kerak bo'lganda o'nli kasrlar sonini tenglashtirish kerak.

Oddiy kasrlarni ko'paytirish uchun sonlar va maxrajlarning ko'paytmasini topish kifoya. Juda oddiy qoida.

Bo'linish quyidagi algoritm bo'yicha amalga oshiriladi:

1. Dividendni o'zgarishsiz yozing
2. Bo'linishni ko'paytirishga aylantiring
3. Bo'luvchini teskari aylantiring (bo'luvchiga o'zaro kasrni yozing)
4. Ko'paytirishni bajaring

Kasrlarni qo`shish, tushuntirish

Keling, kasr va o'nli kasrlarni qanday qo'shishni batafsil ko'rib chiqaylik.

Yuqoridagi rasmda ko'rib turganingizdek, uchdan bir va uchdan ikki qismining umumiy maxraji uchtaga ega. Bu shuni anglatadiki, siz faqat bitta va ikkita sonlarni qo'shishingiz va maxrajni o'zgarishsiz qoldirishingiz kerak. Natija uchdan uchga teng. Bu javob, kasrning soni va maxraji teng bo'lganda, 1 sifatida yozilishi mumkin, chunki 3:3 = 1.

Ikki uchdan ikki va to'qqizdan ikki kasr yig'indisini topishingiz kerak. Bu holda, maxrajlar har xil, 3 va 9. Qo'shishni amalga oshirish uchun siz umumiyni topishingiz kerak. Juda oddiy yo'l bor. Biz eng katta maxrajni tanlaymiz, u 9. Uning 3 ga boʻlinish-boʻlinmasligini tekshiramiz. 9:3 = 3 qoldiqsiz boʻlgani uchun, umumiy maxraj sifatida 9 mos keladi.

Keyingi qadam har bir hisoblagich uchun qo'shimcha omillarni topishdir. Buning uchun biz umumiy maxraj 9 ni har bir kasrning maxrajiga navbat bilan ajratamiz, natijada olingan raqamlar qo'shimcha bo'ladi. koʻplik Birinchi kasr uchun: 9:3 = 3, birinchi kasrning soniga 3 qo'shing.Ikkinchi kasr uchun: 9:9 = 1, siz bitta qo'shishingiz shart emas, chunki unga ko'paytirilganda siz bir xil bo'lasiz. raqam.

Endi biz sanoqchilarni qo'shimcha omillarga ko'paytiramiz va natijalarni qo'shamiz. Olingan miqdor sakkizdan to'qqizdan bir qismidir.

O'nli kasrlarni qo'shish natural sonlarni qo'shish bilan bir xil qoidaga amal qiladi. Ustunda raqam raqam ostida yoziladi. Yagona farq shundaki, o'nli kasrlarda siz natijaga to'g'ri vergul qo'yishingiz kerak. Buning uchun kasrlar vergul ostida vergul bilan yoziladi va jamida faqat vergulni pastga siljitish kerak.

38, 251 va 1, 56 kasrlar yig’indisini topamiz. Amallarni bajarish qulayroq bo’lishi uchun o’ng tarafdagi kasrlar sonini 0 qo’shib tenglashtirdik.

Vergulga e'tibor bermasdan kasrlarni qo'shing. Va natijada biz shunchaki vergulni pastga tushiramiz. Javob: 39, 811.

Kasrlarni ayirish, tushuntirish

Kasrlarning uchdan ikkisi va uchdan bir qismi o'rtasidagi farqni topish uchun siz 2-1 = 1 numeratorlarning farqini hisoblashingiz kerak va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring. Javob uchdan bir farqni beradi.

Keling, besh-oltidan va yettidan birlik kasrlar orasidagi farqni topamiz. Umumiy maxrajni topish. Biz tanlash usulidan foydalanamiz, 6 va 10 dan eng kattasi 10. Biz tekshiramiz: 10: 6 qoldiqsiz bo'linmaydi. Biz yana 10 qo'shamiz, 20:6 chiqadi, bu ham qoldiqsiz bo'linmaydi. Yana 10 ga oshiramiz, biz 30:6 = 5 ni olamiz. Umumiy maxraj 30. Shuningdek, NOZni ko'paytirish jadvali yordamida topish mumkin.

Qo'shimcha omillarni topish. 30:6 = 5 - birinchi kasr uchun. 30:10 = 3 - ikkinchisi uchun. Numeratorlarni va ularning qo'shimcha ko'paytmalarini ko'paytiramiz. Biz minuend 25/30 va ayirma 21/30 olamiz. Keyinchalik, biz sonlarni ayirib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiramiz.

Natijada 4/30 farq bor edi. Fraksiyani kamaytirish mumkin. Uni 2 ga bo'ling. Javob 2/15.

O'nli kasrlarga bo'lish 5-sinf

Ushbu mavzu ikkita variantni muhokama qiladi:

O'nli kasrlarni ko'paytirish 5-sinf

Tabiiy sonlarni qanday ko'paytirishni eslang, xuddi shu tarzda siz o'nli kasrlarning mahsulotini topasiz. Birinchidan, o'nli kasrni qanday ko'paytirishni aniqlaymiz natural son. Buning uchun:

O'nli kasrni o'nli kasrga ko'paytirishda biz xuddi shunday harakat qilamiz.

Aralash kasrlar 5-sinf

Beshinchi sinf o'quvchilari bunday fraktsiyalarni aralash emas, balki chaqirishni yaxshi ko'radilar<<смешные>>Bu tarzda eslab qolish osonroqdir. Aralash kasrlar shunday deyiladi, chunki ular butun natural son va oddiy kasrni birlashtirib yasaladi.

Aralash kasr butun son va kasr qismdan iborat.

Bunday kasrlarni o'qiyotganda avval butun qismni, keyin kasr qismini nomlaydi: bir butun uchdan ikki, ikki butun bir beshdan, uch butun ikki beshdan, to'rt nuqta uch chorak.

Qanday qilib ular olinadi, bu aralash fraktsiyalar? Bu juda oddiy. Javobda noto'g'ri kasrni olganimizda (hisoblagichi maxrajdan katta bo'lgan kasr), biz uni har doim aralash kasrga aylantirishimiz kerak. Numeratorni maxrajga bo'lish kifoya. Ushbu harakat butun qismni tanlash deb ataladi:

Aralash kasrni noto'g'ri kasrga aylantirish ham oson:

O'nli kasrlar bilan misollar 5-sinf tushuntirish bilan

Bir nechta harakatlarga misollar bolalarda ko'plab savollar tug'diradi. Keling, bir nechta bunday misollarni ko'rib chiqaylik.

(0,4 8,25 - 2,025) : 0,5 =

Birinchi qadam 8,25 va 0,4 raqamlarining ko'paytmasini topishdir. Biz ko'paytirishni qoidaga muvofiq bajaramiz. Javobda o'ngdan chapga uchta raqamni sanab, vergul qo'ying.

Ikkinchi harakat qavs ichida, bu farq. 3300 dan 2025 ni ayiramiz. Biz harakatni vergul ostidagi vergul bilan ustunga yozamiz.

Uchinchi harakat - bu bo'linish. Ikkinchi bosqichda olingan farq 0,5 ga bo'linadi. Vergul bir joyga ko'chiriladi. Natija 2.55.

Javob: 2.55.

(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =

Birinchi qadam qavs ichidagi miqdordir.Uni ustunga qo'shing, vergul vergul ostida ekanligini unutmang. Javobni 1.00 olamiz.

Ikkinchi harakat ikkinchi qavsdan farq qiladi. Minuendda ayirmaga qaraganda kamroq o'nlik kasrlar bo'lgani uchun biz etishmayotganni qo'shamiz. Ayirish natijasi 0,125 ga teng.

Uchinchi qadam - summani farqga bo'lish. Vergul uchta joyga ko'chiriladi. Natijada 1000 ni 125 ga bo'lish hosil bo'ladi.

Javob: 8.

Turli xil maxrajli oddiy kasrlarga misollar tushuntirish bilan 5-sinf

Birinchisida Ushbu misolda biz 5/8 va 3/7 kasrlar yig'indisini topamiz. Umumiy maxraj 56 raqami bo'ladi. Qo'shimcha omillarni toping, 56:8 = 7 va 56:7 = 8 ni bo'ling. Ularni mos ravishda birinchi va ikkinchi kasrlarga qo'shing. Numeratorlarni va ularning omillarini ko'paytiramiz, biz 35/56 va 24/56 kasrlar yig'indisini olamiz. Natija 59/56 edi. Kasr noto'g'ri, uni aralash songa aylantiramiz.Qolgan misollar xuddi shunday yechilgan.

Trening uchun kasrlar bilan misollar 5-sinf

Qulaylik uchun aralash kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring va amallarni bajaring.

Farzandingizga Legos yordamida kasrlarni oson yechishga qanday o'rgatish kerak

Bunday konstruktor yordamida siz nafaqat bolaning tasavvurini rivojlantirishingiz, balki ulush va kasr nima ekanligini o'ynoqi tarzda aniq tushuntirishingiz mumkin.

Quyidagi rasmda sakkizta aylanali bir qism bir butun ekanligini ko'rsatadi. Bu shuni anglatadiki, agar siz to'rtta doiradan iborat jumboqni olsangiz, yarmi yoki 1/2 olasiz. Rasmda Lego bilan misollarni qanday hal qilish aniq ko'rsatilgan, agar siz qismlardagi doiralarni hisoblasangiz.

Siz ma'lum miqdordagi qismlardan minoralar qurishingiz va ularning har birini quyidagi rasmda bo'lgani kabi belgilashingiz mumkin. Misol uchun, yetti qismli minorani olaylik. Yashil qurilish to'plamining har bir qismi 1/7 bo'ladi. Agar shunday bir qismga yana ikkita qo'shsangiz, siz 3/7 olasiz. 1/7+2/7 = 3/7 misolining vizual tushuntirishi.

Matematikadan A ball olish uchun qoidalarni o‘rganishni va ularga amal qilishni unutmang.

Bir qismni butunning kasri sifatida ifodalash uchun qismni butunga bo'lish kerak.

Vazifa 1. Sinfda 30 o'quvchi bor, to'rt nafari yo'q. Talabalarning qaysi qismi qatnashmaydi?

Yechim:

Javob: Sinfda o‘quvchilar yo‘q.

Sondan kasrni topish

Butunning bir qismini topish kerak bo'lgan muammolarni hal qilish uchun quyidagi qoida qo'llaniladi:

Agar butunning bir qismi kasr sifatida ifodalansa, u holda bu qismni topish uchun butunni kasrning maxrajiga bo'lish va natijani uning soniga ko'paytirish mumkin.

Vazifa 1. 600 rubl bor edi, bu miqdor sarflandi. Qancha pul sarfladingiz?

Yechim: 600 rubl yoki undan ko'pni topish uchun biz bu miqdorni 4 qismga bo'lishimiz kerak, shu bilan biz to'rtdan bir qismi qancha pul ekanligini bilib olamiz:

600: 4 = 150 (r.)

Javob: 150 rubl sarfladi.

Vazifa 2. 1000 rubl bor edi, bu miqdor sarflandi. Qancha pul sarflandi?

Yechim: muammo bayonotidan biz 1000 rubl besh teng qismdan iborat ekanligini bilamiz. Birinchidan, keling, 1000 ning beshdan bir qismi qancha rubl ekanligini aniqlaymiz, keyin esa qancha rubl beshdan ikki ekanligini bilib olamiz:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - beshdan bir.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - beshdan ikkisi.

Ushbu ikkita harakatni birlashtirish mumkin: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Javob: 400 rubl sarflandi.

Butunning bir qismini topishning ikkinchi usuli:

Butunning bir qismini topish uchun butunni butunning shu qismini ifodalovchi kasrga ko'paytirish mumkin.

Vazifa 3. Kooperativ ustaviga ko'ra, hisobot yig'ilishi haqiqiy bo'lishi uchun kamida tashkilot a'zolari hozir bo'lishi kerak. Kooperativ 120 a’zodan iborat. Hisobot yig'ilishi qanday tarkibda bo'lishi mumkin?

Yechim:

Javob: hisobot yig'ilishi tashkilotning 80 a'zosi bo'lsa, o'tkazilishi mumkin.

Sonni kasr bo‘yicha topish

Uning qismidan bir butunni topish kerak bo'lgan muammolarni hal qilish uchun quyidagi qoida qo'llaniladi:

Agar kerakli butunning bir qismi kasr sifatida ifodalangan bo'lsa, unda bu butunni topish uchun siz bu qismni kasrning soniga bo'lishingiz va natijani uning maxrajiga ko'paytirishingiz mumkin.

Vazifa 1. Biz 50 rubl sarfladik, bu asl miqdordan kamroq edi. Asl pul miqdorini toping.

Yechim: muammoning tavsifidan biz 50 rublning dastlabki miqdoridan 6 baravar kam ekanligini ko'ramiz, ya'ni dastlabki miqdor 50 rubldan 6 barobar ko'p. Ushbu miqdorni topish uchun siz 50 ni 6 ga ko'paytirishingiz kerak:

50 · 6 = 300 (r.)

Javob: boshlang'ich miqdori 300 rubl.

Vazifa 2. Biz 600 rubl sarfladik, bu dastlabki pul miqdoridan kamroq edi. Asl miqdorni toping.

Yechim: Biz kerakli raqam uchdan uchdan iborat deb taxmin qilamiz. Shartga ko'ra, raqamning uchdan ikki qismi 600 rublga teng. Birinchidan, asl miqdorning uchdan bir qismini topamiz, keyin esa necha rubl uchdan uch qismini tashkil qiladi (asl miqdor):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Javob: boshlang'ich miqdori 900 rubl.

Butunni uning qismidan topishning ikkinchi usuli:

Butunni uning qismini ifodalovchi qiymat bo‘yicha topish uchun bu qiymatni shu qismni ifodalovchi kasrga bo‘lish mumkin.

Vazifa 3. Chiziq segmenti AB, 42 sm ga teng, segmentning uzunligi CD. Segment uzunligini toping CD.

Yechim:

Javob: segment uzunligi CD 70 sm.

Vazifa 4. Do‘konga tarvuzlar olib kelindi. Tushlik oldidan do‘kon o‘zi olib kelgan tarvuzlarni sotgan, tushlikdan keyin esa sotiladigan 80 ta tarvuz qolgan. Do'konga qancha tarvuz olib keldingiz?

Yechim: Avval olib kelingan tarvuzlarning qaysi qismi 80 ekanligini bilib olaylik. Buning uchun olib kelingan tarvuzlarning umumiy sonini bitta qilib olib, undan sotilgan (sotilgan) tarvuzlar sonini ayirib olaylik:

Shunday qilib, 80 ta tarvuz olib kelingan umumiy tarvuzni tashkil etishini bilib oldik. Endi biz umumiy miqdordan nechta tarvuz, keyin esa nechta tarvuz (olib kelgan tarvuzlar soni) ekanligini bilib olamiz:

2) 80: 4 15 = 300 (tarvuzlar)

Javob: Do‘konga jami 300 dona tarvuz keltirildi.

) va maxraj bo‘yicha maxraj (ko‘paytmaning maxrajini olamiz).

Kasrlarni ko'paytirish formulasi:

Masalan:

Numeratorlar va maxrajlarni ko'paytirishni boshlashdan oldin, kasrni kamaytirish mumkinligini tekshirishingiz kerak. Agar siz kasrni kamaytirsangiz, keyingi hisob-kitoblarni amalga oshirish osonroq bo'ladi.

Oddiy kasrni kasrga bo'lish.

Natural sonlar ishtirokidagi kasrlarni bo'lish.

Bu ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas. Qo'shishda bo'lgani kabi, biz butun sonni maxrajida bitta bo'lgan kasrga aylantiramiz. Masalan:

Aralash kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirish qoidalari (aralash):

• aralash kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantirish;
• kasrlarning son va maxrajlarini ko'paytirish;
• fraktsiyani kamaytirish;
• Agar siz noto'g'ri kasrni olsangiz, unda noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantiramiz.

Eslatma! Aralash kasrni boshqa aralash kasrga ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlar shakliga o'tkazish kerak, keyin esa oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirish kerak.

Kasrni natural songa ko'paytirishning ikkinchi usuli.

Oddiy kasrni songa ko'paytirishning ikkinchi usulini qo'llash qulayroq bo'lishi mumkin.

Eslatma! Kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning maxrajini shu songa bo'lish va hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Yuqorida keltirilgan misoldan ko'rinib turibdiki, kasrning maxraji natural songa qoldiqsiz bo'linganda bu variantdan foydalanish qulayroqdir.

Ko'p qavatli kasrlar.

O'rta maktabda uch qavatli (yoki undan ko'p) kasrlar tez-tez uchraydi. Misol:

Bunday kasrni odatiy shaklga keltirish uchun 2 nuqtaga bo'linishdan foydalaning:

Eslatma! Kasrlarni bo'lishda bo'linish tartibi juda muhimdir. Ehtiyot bo'ling, bu erda chalkashib ketish oson.

Eslatma, Masalan:

Birni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari:

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish bo'yicha amaliy maslahatlar:

1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va diqqatlilikdir. Barcha hisob-kitoblarni diqqat bilan va aniq, diqqat bilan va aniq bajaring. Aqliy hisob-kitoblarda adashib qolgandan ko‘ra, qoralamaga bir necha qo‘shimcha satr yozgan ma’qul.

2. Bilan topshiriqlarda turli xil turlari kasrlar - oddiy kasrlar shakliga o'ting.

3. Endi kamaytirish mumkin bo'lmaguncha barcha fraktsiyalarni kamaytiramiz.

4. Ko'p darajali kasr ifodalarini 2 nuqtaga bo'lish orqali oddiyga aylantiramiz.

5. Boshingizdagi birlikni kasrga bo'ling, shunchaki kasrni aylantiring.