Yig'indining logarifmini qanday kengaytirish mumkin. Logarifmik tenglama: asosiy formulalar va texnikalar. Teskari trigonometrik funktsiya
Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar matematikadan yagona davlat imtihoniga bag'ishlangan muammo C3 . Har bir talaba, agar u kelgusi imtihonni "yaxshi" yoki "a'lo" bilan topshirishni xohlasa, matematikadan Yagona davlat imtihonidan C3 vazifalarini hal qilishni o'rganishi kerak. Ushbu maqolada tez-tez uchraydigan logarifmik tenglamalar va tengsizliklar, shuningdek ularni yechishning asosiy usullari haqida qisqacha ma’lumot berilgan.
Shunday qilib, keling, bugun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. logarifmik tenglamalar va tengsizliklar, o'tgan yillardagi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonida talabalarga taklif qilingan. Ammo biz ularni hal qilishimiz kerak bo'lgan asosiy nazariy fikrlarning qisqacha xulosasi bilan boshlanadi.
Logarifmik funktsiya
Ta'rif
Shaklning funktsiyasi
0,\, a\ne 1 \]" title=" QuickLaTeX.com tomonidan tasvirlangan">!}
chaqirdi logarifmik funktsiya.
Asosiy xususiyatlar
Logarifmik funksiyaning asosiy xossalari y=log a x:
Logarifmik funktsiyaning grafigi logarifmik egri chiziq:
Logarifmlarning xossalari
Mahsulotning logarifmi Ikki musbat son bu sonlarning logarifmlari yig‘indisiga teng:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Bo'limning logarifmi Ikki musbat son bu sonlarning logarifmlari orasidagi farqga teng:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Agar a Va b a≠ 1, keyin istalgan raqam uchun r tenglik haqiqatdir:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Tenglik jurnal a t=log a s, Qayerda a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0, agar va faqat bo'lsa amal qiladi t = s.
Agar a, b, c musbat sonlar va a Va c birlikdan farq qiladi, keyin tenglik ( yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi):
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Teorema 1. Agar f(x) > 0 va g(x) > 0, keyin logarifmik tenglama jurnali a f(x) = jurnal a g(x) (Qaerda a > 0, a≠ 1) tenglamaga ekvivalent f(x) = g(x).
Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechish
1-misol. Tenglamani yeching:
Yechim. Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni faqat shularni o'z ichiga oladi x, buning uchun logarifm belgisi ostidagi ifoda noldan katta. Ushbu qiymatlar quyidagi tengsizliklar tizimi bilan aniqlanadi:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Shuni hisobga olib
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
biz ushbu logarifmik tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlaydigan intervalni olamiz:
Bu erda barcha shartlari bajarilgan 1-teoremaga asoslanib, biz quyidagi ekvivalent kvadrat tenglamaga o'tamiz:
Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni faqat birinchi ildizni o'z ichiga oladi.
Javob: x = 7.
2-misol. Tenglamani yeching:
Yechim. Tenglamaning maqbul qiymatlari diapazoni tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:
ql-right-eqno">
Yechim. Tenglamaning maqbul qiymatlari diapazoni bu erda osongina aniqlanadi: x > 0.
Biz almashtirishdan foydalanamiz:
Tenglama quyidagicha bo'ladi:
Teskari almashtirish:
Ikkalasi ham javob tenglamaning maqbul qiymatlari oralig'ida, chunki ular ijobiy raqamlardir.
4-misol. Tenglamani yeching:
Yechim. Tenglamaning maqbul qiymatlari oralig'ini aniqlash orqali yechimni qaytadan boshlaylik. U quyidagi tengsizliklar tizimi bilan aniqlanadi:
ql-right-eqno">
Logarifmlarning asoslari bir xil, shuning uchun qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ida biz quyidagi kvadrat tenglamaga o'tishimiz mumkin:
Birinchi ildiz tenglamaning maqbul qiymatlari oralig'ida emas, ikkinchisi.
Javob: x = -1.
5-misol. Tenglamani yeching:
Yechim. Orasida yechim izlaymiz x > 0, x≠1. Keling, tenglamani ekvivalentga aylantiramiz:
Ikkalasi ham javob tenglamaning maqbul qiymatlari oralig'ida.
6-misol. Tenglamani yeching:
Yechim. Bu safar tenglamaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlaydigan tengsizliklar tizimi quyidagi shaklga ega:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz tenglamani qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ida ekvivalent bo'lgan tenglamaga aylantiramiz:
Yangi logarifm bazasiga o'tish formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni faqat bittasini o'z ichiga oladi javob: x = 4.
Endi o'tamiz logarifmik tengsizliklar . Matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonida aynan shu narsa bilan shug'ullanishingiz kerak bo'ladi. Boshqa misollarni yechish uchun bizga quyidagi teorema kerak:
Teorema 2. Agar f(x) > 0 va g(x) > 0, keyin:
da a> 1 logarifmik tengsizlik log a f(x) > log a g(x) bir xil ma'noli tengsizlikka teng: f(x) > g(x);
0 da< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) qarama-qarshi ma'noli tengsizlikka teng: f(x) < g(x).
7-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechim. Keling, tengsizlikning maqbul qiymatlari oralig'ini aniqlashdan boshlaylik. Logarifmik funktsiya belgisi ostidagi ifoda faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishi kerak. Bu shuni anglatadiki, qabul qilinadigan qiymatlarning talab qilinadigan diapazoni quyidagi tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Logarifmning asosi birdan kichik bo'lganligi sababli, tegishli logarifmik funktsiya kamayib boradi va shuning uchun 2-teoremaga ko'ra, quyidagi kvadrat tengsizlikka o'tish ekvivalent bo'ladi:
Nihoyat, qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini hisobga olgan holda, biz olamiz javob:
8-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechim. Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini aniqlash bilan yana boshlaylik:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari to'plamida biz ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:
2-teorema bo'yicha tengsizlik ekvivalentini qisqartirish va o'tishdan keyin biz quyidagilarni olamiz:
Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini hisobga olgan holda biz yakuniy natijani olamiz javob:
9-misol. Logarifmik tengsizlikni yeching:
Yechim. Tengsizlikning maqbul qiymatlari diapazoni quyidagi tizim bilan belgilanadi:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
Ko'rinib turibdiki, qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ida logarifm asosidagi ifoda har doim birdan katta bo'ladi va shuning uchun 2-teoremaga ko'ra, quyidagi tengsizlikka o'tish ekvivalent bo'ladi:
Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini hisobga olgan holda biz yakuniy javobni olamiz:
10-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechim.
Tengsizlikning maqbul qiymatlari diapazoni tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:
Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan">!}
I usul Keling, logarifmning yangi bazasiga o'tish uchun formuladan foydalanamiz va qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ida ekvivalent bo'lgan tengsizlikka o'tamiz.
Logarifmlar, har qanday raqamlar kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda qoidalar mavjud, ular chaqiriladi asosiy xususiyatlar.
Siz, albatta, ushbu qoidalarni bilishingiz kerak - ularsiz biron bir jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - siz bir kunda hamma narsani o'rganishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.
Logarifmlarni qo‘shish va ayirish
Bir xil asoslarga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va jurnal a y. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:
- jurnal a x+ jurnal a y=log a (x · y);
- jurnal a x− jurnal a y=log a (x : y).
Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga, ayirmasi esa bo‘lakning logarifmiga teng. Iltimos, diqqat qiling: bu erda asosiy nuqta bir xil asoslar. Agar sabablar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!
Ushbu formulalar, hatto uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham logarifmik ifodani hisoblashda yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:
Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.
Logarifmlar bir xil asosga ega bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.
Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.
Yana asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida hisoblanmaydi. Ammo transformatsiyalardan so'ng butunlay normal raqamlar olinadi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, testga o'xshash iboralar Yagona davlat imtihonida barcha jiddiylik bilan (ba'zan deyarli hech qanday o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.
Logarifmadan ko'rsatkichni chiqarish
Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumenti kuch bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:
Oxirgi qoida birinchi ikkitasiga amal qilishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.
Albatta, agar logarifmning ODZ kuzatilsa, ushbu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. Logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .
Keling, birinchi formuladan foydalanib, argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:
[Rasm uchun sarlavha]
E'tibor bering, maxraj logarifmadan iborat bo'lib, uning asosi va argumenti aniq darajalardir: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizda ... bor:
[Rasm uchun sarlavha] O'ylaymanki, oxirgi misol biroz tushuntirishni talab qiladi. Logarifmlar qayerga ketdi? Biz oxirgi daqiqagacha faqat maxraj bilan ishlaymiz. Biz u erda turgan logarifmning asosini va argumentini kuchlar shaklida taqdim etdik va ko'rsatkichlarni olib tashladik - biz "uch qavatli" kasrni oldik.
Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil sonni o'z ichiga oladi: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni kamaytirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rttani hisoblagichga o'tkazish mumkin, bu bajarilgan. Natijada javob bo'ldi: 2.
Yangi poydevorga o'tish
Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar sabablar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?
Yangi poydevorga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Keling, ularni teorema shaklida tuzamiz:
Logarifm jurnali berilsin a x. Keyin istalgan raqam uchun c shu kabi c> 0 va c≠ 1, tenglik to'g'ri:
[Rasm uchun sarlavha]
Xususan, agar biz qo'ysak c = x, biz olamiz:
[Rasm uchun sarlavha]
Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosi va argumenti almashtirilishi mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda ko'rinadi.
Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.
Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.
E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq kuchlarni o'z ichiga oladi. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Endi ikkinchi logarifmni “teskari” qilaylik:
[Rasm uchun sarlavha]Faktorlarni qayta tartibga solishda mahsulot o'zgarmasligi sababli, biz xotirjamlik bilan to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlar bilan ishladik.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.
Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:
[Rasm uchun sarlavha]Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:
[Rasm uchun sarlavha]Asosiy logarifmik identifikatsiya
Ko'pincha yechim jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish kerak bo'ladi. Bunday holda, quyidagi formulalar bizga yordam beradi:
Birinchi holda, raqam n argumentda turgan daraja ko'rsatkichiga aylanadi. Raqam n mutlaqo hamma narsa bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifm qiymati.
Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. Bu shunday deyiladi: asosiy logarifmik identifikatsiya.
Aslida, raqam bo'lsa, nima bo'ladi b raqamni shunday kuchga ko'taring b bu kuchga raqamni beradi a? To'g'ri: siz xuddi shu raqamni olasiz a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga yopishib olishadi.
Yangi bazaga o'tish formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.
Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:
[Rasm uchun sarlavha]
E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - oddiygina kvadratni logarifmning asosi va argumentidan oldi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:
[Rasm uchun sarlavha]Agar kimdir bilmasa, bu yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi :)
Logarifmik birlik va logarifmik nol
Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlar deb atash qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, ular logarifm ta'rifining oqibatlari. Ular doimo muammolarda paydo bo'ladi va ajablanarlisi shundaki, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.
- jurnal a a= 1 - logarifmik birlik. Bir marta va umuman eslab qoling: har qanday bazaga logarifm a shu asosdan bittaga teng.
- jurnal a 1 = 0 - logarifmik nol. Baza a har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.
Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varaqini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.
ga nisbatan
qolgan ikkitadan uchta raqamdan istalgan birini topish vazifasi qo'yilishi mumkin. Agar a va keyin N berilgan bo'lsa, ular daraja ko'tarish yo'li bilan topiladi. Agar N va keyin a x darajaning ildizini olish (yoki uni darajaga ko'tarish) bilan berilgan bo'lsa. Endi a va N berilgan holda biz x ni topishimiz kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik.
N soni musbat bo'lsin: a soni musbat va birga teng emas: .
Ta'rif. N sonining a asosiga logarifmi N sonni olish uchun a ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir; logarifm bilan belgilanadi
Shunday qilib, (26.1) tenglikda ko'rsatkich N ning a asosiga logarifmi sifatida topiladi. Xabarlar
bir xil ma'noga ega. Tenglik (26.1) ba'zan logarifmlar nazariyasining asosiy o'ziga xosligi deb ataladi; haqiqatda logarifm tushunchasining ta'rifini ifodalaydi. Ushbu ta'rifga ko'ra, a logarifmning asosi har doim musbat va birlikdan farq qiladi; logarifmik N soni musbat. Salbiy raqamlar va nolning logarifmlari yo'q. Berilgan asosli har qanday son aniq belgilangan logarifmaga ega ekanligini isbotlash mumkin. Shuning uchun tenglik o'z ichiga oladi. E'tibor bering, bu erda shart juda muhim; aks holda, xulosa asoslanmaydi, chunki tenglik x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri.
Misol 1. Toping
Yechim. Raqamni olish uchun siz 2-bazani quvvatga ko'tarishingiz kerak Shuning uchun.
Bunday misollarni echishda siz quyidagi shaklda eslatma qilishingiz mumkin:
2-misol. Toping.
Yechim. Bizda ... bor
1 va 2-misollarda logarifm sonini asosning ratsional darajali darajasi sifatida ifodalash orqali kerakli logarifmni osongina topdik. Umumiy holatda, masalan, boshqalar uchun, buni amalga oshirish mumkin emas, chunki logarifm irratsional qiymatga ega. Keling, ushbu bayonot bilan bog'liq bir masalaga e'tibor qaratamiz. 12-bandda biz berilgan ijobiy raqamning har qanday haqiqiy kuchini aniqlash imkoniyati tushunchasini berdik. Bu, umuman olganda, irratsional sonlar bo'lishi mumkin bo'lgan logarifmlarni kiritish uchun zarur edi.
Keling, logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.
Xossa 1. Agar son va asos teng bo'lsa, u holda logarifm birga teng bo'ladi va aksincha, agar logarifm birga teng bo'lsa, unda son va asos teng bo'ladi.
Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha bizda va qayerdan bo'lsin
Aksincha, ta'rifi bo'yicha Keyin bo'lsin
2 xossa. Birning har qanday asosga logarifmi nolga teng.
Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha (har qanday musbat asosning nol kuchi birga teng, qarang (10.1)). Bu yerdan
Q.E.D.
Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar , u holda N = 1. Haqiqatan ham, bizda .
Logarifmlarning keyingi xossasini shakllantirishdan oldin ikkita a va b sonlar c dan katta yoki c dan kichik bo‘lsa, uchinchi c sonining bir tomonida yotadi, deyishga rozi bo‘laylik. Agar bu sonlarning biri c dan katta, ikkinchisi esa c dan kichik bo'lsa, u holda ular c ning qarama-qarshi tomonlarida yotadi, deymiz.
3-xususiyat. Agar son va asos bittaning bir tomonida yotsa, u holda logarifm musbat; Agar raqam va asos birining qarama-qarshi tomonida bo'lsa, u holda logarifm manfiy bo'ladi.
3-xususiyatning isboti asosi birdan katta bo‘lsa va ko‘rsatkichi musbat yoki asosi birdan kichik va ko‘rsatkichi manfiy bo‘lsa, a ning kuchi birdan katta bo‘lishiga asoslanadi. Agar asos birdan katta bo'lsa va ko'rsatkich manfiy yoki asos birdan kichik va ko'rsatkich musbat bo'lsa, kuch birdan kichik bo'ladi.
Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan to'rtta holat mavjud:
Biz ulardan birinchisini tahlil qilish bilan cheklanamiz, qolganlarini o'quvchi o'zi ko'rib chiqadi.
Demak, tenglikda ko'rsatkich na manfiy, na nolga teng bo'lishi mumkin, shuning uchun u musbat, ya'ni isbotlanishi kerak bo'lganidek.
3-misol. Quyidagi logarifmlarning qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy ekanligini aniqlang:
Yechim, a) 15 soni va 12 ta asosi bitta tomonda joylashganligi uchun;
b) chunki 1000 va 2 birlikning bir tomonida joylashgan; bu holda, asosning logarifmik sondan katta bo'lishi muhim emas;
v) 3.1 va 0.8 birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotadi;
G) ; Nega?
d) ; Nega?
Quyidagi 4-6 xossalari ko'pincha logarifmatsiya qoidalari deb ataladi: ular ba'zi raqamlarning logarifmlarini bilib, ularning har birining ko'paytmasi, bo'linmasi va darajasining logarifmlarini topishga imkon beradi.
4-xususiyat (mahsulot logarifmi qoidasi). Bir nechta musbat sonlarning berilgan asosga ko‘paytmasining logarifmi shu sonlarning bir xil asosga bo‘lgan logarifmlari yig‘indisiga teng.
Isbot. Berilgan raqamlar ijobiy bo'lsin.
Ularning mahsulotining logarifmi uchun logarifmni aniqlaydigan tenglikni (26.1) yozamiz:
Bu yerdan biz topamiz
Birinchi va oxirgi ifodalarning ko'rsatkichlarini taqqoslab, biz kerakli tenglikni olamiz:
E'tibor bering, shart juda muhim; ikkita manfiy sonning mahsulotining logarifmi mantiqiy, ammo bu holda biz olamiz
Umuman olganda, agar bir nechta omillarning mahsuloti ijobiy bo'lsa, uning logarifmi ushbu omillarning mutlaq qiymatlari logarifmlarining yig'indisiga teng bo'ladi.
5-xususiyat (ko'rsatkichlarning logarifmlarini olish qoidasi). Musbat sonlar bo'limining logarifmi bir xil asosga olingan dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Isbot. Biz doimiy ravishda topamiz
Q.E.D.
6-xususiyat (quvvat logarifmi qoidasi). Har qanday musbat sonning kuchining logarifmi shu sonning logarifmini ko'rsatkichga ko'paytirishga teng.
Isbot. Raqamning asosiy identifikatorini (26.1) qayta yozamiz:
Q.E.D.
Natija. Ijobiy sonning ildizining logarifmi ildizning ko'rsatkichiga bo'lingan radikalning logarifmiga teng:
Ushbu xulosaning to'g'riligini 6-xususiyatni qanday va qanday ishlatishni tasavvur qilish orqali isbotlash mumkin.
4-misol. a asosi uchun logarifmni oling:
a) (barcha b, c, d, e qiymatlari ijobiy deb taxmin qilinadi);
b) (deb taxmin qilinadi).
Yechim, a) Ushbu ifodada kasr darajalariga o'tish qulay:
(26.5)-(26.7) tengliklariga asoslanib, endi yozishimiz mumkin:
Biz raqamlarning logarifmlari ustida raqamlarning o'ziga qaraganda soddaroq amallar bajarilganligini ko'ramiz: sonlarni ko'paytirishda ularning logarifmlari qo'shiladi, bo'lishda ular ayiriladi va hokazo.
Shuning uchun logarifmlar hisoblash amaliyotida qo'llaniladi (29-bandga qarang).
Logarifmning teskari harakati potentsiallanish deb ataladi, ya'ni: potentsiallash - bu sonning berilgan logarifmasidan sonning o'zi topilgan harakat. Aslida, potentsiallash hech qanday maxsus harakat emas: bu bazani bir darajaga ko'tarishdan iborat (sonning logarifmiga teng). "Potensiyalash" atamasini "ko'tarilish" atamasi bilan sinonim deb hisoblash mumkin.
Potentsiyalashda logarifmlash qoidalariga teskari qoidalardan foydalanish kerak: logarifmlar yig'indisini mahsulotning logarifmi bilan, logarifmalar farqini bo'linmaning logarifmi bilan almashtiring va hokazo. Xususan, agar oldinda omil mavjud bo'lsa. logarifm belgisining belgisi bo'lsa, u holda potensiyalash paytida uni logarifm belgisi ostida ko'rsatkich darajalariga o'tkazish kerak.
Misol 5. Agar ma'lum bo'lsa, N ni toping
Yechim. Potentsiyalashning hozirgina bayon qilingan qoidasi bilan bog'liq holda, biz ushbu tenglikning o'ng tomonidagi logarifmlar belgilari oldida turgan 2/3 va 1/3 ko'paytmalarni ushbu logarifmlarning belgilari ostida ko'rsatkichlarga o'tkazamiz; olamiz
Endi biz logarifmlar ayirmasini qismning logarifmi bilan almashtiramiz:
bu tenglik zanjiridagi oxirgi kasrni olish uchun biz oldingi kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qildik (25-band).
7 xossa. Agar asos birdan katta bo'lsa, u holda katta son kattaroq logarifmaga ega (kichikroq esa kichikroq), agar asos birdan kichik bo'lsa, katta raqam kichikroq logarifmaga ega bo'ladi (va kichikroq). bittasi kattaroq).
Bu xususiyat, shuningdek, ikkala tomoni ijobiy bo'lgan tengsizliklarning logarifmlarini olish qoidasi sifatida tuzilgan:
Tengsizliklarning logarifmlarini birdan katta asosga olishda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, birdan kichik asosga logarifmlashda esa tengsizlik belgisi teskarisiga o'zgaradi (80-bandga ham qarang).
Isbot 5 va 3 xossalarga asoslanadi. Agar , keyin va logarifmlarni olib, olingan holatni ko'rib chiqing.
(a va N/M birlikning bir tomonida yotadi). Bu yerdan
Keyingi holat bo'lsa, o'quvchi buni o'zi aniqlaydi.
Ushbu video bilan men logarifmik tenglamalar haqida uzoq darslarni boshlayman. Endi sizning oldingizda uchta misol bor, ular asosida biz eng oddiy muammolarni hal qilishni o'rganamiz, ular - protozoa.
log 0,5 (3x - 1) = -3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Sizga shuni eslatib o'tamanki, eng oddiy logarifmik tenglama quyidagicha:
log a f (x) = b
Bunday holda, x o'zgaruvchisi faqat argument ichida, ya'ni faqat f (x) funktsiyasida bo'lishi muhim ahamiyatga ega. Va a va b raqamlari shunchaki raqamlar va hech qanday holatda x o'zgaruvchisini o'z ichiga olgan funktsiyalar emas.
Asosiy yechim usullari
Bunday tuzilmalarni hal qilishning ko'plab usullari mavjud. Misol uchun, maktabdagi ko'pchilik o'qituvchilar ushbu usulni taklif qilishadi: formula yordamida f (x) funktsiyasini darhol ifodalang f ( x ) = a b. Ya'ni, eng oddiy qurilishga duch kelganingizda, siz darhol qo'shimcha harakatlar va konstruktsiyalarsiz yechimga o'tishingiz mumkin.
Ha, albatta, qaror to'g'ri bo'ladi. Biroq, bu formula bilan bog'liq muammo shundaki, ko'pchilik talabalar tushunmaslik, qaerdan keladi va nima uchun a harfini b harfiga ko'taramiz.
Natijada, masalan, bu harflar almashtirilganda, men ko'pincha juda zerikarli xatolarni ko'raman. Ushbu formulani tushunish yoki to'ldirish kerak, ikkinchi usul esa eng nomaqbul va eng muhim daqiqalarda xatolarga olib keladi: imtihonlar, testlar va hokazo.
Shuning uchun men barcha o'quvchilarimga standart maktab formulasidan voz kechishni va logarifmik tenglamalarni echishda ikkinchi yondashuvdan foydalanishni taklif qilaman, siz uni nomidan taxmin qilganingizdek, shunday deb nomlanadi. kanonik shakl.
Kanonik shaklning g'oyasi oddiy. Muammoimizni yana bir bor ko'rib chiqamiz: chap tomonda log a bor va a harfi bilan biz sonni va hech qanday holatda x o'zgaruvchisini o'z ichiga olgan funktsiyani nazarda tutamiz. Binobarin, bu xat logarifm asosida qo'yilgan barcha cheklovlarga bo'ysunadi. aynan:
1 ≠ a > 0
Boshqa tomondan, xuddi shu tenglamadan biz logarifm b soniga teng bo'lishi kerakligini ko'ramiz va bu harfga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi, chunki u har qanday qiymatni - ham ijobiy, ham salbiyni qabul qilishi mumkin. Hammasi f(x) funktsiyasi qanday qiymatlarni olishiga bog'liq.
Va bu erda biz ajoyib qoidamizni eslaymiz, har qanday b soni a ning asosiga b ning kuchiga logarifm sifatida ifodalanishi mumkin:
b = log a a b
Ushbu formulani qanday eslab qolish kerak? Ha, juda oddiy. Keling, quyidagi konstruktsiyani yozamiz:
b = b 1 = b log a a
Albatta, bu holatda biz boshida yozgan barcha cheklovlar paydo bo'ladi. Endi logarifmning asosiy xossasidan foydalanamiz va ko‘paytuvchi b ni a ning kuchi sifatida kiritamiz. Biz olamiz:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Natijada, dastlabki tenglama quyidagicha qayta yoziladi:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Ana xolos. Yangi funktsiyada endi logarifm mavjud emas va uni standart algebraik usullar yordamida hal qilish mumkin.
Albatta, endi kimdir e'tiroz bildiradi: nega umuman kanonik formulani o'ylab topish kerak edi, agar dastlabki dizayndan yakuniy formulaga darhol o'tish mumkin bo'lsa, nega qo'shimcha ikkita keraksiz qadamni bajarish kerak? Ha, agar ko'pchilik o'quvchilar ushbu formula qaerdan kelganini tushunmasalar va natijada uni qo'llashda muntazam ravishda xatoga yo'l qo'yishsa.
Ammo uch bosqichdan iborat bu harakatlar ketma-ketligi yakuniy formula qayerdan kelganini tushunmasangiz ham, dastlabki logarifmik tenglamani echishga imkon beradi. Aytgancha, bu yozuv kanonik formula deb ataladi:
log a f (x) = log a a b
Kanonik shaklning qulayligi, shuningdek, bugungi kunda biz ko'rib chiqayotgan eng oddiylarini emas, balki juda keng toifadagi logarifmik tenglamalarni echish uchun ishlatilishi mumkinligidadir.
Yechimlarga misollar
Endi haqiqiy misollarni ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, keling, qaror qilaylik:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Keling, buni shunday qayta yozamiz:
log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3
Ko'pgina o'quvchilar shoshilib, 0,5 raqamini asl muammodan bizga kelgan kuchga darhol ko'tarishga harakat qilishadi. Haqiqatan ham, siz bunday muammolarni hal qilishda yaxshi o'qitilgan bo'lsangiz, darhol ushbu bosqichni bajarishingiz mumkin.
Ammo, agar siz ushbu mavzuni endigina o'rganishni boshlayotgan bo'lsangiz, tajovuzkor xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun hech qanday joyga shoshilmaslik yaxshiroqdir. Shunday qilib, bizda kanonik shakl mavjud. Bizda ... bor:
3x − 1 = 0,5 −3
Bu endi logarifmik tenglama emas, balki x o'zgaruvchisiga nisbatan chiziqli. Uni yechish uchun avvalo 0,5 sonining −3 darajasiga qaraymiz. E'tibor bering, 0,5 1/2 ni tashkil qiladi.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Logarifmik tenglamani yechishda barcha o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring.
Biz qayta yozamiz va olamiz:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Mana, javobni oldik. Birinchi muammo hal qilindi.
Ikkinchi vazifa
Keling, ikkinchi vazifaga o'tamiz:
Ko'rib turganimizdek, bu tenglama endi eng oddiy emas. Faqat chap tomonda farq borligi uchun va bitta asosga bitta logarifm bo'lmasa.
Shuning uchun biz qandaydir tarzda bu farqdan xalos bo'lishimiz kerak. Bunday holda, hamma narsa juda oddiy. Keling, asoslarni batafsil ko'rib chiqaylik: chapda ildiz ostidagi raqam:
Umumiy tavsiya: barcha logarifmik tenglamalarda radikallardan, ya'ni ildizlari bo'lgan yozuvlardan xalos bo'lishga harakat qiling va kuch funktsiyalariga o'ting, chunki bu kuchlarning ko'rsatkichlari logarifm belgisidan osongina chiqariladi va oxir-oqibat, shunday. yozuv hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi va tezlashtiradi. Keling, buni shunday yozamiz:
Keling, logarifmning ajoyib xususiyatini eslaylik: kuchlar argumentdan ham, asosdan ham olinishi mumkin. Asoslar bo'lsa, quyidagilar sodir bo'ladi:
log a k b = 1/k loga b
Boshqacha qilib aytganda, asosiy quvvatda bo'lgan raqam oldinga olib tashlanadi va bir vaqtning o'zida teskari bo'ladi, ya'ni u o'zaro raqamga aylanadi. Bizning holatlarimizda asosiy daraja 1/2 edi. Shuning uchun, biz uni 2/1 sifatida chiqarishimiz mumkin. Biz olamiz:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
E'tibor bering: bu bosqichda hech qanday holatda logarifmlardan xalos bo'lmaslik kerak. 4-5-sinf matematikasi va amallarning tartibini eslang: birinchi navbatda ko'paytirish, keyin esa qo'shish va ayirish amalga oshiriladi. Bunday holda, biz 10 ta elementdan bir xil elementlardan birini ayiramiz:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Endi bizning tenglamamiz xuddi shunday ko'rinadi. Bu eng oddiy qurilish va biz uni kanonik shakl yordamida hal qilamiz:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Ana xolos. Ikkinchi muammo hal qilindi.
Uchinchi misol
Uchinchi vazifaga o'tamiz:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Sizga quyidagi formulani eslatib o'taman:
log b = log 10 b
Agar biron sababga ko'ra siz notation jurnali bilan chalkashib ketsangiz b , keyin barcha hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda siz oddiygina yozishingiz mumkin log 10 b . O'nlik logarifmlar bilan boshqalar bilan bir xil tarzda ishlashingiz mumkin: kuchlarni oling, lg 10 ko'rinishidagi istalgan raqamlarni qo'shing va ifodalang.
Aynan shu xususiyatlardan biz muammoni hal qilishda foydalanamiz, chunki bu bizning darsimizning boshida yozgan eng oddiy narsa emas.
Birinchidan, e'tibor bering, lg 5 oldidagi 2 omil qo'shilishi mumkin va 5 asosning kuchiga aylanadi. Bundan tashqari, 3 erkin atamasi ham logarifm sifatida ifodalanishi mumkin - buni bizning yozuvimizdan kuzatish juda oson.
O'zingiz uchun hukm qiling: har qanday raqam 10-bazaga jurnal sifatida ko'rsatilishi mumkin:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Olingan o'zgarishlarni hisobga olgan holda asl muammoni qayta yozamiz:
log (x - 3) = log 1000 + log 25
log (x - 3) = log 1000 25
log (x - 3) = log 25 000
Bizning oldimizda yana kanonik shakl bor va biz uni transformatsiya bosqichidan o'tmasdan oldik, ya'ni eng oddiy logarifmik tenglama hech qaerda paydo bo'lmagan.
Aynan shu narsa haqida men darsning boshida gapirgan edim. Kanonik shakl sizga ko'pchilik maktab o'qituvchilari beradigan standart maktab formulasidan ko'ra kengroq muammolarni hal qilishga imkon beradi.
Mana, biz o'nlik logarifm belgisidan xalos bo'lamiz va oddiy chiziqli qurilishni olamiz:
x + 3 = 25 000
x = 24,997
Hammasi! Muammo hal qilindi.
Qo'llash doirasi haqida eslatma
Bu erda men ta'rif doirasi haqida muhim bir fikrni aytmoqchiman. “Biz logarifmli iboralarni yechganimizda, f (x) argumenti noldan katta bo‘lishi kerakligini yodda tutishimiz kerak!”, deb aytadigan talabalar va o‘qituvchilar bo‘lishi aniq. Shu munosabat bilan mantiqiy savol tug'iladi: nega biz ko'rib chiqilgan muammolarning birortasida bu tengsizlikni qondirishni talab qilmadik?
Xavotir olmang. Bunday hollarda qo'shimcha ildizlar paydo bo'lmaydi. Va bu yechimni tezlashtirishga imkon beruvchi yana bir ajoyib hiyla. Bilingki, agar muammoda x o'zgaruvchisi faqat bitta joyda (to'g'rirog'i, bitta logarifmning bitta argumentida) paydo bo'lsa va bizning holatlarimizda x o'zgaruvchisi boshqa hech bir joyda ko'rinmasa, ta'rif sohasini yozing. Kerakmas, chunki u avtomatik ravishda bajariladi.
O'zingiz hukm qiling: birinchi tenglamada biz 3x - 1 ni oldik, ya'ni argument 8 ga teng bo'lishi kerak. Bu avtomatik ravishda 3x - 1 noldan katta bo'lishini anglatadi.
Xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz ikkinchi holatda x 5 2 ga teng bo'lishi kerakligini yozishimiz mumkin, ya'ni u, albatta, noldan katta. Va uchinchi holatda, bu erda x + 3 = 25 000, ya'ni yana noldan kattaroqdir. Boshqacha qilib aytganda, qamrov avtomatik ravishda qondiriladi, faqat x faqat bitta logarifm argumentida bo'lsa.
Eng oddiy muammolarni hal qilish uchun bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa shu. Faqatgina ushbu qoida transformatsiya qoidalari bilan birgalikda juda keng muammolarni hal qilishga imkon beradi.
Ammo rostini aytaylik: ushbu texnikani nihoyat tushunish, logarifmik tenglamaning kanonik shaklini qanday qo'llashni o'rganish uchun faqat bitta video darsni tomosha qilishning o'zi etarli emas. Shuning uchun, hozir ushbu video darsga biriktirilgan mustaqil echimlar variantlarini yuklab oling va ushbu ikkita mustaqil ishning kamida bittasini hal qilishni boshlang.
Bu sizga bir necha daqiqa vaqt oladi. Ammo bunday mashg'ulotning samarasi siz ushbu video darsni tomosha qilganingizdan ko'ra ancha yuqori bo'ladi.
Umid qilamanki, bu dars sizga logarifmik tenglamalarni tushunishga yordam beradi. Kanonik shakldan foydalaning, logarifmlar bilan ishlash qoidalaridan foydalangan holda ifodalarni soddalashtiring - va siz hech qanday muammolardan qo'rqmaysiz. Bugun menda bor narsa shu.
Ta'rif sohasini hisobga olgan holda
Endi logarifmik funksiyaning aniqlanish sohasi va bu logarifmik tenglamalar yechimiga qanday ta’sir etishi haqida gapiraylik. Shaklning qurilishini ko'rib chiqing
log a f (x) = b
Bunday ifoda eng oddiy deb ataladi - u faqat bitta funktsiyani o'z ichiga oladi va a va b raqamlari shunchaki raqamlar va hech qanday holatda x o'zgaruvchisiga bog'liq bo'lgan funktsiya emas. Buni juda oddiy hal qilish mumkin. Siz faqat formuladan foydalanishingiz kerak:
b = log a a b
Bu formula logarifmning asosiy xususiyatlaridan biri bo‘lib, asl ifodamizga almashtirilganda biz quyidagilarni olamiz:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Bu maktab darsliklaridan tanish formula. Ko'pgina talabalarda savol tug'ilishi mumkin: asl iborada f (x) funktsiyasi log belgisi ostida bo'lganligi sababli, unga quyidagi cheklovlar qo'yilgan:
f(x) > 0
Bu cheklov amal qiladi, chunki manfiy sonlarning logarifmi mavjud emas. Xo'sh, ehtimol, ushbu cheklov natijasida javoblarni tekshirishni joriy qilish kerakmi? Ehtimol, ularni manbaga kiritish kerakmi?
Yo'q, eng oddiy logarifmik tenglamalarda qo'shimcha tekshirish kerak emas. Va shuning uchun ham. Yakuniy formulamizni ko'rib chiqing:
f (x) = a b
Gap shundaki, a soni har qanday holatda 0 dan katta - bu talab ham logarifm tomonidan qo'yiladi. a soni asos hisoblanadi. Bunday holda, b raqamiga hech qanday cheklovlar qo'yilmaydi. Lekin bu muhim emas, chunki biz ijobiy raqamni qanday quvvatga ko'tarmasak ham, chiqishda ijobiy raqamni olamiz. Shunday qilib, f (x) > 0 talabi avtomatik ravishda qondiriladi.
Haqiqatan ham tekshirishga arziydigan narsa bu log belgisi ostidagi funksiyaning domenidir. Juda murakkab tuzilmalar bo'lishi mumkin va siz ularni hal qilish jarayonida albatta kuzatib borishingiz kerak. Keling, ko'rib chiqaylik.
Birinchi vazifa:
Birinchi qadam: o'ngdagi kasrni aylantiring. Biz olamiz:
Biz logarifm belgisidan xalos bo'lamiz va odatdagi irratsional tenglamani olamiz:
Olingan ildizlardan faqat birinchisi bizga mos keladi, chunki ikkinchi ildiz noldan kichikdir. Yagona javob 9 raqami bo'ladi. Bo'ldi, muammo hal bo'ldi. Logarifm belgisi ostidagi ifoda 0 dan katta bo‘lishini ta’minlash uchun qo‘shimcha tekshirishlar talab etilmaydi, chunki u shunchaki 0 dan katta emas, balki tenglama shartiga ko‘ra 2 ga teng. Shuning uchun “noldan katta” talabi. ” avtomatik ravishda qondiriladi.
Keling, ikkinchi vazifaga o'tamiz:
Bu erda hamma narsa bir xil. Biz uchlikni almashtirib, qurilishni qayta yozamiz:
Biz logarifm belgilaridan xalos bo'lamiz va irratsional tenglamani olamiz:
Biz cheklovlarni hisobga olgan holda ikkala tomonni kvadratga aylantiramiz va olamiz:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Olingan tenglamani diskriminant orqali yechamiz:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = -6
Ammo x = -6 bizga mos kelmaydi, chunki bu raqamni tengsizligimizga almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz:
−6 + 4 = −2 < 0
Bizning holatda, u 0 dan katta yoki o'ta og'ir hollarda teng bo'lishi talab qilinadi. Ammo x = -1 bizga mos keladi:
−1 + 4 = 3 > 0
Bizning holatimizda yagona javob x = -1 bo'ladi. Bu yechim. Keling, hisob-kitoblarimizning eng boshiga qaytaylik.
Ushbu darsning asosiy xulosasi shundaki, siz oddiy logarifmik tenglamalarda funksiyadagi cheklovlarni tekshirishingiz shart emas. Chunki hal qilish jarayonida barcha cheklovlar avtomatik ravishda qondiriladi.
Biroq, bu hech qanday tarzda siz tekshirishni butunlay unutishingiz mumkin degani emas. Logarifmik tenglama ustida ishlash jarayonida u irratsional tenglamaga aylanishi mumkin, bu o'ng tomon uchun o'ziga xos cheklovlar va talablarga ega bo'ladi, biz bugun ikki xil misolda ko'rdik.
Bunday muammolarni hal qilishda o'zingizni erkin his qiling va argumentda ildiz bo'lsa, ayniqsa ehtiyot bo'ling.
Turli asosli logarifmik tenglamalar
Biz logarifmik tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz va murakkabroq konstruktsiyalarni hal qilishda moda bo'lgan yana ikkita qiziqarli texnikani ko'rib chiqamiz. Lekin birinchi navbatda, eng oddiy muammolar qanday hal qilinishini eslaylik:
log a f (x) = b
Bu yozuvda a va b raqamlar bo'lib, f (x) funksiyada x o'zgaruvchisi mavjud bo'lishi kerak va faqat u erda, ya'ni x faqat argumentda bo'lishi kerak. Bunday logarifmik tenglamalarni kanonik shakl yordamida o'zgartiramiz. Buni amalga oshirish uchun e'tibor bering
b = log a a b
Bundan tashqari, a b aniq argumentdir. Keling, ushbu ifodani quyidagicha qayta yozamiz:
log a f (x) = log a a b
Aynan shu narsaga erishmoqchimiz, shuning uchun ham chap, ham o'ngda a asosi uchun logarifm mavjud. Bunday holda, biz, majoziy ma'noda, log belgilarini kesib tashlashimiz mumkin va matematik nuqtai nazardan, biz shunchaki dalillarni tenglashtiramiz, deb aytishimiz mumkin:
f (x) = a b
Natijada, biz yechish ancha oson bo'lgan yangi ifodaga ega bo'lamiz. Keling, bu qoidani bugungi muammolarimizga qo'llaylik.
Shunday qilib, birinchi dizayn:
Avvalo shuni ta'kidlaymanki, o'ng tomonda maxraji log bo'lgan kasr bor. Bunday iborani ko'rganingizda, logarifmlarning ajoyib xususiyatini eslab qolish yaxshidir:
Rus tiliga tarjima qilinganda, bu har qanday logarifmni har qanday c asosli ikkita logarifmning bo'limi sifatida ko'rsatish mumkinligini anglatadi. Albatta 0< с ≠ 1.
Shunday qilib: bu formulada c o'zgaruvchisi o'zgaruvchiga teng bo'lgan ajoyib maxsus holat mavjud b. Bunday holda biz quyidagi qurilishni olamiz:
Bizning tenglamamizning o'ng tomonidagi belgidan ko'ramiz, aynan shunday qurilish. Keling, ushbu konstruktsiyani log a b bilan almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:
Boshqacha qilib aytganda, dastlabki topshiriq bilan solishtirganda, biz argumentni va logarifm asosini almashtirdik. Buning o'rniga biz kasrni teskari aylantirishimiz kerak edi.
Esda tutamizki, har qanday darajani quyidagi qoidaga muvofiq bazadan olish mumkin:
Boshqacha qilib aytganda, asosning kuchi bo'lgan k koeffitsienti teskari kasr sifatida ifodalanadi. Keling, uni teskari kasr sifatida ko'rsatamiz:
Kasr omilini oldinda qoldirib bo'lmaydi, chunki bu holda biz bu belgini kanonik shakl sifatida taqdim eta olmaymiz (oxir-oqibat, kanonik shaklda ikkinchi logarifmdan oldin qo'shimcha omil yo'q). Shuning uchun, keling, argumentga 1/4 kasrni daraja sifatida qo'shamiz:
Endi biz asoslari bir xil bo'lgan argumentlarni tenglashtiramiz (va bizning asoslarimiz haqiqatan ham bir xil) va yozamiz:
x + 5 = 1
x = −4
Ana xolos. Biz birinchi logarifmik tenglamaga javob oldik. Iltimos, diqqat qiling: asl muammoda x o'zgaruvchisi faqat bitta jurnalda paydo bo'ladi va u o'z argumentida ko'rinadi. Shuning uchun, domenni tekshirishning hojati yo'q va bizning raqamimiz x = -4 haqiqatan ham javobdir.
Endi ikkinchi ifodaga o'tamiz:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Bu erda odatiy logarifmlardan tashqari log f (x) bilan ishlashimiz kerak bo'ladi. Bunday tenglamani qanday yechish mumkin? Tayyorlanmagan talaba uchun bu qandaydir qiyin vazifadek tuyulishi mumkin, lekin aslida hamma narsani oddiy tarzda hal qilish mumkin.
lg 2 log 2 atamasini diqqat bilan ko'rib chiqing 7. Bu haqda nima deyishimiz mumkin? Log va lg ning asoslari va argumentlari bir xil va bu ba'zi fikrlarni berishi kerak. Logarifm belgisi ostidan kuchlar qanday chiqarilishini yana bir bor eslaylik:
log a b n = nlog a b
Boshqacha qilib aytganda, argumentda b ning kuchi bo'lgan narsa logning o'zi oldida omilga aylanadi. Keling, ushbu formulani lg 2 log 2 7 ifodasiga qo'llaymiz. Lg 2 dan qo'rqmang - bu eng keng tarqalgan ifoda. Siz uni quyidagicha qayta yozishingiz mumkin:
Boshqa har qanday logarifm uchun amal qiladigan barcha qoidalar u uchun amal qiladi. Xususan, oldingi omilni dalil darajasiga qo'shish mumkin. Keling, yozamiz:
Ko'pincha, talabalar bu harakatni bevosita ko'rmaydilar, chunki bir jurnalni boshqasining belgisi ostida kiritish yaxshi emas. Aslida, bu borada jinoiy narsa yo'q. Bundan tashqari, agar siz muhim qoidani eslab qolsangiz, hisoblash oson bo'lgan formulani olamiz:
Ushbu formulani ham ta'rif sifatida, ham uning xususiyatlaridan biri sifatida ko'rib chiqish mumkin. Har qanday holatda, agar siz logarifmik tenglamani o'zgartirayotgan bo'lsangiz, ushbu formulani har qanday raqamning log ko'rinishini bilganingiz kabi bilishingiz kerak.
Keling, vazifamizga qaytaylik. Biz uni tenglik belgisining o'ng tomonidagi birinchi had lg 7 ga teng bo'lishini hisobga olgan holda qayta yozamiz. Bizda:
lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)
Keling, lg 7 ni chapga siljitamiz, biz quyidagilarni olamiz:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Chapdagi iboralarni ayiramiz, chunki ular bir xil asosga ega:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Endi biz olgan tenglamani batafsil ko'rib chiqamiz. Bu amalda kanonik shakl, lekin o'ng tomonda -3 omil mavjud. Keling, uni to'g'ri lg argumentiga qo'shamiz:
log 8 = log (x + 4) -3
Bizning oldimizda logarifmik tenglamaning kanonik shakli mavjud, shuning uchun biz lg belgilarini kesib tashlaymiz va argumentlarni tenglashtiramiz:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Ana xolos! Biz ikkinchi logarifmik tenglamani yechdik. Bunday holda, qo'shimcha tekshiruvlar talab qilinmaydi, chunki dastlabki masalada x faqat bitta argumentda mavjud edi.
Keling, ushbu darsning asosiy fikrlarini yana bir bor sanab o'taman.
Logarifmik tenglamalarni echishga bag'ishlangan ushbu sahifadagi barcha darslarda o'qitiladigan asosiy formula kanonik shakldir. Va maktab darsliklarining ko'pchiligi sizni bunday muammolarni boshqacha hal qilishni o'rgatganidan qo'rqmang. Ushbu vosita juda samarali ishlaydi va darsimizning boshida biz o'rgangan eng oddiylariga qaraganda ancha kengroq muammolarni hal qilishga imkon beradi.
Bundan tashqari, logarifmik tenglamalarni echish uchun asosiy xususiyatlarni bilish foydali bo'ladi. Aynan:
- Bitta bazaga o'tish formulasi va logni teskari o'zgartirganda maxsus holat (bu birinchi muammoda biz uchun juda foydali edi);
- Logarifm belgisidan darajalarni qo'shish va ayirish formulasi. Bu erda ko'plab talabalar qotib qolishadi va olingan va kiritilgan daraja log f (x) ni o'z ichiga olishi mumkinligini ko'rmaydilar. Buning hech qanday yomon joyi yo'q. Biz bir jurnalni ikkinchisining belgisiga ko'ra kiritishimiz va shu bilan birga muammoni hal qilishni sezilarli darajada soddalashtirishimiz mumkin, bu biz ikkinchi holatda kuzatamiz.
Xulosa qilib shuni qo'shimcha qilmoqchimanki, bu holatlarning har birida ta'rif sohasini tekshirish shart emas, chunki hamma joyda x o'zgaruvchisi logning faqat bitta belgisida mavjud va ayni paytda uning argumentida. Natijada, ko'lamning barcha talablari avtomatik ravishda bajariladi.
O'zgaruvchan baza bilan bog'liq muammolar
Bugun biz logarifmik tenglamalarni ko'rib chiqamiz, ular ko'p talabalar uchun nostandart bo'lib tuyuladi, agar to'liq yechilmasa. Biz raqamlarga emas, balki o'zgaruvchilarga va hatto funktsiyalarga asoslangan ifodalar haqida gapiramiz. Biz bunday konstruksiyalarni standart texnikamiz yordamida, ya'ni kanonik shakl orqali hal qilamiz.
Birinchidan, oddiy raqamlarga asoslanib, eng oddiy masalalar qanday hal qilinishini eslaylik. Shunday qilib, eng oddiy qurilish deyiladi
log a f (x) = b
Bunday muammolarni hal qilish uchun biz quyidagi formuladan foydalanishimiz mumkin:
b = log a a b
Biz asl ifodamizni qayta yozamiz va olamiz:
log a f (x) = log a a b
Keyin argumentlarni tenglashtiramiz, ya'ni yozamiz:
f (x) = a b
Shunday qilib, biz log belgisidan qutulamiz va odatiy muammoni hal qilamiz. Bunday holda, eritmadan olingan ildizlar dastlabki logarifmik tenglamaning ildizlari bo'ladi. Bundan tashqari, chap va o'ng bir xil logarifmada bir xil asosga ega bo'lgan yozuv aniq kanonik shakl deb ataladi. Aynan shunday rekorddirki, biz bugungi dizaynlarni qisqartirishga harakat qilamiz. Xo'sh, ketaylik.
Birinchi vazifa:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
1 ni log x - 2 (x - 2) 1 bilan almashtiring. Argumentda biz kuzatadigan daraja aslida teng belgisining o'ng tomonida turgan b sonidir. Shunday qilib, keling, ifodamizni qayta yozamiz. Biz olamiz:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Biz nimani ko'ramiz? Bizning oldimizda logarifmik tenglamaning kanonik shakli mavjud, shuning uchun biz argumentlarni xavfsiz ravishda tenglashtirishimiz mumkin. Biz olamiz:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Ammo yechim shu bilan tugamaydi, chunki bu tenglama asl tenglamaga teng emas. Axir, hosil bo'lgan konstruktsiya butun son chizig'ida aniqlangan funktsiyalardan iborat bo'lib, bizning asl logarifmlarimiz hamma joyda va har doim ham aniqlanmagan.
Shuning uchun biz ta'rif sohasini alohida yozishimiz kerak. Keling, sochlarni ajratmaylik va birinchi navbatda barcha talablarni yozamiz:
Birinchidan, logarifmlarning har birining argumenti 0 dan katta bo'lishi kerak:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Ikkinchidan, baza nafaqat 0 dan katta, balki 1 dan farqli bo'lishi kerak:
x − 2 ≠ 1
Natijada biz tizimni olamiz:
Lekin tashvishlanmang: logarifmik tenglamalarni qayta ishlashda bunday tizimni sezilarli darajada soddalashtirish mumkin.
O'zingiz hukm qiling: bir tomondan, kvadrat funktsiya noldan katta bo'lishi talab qilinadi, ikkinchi tomondan, bu kvadrat funktsiya ma'lum bir chiziqli ifodaga tenglashtiriladi, bu ham noldan katta bo'lishi talab qilinadi.
Bu holda, agar biz x − 2 > 0 ni talab qilsak, u holda 2x 2 − 13x + 18 > 0 talabi avtomatik ravishda qanoatlantiriladi.Shuning uchun kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan tengsizlikni bemalol kesib tashlashimiz mumkin. Shunday qilib, bizning tizimimizdagi iboralar soni uchtaga kamayadi.
Albatta, xuddi shunday muvaffaqiyat bilan biz chiziqli tengsizlikni kesib tashlashimiz mumkin, ya'ni x − 2 > 0 ni kesib, 2x 2 - 13x + 18 > 0 bo'lishini talab qilishimiz mumkin. Lekin siz eng oddiy chiziqli tengsizlikni echish ancha tezroq ekanligiga rozi bo'lasiz. va kvadratikdan ko'ra soddaroq, hatto bu butun tizimni yechish natijasida biz bir xil ildizlarga ega bo'lishimiz sharti bilan.
Umuman olganda, iloji boricha hisob-kitoblarni optimallashtirishga harakat qiling. Logarifmik tenglamalar bo'lsa, eng qiyin tengsizliklarni kesib tashlang.
Keling, tizimimizni qayta yozamiz:
Bu erda uchta iboralar tizimi mavjud, ulardan ikkitasi biz allaqachon ko'rib chiqilgan. Kvadrat tenglamani alohida yozamiz va uni yechamiz:
2x 2 - 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Bizning oldimizda qisqartirilgan kvadrat trinomiya mavjud va shuning uchun biz Vietaning formulalaridan foydalanishimiz mumkin. Biz olamiz:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Endi biz tizimimizga qaytamiz va x = 2 bizga mos kelmasligini topamiz, chunki bizdan x 2 dan qat'iy katta bo'lishi talab qilinadi.
Ammo x = 5 bizga juda mos keladi: 5 soni 2 dan katta va ayni paytda 5 3 ga teng emas. Shuning uchun bu tizimning yagona yechimi x = 5 bo'ladi.
Hammasi shu, muammo hal qilindi, shu jumladan ODZni hisobga olgan holda. Keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz. Bu erda bizni yanada qiziqarli va ma'lumotli hisob-kitoblar kutmoqda:
Birinchi qadam: oxirgi marta bo'lgani kabi, biz bu masalani kanonik shaklga keltiramiz. Buning uchun 9 raqamini quyidagicha yozishimiz mumkin:
Ildiz bilan poydevorga tegmaslik kerak, lekin argumentni o'zgartirish yaxshiroqdir. Keling, ratsional ko'rsatkich bilan ildizdan kuchga o'tamiz. Keling, yozamiz:
Men butun katta logarifmik tenglamamizni qayta yozmayin, balki argumentlarni darhol tenglashtiraman:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Oldimizda yangi qisqartirilgan kvadrat trinomiya bor, keling, Viet formulalaridan foydalanamiz va yozamiz:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = −1
Shunday qilib, biz ildizlarni oldik, lekin hech kim bizga ular asl logarifmik tenglamaga mos kelishiga kafolat bermadi. Axir, log belgilari qo'shimcha cheklovlar qo'yadi (bu erda biz tizimni yozishimiz kerak edi, lekin butun tuzilishning noqulay tabiati tufayli men ta'rif sohasini alohida hisoblashga qaror qildim).
Avvalo, argumentlar 0 dan katta bo'lishi kerakligini unutmang, ya'ni:
Bular ta'rif doirasi tomonidan qo'yiladigan talablardir.
Darhol shuni ta'kidlaymizki, biz tizimning dastlabki ikkita ifodasini bir-biriga tenglashtirganimiz sababli, biz ulardan istalganini kesib tashlashimiz mumkin. Birinchisini kesib o'tamiz, chunki u ikkinchisidan ko'ra xavfliroq ko'rinadi.
Bundan tashqari, ikkinchi va uchinchi tengsizliklarning yechimi bir xil to'plamlar bo'lishiga e'tibor bering (ayrim sonning kubi noldan katta, agar bu raqamning o'zi noldan katta bo'lsa; xuddi shunday, uchinchi darajali ildiz bilan - bu tengsizliklar butunlay o'xshash, shuning uchun biz uni kesib tashlashimiz mumkin).
Ammo uchinchi tengsizlik bilan bu ishlamaydi. Keling, ikkala qismni kubga ko'tarib, chapdagi radikal belgidan xalos bo'laylik. Biz olamiz:
Shunday qilib, biz quyidagi talablarni olamiz:
− 2 ≠ x > −3
Bizning ildizlarimizdan qaysi biri: x 1 = -3 yoki x 2 = -1 bu talablarga javob beradi? Shubhasiz, faqat x = -1, chunki x = -3 birinchi tengsizlikni qanoatlantirmaydi (chunki bizning tengsizligimiz qat'iy). Shunday qilib, muammomizga qaytsak, biz bitta ildizga ega bo'lamiz: x = -1. Mana, muammo hal qilindi.
Yana bir bor, ushbu vazifaning asosiy nuqtalari:
- Kanonik shakldan foydalangan holda logarifmik tenglamalarni qo'llash va yechishda bemalol. Bunday yozuvni tuzgan o‘quvchilar dastlabki masaladan to‘g‘ridan-to‘g‘ri log a f (x) = b kabi konstruksiyaga o‘tishdan ko‘ra, biror joyga shoshilib, hisob-kitoblarning oraliq bosqichlarini o‘tkazib yuborganlarga qaraganda ancha kam xato qiladilar;
- Logarifmada o'zgaruvchan baza paydo bo'lishi bilanoq, muammo eng oddiy bo'lib qoladi. Shuning uchun uni hal qilishda ta'rif sohasini hisobga olish kerak: argumentlar noldan katta bo'lishi kerak va asoslar nafaqat 0 dan katta bo'lishi kerak, balki ular ham 1 ga teng bo'lmasligi kerak.
Yakuniy talablar yakuniy javoblarga turli yo'llar bilan qo'llanilishi mumkin. Misol uchun, siz ta'rif sohasi uchun barcha talablarni o'z ichiga olgan butun tizimni hal qilishingiz mumkin. Boshqa tomondan, siz birinchi navbatda muammoni o'zi hal qilishingiz mumkin, so'ngra ta'rif sohasini eslab qolishingiz, uni tizim shaklida alohida ishlab chiqishingiz va olingan ildizlarga qo'llashingiz mumkin.
Muayyan logarifmik tenglamani echishda qaysi usulni tanlash sizga bog'liq. Har holda, javob bir xil bo'ladi.
Ma'lumki, ifodalarni darajalar bilan ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari har doim qo'shiladi (a b *a c = a b+c). Bu matematik qonun Arximed tomonidan olingan bo'lib, keyinchalik 8-asrda matematik Virasen butun sonlar ko'rsatkichlari jadvalini yaratdi. Aynan ular logarifmlarning keyingi kashfiyoti uchun xizmat qilganlar. Ushbu funktsiyadan foydalanish misollarini oddiy qo'shish orqali noqulay ko'paytirishni soddalashtirish kerak bo'lgan deyarli hamma joyda topish mumkin. Agar siz ushbu maqolani o'qishga 10 daqiqa vaqt ajratsangiz, biz sizga logarifm nima ekanligini va ular bilan qanday ishlashni tushuntiramiz. Oddiy va tushunarli tilda.
Matematikada ta'rif
Logarifm quyidagi ko‘rinishdagi ifodadir: log a b=c, ya’ni har qanday manfiy bo‘lmagan (ya’ni har qanday musbat) “b” sonning “a” asosiga logarifmi “c” darajasi deb hisoblanadi. “b” qiymatini olish uchun “a” bazasini ko‘tarish kerak. Logarifmni misollar yordamida tahlil qilamiz, deylik log 2 ifodasi bor 8. Javobni qanday topish mumkin? Bu juda oddiy, siz shunday quvvat topishingiz kerakki, 2 dan kerakli quvvatga qadar siz 8 ga ega bo'lasiz. Boshingizdagi ba'zi hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz 3 raqamini olamiz! Va bu to'g'ri, chunki 2 dan 3 ning kuchiga javob 8 ni beradi.
Logarifmlarning turlari
Ko'pgina o'quvchilar va talabalar uchun bu mavzu murakkab va tushunarsiz ko'rinadi, lekin aslida logarifmlar unchalik qo'rqinchli emas, asosiysi ularning umumiy ma'nosini tushunish va ularning xususiyatlarini va ba'zi qoidalarini eslab qolishdir. Logarifmik ifodalarning uchta alohida turi mavjud:
- Natural logarifm ln a, bu yerda asos Eyler soni (e = 2,7).
- O'nlik a, bu erda asos 10 ga teng.
- Har qanday b sonining a>1 asosiga logarifmi.
Ularning har biri logarifmik teoremalardan foydalangan holda soddalashtirish, qisqartirish va keyinchalik bitta logarifmaga qisqartirishni o'z ichiga olgan standart usulda hal qilinadi. Logarifmlarning to'g'ri qiymatlarini olish uchun siz ularni hal qilishda ularning xususiyatlarini va harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz kerak.
Qoidalar va ba'zi cheklovlar
Matematikada aksioma sifatida qabul qilingan bir qancha qoida-cheklovlar mavjud, ya'ni ular muhokama qilinmaydi va haqiqatdir. Masalan, sonlarni nolga bo'lish mumkin emas, manfiy sonlarning juft ildizini ajratib olish ham mumkin emas. Logarifmlarning o'z qoidalari ham bor, ularga rioya qilgan holda siz hatto uzoq va sig'imli logarifmik iboralar bilan ishlashni osongina o'rganishingiz mumkin:
- “A” bazasi har doim noldan katta bo'lishi kerak va 1 ga teng bo'lmasligi kerak, aks holda ifoda o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki "1" va "0" har qanday darajada har doim ularning qiymatlariga teng;
- a > 0 bo'lsa, a b >0 bo'lsa, "c" ham noldan katta bo'lishi kerakligi ma'lum bo'ladi.
Logarifmlarni qanday yechish mumkin?
Masalan, 10 x = 100 tenglamasining javobini topish vazifasi beriladi. Bu juda oson, biz 100 ni oladigan o'n sonni ko'tarib, kuch tanlash kerak. Bu, albatta, 10 2 =. 100.
Endi bu ifodani logarifmik shaklda ifodalaylik. Biz log 10 100 = 2 ni olamiz. Logarifmlarni yechishda barcha amallar berilgan sonni olish uchun logarifm asosini kiritish zarur bo'lgan quvvatni topish uchun amalda birlashadi.
Noma'lum darajaning qiymatini aniq aniqlash uchun siz darajalar jadvali bilan ishlashni o'rganishingiz kerak. Bu shunday ko'rinadi:
Ko'rib turganingizdek, agar sizda texnik aqlingiz va ko'paytirish jadvalini bilsangiz, ba'zi eksponentlarni intuitiv ravishda taxmin qilish mumkin. Biroq, kattaroq qiymatlar uchun sizga quvvat jadvali kerak bo'ladi. Bundan hatto murakkab matematik mavzular haqida hech narsa bilmaydiganlar ham foydalanishlari mumkin. Chap ustunda raqamlar mavjud (a asosi), raqamlarning yuqori qatori a soni ko'tarilgan c kuchining qiymati. Chorrahada hujayralar javob bo'lgan raqamlar qiymatlarini o'z ichiga oladi (a c = b). Masalan, 10 raqami bo'lgan birinchi katakchani olaylik va uning kvadratini olamiz, biz ikkita katakchamizning kesishmasida ko'rsatilgan 100 qiymatini olamiz. Hammasi shu qadar sodda va osonki, hatto eng haqiqiy gumanist ham tushunadi!
Tenglamalar va tengsizliklar
Ma'lum bo'lishicha, ma'lum sharoitlarda ko'rsatkich logarifmdir. Shuning uchun har qanday matematik sonli ifodalarni logarifmik tenglik sifatida yozish mumkin. Masalan, 3 4 =81 ni to'rtga teng 81 ning 3 logarifmi sifatida yozish mumkin (log 3 81 = 4). Salbiy kuchlar uchun qoidalar bir xil: 2 -5 = 1/32 biz uni logarifm sifatida yozamiz, log 2 (1/32) = -5 ni olamiz. Matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biri "logarifmlar" mavzusidir. Tenglamalarning xossalarini o'rgangandan so'ng, biz quyida misollar va echimlarni ko'rib chiqamiz. Endi tengsizliklar qanday ko‘rinishini va ularni tenglamalardan qanday ajratish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Quyidagi ifoda berilgan: log 2 (x-1) > 3 - bu logarifmik tengsizlik, chunki nomaʼlum “x” qiymati logarifmik belgi ostida. Shuningdek, ifodada ikkita miqdor solishtiriladi: ikkita asosga kerakli sonning logarifmi uch sonidan kattaroqdir.
Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar o'rtasidagi eng muhim farq shundaki, logarifmli tenglamalar (masalan, logarifm 2 x = √9) javobda bir yoki bir nechta o'ziga xos sonli qiymatlarni nazarda tutadi, tengsizlikni yechishda ikkalasi ham maqbul diapazonni bildiradi. qiymatlar va nuqtalar bu funktsiyani buzgan holda aniqlanadi. Natijada, javob tenglamaning javobidagi kabi oddiy raqamlar to'plami emas, balki doimiy qator yoki raqamlar to'plamidir.
Logarifmlar haqidagi asosiy teoremalar
Logarifmning qiymatlarini topishning ibtidoiy vazifalarini hal qilishda uning xossalari noma'lum bo'lishi mumkin. Biroq, logarifmik tenglamalar yoki tengsizliklar haqida gap ketganda, birinchi navbatda, logarifmlarning barcha asosiy xususiyatlarini aniq tushunish va amalda qo'llash kerak. Tenglamalar misollarini keyinroq ko'rib chiqamiz, avval har bir xususiyatni batafsil ko'rib chiqamiz.
- Asosiy identifikatsiya quyidagicha ko'rinadi: a logaB =B. Bu faqat a 0 dan katta, birga teng emas va B noldan katta bo'lganda qo'llaniladi.
- Mahsulotning logarifmini quyidagi formulada ifodalash mumkin: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu holda majburiy shart: d, s 1 va s 2 > 0; a≠1. Siz bu logarifmik formulani misollar va yechim bilan isbotlashingiz mumkin. log a s 1 = f 1 va log a s 2 = f 2, keyin a f1 = s 1, a f2 = s 2 bo‘lsin. Biz s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (xususiyatlari)ni olamiz. daraja ), so'ngra ta'rifi bo'yicha: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.
- Bo'limning logarifmi quyidagicha ko'rinadi: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Formula ko'rinishidagi teorema quyidagi shaklni oladi: log a q b n = n/q log a b.
Ushbu formula "logarifm darajasining xossasi" deb ataladi. Bu oddiy darajalarning xususiyatlariga o'xshaydi va bu ajablanarli emas, chunki barcha matematika tabiiy postulatlarga asoslanadi. Keling, dalilni ko'rib chiqaylik.
Log a b = t bo'lsin, a t =b chiqadi. Ikkala qismni m darajaga ko'tarsak: a tn = b n;
lekin a tn = (a q) nt/q = b n ekan, shuning uchun log a q b n = (n*t)/t, keyin log a q b n = n/q log a b. Teorema isbotlangan.
Muammolar va tengsizliklarga misollar
Logarifmlarga oid masalalarning eng keng tarqalgan turlari tenglamalar va tengsizliklarga misollardir. Ular deyarli barcha muammoli kitoblarda uchraydi va matematika imtihonlarining majburiy qismidir. Universitetga kirish yoki matematikadan kirish imtihonlarini topshirish uchun siz bunday vazifalarni qanday to'g'ri hal qilishni bilishingiz kerak.
Afsuski, logarifmning noma'lum qiymatini echish va aniqlashning yagona rejasi yoki sxemasi mavjud emas, lekin har bir matematik tengsizlik yoki logarifmik tenglamaga ma'lum qoidalar qo'llanilishi mumkin. Avvalo, ifodani soddalashtirish yoki umumiy shaklga qisqartirish mumkinligini aniqlashingiz kerak. Uzoq logarifmik ifodalarni ularning xossalaridan to‘g‘ri foydalansangiz, soddalashtirishingiz mumkin. Keling, ular bilan tezda tanishaylik.
Logarifmik tenglamalarni yechishda biz qanday turdagi logarifmga ega ekanligimizni aniqlashimiz kerak: misol ifodasi tabiiy logarifm yoki o'nlikdan iborat bo'lishi mumkin.
Mana ln100, ln1026 misollar. Ularning yechimi shundan kelib chiqadiki, ular 10 ta asosi mos ravishda 100 va 1026 ga teng bo'ladigan quvvatni aniqlashlari kerak. Tabiiy logarifmlarni yechish uchun logarifmik identifikatsiyalarni yoki ularning xususiyatlarini qo'llash kerak. Keling, har xil turdagi logarifmik masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqaylik.
Logarifm formulalarini qanday ishlatish kerak: misollar va echimlar bilan
Shunday qilib, keling, logarifmlar haqidagi asosiy teoremalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.
- Mahsulot logarifmining xossasi b sonining katta qiymatini oddiyroq omillarga ajratish zarur bo'lgan vazifalarda qo'llanilishi mumkin. Masalan, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Javob 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ko'rib turganingizdek, logarifm kuchining to'rtinchi xususiyatidan foydalanib, biz ko'rinishidan murakkab va yechilmaydigan ifodani yechishga muvaffaq bo'ldik. Siz shunchaki bazani faktorlarga ajratib, keyin ko'rsatkich qiymatlarini logarifm belgisidan chiqarib olishingiz kerak.
Yagona davlat imtihonidan topshiriqlar
Logarifmlar ko'pincha kirish imtihonlarida, ayniqsa Yagona davlat imtihonida (barcha maktab bitiruvchilari uchun davlat imtihonida) ko'plab logarifmik muammolar mavjud. Odatda, bu vazifalar nafaqat A qismida (imtihonning eng oson test qismi), balki C qismida ham (eng murakkab va hajmli vazifalar) mavjud. Imtihon “Tabiiy logarifmlar” mavzusini aniq va mukammal bilishni talab qiladi.
Misollar va muammolarni hal qilish Yagona davlat imtihonining rasmiy versiyalaridan olingan. Keling, bunday vazifalar qanday hal qilinishini ko'rib chiqaylik.
Berilgan log 2 (2x-1) = 4. Yechish:
keling, ifodani biroz soddalashtirib, uni qayta yozamiz log 2 (2x-1) = 2 2, logarifmning ta'rifi bo'yicha biz 2x-1 = 2 4 ni olamiz, shuning uchun 2x = 17; x = 8,5.
- Yechim og'ir va chalkash bo'lmasligi uchun barcha logarifmlarni bir xil asosga qisqartirish yaxshidir.
- Logarifm belgisi ostidagi barcha ifodalar musbat deb ko'rsatiladi, shuning uchun logarifm belgisi ostidagi va uning asosi sifatidagi ifodaning ko'rsatkichi ko'paytiruvchi sifatida chiqarilganda, logarifm ostida qolgan ifoda musbat bo'lishi kerak.
Yuklanmoqda...