Tenglamalarni almashtirish usuli yordamida yechish. Tenglamalar tizimini yechish. Tenglamalar sistemalarini yechishning oddiy va murakkab usullari
2. Algebraik qo‘shish usuli.
3. Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli (o'zgaruvchini almashtirish usuli).
Ta'rif: Tenglamalar tizimi bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak bo'lgan bir yoki bir nechta o'zgaruvchilar uchun bir nechta tenglamalarga ishora qiladi, ya'ni. barcha tenglamalar uchun o'zgaruvchilarning bir xil qiymatlari bilan. Tizimdagi tenglamalar tizim belgisi - jingalak qavs bilan birlashtiriladi.
1-misol:
- ikkita o'zgaruvchili ikkita tenglamalar tizimi x Va y.
Tizimning yechimi - ildizlar. Ushbu qiymatlar almashtirilganda, tenglamalar haqiqiy identifikatsiyaga aylanadi:
Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish.
Tizimni hal qilishning eng keng tarqalgan usuli - almashtirish usuli.
O'zgartirish usuli.
Tenglamalar sistemalarini yechishda almashtirish usuli tizimning bir tenglamasidan oʻzgaruvchini boshqalari bilan ifodalash va bu ifodani ifodalangan oʻzgaruvchi oʻrniga sistemaning qolgan tenglamalariga qoʻyishdan iborat.
2-misol:
Tenglamalar tizimini yeching:
Yechim:
Tenglamalar sistemasi berilgan va uni almashtirish usuli yordamida yechish kerak.
O'zgaruvchini ifodalaylik y tizimning ikkinchi tenglamasidan.
Izoh:"O'zgaruvchini ifodalash" tenglikni o'zgartirishni anglatadi, shunda bu o'zgaruvchi 1 koeffitsientli tenglik belgisining chap tomonida qoladi va boshqa barcha atamalar tenglikning o'ng tomoniga o'tadi.
Tizimning ikkinchi tenglamasi:
Keling, faqat chap tomonda ketaylik y:
Va keling, birinchi tenglama o'rniga (usulning nomi shu erdan keladi) o'rniga qo'yaylik. da unga teng bo'lgan ifoda, ya'ni. .
Birinchi tenglama:
Keling, almashtiramiz: 
Keling, bu banal kvadrat tenglamani yechamiz. Buni qanday qilishni unutganlar uchun "Kvadrat tenglamalarni echish" maqolasi mavjud. . 
Shunday qilib, o'zgaruvchan qiymatlar x topildi.
Keling, ushbu qiymatlarni o'zgaruvchining ifodasiga almashtiramiz y. Bu erda ikkita ma'no bor x, ya'ni. ularning har biri uchun qiymat topishingiz kerak y .
1) Mayli
Biz uni ifodaga almashtiramiz.
2) ruxsat bering
Biz uni ifodaga almashtiramiz.
Hamma narsaga javob berish mumkin:
Izoh: Bunda y o'zgaruvchining qaysi qiymati x o'zgaruvchining qaysi qiymatiga mos kelishini chalkashtirib yubormaslik uchun javobni juft-juft qilib yozish kerak.
Javob:
Izoh: 1-misolda tizimga yechim sifatida faqat bitta juftlik ko'rsatilgan, ya'ni. bu juftlik tizimning yechimidir, ammo to'liq emas. Demak, tenglama yoki tizimni qanday yechish, yechimni ko'rsatish va boshqa yechimlar yo'qligini ko'rsatishni anglatadi. Va yana bir juftlik.
Keling, ushbu tizimning echimini maktab uslubida rasmiylashtiramiz:
Izoh:"" belgisi "ekvivalent" degan ma'noni anglatadi, ya'ni. keyingi tizim yoki ifoda avvalgisiga teng.
Keling, tenglamalar tizimining ikki xil echimini tahlil qilaylik:
1. Tizimni almashtirish usuli yordamida yechish.
2. Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish.
Tenglamalar sistemasini yechish uchun almashtirish usuli bilan Siz oddiy algoritmga amal qilishingiz kerak:
1. Ekspress. Har qanday tenglamadan biz bitta o'zgaruvchini ifodalaymiz.
2. O‘rinbosar. Olingan qiymatni ifodalangan o'zgaruvchi o'rniga boshqa tenglamaga almashtiramiz.
3. Bitta o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.
Yechish uchun muddatga qo‘shish (ayirish) usuli bo‘yicha tizim kerak:
1. Biz bir xil koeffitsientlar yaratadigan o'zgaruvchini tanlang.
2. Biz tenglamalarni qo'shamiz yoki ayitamiz, natijada bitta o'zgaruvchili tenglama hosil bo'ladi.
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching. Biz tizimga yechim topamiz.
Tizimning yechimi funksiya grafiklarining kesishish nuqtalari hisoblanadi.
Keling, misollar yordamida tizimlarning yechimini batafsil ko'rib chiqaylik.
1-misol:
Keling, almashtirish usuli bilan hal qilaylik
Tenglamalar sistemasini almashtirish usuli yordamida yechish2x+5y=1 (1 tenglama)
x-10y=3 (2-tenglama)
1. Ekspress
Ko'rinib turibdiki, ikkinchi tenglamada koeffitsienti 1 bo'lgan x o'zgaruvchisi mavjud, ya'ni ikkinchi tenglamadan x o'zgaruvchisini ifodalash eng osondir.
x=3+10y
2.Uni ifodalab bo‘lgach, birinchi tenglamaga x o‘zgaruvchisi o‘rniga 3+10y ni qo‘yamiz.
2(3+10y)+5y=1
3. Bitta o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching.
2(3+10y)+5y=1 (qavslarni oching)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Tenglamalar sistemasining yechimi grafiklarning kesishish nuqtalaridir, shuning uchun biz x va y ni topishimiz kerak, chunki kesishish nuqtasi x va y dan iborat.X ni topamiz, uni ifodalagan birinchi nuqtada y ni almashtiramiz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Nuqtalarni yozish odat tusiga kiradi, birinchi navbatda x o'zgaruvchisini, ikkinchi o'rinda esa y o'zgaruvchisini yozamiz.
Javob: (1; -0,2)
2-misol:
Atama bo‘yicha qo‘shish (ayirish) usuli yordamida yechamiz.
Tenglamalar sistemasini qo`shish usuli yordamida yechish3x-2y=1 (1 tenglama)
2x-3y=-10 (2-tenglama)
1. Biz o‘zgaruvchini tanlaymiz, deylik, x ni tanlaymiz. Birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi 3 koeffitsientiga ega, ikkinchisida - 2. Biz koeffitsientlarni bir xil qilishimiz kerak, buning uchun biz tenglamalarni ko'paytirish yoki istalgan songa bo'lish huquqiga egamiz. Birinchi tenglamani 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiramiz va umumiy koeffitsient 6 ga teng bo'ladi.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, x o‘zgaruvchidan xalos bo‘ling.Chiziqli tenglamani yeching.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. X ni toping. Topilgan y ni istalgan tenglamaga almashtiramiz, deylik, birinchi tenglamaga.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Kesishish nuqtasi x=4,6 bo'ladi; y=6,4
Javob: (4,6; 6,4)
Imtihonlarga tekin tayyorlanmoqchimisiz? Onlayn o'qituvchi tekinga. Bexazil.
Bunday holda, tizimning ikkinchi tenglamasidan x ni y shaklida ifodalash va birinchi tenglamadagi x o'rniga hosil bo'lgan ifodani almashtirish qulay:
Birinchi tenglama bitta o'zgaruvchisi y bo'lgan tenglamadir. Keling, buni hal qilaylik:
5(7-3y)-2y = -16
Olingan y qiymatini x ifodasiga almashtiramiz:
Javob: (-2; 3).
Bu sistemada birinchi tenglamadagi y ni x bilan ifodalash va ikkinchi tenglamadagi y o‘rniga hosil bo‘lgan ifodani qo‘yish osonroq:
Ikkinchi tenglama bitta x o'zgaruvchisi bo'lgan tenglamadir. Keling, buni hal qilaylik:
3x-4(-1,5-3,5x)=23
y ifodasida x o‘rniga x=1 ni qo‘yamiz va y ni topamiz:
Javob: (1; -5).
Bu erda y ni ikkinchi tenglamadan x ko'rinishida ifodalash qulayroqdir (chunki 10 ga bo'lish 4, -9 yoki 3 ga bo'lishdan ko'ra osonroqdir):
Birinchi tenglamani yechamiz:
4x-9(1,6-0,3x)= -1
4x-14,4+2,7x= -1
x=2 almashtiring va y ni toping:
Javob: (2; 1).
O'zgartirish usulini qo'llashdan oldin ushbu tizimni soddalashtirish kerak. Birinchi tenglamaning ikkala tomonini eng kichik umumiy maxrajga ko'paytirish mumkin, ikkinchi tenglamada biz qavslarni ochamiz va shunga o'xshash shartlarni keltiramiz:
Biz ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimini oldik. Endi almashtirishni qo'llaymiz. Ikkinchi tenglamadan a dan b gacha ifodalash qulay:
Biz tizimning birinchi tenglamasini echamiz:
3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63
a qiymatini topish qoladi:
Formatlash qoidalariga ko'ra, javobni alifbo tartibida nuqta-vergul bilan ajratilgan qavslar ichida yozamiz.
Javob: (14; -3).
Bir o'zgaruvchini boshqasi orqali ifodalashda, ba'zan uni ma'lum bir koeffitsient bilan qoldirish qulayroqdir.
Odatda tizim tenglamalari bir-birining ostidagi ustunga yoziladi va jingalak qavs bilan birlashtiriladi.
Ushbu turdagi tenglamalar tizimi, bu erda a, b, c- raqamlar va x, y- o'zgaruvchilar chaqiriladi chiziqli tenglamalar tizimi.
Tenglamalar tizimini yechishda tenglamalarni yechish uchun amal qiladigan xossalardan foydalaniladi.
Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik 
1) O‘zgaruvchini tenglamalardan birida ifodalang. Masalan, ifoda qilaylik y Birinchi tenglamada biz tizimni olamiz:
2) oʻrniga sistemaning ikkinchi tenglamasini qoʻying y ifoda 3x-7:
3) Olingan ikkinchi tenglamani yeching:
4) Olingan yechimni sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiramiz:
Tenglamalar tizimi yagona yechimga ega: juft raqamlar x=1, y=-4. Javob: (1; -4) , qavs ichida yoziladi, birinchi o'rinda qiymat x, Ikkinchisida - y.
Chiziqli tenglamalar sistemasini qo`shish yo`li bilan yechish
Oldingi misoldagi tenglamalar tizimini yechamiz qo'shish usuli.
1) O'zgaruvchilardan birining koeffitsientlari qarama-qarshi bo'ladigan tarzda tizimni o'zgartiring. Tizimning birinchi tenglamasini "3" ga ko'paytiramiz.
2) sistema a'zolarining tenglamalarini had bo'yicha qo'shing. Biz tizimning ikkinchi tenglamasini (har qanday) o'zgarishsiz qayta yozamiz.
3) Olingan yechimni sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiramiz:
Chiziqli tenglamalar sistemasini grafik usulda yechish
Ikki o'zgaruvchili tenglamalar tizimining grafik yechimi tenglamalar grafiklarining umumiy nuqtalarining koordinatalarini topishga to'g'ri keladi.
Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. Tekislikdagi ikkita chiziq bir nuqtada kesishishi, parallel yoki mos kelishi mumkin. Shunga ko'ra, tenglamalar tizimi: a) yagona yechimga ega bo'lishi mumkin; b) yechimlari yo'q; v) cheksiz ko'p yechimga ega.
2) Tenglamalar sistemasining yechimi grafiklarning kesishish nuqtasi (agar tenglamalar chiziqli bo'lsa) hisoblanadi.
Tizimning grafik yechimi
Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli
O'zgaruvchilarni o'zgartirish dastlabki tenglamalarga qaraganda oddiyroq tenglamalar tizimini echishga olib kelishi mumkin.
Tizimning yechimini ko'rib chiqing
Keling, almashtirishni tanishtiramiz
Keling, boshlang'ich o'zgaruvchilarga o'tamiz
Maxsus holatlar
Chiziqli tenglamalar tizimini yechmasdan, tegishli o'zgaruvchilarning koeffitsientlaridan uning yechimlari sonini aniqlash mumkin.
Ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimi bu ikki yoki undan ortiq chiziqli tenglamalar bo'lib, ular uchun barcha umumiy echimlarni topish kerak. Ikkita noma’lumda ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko‘rib chiqamiz. Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining umumiy ko'rinishi quyidagi rasmda keltirilgan:
(a1*x + b1*y = c1,
( a2 * x + b2 * y = c2
Bu erda x va y noma'lum o'zgaruvchilar, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ba'zi haqiqiy sonlar. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi yechimi (x,y) sonlar juftligi bo‘lib, agar bu raqamlarni sistema tenglamalariga almashtirsak, sistemaning har bir tenglamasi haqiqiy tenglikka aylanadi. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullaridan birini, ya'ni almashtirish usulini ko'rib chiqing.
O'zgartirish usuli bilan yechish algoritmi
Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida echish algoritmi:
1. Bitta tenglamani tanlang (raqamlar kichikroq bo'lganini tanlagan ma'qul) va undan bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalang, masalan, x ni y bilan ifodalang. (siz y dan x gacha ham foydalanishingiz mumkin).
2. Hosil bo‘lgan ifodani mos o‘zgaruvchi o‘rniga boshqa tenglamaga almashtiring. Shunday qilib, biz bitta noma'lum chiziqli tenglamani olamiz.
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching va yechimni oling.
4. Olingan eritmani birinchi bandda olingan ifodaga almashtiramiz va eritmadan ikkinchi noma’lumni olamiz.
5. Olingan eritmani tekshiring.
Misol
Buni yanada aniqroq qilish uchun kichik bir misolni hal qilaylik.
1-misol. Tenglamalar tizimini yeching:
(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18
Yechim:
1. Bu sistemaning birinchi tenglamasidan x o'zgaruvchini ifodalaymiz. Bizda x= (12 -2*y);
2. Bu ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiring, 2*x-3*y=-18 ni olamiz; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;
3. Olingan chiziqli tenglamani yeching: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;
4. Olingan natijani birinchi xatboshida olingan ifodaga almashtiring. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Olingan yechimni tekshiramiz, buning uchun topilgan sonlarni dastlabki sistemaga almashtiramiz.
(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Biz to'g'ri tenglikni oldik, shuning uchun biz yechimni to'g'ri topdik.
Yuklanmoqda...