Koordinata tekisligida nuqtalarni qanday qurish mumkin. Koordinata tekisligi nima? Umumiy mavzu "Ijobiy va manfiy sonlar"

Koordinatalar tekisligi haqida tushuncha

Har bir ob'ekt (masalan, uy, auditoriyadagi joy, xaritadagi nuqta) raqamli yoki harfli belgiga ega bo'lgan o'zining tartiblangan manziliga (koordinatalariga) ega.

Matematiklar ob'ektning o'rnini aniqlashga imkon beruvchi va chaqirilgan modelni ishlab chiqdilar koordinata tekisligi.

Koordinata tekisligini qurish uchun $2$ perpendikulyar to'g'ri chiziqlar chizish kerak, ularning oxirida strelkalar yordamida "o'ngga" va "yuqoriga" yo'nalishlari ko'rsatiladi. Chiziqlarga bo'linishlar qo'llaniladi va chiziqlarning kesishish nuqtasi ikkala o'lchov uchun nol belgisidir.

Ta'rif 1

Gorizontal chiziq deyiladi x o'qi va x bilan belgilanadi va vertikal chiziq deyiladi y o'qi va y bilan belgilanadi.

Ikkita perpendikulyar x va y o'qlari bo'linmalarni tashkil qiladi to'rtburchaklar, yoki Kartezian, koordinata tizimi, frantsuz faylasufi va matematigi Rene Dekart tomonidan taklif qilingan.

Koordinata tekisligi

Nuqta koordinatalari

Koordinata tekisligidagi nuqta ikkita koordinata bilan aniqlanadi.

Koordinata tekisligidagi $A$ nuqtaning koordinatalarini aniqlash uchun u orqali koordinata o‘qlariga parallel bo‘ladigan to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazish kerak (rasmda nuqta chiziq bilan ko‘rsatilgan). Chiziqning x o'qi bilan kesishishi $A$ nuqtaning $x$ koordinatasini, y o'qi bilan kesishishi esa $A$ nuqtaning y-koordinatasini beradi. Nuqta koordinatalarini yozishda avval $x$ koordinatasi, keyin esa $y$ koordinatasi yoziladi.

Rasmdagi $A$ nuqtasi $(3; 2)$ va $B (–1; 4)$ koordinatalariga ega.

Koordinata tekisligidagi nuqtani chizish uchun teskari tartibda davom eting.

Belgilangan koordinatalarda nuqta qurish

1-misol

Koordinata tekisligida $A(2;5)$ va $B(3; –1) nuqtalarini tuzing.

Yechim.

$A$ nuqtasini qurish:

• $2$ sonini $x$ o'qiga qo'ying va perpendikulyar chiziq chizing;
• Y o'qida $5$ raqamini chizamiz va $y$ o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq chizamiz. Perpendikulyar chiziqlar kesishmasida $(2; 5)$ koordinatali $A$ nuqtani olamiz.

$B$ nuqtasini qurish:

• $3$ sonini $x$ o'qiga chizamiz va x o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq chizamiz;
• $y$ o'qida $(–1)$ raqamini chizamiz va $y$ o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq chizamiz. Perpendikulyar chiziqlar kesishmasida $(3; –1)$ koordinatali $B$ nuqtasini olamiz.

2-misol

$C (3; 0)$ va $D(0; 2)$ koordinatalari berilgan koordinatalar tekisligida nuqtalarni tuzing.

Yechim.

$C$ nuqtasini qurish:

• $3$ raqamini $x$ o'qiga qo'ying;
• $y$ koordinatasi nolga teng, ya'ni $C$ nuqtasi $x$ o'qida yotadi.

$D$ nuqtasini qurish:

• $2$ raqamini $y$ o'qiga qo'ying;
• $x$ koordinatasi nolga teng, ya'ni $D$ nuqtasi $y$ o'qida yotadi.

Eslatma 1

Shuning uchun $x=0$ koordinatasida nuqta $y$ o'qida, $y=0$ koordinatasida nuqta $x$ o'qida yotadi.

3-misol

A, B, C, D nuqtalarning koordinatalarini aniqlang.$

Yechim.

$A$ nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz. Buning uchun ushbu $2$ nuqta orqali koordinata o'qlariga parallel bo'ladigan to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. Chiziqning x o'qi bilan kesishishi $x$ koordinatasini, chiziqning y o'qi bilan kesishishi $y$ koordinatasini beradi. Shunday qilib, $A (1; 3).$ nuqtasini olamiz

$B$ nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz. Buning uchun ushbu $2$ nuqta orqali koordinata o'qlariga parallel bo'ladigan to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. Chiziqning x o'qi bilan kesishishi $x$ koordinatasini, chiziqning y o'qi bilan kesishishi $y$ koordinatasini beradi. Biz $B (–2; 4) nuqtasini topamiz.$

$C$ nuqtasining koordinatalarini aniqlaymiz. Chunki u $y$ o'qida joylashgan bo'lsa, bu nuqtaning $x$ koordinatasi nolga teng. Y koordinatasi $–2$. Shunday qilib, $C (0; –2)$ nuqtasi.

$D$ nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz. Chunki u $x$ o'qida, keyin $y$ koordinatasi nolga teng. Bu nuqtaning $x$ koordinatasi $–5$. Shunday qilib, $D nuqtasi (5; 0).$

4-misol

$E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0) nuqtalarini tuzing.$

Yechim.

$E$ nuqtasini qurish:

• $(–3)$ sonini $x$ o‘qiga qo‘ying va perpendikulyar chiziq chizing;
• $y$ o'qida $(–2)$ raqamini chizamiz va $y$ o'qiga perpendikulyar chiziq chizamiz;
• perpendikulyar chiziqlar kesishmasida $E (–3; –2) nuqtani olamiz.$

$F$ nuqtasini qurish:

• koordinata $y=0$, bu nuqta $x$ o'qida yotadi;
• $5$ raqamini $x$ o'qi bo'yicha chizamiz va $F(5; 0) nuqtasini olamiz.

$G$ nuqtasini qurish:

• $3$ sonini $x$ o'qiga qo'ying va $x$ o'qiga perpendikulyar chiziq o'tkazing;
• $y$ o'qida $4$ raqamini chizamiz va $y$ o'qiga perpendikulyar chiziq chizamiz;
• perpendikulyar chiziqlar kesishmasida $G(3; 4) nuqtani olamiz.$

$H$ nuqtasini qurish:

• koordinata $x=0$, bu nuqta $y$ o'qida yotadi;
• $(–4)$ raqamini $y$ o‘qi bo‘yicha chizamiz va $H(0;–4) nuqtasini olamiz.

$O$ nuqtasini qurish:

• nuqtaning ikkala koordinatasi nolga teng, bu nuqta bir vaqtning o'zida ham $y$ o'qi, ham $x$ o'qi ustida yotadi, shuning uchun u ikkala o'qning kesishish nuqtasidir (koordinatalarning kelib chiqishi).

§ 1 Koordinatalar tizimi: ta'rifi va qurilish usuli

Bu darsda biz “koordinatalar tizimi”, “koordinatalar tekisligi”, “koordinata o‘qlari” tushunchalari bilan tanishamiz va koordinatalardan foydalanib tekislikda nuqtalar qurishni o‘rganamiz.

Bosh nuqtasi O, musbat yo‘nalishi va birlik segmenti bilan x koordinatali chiziqni olaylik.

Koordinatalarning kelib chiqishi, x koordinata chizig'ining O nuqtasi orqali biz x ga perpendikulyar bo'lgan boshqa koordinata chizig'ini y chizamiz, musbat yo'nalishni yuqoriga o'rnatamiz, birlik segmenti bir xil. Shunday qilib, biz koordinatalar tizimini qurdik.

Keling, ta'rif beraylik:

Ularning har birining koordinatalarining kelib chiqishi bo'lgan bir nuqtada kesishgan ikkita o'zaro perpendikulyar koordinata chizig'i koordinata tizimini tashkil qiladi.

§ 2 Koordinata o'qi va koordinata tekisligi

Koordinatalar sistemasini tashkil etuvchi to'g'ri chiziqlar deyiladi koordinata o'qlari, ularning har biri o'z nomiga ega: x koordinata chizig'i abscissa o'qi, y koordinata chizig'i ordinata o'qi.

Koordinatalar tizimi tanlangan tekislik koordinata tekisligi deyiladi.

Ta'riflangan koordinatalar tizimi to'rtburchaklar deb ataladi. Ko'pincha frantsuz faylasufi va matematigi Rene Dekart sharafiga Dekart koordinatalari tizimi deb ataladi.

Koordinata tekisligidagi har bir nuqta ikkita koordinataga ega bo'lib, uni koordinata o'qidagi nuqtadan perpendikulyarlarni tushirish orqali aniqlash mumkin. Tekislikdagi nuqtaning koordinatalari bir juft son bo'lib, ularning birinchi soni abscissa, ikkinchi soni ordinatadir. Abtsissa x o'qiga perpendikulyar, ordinatasi y o'qiga perpendikulyar.

Koordinatalar tekisligida A nuqtani belgilaymiz va undan koordinatalar sistemasi o‘qlariga perpendikulyar o‘tkazamiz.

Abscissa o'qiga perpendikulyar (x o'qi) bo'ylab A nuqtaning abssissasini aniqlaymiz, u 4 ga teng, A nuqtaning ordinatasi - ordinata o'qiga perpendikulyar bo'ylab (y o'qi) 3. Koordinatalar Bizning nuqtamiz 4 va 3. A (4;3). Shunday qilib, koordinatalarni koordinata tekisligidagi istalgan nuqta uchun topish mumkin.

§ 3 Tekislikdagi nuqtani qurish

Berilgan koordinatalar bilan tekislikda nuqtani qanday qurish mumkin, ya'ni. Tekislikdagi nuqtaning koordinatalaridan foydalanib, uning o'rnini aniqlang? IN Ushbu holatda Biz qadamlarni teskari tartibda bajaramiz. Koordinata o'qlarida berilgan koordinatalarga mos nuqtalarni topamiz, ular orqali x va y o'qlariga perpendikulyar to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. Perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi kerakli bo'ladi, ya'ni. koordinatalari berilgan nuqta.

Topshiriqni bajaramiz: koordinata tekisligida M (2;-3) nuqtani yasaymiz.

Buning uchun x o'qi bo'ylab koordinatasi 2 bo'lgan nuqtani toping va uni chizing bu nuqta x o'qiga to'g'ri perpendikulyar. Ordinata o'qida koordinatasi -3 bo'lgan nuqtani topamiz, u orqali y o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasi bo'ladi berilgan nuqta M.

Endi bir nechta maxsus holatlarni ko'rib chiqaylik.

Koordinata tekisligida A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) nuqtalarni belgilaymiz.

Bu nuqtalarning abtsissalari 0 ga teng. Rasmda barcha nuqtalar ordinatalar o'qida joylashganligi ko'rsatilgan.

Demak, abssissalari nolga teng bo'lgan nuqtalar ordinata o'qida yotadi.

Keling, ushbu nuqtalarning koordinatalarini almashtiramiz.

Natijada A (2;0), B (-3;0) C (4; 0) bo'ladi. Bunday holda, barcha ordinatalar 0 ga teng va nuqtalar x o'qida joylashgan.

Bu shuni anglatadiki, ordinatalari nolga teng bo'lgan nuqtalar abscissa o'qida yotadi.

Keling, yana ikkita holatni ko'rib chiqaylik.

Koordinata tekisligida M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4) nuqtalarini belgilang.

Nuqtalarning barcha abscissalari bir xil ekanligini ko'rish oson. Agar bu nuqtalar ulangan bo'lsa, siz ordinata o'qiga parallel va abscissa o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziq olasiz.

Xulosa shuni ko'rsatadiki, bir xil abscissalarga ega bo'lgan nuqtalar ordinat o'qiga parallel va abscissa o'qiga perpendikulyar bo'lgan bir xil to'g'ri chiziqda yotadi.

Agar siz M, N, P nuqtalarining koordinatalarini almashtirsangiz, M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3) ni olasiz. Nuqtalarning ordinatalari bir xil bo'ladi. Bunday holda, agar siz ushbu nuqtalarni bog'lasangiz, siz abscissa o'qiga parallel va ordinata o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziqni olasiz.

Shunday qilib, bir xil ordinataga ega bo'lgan nuqtalar abscissa o'qiga parallel va ordinata o'qiga perpendikulyar bo'lgan bir xil to'g'ri chiziqda yotadi.

Ushbu darsda siz "koordinatalar tizimi", "koordinatalar tekisligi", "koordinata o'qlari - abscissa o'qi va ordinata o'qi" tushunchalari bilan tanishdingiz. Biz koordinata tekisligidagi nuqtaning koordinatalarini topishni va uning koordinatalaridan foydalanib, tekislikda nuqtalar qurishni o‘rgandik.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

1. Matematika. 6-sinf: dars rejalari darslikka I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // muallif-tuzuvchi L.A. Topilina. - Mnemosin, 2009 yil.
2. Matematika. 6-sinf: o‘quvchilar uchun darslik ta'lim muassasalari. I.I.Zubareva, A.G.Mordkovich.- M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. 6-sinf: umumiy ta’lim muassasalari uchun darslik/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov va boshqalar / tahrir G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Rossiya Fanlar akademiyasi, Rossiya ta'lim akademiyasi. - M.: "Ma'rifat", 2010
4. Matematika bo'yicha qo'llanma - http://lyudmilanik.com.ua
5. Talabalar uchun qo'llanma o'rta maktab http://shkolo.ru

Sirtda. Biri x, ikkinchisi y bo'lsin. Va bu chiziqlar o'zaro perpendikulyar bo'lsin (ya'ni, to'g'ri burchak ostida kesishsin). Bundan tashqari, ularning kesishish nuqtasi ikkala chiziq uchun koordinatalarning kelib chiqishi bo'ladi va birlik segmenti bir xil (1-rasm).

Shunday qilib, oldik to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, va bizning samolyotimiz koordinata tekisligiga aylandi. X va y chiziqlar koordinata o'qlari deb ataladi. Bundan tashqari, x o'qi abscissa o'qi, y o'qi esa ordinata o'qidir. Bunday tekislik odatda o'qlar nomi va mos yozuvlar nuqtasi - xOy bilan belgilanadi. To'rtburchaklar koordinatalar tizimi ham deyiladi Dekart koordinatalar tizimi, frantsuz matematiki va faylasufi Rene Dekart uni birinchi marta faol ishlata boshlaganidan beri.

To'g'ri burchaklar x va y to'g'ri chiziqlardan hosil bo'lganlar deyiladi koordinata burchaklari. Rasmda ko'rsatilganidek, har bir burchak o'z raqamiga ega. 2.

Shunday qilib, biz koordinata chizig'i haqida gapirganda, bu chiziqning har bir nuqtasi bitta koordinataga ega edi. Endi, biz koordinata tekisligi haqida gapirganda, bu tekislikning har bir nuqtasi allaqachon ikkita koordinataga ega bo'ladi. Ulardan biri x to'g'ri chiziqqa to'g'ri keladi (bu koordinata deyiladi abscissa), ikkinchisi y to'g'ri chiziqqa mos keladi (bu koordinata deyiladi ordinata). Bu shunday yoziladi: M(x;y), bu yerda x - abscissa, y - ordinata. Quyidagi kabi o'qing: "X, y koordinatali M nuqta."

Tekislikdagi nuqtaning koordinatalarini qanday aniqlash mumkin?
Endi bilamizki, samolyotdagi har bir nuqta ikkita koordinataga ega. Uning koordinatalarini bilish uchun shu nuqta orqali koordinata o‘qlariga perpendikulyar ikkita to‘g‘ri chiziq o‘tkazish kifoya. Ushbu chiziqlarning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari kerakli koordinatalar bo'ladi. Shunday qilib, masalan, rasmda. 3 M nuqtaning koordinatalari 5 va 3 ekanligini aniqladik.

Tekislikdagi nuqtani uning koordinatalari yordamida qanday qurish mumkin?
Bundan tashqari, biz tekislikdagi nuqtaning koordinatalarini allaqachon bilamiz. Va biz uning o'rnini topishimiz kerak. Aytaylik, nuqtaning koordinatalari (-2;5). Ya'ni abscissa -2 ga, ordinata esa 5 ga teng.X to'g'risi (abtsissa o'qi) ustida koordinatasi -2 bo'lgan nuqtani oling va u orqali y o'qiga parallel ravishda a to'g'ri chiziq o'tkazing. E'tibor bering, bu chiziqning istalgan nuqtasi -2 ga teng abscissaga ega bo'ladi. Endi y o'qida (ordinata o'qi) koordinatasi 5 bo'lgan nuqtani topamiz va u orqali x o'qiga parallel b to'g'ri chiziq o'tkazamiz. E'tibor bering, bu to'g'rining istalgan nuqtasi 5 ga teng ordinataga ega bo'ladi. a va b chiziqlar kesishmasida (-2;5) koordinatali nuqta bo'ladi. Uni P harfi bilan belgilaymiz (4-rasm).

Yana shuni qo'shamizki, barcha nuqtalari abscissalar -2 bo'lgan a to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan.
x = -2 yoki bu x = -2 a chiziq tenglamasi. Qulaylik uchun biz "x = -2 tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq" emas, balki oddiygina "to'g'ri chiziq x = -2" deb aytishimiz mumkin. Darhaqiqat, a to'g'rining istalgan nuqtasi uchun x = -2 tengligi to'g'ri bo'ladi. Va barcha nuqtalari ordinatasi 5 bo'lgan b chiziq, o'z navbatida y = 5 tenglama bilan berilgan yoki y = 5 b chiziqning tenglamasidir.

Koordinata tekisligi nima?

"Koordinatalar" atamasi dan tarjima qilingan lotin tili“buyurtma qilingan” so‘zini anglatadi.

Aytaylik, nuqtaning tekislikdagi o'rnini ko'rsatishimiz kerak. Buning uchun 2 ta perpendikulyar to'g'ri chiziqni olamiz, ular koordinata o'qlari deb ataladi, bu erda X - abscissa o'qi, Y - ordinata o'qi, koordinatalarning boshi esa O nuqta bo'ladi. Koordinata o'qlari yordamida hosil qilingan to'g'ri burchaklar. koordinata burchaklari deb ataladi.

Shunday qilib, biz ta'rifga keldik va endi bilamizki, koordinata tekisligi berilgan koordinatalar tizimiga ega bo'lgan tekislikdir.

Endi koordinata burchaklarining raqamlanishini ko'rib chiqamiz:

Endi to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasini ekranga chiqaramiz va undagi M nuqtani belgilaymiz.

Keyinchalik, M nuqta orqali Y o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni o'tkazishimiz kerak.Endi, nima olganimizni ko'rib chiqamiz. Ko'rib turganimizdek, to'g'ri chiziq X o'qini koordinatasi -2 ga teng bo'ladigan nuqtada kesib o'tadi. Bu koordinata M nuqtaning abssissasidir.

Endi biz M nuqta orqali X o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni o'tkazishimiz kerak.

Bu to‘g‘ri chiziq X o‘qini koordinatasi uch ga teng bo‘lgan nuqtada kesib o‘tishini ko‘ramiz. Bu koordinata M nuqtaning ordinatasi bo'ladi.

Joriy M ning koordinatalarini yozish quyidagicha ko'rinadi:

Bunday yozuvda abscissa har doim birinchi o'ringa, ordinata ikkinchi o'ringa qo'yiladi. Agar M(-2;3) nuqta koordinatalari misolini ko'rib chiqsak, u holda -2 M nuqtaning abssissasi vazifasini bajaradi va bu nuqtaning ordinatasi 3 raqami bo'ladi.

Bundan kelib chiqadiki, koordinata tekisligida har bir M nuqta uning absissasi va ordinatasi kabi sonlar juftligiga mos keladi. Qarama-qarshi bayonot ham to'g'ri bo'ladi, ya'ni har bir bunday raqamlar juftligi bu raqamlar koordinatalari bo'lgan tekislikdagi bitta nuqtaga to'g'ri keladi.

Mashq:

Hayotdagi koordinata tekisligi

Sizningcha, bu foydali bo'lishi mumkinmi? Kundalik hayot koordinata tekisligi haqida bilim? Va siz hech qachon "koordinatalaringizni qoldiring" yoki "qaysi koordinatalarni topishingiz mumkin" kabi iborani eshitganmisiz? Va bu iboralar nimani anglatishi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz?

Ma'lum bo'lishicha, hamma narsa juda oddiy va oddiy va bu u yoki bu ob'ektning joylashishini anglatadi, bu orqali odamni yoki ma'lum bir joyni topish oson. Ishonch bilan aytishimiz mumkinki, koordinata tizimlari insonning amaliy hayotida hamma joyda zarurdir.

Bunday koordinatalar tizimi uy manzili, telefon raqami, ish joyi va boshqalar bo'lishi mumkin.

Axir, poezdga chipta sotib olayotganda ham, siz nafaqat uning raqami va manzilini bilishingiz, balki vagon raqami va o'rindiqni ham ko'rsatishingiz kerak.

Sinfdoshingizni ziyorat qilish uchun faqat u yashaydigan uyni bilish kifoya emas, balki kvartiraning raqamini ham bilishingiz kerak.

Mashq qilish

1. Teatrga joylashish uchun qanday ma'lumotlarni bilishingiz kerak?
2. Yer yuzasidagi nuqtalarni aniqlash uchun qanday ma'lumotlarga ega bo'lish kerak?
3. Kinoteatrdagi joyni qanday koordinatalar yordamida aniqlash mumkin?
4. Donaning shaxmat taxtasidagi holatini aniqlash uchun nimani bilish kerak?
5. O'ynaganda qanday koordinatalardan foydalanasiz dengiz jangi?

Tarixiy ma'lumotnoma

Koordinatalardan foydalanish g'oyasi qadimgi davrlarga borib taqaladi. Dastlab, astronomlar ulardan samoviy jismlarni aniqlash va geograflar - Yer yuzasidagi joylashuv va ob'ektlarni aniqlash uchun foydalana boshladilar.

Qadimgi yunon astronomi Klavdiy Plotomeusning asarlari tufayli ikkinchi asrda olimlar uzunlik va kenglikni aniqlashni o'rgandilar.

Bilasizmi, nima uchun matematikada "Kartezian koordinata tizimi" degan narsa bor? Ma’lum bo‘lishicha, umumiy matematik ahamiyatga ega bo‘lgan koordinata usulini 17-asrda fransuz matematiklari Per Ferma va Rene Dekartlar kashf etgan va 1637 yilda Rene Dekart birinchi marta geometriyaga oid kitobida ta’riflagan.

Ammo "abscissa", "ordinata" va "koordinatalar" atamalari birinchi marta XVII asrda Vilgelm Leybnits tomonidan kiritilgan.

Uy vazifasi:

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

Kirish

Kattalar nutqida siz quyidagi iborani eshitgan bo'lishingiz mumkin: "Menga koordinatalaringizni qoldiring." Bu ibora suhbatdosh o'z manzilini yoki telefon raqamini topish mumkin bo'lgan joyda qoldirishi kerakligini anglatadi. "Dengiz jangi" ni o'ynaganlaringiz tegishli koordinatalar tizimidan foydalanganlar. Xuddi shunday koordinatalar tizimi shaxmatda ham qo'llaniladi. Kino zalidagi o'rindiqlar ikki raqam bilan belgilanadi: birinchi raqam qator raqamini, ikkinchi raqam esa ushbu qatordagi o'rindiq sonini bildiradi. Nuqtaning tekislikdagi o'rnini raqamlar yordamida ko'rsatish g'oyasi qadimgi davrlarda paydo bo'lgan. Koordinatalar tizimi insonning butun amaliy hayotiga kiradi va juda katta ahamiyatga ega amaliy foydalanish. Shuning uchun biz "Koordinatalar tekisligi" mavzusidagi bilimimizni kengaytirish uchun ushbu loyihani yaratishga qaror qildik.

Loyiha maqsadlari:

tekislikda to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasining paydo bo'lish tarixi bilan tanishish;

ushbu mavzuga aloqador taniqli shaxslar;

qiziqarli toping tarixiy faktlar;

koordinatalarni quloq bilan yaxshi qabul qilish; konstruksiyalarni aniq va aniq bajarish;

taqdimot tayyorlang.

I bob. Koordinata tekisligi

Raqamlar yordamida tekislikdagi nuqtaning o'rnini aniqlash g'oyasi qadimgi davrlarda - birinchi navbatda astronomlar va geograflar orasida yulduz va geografik xaritalar va kalendarlarni tuzishda paydo bo'lgan.

§1. Koordinatalarning kelib chiqishi. Geografiyada koordinatalar tizimi

Miloddan avvalgi 200 yil yunon olimi Gipparx geografik koordinatalarni kiritgan. U geografik xaritada parallellar va meridianlarni chizishni, kenglik va uzunlikni raqamlar bilan ko'rsatishni taklif qildi. Ushbu ikki raqamdan foydalanib, siz orol, qishloq, tog' yoki quduqning cho'ldagi o'rnini aniq aniqlashingiz va ularni xarita yoki globusga chizishingiz mumkin.Kemaning ochiq dunyoda joylashgan joyining kengligi va uzunligini aniqlashni o'rgangan dengizchilar o‘zlariga kerakli yo‘nalishni tanlay olishdi.

Sharqiy uzunlik va shimoliy kenglik plyus belgisi bilan raqamlar bilan, g'arbiy uzunlik va janubiy kenglik esa minus belgisi bilan raqamlar bilan ko'rsatilgan. Shunday qilib, imzolangan raqamlar juftligi globusdagi nuqtani noyob tarzda aniqlaydi.

Geografik kenglik? - ma'lum nuqtadagi plumb chizig'i va ekvator tekisligi orasidagi burchak, ekvatorning ikkala tomonida 0 dan 90 gacha o'lchanadi. Geografik uzunlik? - berilgan nuqtadan oʻtuvchi meridian tekisligi bilan meridianning kelib chiqish tekisligi orasidagi burchak (q. Grinvich meridiani). Meridian boshidan sharqda 0 dan 180 gacha bo'lgan uzunliklar sharqiy, g'arbga esa g'arbiy deb ataladi.

Shaharda ma'lum bir ob'ektni topish uchun ko'p hollarda uning manzilini bilish kifoya. Agar siz, masalan, yozgi uy yoki o'rmonda joylashgan joyni tushuntirishingiz kerak bo'lsa, qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Geografik koordinatalar joylashuvni ko'rsatishning universal vositasidir.

Favqulodda vaziyatga duch kelganda, odam qilish kerak bo'lgan birinchi narsa bu hududda harakatlana olishdir. Ba'zan sizning joylashuvingizning geografik koordinatalarini aniqlash kerak, masalan, qutqaruv xizmatiga uzatish yoki boshqa maqsadlar uchun.

Zamonaviy navigatsiya standart sifatida WGS-84 dunyo bo'ylab koordinata tizimidan foydalanadi. Internetdagi barcha GPS-navigatorlar va yirik kartografik loyihalar ushbu koordinatalar tizimida ishlaydi. WGS-84 tizimidagi koordinatalar universal vaqt kabi keng tarqalgan va hamma tomonidan tushuniladi. U bilan ishlashda odatda mavjud aniqlik geografik koordinatalar yerdan 5-10 metr balandlikda joylashgan.

Geografik koordinatalar imzolangan raqamlar (kenglik -90° dan +90° gacha, uzunlik -180° dan +180° gacha) boʻlib, turli shakllarda yozilishi mumkin: darajalarda (ddd.ddddd°); daraja va daqiqalar (ddd° mm.mmmm"); darajalar, daqiqalar va soniyalar (ddd° mm" ss.s"). Yozuv shakllari osongina bir-biriga aylantirilishi mumkin (1 daraja = 60 daqiqa, 1 daqiqa = 60 soniya). ) Koordinatalar belgisini ko'rsatish uchun ko'pincha asosiy yo'nalishlarning nomlariga asoslangan harflar qo'llaniladi: N va E - shimoliy kenglik va sharqiy uzunlik - musbat raqamlar, S va W - janubiy kenglik va g'arbiy uzunlik - manfiy raqamlar.

DEGREES da koordinatalarni yozish shakli qo'lda kiritish uchun eng qulay va raqamning matematik yozuviga to'g'ri keladi. Koordinatalarni DARAJA VA MINUTLARda yozish shakli ko'p hollarda afzallik beriladi; bu format ko'pchilik GPS navigatorlarida sukut bo'yicha o'rnatiladi va odatda aviatsiya va dengizda qo'llaniladi. Klassik shakl DARAJA, DAQIQA VA SECONDS koordinatalarini yozib olish unchalik amaliy foyda keltirmaydi.

§2. Astronomiyada koordinatalar tizimi. Burjlar haqidagi afsonalar

Yuqorida aytib o'tilganidek, raqamlar yordamida tekislikdagi nuqtaning o'rnini ko'rsatish g'oyasi qadimgi davrlarda astronomlar orasida yulduz xaritalarini tuzishda paydo bo'lgan. Odamlar vaqtni hisoblashlari, mavsumiy hodisalarni (ko'tarilishlar, mavsumiy yomg'irlar, suv toshqini) bashorat qilishlari va sayohat paytida erlarda harakat qilishlari kerak edi.

Astronomiya yulduzlar, sayyoralar, samoviy jismlar, ularning tuzilishi va rivojlanishi.

Ming yillar o'tdi, ilm-fan ancha oldinga qadam tashladi, lekin odamlar hali ham tungi osmonning go'zalligidan ko'zlarini uzolmayaptilar.

Burjlar - hududlar yulduzli osmon, yorqin yulduzlar tomonidan yaratilgan xarakterli raqamlar. Butun osmon 88 ta yulduz turkumiga bo'lingan, bu yulduzlar orasida harakat qilishni osonlashtiradi. Burjlar nomlarining aksariyati antik davrdan kelib chiqqan.

Eng mashhur yulduz turkumi - Buyuk Ursa. IN Qadimgi Misr uni "gippopotamus" deb atashgan va qozoqlar uni "bog'langan ot" deb atashgan, garchi tashqi tomondan yulduz turkumi u yoki bu hayvonga o'xshamaydi. Bu qanday?

Qadimgi yunonlar Katta va Kichik burjlar haqida afsonaga ega edilar. Qudratli xudo Zevs Afrodita ma'budasining xizmatkorlaridan biri bo'lgan go'zal nimfa Kalisto bilan turmush qurishga qaror qildi. Kalistoni ma’buda ta’qibidan qutqarish uchun Zevs Kalistoni Mayorga, sevimli itini Kichik Ursaga aylantirdi va ularni osmonga olib ketdi. Katta va Kichik yulduz turkumlarini yulduzli osmondan koordinata tekisligiga o'tkazing. . Katta Kepadagi yulduzlarning har biri o'z nomiga ega.

URSA Ajoyib

Men buni BUCKET orqali taniyman!

Bu yerda yetti yulduz porlaydi

Mana ularning ismlari:

DUBHE zulmatni yoritadi,

Uning yonida MERAK yonmoqda,

Yon tomonda MEGRETZ bilan FEKDA,

Jasoratli odam.

MEGRETZdan jo'nash uchun

ALIOT joylashgan

Va uning orqasida - ALCOR bilan MITZAR

(Bu ikkalasi hamjihatlikda porlaydilar.)

Choyshabimiz yopiladi

Taqqoslab bo'lmaydigan BENETNASH.

U ko'ziga ishora qiladi

BOOTES yulduz turkumiga yo'l,

Go'zal ARCTURUS porlayotgan joyda,

Endi hamma unga e'tibor beradi!

Cepheus, Cassiopeia va Andromeda yulduz turkumlari haqida bir xil darajada chiroyli afsona.

Bir paytlar Efiopiya qirol Kefey tomonidan boshqarilgan. Bir kuni uning rafiqasi qirolicha Kassiopiya o'zining go'zalligini dengiz aholisi - Nereidlarga ko'rsatish uchun ehtiyotsizlik qildi. Ikkinchisi xafa bo'lib, dengiz xudosi Poseydonga shikoyat qildi va dengizlar hukmdori Kassiopiyaning beadabligidan g'azablanib, dengiz yirtqich hayvonini - kitni Efiopiya qirg'oqlariga qo'yib yubordi. O'z shohligini vayron qilishdan qutqarish uchun Kefey oracle maslahatiga ko'ra, yirtqich hayvonga qurbonlik qilishga va unga sevimli qizi Andromedani yutib yuborishga qaror qildi. U Andromedani qirg'oq bo'yidagi qoyaga kishanlab qo'ydi va uni taqdiri qarorini kutgan holda qoldirdi.

Va bu vaqtda, dunyoning narigi tomonida, afsonaviy qahramon Perseus jasur jasoratni amalga oshirdi. U gorgonlar yashaydigan tanho orolga kirdi - boshlari sochlar o'rniga ilonlarga to'lib-toshgan ayollar qiyofasidagi hayratlanarli hayvonlar. Gorgonlarning nigohi shunchalik dahshatli ediki, ular qaragan har bir kishi bir zumda toshga aylandi.

Bu yirtqich hayvonlarning uyqusidan foydalanib, Perseus ulardan biri Gorgon meduzasining boshini kesib tashladi. O'sha paytda Pegasus oti Meduzaning kesilgan tanasidan uchib chiqdi. Perseus meduzaning boshini ushlab, Pegasusga sakrab tushdi va havo orqali o'z vataniga yugurdi. U Efiopiya ustidan uchib o'tganida, Andromedani toshga zanjirband qilganini ko'rdi. Ayni damda kit allaqachon dengiz tubidan chiqib, qurbonini yutib yuborishga hozirlanayotgan edi. Ammo Perseus Keyt bilan halokatli jangga kirishib, yirtqich hayvonni mag'lub etdi. U Keytga hali kuchini yo'qotmagan meduzaning boshini ko'rsatdi va yirtqich hayvon toshga aylanib, orolga aylandi. Persega kelsak, Andromedani zanjirdan bo'shatib, uni otasiga qaytardi va Kefey xursandchilik bilan harakatlanib, Andromedani Perseyga xotin qilib berdi. Bu hikoya shunday baxtli yakunlandi, uning asosiy qahramonlari qadimgi yunonlar tomonidan osmonga joylashtirilgan.

Yulduzli xaritada siz nafaqat otasi, onasi va eri bilan Andromedani, balki sehrli Pegasus otini va barcha muammolarning aybdori - yirtqich hayvon Keytni topishingiz mumkin.

Ketus yulduz turkumi Pegas va Andromeda ostida joylashgan. Afsuski, u hech qanday xarakterli yorqin yulduzlar bilan belgilanmagan va shuning uchun kichik yulduz turkumlari soniga kiradi.

§3. Rasmda to'rtburchaklar koordinatalari g'oyasidan foydalanish.

To'rtburchaklar koordinatalari g'oyasini to'rtburchaklar panjara (palitra) shaklida qo'llash izlari Qadimgi Misr qabristonlaridan birining devorida tasvirlangan. Ota Ramses piramidasining dafn xonasida devorda kvadratchalar tarmog'i mavjud. Ularning yordami bilan tasvir kattalashtirilgan shaklda uzatiladi. Uyg'onish davri rassomlari ham to'rtburchaklar panjaradan foydalanganlar.

“Perspektiv” so‘zi lotincha “aniq ko‘rish” degan ma’noni anglatadi. IN tasviriy san'at chiziqli istiqbol - ob'ektlarning o'lchamlaridagi ko'rinadigan o'zgarishlarga muvofiq tekislikdagi tasviri. Asos zamonaviy nazariya Uyg'onish davrining buyuk rassomlari - Leonardo da Vinchi, Albrext Dyurer va boshqalar tomonidan istiqbollar yaratilgan. Dyurerning gravyuralaridan birida (3-rasm) hayotdan shisha orqali unga kvadrat panjara qo'yilgan holda chizish usuli tasvirlangan. Ushbu jarayonni quyidagicha ta'riflash mumkin: agar siz deraza oldida tursangiz va o'z nuqtai nazaringizni o'zgartirmasdan, uning orqasida ko'rinadigan hamma narsani oynaga aylantirsangiz, natijada kosmosning istiqbolli tasviri bo'ladi.

Kvadrat panjara naqshlariga asoslangan ko'rinadigan Misr dizayn usullari. Misr san'atida rassomlar va haykaltaroshlar dastlab devorga panjara chizganliklarini ko'rsatadigan ko'plab misollar mavjud, ular belgilangan nisbatlarni saqlab qolish uchun bo'yalgan yoki o'yilgan bo'lishi kerak edi. Ushbu to'rlarning oddiy raqamli aloqalari barcha buyuklarning asosini tashkil etadi san'at asarlari misrliklar

Xuddi shu usul Uyg'onish davrining ko'plab rassomlari, shu jumladan Leonardo da Vinchi tomonidan qo'llanilgan. Qadimgi Misrda bu Buyuk Piramidada mujassamlangan bo'lib, u Marlboro Daunidagi naqsh bilan chambarchas bog'liqligi bilan mustahkamlangan.

Ishni boshlaganda misrlik rassom devorni to'g'ri chiziqlar bilan to'sib qo'ydi va keyin raqamlarni ehtiyotkorlik bilan unga o'tkazdi. Ammo geometrik tartiblilik unga tabiatni batafsil aniqlik bilan qayta yaratishga to'sqinlik qilmadi. Har bir baliq, har bir qushning tashqi ko'rinishi shu qadar haqiqat bilan etkazilganki, zamonaviy zoologlar ularning turlarini osongina aniqlashlari mumkin. 4-rasmda rasmdagi kompozitsiyaning tafsiloti ko'rsatilgan - Xnumxotep to'rida qushlar tutilgan daraxt. Rassom qo'lining harakatiga nafaqat uning mahorat zahirasi, balki tabiat konturlariga sezgir ko'zlari ham rahbarlik qilgan.

Fig.4 Akasiya ustidagi qushlar

II bob. Matematikada koordinata usuli

§1. Koordinatalarning matematikada qo'llanilishi. Xizmatlar

Fransuz matematigi Rene Dekart

Uzoq vaqt davomida faqat geografiya "er tavsifi" bu ajoyib ixtirodan foydalangan va faqat 14-asrda frantsuz matematigi Nikolas Oresme (1323-1382) uni "er o'lchovi" - geometriyaga qo'llashga harakat qilgan. U samolyotni to'rtburchaklar to'r bilan qoplashni taklif qildi va biz hozir abscissa va ordinata deb ataydigan kenglik va uzunlikni chaqirishni taklif qildi.

Ushbu muvaffaqiyatli innovatsiyaga asoslanib, geometriyani algebra bilan bog'laydigan koordinata usuli paydo bo'ldi. Bu usulning yaratilishida asosiy hissa buyuk frantsuz matematigi Rene Dekartga (1596 - 1650) tegishli. Uning sharafiga bunday koordinatalar tizimi Dekart deb ataladi, bu tekislikdagi har qanday nuqtaning joylashishini shu nuqtadan "nol kenglik" - abscissa o'qi va "nol meridian" - ordinata o'qigacha bo'lgan masofalar bilan ko'rsatadi.

Biroq, XVII asrning (1596 - 1650) bu ajoyib frantsuz olimi va mutafakkiri hayotda darhol o'z o'rnini topa olmadi. Aslzoda oilasida tug‘ilgan Dekart yaxshi ta’lim oldi. 1606 yilda otasi uni La Fleche iezuit kollejiga yubordi. Dekartning sog'lig'i unchalik yaxshi emasligini hisobga olib, unga bu qat'iy rejimda biroz imtiyozlar berildi. ta'lim muassasasi, masalan, boshqalarga qaraganda kechroq turishga ruxsat berildi. Kollejda ko'p bilimlarga ega bo'lgan Dekart bir vaqtning o'zida sxolastik falsafaga nisbatan antipatiya bilan singib ketdi va uni butun umri davomida saqlab qoldi.

Kollejni tugatgach, Dekart o'qishni davom ettirdi. 1616 yilda Poitiers universitetida huquqshunoslik bo'yicha bakalavr darajasini oldi. 1617 yilda Dekart armiyaga kirdi va butun Evropa bo'ylab ko'p sayohat qildi.

1619 yil Dekart uchun ilmiy jihatdan muhim yil bo'ldi.

Aynan o'sha paytda, u o'z kundaligida yozganidek, unga yangi "eng hayratlanarli fan" asoslari ochildi. Ehtimol, Dekart universal ilmiy usulni kashf qilishni nazarda tutgan bo'lib, keyinchalik u turli fanlarda samarali qo'llagan.

16-asrning 20-yillarida Dekart matematik M. Mersen bilan uchrashdi va u orqali uzoq yillar davomida butun Yevropa ilmiy jamoatchiligi bilan “aloqada boʻldi”.

1628 yilda Dekart Gollandiyada 15 yildan ortiq joylashdi, lekin hech bir joyda turmadi, balki o'z yashash joyini yigirma marta o'zgartirdi.

1633 yilda Galileyning cherkov tomonidan qoralanganini bilib, Dekart materiyaning mexanik qonunlariga ko'ra koinotning tabiiy kelib chiqishi haqidagi g'oyalarni bayon qilgan "Dunyo" tabiiy falsafiy asarini nashr etishdan bosh tortdi.

1637 yilda frantsuz Dekartning "Usul bo'yicha nutq" asari nashr etilgan bo'lib, ko'pchilikning fikricha, zamonaviy Evropa falsafasi shu bilan boshlangan.

Dekartning 1649-yilda nashr etilgan soʻnggi falsafiy asari “Ruh ehtiroslari” ham Yevropa tafakkuriga katta taʼsir koʻrsatdi.Oʻsha yili Dekart Shvetsiya qirolichasi Kristinaning taklifiga binoan Shvetsiyaga boradi. Qattiq iqlim va g'ayrioddiy rejim (qirolicha Dekartni dars berish va boshqa topshiriqlarni bajarish uchun ertalab soat 5 da turishga majbur qildi) Dekartning sog'lig'iga putur etkazdi va shamollab qolib, u Dekartning sog'lig'iga putur etkazdi.

pnevmoniyadan vafot etgan.

Dekart kiritgan an'anaga ko'ra, nuqtaning "kengligi" x harfi bilan, "uzunligi" y harfi bilan belgilanadi.

Joyni ko'rsatishning ko'plab usullari ushbu tizimga asoslanadi.

Masalan, kinoteatr chiptasida ikkita raqam mavjud: qator va o'rindiq - ularni teatrdagi o'rindiqning koordinatalari deb hisoblash mumkin.

Xuddi shunday koordinatalar shaxmatda ham qabul qilinadi. Raqamlardan birining o'rniga harf olinadi: kataklarning vertikal qatorlari lotin alifbosi harflari bilan, gorizontal qatorlar esa raqamlar bilan belgilanadi. Shunday qilib, shaxmat taxtasining har bir kvadratiga bir juft harf va raqamlar beriladi va shaxmatchilar o'z o'yinlarini yozib olishlari mumkin. Konstantin Simonov o'zining "Artilleriya o'g'li" she'rida koordinatalardan foydalanish haqida yozadi.

Tun bo'yi mayatnik kabi yurib,

Mayor ko'zlarini yummadi,

Ertalab radioda xayr

Birinchi signal keldi:

"Yaxshi emas, men u erga keldim,

Nemislar mening chap tomonimda,

Koordinatalar (3;10),

Tez orada olov yoqaylik!

Qurollar o'rnatilgan

Mayor hammasini o‘zi hisoblab chiqdi.

Va birinchi zarbalar shovqin bilan

Ular tog'larga urishdi.

Va yana radioda signal:

"Nemislar mendan ko'ra haqliroq,

Koordinatalar (5; 10),

Tez orada yana olov!

Yer va toshlar uchdi,

Bir ustunda tutun ko'tarildi.

Endi u yerdan shunday tuyuldi

Hech kim tirik qolmaydi.

Uchinchi radio signal:

"Atrofimda nemislar bor,

Koordinatalar (4; 10),

Olovni ayamang.

Mayorning rangi oqarib ketdi:

(4;10) - shunchaki

Uning Lyonka joylashgan joyi

Hozir o'tirish kerak.

Konstantin Simonov "Artilleriyachining o'g'li"

§2. Koordinatalar tizimining ixtirosi haqidagi afsonalar

Dekart nomi bilan atalgan koordinatalar tizimining ixtirosi haqida bir qancha afsonalar mavjud.

Afsona 1

Bu hikoya bizning davrimizga qadar yetib kelgan.

Parij teatrlariga tashrif buyurgan Dekart zalda tomoshabinlarni taqsimlashning oddiy tartibining yo'qligi tufayli yuzaga kelgan tartibsizliklar, janjallar va ba'zan duelga qiyinchiliklardan hayratda qolishdan charchamasdi. U taklif qilgan raqamlash tizimi, har bir o'rindiq chekkadan qator raqami va seriya raqamini oldi, darhol tortishuvning barcha sabablarini olib tashladi va Parijning yuqori jamiyatida haqiqiy sensatsiyani yaratdi.

Afsona 2. Bir kuni Rene Dekart kun bo‘yi karavotda yotib, nimalarnidir o‘ylardi, bir pashsha g‘uvillab, unga diqqatini jamlashga imkon bermadi. U har qanday vaqtda pashshaning holatini matematik tarzda qanday tasvirlash haqida o'ylay boshladi, chunki uni o'tkazib yubormasdan. Va... u insoniyat tarixidagi eng buyuk ixtirolardan biri bo‘lgan Dekart koordinatalarini o‘ylab topdi.

Markovtsev Yu.

Bir paytlar notanish shaharda

Yosh Dekart keldi.

U ochlikdan qattiq qiynalgan.

Mart oyining sovuq oyi edi.

Men o'tkinchidan so'rashga qaror qildim

Dekart titroqni tinchlantirishga urinib:

Mehmonxona qayerda, aytingchi?

Va xonim tushuntira boshladi:

- Sut do'koniga boring

Keyin nonvoyxonaga, uning orqasiga

Lo'li ayol igna sotadi

Va kalamushlar va sichqonlar uchun zahar,

Siz ularni albatta topasiz

Pishloqlar, pechene, mevalar

Va rangli ipaklar ...

Men bu tushuntirishlarning barchasini tingladim

Sovuqdan titrayotgan Dekart.

U haqiqatan ham ovqatlanmoqchi edi

- Do'konlar ortida dorixona joylashgan

(dorixonada mo'ylovli shved bor),

Va asrning boshlarida joylashgan cherkov

Bobom turmushga chiqqan shekilli...

Xonim bir zum jim qolganida,

Birdan uning xizmatkori dedi:

- To'g'ri uch blokda yuring

Va ikkita o'ngga. Burchakdan kirish.

Bu Dekartga koordinatalar haqidagi g'oyani bergan voqea haqidagi uchinchi ertak.

Xulosa

Loyihamizni yaratish jarayonida biz koordinata tekisligining fan va kundalik hayotning turli sohalarida qo‘llanilishi, koordinata tekisligining paydo bo‘lish tarixidan ba’zi ma’lumotlar va ushbu ixtiroga katta hissa qo‘shgan matematiklar haqida bilib oldik. Ishni yozish jarayonida biz to'plagan materiallar maktab to'garaklari darslarida, darslarga qo'shimcha material sifatida ishlatilishi mumkin. Bularning barchasi maktab o'quvchilarini qiziqtirishi va o'quv jarayonini yanada yorqinroq qilishi mumkin.

Va biz ushbu so'zlar bilan yakunlashni xohlaymiz:

“Hayotingizni koordinatali tekislik sifatida tasavvur qiling. Y o'qi - bu sizning jamiyatdagi mavqeingiz. X o'qi oldinga, maqsad sari, orzuingiz tomon harakatlanmoqda. Va biz bilganimizdek, bu cheksizdir ... biz pastga tushishimiz, minusga borishimiz mumkin, biz nolda qolishimiz va hech narsa qilmasligimiz mumkin, mutlaqo hech narsa. Biz ko'tarilishimiz, yiqilishimiz, oldinga yoki orqaga qaytishimiz mumkin va buning hammasi, chunki bizning butun hayotimiz koordinata tekisligidir va bu erda eng muhimi, sizning koordinatangiz qanday bo'lishidir ... "

Bibliografiya

Glazer G.I. Maktabda matematika tarixi: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 pp., kasal.

Lyatker Ya.A.Dekart. M.: Mysl, 1975. - (O'tmish mutafakkirlari)

Matvievskaya G. P. Rene Dekart, 1596-1650. M.: Nauka, 1976 yil.

A. Savin. Koordinatalar Kvant. 1977 yil. 9-son

Matematika - "Birinchi sentyabr" gazetasining ilovasi, 2003 yil 7-son, 20-son, 2003 yil 17-son, 2000 yil 11-son.

Siegel F.Yu. Yulduzli alifbo: talabalar uchun qo'llanma. - M.: Ta'lim, 1981. - 191 pp., illus.

Stiv Parker, Nikolas Xarris. Bolalar uchun tasvirlangan ensiklopediya. Koinot sirlari. Xarkov Belgorod. 2008 yil

http://istina.rin.ru/ saytidan materiallar