To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro joylashuvi qanday holatlardan iborat. To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro o'rni, ikkita tekislik. Prizma. Ta'rif. Elementlar. Prizmalarning turlari
To'g'ri chiziq tekislikka tegishli yoki bo'lmasligi mumkin. Agar uning kamida ikkita nuqtasi tekislikda yotsa, u tekislikka tegishli. 93-rasmda Sum tekisligi ko'rsatilgan (axb). Streyt l Sum tekisligiga tegishli, chunki uning 1 va 2 nuqtalari shu tekislikka tegishli.
Agar chiziq tekislikka tegishli bo'lmasa, u unga parallel yoki kesishishi mumkin.
Chiziq tekislikka parallel bo'ladi, agar u shu tekislikda yotgan boshqa chiziqqa parallel bo'lsa. 93-rasmda to'g'ri chiziq mavjud m || so'm, chunki u chiziqqa parallel l bu samolyotga tegishli.
To'g'ri chiziq tekislikni turli burchaklarda kesishi va, xususan, unga perpendikulyar bo'lishi mumkin. To'g'ri chiziq va tekislikning kesishish chiziqlarini qurish §61da keltirilgan.
93-rasm - Tekislikka tegishli to'g'ri chiziq
Tekislikka nisbatan nuqta quyidagi tarzda joylashishi mumkin: unga tegishli yoki unga tegishli emas. Agar nuqta shu tekislikda joylashgan to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa, u tekislikka tegishlidir. 94-rasmda ikkita parallel chiziq bilan aniqlangan Sum tekisligining murakkab chizmasi ko'rsatilgan l Va P. Samolyotda chiziq bor m. A nuqta to'g'ri chiziq ustida joylashgani uchun Sum tekisligida yotadi m. Nuqta IN tekislikka tegishli emas, chunki uning ikkinchi proyeksiyasi chiziqning mos keladigan proyeksiyalarida yotmaydi.
94-rasm - Ikki parallel chiziq bilan aniqlangan tekislikning murakkab chizmasi
Konussimon va silindrsimon yuzalar
Konussimon sirtlarga to'g'ri chiziqli generatrixning harakatidan hosil bo'lgan sirtlar kiradi l egri chiziq bo'ylab m. Konussimon sirt hosil bo'lishining o'ziga xos xususiyati shundaki, bu holda generatrixning bir nuqtasi doimo harakatsiz bo'ladi. Bu nuqta konussimon sirtning cho'qqisidir (95-rasm, A). Konussimon yuzaning determinantiga cho'qqi kiradi S va hidoyat m, unda l"~S; l"^ m.
Silindrsimon sirtlar to'g'ri generatrix tomonidan hosil qilingan / egri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi yuzalardir T berilgan yo'nalishga parallel S(95-rasm, b). Silindrsimon sirtni cheksizlikda cho'qqisi bo'lgan konusning maxsus holati sifatida ko'rib chiqish mumkin. S.
Silindrsimon yuzaning determinanti yo'riqnomadan iborat T va yo'nalishlar S shakllantirish l, esa l" || S; l"^m.
Agar silindrsimon yuzaning generatorlari proyeksiya tekisligiga perpendikulyar bo'lsa, unda bunday sirt deyiladi. proyeksiyalash. 95-rasmda V gorizontal proyeksiyalovchi silindrsimon sirt ko'rsatilgan.
Silindrsimon va konussimon yuzalarda berilgan nuqtalar ular orqali o'tuvchi generatrislar yordamida quriladi. Sirtdagi chiziqlar, masalan, chiziq A 95 raqamiga, V yoki gorizontal h 95-rasmda, a, b, bu chiziqlarga tegishli alohida nuqtalar yordamida quriladi.
95-rasm - Konus va silindrsimon yuzalar
Torso sirtlari
Torso yuzasi - bu to'g'ri chiziqli generatrix tomonidan hosil qilingan sirt l, uning harakati davomida uning barcha pozitsiyalarida qandaydir fazoviy egri chiziqqa tegib T, chaqirdi qaytish cheti(96-rasm). Qaytish qirrasi torsonni to'liq belgilaydi va sirt determinantining geometrik qismidir. Algoritmik qism generatorlarning cho'qqi chetiga tegishini ko'rsatadi.
Konussimon sirt - bu torsoning maxsus holati bo'lib, uning orqa tomoni bor T nuqtaga aylangan S- konussimon yuzaning yuqori qismi. Silindrsimon sirt - bu torsoning maxsus holati bo'lib, uning orqa tomoni cheksizlik nuqtasidir.
96-rasm - Torso yuzasi
Yuzli yuzalar
Yuzli yuzalarga toʻgʻri chiziqli generatrix harakatidan hosil boʻlgan sirtlar kiradi l buzilgan qo'llanma bo'ylab m. Bundan tashqari, agar bitta nuqta S generatrix harakatsiz, piramidal sirt hosil bo'ladi (97-rasm), agar generatrix harakatlanayotganda ma'lum bir yo'nalishga parallel bo'lsa S, keyin prizmatik sirt hosil bo'ladi (98-rasm).
Fasetli yuzalarning elementlari quyidagilardir: vertex S(prizmatik sirt yaqinida u abadiylikda), yuz (yo'riqnomaning bir qismi bilan cheklangan tekislikning bir qismi m va unga nisbatan generatrixning ekstremal pozitsiyalari l) va chekka (qo'shni yuzlarning kesishish chizig'i).
Piramidal yuzaning determinantiga cho'qqi kiradi S, generatorlar va yo'riqnomalar o'tadi: l" ~ S; l^ T.
Qo'llanmadan boshqa prizmatik sirtni aniqlovchi T, yo'nalishini o'z ichiga oladi S, unga barcha generatorlar parallel l yuzalar: l||S; l^ t.
97-rasm - Piramida yuzasi
98-rasm - Prizmatik sirt
Muayyan sonli (kamida to'rtta) yuzdan hosil bo'lgan yopiq fasetli yuzalar ko'pburchaklar deb ataladi. Ko'pburchaklar orasidan muntazam ko'pburchaklar guruhi ajralib turadi, ularda barcha yuzlar muntazam va kongruent ko'pburchaklar, uchlaridagi ko'pburchak burchaklari esa qavariq va bir xil miqdordagi yuzlarni o'z ichiga oladi. Masalan: olti burchakli - kub (99-rasm, A), tetraedr - muntazam to'rtburchak (99-rasm, 6) oktaedr - ko'pburchak (99-rasm, V). Kristallar turli xil ko'pburchaklar shakliga ega.
99-rasm - Ko'p yuzli
Piramida- asosi ixtiyoriy ko‘pburchak, yon yuzlari esa umumiy cho‘qqisi bo‘lgan uchburchaklar bo‘lgan ko‘pburchak. S.
Murakkab chizmada piramida ularning ko'rinishini hisobga olgan holda uning uchlari va qirralarining proyeksiyalari bilan belgilanadi. Chetning ko'rinishi raqobatdosh nuqtalar yordamida aniqlanadi (100-rasm).
Shakl 100 - Raqobat nuqtalari yordamida chekka ko'rinishini aniqlash
Prizma- asosi ikkita bir xil va o'zaro parallel ko'pburchak, yon yuzlari parallelogramm bo'lgan ko'pburchak. Prizma qirralari asos tekisligiga perpendikulyar bo'lsa, bunday prizma to'g'ri prizma deyiladi. Agar prizmaning qirralari har qanday proyeksiya tekisligiga perpendikulyar bo'lsa, u holda lateral yuzasi u loyihalash deb ataladi. 101-rasmda gorizontal proyeksiyalovchi sirtga ega bo'lgan to'g'ri to'rtburchak prizmaning keng qamrovli chizmasi ko'rsatilgan.
101-rasm - Gorizontal proyeksiyalovchi sirtli to'g'ri to'rtburchak prizmaning kompleks chizmasi
Ko‘pburchakning murakkab chizmasi bilan ishlaganda uning yuzasiga chiziqlar qurish kerak, chiziq esa nuqtalar yig‘indisi bo‘lgani uchun sirtda nuqtalar yasay bilish kerak.
Bu nuqtadan o'tuvchi generatrix yordamida fasetli yuzaning istalgan nuqtasini qurish mumkin. Rasmda yuzda 100 bor ACS nuqta qurilgan M generatrix yordamida S-5.
Spiral sirtlar
Spiral sirtlarga to'g'ri chiziqli generatrixning spiral harakati natijasida hosil bo'lgan sirtlar kiradi. Ruxsat etilgan spiral yuzalar deyiladi helikoidlar.
To'g'ri chiziqli generatrixning harakatidan to'g'ri helikoid hosil bo'ladi i ikkita qo'llanma bo'ylab: spiral T va uning o'qlari i; shakllantirish paytida l vintlar o'qini to'g'ri burchak ostida kesib o'tadi (102-rasm, a). To'g'ridan-to'g'ri helikoid spiral zinapoyalarni, burg'ularni, shuningdek, dastgoh asboblarida quvvat iplarini yaratish uchun ishlatiladi.
Generatorni vintli yo'riqnoma bo'ylab harakatlantirish orqali moyil helikoid hosil bo'ladi T va uning o'qlari i shunday qilib, generator l o'qni kesib o'tadi i doimiy burchak ostida ph, to'g'ri chiziqdan farqli, ya'ni har qanday holatda generatrix l cho'qqi burchagi 2ph ga teng bo'lgan yo'naltiruvchi konusning generatorlaridan biriga parallel (102-rasm, b). Eğimli helikoidlar iplarning sirtlarini cheklaydi.
102-rasm - Helikoidlar
Inqilob yuzalari
Revolyutsiya yuzalariga chiziqni aylantirish natijasida hosil bo'lgan sirtlar kiradi l to'g'ri chiziq atrofida i , bu aylanish o'qi hisoblanadi. Ular chiziqli bo'lishi mumkin, masalan, konus yoki inqilob silindrli va chiziqli bo'lmagan yoki egri chiziqli, masalan, shar. Inqilob yuzasining determinanti generatrixni o'z ichiga oladi l va eksa i . Aylanish paytida generatrixning har bir nuqtasi tekisligi aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lgan doirani tasvirlaydi. Revolyutsiya sirtining bunday doiralari parallellar deb ataladi. Parallellarning eng kattasi deyiladi ekvator. Ekvator sirtning gorizontal konturini aniqlaydi, agar i _|_ P 1 bo'lsa . Bunday holda, parallellar bu sirtning gorizontallari hisoblanadi.
Sirtning aylanish o'qi orqali o'tadigan tekisliklar bilan kesishishi natijasida hosil bo'lgan aylanish sirtining egri chiziqlari deyiladi. meridianlar. Bitta sirtning barcha meridianlari bir-biriga mos keladi. Frontal meridian asosiy meridian deb ataladi; u aylanish sirtining frontal konturini aniqlaydi. Profil meridiani aylanish sirtining profil konturini aniqlaydi.
Sirt parallellari yordamida inqilobning egri sirtlarida nuqta qurish eng qulaydir. Rasmda 103 nuqta bor M parallel h4 ustida qurilgan.
103-rasm – Egri sirt ustida nuqta qurish
Inqilob yuzalari texnologiyada eng keng qo'llanilishini topdi. Ular ko'pchilik muhandislik qismlarining sirtlarini cheklaydi.
To'g'ri chiziqni aylantirish orqali inqilobning konussimon yuzasi hosil bo'ladi i u bilan kesishgan to'g'ri chiziq atrofida - o'q i(104-rasm, A). Nuqta M yuzasida generatrix yordamida qurilgan l va parallellar h. Bu sirt inqilob konusi yoki to'g'ri dumaloq konus deb ham ataladi.
To'g'ri chiziqni aylantirish orqali aylanishning silindrsimon yuzasi hosil bo'ladi l unga parallel bo'lgan o'q atrofida i(104-rasm, b). Bu sirt silindr yoki o'ng dumaloq silindr deb ham ataladi.
Sfera uning diametri atrofida aylana aylanishidan hosil bo'ladi (104-rasm, V). Sfera sirtidagi A nuqta bosh meridianga tegishli f, nuqta IN- ekvator h, nuqta M yordamchi parallel ustida qurilgan h".
104-rasm - Revolyutsiya yuzalarining shakllanishi
Aylana yoki uning yoyini aylana tekisligida yotgan o‘q atrofida aylantirish natijasida torus hosil bo‘ladi. Agar eksa hosil bo'lgan doira ichida joylashgan bo'lsa, unda bunday torus yopiq deb ataladi (105-rasm, a). Agar aylanish o'qi aylanadan tashqarida bo'lsa, unda bunday torus ochiq deb ataladi (105-rasm, b). Ochiq torus ham halqa deb ataladi.
105-rasm - Torusning shakllanishi
Revolyutsiya yuzalarini boshqa ikkinchi tartibli egri chiziqlar ham hosil qilishi mumkin. Aylanish ellipsoidi (106-rasm, A) ellipsni o'z o'qlaridan biri atrofida aylantirish natijasida hosil bo'lgan; inqilob paraboloidi (106-rasm, b) - parabolaning o'z o'qi atrofida aylanishi; Bir varaqli inqilob giperboloidi (106-rasm, V) giperbolani xayoliy o'q atrofida aylantirish orqali hosil bo'ladi va ikki varaqli (106-rasm, G) - giperbolaning haqiqiy o'q atrofida aylanishi.
106-rasm - Ikkinchi tartibli egri chiziqlar bo'yicha aylanish sirtlarining shakllanishi
Umumiy holda, sirtlar hosil qiluvchi chiziqlarning tarqalish yo'nalishi bo'yicha cheklanmagan holda tasvirlangan (97, 98-rasmlarga qarang). Yechimlar uchun aniq vazifalar va qabul qilish geometrik shakllar kesish tekisliklari bilan cheklangan. Masalan, dumaloq tsilindrni olish uchun silindrsimon sirtning bir qismini kesish tekisliklari bilan cheklash kerak (104-rasmga qarang, b). Natijada biz uning yuqori va pastki asoslarini olamiz. Agar kesish tekisliklari aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lsa, silindr tekis bo'ladi, agar bo'lmasa, silindr qiya bo'ladi.
Dumaloq konusni olish uchun (104-rasmga qarang, A), yuqoridan va undan tashqarida kesish kerak. Agar silindr asosining kesish tekisligi aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lsa, konus to'g'ri bo'ladi, agar bo'lmasa, u qiya bo'ladi. Agar ikkala kesuvchi tekislik cho'qqidan o'tmasa, konus kesiladi.
Kesilgan tekislikdan foydalanib, siz prizma va piramidani olishingiz mumkin. Misol uchun, olti burchakli piramida, agar uning barcha qirralari kesish tekisligiga bir xil qiyalikka ega bo'lsa, tekis bo'ladi. Boshqa hollarda u qiya bo'ladi. Agar u tugallangan bo'lsa Bilan kesish tekisliklari yordamida va ularning hech biri vertexdan o'tmaydi - piramida kesiladi.
Prizmani (101-rasmga qarang) prizmatik sirtning kesimini ikkita kesish tekisligiga cheklash orqali olish mumkin. Agar kesish tekisligi, masalan, sakkizburchak prizmaning chetlariga perpendikulyar bo'lsa, u to'g'ri, agar perpendikulyar bo'lmasa, u qiya bo'ladi.
Kesuvchi tekisliklarning mos joylashuvini tanlab, siz hal qilinayotgan masalaning shartlariga qarab geometrik figuralarning turli shakllarini olishingiz mumkin.
Masofaviy element.
masofaviy element.
- a) umumiy nuqtalari yo'q;
Teorema.
Kesishlarni belgilash
GOST 2.305-2008 bo'limni belgilash uchun quyidagi talablarni beradi:
1. Chizmada kesish tekisligining holati kesma chizig'i bilan ko'rsatilgan.
2. Kesim chizig'i uchun ochiq chiziqdan foydalanish kerak (qalinligi S dan 1,5S gacha, chiziq uzunligi 8-20 mm).
3. Murakkab kesishda, kesish tekisliklarining bir-biri bilan kesishgan joylarida ham zarbalar amalga oshiriladi.
4. O'qlarni ko'rish yo'nalishini ko'rsatadigan boshlang'ich va oxirgi zarbalarga qo'yish kerak, o'qlarni zarbaning tashqi uchidan 2-3 mm masofada joylashtirish kerak.
5. O'qlarning o'lchamlari 14-rasmda ko'rsatilganlarga mos kelishi kerak.
6. Boshlang'ich va yakuniy zarbalar mos keladigan tasvirning konturini kesib o'tmasligi kerak.
7. Bo'lim chizig'ining boshida va oxirida, agar kerak bo'lsa, kesish tekisliklari kesishmasida bir xil joylashtiring. Bosh harf Rus alifbosi. Harflar ko'rish yo'nalishini ko'rsatadigan o'qlar yaqinida va tashqi burchakdan kesishish nuqtalarida joylashtiriladi (24-rasm).
24-rasm - Bo'limni belgilashga misollar
8. Kesim "AA" kabi yozuv bilan belgilanishi kerak (har doim tire bilan ajratilgan ikkita harf).
9. Sekant tekislik butun ob'ektning simmetriya tekisligiga to'g'ri kelganda va mos keladigan tasvirlar to'g'ridan-to'g'ri proyeksiyali aloqada bir varaqda joylashgan va boshqa tasvirlar bilan ajratilmagan bo'lsa, gorizontal, frontal va profil kesmalar uchun sekant tekisligining holati qayd etilmagan va kesma yozuv bilan birga bo'lmaydi.
10. Frontal va profil bo'limlariga, qoida tariqasida, chizmaning asosiy tasvirida berilgan buyum uchun qabul qilingan holatga mos keladigan pozitsiya beriladi.
11. Gorizontal, frontal va profil bo'limlari mos keladigan asosiy ko'rinishlar o'rniga joylashtirilishi mumkin.
12. Bo'limni chizma maydonining istalgan joyiga, shuningdek, odatiy grafik belgi qo'shilishi bilan aylanish bilan joylashtirishga ruxsat beriladi - "Burlangan" belgisi (25-rasm).
25-rasm - Grafik belgisi – “Buriluvchi” belgisi
Bo'limlarning belgilanishi o'xshash kesmalarning belgilanishi va sekant tekisligining izlari va ko'rish yo'nalishini ko'rsatadigan o'qdan, shuningdek o'qning tashqi tomoniga joylashtirilgan harfdan iborat (1c-rasm, 3-rasm). Agar kesma chizig'i kesimning simmetriya o'qiga to'g'ri kelsa va kesmaning o'zi kesish tekisligi izining davomida yoki uning qismlari orasidagi bo'shliqda joylashgan bo'lsa, ofset uchastkasi belgilanmagan va kesish tekisligi ko'rsatilmaydi. ko'rinish. Nosimmetrik ustki qism uchun kesish tekisligi ham ko'rsatilmagan. Agar kesim assimetrik bo'lsa va bo'shliqda joylashgan bo'lsa yoki ustiga qo'yilgan bo'lsa (2-rasm, b), kesma chizig'i strelkalar bilan chiziladi, lekin harflar bilan belgilanmaydi.
Bo'lim "aylantirilgan" so'zi bilan bo'lim ustidagi yozuvni ta'minlab, aylanish bilan joylashtirilishi mumkin. Bitta ob'ektga tegishli bir nechta bir xil bo'limlar uchun bo'lim chiziqlari bir xil harf bilan belgilanadi va bitta qism chiziladi. Bo'lim alohida qismlardan iborat bo'lib chiqsa, kesmalardan foydalanish kerak.
Streyt umumiy pozitsiya
Umumiy holatdagi toʻgʻri chiziq (2.2-rasm) berilgan proyeksiya tekisliklarining birortasiga parallel boʻlmagan toʻgʻri chiziqdir. Bunday to'g'ri chiziqning har qanday segmenti proyeksiya tekisliklarining berilgan sistemasida buzilgan holda proyeksiyalanadi. Bu to'g'ri chiziqning proyeksiya tekisliklariga moyillik burchaklari ham buzib proyeksiyalanadi.
Guruch. 2.2.
To'g'ridan-to'g'ri shaxsiy qoidalar
Muayyan pozitsiyali chiziqlarga bir yoki ikkita proyeksiya tekisligiga parallel chiziqlar kiradi.
Proyeksiya tekisligiga parallel bo'lgan har qanday chiziq (to'g'ri yoki egri) tekis chiziq deb ataladi. Muhandislik grafikasida uchta asosiy darajali chiziqlar mavjud: gorizontal, frontal va profil chiziqlar.
Guruch. 2.3-a
Gorizontal - proyeksiyalarning gorizontal tekisligiga parallel bo'lgan har qanday chiziq (2.3-a-rasm). Gorizontalning frontal proyeksiyasi doimo aloqa liniyalariga perpendikulyar bo'ladi. Gorizontal proyeksiya tekisligidagi har qanday gorizontal segment uning haqiqiy hajmiga proyeksiyalanadi. Haqiqiy kattalik bu tekislikka proyeksiyalanadi va gorizontal (to'g'ri chiziq) proyeksiyalarning frontal tekisligiga moyillik burchagi. Misol tariqasida, 2.3-a-rasmda vizual tasvir va keng qamrovli gorizontal chizma ko'rsatilgan. h, samolyotga moyil P 2 burchak ostida b . 
Guruch. 2.3-b
Frontal - proyeksiyalarning frontal tekisligiga parallel chiziq (2.3-b-rasm). Old tomonning gorizontal proektsiyasi doimo aloqa liniyalariga perpendikulyar. Proyeksiyalarning frontal tekisligiga frontalning har qanday segmenti uning haqiqiy hajmiga proyeksiyalanadi. Haqiqiy kattalik bu tekislikka proyeksiyalanadi va frontal (to'g'ri chiziq) proyeksiyalarning gorizontal tekisligiga (burchak) moyillik burchagi. a). 
Guruch. 2.3-v
Profil chizig'i - proyeksiyalarning profil tekisligiga parallel chiziq (2.3-c-rasm). Profil chizig'ining gorizontal va frontal proyeksiyalari bu proyeksiyalarning ulanish chiziqlariga parallel. Profil chizig'ining har qanday segmenti (to'g'ri chiziq) profil tekisligiga uning haqiqiy o'lchamiga proyeksiya qilinadi. Profil to'g'ri chiziqning proyeksiya tekisliklariga moyillik burchaklari haqiqiy kattalikda bir xil tekislikka proyeksiyalanadi. P 1 va P 2. Murakkab chizmada profil chizig'ini belgilashda siz ushbu chiziqning ikkita nuqtasini ko'rsatishingiz kerak.
Ikki proyeksiya tekisligiga parallel bo'lgan sath chiziqlari uchinchi proyeksiya tekisligiga perpendikulyar bo'ladi. Bunday chiziqlar proyeksiyalovchi chiziqlar deb ataladi. Uchta asosiy proyeksiya chizig'i mavjud: gorizontal, frontal va profil proyeksiya chiziqlari. 
Guruch. 2,3-g 
Guruch. 2.3-d 
Guruch. 2.3
Gorizontal proyeksiyalovchi to‘g‘ri chiziq (2.3-d rasm) tekislikka perpendikulyar to‘g‘ri chiziqdir. P 1 . Bu chiziqning har qanday segmenti tekislikka proyeksiya qilinadi P P 1 - nuqtaga.
Old tomondan proyeksiyalovchi to‘g‘ri chiziq (2.H-e-rasm) tekislikka perpendikulyar to‘g‘ri chiziq deyiladi. P 2. Bu chiziqning har qanday segmenti tekislikka proyeksiya qilinadi P 1 buzilishsiz, lekin tekislikda P 2 - nuqtaga.
To'g'ri chiziqni proyeksiyalovchi profil (2.3-f-rasm) tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqdir. P 3, ya'ni. proyeksiya tekisliklariga parallel to'g'ri chiziq P 1 va P 2. Bu chiziqning har qanday segmenti tekislikka proyeksiya qilinadi P 1 va P 2 buzilishsiz, lekin tekislikda P 3 - nuqtaga.
Samolyotdagi asosiy chiziqlar
Tekislikka tegishli to'g'ri chiziqlar orasida fazoda ma'lum bir pozitsiyani egallagan to'g'ri chiziqlar alohida o'rin egallaydi:
1. Gorizontallar h - berilgan tekislikda yotuvchi va proyeksiyalarning gorizontal tekisligiga parallel (h//P1) to'g'ri chiziqlar (6.4-rasm).
6.4-rasm Gorizontal
2. Frontlar f - tekislikda joylashgan va proyeksiyalarning frontal tekisligiga parallel (f//P2) to'g'ri chiziqlar (6.5-rasm).
6.5-rasm Old
3. Profil to'g'ri chiziqlar p - berilgan tekislikda va proyeksiyalarning profil tekisligiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar (p//P3) (6.6-rasm). Shuni ta'kidlash kerakki, samolyotning izlari asosiy chiziqlarga ham tegishli bo'lishi mumkin. Gorizontal iz - tekislikning gorizontali, frontal - frontal va profil - tekislikning profil chizig'i.
Shakl 6.6 Profil tekis
4. Eng katta qiyalik chizig'i va uning gorizontal proyeksiyasi chiziqli j burchakni hosil qiladi, bu tekislikdan hosil bo'lgan ikki burchakli burchakni va proyeksiyalarning gorizontal tekisligini o'lchaydi (6.7-rasm). Shubhasiz, agar to'g'ri chiziqning tekislik bilan ikkita umumiy nuqtasi bo'lmasa, u tekislikka parallel yoki uni kesib o'tadi.
6.7-rasm Eng katta qiyalik chizig'i
Sirt hosil qilishning kinematik usuli. Chizmada sirtni belgilash.
Muhandislik grafikasida sirt fazoda ma'lum bir qonun bo'yicha harakatlanuvchi chiziqning ketma-ket pozitsiyalari yig'indisi sifatida qaraladi. Sirtni shakllantirish jarayonida 1-chiziq o'zgarishsiz qolishi yoki shaklini o'zgartirishi mumkin.
Murakkab chizmada sirt tasvirining ravshanligi uchun harakat qonunini chiziqlar turkumi (a, b, c) shaklida grafik tarzda ko'rsatish maqsadga muvofiqdir. 1-qatorning harakat qonunini ikkita (a va b) yoki bitta (a) chiziq va 1-harakat qonunini aniqlaydigan qo'shimcha shartlar bilan ko'rsatish mumkin.
Harakatlanuvchi chiziq 1 generatrix deb ataladi, qo'zg'almas chiziqlar a, b, c qo'llanmalar deb ataladi.
3.1-rasmda ko'rsatilgan misol yordamida sirt hosil bo'lish jarayonini ko'rib chiqamiz.
Bu erda generatrix sifatida 1-to'g'ri chiziq olinadi.Generatrixning harakat qonuni yo'naltiruvchi a va b to'g'ri chiziq bilan berilgan. Bu shuni anglatadiki, generatrix 1 har doim b to'g'ri chiziqqa parallel bo'lib, a yo'riqnomasi bo'ylab siljiydi.
Sirt hosil qilishning bu usuli kinematik deb ataladi. Uning yordami bilan siz chizmada turli sirtlarni yaratishingiz va belgilashingiz mumkin. Xususan, 3.1-rasmda silindrsimon sirtning eng umumiy holati ko'rsatilgan.
Guruch. 3.1.
Sirtni shakllantirish va uni chizmada tasvirlashning yana bir usuli sirtni unga tegishli nuqtalar yoki chiziqlar to'plami bilan ko'rsatishdir. Bunday holda, nuqtalar va chiziqlar sirt shaklini etarli darajada aniqlik bilan aniqlash va undagi turli muammolarni hal qilish imkonini beradigan tarzda tanlanadi.
Sirtni belgilaydigan nuqtalar yoki chiziqlar to'plami uning ramkasi deb ataladi.
Yuzaki ramka nuqta yoki chiziqlar bilan aniqlanganligiga qarab, ramkalar nuqta va chiziqli bo'linadi.
3.2-rasmda a1, a2, a3, ..., an va b1, b2, b3, ..., bn chiziqlarning ortogonal joylashgan ikkita turkumidan iborat sirt ramkasi ko'rsatilgan.
Guruch. 3.2.
Konus bo'limlari.
KONIK QISMLAR, to'g'ri dumaloq konusni uning cho'qqisidan o'tmaydigan tekislik bilan kesish orqali olinadigan tekis egri chiziqlar (1-rasm). Analitik geometriya nuqtai nazaridan konus kesimi ikkinchi tartibli tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning joylashuvi hisoblanadi. Oxirgi bo'limda muhokama qilingan degeneratsiya holatlaridan tashqari, konusning kesimlari ellips, giperbola yoki parabolalardir.
Tabiatda va texnologiyada konusning kesimlari ko'pincha uchraydi. Masalan, Quyosh atrofida aylanadigan sayyoralarning orbitalari ellips shaklida bo'ladi. Doira ellipsning katta o'qi kichikga teng bo'lgan maxsus holatidir. Parabolik oyna o'z o'qiga parallel bo'lgan barcha tushayotgan nurlar bir nuqtada (fokus) yaqinlashish xususiyatiga ega. Bu parabolik nometalllardan foydalanadigan aks ettiruvchi teleskoplarning ko'pchiligida, shuningdek radar antennalarida va parabolik reflektorli maxsus mikrofonlarda qo'llaniladi. Parabolik reflektor fokusida joylashgan yorug'lik manbasidan parallel nurlar dastasi chiqadi. Shuning uchun parabolik nometall yuqori quvvatli projektorlarda va avtomobil faralarida qo'llaniladi. Giperbola - bu Boyl qonuni (bosim va hajmga bog'liq) kabi ko'plab muhim jismoniy munosabatlarning grafigi. ideal gaz) va Ohm qonuni, bu elektr tokini doimiy kuchlanishdagi qarshilik funktsiyasi sifatida belgilaydi.
ILK TARIX
Taxminlarga ko'ra, konusning kesmalarini kashf etgan Aflotun shogirdi va Aleksandr Makedonskiyning ustozi Menaxm (miloddan avvalgi 4-asr) hisoblanadi. Menaxm kubni ikki barobarga oshirish masalasini yechish uchun parabola va teng yonli giperboladan foydalangan.
IV asr oxirida Aristey va Evklid tomonidan yozilgan konus kesimlari haqidagi risolalar. Miloddan avvalgi, yo'qolgan, ammo ulardan olingan materiallar hozirgi kungacha saqlanib qolgan Pergalik Apolloniyning (miloddan avvalgi 260-170 yillar) mashhur konus bo'limlariga kiritilgan. Apolloniy konus nasl-nasabining ajralish tekisligi perpendikulyar bo'lishi haqidagi talabdan voz kechdi va uning qiyalik burchagini o'zgartirib, bitta aylana konusning to'g'ri yoki qiya bo'lgan barcha konus kesimlarini oldi. Biz egri chiziqlarning zamonaviy nomlari uchun ham Apolloniyga qarzdormiz - ellips, parabola va giperbola.
Apolloniy oʻz konstruksiyalarida ikki varaqli dumaloq konusdan foydalangan (1-rasmdagi kabi), shuning uchun birinchi marta giperbola ikki shoxli egri chiziq ekanligi maʼlum boʻldi. Apolloniy davridan beri konusning kesmalari kesuvchi tekislikning konusning generatrixiga moyilligiga qarab uch turga bo'lingan. Kesuvchi tekislik konusning barcha generatrislarini uning bo'shlig'idan birining nuqtalarida kesib o'tganda ellips (1a-rasm) hosil bo'ladi; parabola (1,b-rasm) - kesuvchi tekislik konusning teginish tekisliklaridan biriga parallel bo'lganda; giperbola (1-rasm, v) - kesish tekisligi konusning ikkala bo'shlig'ini kesishganda.
KONIK KESIMALARNI QURISH
Konus kesimlarini tekislik va konusning kesishuvi sifatida o'rganar ekan, qadimgi yunon matematiklari ularni tekislikdagi nuqtalarning traektoriyasi sifatida ham ko'rib chiqdilar. Aniqlanishicha, ellipsni nuqtalarning joylashuvi, berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy bo'lgan joy sifatida belgilash mumkin; parabola - teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi sifatida berilgan nuqta va berilgan to'g'ri chiziq; giperbola - nuqtalarning joylashuvi sifatida, berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar farqi doimiy.
Konus kesimlarining tekis egri chiziqlar sifatidagi bu ta'riflari ularni cho'zilgan ip yordamida qurish usulini ham taklif qiladi.
Ellips.
Agar ma'lum uzunlikdagi ipning uchlari F1 va F2 nuqtalarida mahkamlangan bo'lsa (2-rasm), u holda qattiq cho'zilgan ip bo'ylab sirg'alib ketayotgan qalam nuqtasi bilan tasvirlangan egri ellips shakliga ega. F1 va F2 nuqtalar ellipsning fokuslari deb ataladi va ellipsning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalari orasidagi V1V2 va v1v2 segmentlari katta va kichik o'qlardir. Agar F1 va F2 nuqtalari mos tushsa, ellips aylanaga aylanadi.
guruch. 2 ellips
Giperbola.
Giperbolani qurishda qalamning uchi P nuqta, rasmda ko'rsatilganidek, F1 va F2 nuqtalarida o'rnatilgan qoziqlar bo'ylab erkin siljiydigan ipga mahkamlanadi. 3, a. Masofalar shunday tanlanadiki, PF2 segmenti PF1 segmentidan belgilangan miqdor F1F2 masofasidan kamroq uzunroq bo'ladi. Bunday holda, ipning bir uchi F1 pinining ostidan o'tadi va ipning ikkala uchi F2 pinining ustiga o'tadi. (Qalamning uchi ip bo'ylab sirg'alib ketmasligi kerak, shuning uchun uni ipga kichik halqa yasash va u orqali nuqtani o'tkazish orqali mahkamlash kerak.) Giperbolaning (PV1Q) bir novdasini chizamiz, bunda ipning o'tishiga ishonch hosil qilamiz. har doim tarang bo'lib qoladi va ipning ikkala uchini F2 nuqtasidan pastga tortib, P nuqtasi F1F2 segmentidan pastda bo'lganda, ipni ikkala uchidan ushlab, ehtiyotkorlik bilan surtish (ya'ni, bo'shatish). Oldin F1 va F2 pinlarining rollarini almashtirib, giperbolaning ikkinchi novdasini (PwV2Qo) chizamiz.
guruch. 3 giperbola
Giperbolaning shoxlari shoxlar orasidagi kesishgan ikkita to'g'ri chiziqqa yaqinlashadi. Giperbolaning asimptotalari deb ataladigan bu chiziqlar rasmda ko'rsatilganidek tuzilgan. 3, b. Bu chiziqlarning burchak koeffitsientlari ± (v1v2)/(V1V2) ga teng, bu erda v1v2 - asimptotlar orasidagi burchakning bissektrisa segmenti, F1F2 segmentiga perpendikulyar; v1v2 segmenti giperbolaning konjugat o'qi deb ataladi va V1V2 segmenti uning ko'ndalang o'qidir. Demak, asimptota tomonlari o’qlarga parallel bo’lgan v1, v2, V1, V2 to’rtta nuqtadan o’tuvchi to’rtburchakning diagonallaridir. Ushbu to'rtburchakni qurish uchun siz v1 va v2 nuqtalarining joylashishini belgilashingiz kerak. Ular bir xil masofada, teng
O o'qlarining kesishish nuqtasidan.Bu formula konstruktsiyani qabul qiladi to'g'ri uchburchak oyoqlari Ov1 va V2O va gipotenuza F2O bilan.
Agar giperbolaning asimptotalari o'zaro perpendikulyar bo'lsa, giperbola teng tomonli deyiladi. Umumiy asimptotalarga ega bo'lgan, lekin ko'ndalang va konjugat o'qlari qayta tartibga solingan ikkita giperbolalar o'zaro konjugat deb ataladi.
Parabola.
Ellips va giperbolaning o'choqlari Apolloniyga ma'lum bo'lgan, ammo parabolaning fokusini birinchi bo'lib Pappus (3-asrning 2-yarmi) o'rnatgan, u bu egri chiziqni ma'lum bir nuqtadan (fokus) teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi sifatida aniqlagan. va rejissyor deb ataladigan berilgan to'g'ri chiziq. Pappus ta'rifiga asoslanib, cho'zilgan ip yordamida parabola qurishni Miletlik Isidor (6-asr) taklif qilgan. Chizgichni shunday joylashtiramizki, uning cheti LLo direktrisasi bilan mos tushadi (4-rasm) va ABC chizma uchburchagining AC oyog'ini shu chetiga biriktiramiz. AB uzunlikdagi ipning bir uchini uchburchakning B cho'qqisiga, ikkinchisini esa F parabola fokusiga mahkamlaymiz. Ipni qalam uchi bilan tortib, o'zgaruvchan P nuqtasidagi uchini bosamiz. chizilgan uchburchakning erkin oyog'i AB. Uchburchak chizg'ich bo'ylab harakatlanayotganda, P nuqta fokusi F va LLo direktrisasi bo'lgan parabola yoyini tasvirlaydi, chunki ipning umumiy uzunligi AB ga teng, ip bo'lagi uchburchakning erkin oyog'iga tutashgan, va shuning uchun PF ipining qolgan qismi AB oyog'ining qolgan qismlariga teng bo'lishi kerak, ya'ni. PA. Parabolaning V ning o'qi bilan kesishgan nuqtasi parabolaning uchi deyiladi, F va V dan o'tadigan to'g'ri chiziq parabolaning o'qidir. Agar fokus orqali o'qga perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazilsa, bu to'g'ri chiziqning parabola bilan kesilgan segmenti fokus parametri deb ataladi. Ellips va giperbola uchun fokus parametri xuddi shunday aniqlanadi.
BILETLARGA JAVOBLAR: №1 (to'liq emas), 2 (to'liq emas), 3 (to'liq emas), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (to'liq emas), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,
Masofaviy element.
Chizmalarni tuzishda, ba'zi hollarda, shakli, o'lchami yoki boshqa ma'lumotlarga oid tushuntirishni talab qiladigan ob'ektning har qanday qismining qo'shimcha alohida tasvirini yaratish kerak bo'ladi. Bu tasvir deyiladi masofaviy element. Odatda kattalashtirilgan holda amalga oshiriladi. Tafsilot ko'rinish yoki qism sifatida joylashtirilishi mumkin.
Belgilangan elementni qurishda asosiy tasvirning mos keladigan joyi yopiq qattiq ingichka chiziq bilan, odatda tasvirlar yoki doira bilan belgilanadi va yetakchi chiziqning tokchasida rus alifbosining bosh harfi bilan belgilanadi. Masofaviy element uchun A turi (5:1) yozuvi amalga oshiriladi. Shaklda. 191 masofaviy elementni amalga oshirish misolini ko'rsatadi. U ob'ekt tasviridagi mos keladigan joyga iloji boricha yaqinroq joylashtiriladi.
1. To'rtburchak (ortogonal) proyeksiyalash usuli. To'rtburchak proyeksiyaning asosiy o'zgarmas xossalari. Epur Monge.
Ortogonal (to'rtburchak) proyeksiya parallel proyeksiyaning alohida holati bo'lib, barcha proyeksiyalovchi nurlar proyeksiya tekisligiga perpendikulyar bo'ladi. Ortogonal proyeksiyalar parallel proyeksiyalarning barcha xossalariga ega, lekin to'g'ri burchakli proyeksiyada segmentning proyeksiyasi, agar u proyeksiya tekisligiga parallel bo'lmasa, har doim segmentning o'zidan kichik bo'ladi (58-rasm). Bu fazodagi segmentning o'zi to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi, proyeksiyasi esa oyoq bo'lishi bilan izohlanadi: A "V" = ABcos a.
To'g'ri burchakli proyeksiyada to'g'ri burchak, uning har ikki tomoni proyeksiyalar tekisligiga parallel bo'lganda va uning faqat bitta tomoni proyeksiyalar tekisligiga parallel bo'lsa, ikkinchi tomoni esa bu proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar bo'lmasa, to'liq hajmda proyeksiya qilinadi.
To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro o'rni.
Kosmosdagi to'g'ri chiziq va tekislik mumkin:
- a) umumiy nuqtalari yo'q;
- b) aynan bitta umumiy nuqtaga ega;
- c) kamida ikkita umumiy nuqtaga ega.
Shaklda. 30 bu barcha imkoniyatlarni tasvirlaydi.
a) b chiziq tekislikka parallel bo'lsa: b || .
b) holatda l to'g'ri chiziq tekislikni bir O nuqtada kesib o'tadi; l = O.
c) a to'g'ri chiziq tekislikka tegishli bo'lsa: a yoki a.
Teorema. Agar b chiziq tekislikka tegishli kamida bitta a chiziqqa parallel bo'lsa, u holda chiziq tekislikka parallel bo'ladi.
Faraz qilaylik, m chiziq tekislikni Q nuqtada kesib o'tadi. Agar m tekislikning Q nuqtadan o'tuvchi har bir chizig'iga perpendikulyar bo'lsa, m to'g'ri tekislikka perpendikulyar deyiladi.
Tramvay relslari to'g'ri chiziqlar Yer tekisligiga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Elektr liniyalari yer tekisligiga parallel, daraxt tanasi esa yer yuzasini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqlarga misol bo'ladi, ba'zilari yer tekisligiga perpendikulyar, boshqalari esa perpendikulyar emas (qiyshiq).
Manzil
Belgi: agar berilgan tekislikda yotmaydigan chiziq shu tekislikda yotuvchi qandaydir chiziqqa parallel bo'lsa, u berilgan tekislikka parallel bo'ladi.
1. Agar tekislik berilgan chiziqdan boshqa tekislikka parallel bo‘lib, shu tekislikni kesib o‘tsa, tekisliklarning kesishish chizig‘i berilgan chiziqqa parallel bo‘ladi.
2. agar 2 chiziqdan biri berilganiga parallel bo'lsa, ikkinchi chiziq ham berilgan tekislikka parallel yoki shu tekislikda yotadi.
Samolyotlarning o'zaro joylashishi. Samolyotlarning PARALLELLIGI
Manzil
1. samolyotlar kamida 1 ta umumiy nuqtaga ega, ya'ni. to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesishadi
2. tekisliklar kesishmaydi, ya'ni. 1 ta umumiy nuqtaga ega emas, bu holda ular parallel deyiladi.
belgisi
agar 1 tekislikning 2 ta kesishuvchi to'g'ri chizig'i mos ravishda boshqa tekislikning 2 to'g'ri chizig'iga parallel bo'lsa, bu tekisliklar parallel bo'ladi.
Muqaddas
1. agar 2 ta parallel tekislik 3 kesishgan boʻlsa, ularning kesishish chiziqlari parallel boʻladi.
2. Parallel tekisliklar orasidagi parallel chiziqlarning segmentlari teng.
TO'G'RI VA TAKSIZLIKNING PERPENDİKULYARLIGI. TO'G'RI VA TAKSIZLIKNING PERPENDİKULYARLIGI BELGISI.
To'g'ridan-to'g'ri nomlar perpendikulyar, agar ular ostida kesishsa<90.
Lemma: Agar 2 ta parallel toʻgʻri chiziqdan 1 tasi 3-chi chiziqqa perpendikulyar boʻlsa, ikkinchi chiziq shu chiziqqa perpendikulyar boʻladi.
To'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar deyiladi, agar bu tekislikdagi har qanday chiziqqa perpendikulyar bo'lsa.
Teorema: Agar 2 ta parallel toʻgʻri chiziqdan 1 tasi tekislikka perpendikulyar boʻlsa, ikkinchi chiziq shu tekislikka perpendikulyar boʻladi.
Teorema: Agar 2 ta chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
Imzo
Agar chiziq tekislikda yotgan 2 ta kesishuvchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda bu tekislikka perpendikulyar bo'ladi.
PERPENDİKULYAR VA QIYIQ
Keling, samolyotga tegishli bo'lmagan samolyot va boshqalarni quraylik. Ularning t.A biz tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq chizamiz. To'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi H deb belgilangan. AN segmenti A nuqtadan tekislikka o'tkazilgan perpendikulyardir. T.N – perpendikulyar asos. H.ga toʻgʻri kelmaydigan t.M tekisligini olaylik. AM segmenti qiya, t.A dan tekislikka tortilgan. M - eğimli asos. MH segmenti qiya tekislikning tekislikka proyeksiyasidir. Perpendikulyar AN - t.A dan tekislikgacha bo'lgan masofa. Har qanday masofa perpendikulyarning bir qismidir.
3 ta perpendikulyar teorema:
Tekislikda qiya tekislikning asosi orqali bu tekislikka proyeksiyasiga perpendikulyar o'tkazilgan to'g'ri chiziq ham qiya tekislikning o'ziga perpendikulyar bo'ladi.
TO'G'RI VA TASIZLIK O'RTASIDAGI BURCHAK
To'g'ri chiziq orasidagi burchak va Tekislik - bu chiziq va uning tekislikdagi proyeksiyasi orasidagi burchak.
DIHEDRAL BURCHAK. Samolyotlar orasidagi burchak
Ikki burchakli burchak umumiy chegarasi a bo'lgan, bir tekislikka tegishli bo'lmagan to'g'ri chiziq va 2 ta yarim tekislikdan hosil bo'lgan figura deyiladi.
a chegarasi - dihedral burchakning cheti. Yarim samolyotlar - dihedral burchakli yuzlar. Dihedral burchakni o'lchash uchun. Uning ichida chiziqli burchakni qurishingiz kerak. Ikki burchakli burchakning chetida qandaydir nuqtani belgilaymiz va shu nuqtadan har bir yuzga, chetiga perpendikulyar nur chizamiz. Bu nurlar hosil qilgan burchak deyiladi chiziqli ikki burchakli burchak. Ikki burchakli burchak ichida ularning cheksiz soni bo'lishi mumkin. Ularning barchasi bir xil o'lchamga ega.
IKKI TAKLIKNING PERPENDİKULYARLIGI
Ikkita kesishuvchi tekislik deyiladi perpendikulyar, agar ular orasidagi burchak 90 bo'lsa.
Belgi:
Agar 2 tekislikdan 1 tasi boshqa tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, bunday tekisliklar perpendikulyar bo'ladi.
POLYHEdra
Ko'p yuzli– ko‘pburchaklardan tashkil topgan va ma’lum bir geometrik jismni chegaralovchi sirt. Qirralar– ko‘pburchaklar, ulardan ko‘pburchaklar yasaladi. Qovurg'alar- yuzlarning yon tomonlari. Cho'qqilar- qovurg'alarning uchlari. Ko'pburchakning diagonali 1 yuzga tegishli bo'lmagan 2 ta cho'qqini bog'lovchi segment deyiladi. Ikkala tomonida ko'pburchak nuqtalari joylashgan tekislik deyiladi . kesish tekisligi. Ko'pburchakning umumiy qismi va sekant maydoni deyiladi ko'pburchakning ko'ndalang kesimi. Ko'p yuzli konveks yoki botiq bo'lishi mumkin. Ko'pburchak deyiladi qavariq, agar u har bir yuzining tekisligining bir tomonida joylashgan bo'lsa (tetraedr, parallelepiped, oktaedr). Qavariq ko'pburchakda har bir cho'qqidagi barcha tekislik burchaklarining yig'indisi 360 dan kichik.
PRISM
Parallel tekisliklarda joylashgan ikkita teng ko'pburchak va n - parallelogrammalardan tashkil topgan ko'pburchak deyiladi. prizma.
A1A2..A(p) va B1B2..B(p) koʻpburchaklar – prizma asosi. A1A2V2V1…- parallelogrammalar, A(p)A1B1B(p) – yon qirralar. Segmentlar A1B1, A2B2..A(p)B(p) – lateral qovurg'alar. Prizma ostidagi ko'pburchakga qarab, prizma p-ko'mir deb ataladi. Bir asosning istalgan nuqtasidan boshqa asosning tekisligiga o'tkazilgan perpendikulyar deyiladi balandligi. Agar prizmaning lateral qirralari asosga perpendikulyar bo'lsa, u holda prizma - Streyt, va agar perpendikulyar bo'lmasa - qiyshaygan. To'g'ri prizmaning balandligi uning yon chetining uzunligiga teng. To'g'ridan-to'g'ri prizma to'g'ri, agar uning asosi muntazam ko'pburchaklar bo'lsa, barcha yon yuzlar teng to'rtburchaklardir.
PARALEPIPED
ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (parallel tekisliklar tabiatiga ko'ra)
Parallelepiped 6 ta parallelogrammdan iborat. Paralelogrammalar deyiladi qirralar. ABCD va A1V1S1D1 asoslar, qolgan yuzlar deyiladi lateral. A B C D A1 B1 C1 D1 nuqtalari – tepalar. Cho'qqilarni bog'laydigan chiziq segmentlari - qovurg'alar AA1, BB1, SS1, DD1 - lateral qovurg'alar.
Parallelepipedning diagonali 1 yuzga tegishli bo'lmagan 2 ta cho'qqini bog'lovchi segment deyiladi.
Azizlar
1. Parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va teng. 2. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va shu nuqta bilan ikkiga bo'linadi.
PIRAMIDA
A1A2..A(n) ko'pburchakni, bu ko'pburchak tekisligida yotmaydigan P nuqtani ko'rib chiqaylik. P nuqtani ko‘pburchak uchlari bilan tutashtiramiz va n ta uchburchak hosil qilamiz: RA1A2, RA2A3....RA(p)A1.
Ko'p yuzli n-burchak va n-uchburchaklardan tashkil topgan piramida deb ataladi. Poligon - asos. Uchburchaklar - yon qirralar. R - piramidaning tepasi. Segmentlar A1P, A2P..A(p)P - lateral qovurg'alar. Poydevorda joylashgan ko'pburchakga qarab, piramida deyiladi p-ko'mir. Piramida balandligi asos tekisligiga tepadan chizilgan perpendikulyar deyiladi. Piramida to'g'ri deb ataladi, agar uning asosi muntazam ko'pburchakni o'z ichiga olsa va uning balandligi asosning markaziga tushsa. Apothem- oddiy piramidaning yon yuzining balandligi.
KESILGAN PIRAMIDA
PA1A2A3A(n) piramidasini ko'rib chiqing. Poydevorga parallel ravishda kesuvchi tekislikni chizamiz. Bu tekislik bizning piramidamizni 2 qismga ajratadi: ustki qismi shunga o'xshash piramida, pastki qismi esa kesilgan piramidadir. Yon yuzasi trapezoiddan iborat. Yanal qovurg'alar tagliklarning tepalarini bog'laydi.
Teorema: Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasining maydoni poydevor va apotema perimetrlari yig'indisining yarmiga teng.
Muntazam polihedlar
Qavariq ko'pburchak muntazam deyiladi, agar uning barcha yuzlari teng muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va uning har bir cho'qqisida bir xil miqdordagi qirralar yaqinlashsa. Muntazam ko'pburchaklarga kubni misol qilib keltirish mumkin. Uning barcha yuzlari teng kvadratlar bo'lib, har bir tepada 3 ta qirrasi birlashadi.
Muntazam tetraedr 4 ta teng yonli uchburchakdan tashkil topgan. Har bir cho'qqi 3 ta uchburchakning cho'qqisi hisoblanadi. Har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi 180 ga teng.
Muntazam oktaedr 8 ta teng yonli uchburchakdan tashkil topgan. Har bir cho'qqi 4 ta uchburchakning cho'qqisidir. Har bir cho'qqidagi tekis burchaklar yig'indisi = 240
Oddiy ikosaedr 20 ta teng yonli uchburchaklardan tashkil topgan. Har bir cho'qqi 5 uchburchakdir. Har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi 300 ga teng.
Kub 6 kvadratdan iborat. Har bir cho'qqi 3 kvadratning cho'qqisidir. Har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi = 270.
Oddiy dodekaedr 12 muntazam beshburchakdan tashkil topgan. Har bir cho'qqi 3 ta muntazam beshburchakning cho'qqisidir. Har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi = 324.
Muntazam polihedraning boshqa turlari yo'q.
TILINDIR
Silindrsimon sirt va chegaralari L va L1 bo'lgan ikkita doira bilan chegaralangan jism deyiladi silindr. L va L1 doiralari chaqiriladi silindrning asoslari. MM1, AA1 segmentlari - shakllantiruvchi. Silindrning silindrsimon yoki lateral yuzasini shakllantirish. O va O1 asoslar markazlarini tutashtiruvchi to'g'ri chiziq silindrning o'qi. Generator uzunligi - silindr balandligi. Baza radiusi (r) - silindrning radiusi.
Silindr bo'limlari
Eksenel asosning o'qi va diametridan o'tadi
O'qga perpendikulyar
Silindr - bu aylanish jismidir. To'rtburchakni uning bir tomoni atrofida aylantirish orqali olinadi.
KONUS
Aylana (o;r) va shu aylana tekisligiga perpendikulyar bo‘lgan OP to‘g‘ri chiziqni ko‘rib chiqaylik. Doiraning har bir nuqtasi L va boshqalar orqali biz segmentlarni chizamiz, ularning cheksiz ko'pi bor. Ular konusning sirtini hosil qiladi va deyiladi shakllantiruvchi.
R- cho'qqi, OR - konusning sirtining o'qi.
Konussimon sirt va chegarasi L boʻlgan doira bilan chegaralangan jism konus deb ataladi. Doira - konusning asosi. Konussimon yuzaning yuqori qismi - konusning yuqori qismi. Konusning sirtini shakllantirish - konus hosil qiladi. Konussimon sirt - konusning lateral yuzasi. RO - konusning o'qi. P dan O gacha bo'lgan masofa - konusning balandligi. Konus - bu aylanish jismidir. U to'g'ri burchakli uchburchakni oyoq atrofida aylantirish orqali olinadi.
Konus qismi
Eksenel qism
O'qga perpendikulyar kesma
SHER VA KOP
Sfera ma'lum bir nuqtadan ma'lum masofada joylashgan fazodagi barcha nuqtalardan iborat sirt deb ataladi. Bu nuqta sharning markazi. Bu masofa sharning radiusi.
Sharning 2 nuqtasini tutashtiruvchi va uning markazidan o'tuvchi segment sharning diametri deb ataladi.
Sfera bilan chegaralangan jism deyiladi to'p. Sharning markazi, radiusi va diametri deyiladi to'pning markazi, radiusi va diametri.
Shar va shar aylanish jismlaridir. Sfera diametri atrofida yarim doira aylantirish orqali olinadi va to'p diametri atrofida yarim doira aylantirish orqali olingan.
to'rtburchaklar koordinatalar tizimida markazi C(x(0), y(0), Z(0) bo'lgan radiusi R bo'lgan sharning tenglamasi (x-x(0))(2)+(y-y(0)) ko'rinishga ega. )(2 )+(z-z(0))(2)= R(2)
To'g'ridan-to'g'ri mumkin samolyotga tegishli, u bo'l parallel yoki kesib o'tish samolyot. Agar chiziq va tekislikka tegishli ikkita nuqta bir xil balandliklarga ega bo'lsa, chiziq tekislikka tegishlidir. Aytilganlardan kelib chiqadigan xulosa: nuqta, agar u shu tekislikda yotgan chiziqqa tegishli bo'lsa, tekislikka tegishlidir.
Agar chiziq shu tekislikda yotgan chiziqqa parallel bo'lsa, tekislikka parallel bo'ladi.
Tekislikni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq. To'g'ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini topish uchun kerak bo'ladi (3.28-rasm):
1) berilgan m to‘g‘ri chiziq orqali yordamchi tekislik o‘tkazing T;
2) chiziq qurish n berilgan S tekislikning yordamchi T tekislik bilan kesishishi;
3) kesishish nuqtasini belgilang R, to'g'ri chiziq berilgan m kesishish chizig'i bilan n.
Muammoni ko'rib chiqaylik (3.29-rasm) m to'g'ri chiziq planda nuqta bilan belgilanadi. A 6 va 35 ° nishab burchagi. Bu chiziq orqali yordamchi vertikal tekislik o'tkaziladi T, S tekislikni chiziq bo'ylab kesib o'tuvchi n (B 2 C 3). Shunday qilib, to'g'ri chiziq va tekislikning nisbiy holatidan bir vertikal tekislikda yotgan ikkita to'g'ri chiziqning nisbiy holatiga o'tadi. Ushbu muammo to'g'ri chiziqlarning profillarini qurish orqali hal qilinadi. Chiziqlarning kesishishi m Va n profilda kerakli nuqtani aniqlaydi R. Nuqta balandligi R vertikal shkalasi bilan aniqlanadi.
Tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq. To'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo'ladi, agar u shu tekislikning har qanday ikkita kesishgan chizig'iga perpendikulyar bo'lsa. 3.30-rasmda to'g'ri chiziq ko'rsatilgan m, S tekislikka perpendikulyar va uni A nuqtada kesishgan. Rejada chiziqning proyeksiyasi. m gorizontal tekisliklar esa oʻzaro perpendikulyar (bir tomoni proyeksiya tekisligiga parallel boʻlgan toʻgʻri burchak burilmagan holda proyeksiya qilinadi. Ikkala chiziq ham bir vertikal tekislikda yotadi, shuning uchun bunday chiziqlarning oʻrni kattaligi boʻyicha bir-biriga teskari boʻladi). : l m = l/l u. Lekin l uS = l S, keyin l m = l/l S, ya'ni m to'g'ri chiziqning o'rni tekislikning holatiga teskari proporsionaldir. To'g'ri chiziq va tekislikning tushishi turli yo'nalishlarga yo'naltirilgan.
3.4. Raqamli belgilar bilan proyeksiyalar. Yuzalar
3.4.1.Ko'p yuzli va egri yuzalar. Topografik sirt
Tabiatda ko'p moddalar ko'p yuzli shakldagi kristall tuzilishga ega. Ko'pburchak - bu bir tekislikda yotmaydigan yassi ko'pburchaklar yig'indisi bo'lib, ulardan birining har bir tomoni boshqasining tomoni ham bo'ladi. Ko'pburchakni tasvirlashda uning cho'qqilarining proyeksiyalarini ko'rsatish, ularni ma'lum tartibda to'g'ri chiziqlar - qirralarning proyeksiyalari bilan bog'lash kifoya. Bunday holda, chizmada ko'rinadigan va ko'rinmas qirralarni ko'rsatish kerak. Shaklda. 3.31-rasmda prizma va piramida, shuningdek, ushbu sirtlarga tegishli nuqtalarning belgilarini topish ko'rsatilgan.
Qavariq ko'pburchaklarning maxsus guruhi - barcha yuzlari bir xil muntazam ko'pburchaklar va barcha ko'pburchak burchaklari teng bo'lgan muntazam ko'pburchaklar guruhi. Muntazam ko'pburchaklarning besh turi mavjud.
Tetraedr- teng tomonli uchburchaklar bilan chegaralangan muntazam to'rtburchakning 4 ta uchi va 6 ta qirrasi bor (3.32 a rasm).
Olti yuzli- muntazam olti burchakli (kub) - 8 ta burchak, 12 chekka (3.32b-rasm).
Oktaedr- sakkizta teng qirrali uchburchak bilan chegaralangan muntazam oktaedr - 6 ta cho'qqi, 12 qirra (3.32c-rasm).
Dodekaedr- har bir cho'qqi yaqinida uchtadan bog'langan o'n ikkita muntazam beshburchak bilan chegaralangan muntazam dodekaedr.
Uning 20 ta uchi va 30 ta qirrasi bor (3.32 d-rasm).
Ikosaedr- yigirmata teng qirrali uchburchak bilan chegaralangan, har bir uchi yonida beshtadan tutashgan muntazam yigirma qirrali uchburchak.
Ko'pburchak yuzida yotgan nuqtani qurishda shu yuzga tegishli to'g'ri chiziqni o'tkazish va uning proyeksiyasida nuqtaning proyeksiyasini belgilash kerak.
Konussimon yuzalar to'g'ri chiziqli generatrixni egri chiziq bo'ylab harakatlantirish orqali hosil bo'ladi, shunda barcha pozitsiyalarda generatrix qo'zg'almas nuqtadan - sirtning tepasidan o'tadi. Rejadagi umumiy konussimon sirtlar gorizontal chiziq va cho'qqi bilan ifodalanadi. Shaklda. 3.33-rasmda konussimon sirt yuzasida nuqta belgisining joylashishi ko'rsatilgan.
To'g'ri dumaloq konus teng oraliqda chizilgan konsentrik doiralar qatori bilan ifodalanadi (3.34a-rasm). Dumaloq asosli elliptik konus - bir qator eksantrik doiralar (3.34-rasm b).
Sferik yuzalar. Sferik sirt inqilob yuzasi sifatida tasniflanadi. Uning diametri atrofida aylana aylanishi orqali hosil bo'ladi. Rejada markaz tomonidan sharsimon sirt belgilanadi TO va uning gorizontal chiziqlaridan birining proyeksiyasi (sferaning ekvatori) (3.35-rasm).
Topografik sirt. Topografik sirt geometrik tartibsiz sirt deb tasniflanadi, chunki u geometrik shakllanish qonuniga ega emas. Sirtni xarakterlash uchun uning xarakterli nuqtalarining proyeksiya tekisligiga nisbatan joylashishini aniqlang. Shaklda. 3.3 b a da topografik sirtning alohida nuqtalarining proyeksiyalari ko'rsatilgan kesimiga misol keltirilgan. Garchi bunday reja tasvirlangan sirtning shakli haqida tasavvurga ega bo'lish imkonini beradigan bo'lsa-da, bu juda aniq emas. Chizmani yanada aniqroq qilish va shu bilan o'qishni osonlashtirish uchun bir xil belgilarga ega bo'lgan nuqtalarning proyeksiyalari gorizontallar (izolinlar) deb ataladigan silliq egri chiziqlar bilan bog'lanadi (3.36 b-rasm).
Topografik sirtning gorizontal chiziqlari ba'zan bu sirtning bir xil masofada joylashgan gorizontal tekisliklari bilan kesishish chiziqlari sifatida aniqlanadi (3.37-rasm). Ikki qo'shni gorizontal chiziqlar orasidagi balandliklar farqi kesma balandligi deb ataladi.
Ikki qoʻshni gorizontal chiziq orasidagi balandliklar farqi qanchalik kichik boʻlsa, topografik yuzaning tasviri shunchalik aniq boʻladi. Rejalarda kontur chiziqlari chizilgan ichida yoki uning tashqarisida yopiladi. Tik qiyaliklarda kontur chiziqlarining sirt proyeksiyalari bir-biriga yaqinlashadi, tekis qiyaliklarda esa ularning proyeksiyalari ajralib chiqadi.
Rejadagi ikkita qo'shni gorizontal chiziqning proyeksiyalari orasidagi eng qisqa masofa yotqizish deb ataladi. Shaklda. 3,38 o'tish nuqtasi A topografik yuzada bir nechta to'g'ri chiziq segmentlari chizilgan SIZCHI Va AD. Ularning barchasi turli xil tushish burchaklariga ega. Segment eng katta tushish burchagiga ega AC, joylashuvi minimal ahamiyatga ega. Shuning uchun, bu ma'lum bir joyda sirtning tushish chizig'ining proektsiyasi bo'ladi.
Shaklda. 3.39da berilgan nuqta orqali tushish chizig'ining proyeksiyasini qurish misoli ko'rsatilgan A. Nuqtai nazardan A 100, xuddi markazdan, nuqtadagi eng yaqin gorizontal chiziqqa tegib, aylana yoyini chizing. 90 da. Nuqta 90 yoshda, gorizontal h 90, kuz chizig'iga tegishli bo'ladi. Nuqtai nazardan 90 da nuqtadagi keyingi gorizontal chiziqqa yoy tangensini torting 80 dan, va hokazo. Chizmadan ko'rinib turibdiki, topografik sirtning tushish chizig'i siniq chiziq bo'lib, uning har bir bo'g'ini gorizontalga perpendikulyar bo'lib, pastki balandlikka ega bo'lgan zvenoning pastki uchidan o'tadi.
3.4.2.Konussimon yuzaning tekislik bilan kesishishi
Agar kesuvchi tekislik konussimon yuzaning cho'qqisidan o'tsa, u holda uni sirtni tashkil etuvchi to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi. Boshqa barcha holatlarda, kesim chizig'i tekis egri bo'ladi: aylana, ellips va boshqalar. Konussimon yuzaning tekislikni kesib o'tish holatini ko'rib chiqaylik.
1-misol. Aylana konusning kesishish chizig‘ining proyeksiyasini tuzing. h o , S 5) konussimon yuzaning generatriksiga parallel Ō tekislik bilan.
Berilgan tekislik joylashgan konusning sirti parabola bo'ylab kesishadi. Generatorni interpolyatsiya qilish t biz dumaloq konusning gorizontal chiziqlarini - markazli konsentrik doiralarni quramiz S 5 . Keyin tekislik va konusning bir xil gorizontallarining kesishish nuqtalarini aniqlaymiz (3.40-rasm).
3.4.3. Topografik sirtning tekislik va to'g'ri chiziq bilan kesishishi
Topografik sirtning tekislik bilan kesishishi ko'pincha geologik muammolarni hal qilishda uchraydi. Shaklda. 3.41 topografik sirtning S tekislik bilan kesishishini qurish misoli keltirilgan. Men izlayotgan egri chiziq m bir xil gorizontal tekisliklarning kesishish nuqtalari va topografik sirt bilan aniqlanadi.
Shaklda. 3.42 vertikal tekislik S bilan topografik sirtning haqiqiy ko'rinishini qurish misolini beradi. Kerakli chiziq m nuqtalar bilan aniqlanadi A, B, C... topografik sirt gorizontallarining kesish tekisligi S bilan kesishishi. Rejada egri chiziqning proyeksiyasi tekislikning proyeksiyasiga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqqa aylanadi: m≡ S. Egri chiziqning profili m uning nuqtalari proyeksiyalarining rejadagi joylashishini, shuningdek, ularning balandliklarini hisobga olgan holda quriladi.
3.4.4. Teng qiyalik yuzasi
Nishablari teng bo'lgan sirt bu chiziqli sirt bo'lib, uning barcha to'g'ri chiziqlari gorizontal tekislik bilan doimiy burchak hosil qiladi. Bunday sirtni reja tekisligiga perpendikulyar o'qi bo'lgan tekis dumaloq konusni harakatlantirish orqali olish mumkin, shunda uning ustki qismi ma'lum bir yo'riqnoma bo'ylab siljiydi va o'q har qanday holatda vertikal qoladi.
Shaklda. 3.43-rasmda yo‘naltiruvchisi fazoviy egri chiziq bo‘lgan teng qiyalikli (i=1/2) sirt ko‘rsatilgan. A B C D.
Samolyotni tugatish. Misol sifatida, yo'lning qiyalik tekisliklarini ko'rib chiqing.
1-misol. Yo'lning bo'ylama qiyaligi i=0, qirg'oqning qiyaligi i n =1:1,5, (3.44a-rasm). Har 1 m gorizontal chiziqlarni chizish talab qilinadi. Yechim quyidagilarga to'g'ri keladi. Samolyot qiyaligi masshtabini yo'l chetiga perpendikulyar qilib chizamiz, chiziqli masshtabdan olingan 1,5 m oraliqga teng masofada nuqtalarni belgilaymiz va 49, 48 va 47 belgilarini aniqlaymiz. Olingan nuqtalar orqali biz yo'lning chetiga parallel ravishda qiyalik konturlarini chizish.
2-misol. Yo'lning bo'ylama qiyaligi i≠0, qirg'oqning qiyaligi i n =1:1,5, (3.44b-rasm). Yo'lning tekisligi gradusli. Yo'lning qiyaligi quyidagicha tasniflanadi. 50.00 (yoki boshqa nuqta) cho'qqisiga ega bo'lgan nuqtada biz konusning tepasini joylashtiramiz, radiusi qirg'oq qiyalik oralig'iga teng bo'lgan doirani tasvirlaymiz (bizning misolimizda l= 1,5 m). Konusning bu gorizontal chizig'ining balandligi vertexning balandligidan bir kam bo'ladi, ya'ni. 49 m. Biz bir qator doiralarni chizamiz, biz 48, 47 gorizontal belgilarni olamiz, ularga teginish nuqtalaridan 49, 48, 47 belgilari bilan qirg'oq qiyalik gorizontallarini chizamiz.
Sirtlarni tugatish.
Misol 3. Agar yo'lning bo'ylama qiyaligi i = 0 bo'lsa va to'siqning qiyaligi i n = 1: 1,5 bo'lsa, u holda qiyaliklarning kontur chiziqlari qiyalik shkalasi nuqtalari orqali o'tkaziladi, ularning oralig'i teng bo'ladi. qirg'oq yonbag'irlari oralig'iga (3.45a-rasm). Umumiy norma (nishab shkalasi) yo'nalishi bo'yicha qo'shni gorizontal chiziqlarning ikkita proyeksiyasi orasidagi masofa hamma joyda bir xil.
4-misol. Agar yo'lning bo'ylama qiyaligi i≠0 bo'lsa va to'siqning qiyaligi i n =1:1,5 bo'lsa (3.45b-rasm), u holda kontur chiziqlari xuddi shu tarzda quriladi, faqat qiyalikdan tashqari. konturlar to'g'ri chiziqlarda emas, balki egri chiziqda chiziladi.
3.4.5. Qazishning chegara chizig'ini aniqlash
Ko'pgina tuproqlar vertikal devorlarni saqlab turishga qodir emasligi sababli, yamaqlar (sun'iy inshootlar) qurilishi kerak. Nishab tomonidan berilgan qiyalik tuproqqa bog'liq.
Er yuzasining bir qismiga ma'lum bir qiyalik bilan tekislik ko'rinishini berish uchun siz qazish va qazish ishlari uchun chegara chizig'ini bilishingiz kerak. Rejalashtirilgan maydonni cheklovchi bu chiziq qirg'oqlar va qazish ishlarining ma'lum topografik yuzasi bilan kesishish chiziqlari bilan ifodalanadi.
Har bir sirt (shu jumladan tekis) konturlar yordamida tasvirlanganligi sababli, sirtlarning kesishish chizig'i bir xil belgilarga ega bo'lgan konturlarning kesishish nuqtalari to'plami sifatida quriladi. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol 1. Rasmda. 3.46 tekislikda turgan kesilgan to'rtburchak piramida shaklidagi tuproqli konstruktsiyani ko'rsatadi. N. Yuqori tayanch A B C D piramidaning belgisi bor 4m va yon o'lchamlar 2×2,5 m. Yon yuzalar (to'g'on yon bag'irlari) 2: 1 va 1: 1 nishabga ega, ularning yo'nalishi o'qlar bilan ko'rsatilgan.
Strukturaning qiyaliklarini tekislik bilan kesishish chizig'ini qurish kerak N va o'zaro, shuningdek, simmetriya o'qi bo'ylab uzunlamasına profilni qurish.
Birinchidan, qiyaliklarning diagrammasi, konlarning intervallari va masshtablari va berilgan qiyaliklar tuziladi. Saytning har bir tomoniga perpendikulyar ravishda, qiyaliklarning masshtablari belgilangan oraliqlarda chiziladi, shundan so'ng qo'shni yuzlarning bir xil belgilariga ega bo'lgan kontur chiziqlari proyeksiyalari yon qirralarning proektsiyalari bo'lgan qiyaliklarning kesishish chiziqlari hisoblanadi. bu piramida.
Piramidaning pastki poydevori nol gorizontal qiyaliklarga to'g'ri keladi. Agar bu tuproqli konstruktsiyani vertikal tekislik kesib o'tgan bo'lsa Q, kesmada siz singan chiziqni olasiz - strukturaning uzunlamasına profili.
2-misol. Chuqur yonbag'irlarining tekis qiyalik bilan va bir-biri bilan kesishish chizig'ini qurish. Pastki ( A B C D) chuqur - balandligi 10 m va o'lchamlari 3x4 m bo'lgan to'rtburchaklar maydon. Saytning o'qi janubiy-shimoliy chiziq bilan 5 ° burchak ostida. Qazilmalarning yon bagʻirlari bir xil 2:1 qiyaliklarga ega (3.47-rasm).
Nolinchi ishlar liniyasi sayt rejasiga muvofiq o'rnatiladi. U ko'rib chiqilayotgan sirtlarning gorizontal chiziqlarining bir xil nomdagi proektsiyalarining kesishish nuqtalarida qurilgan. Nishablar konturlari va topografik sirtning bir xil belgilar bilan kesishgan nuqtalarida, ma'lum bir chuqurning yon qirralarining proektsiyalari bo'lgan qiyaliklarning kesishish chizig'i topiladi.
Bunday holda, qazilmalarning yon bag'irlari chuqurning tubiga ulashgan. Chiziq a B C D- kerakli kesishish chizig'i. Aa, Bb, Cs, Dd– chuqurning chetlari, yonbag'irlarning bir-biri bilan kesishish chiziqlari.
4. O‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar va “To‘g‘ri burchakli proyeksiyalar” mavzusidagi mustaqil ish uchun topshiriqlar.
Nuqta
4.1.1. Proyeksiyalash usulining mohiyati.
4.1.2. Nuqta proyeksiyasi nima?
4.1.3. Proyeksiya tekisliklari qanday nomlanadi va qanday tayinlanadi?
4.1.4. Chizmadagi proyeksiyalarni ulash chiziqlari nima va ular chizmada proyeksiya o'qlariga nisbatan qanday joylashgan?
4.1.5. Nuqtaning uchinchi (profil) proyeksiyasini qanday qurish mumkin?
4.1.6. Uchta rasmli chizmada A, B, C nuqtalarning uchta proyeksiyasini tuzing, ularning koordinatalarini yozing va jadvalni to‘ldiring.
4.1.7. Yetishmayotgan proyeksiya o‘qlarini tuzing, x A =25, y A =20. A nuqtaning profil proyeksiyasini tuzing.
4.1.8. Nuqtalarning koordinatalariga ko‘ra uchta proyeksiyasini tuzing: A(25,20,15), B(20,25,0) va C(35,0,10). Proyeksiyalar tekisliklari va o'qlariga nisbatan nuqtalarning o'rnini ko'rsating. Qaysi nuqta P3 tekisligiga yaqinroq?
4.1.9. A va B moddiy nuqtalari bir vaqtning o'zida tusha boshlaydi. A nuqta yerga tegsa, B nuqtasi qanday holatda bo'ladi? Nuqtalarning ko'rinishini aniqlang. Nuqtalarni yangi holatda chizing.
4.1.10. A nuqtaning uchta proyeksiyasini tuzing, agar nuqta P 3 tekisligida yotsa va undan P 1 tekisligigacha bo'lgan masofa 20 mm, P 2 tekisligigacha - 30 mm bo'lsa. Nuqtaning koordinatalarini yozing.
Streyt
4.2.1. Chizmada to'g'ri chiziqni qanday aniqlash mumkin?
4.2.2. Qaysi chiziq umumiy holatda chiziq deyiladi?
4.2.3. To'g'ri chiziq proyeksiya tekisliklariga nisbatan qanday pozitsiyani egallashi mumkin?
4.2.4. To'g'ri chiziqning proyeksiyasi qanday holatda nuqtaga aylanadi?
4.2.5. Murakkab to'g'ri darajali chizmaning o'ziga xos xususiyati nimada?
4.2.6. Ushbu chiziqlarning nisbiy o'rnini aniqlang.
a…b a…b a…b
4.2.7. Tekisliklarga parallel, uzunligi 20 mm bo'lgan AB to'g'ri chiziq kesmasining proyeksiyalarini tuzing: a) P 2; b) P 1; c) ho'kiz o'qi. Segmentning proyeksiya tekisliklariga moyillik burchaklarini ko'rsating.
4.2.8. AB segmentining proyeksiyalarini uning uchlari koordinatalaridan foydalanib tuzing: A(30,10,10), B(10,15,30). Segmentni AC:CB = 1:2 nisbatda ajratuvchi C nuqtaning proyeksiyalarini tuzing.
4.2.9. Ushbu ko'pburchakning qirralari sonini va ularning proyeksiya tekisliklariga nisbatan o'rnini aniqlang va yozing.
4.2.10. A nuqta orqali m to‘g‘ri chiziqni kesib o‘tuvchi gorizontal va frontal chiziq chiziladi.
4.2.11. b chiziq va A nuqta orasidagi masofani aniqlang
4.2.12. A nuqtadan o'tuvchi va a) P 2 tekislikka perpendikulyar bo'lgan uzunligi 20 mm bo'lgan AB segmentining proyeksiyalarini tuzing; b) P 1; c) P 3.
Stereometriya
To'g'ri chiziqlar va tekisliklarning o'zaro joylashishi
Kosmosda
Chiziqlar va tekisliklarning parallelligi
Kosmosdagi ikkita chiziq deyiladi parallel , agar ular bir tekislikda yotsa va kesishmasa.
To'g'ri chiziq va tekislik deyiladi parallel , agar ular kesishmasa.
Ikkita samolyot chaqiriladi parallel , agar ular kesishmasa.
Bir tekislikda yotmaydigan va kesishmaydigan chiziqlar deyiladi chatishtirish .
Chiziq va tekislik orasidagi parallellik belgisi. Agar tekislikka tegishli bo'lmagan chiziq shu tekislikdagi qandaydir chiziqqa parallel bo'lsa, u tekislikning o'ziga parallel bo'ladi.
Parallel tekisliklar belgisi. Agar bitta tekislikning ikkita kesishuvchi chizig'i mos ravishda boshqa tekislikning ikkita chizig'iga parallel bo'lsa, bu tekisliklar parallel bo'ladi.
Chiziqlarni kesib o'tish belgisi. Agar ikkita chiziqdan biri tekislikda yotsa, ikkinchisi esa bu tekislikni birinchi chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tsa, u holda bu chiziqlar kesishadi.
Parallel chiziqlar va parallel tekisliklar haqidagi teoremalar.
1. Uchinchi chiziqqa parallel ikkita chiziq parallel.
2. Agar ikkita parallel to‘g‘ri chiziqdan biri tekislikni kesib o‘tsa, ikkinchi chiziq ham shu tekislikni kesib o‘tadi.
3. Berilgan chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel va faqat bitta chiziq chizish mumkin.
4. Agar chiziq kesishuvchi ikkita tekislikning har biriga parallel bo'lsa, u holda ularning kesishish chizig'iga parallel bo'ladi.
5. Agar ikkita parallel tekislik uchinchi tekislik bilan kesishsa, u holda kesishish chiziqlari parallel bo'ladi.
6. Berilgan tekislikda yotmagan nuqta orqali berilgan tekislikka parallel va faqat bitta tekislik chizish mumkin.
7. Uchinchisiga parallel bo'lgan ikkita tekislik bir-biriga parallel.
8. Parallel tekisliklar orasidagi parallel chiziqlarning segmentlari tengdir.
To'g'ri chiziqlar va tekisliklar orasidagi burchaklar
To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak to'g'ri chiziq va uning tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchak deyiladi (1-rasmdagi burchak).
Kesishuvchi chiziqlar orasidagi burchak- berilgan kesishuvchi chiziqlarga parallel bo'lgan kesishgan chiziqlar orasidagi burchak.
Ikki burchakli burchak umumiy chiziqli ikkita yarim tekislikdan hosil bo'lgan raqam. Yarim tekisliklar deyiladi qirralar , Streyt - chekka ikki burchakli burchak.
Chiziqli burchak dihedral burchak - dihedral burchakning yuzlariga tegishli yarim chiziqlar orasidagi burchak, chetning bir nuqtasidan chiqadigan va chetiga perpendikulyar (2-rasmdagi burchak).
Ikki burchakli burchakning daraja (radian) o'lchovi uning chiziqli burchagining daraja (radian) o'lchoviga teng.
Chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligi
Ikki to'g'ri chiziq deyiladi perpendikulyar agar ular to'g'ri burchak ostida kesishsa.
Tekislikni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi perpendikulyar bu tekislik, agar bu chiziq va tekislikning kesishish nuqtasidan o'tadigan tekislikdagi har qanday chiziqqa perpendikulyar bo'lsa.
Ikkita samolyot chaqiriladi perpendikulyar , agar kesishsa, ular to'g'ri dihedral burchaklarni hosil qiladi.
Chiziq va tekislikning perpendikulyarligi belgisi. Agar tekislikni kesishgan chiziq shu tekislikdagi ikkita kesishuvchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda tekislikka perpendikulyar bo'ladi.
Ikki tekislikning perpendikulyarligi belgisi. Agar tekislik boshqa tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, bu tekisliklar perpendikulyar bo'ladi.
Perpendikulyar to'g'rilar va tekisliklar haqidagi teoremalar.
1. Agar tekislik ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan biriga perpendikulyar boʻlsa, u boshqasiga ham perpendikulyar boʻladi.
2. Agar ikkita chiziq bir tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
3. Agar chiziq ikkita parallel tekislikning biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi.
4. Agar ikkita tekislik bir xil chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
Perpendikulyar va qiya
Teorema. Agar tekislikdan tashqaridagi bir nuqtadan perpendikulyar va qiya chiziqlar o'tkazilsa, u holda:
1) proyeksiyalari teng bo'lgan qiyshiqlar teng;
2) ikki qiyalikning proyeksiyasi kattaroq bo‘lgani kattaroq;
3) teng qiyshiqlar teng proyeksiyalarga ega;
4) ikkita proyeksiyadan kattaroq qiya proyeksiyaga mos keladigani kattaroqdir.
Uchta perpendikulyar teorema. Tekislikda yotgan toʻgʻri chiziq qiya chiziqqa perpendikulyar boʻlishi uchun bu toʻgʻri chiziq qiya chiziqning proyeksiyasiga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarli (3-rasm).
Ko'pburchakning tekislikka ortogonal proyeksiyasi maydoni haqidagi teorema. Ko'pburchakning tekislikka ortogonal proyeksiyasining maydoni ko'pburchak maydoni va ko'pburchak tekisligi va proyeksiya tekisligi orasidagi burchak kosinusining mahsulotiga teng.
Qurilish.
1. Samolyotda a to'g'ridan-to'g'ri olib boramiz A.
3. Samolyotda b nuqta orqali A to'g'ridan-to'g'ri qilaylik b, chiziqqa parallel A.
4. To'g'ri chiziq qurilgan b tekislikka parallel a.
Isbot. To'g'ri chiziq va tekislikning parallelizmiga asoslanib, to'g'ri chiziq b tekislikka parallel a, chunki u chiziqqa parallel A, samolyotga tegishli a.
O'qish. Muammoning cheksiz ko'p echimlari bor, chunki to'g'ri chiziq A samolyotda a tasodifiy tanlanadi.
2-misol. Nuqta tekislikdan qanday masofada joylashganligini aniqlang A, agar to'g'ri bo'lsa AB tekislikni nuqtadan masofani 45º burchak ostida kesib o'tadi A nuqtaga IN tekislikka tegishli sm ga teng?
Yechim. Keling, rasm chizamiz (5-rasm):
AC- tekislikka perpendikulyar a, AB- moyil, burchak ABC- to'g'ri chiziq orasidagi burchak AB va samolyot a. Uchburchak ABC- to'rtburchaklar, chunki AC- perpendikulyar. Nuqtadan kerakli masofa A samolyotga - bu oyoq AC to'g'ri uchburchak. Burchak va gipotenuzani sm bilib, biz oyoqni topamiz AC:
Javob: 3 sm.
3-misol. Agar uchburchakning asosi va balandligi 8 sm ga teng bo'lsa, uchburchakning har bir uchidan 13 sm masofada joylashgan nuqta teng yonli uchburchak tekisligidan qanday masofada joylashganligini aniqlang?
Yechim. Keling, rasm chizamiz (6-rasm). Nuqta S nuqtalardan uzoqda A, IN Va BILAN bir xil masofada. Shunday qilib, moyil S.A., S.B. Va S.C. teng, SO- bu moyilliklarning umumiy perpendikulyarlari. Qiyma va proyeksiyalar teoremasi bo'yicha AO = VO = CO.
Nuqta HAQIDA- uchburchak atrofida aylana markazi ABC. Uning radiusini topamiz:
Qayerda Quyosh- tayanch;
AD– berilgan teng yonli uchburchakning balandligi.
Uchburchakning tomonlarini topish ABC to'g'ri burchakli uchburchakdan ABD Pifagor teoremasiga ko'ra:
Endi topamiz OB:
Uchburchakni ko'rib chiqing SOB: S.B.= 13 sm, OB= = 5 sm.Perpendikulyar uzunligini toping SO Pifagor teoremasiga ko'ra:
Javob: 12 sm.
4-misol. Parallel tekisliklar berilgan a Va b. Nuqta orqali M, ularning hech biriga tegishli bo'lmagan to'g'ri chiziqlar chizilgan A Va b bu xoch a nuqtalarda A 1 va IN 1 va samolyot b- nuqtalarda A 2 va IN 2. Toping A 1 IN 1 agar ma'lum bo'lsa MA 1 = 8 sm, A 1 A 2 = 12 sm, A 2 IN 2 = 25 sm.
Yechim. Chunki shart ikkala tekislikka nisbatan nuqta qanday joylashganligini aytmaydi M, keyin ikkita variant mumkin: (7-rasm, a) va (7-rasm, b). Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik. Ikkita kesishuvchi chiziq A Va b tekislikni aniqlang. Bu tekislik ikkita parallel tekislikni kesib o'tadi a Va b parallel chiziqlar bo'ylab A 1 IN 1 va A 2 IN Parallel chiziqlar va parallel tekisliklar haqida 5-teoremaga muvofiq 2.
Uchburchaklar MA 1 IN 1 va MA 2 IN 2 o'xshash (burchaklar A 2 MV 2 va A 1 MV 1 - vertikal, burchaklar MA 1 IN 1 va MA 2 IN 2 - parallel chiziqlar bilan ichki ko'ndalang yotgan A 1 IN 1 va A 2 IN 2 va sekant A 1 A 2). Uchburchaklarning o'xshashligidan tomonlarning mutanosibligi kelib chiqadi:
Variant a):
b varianti):
Javob: 10 sm va 50 sm.
5-misol. Nuqta orqali A samolyot g to'g'ridan-to'g'ri chiziq chizilgan AB, tekislik bilan burchak hosil qiladi a. To'g'ridan-to'g'ri orqali AB samolyot chizilgan r, tekislik bilan hosil qilish g burchak b. To'g'ri chiziq proyeksiyasi orasidagi burchakni toping AB samolyotga g va samolyot r.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (8-rasm). Nuqtai nazardan IN tekislikka perpendikulyar tushiring g. Samolyotlar orasidagi chiziqli ikki burchakli burchak g Va r- bu to'g'ri burchak AD DBC, chiziq va tekislikning perpendikulyarligiga asoslangan, shuningdek, tekisliklarning perpendikulyarligiga asoslanib, tekislik r uchburchak tekisligiga perpendikulyar DBC, chunki u chiziqdan o'tadi AD. Biz nuqtadan perpendikulyar tushirib, kerakli burchakni quramiz BILAN samolyotga r, uni belgilaymiz To'g'ri burchakli uchburchakning bu burchagining sinusini toping O'ZIM. Keling, yordamchi segmentni kiritamiz a = BC. Uchburchakdan ABC: Uchburchakdan Dengiz floti topamiz
Keyin kerakli burchak
Javob:
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar
men daraja
1.1. Nuqta orqali berilgan ikkita kesishuvchi chiziqqa perpendikulyar chiziq chizing.
1.2. Qancha turli tekisliklarni chizish mumkinligini aniqlang:
1) uch xil nuqta orqali;
2) uchtasi bitta tekislikda yotmagan to'rt xil nuqta orqali?
1.3. Uchburchakning uchlari orqali ABC ikkita parallel tekislikning birida yotgan holda, ikkinchi tekislikni nuqtalarda kesib o'tuvchi parallel chiziqlar o'tkaziladi A 1 , IN 1 , BILAN 1 . Uchburchaklar tengligini isbotlang ABC Va A 1 IN 1 BILAN 1 .
1.4. Yuqoridan A to'rtburchak A B C D perpendikulyar tiklandi AM uning tekisligiga.
1) uchburchaklar ekanligini isbotlang MBC Va MDC- to'rtburchaklar;
2) segmentlar orasida ko'rsating M.B., M.C., M.D. Va M.A. eng katta va eng qisqa uzunlikdagi segment.
1.5. Bir dihedral burchakning yuzlari mos ravishda boshqasining yuzlariga parallel. Ushbu dihedral burchaklarning qiymatlari o'rtasidagi munosabatni aniqlang.
1.6. Agar bir yuzda olingan nuqtadan chetgacha bo'lgan masofa nuqtadan ikkinchi yuz tekisligigacha bo'lgan masofadan 2 marta katta bo'lsa, ikki tomonlama burchakning qiymatini toping.
1.7. Tekislikdan masofa bilan ajratilgan nuqtadan 60º burchak hosil qiluvchi ikkita teng qiyalik qiyalik chiziladi. Egri proyeksiyalar o'zaro perpendikulyar. Qiyalilarning uzunliklarini toping.
1.8. Yuqoridan IN kvadrat A B C D perpendikulyar tiklandi BO'LING kvadrat tekisligiga. Uchburchak tekisligining qiyalik burchagi ACE kvadrat tekisligiga teng j, kvadratning tomoni A ACE.
II daraja
2.1. Kesuvchi ikkita to‘g‘ri chiziqdan biriga tegishli bo‘lmagan nuqta orqali berilgan ikkala to‘g‘ri chiziqni kesib o‘tuvchi chiziq chizing.
2.2. Parallel chiziqlar A, b Va Bilan bir tekislikda yotmang. Nuqta orqali A to'g'ri chiziqda A to'g'ri chiziqlarga perpendikulyarlar o'tkaziladi b Va Bilan, ularni mos ravishda nuqtalarda kesish IN Va BILAN. Chiziqni isbotlang Quyosh to'g'ri chiziqlarga perpendikulyar b Va Bilan.
2.3. Yuqori orqali A to'g'ri uchburchak ABC ga parallel ravishda tekislik chiziladi Quyosh. Uchburchakning oyoqlari AC= 20 sm, Quyosh= 15 sm.Oyoqlardan birining tekislikka proyeksiyasi 12 sm.Gipotenuzaning proyeksiyasini toping.
2.4. 30º ga teng dihedral burchakning yuzlaridan birida nuqta mavjud M. Undan burchak chetigacha bo'lgan masofa 18 sm.Nuqtaning proyeksiyasidan masofani toping M ikkinchi yuzga birinchi yuzga.
2.5. Segmentning oxiri AB 90º ga teng dihedral burchak yuzlariga tegishli. Nuqtalardan masofa A Va IN chetiga mos ravishda teng AA 1 = 3 sm, BB 1 = 6 sm, chetidagi nuqtalar orasidagi masofa Segmentning uzunligini toping AB.
2.6. Samolyotdan uzoqda joylashgan nuqtadan A, tekislik bilan 45º va 30º burchaklar va o'zaro 90º burchak hosil qiluvchi ikkita eğimli chizilgan. Nishablarning asoslari orasidagi masofani toping.
2.7. Uchburchakning tomonlari 15 sm, 21 sm va 24 sm.Nuqta M uchburchak tekisligidan 73 sm ga olib tashlangan va uning uchlaridan bir xil masofada joylashgan. Bu masofani toping.
2.8. Markazdan HAQIDA uchburchak ichiga chizilgan doira ABC, uchburchak tekisligiga perpendikulyar tiklanadi OM. Nuqtadan masofani toping M uchburchakning yon tomonlariga, agar AB = BC = 10 sm, AC= 12 sm, OM= 4 sm.
2.9. Nuqtadan masofalar M to'g'ri burchakning yon tomonlari va uchlari mos ravishda 4 sm, 7 sm va 8 sm bo'lgan nuqtadan masofani toping. M to'g'ri burchak tekisligiga.
2.10. Baza orqali AB teng yonli uchburchak ABC tekislik burchak ostida chizilgan b uchburchak tekisligiga. Vertex BILAN samolyotdan masofaga olib tashlangan A. Uchburchakning maydonini toping ABC, agar asos bo'lsa AB teng yonli uchburchakning balandligi uning balandligiga teng.
III daraja
3.1. To'rtburchaklar tartibi A B C D tomonlar bilan A Va b diagonal ravishda egilgan BD shunday qilib, uchburchaklar tekisliklari YOMON Va BCD o'zaro perpendikulyar bo'ldi. Segment uzunligini toping AC.
3.2. Burchaklari 60º bo'lgan ikkita to'rtburchak trapezoidlar perpendikulyar tekisliklarda yotadi va kattaroq umumiy asosga ega. Kattaroq tomonlari 4 sm va 8 sm.Toʻgʻri chiziqlar choʻqqilari bilan trapetsiyalarning oʻtkir burchaklarining uchlari bir-biriga toʻgʻri kelsa, ularning choʻqqilari orasidagi masofani toping.
3.3.Kub berilgan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . To'g'ri chiziq orasidagi burchakni toping CD 1 va samolyot BDC 1 .
3.4. Chetda AB Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ball olindi R- bu qovurg'aning o'rtasi. Nuqtalardan o'tadigan tekislik bilan kubning kesmasini tuzing C 1 P.D. va kubning cheti teng bo'lsa, ushbu qismning maydonini toping A.
3.5. Yon tomondan AD to'rtburchak A B C D samolyot chizilgan a Shunday qilib, diagonal BD bu tekislik bilan 30º burchak hosil qiladi. To'rtburchak tekisligi bilan tekislik orasidagi burchakni toping a, Agar AB = A, AD = b. Qaysi nisbatda ekanligini aniqlang A Va b muammoning yechimi bor.
3.6. Uchburchak tomonlari bilan belgilangan chiziqlardan teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashishini toping.
Prizma. Parallelepiped
Prizma ikki yuzi n-gonlarga teng boʻlgan koʻpburchakdir (asos) , parallel tekisliklarda yotgan va qolgan n ta yuzi parallelogrammdir (yon yuzlar) . Yanal qovurg'a Prizmaning asosiga tegishli bo'lmagan tomoni prizma tomoni deyiladi.
Yon qirralari asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan prizma deyiladi Streyt prizma (1-rasm). Yon qirralarning asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lmasa, prizma deyiladi moyil . To'g'ri Prizma - asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lgan to'g'ri prizma.
Balandligi prizma - asoslar tekisliklari orasidagi masofa. Diagonal Prizma - bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchni bog'laydigan segment. Diagonal qism prizmaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik kesimi deyiladi. Perpendikulyar kesim prizmaning yon chetiga perpendikulyar tekislik bilan prizma kesimi deyiladi.
Yanal sirt maydoni prizma - barcha lateral yuzlarning maydonlarining yig'indisi. Umumiy sirt maydoni prizmaning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisi (ya'ni, yon yuzlari va asoslar maydonlarining yig'indisi) deb ataladi.
Ixtiyoriy prizma uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi::
Qayerda l- yon qovurg'aning uzunligi;
H- balandligi;
P
Q
S tomoni
S to'la
S asosi- asoslar maydoni;
V- prizma hajmi.
To'g'ri prizma uchun quyidagi formulalar to'g'ri:
Qayerda p- bazaning perimetri;
l- yon qovurg'aning uzunligi;
H- balandlik.
parallelepiped asosi parallelogramm bo'lgan prizma deyiladi. Yon qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped deyiladi bevosita (2-rasm). Agar yon qirralarning asoslarga perpendikulyar bo'lmasa, u holda parallelepiped deyiladi moyil . Poydevori to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepiped deyiladi to'rtburchaklar. Barcha qirralari teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped deyiladi kub
Parallelepipedning umumiy uchlari bo'lmagan yuzlari deyiladi qarama-qarshi . Bir tepadan chiqadigan qirralarning uzunliklari deyiladi o'lchovlar parallelepiped. Parallelepiped prizma bo'lgani uchun uning asosiy elementlari prizmalar uchun qanday aniqlangan bo'lsa, xuddi shunday aniqlanadi.
Teoremalar.
1. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va uni ikkiga bo'ladi.
2. To‘g‘ri burchakli parallelepipedda diagonal uzunligining kvadrati uning uch o‘lchami kvadratlari yig‘indisiga teng:
3. To‘g‘ri burchakli parallelepipedning barcha to‘rt diagonali bir-biriga teng.
Ixtiyoriy parallelepiped uchun quyidagi formulalar amal qiladi:
Qayerda l- yon qovurg'aning uzunligi;
H- balandligi;
P- perpendikulyar kesma perimetri;
Q– Perpendikulyar kesma maydoni;
S tomoni- lateral sirt maydoni;
S to'la- umumiy sirt maydoni;
S asosi- asoslar maydoni;
V- prizma hajmi.
To'g'ri parallelepiped uchun quyidagi formulalar to'g'ri:
Qayerda p- bazaning perimetri;
l- yon qovurg'aning uzunligi;
H- to'g'ri parallelepipedning balandligi.
To'rtburchaklar parallelepiped uchun quyidagi formulalar to'g'ri:
Qayerda p- bazaning perimetri;
H- balandligi;
d- diagonal;
a,b,c- parallelepipedning o'lchovlari.
Quyidagi formulalar kub uchun to'g'ri:
Qayerda a- qovurg'a uzunligi;
d- kubning diagonali.
1-misol. To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonali 33 dm, o'lchamlari esa 2:6:9 nisbatda.Parallelepipedning o'lchamlarini toping.
Yechim. Parallelepipedning o'lchamlarini topish uchun biz (3) formuladan foydalanamiz, ya'ni. kuboidning gipotenuzasi kvadrati uning o'lchamlari kvadratlari yig'indisiga teng ekanligi bilan. bilan belgilaymiz k proportsionallik omili. Shunda parallelepipedning o'lchamlari 2 ga teng bo'ladi k, 6k va 9 k. Muammoli ma'lumotlar uchun formula (3) yozamiz:
uchun bu tenglamani yechish k, biz olamiz:
Bu shuni anglatadiki, parallelepipedning o'lchamlari 6 dm, 18 dm va 27 dm.
Javob: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
2-misol. Agar yon qirrasi asosning yon tomoniga teng va asosga 60º burchak ostida qiya bo'lsa, poydevori 8 sm bo'lgan teng tomonli uchburchak bo'lgan qiya uchburchak prizmaning hajmini toping.
Yechim . Keling, rasm chizamiz (3-rasm).
Eğimli prizmaning hajmini topish uchun siz uning poydevori va balandligining maydonini bilishingiz kerak. Ushbu prizma asosining maydoni 8 sm bo'lgan teng tomonli uchburchakning maydoni bo'lib, uni hisoblaylik:
Prizmaning balandligi uning asoslari orasidagi masofadir. Yuqoridan A Yuqori poydevorning 1, pastki poydevor tekisligiga perpendikulyar tushiring A 1 D. Uning uzunligi prizmaning balandligi bo'ladi. D ni ko'rib chiqing A 1 AD: chunki bu yon qirraning moyillik burchagi A 1 A asosiy tekislikka, A 1 A= 8 sm.Bu uchburchakdan biz topamiz A 1 D:
Endi biz (1) formuladan foydalanib hajmni hisoblaymiz:
Javob: 192 sm 3.
3-misol. Muntazam olti burchakli prizmaning yon qirrasi 14 sm, eng katta diagonal kesmaning maydoni 168 sm 2. Prizmaning umumiy sirtini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (4-rasm)
Eng katta diagonal qism to'rtburchakdir A.A. 1 DD Diagonaldan beri 1 AD muntazam olti burchakli ABCDEF eng kattasi hisoblanadi. Prizmaning lateral sirt maydonini hisoblash uchun poydevorning yon tomonini va yon chetining uzunligini bilish kerak.
Diagonal qismning (to'rtburchak) maydonini bilib, biz poydevorning diagonalini topamiz.
O'shandan beri
O'shandan beri AB= 6 sm.
Keyin poydevorning perimetri:
Prizmaning lateral yuzasi maydonini topamiz:
Tomoni 6 sm bo'lgan oddiy olti burchakning maydoni:
Prizmaning umumiy sirtini toping:
Javob:
4-misol. To'g'ri parallelepipedning asosi rombdir. Diagonal kesma maydonlari 300 sm2 va 875 sm2. Parallelepipedning lateral yuzasi maydonini toping.
Yechim. Keling, rasm chizamiz (5-rasm).
Romb tomonini bilan belgilaymiz A, rombning diagonallari d 1 va d 2, parallelepiped balandligi h. To'g'ri parallelepipedning lateral yuzasi maydonini topish uchun poydevorning perimetrini balandlikka ko'paytirish kerak: (formula (2)). Baza perimetri p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, chunki A B C D- romb H = AA 1 = h. Bu. Topish kerak A Va h.
Keling, diagonal kesmalarni ko'rib chiqaylik. AA 1 SS 1 - bir tomoni rombning diagonali bo'lgan to'rtburchak AC = d 1, ikkinchi - yon chekka AA 1 = h, Keyin
Xuddi shunday bo'lim uchun BB 1 DD 1 biz olamiz:
Diagonallar kvadratlari yig'indisi uning barcha tomonlari kvadratlari yig'indisiga teng bo'ladigan parallelogrammning xossasidan foydalanib, biz tenglikni olamiz Biz quyidagilarni olamiz:
Birinchi ikkita tenglikni ifodalaymiz va ularni uchinchisiga almashtiramiz. Biz olamiz: keyin
1.3. Qiyali uchburchak prizmada yon chetiga 12 sm ga teng kesma chiziladi.Olingan uchburchakda uzunliklari sm va 8 sm bolgan ikki tomon 45° burchak hosil qiladi. Prizmaning yon sirt maydonini toping.
1.4. To'g'ri parallelepipedning asosi tomoni 4 sm va o'tkir burchagi 60 ° bo'lgan rombdir. Yon chetining uzunligi 10 sm bo'lsa, parallelepipedning diagonallarini toping.
1.5. To'g'ri parallelepipedning asosi diagonali sm ga teng bo'lgan kvadratdir.Parallelepipedning lateral qirrasi 5 sm.Parallelepipedning umumiy sirtini toping.
1.6. Qiya parallelepipedning asosi tomonlari 3 sm va 4 sm boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchakdir.Sm ga teng yon cheti asos tekisligiga 60° burchak ostida qiya. Parallelepipedning hajmini toping.
1.7. To'rtburchaklar parallelepipedning sirt maydonini hisoblang, agar ikkita qirrasi va bitta cho'qqidan chiqadigan diagonali mos ravishda 11 sm, sm va 13 sm bo'lsa.
1.8. O'lchamlari 0,3 m, 0,3 m va 2,5 m bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped shaklidagi tosh ustunning og'irligini aniqlang, agar materialning solishtirma og'irligi 2,2 g / sm 3 bo'lsa.
1.9. Agar kubning yuzining diagonali dm ga teng bo'lsa, uning diagonal kesma maydonini toping.
1.10. Agar kubning bir yuzida yotmaydigan ikkita uchi orasidagi masofa sm ga teng bo‘lsa, uning hajmini toping.
II daraja
2.1. Qiya prizmaning asosi teng yonli uchburchak bo'lib, yon tomoni sm.Yon cheti asos tekisligiga 30° burchak ostida qiya. Prizmaning yon chetidan oʻtuvchi koʻndalang kesimi maydonini va prizmaning balandligini toping, agar yuqori poydevor choʻqqilaridan biri pastki poydevor yon tomonining oʻrtasiga proyeksiyalanganligi maʼlum boʻlsa.
2.2. Qiya prizmaning asosi teng yonli ABC uchburchak bo'lib, tomoni 3 sm ga teng A 1 cho'qqisi ABC uchburchak markaziga proyeksiyalangan. AA 1 qovurg'a taglik tekisligi bilan 45 ° burchak hosil qiladi. Prizmaning yon sirt maydonini toping.
2.3. Qiya uchburchak prizmaning hajmini hisoblang, agar poydevorning tomonlari 7 sm, 5 sm va 8 sm bo'lsa va prizmaning balandligi asosiy uchburchakning kichik balandligiga teng bo'lsa.
2.4. Muntazam toʻrtburchak prizmaning diagonali yon yuziga 30° burchak ostida qiya. Asos tekisligiga moyillik burchagini toping.
2.5. To'g'ri prizmaning asosi teng yonli trapetsiya bo'lib, uning asoslari 4 sm va 14 sm, diagonali 15 sm.Prizmaning ikki yon yuzi kvadratdir. Prizmaning umumiy sirtini toping.
2.6. Muntazam olti burchakli prizmaning diagonallari 19 sm va 21 sm.Uning hajmini toping.
2.7. Diagonali 8 dm bo‘lgan, yon yuzlari bilan 30° va 40° burchak hosil qiluvchi to‘g‘ri burchakli parallelepipedning o‘lchovlarini toping.
2.8. To'g'ri parallelepiped asosining diagonallari 34 sm va 38 sm, yon yuzlarining maydonlari 800 sm 2 va 1200 sm 2 ga teng. Parallelepipedning hajmini toping.
2.9. To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmini aniqlang, unda bir cho'qqidan chiqadigan yon yuzlarining diagonallari 4 sm va 5 sm bo'lib, 60 ° burchak hosil qiladi.
2.10. Agar kubning diagonalidan u bilan kesishmaydigan chetigacha bo'lgan masofa mm bo'lsa, uning hajmini toping.
III daraja
3.1. Muntazam uchburchak prizmada asosning yon tomoni va qarama-qarshi tomonning o'rtasi orqali kesma o'tkaziladi. Asosiy maydoni 18 sm 2, yon yuzining diagonali esa 60 ° burchak ostida poydevorga moyil. Kesmaning maydonini toping.
3.2. Prizma asosida ABCD kvadrat yotadi, uning barcha uchlari ustki asosning A 1 uchidan teng masofada joylashgan. Yon qirrasi va taglik tekisligi orasidagi burchak 60 ° ga teng. Poydevorning yon tomoni 12 sm.Prizmaning AA 1 chetiga perpendikulyar C cho’qqi orqali o’tuvchi tekislik kesimini tuzing va uning maydonini toping.
3.3. To'g'ri prizmaning asosi teng yonli trapesiyadir. Diagonal tasavvurlar maydoni va parallel yon tomonlarning maydoni mos ravishda 320 sm 2, 176 sm 2 va 336 sm 2 ni tashkil qiladi. Prizmaning yon sirt maydonini toping.
3.4. To'g'ri burchakli uchburchak prizma poydevorining maydoni 9 sm 2, yon yuzlarining maydoni 18 sm 2, 20 sm 2 va 34 sm 2 ga teng. Prizma hajmini toping.
3.5. To‘g‘ri burchakli parallelepipedning yuzlari diagonallari 11 sm, 19 sm va 20 sm ekanligini bilib, uning diagonallarini toping.
3.6. To'g'ri burchakli parallelepiped asosining diagonalining poydevor tomoni va parallelepiped diagonali bilan hosil bo'lgan burchaklar mos ravishda a va b ga teng. Agar uning diagonali d bo'lsa, parallelepipedning lateral sirtini toping.
3.7. Muntazam olti burchakli kub kesimining maydoni sm 2 ga teng. Kubning sirt maydonini toping.
Yuklanmoqda...