Kvadrat funksiya

Funktsiya f(x)=ax2+bx2+c, Qayerda a, b, c- ba'zi haqiqiy raqamlar ( a 0), chaqirildi kvadratik funktsiya. Kvadrat funksiyaning grafigi deyiladi parabola.

Kvadrat funksiyani shaklga keltirish mumkin

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

ifoda b2-4ac chaqirdi diskriminant kvadrat trinomial. Kvadrat funktsiyani (1) ko'rinishda tasvirlash tanlash deyiladi to'liq kvadrat.

Kvadrat funksiyaning xossalari va uning grafigi

Kvadrat funktsiyani aniqlash sohasi butun son chizig'idir.

Da b 0 funksiyasi juft ham, toq ham emas. Da b=0 kvadratik funksiya - juft.

Kvadrat funksiya uzluksiz va butun ta'rif sohasi bo'ylab differentsial bo'ladi.

Funktsiya bitta kritik nuqtaga ega

x=-b/(2a). Agar a>0, keyin nuqtada x=-b/(2a) funktsiya minimal qiymatga ega. Da x<-b/(2a) funktsiya monoton ravishda kamayadi, bilan x>-b/(2a) monoton ravishda ortadi.

Agar A<0, то в точке x=-b/(2a) funktsiya maksimalga ega. Da x<-b/(2a) funktsiya monoton ravishda ortadi, bilan x>-b/(2a) monoton tarzda kamayadi.

Abtsissali kvadratik funksiyaning nuqta grafigi x=-b/(2a) va ordinatsiya qiling y= -((b2-4ac)/4a) chaqirdi parabolaning tepasi.

Funktsiyani o'zgartirish maydoni: qachon a>0 - funksiya qiymatlari to'plami [-((b2-4ac)/4a); +); da a<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

Kvadrat funktsiyaning grafigi o'qni kesib o'tadi 0y nuqtada y=c. Agar b2-4ac>0, kvadrat funktsiyaning grafigi o'qni kesib o'tadi 0x ikki nuqtada (kvadrat tenglamaning turli haqiqiy ildizlari); Agar b2-4ac=0 (kvadrat tenglama ko'paytmaning bitta ildiziga ega 2), kvadratik funktsiyaning grafigi o'qga tegadi 0x nuqtada x=-b/(2a); Agar b2-4ac<0 , eksa bilan kesishmalar 0x Yo'q.

Kvadrat funktsiyani (1) ko'rinishda tasvirlashdan ham funktsiya grafigi to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik ekanligi kelib chiqadi. x=-b/(2a)- parallel tarjima paytida ordinata o'qining tasviri r=(-b/(2a); 0).

Funksiya grafigi

f(x)=ax2+bx+c

• (yoki f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) funksiya grafigidan olish mumkin f(x)=x2 quyidagi o'zgarishlar bilan:
  • a) parallel uzatish r=(-b/(2a); 0);
  • b) x o'qiga siqish (yoki cho'zish) c A bir marta;
  • c) parallel uzatish

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Eksponensial funktsiya

Eksponensial funktsiya shaklning funksiyasi deb ataladi f(x)=ax, Qayerda A- ba'zi ijobiy haqiqiy raqam chaqirildi darajaning asosi. Da a=1 argumentning har qanday qiymati uchun eksponensial funktsiyaning qiymati birga teng va holat A=1 bundan keyin ko'rib chiqilmaydi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xossalari.

Funktsiyani aniqlash sohasi butun son chizig'idir.

Funktsiyaning sohasi barcha musbat sonlar to'plamidir.

Funktsiya uzluksiz va butun ta'rif sohasi bo'ylab differentsial bo'ladi. Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi formuladan foydalanib hisoblanadi

(a x) = a xln a

Da A>1 funksiya monoton ravishda ortadi, bilan A<1 монотонно убывает.

Eksponensial funktsiya logarifmik funktsiya deb ataladigan teskari funktsiyaga ega.

Har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi o'qni kesib o'tadi 0y nuqtada y=1.

Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi konkavel yuqoriga yo'naltirilgan egri chiziqdir.

Qiymatdagi ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi A=2 rasmda ko'rsatilgan. 5

Logarifmik funktsiya

Ko'rsatkichli funktsiyaning teskari funktsiyasi y= a x deyiladi logarifmik va belgilang

y = loga x.

Raqam A chaqirdi asos logarifmik funktsiya. 10 asosli logarifmik funksiya bilan belgilanadi

va asosli logarifmik funktsiya e bildirmoq

Logarifmik funksiyaning xossalari

Logarifmik funksiyani aniqlash sohasi interval (0; +) hisoblanadi.

Logarifmik funktsiya diapazoni butun sonli diapazondir.

Logarifmik funktsiya uzluksiz va butun ta'rif sohasi bo'ylab differentsial bo'ladi. Logarifmik funktsiyaning hosilasi formuladan foydalanib hisoblanadi

(loga x) = 1/(x ln a).

Agar logarifmik funktsiya monoton ravishda ortadi A>1. 0 da<a<1 логарифмическая функция с основанием A monoton tarzda kamayadi. Har qanday sababga ko'ra a>0, a 1, tenglik amal qiladi

loga 1 = 0, loga = 1.

Da A>1 logarifmik funktsiya grafigi - pastga botiq yo'naltirilgan egri chiziq; 0 da<a<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Logarifmik funktsiyaning grafigi da A=2 rasmda ko'rsatilgan. 6.

Asosiy logarifmik identifikatsiya

y= ko'rsatkichli funksiya uchun teskari funksiya a x logarifmik funktsiya x =log bo'ladi a y. O'zaro teskari funktsiyalarning xususiyatlariga ko'ra f va f-I hamma uchun x f-I(x) funksiyani aniqlash sohasidan. Xususan, ko'rsatkichli va logarifmik funksiya uchun tenglik (1) shaklni oladi

a jurnal a y=y.

Tenglik (2) ko'pincha deyiladi asosiy logarifmik identifikatsiya. Har qanday ijobiy uchun x, y logarifmik funktsiya uchun quyidagi tengliklar to'g'ri bo'lib, ular asosiy logarifmik identifikatsiya (2) va eksponensial funktsiyaning xususiyatlari natijasida olinishi mumkin:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga(x) = logax(- har qanday haqiqiy raqam);

log=1;

loga x =(logb x/ logb a) (b- haqiqiy son, b>0, b 1).

Xususan, oxirgi formuladan a=e, b=10 tenglikni olamiz

ln x = (1/(ln e))lg x.(3)

lg raqami e natural logarifmlardan o'nliklarga o'tish moduli deb ataladi va M harfi bilan belgilanadi va formula (3) odatda ko'rinishda yoziladi.

lg x =M ln x.

Teskari proportsional munosabat

Oʻzgaruvchan y chaqirdi teskari proportsional o'zgaruvchan x, agar bu o'zgaruvchilarning qiymatlari tenglik bilan bog'liq bo'lsa y = k/x, Qayerda k- noldan farq qiladigan ba'zi haqiqiy sonlar. Raqam k teskari proportsionallik koeffitsienti deyiladi.

y = k/x funksiyaning xossalari

Funktsiya sohasi 0 dan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

Funktsiya sohasi 0 dan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

Funktsiya f(x) = k/x- g'alati, va uning grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir. Funktsiya f(x) = k/x butun ta'rif sohasi bo'ylab uzluksiz va farqlanadi. f(x) = -k/x2. Funktsiyaning muhim nuqtalari yo'q.

Funktsiya f(x) = k/x k>0 uchun (-, 0) va (0, +), k uchun esa monoton ravishda kamayadi<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Funksiya grafigi f(x) = k/x k>0 uchun (0, +) oraliqda botiq yuqoriga, (-, 0) oraliqda esa botiq pastga yo`nalgan. K da<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

Funksiya grafigi f(x) = k/x qiymat uchun k=1 rasmda ko'rsatilgan. 7.

trigonometrik funktsiyalar

Sin, cos, tg, ctg funksiyalari chaqiriladi trigonometrik funktsiyalar burchak. Sin, cos, tg, ctg asosiy trigonometrik funktsiyalariga qo'shimcha ravishda burchakning yana ikkita trigonometrik funktsiyasi mavjud - sekant Va kosekant, belgilangan sek Va kosek mos ravishda.

Sinus raqamlar X radianlarda burchak sinusiga teng son.

sin x funksiyasining xossalari.

sin x funksiyasi toq: sin (-x)=- sin x.

sin x funksiyasi davriydir. Eng kichik ijobiy davr 2:

gunoh (x+2)= sin x.

Funksiyaning nollari: x= da sin x=0 n, n Z.

Belgining doimiylik oraliqlari:

sin x>0 da x (2 n; +2n), n Z,

gunoh x<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

sin x funksiyasi uzluksiz va argumentning istalgan qiymati uchun hosilaga ega:

(sin x) =cos x.

sin x funksiyasi x ((-/2)+2 sifatida ortadi n;(/2)+2n), n Z, va x ((/2)+2 kabi kamayadi n; ((3)/2)+ 2n),n Z.

sin x funksiyasi x=(-/2)+2 da -1 ga teng minimal qiymatlarga ega n, n Z va maksimal qiymatlar x=(/2)+2 da 1 ga teng n, n Z.

y=sin x funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 8. sin x funksiyaning grafigi deyiladi sinusoid.

cos x funksiyasining xossalari

Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

Qiymatlar oralig'i [-1; 1].

Funktsiya cos x - juft: cos (-x)=cos x.

cos x funksiyasi davriydir. Eng kichik ijobiy davr 2:

cos (x+2)= cos x.

Funktsiyaning nollari: cos x=0 da x=(/2)+2 n, n Z.

Belgining doimiylik oraliqlari:

cos x>0 da x ((-/2)+2 n;(/2)+2n)), n Z,

chunki x<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

cos x funksiyasi uzluksiz va argumentning istalgan qiymati uchun differensiallanadi:

(cos x) = -sin x.

cos x funksiyasi x (-+2 n; 2n), n Z,

va x kabi kamayadi (2 n; + 2n),n Z.

cos x funksiyasi x=+2 da -1 ga teng minimal qiymatlarga ega n, n Z va maksimal qiymatlar x=2 da 1 ga teng n, n Z.

y=cos x funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 9.

tg x funksiyaning xossalari

Funktsiya sohasi x=/2+ dan boshqa barcha haqiqiy sonlar to'plamidir n, n Z.

Funktsiya tg x - toq: tg (-x)=- tg x.

tg x funksiyasi davriydir. Funktsiyaning eng kichik ijobiy davri:

tg (x+)= tg x.

Funktsiyaning nollari: x= da tg x=0 n, n Z.

Belgining doimiylik oraliqlari:

tan x>0 da x ( n; (/2)+n), n Z,

tg x<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

tg x funktsiyasi uzluksiz va ta'rif sohasidan argumentning istalgan qiymati uchun differensiallanadi:

(tg x) =1/cos2 x.

Har bir intervalda tg x funksiyasi ortadi

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

y=tg x funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 10. tg x funksiyaning grafigi deyiladi tangentoid.

stg x funksiyasining xossalari.

n, n Z.

Diapazon barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

Funktsiya stg x - toq: stg (-x)=- stg x.

stg x funksiyasi davriydir. Funktsiyaning eng kichik ijobiy davri:

ctg (x+) = ctg x.

Funktsiyaning nollari: x=(/2)+ da ctg x=0 n, n Z.

Belgining doimiylik oraliqlari:

krovat x>0 da x ( n; (/2)+n), n Z,

ctg x<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

ctg x funktsiyasi uzluksiz va ta'rif sohasidan argumentning har qanday qiymati uchun differensiallanadi:

(ctg x) =-(1/sin2 x).

ctg x funksiyasi har bir oraliqda kamayadi ( n;(n+1)), n Z.

y=stg x funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. o'n bir.

sek x funksiyaning xossalari.

Funktsiya sohasi - bu shakl raqamlaridan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plami

x=(/2)+ n, n Z.

Qo'llash doirasi:

Funktsiya sek x - juft: sek (-x)= sek x.

sek x funksiyasi davriydir. Funktsiyaning eng kichik ijobiy davri 2 ga teng:

sek (x+2)= sek x.

sek x funksiyasi argumentning har qanday qiymati uchun nolga tushmaydi.

Belgining doimiylik oraliqlari:

sek x>0 da x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

sek x<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), n Z.

sek x funktsiyasi uzluksiz va argumentning istalgan qiymati uchun funktsiyani aniqlash sohasidan farqlanadi:

(sek x) = sin x/cos2 x.

sek x funksiyasi intervalgacha ortadi

(2n;(/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n],n Z,

va orasida kamayadi

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], n Z.

y=sek x funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 12.

cosec x funksiyasining xossalari

Funktsiya sohasi x= ko'rinishdagi raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plamidir n, n Z.

Qo'llash doirasi:

Funktsiya kosek x - toq: kosek (-x)= -kosek x.

Kosek x funksiyasi davriydir. Funktsiyaning eng kichik ijobiy davri 2 ga teng:

kosek (x+2)= kosek x.

cosec x funksiyasi argumentning har qanday qiymati uchun nolga tushmaydi.

Belgining doimiylik oraliqlari:

kosek x>0 da x (2 n; +2n), n Z,

kosek x<0 при x (+2n; 2(n+1)), n Z.

cosec x funksiyasi uzluksiz va funktsiya sohasidan argumentning istalgan qiymati uchun differensiallanadi:

(kosek x) =-(cos x/sin2 x).

Kosek x funksiyasi intervalgacha ortadi

[(/2)+ 2n;+ 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n],n Z,

va orasida kamayadi

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), n Z.

y=kosek x funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 13.

y =a*x^2+b*x+c ko‘rinishdagi funksiya, bunda a,b,c ba’zi haqiqiy sonlar, a nolga teng bo‘lmagan, x,y esa o‘zgaruvchilar kvadratik funksiya deyiladi. y =a*x^2+b*x+c kvadrat funktsiyaning grafigi matematikada deyiladi. parabola. Parabolaning umumiy ko'rinishi quyidagi rasmda keltirilgan.

Shuni ta'kidlash joizki, agar funktsiya a>0 koeffitsientiga ega bo'lsa, u holda parabola shoxlari bilan yuqoriga yo'naltiriladi va agar a kvadrat funktsiyaning grafigi simmetriya o'qiga nisbatan simmetrik bo'lsa. Parabolaning simmetriya o‘qi x=(-b)/(2*a) nuqtadan Oy o‘qiga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqdir.

Parabola tepasining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Quyidagi rasmda ixtiyoriy kvadratik funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Kvadrat funksiya grafigini tuzish. Rasmda parabolaning uchi va simmetriya o'qi ham belgilangan.

a koeffitsientining qiymatiga qarab, parabolaning tepasi kvadrat funktsiyaning minimal yoki maksimal qiymati bo'ladi. a>0 bo'lganda, tepa kvadrat funktsiyaning minimal qiymati bo'lib, maksimal qiymat yo'q. a bo’lganda simmetriya o’qi parabola cho’qqisidan o’tadi. Kvadrat funktsiyani aniqlash sohasi R haqiqiy sonlarning butun to'plamidir.

y =a*x^2+b*x+c kvadrat funksiya har doim y=a*(x+k)^2+p ko‘rinishga o‘tkazilishi mumkin, bunda k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Buning uchun siz to'liq kvadratni tanlashingiz kerak.

E'tibor bering, koordinatalari (-k;p) bo'lgan nuqta parabolaning tepasi bo'ladi. y=a*(x+k)^2+p kvadrat funktsiyaning grafigini y=a*x^2 funksiya grafigidan parallel tarjima yordamida olish mumkin.

O'qishlaringizda yordam kerakmi?