Ushbu qo'llanma sizga qanday ishlashni o'rganishga yordam beradi matritsalar bilan amallar: matritsalarni qo'shish (ayirish), matritsani transpozitsiya qilish, matritsalarni ko'paytirish, teskari matritsani topish. Barcha materiallar sodda va tushunarli shaklda taqdim etilgan, tegishli misollar keltirilgan, shuning uchun hatto tayyor bo'lmagan odam ham matritsalar bilan qanday harakatlar qilishni o'rganishi mumkin. O'z-o'zini nazorat qilish va o'z-o'zini sinab ko'rish uchun siz matritsali kalkulyatorni bepul yuklab olishingiz mumkin >>>.

Men nazariy hisob-kitoblarni minimallashtirishga harakat qilaman, ba'zi joylarda "barmoqlarda" tushuntirishlar va ilmiy bo'lmagan atamalardan foydalanish mumkin. Qattiq nazariyani sevuvchilar, iltimos, tanqid bilan shug'ullanmang, bizning vazifamiz matritsalar bilan amallarni bajarishni o'rganish.

Mavzu bo'yicha SUPER FAST tayyorlash uchun ("olovda") intensiv pdf kursi mavjud Matritsa, determinant va test!

Matritsa - bu ba'zilarining to'rtburchaklar jadvali elementlar. Sifatda elementlar sonlarni, ya'ni sonli matritsalarni ko'rib chiqamiz. ELEMENT atama hisoblanadi. Bu atamani eslab qolish tavsiya etiladi, u tez-tez paydo bo'ladi, uni ta'kidlash uchun qalin shriftdan foydalanganim tasodif emas.

Belgilash: matritsalar odatda bosh lotin harflari bilan belgilanadi

Misol: Ikki-uch matritsani ko'rib chiqing:

Ushbu matritsa oltitadan iborat elementlar:

Matritsa ichidagi barcha raqamlar (elementlar) o'z-o'zidan mavjud, ya'ni hech qanday ayirish haqida gap bo'lmaydi:

Bu shunchaki raqamlar jadvali (to'plami)!

Biz ham rozi bo'lamiz qayta tartibga solmang raqamlar, agar tushuntirishlarda boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa. Har bir raqam o'z manziliga ega va uni aralashtirib bo'lmaydi!

Ko'rib chiqilayotgan matritsa ikkita qatorga ega:

va uchta ustun:

STANDART: matritsa o'lchamlari haqida gapirganda, keyin boshida qatorlar sonini va shundan keyingina ustunlar sonini ko'rsating. Biz hozirgina ikki-uch matritsani ajratdik.

Agar matritsaning satrlari va ustunlari soni bir xil bo'lsa, u holda matritsa deyiladi. kvadrat, Masalan: – uchga uch matritsa.

Agar matritsada bitta ustun yoki bitta satr bo'lsa, bunday matritsalar ham deyiladi vektorlar.

Darhaqiqat, biz maktabdan beri matritsa tushunchasini bilamiz; masalan, "x" va "y" koordinatalari bo'lgan nuqtani ko'rib chiqing: . Asosan, nuqtaning koordinatalari bir-ikki matritsaga yoziladi. Aytgancha, bu erda raqamlar tartibi nima uchun muhim ekanligiga bir misol: va samolyotda ikkita butunlay boshqa nuqta.

Endi o'qishga o'tamiz matritsalar bilan amallar:

1) Birinchi harakat. Matritsadan minusni olib tashlash (matritsaga minus kiritish).

Keling, matritsamizga qaytaylik . Siz sezganingizdek, ushbu matritsada juda ko'p salbiy raqamlar mavjud. Bu matritsa bilan turli harakatlarni bajarish nuqtai nazaridan juda noqulay, juda ko'p minuslarni yozish noqulay va u dizaynda shunchaki xunuk ko'rinadi.

Matritsaning HAR bir elementining ishorasini o‘zgartirib, minusni matritsadan tashqariga o‘tkazamiz:

Nolda, siz tushunganingizdek, belgi o'zgarmaydi; Afrikada nol ham nolga teng.

Teskari misol: . Bu xunuk ko'rinadi.

Matritsaning HAR bir elementining ishorasini o‘zgartirib, matritsaga minus kiritamiz:

Xo'sh, bu yanada chiroyli bo'lib chiqdi. Va, eng muhimi, matritsa bilan har qanday harakatlarni bajarish OSONROQ bo'ladi. Chunki bunday matematik xalq belgisi bor: qancha minuslar bo'lsa, shunchalik chalkashlik va xatolar.

2) Ikkinchi harakat. Matritsani songa ko'paytirish.

Misol:

Bu oddiy, matritsani raqamga ko'paytirish uchun sizga kerak har matritsa elementi berilgan songa ko'paytiriladi. Bu holda - uchta.

Yana bir foydali misol:

– matritsani kasrga ko‘paytirish

Avval nima qilish kerakligini ko'rib chiqaylik KERAK EMAS:

Matritsaga kasr kiritish shart emas, birinchidan, bu faqat matritsa bilan keyingi harakatlarni murakkablashtiradi, ikkinchidan, o'qituvchiga yechimni tekshirishni qiyinlashtiradi (ayniqsa, agar - topshiriqning yakuniy javobi).

Va ayniqsa, KERAK EMAS matritsaning har bir elementini minus etti ga bo'ling:

Maqoladan Dummies uchun matematika yoki qaerdan boshlash kerak, biz oliy matematikada ular har qanday yo'l bilan vergul bilan o'nli kasrlardan qochishga harakat qilishlarini eslaymiz.

Bitta narsa afzal Ushbu misolda nima qilish kerak, matritsaga minus qo'shish:

Lekin agar faqat HAMMA matritsa elementlari 7 ga bo'lingan izsiz, keyin bo'linish mumkin bo'lar edi (va kerak!).

Misol:

Bunday holda, mumkin KERAK barcha matritsa elementlarini ga ko'paytiring, chunki barcha matritsa raqamlari 2 ga bo'linadi izsiz.

Eslatma: oliy maktab matematikasi nazariyasida "bo'lish" tushunchasi mavjud emas. "Buni shunga bo'linadi" deyish o'rniga, siz har doim "bu kasrga ko'paytirildi" deyishingiz mumkin. Ya'ni, bo'linish ko'paytirishning alohida holatidir.

3) Uchinchi harakat. Matritsaning transpozitsiyasi.

Matritsani ko'chirish uchun uning satrlarini ko'chirilgan matritsaning ustunlariga yozish kerak.

Misol:

Matritsani ko'chirish

Bu erda faqat bitta qator bor va qoidaga ko'ra, uni ustunga yozish kerak:

- ko'chirilgan matritsa.

Ko'chirilgan matritsa odatda yuqori o'ng tomonda ustun yoki tub bilan ko'rsatiladi.

Bosqichma-bosqich misol:

Matritsani ko'chirish

Avval birinchi qatorni birinchi ustunga qayta yozamiz:

Keyin ikkinchi qatorni ikkinchi ustunga qayta yozamiz:

Va nihoyat, uchinchi qatorni uchinchi ustunga qayta yozamiz:

Tayyor. Taxminan aytganda, transpozitsiya matritsani yon tomoniga aylantirishni anglatadi.

4) To'rtinchi harakat. Matritsalar yig'indisi (farqi)..

Matritsalar yig'indisi oddiy amaldir.
HAMMA MATRIKALARNI BUKLASH MUMKIN EMAS. Matritsalarni qo'shish (ayirish) ni amalga oshirish uchun ular BIR O'lchamda bo'lishi kerak.

Masalan, agar ikkiga ikki matritsa berilgan bo'lsa, uni faqat ikkiga ikki matritsa bilan qo'shish mumkin, boshqasi yo'q!

Misol:

Matritsalarni qo'shish Va

Matritsalarni qo'shish uchun siz ularga mos keladigan elementlarni qo'shishingiz kerak:

Matritsalar farqi uchun qoida shunga o'xshash, mos keladigan elementlarning farqini topish kerak.

Misol:

Matritsalar farqini toping ,

Qanday qilib bu misolni chalkashmaslik uchun osonroq hal qilish mumkin? Keraksiz minuslardan xalos bo'lish tavsiya etiladi, buning uchun matritsaga minus qo'shing:

Eslatma: oliy maktab matematikasi nazariyasida “ayirish” tushunchasi mavjud emas. “Buni bundan ayirib tashlang” deyish o‘rniga, har doim “buga manfiy raqam qo‘shing” deyishingiz mumkin. Ya'ni ayirish qo'shishning alohida holatidir.

5) Beshinchi harakat. Matritsalarni ko'paytirish.

Qanday matritsalarni ko'paytirish mumkin?

Matritsani matritsaga ko'paytirish uchun bu kerak shunday qilib, matritsa ustunlari soni matritsa satrlari soniga teng.

Misol:
Matritsani matritsaga ko'paytirish mumkinmi?

Bu matritsa ma'lumotlarini ko'paytirish mumkinligini anglatadi.

Ammo agar matritsalar qayta tartibga solingan bo'lsa, unda bu holda, ko'paytirish endi mumkin emas!

Shunday qilib, ko'paytirish mumkin emas:

Talabadan matritsalarni ko'paytirish so'ralganda, ularni ko'paytirish imkonsiz bo'lgan nayrang bilan topshiriqlarga duch kelish juda kam uchraydi.

Shuni ta'kidlash kerakki, ba'zi hollarda matritsalarni ikkala usulda ham ko'paytirish mumkin.
Masalan, matritsalar uchun va ko'paytirish ham, ko'paytirish ham mumkin

>> Matritsalar

4.1.Matritsalar. Matritsalar ustida amallar

mxn o'lchamdagi to'rtburchaklar matritsa m satr va n ta ustundan iborat to'rtburchaklar jadval ko'rinishida joylashtirilgan mxn sonlar yig'indisidir. Biz uni shaklda yozamiz

yoki qisqartirilgan A = (a i j) (i = ; j = ), a i j sonlari uning elementlari deyiladi; Birinchi indeks satr raqamini, ikkinchisi - ustun raqamini ko'rsatadi. Bir xil o'lchamdagi A = (a i j) va B = (b i j) bir xil joylarda joylashgan elementlari juft bo'lib teng bo'lsa, teng deyiladi, ya'ni a i j = b i j bo'lsa A = B.

Bitta satr yoki bitta ustundan iborat matritsa mos ravishda satr vektori yoki ustun vektori deyiladi. Ustun vektorlari va qator vektorlari oddiygina vektorlar deb ataladi.

Bitta raqamdan iborat matritsa shu raqam bilan aniqlanadi. mxn o'lchamdagi, barcha elementlari nolga teng bo'lgan A ga nol deyiladi va 0 bilan belgilanadi.Bir xil indeksli elementlar bosh diagonalning elementlari deyiladi. Agar qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lsa, ya'ni m = n bo'lsa, matritsa n tartibli kvadrat matritsa deb ataladi. Faqat asosiy diagonalning elementlari nolga teng bo'lmagan kvadrat matritsalar diagonal deyiladi va quyidagicha yoziladi:

.

Agar diagonalning barcha a i i elementlari 1 ga teng bo'lsa, u birlik deb ataladi va E harfi bilan belgilanadi:

.

Agar asosiy diagonalning ustidagi (yoki pastda) barcha elementlar nolga teng bo'lsa, kvadrat matritsa uchburchak deb ataladi. Transpozitsiya - bu satrlar va ustunlar raqamlari saqlanib qolgan holda almashtiriladigan transformatsiya. Transpozitsiya yuqoridagi T bilan ko'rsatilgan.

Agar (4.1) satr va ustunlarni qayta joylashtirsak, olamiz

,

A ga nisbatan ko'chiriladi. Xususan, ustun vektorini ko'chirishda qator vektori olinadi va aksincha.

A va b sonining ko'paytmasi matritsa bo'lib, uning elementlari A ning mos keladigan elementlaridan b soniga ko'paytirish yo'li bilan olinadi: b A = (b a i j).

Bir xil o'lchamdagi A = (a i j) va B = (b i j) yig'indisi bir xil o'lchamdagi C = (c i j) deyiladi, uning elementlari c i j = a i j + b i j formulasi bilan aniqlanadi.

AB ko‘paytmasi A ustunlari soni B ning qatorlari soniga teng degan faraz asosida aniqlanadi.

Muayyan AB tartibida berilgan A = (a i j) va B = (b j k), bu yerda i =, j=, k= bo‘lgan AB ko‘paytma C = (c i k) deyiladi, uning elementlari quyidagicha aniqlanadi. quyidagi qoida:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k. (4.2)

Boshqacha qilib aytganda, AB ko'paytma elementi quyidagicha aniqlanadi: i-satr va k-ustun C elementi i-qator A va elementlarning ko'paytmalari yig'indisiga teng. k-ustun B ning mos keladigan elementlari.

2.1-misol. AB va ning hosilasini toping.

Yechim. Bizda: 2x3 o'lchamdagi A, 3x3 o'lchamdagi B, keyin AB = C ko'paytma mavjud va C ning elementlari teng.

11 dan = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, 21 dan = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, 12 dan = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, va BA mahsuloti mavjud emas.

2.2-misol. Jadvalda 1 va 2-sut zavodlaridan M 1, M 2 va M 3 do‘konlariga har kuni jo‘natilgan mahsulot birliklari soni ko‘rsatilgan va har bir sut zavodidan M 1 do‘koniga mahsulot birligini yetkazib berish 50 den turadi. birlik, M 2 do'koniga - 70 va M 3 - 130 den. birliklar Har bir zavodning kunlik transport xarajatlarini hisoblang.

Sut zavodi

Yechim. Shartda bizga berilgan matritsani A bilan belgilaymiz va bilan
B - mahsulot birligini do'konlarga etkazib berish narxini tavsiflovchi matritsa, ya'ni.

,

Keyin transport xarajatlari matritsasi quyidagicha ko'rinadi:

.

Shunday qilib, birinchi zavod har kuni transportga 4750 dener sarflaydi. birlik, ikkinchisi - 3680 pul birligi.

2.3-misol. Tikuvchilik korxonasi qishki paltolar, yarim mavsumli paltolar va yomg‘ir paltolari ishlab chiqaradi. O'n yil davomida rejalashtirilgan ishlab chiqarish vektor X = (10, 15, 23) bilan tavsiflanadi. To'rt turdagi matolardan foydalaniladi: T 1, T 2, T 3, T 4. Jadvalda har bir mahsulot uchun mato iste'moli stavkalari (metrda) ko'rsatilgan. Vektor C = (40, 35, 24, 16) har bir turdagi matoning bir metrining narxini, P = (5, 3, 2, 2) vektori esa har bir turdagi matoning bir metrini tashish narxini belgilaydi.

	Mato iste'moli
Qishki palto
Demi-mavsum paltosi

1. Rejani bajarish uchun har bir turdagi matodan necha metr kerak bo'ladi?

2. Har bir mahsulot turini tikishga sarflangan gazlama tannarxini toping.

3. Rejani bajarish uchun zarur bo'lgan barcha matolarning narxini aniqlang.

Yechim. Shartda berilgan matritsani A bilan belgilaymiz, ya'ni.

,

keyin rejani bajarish uchun zarur bo'lgan matolar sonini topish uchun X vektorini A matritsasiga ko'paytirish kerak:

Biz har bir turdagi tikuv mahsulotlariga sarflangan mato narxini A matritsasi va C T vektorini ko'paytirish orqali topamiz:

.

Rejani bajarish uchun zarur bo'lgan barcha matolarning narxi quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:

Nihoyat, transport xarajatlarini hisobga olgan holda, butun miqdor matoning narxiga teng bo'ladi, ya'ni 9472 den. birliklar, ortiqcha qiymat

X A P T =
.

Demak, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (pul birliklari).

Matritsalarni yechish– matritsalar ustida amallarni umumlashtiruvchi tushuncha. Matematik matritsa - bu elementlar jadvali. m satr va n ta ustundan iborat shunga o'xshash jadval m x n matritsa deyiladi.
Matritsaning umumiy ko'rinishi

Matritsaning asosiy elementlari:
Asosiy diagonal. U a 11, a 22.....a mn elementlardan tuzilgan
Yon diagonali. U a 1n va 2n-1.....a m1 elementlardan tashkil topgan.
Matritsalarni echishga o'tishdan oldin matritsalarning asosiy turlarini ko'rib chiqaylik:
Kvadrat– bunda qatorlar soni ustunlar soniga teng (m=n)
Nol - bu matritsaning barcha elementlari 0 ga teng.
Transpozitsiyalangan matritsa- satrlarni ustunlar bilan almashtirish orqali dastlabki A matritsasidan olingan B matritsasi.
Yagona- asosiy diagonalning barcha elementlari 1 ga, qolganlari esa 0 ga teng.
teskari matritsa- matritsa, uni ko'paytirganda asl matritsadan identifikatsiya matritsasi hosil bo'ladi.
Matritsa asosiy va ikkilamchi diagonallarga nisbatan nosimmetrik bo'lishi mumkin. Ya'ni, agar a 12 = a 21, a 13 = a 31, ....a 23 = a 32 ... bo'lsa. a m-1n =a mn-1. u holda matritsa asosiy diagonalga nisbatan nosimmetrik bo'ladi. Faqat kvadrat matritsalar nosimmetrikdir.
Endi to'g'ridan-to'g'ri matritsalarni qanday yechish kerak degan savolga o'tamiz.

Matritsa qo'shish.

Matritsalar bir xil o'lchamga ega bo'lsa, algebraik ravishda qo'shilishi mumkin. A matritsasini B matritsasi bilan qo'shish uchun A matritsasining birinchi ustunining birinchi qatori elementini B matritsasining birinchi qatorining birinchi elementi bilan, A matritsasining birinchi qatorining ikkinchi ustunining elementini qo'shish kerak. B matritsasining birinchi qatorining ikkinchi ustunining elementi bilan va boshqalar.
Qo'shish xususiyatlari
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Matritsalarni ko'paytirish.

Matritsalar mos kelsa, ularni ko'paytirish mumkin. Agar A matritsa ustunlari soni B matritsa satrlari soniga teng bo'lsa, A va B matritsalari izchil hisoblanadi.
Agar A o‘lchami m dan n gacha bo‘lsa, B o‘lchami n dan k o‘lchamli bo‘lsa, u holda C=A*B matritsa m dan k o‘lchamli bo‘ladi va elementlardan iborat bo‘ladi.

Bu erda C 11 - A matritsasi qatori va B matritsa ustuni elementlarining juft ko'paytmalari yig'indisi, ya'ni element A matritsasining birinchi qatori birinchi ustuni elementi ko'paytmasining yig'indisidir. B matritsasining birinchi qatorining birinchi ustunining elementi bilan, A matritsasining birinchi qatorining ikkinchi ustunining elementi bilan ikkinchi qatorning birinchi ustuni elementi bilan B matritsalari va boshqalar.
Ko'paytirishda ko'paytirish tartibi muhim ahamiyatga ega. A*B B*A ga teng emas.

Aniqlovchini topish.

Har qanday kvadrat matritsa determinant yoki determinant hosil qilishi mumkin. Det yozadi. Yoki | matritsa elementlari |
2 dan 2 gacha o'lchamdagi matritsalar uchun. Asosiy va ikkilamchi diagonal elementlarining ko'paytmasi o'rtasida farq borligini aniqlang.

O'lchamlari 3 dan 3 gacha bo'lgan matritsalar uchun. Determinantni topish operatsiyasi ancha murakkab.
Keling, tushunchalarni kiritaylik:
Kichik element– bu element joylashgan dastlabki matritsaning satri va ustunini kesib tashlash orqali dastlabki matritsadan olingan matritsaning aniqlovchisi.
Algebraik to‘ldiruvchi matritsaning elementi - bu elementning minorining ushbu element joylashgan asl matritsaning satri va ustuni yig'indisining kuchiga -1 ga ko'paytmasi.
Har qanday kvadrat matritsaning determinanti matritsaning har qanday qatori elementlarining tegishli algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmasining yig'indisiga teng.

Matritsaning inversiyasi

Matritsaning inversiyasi - bu matritsaning teskarisini topish jarayoni bo'lib, uning ta'rifini biz boshida bergan edik. Teskari matritsa asl matritsa bilan bir xil tarzda -1 daraja qo'shilishi bilan belgilanadi.
Formuladan foydalanib teskari matritsani toping.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Bu erda A * T - algebraik to'ldiruvchilarning ko'chirilgan matritsasi.

Biz matritsalarni yechish misollarini video darslik shaklida qildik

:

Agar buni tushunmoqchi bo'lsangiz, albatta tomosha qiling.

Bu matritsalarni yechishning asosiy operatsiyalari. Agar sizda qo'shimcha savollar bo'lsa matritsalarni qanday yechish kerak, izohlarda yozishingiz mumkin.

Agar siz hali ham buni aniqlay olmasangiz, mutaxassis bilan bog'lanishga harakat qiling.

Xizmat maqsadi. Matritsa kalkulyatori 3A-CB 2 yoki A -1 +B T kabi matritsali ifodalarni yechish uchun moʻljallangan.

Ko'rsatmalar. Onlayn yechim uchun siz matritsa ifodasini ko'rsatishingiz kerak. Ikkinchi bosqichda matritsalarning o'lchamini aniqlashtirish kerak bo'ladi.

Matritsalar ustida amallar

Amaldagi amallar: ko'paytirish (*), qo'shish (+), ayirish (-), teskari matritsa A^(-1), darajaga ko'tarish (A^2, B^3), matritsa transpozitsiyasi (A^T).

Amaldagi amallar: ko'paytirish (*), qo'shish (+), ayirish (-), teskari matritsa A^(-1), darajaga ko'tarish (A^2, B^3), matritsa transpozitsiyasi (A^T).
Amallar ro'yxatini bajarish uchun nuqta-vergul (;) ajratgichdan foydalaning. Masalan, uchta operatsiyani bajarish uchun:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
uni quyidagicha yozishingiz kerak bo'ladi: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matritsa - bu m satr va n ta ustundan iborat to'rtburchak raqamli jadval, shuning uchun matritsa sxematik ravishda to'rtburchaklar shaklida ko'rsatilishi mumkin.
Nol matritsa (bo'sh matritsa) barcha elementlari nolga teng va 0 bilan belgilanadigan matritsadir.
Identifikatsiya matritsasi shaklning kvadrat matritsasi deyiladi

Ikkita A va B matritsalari teng, agar ular bir xil o'lchamda bo'lsa va ularning mos keladigan elementlari teng bo'lsa.
Singular matritsa determinanti nolga teng (D = 0) matritsadir.

Keling, aniqlaymiz matritsalar ustidagi asosiy amallar.

Matritsa qo'shish

Ta'rif. Bir xil o'lchamdagi ikkita matritsaning yig'indisi bir xil o'lchamdagi matritsa bo'lib, uning elementlari formula bo'yicha topiladi. . C = A+B bilan belgilanadi.

6-misol. .
Matritsalarni qo'shish amali har qanday sonli atamalar holatiga taalluqlidir. Shubhasiz A+0=A.
Yana bir bor ta'kidlaymizki, faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar qo'shilishi mumkin; Turli o'lchamdagi matritsalar uchun qo'shish amali aniqlanmagan.

Matritsalarni ayirish

Ta'rif. Bir xil o'lchamdagi B va A matritsalarining B-A farqi C matritsa bo'lib, A+ C = B bo'ladi.

Matritsalarni ko'paytirish

Ta'rif. Matritsaning a soniga ko'paytmasi A dan uning barcha elementlarini a, ga ko'paytirish orqali olingan matritsadir.
Ta'rif. Ikkita matritsa berilsin va , va A ustunlari soni B satrlari soniga teng. A ning B ga ko'paytmasi elementlari formula bo'yicha topilgan matritsadir. .
C = A·B bilan belgilanadi.
Sxematik ravishda matritsalarni ko'paytirish amalini quyidagicha tasvirlash mumkin:

va mahsulotdagi elementni hisoblash qoidasi:

Yana bir bor ta'kidlaymizki, A·B mahsuloti, agar birinchi omilning ustunlari soni ikkinchisining qatorlari soniga teng bo'lsa va mahsulot qatorlar soni teng bo'lgan matritsa hosil qilsagina mantiqiy bo'ladi. birinchi omil qatorlari soni va ustunlar soni ikkinchi ustunlar soniga teng. Maxsus onlayn kalkulyator yordamida ko'paytirish natijasini tekshirishingiz mumkin.

7-misol. Berilgan matritsalar Va . C = A·B va D = B·A matritsalarini toping.
Yechim. Avvalo, A·B mahsuloti mavjudligiga e'tibor bering, chunki A ustunlari soni B qatorlari soniga teng.

E'tibor bering, umumiy holatda A · B≠B · A, ya'ni. matritsalar mahsuloti antikommutativdir.
B·A (ko'paytirish mumkin) topilsin.

8-misol. Matritsa berilgan . 3A 2 – 2A ni toping.
Yechim.

.
; .
.
Keling, quyidagi qiziqarli faktga e'tibor qaratamiz.
Ma'lumki, nolga teng bo'lmagan ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng emas. Matritsalar uchun shunga o'xshash holat yuzaga kelmasligi mumkin, ya'ni nolga teng bo'lmagan matritsalarning mahsuloti nol matritsaga teng bo'lishi mumkin.

Chiziqli algebra 1

Matritsalar 1

Matritsalar ustida amallar 2

Matritsa determinantlari 6

Teskari matritsa 13

Matritsa darajasi 16

Chiziqli mustaqillik 21

Chiziqli tenglamalar sistemalari 24

Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish usullari 27

Teskari matritsa usuli 27

Kramer formulalari yordamida kvadrat matritsali chiziqli tenglamalar tizimini yechish usuli 29

Gauss usuli (o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli) 31

Chiziqli algebra matritsalari

Matritsa o'lcham mxn - m satr va n ustundan iborat to'rtburchaklar jadvali. Matritsani tashkil etuvchi raqamlarga matritsa elementlari deyiladi.

Matritsalar odatda katta lotin harflari bilan, elementlar esa bir xil, lekin ikki marta indekslangan kichik harflar bilan belgilanadi.

Masalan, 2 x 3 A matritsasini ko'rib chiqing:

Bu matritsa ikkita satr (m= 2) va uchta ustunga (n= 3) ega, yaʼni. u oltita elementdan iborat a ij, bu yerda i qator raqami, j ustun raqami. Bunday holda, u 1 dan 2 gacha va birdan uchgacha bo'lgan qiymatlarni oladi (yozma
). Ya'ni, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Bir xil o'lchamdagi (mxn) A va B matritsalari deyiladi teng, agar ular element bo'yicha mos kelsa, ya'ni a ij =b ij for
, ya'ni. har qanday i va j uchun (i, j yozilishi mumkin).

Matritsa qatori bir qatordan iborat matritsadir va matritsa-ustun bir ustundan tashkil topgan matritsadir.

Masalan,
qatorli matritsadir va
.

Kvadrat matritsa n-tartib matritsa, qatorlar soni ustunlar soniga teng va n ga teng.

Masalan,
- ikkinchi tartibli kvadrat matritsa.

Diagonal matritsa elementlari qator nomeri ustun raqamiga teng (a ij ,i=j) elementlardir. Bu elementlar shakllanadi asosiy diagonali matritsalar. Oldingi misolda asosiy diagonal a 11 = 3 va 22 = 5 elementlaridan hosil bo'ladi.

Diagonal matritsa barcha diagonal bo'lmagan elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsadir. Masalan,
- uchinchi tartibli diagonal matritsa. Agar barcha diagonal elementlar bittaga teng bo'lsa, u holda matritsa deyiladi yagona(odatda E harfi bilan belgilanadi). Masalan,
uchinchi tartibli identifikatsiya matritsasi hisoblanadi.

Matritsa deyiladi null, agar uning barcha elementlari nolga teng bo'lsa.

Kvadrat matritsa deyiladi uchburchak, agar uning barcha elementlari pastda (yoki yuqorida) asosiy diagonali nolga teng bo'lsa. Masalan,
- uchinchi tartibli uchburchak matritsa.

Matritsalar ustida amallar

Matritsalar ustida quyidagi amallarni bajarish mumkin:

1. Matritsani songa ko'paytirish. A matritsa va  sonning ko‘paytmasi B =A matritsa bo‘lib, uning elementlari har qanday i va j uchun b ij =a ij bo‘ladi.

Masalan, agar
, Bu
.

2. Matritsa qo'shish. Bir xil o'lchamdagi m x n ikkita A va B matritsalarining yig'indisi C = A + B matritsa bo'lib, uning elementlari ij ​​=a ij +b ij fori,j bilan bo'ladi.

Masalan, agar
Bu

.

E'tibor bering, oldingi operatsiyalar orqali aniqlash mumkin matritsani ayirish bir xil o'lchamdagi: farq A-B = A + (-1)*B.

3. Matritsalarni ko'paytirish. mxn o‘lchamdagi A matritsaning nxp o‘lchamli B matritsaga ko‘paytmasi C matritsa bo‘lib, uning har bir elementi ij bilan A matritsaning i-qatori elementlarining tegishli ko‘paytmalari yig‘indisiga teng. B matritsasining j-ustunining elementlari, ya'ni.
.

Masalan, agar

, keyin mahsulot matritsasining o'lchami 2 x 3 bo'ladi va u quyidagicha ko'rinadi:

Bu holda A matritsa B matritsaga mos deyiladi.

Kvadrat matritsalar uchun ko'paytirish amali asosida operatsiya aniqlanadi eksponentsiya. A kvadrat matritsaning A m (m > 1) musbat butun soni A ga teng m matritsaning ko'paytmasi, ya'ni.

Biz matritsalarni qo'shish (ayirish) va ko'paytirish har qanday ikkita matritsa uchun emas, balki faqat ularning o'lchamlari uchun ma'lum talablarni qondiradiganlar uchun aniqlanganligini ta'kidlaymiz. Matritsalarning yig'indisini yoki ayirmasini topish uchun ularning kattaligi bir xil bo'lishi kerak. Matritsalarning ko'paytmasini topish uchun ularning birinchisining ustunlari soni ikkinchisining satrlari soniga to'g'ri kelishi kerak (bunday matritsalar deyiladi). kelishilgan).

Ko'rib chiqilayotgan amallarning raqamlar ustidagi amallarning xossalariga o'xshash ba'zi xossalarini ko'rib chiqamiz.

1) Qo‘shishning kommutativ (kommutativ) qonuni:

A + B = B + A

2) Qo‘shishning assotsiativ (kombinativ) qonuni:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Qo'shishga nisbatan ko'paytirishning taqsimot (tarqatuvchi) qonuni:

(A + B) = A +B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Ko'paytirishning assotsiativ (kombinativ) qonuni:

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Biz ta'kidlaymizki, matritsalar uchun ko'paytirishning kommutativ qonuni umumiy holatda qoniqtirilmaydi, ya'ni. AB BA. Bundan tashqari, AB ning mavjudligi BA ning mavjudligini anglatmaydi (matritsalar izchil bo'lmasligi mumkin, keyin esa ularning mahsuloti matritsalarni ko'paytirishning yuqoridagi misolida bo'lgani kabi, umuman aniqlanmaydi). Ammo ikkala asar mavjud bo'lsa ham, ular odatda farq qiladi.

Muayyan holatda, har qanday A kvadrat matritsa va bir xil tartibdagi o'ziga xos matritsaning mahsuloti kommutativ qonunga ega va bu ko'paytma A ga teng (bu erda bir xillik matritsasiga ko'paytirish raqamlarni ko'paytirishda bittaga ko'paytirishga o'xshaydi):

AE = EA = A

Haqiqatdan ham,

Keling, matritsalarni ko'paytirish va sonlarni ko'paytirish o'rtasidagi yana bir farqni ta'kidlaylik. Raqamlar ko'paytmasi nolga teng bo'lishi mumkin, agar ularning kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Buni matritsalar haqida aytish mumkin emas, ya'ni. nolga teng bo'lmagan matritsalarning mahsuloti nol matritsaga teng bo'lishi mumkin. Masalan,

Keling, matritsalar ustida amallarni ko'rib chiqishni davom ettiraylik.

4. Matritsaning transpozitsiyasi mxn o‘lchamdagi A matritsadan nxm o‘lchamdagi A T matritsaga o‘tish amalini ifodalaydi, bunda qatorlar va ustunlar almashtiriladi:

%.

Transpoze operatsiyasining xususiyatlari:

1) Ta'rifdan kelib chiqadiki, agar matritsa ikki marta almashtirilsa, biz asl matritsaga qaytamiz: (A T) T = A.

2) O'zgarmas omilni transpozitsiya belgisidan chiqarish mumkin: (A) ​​​​T =A T .

3) Transpozitsiya matritsani ko‘paytirish va qo‘shishga nisbatan distributivdir: (AB) T =B T A T va (A+B) T =B T +A T.