Median matematik statistika. Variatsion taqsimot qatorlarining strukturaviy xarakteristikalari

Median Men ular atributning tartiblangan qatorning o'rtasiga tushadigan va uni birliklar soni bo'yicha teng ikki qismga bo'lgan qiymatini chaqiradi. Shunday qilib, taqsimotning tartiblangan qatorida qatorning yarmi medianadan oshib ketadigan atribut qiymatlariga ega, ikkinchi yarmi esa medianadan kamroq.

Reytingli qatorning ekstremal variantlari (eng kichik va eng katta) qolganlari bilan solishtirganda haddan tashqari katta yoki haddan tashqari kichik bo'lib chiqsa, mediana o'rtacha arifmetik qiymat o'rniga ishlatiladi.

IN diskret Toq sonli birliklarni o'z ichiga olgan variatsiya qatorida mediana quyidagi raqamga ega bo'lgan xarakteristikaning variantiga teng bo'ladi:
,
bu erda N - aholi birliklari soni.
Juft sonli aholi birliklaridan tashkil topgan diskret qatorda median raqamlarga ega variantlarning o'rtacha qiymati sifatida aniqlanadi va:
.
Ishchilarni ish stajiga ko'ra taqsimlashda mediana tartiblangan qatorda 10-raqamga ega bo'lgan variantlarning o'rtacha qiymatiga teng: 2 = 5 va 10: 2 + 1 = 6. Beshinchi va oltinchi belgilarning variantlari tengdir. 4 yilgacha, shuning uchun
yilning
Medianni hisoblashda interval qatorni birinchi toping median interval, (ya'ni, medianani o'z ichiga olgan), buning uchun to'plangan chastotalar yoki chastotalar ishlatiladi. Median - to'plangan chastotasi aholi umumiy hajmining yarmiga teng yoki undan ko'p bo'lgan interval. Keyin o'rtacha qiymat quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
,
qayerda median intervalning pastki chegarasi;
– median oraliqning kengligi;
– medianadan oldingi intervalning to‘plangan chastotasi;
– median intervalning chastotasi.
Keling, ishchilarni ish haqi bo'yicha taqsimlash medianasini hisoblaylik ("Statistik ma'lumotlarni umumlashtirish va guruhlash" ma'ruzasiga qarang).
Median - 800-900 UAH ish haqi oralig'i, chunki uning umumiy chastotasi 17 ni tashkil qiladi, bu barcha chastotalar yig'indisining yarmidan oshadi (). Keyin
Men=800+100 UAH.
Olingan qiymat shuni ko'rsatadiki, ishchilarning yarmi 875 UAH dan past ish haqiga ega, ammo bu o'rtacha ko'rsatkichdan yuqori.
Medianani aniqlash uchun siz kümülatif chastotalar o'rniga kümülatif chastotalardan foydalanishingiz mumkin.
Median, rejim kabi, variantning ekstremal qiymatlariga bog'liq emas, shuning uchun u chegaralari noaniq bo'lgan tarqatish seriyalarida markazni tavsiflash uchun ham ishlatiladi.
Median mulk : medianadan og'ishlarning mutlaq qiymatlari yig'indisi har qanday boshqa qiymatdan (shu jumladan arifmetik o'rtacha qiymatdan) kamroq:

Mediananing bu xususiyati transportda tramvay va trolleybus bekatlari, yoqilg'i quyish shoxobchalari, yig'ish punktlari va boshqalarni joylashtirishni loyihalashda qo'llaniladi.
Misol. 100 km uzunlikdagi avtomobil yo'li bo'ylab 10 ta garaj mavjud. Yoqilg'i quyish shoxobchasi qurilishini loyihalash uchun har bir garaj uchun yoqilg'i quyish shoxobchasiga kutilayotgan sayohatlar soni to'g'risida ma'lumotlar to'plangan.
2-jadval - Har bir garaj uchun yoqilg'i quyish shoxobchasiga sayohatlar soni bo'yicha ma'lumotlar.

Yoqilg'i quyish uchun transport vositalarining umumiy yurishi minimal bo'lishi uchun yoqilg'i quyish shoxobchasini o'rnatish kerak.
Variant 1. Agar yoqilg'i quyish shoxobchasi magistralning o'rtasida, ya'ni 50-kilometrda (atributdagi o'zgarishlar diapazoni markazi) joylashtirilsa, sayohatlar sonini hisobga olgan holda kilometr:
a) bir yo'nalishda:
;
b) aksincha:
;
v) har ikki yo'nalishda umumiy masofa: .

Variant 2. Agar yonilg'i quyish shoxobchasi avtomagistralning o'rta qismiga joylashtirilsa, sayohatlar sonini hisobga olgan holda o'rtacha arifmetik formula bo'yicha aniqlanadi:

Medianni kumulyat yordamida grafik tarzda aniqlash mumkin (“Statistik ma’lumotlarni umumlashtirish va guruhlash” ma’ruzasiga qarang). Buning uchun oxirgi ordinata, miqdoriga teng barcha chastotalar yoki chastotalar yarmiga bo'linadi. Olingan nuqtadan perpendikulyar to'planish bilan kesishmaguncha tiklanadi. Kesishish nuqtasining abtsissasi median qiymatini beradi.

NAZORAT ISHI

Mavzu bo'yicha: "Rejim. Median. Ularni hisoblash usullari"

Kirish

O'rtacha qiymatlar va ular bilan bog'liq o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlari statistikada juda muhim rol o'ynaydi, bu uning o'rganish mavzusi bilan bog'liq. Shunung uchun bu mavzu kursning markaziylaridan biri hisoblanadi.

O'rtacha ko'rsatkich statistikada juda keng tarqalgan umumiy o'lchovdir. Bu faqat o'rtacha ko'rsatkich yordamida populyatsiyani miqdoriy jihatdan o'zgaruvchan xususiyat bilan tavsiflash mumkinligi bilan izohlanadi. O'rtacha o'lcham statistikada o'xshash hodisalar to'plamining qandaydir miqdoriy jihatdan o'zgaruvchan belgiga ko'ra umumlashtiruvchi xarakteristikasi deyiladi. O'rtacha aholi birligiga to'g'ri keladigan ushbu xususiyat darajasini ko'rsatadi.

Ijtimoiy hodisalarni o'rganish va ularning o'ziga xos, tipik xususiyatlarini joy va vaqtning o'ziga xos sharoitlarida aniqlashga harakat qilganda, statistiklar o'rtacha qiymatlardan keng foydalanadilar. O'rtacha ko'rsatkichlardan foydalanib, siz turli xil populyatsiyalarni har xil xususiyatlarga ko'ra bir-biri bilan solishtirishingiz mumkin.

Statistikada qoʻllaniladigan oʻrtachalar oʻrtacha quvvatlar sinfiga kiradi. O'rtacha quvvat ko'rsatkichlaridan ko'pincha arifmetik o'rtacha, kamroq garmonik o'rtacha ishlatiladi; Garmonik o'rtacha faqat dinamikaning o'rtacha tezligini hisoblashda, o'rtacha kvadrat esa faqat o'zgaruvchanlik indekslarini hisoblashda qo'llaniladi.

O'rtacha arifmetik - bu variantlar yig'indisini ularning soniga bo'lish koeffitsienti. U butun populyatsiya uchun o'zgaruvchan xarakteristikaning hajmi uning alohida birliklarining xarakterli qiymatlari yig'indisi sifatida shakllangan hollarda qo'llaniladi. O'rtacha arifmetik o'rtachaning eng keng tarqalgan turidir, chunki u ijtimoiy hodisalarning tabiatiga mos keladi, bu erda agregatdagi o'zgaruvchan belgilar hajmi ko'pincha aholining alohida birliklarining xarakterli qiymatlari yig'indisi sifatida shakllanadi. .

Uning aniqlovchi xususiyatiga ko'ra, atributning umumiy hajmi variantning teskari qiymatlari yig'indisi sifatida shakllanganda garmonik o'rtacha qiymatdan foydalanish kerak. Materialga qarab, og'irliklarni ko'paytirmaslik kerak, lekin variantlarga bo'linishi yoki bir xil narsa bo'lsa, ularning o'zaro qiymatiga ko'paytirilishi kerak bo'lganda qo'llaniladi. Bu holatlarda garmonik o'rtacha xarakteristikaning o'zaro qiymatlarining arifmetik o'rtacha qiymatining o'zaro nisbati hisoblanadi.

Garmonik o'rtachaga og'irlik sifatida populyatsiya birliklari - xarakteristikaning tashuvchilari emas, balki xarakteristikaning qiymati bo'yicha ushbu birliklarning mahsulotlari qo'llaniladigan hollarda murojaat qilish kerak.

1. Statistikada rejim va mediananing ta’rifi

Arifmetik va garmonik vositalar u yoki bu o'zgaruvchan belgilarga ko'ra aholining umumlashtiruvchi belgilaridir. O'zgaruvchan belgi taqsimotining yordamchi tavsiflovchi belgilari mod va mediandir.

Statistikada rejim - bu ma'lum bir populyatsiyada eng ko'p uchraydigan xarakteristikaning (variantning) qiymati. Variatsiya seriyasida bu eng yuqori chastotali variant bo'ladi.

Statistikada median o'rtadagi variant hisoblanadi variatsion qator. Mediana qatorni yarmiga bo'ladi; uning ikkala tomonida (yuqoriga va pastga) bir xil miqdordagi populyatsiya birliklari mavjud.

Rejim va median, kuch vositalaridan farqli o'laroq, o'ziga xos xususiyatlar bo'lib, ularning ma'nosi variatsiya seriyasining har qanday o'ziga xos variantiga beriladi.

Rejim xarakteristikaning eng tez-tez uchraydigan qiymatini tavsiflash zarur bo'lgan hollarda qo'llaniladi. Agar kerak bo'lsa, masalan, korxonada eng keng tarqalgan ish haqi stavkasini, bozorda eng ko'p mahsulot sotilgan narxni, iste'molchilar orasida eng ko'p talab qilinadigan poyabzal o'lchamini va hokazolarni aniqlash. bu holatlarda ular modaga murojaat qilishadi.

Median qiziqarli, chunki u aholi a'zolarining yarmi erishgan o'zgaruvchan belgi qiymatining miqdoriy chegarasini ko'rsatadi. Bank xodimlarining o'rtacha ish haqi 650 000 rubl bo'lsin. oyiga. Agar ishchilarning yarmi 700 000 rubl ish haqi olgan desak, bu xususiyatni to'ldirish mumkin. va undan yuqori, ya'ni. Keling, medianani beramiz. Rejim va median populyatsiyalar bir hil va ko'p sonli bo'lgan hollarda tipik xususiyatdir.

2. Diskret variatsion qatorda rejim va medianani topish

Xarakteristikaning qiymatlari ma'lum raqamlar bilan berilgan variatsiya qatorida rejim va medianani topish unchalik qiyin emas. Keling, oilalarning bolalar soni bo'yicha taqsimlanishi bilan 1-jadvalni ko'rib chiqaylik.

Jadval 1. Oilalarni bolalar soni bo'yicha taqsimlash

Shubhasiz, bu misolda moda ikki farzandli oila bo'ladi, chunki bu qiymat mos keladi eng katta raqam oilalar. Barcha variantlar teng tez-tez sodir bo'ladigan taqsimotlar bo'lishi mumkin, bu holda rejim yo'q yoki boshqacha qilib aytganda, barcha variantlar bir xil modal deb aytishimiz mumkin. Boshqa hollarda, bitta emas, balki ikkita variant eng yuqori chastotada bo'lishi mumkin. Keyin ikkita rejim bo'ladi, tarqatish bimodal bo'ladi. Bimodal taqsimot o'rganilayotgan xususiyatga ko'ra populyatsiyaning sifat jihatidan heterojenligini ko'rsatishi mumkin.

Diskret o'zgarishlar qatorida medianani topish uchun chastotalar yig'indisini yarmiga bo'lish va natijaga ½ qo'shish kerak. Shunday qilib, 185 oilani bolalar soni bo'yicha taqsimlashda median: 185/2 + ½ = 93, ya'ni. Buyurtma qilingan qatorni yarmiga bo'luvchi 93-variant. 93-variantning ma'nosi nima? Buni bilish uchun siz eng kichik variantlardan boshlab chastotalarni to'plashingiz kerak. 1 va 2-variantlarning chastotalar yig'indisi 40. Bu erda 93 ta variant yo'qligi aniq. Agar 3-variantning chastotasini 40 ga qo'shsak, biz 40 + 75 = 115 ga teng summani olamiz. Shuning uchun 93-variant o'zgaruvchan xarakteristikaning uchinchi qiymatiga to'g'ri keladi va median ikki bolali oila bo'ladi.

Ushbu misoldagi rejim va median mos keldi. Agar bizda teng chastotalar yig'indisi bo'lsa (masalan, 184), yuqoridagi formuladan foydalanib, biz median variantning sonini olamiz, 184/2 + ½ =92,5. Kasr variantlari mavjud emasligi sababli, natija mediananing 92 va 93 variantlari o'rtasida ekanligini ko'rsatadi.

3. Intervalli o'zgarishlar qatorida rejim va medianani hisoblash

Rejim va mediananing tavsiflovchi xususiyati ular individual og'ishlarni qoplamasligi bilan bog'liq. Ular har doim ma'lum bir variantga mos keladi. Shuning uchun rejim va mediana atributning barcha qiymatlari ma'lum yoki yo'qligini aniqlash uchun hisob-kitoblarni talab qilmaydi. Biroq, intervalli o'zgarishlar qatorida, ma'lum bir intervalda rejim va mediananing taxminiy qiymatini topish uchun hisob-kitoblardan foydalaniladi.

Intervaldagi xarakteristikaning modal qiymatining ma'lum bir qiymatini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/((f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1)),

Bu yerda XMo modal intervalning minimal chegarasi;

i Mo – modal intervalning qiymati;

f Mo – modal intervalning chastotasi;

f Mo-1 – modaldan oldingi intervalning chastotasi;

f Mo+1 – modaldan keyingi intervalning chastotasi.

2-jadvalda keltirilgan misol yordamida rejim hisobini ko'rsatamiz.

Jadval 2. Korxona ishchilarining ishlab chiqarish me'yorlarini bajarish bo'yicha taqsimlanishi

Rejimni topish uchun avval ushbu qatorning modal oralig'ini aniqlaymiz. Misol ko'rsatadiki, eng yuqori chastota variantlari 100 dan 105 gacha bo'lgan oraliqda joylashgan intervalga to'g'ri keladi. Bu modal intervaldir. Modal interval qiymati 5 ga teng.

2-jadvaldagi raqamli qiymatlarni yuqoridagi formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108,8

Ushbu formulaning ma'nosi quyidagicha: modal intervalning minimal chegarasiga qo'shilishi kerak bo'lgan qismining qiymati oldingi va keyingi intervallarning chastotalarining kattaligiga qarab aniqlanadi. IN Ushbu holatda 100 ga biz 8,8 qo'shamiz, ya'ni. yarim oraliqdan ko'proq, chunki oldingi intervalning chastotasi keyingi intervalning chastotasidan kamroq.

Endi medianani hisoblaymiz. Intervalli oʻzgarishlar qatorida medianani topish uchun avvalo u joylashgan intervalni (median intervalni) aniqlaymiz. Bunday interval to'plangan chastotasi chastotalar yig'indisining yarmiga teng yoki undan ko'p bo'lgan intervalli bo'ladi. Kümülatif chastotalar atributning eng past qiymatiga ega bo'lgan intervaldan boshlab, chastotalarni bosqichma-bosqich yig'ish yo'li bilan hosil bo'ladi. Chastotalar yig'indisining yarmi 250 (500:2) ga teng. Shuning uchun, 3-jadvalga ko'ra, o'rtacha intervalli ish haqi qiymati 350 000 rubl bo'lgan interval bo'ladi. 400 000 rublgacha.

Jadval 3. Intervalli o'zgarishlar qatoridagi medianani hisoblash

Ushbu intervalgacha to'plangan chastotalar yig'indisi 160 edi. Shuning uchun o'rtacha qiymatni olish uchun yana 90 birlik (250 - 160) qo'shish kerak.

Rejim va median- variatsion qatorlarning tuzilishini o'rganish uchun ishlatiladigan o'rtacha ko'rsatkichlarning maxsus turi. Ba'zan ular ilgari muhokama qilingan quvvat o'rtacha ko'rsatkichlaridan farqli o'laroq, tizimli o'rtachalar deb ataladi.

Moda- bu ma'lum bir populyatsiyada eng ko'p topiladigan xarakteristikaning (variantning) qiymati, ya'ni. eng yuqori chastotaga ega.

Moda katta amaliy qo'llanilishiga ega va ba'zi hollarda faqat moda ijtimoiy hodisalarni tavsiflashi mumkin.

Median- bu tartiblangan variatsiya seriyasining o'rtasida joylashgan variant.

O'rtacha o'zgaruvchan xususiyat qiymatining miqdoriy chegarasini ko'rsatadi, unga populyatsiyadagi birliklarning yarmi erishgan. Agar o'zgaruvchanlik qatorida ochiq intervallar mavjud bo'lsa, medianani o'rtacha yoki uning o'rniga ishlatish tavsiya etiladi, chunki medianani hisoblash uchun ochiq oraliqlar chegaralarini shartli ravishda belgilash talab qilinmaydi va shuning uchun ular haqida ma'lumotlarning etishmasligi medianani hisoblashning to'g'riligiga ta'sir qilmaydi.

O'rtacha og'irlik sifatida ishlatiladigan ko'rsatkichlar noma'lum bo'lganda ham qo'llaniladi. Mahsulot sifatini nazorat qilishning statistik usullarida o'rtacha arifmetik o'rniga mediana qo'llaniladi. Variantlarning medianadan mutlaq og'ishlari yig'indisi boshqa raqamlardan kamroq.

Diskret variatsion qatorda rejim va medianani hisoblashni ko'rib chiqamiz :

Rejim va medianani aniqlang.

Fashion Mo = 4 yil, chunki bu qiymat eng yuqori chastota f = 5 ga to'g'ri keladi.

Bular. eng ko'p ishchilar soni 4 yillik tajribaga ega.

Medianani hisoblash uchun biz birinchi navbatda chastotalar yig'indisining yarmini topamiz. Agar chastotalar yig'indisi toq son bo'lsa, avval ushbu yig'indiga bitta qo'shamiz va keyin yarmiga bo'lamiz:

Median sakkizinchi variant bo'ladi.

Qaysi variant raqam bo'yicha sakkizinchi bo'lishini aniqlash uchun biz barcha chastotalar yig'indisining yarmiga teng yoki undan ko'p chastotalar yig'indisini olinmaguncha chastotalarni to'playmiz. Tegishli variant median bo'ladi.

Meh = 4 yil.

Bular. ishchilarning yarmi to'rt yildan kam tajribaga ega, yarmi ko'p.

Agar bitta variantga nisbatan to'plangan chastotalar yig'indisi chastotalar yig'indisining yarmiga teng bo'lsa, u holda mediana ushbu variantning va keyingisining arifmetik o'rtacha qiymati sifatida aniqlanadi.

Intervalli o'zgarishlar qatorida rejim va medianani hisoblash

Intervalli o'zgarishlar qatoridagi rejim formula bo'yicha hisoblanadi

Qayerda X M0- modal intervalning boshlang'ich chegarasi;

hm 0 - modal intervalning qiymati,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 – mos ravishda modal intervaldan oldingi va keyingi modal intervalning chastotasi.

Modal Eng yuqori chastota mos keladigan interval deyiladi.

1-misol

Rejim va medianani aniqlang.

Modali interval, chunki u eng yuqori chastota f = 35 ga mos keladi. Keyin:

Hm 0 =6, fm 0 =35

Excelda MEDIAN funksiyasi diapazonni tahlil qilish uchun ishlatiladi raqamli qiymatlar va tekshirilayotgan to'plamning o'rtasi bo'lgan raqamni qaytaradi (median). Ya'ni, bu funktsiya raqamlar to'plamini shartli ravishda ikkita kichik to'plamga ajratadi, ularning birinchisida medianadan kichik raqamlar mavjud, ikkinchisi esa ko'proq. Median qiziqish doirasining markaziy tendentsiyasini aniqlashning bir necha usullaridan biridir.

Excelda MEDIAN funksiyasidan foydalanishga misollar

Talabalarning yosh guruhlarini o'rganishda universitetdagi tasodifiy tanlangan guruh talabalari ma'lumotlaridan foydalanilgan. Vazifa talabalarning o'rtacha yoshini aniqlashdan iborat.

Dastlabki ma'lumotlar:

Hisoblash uchun formula:

Argument tavsifi:

• B3:B15 - o'rganilgan yosh oralig'i.

Natija:

Ya'ni, guruhda yoshi 21 yoshdan kichik va bu qiymatdan oshgan talabalar bor.

O'rtacha qiymatni hisoblash uchun MEDIAN va AVERAGE funksiyalarini solishtirish

Kasalxonada kechki raundlarda har bir bemorning tana harorati o'lchandi. Olingan qiymatlar oralig'ini tekshirish uchun o'rtacha qiymat o'rniga median parametridan foydalanish foydaliligini ko'rsating.

Dastlabki ma'lumotlar:

O'rtachani topish formulasi:

Medianani topish formulasi:

O'rtacha qiymatdan ko'rinib turibdiki, o'rtacha bemorlarning harorati odatdagidan yuqori, ammo bu to'g'ri emas. Median bemorlarning kamida yarmida normal tana harorati borligini ko'rsatadi, 36,6 dan oshmaydi.

Diqqat! Markaziy tendentsiyani aniqlashning yana bir usuli - bu rejim (o'rganilayotgan diapazonda eng ko'p uchraydigan qiymat). Excelda markaziy tendentsiyani aniqlash uchun siz MODE funksiyasidan foydalanishingiz kerak. E'tibor bering, ushbu misolda mediana va rejim qiymatlari bir xil:

Ya'ni, bitta to'plamni kichikroq va kattaroq qiymatlarning kichik to'plamlariga ajratadigan o'rtacha qiymat ham to'plamda eng tez-tez uchraydigan qiymatdir. Ko'rib turganingizdek, bemorlarning ko'pchiligi 36,6 haroratga ega.

Excelda statistik tahlilda medianani hisoblash misoli

Misol 3. Do'konda 3 ta sotuvchi ishlaydi. Oxirgi 10 kunlik natijalarga ko'ra, bonus beriladigan xodimni aniqlash kerak. Eng yaxshi xodimni tanlashda sotilgan tovarlar soni emas, balki uning ish samaradorligi darajasi hisobga olinadi.

Asl ma'lumotlar jadvali:

Samaradorlikni tavsiflash uchun biz bir vaqtning o'zida uchta ko'rsatkichdan foydalanamiz: o'rtacha qiymat, median va rejim. Keling, ularni har bir xodim uchun mos ravishda AVERAGE, MEDIAN va MODE formulalari yordamida aniqlaymiz:

Ma'lumotlarning tarqalish darajasini aniqlash uchun biz mos ravishda o'rtacha qiymat va rejim, o'rtacha qiymat va median o'rtasidagi farq modulining umumiy qiymati bo'lgan qiymatdan foydalanamiz. Ya'ni, x=|av-med|+|av-mod| koeffitsienti, bu erda:

• av - o'rtacha qiymat;
• med - o'rtacha;
• mod - moda.

Birinchi sotuvchi uchun x koeffitsientining qiymatini hisoblaymiz:

Boshqa sotuvchilar uchun ham xuddi shunday hisob-kitoblarni amalga oshiramiz. Natijalar:

Keling, bonus kimga berilishini sotuvchini aniqlaymiz:

Eslatma: SMALL funksiyasi x koeffitsienti qiymatlarining ko'rib chiqilgan diapazonidan birinchi minimal qiymatni qaytaradi.

X koeffitsienti do'kon iqtisodchisi tomonidan kiritilgan sotuvchilar ishining barqarorligining ma'lum miqdoriy tavsifidir. Uning yordami bilan qiymatlardagi eng kichik og'ishlar bilan diapazonni aniqlash mumkin edi. Ushbu usul eng ishonchli natijalarni olish uchun markaziy tendentsiyani aniqlashning uchta usulini bir vaqtning o'zida qanday qo'llash mumkinligini ko'rsatadi.

Excelda MEDIAN funksiyasidan foydalanish xususiyatlari

Funktsiya quyidagi sintaksisga ega:

MEDIAN(1-raqam; [2-raqam];...)

Argumentlarning tavsifi:

• raqam1 - o'rganilayotgan diapazondagi birinchi raqamli qiymatni tavsiflovchi talab qilinadigan argument;
• [2-raqam] - o'rganilayotgan diapazonning ikkinchi va keyingi qiymatlarini tavsiflovchi ixtiyoriy ikkinchi (va keyingi argumentlar, jami 255 tagacha argumentlar).

Eslatma 1:

1. Hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, argumentlarni ketma-ket kiritish o'rniga, o'rganilayotgan qiymatlarning barcha diapazonini birdaniga o'tkazish qulayroqdir.
2. Qabul qilingan argumentlar raqamli ma'lumotlar, raqamlarni o'z ichiga olgan nomlar, mos yozuvlar turi ma'lumotlari va massivlardir (masalan, =MEDIAN((1,2,3,5,7,10))).
3. Medianni hisoblashda bo'sh qiymatlarni o'z ichiga olgan katakchalar yoki mantiqiy TRUE, FALSE hisobga olinadi, ular mos ravishda 1 va 0 raqamli qiymatlari sifatida talqin etiladi. Masalan, argumentlarda mantiqiy qiymatlarga ega funktsiyani bajarish natijasi (TRUE; FALSE) uni argumentlar (1;0) bilan bajarish natijasiga teng va 0,5 ga teng.
4. Agar bir yoki bir nechta funktsiya argumentlari raqamli qiymatlarga aylantirilmaydigan matn qiymatlarini qabul qilsa yoki xato kodlarini o'z ichiga olsa, funksiya #VALUE! xato kodini qaytaradi.
5. Namuna medianasini aniqlash uchun Excelning boshqa funksiyalaridan foydalanish mumkin: PERCENTILE.IN, QUARTILE.IN, MAX Foydalanish misollari:

• =PERCENTILE.IN(A1:A10,0,5), chunki ta'rifga ko'ra median 50-persentildir.
• =KARTIL.ON(A1:A10;2), chunki mediana 2-kvartaldir.
• =HIGH(A1:A9,COUNT(A1:A9)/2), lekin faqat diapazondagi raqamlar soni toq son boʻlsa.

Eslatma 2:

1. Agar o'rganilayotgan diapazonda barcha raqamlar o'rtacha qiymat atrofida nosimmetrik taqsimlangan bo'lsa, bu diapazon uchun o'rtacha arifmetik va mediana ekvivalent bo'ladi.
2. Diapazondagi ma'lumotlarning katta og'ishlari bilan ("qiymatlarning tarqalishi") median o'rtacha arifmetikdan ko'ra qiymatlarni taqsimlash tendentsiyasini yaxshiroq aks ettiradi. Ajoyib misol - mansabdor shaxslar oddiy fuqarolardan ko'ra ko'proq maosh oladigan shtat aholisining haqiqiy ish haqi darajasini aniqlash uchun medianadan foydalanish.
3. O'rganilayotgan qiymatlar diapazoni quyidagilarni o'z ichiga olishi mumkin:

• Toq sonli raqamlar. Bunday holda, mediana bo'ladi birlik, diapazonni mos ravishda kattaroq va kichikroq qiymatlarning ikkita kichik to'plamiga bo'lish;
• Juft raqamlar soni. Keyin median to'plamni yuqorida ko'rsatilgan ikkita kichik to'plamga bo'lgan ikkita raqamli qiymatning o'rtacha arifmetik qiymati sifatida hisoblanadi.

MS EXCEL da medianani hisoblash uchun maxsus MEDIAN() funksiyasi mavjud. Ushbu maqolada biz medianani aniqlaymiz va uni namuna va berilgan taqsimot qonuni uchun qanday hisoblashni bilib olamiz tasodifiy o'zgaruvchi.

dan boshlaylik medianlar Uchun namunalar(ya'ni, belgilangan qiymatlar to'plami uchun).

Namuna medianasi

Median(median) - sonlar to'plamining o'rtasi bo'lgan son: to'plamdagi raqamlarning yarmi dan katta. median, va yarmi raqamlardan kichik median.

Hisoblash uchun medianlar birinchi navbatda zarur (qiymatlar namuna). Masalan, median namuna uchun (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) bo‘ladi 4. Chunki faqat ichida namuna 7 ta qiymat, ulardan uchtasi 4 dan kichik (ya'ni 2; 3; 3) va uchtasi kattaroq (ya'ni 5; 7; 10).

Agar to'plam juft sonli raqamlarni o'z ichiga olsa, u to'plamning o'rtasida joylashgan ikkita raqam uchun hisoblanadi. Masalan, median namuna uchun (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) 4,5 bo'ladi, chunki (3+6)/2=4,5.

Aniqlash uchun medianlar MS EXCEL da bir xil nomdagi MEDIAN() funksiyasi mavjud. Inglizcha versiyasi MEDIAN().

Median bilan mos kelishi shart emas. Namunadagi qiymatlar nosimmetrik tarzda taqsimlangan taqdirdagina moslik yuzaga keladi o'rtacha. Masalan, uchun namunalar (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) median Va o'rtacha 3,5 ga teng.

Agar ma'lum bo'lsa Tarqatish funksiyasi F(x) yoki ehtimollik zichligi funksiyasi p(X), Bu median tenglamadan topish mumkin:

Masalan, Lognormal taqsimot lnN(m; s 2) uchun bu tenglamani analitik tarzda yechib, biz shuni olamiz. median=EXP(m) formulasi yordamida hisoblangan. m=0 bo‘lganda mediana 1 ga teng.

Nuqtaga e'tibor bering Tarqatish funktsiyalari, buning uchun F(x)=0,5(yuqoridagi rasmga qarang) . Bu nuqtaning absissasi 1 ga teng. Bu em formulasi yordamida oldindan hisoblangan qiymat bilan tabiiy ravishda mos keladigan medianning qiymati.

MS EXCEL da median Uchun lognormal taqsimot LnN(0;1) formula yordamida hisoblanishi mumkin =LOGNORM.REV(0,5,0,1).

Eslatma: ning integrali ekanligini eslaylik tasodifiy o'zgaruvchini belgilashning butun domenida bittaga teng.

Shuning uchun median chiziq (x=Media) grafik ostidagi maydonni ajratadi ehtimollik zichligi funksiyalari ikkita teng qismga bo'ling.