Polinomlar. Ko'phadni koeffitsientga ajratish: usullar, misollar. Algebra darsi “Faktoringning turli usullari” Kvadrat uch a’zoni koeffitsientga ajratish

DARS REJASI 7-sinfda algebra darsi

O'qituvchi Prilepova O.A.

Dars maqsadlari:

Ko‘phadni faktorlarga ajratishning turli usullaridan foydalanishni ko‘rsating

Mashqlar davomida faktorlarga ajratish usullarini takrorlash va bilimlarini mustahkamlash

O‘quvchilarda ko‘paytirishning qisqartirilgan formulalarini qo‘llash ko‘nikma va malakalarini shakllantirish.

Talabalarning mantiqiy fikrlash va fanga qiziqishini rivojlantirish.

Vazifalar:

yo'nalishda shaxsiy rivojlanish:

Matematik ijodkorlik va matematik qobiliyatlarga qiziqishni rivojlantirish;

Matematik masalalarni yechishda tashabbus va faollikni rivojlantirish;

Mustaqil qaror qabul qilish qobiliyatini rivojlantirish.

meta-mavzu yo'nalishida :

Shakllanish umumiy usullar matematikaga xos bo'lgan va kognitiv madaniyatning asosi bo'lgan intellektual faoliyat;

AKT texnologiyasidan foydalanish;

mavzu sohasida:

Uzluksiz ta'lim uchun zarur bo'lgan matematik bilim va ko'nikmalarni egallash;

O‘quvchilarda ko‘phadni ko‘paytuvchiga ajratish usullarini izlash va ularni ko‘paytiruvchi ko‘phad uchun topish ko‘nikmasini shakllantirish.

Uskunalar:tarqatma materiallar, baholash mezonlari bilan marshrut varaqlari,multimedia proyektori, taqdimot.

Dars turi:o'tilgan materialni takrorlash, umumlashtirish va tizimlashtirish

Ish shakllari:juftlik va guruhlarda ishlash, individual, jamoaviy,mustaqil, frontal ish.

Darslar davomida:

Ko'phadlarni faktoring - bu o'ziga xoslikni o'zgartirish, buning natijasida ko'phad bir nechta omillar ko'paytmasiga aylanadi - ko'phad yoki monom.

Polinomlarni faktorlar qilishning bir necha usullari mavjud.

1-usul. Qavs ichidan umumiy omilni chiqarish.

Bu transformatsiya ko'paytirishning distributiv qonuniga asoslanadi: ac + bc = c(a + b). Transformatsiyaning mohiyati ko'rib chiqilayotgan ikkita komponentdagi umumiy omilni ajratish va uni qavslardan "olib tashlash" dir.

28x 3 - 35x 4 ko'phadni ko'paytiraylik.

Yechim.

1. 28x 3 va 35x 4 elementlarni toping umumiy bo'luvchi. 28 va 35 uchun u 7 bo'ladi; x 3 va x 4 - x 3 uchun. Boshqacha qilib aytganda, bizning umumiy koeffitsientimiz 7x 3.

2. Elementlarning har birini omillar mahsuloti sifatida ifodalaymiz, ulardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

2-usul. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish. Ushbu usuldan foydalanishning "mahorati" ifodadagi qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan birini payqashdir.

X 6 – 1 ko‘phadni ko‘paytiraylik.

Yechim.

1. Ushbu ifodaga kvadratlar farqi formulasini qo'llashimiz mumkin. Buning uchun x 6 ni (x 3) 2 va 1 ni 1 2 deb tasavvur qiling, ya'ni. 1. Ifoda quyidagi shaklni oladi:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Hosil bo‘lgan ifodaga kublarning yig‘indisi va ayirmasi formulasini qo‘llashimiz mumkin:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Shunday qilib,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x) 2 + x + 1).

3-usul. Guruhlash. Guruhlash usuli - ko'phadning komponentlarini shunday birlashtirib, ular ustida amallarni (qo'shish, ayirish, umumiy ko'paytmani ayirish) bajarish oson bo'ladi.

X 3 – 3x 2 + 5x – 15 ko‘phadni ko‘paytiramiz.

Yechim.

1. Komponentlarni shunday guruhlaymiz: 1-2-chi, 3-chi-4-chi.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Olingan ifodada qavs ichidan umumiy omillarni chiqaramiz: birinchi holatda x 2, ikkinchi holatda 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Qavslar ichidan umumiy x – 3 koeffitsientini olamiz va:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Shunday qilib,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Keling, materialni himoya qilaylik.

a 2 – 7ab + 12b 2 ko‘phadni ko‘paytiring.

Yechim.

1. 7ab monomialni 3ab + 4ab yig'indisi sifatida tasvirlaymiz. Ifoda quyidagi shaklda bo'ladi:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Qavslarni ochamiz va olamiz:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Ko‘phadning komponentlarini shunday guruhlarga ajratamiz: 1-chi 2-chi, 3-chi 4-chi. Biz olamiz:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Qavs ichidan umumiy omillarni chiqaramiz:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Qavslar ichidan umumiy omilni (a – 3b) chiqaramiz:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Shunday qilib,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Ommaviy dars

matematika

7-sinfda

"Ko'phadni ko'paytiruvchi turli usullardan foydalanish".

Prokofieva Natalya Viktorovna,

Matematika o'qituvchisi

Dars maqsadlari

Tarbiyaviy:

1. qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini takrorlang
2. ko'phadlarni turli yo'llar bilan ko'paytirish qobiliyatini shakllantirish va birlamchi mustahkamlash.

Tarbiyaviy:

1. ongni rivojlantirish, mantiqiy fikrlash, e'tibor, olingan bilimlarni tizimlashtirish va qo'llash qobiliyati, matematik savodli nutq.

Tarbiyaviy:

1. misollarni echishga qiziqishni rivojlantirish;
2. o'zaro yordam, o'z-o'zini nazorat qilish va matematik madaniyat hissini tarbiyalash.

Dars turi: birlashtirilgan dars

Uskunalar: proyektor, taqdimot, doska, darslik.

Darsga dastlabki tayyorgarlik:

1. Talabalar quyidagi mavzularni bilishlari kerak:

1. Ikki ifodaning yig‘indisi va ayirmasining kvadrati
2. Kvadrat yig'indi va kvadrat ayirma formulalari yordamida faktoring
3. Ikki ifodaning ayirmasini ularning yig‘indisiga ko‘paytirish
4. Kvadratlar farqini faktoring
5. Kublarning yig'indisi va ayirmasini faktoring

1. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari bilan ishlash ko'nikmalariga ega bo'ling.

Dars rejasi

1. Tashkiliy vaqt (o'quvchilarning diqqatini darsga qaratish)
2. Uy vazifasini tekshirish (xatolarni tuzatish)
3. Og'zaki mashqlar
4. Yangi materialni o'rganish
5. Trening mashqlari
6. Takrorlash mashqlari
7. Darsni yakunlash
8. Uy vazifasi xabari

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment.

Dars sizdan qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini bilishni, ularni qo'llay bilishni va, albatta, e'tibor berishni talab qiladi.

II. Uy vazifasini tekshirish.

Uy vazifasi uchun savollar.

Doskada yechimni tahlil qilish.

II. Og'zaki mashqlar.

Matematika kerak
Usiz bu mumkin emas
Biz o'rgatamiz, o'rgatamiz, do'stlar,
Ertalab nimani eslaymiz?

Keling, isinish qilaylik.

Faktorizatsiya (3-slayd)

8a - 16b

17x² + 5x

c(x+y)+5(x+y)

4a² - 25 (Slayd 4)

1 - y³

ax + ay + 4x + 4y 5-slayd)

III. Mustaqil ish.

Har biringiz stolda stol bor. Yuqori o'ng burchakda ishingizni imzolang. Jadvalni to'ldiring. Ish vaqti 5 minut. Qani boshladik.

Biz tugatdik.

Iltimos, qo'shningiz bilan ish joyini almashtiring.

Ular qalamlarini qo'yib, qalamlarini olishdi.

Biz ishni tekshiramiz - slaydga e'tibor bering. (6-slayd)

Biz belgi qo'ydik - (7-slayd)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

Formulalarni jadvalning o'rtasiga qo'ying. Keling, yangi materialni o'rganishni boshlaylik.

IV. Yangi materialni o'rganish

Daftarlarga bugungi darsning sanasini, sinf ishini va mavzusini yozamiz.

O'qituvchi.

1. Ko'phadlarni faktoringlashda ba'zan ular bir emas, balki bir nechta usullardan foydalanib, ularni ketma-ket qo'llaydilar.
2. Misollar:

1. 5a² - 20 = 5 (a² - 4) = 5 (a-2)(a+2). (8-slayd)

Qavslar ichidagi umumiy koeffitsient va kvadratlar farqi formulasidan foydalanamiz.

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)². (9-slayd)

Ifoda bilan nima qila olasiz? Faktorlarga ajratish uchun qanday usuldan foydalanamiz?

Bu erda biz umumiy omil va kvadrat yig'indi formulasini qavsga qo'yamiz.

1. ab³ – 3b³ + ab²u – 3b²u = b² (ab – 3b + ay – 3y) = b² ((ab – 3b) + (ay – 3y)) = b² (b(a – 3) + y(a – 3)) = b² (a – 3)(b +y). (10-slayd)

Ifoda bilan nima qila olasiz? Faktorlarga ajratish uchun qanday usuldan foydalanamiz?

Bu yerda umumiy omil qavs ichidan olib tashlandi va guruhlash usuli qo'llanildi.

1. Faktorlarga ajratish tartibi: (Slayd 11)

1. Har bir polinomni faktorlarga ajratish mumkin emas. Masalan: x² + 1; 5x² + x + 2 va boshqalar. (12-slayd)

V. Mashg'ulot mashqlari

Boshlashdan oldin biz jismoniy tarbiya mashg'ulotini o'tkazamiz (13-slayd)

Ular tezda o'rnidan turishdi va jilmayishdi.

Ular balandroq va balandroq cho'zilgan.

Qani, elkangizni to'g'rilang,

Ko'taring, tushiring.

O'ngga, chapga buriling,

Ular o'tirib, turishdi. Ular o'tirib, turishdi.

Va ular joyiga yugurishdi.

Va ko'zlar uchun yana bir nechta gimnastika:

1. Ko'zlaringizni 3-5 soniya davomida mahkam yoping va keyin ularni 3-5 soniya davomida oching. 6 marta takrorlang.
2. Bosh barmog'ingizni ko'zlaringizdan 20-25 sm masofada qo'ying, ikkala ko'z bilan barmoqning uchiga 3-5c qarab turing, so'ngra ikkala ko'z bilan quvurga qarang. 10 marta takrorlang.

Yaxshi, o'tiring.

Darsga topshiriq:

№ 934 avd

№935 av

№937

№ 939 avd

№ 1007 avd

VI. Takrorlash mashqlari.

№ 933

VII. Darsni yakunlash

O'qituvchi savollar beradi, talabalar esa o'z xohishlariga ko'ra javob berishadi.

1. Ism ma'lum usullar polinomni faktoringga ajratish.

1. Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaring
2. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida ko'phadni ko'paytirish.
3. guruhlash usuli

1. Faktorizatsiya tartibi:

1. Umumiy omilni qavslar tashqarisiga qo'ying (agar mavjud bo'lsa).
2. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida ko'phadni ko'paytirishga harakat qiling.
3. Agar oldingi usullar maqsadga olib kelmagan bo'lsa, unda guruhlash usulidan foydalanishga harakat qiling.

Qo'l ko'taring:

1. Agar sizning darsga munosabatingiz "Men hech narsani tushunmadim va umuman muvaffaqiyatga erishmadim" bo'lsa
2. Agar sizning darsga bo'lgan munosabatingiz "qiyinchiliklar bor edi, lekin men uddaladim"
3. Agar sizning darsga bo'lgan munosabatingiz "Men deyarli hamma narsada muvaffaqiyatga erishdim" bo'lsa

4 koeffitsient a² - 25 = 1 - y³ = (2a – 5) (2a + 5) (1 – y) (1+y+y ²) Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari yordamida ko‘phadni koeffitsientga ajratish

ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4) guruhlash usuli

(a + b) ² a ² + 2ab + b ² yig‘indining kvadrati a² - b² (a – b)(a + b) kvadratlar farqi (a – b)² a² - 2ab + b² Farqning kvadrati a³ + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) Kublar yig'indisi (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ Yig'indi kubi (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ Farq kubi a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) Kublar farqi

7 (+) = 5 6 yoki 5 (+) = 4 4 (+) = 3 BARKALARNI O'ZLASH

Misol № 1. 5 a² - 20 = = 5(a² - 4) = = 5(a – 2) (a+2) Qavs ichidan umumiy koʻpaytmani olish Kvadratchalar ayirmasi formulasi

Misol № 2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1)= =2x(3x+1) ² Qavslar ichidan umumiy omilni olish Kvadrat yig‘indi uchun formula

Misol № 3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y(a) -3))= =b²(a-3)(b+y) Koeffitsientni qavs tashqarisiga qo'ying Qavs ichidagi atamalarni guruhlang Ko'rsatkichlarni qavs tashqarisiga qo'ying Umumiy ko'rsatkichni qavs tashqarisiga qo'ying

Faktorlarga ajratish tartibi: Qavslar ichida umumiy ko'rsatkichni (agar mavjud bo'lsa) joylashtiring. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida ko'phadni ko'paytirishga harakat qiling. 3. Agar oldingi usullar maqsadga olib kelmagan bo'lsa, unda guruhlash usulini qo'llashga harakat qiling.

Har bir polinomni faktorlarga ajratish mumkin emas. Masalan: x² +1 5x² + x + 2

Jismoniy MINUT

Dars topshirig‘i No 934 avd No 935 avd No 937 avd No 939 avd No 1007 avd.

Qo'lingizni ko'taring: Agar sizning darsga munosabatingiz "Men hech narsani tushunmadim va umuman muvaffaqiyatga erishmadim" bo'lsa, darsga munosabatingiz "qiyinchiliklar bo'lgan, lekin men buni qildim" Agar sizning darsga munosabatingiz. "Men deyarli hamma narsada muvaffaqiyatga erishdim"

Uyga vazifa: 38-bet No 936 No 938 No 954

Algebrada "ko'p nomli" va "ko'p nomli ko'rsatkichlar" tushunchalari juda tez-tez uchrab turadi, chunki katta ko'p xonali sonlar bilan oson hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ularni bilish kerak. Ushbu maqolada bir nechta parchalanish usullari tasvirlanadi. Ularning barchasidan foydalanish juda oddiy, siz har bir alohida holat uchun to'g'risini tanlashingiz kerak.

Polinom haqida tushuncha

Ko'phad - bu monomlar yig'indisi, ya'ni faqat ko'paytirish amalini o'z ichiga olgan ifodalar.

Masalan, 2 * x * y monom, lekin 2 * x * y + 25 ko'phad bo'lib, 2 ta monomdan iborat: 2 * x * y va 25. Bunday ko'phadlar binomi deyiladi.

Ba'zan, ko'p qiymatli qiymatlarga ega bo'lgan misollarni echish qulayligi uchun ifodani o'zgartirish kerak, masalan, ma'lum miqdordagi omillarga, ya'ni ko'payish harakati amalga oshiriladigan raqamlar yoki ifodalarga ajralishi kerak. Ko‘phadni ko‘paytiruvchining bir qancha usullari mavjud. Boshlang'ich maktabda qo'llaniladigan eng ibtidoiylardan boshlab ularni ko'rib chiqishga arziydi.

Guruhlash (umumiy shaklda qayd etish)

Umumiy holda guruhlash usuli yordamida ko‘phadni faktorlarga ajratish formulasi quyidagicha ko‘rinadi:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Har bir guruh umumiy omilga ega bo'lishi uchun monomiallarni guruhlash kerak. Birinchi qavsda bu c omil, ikkinchisida esa - d. Buni keyin uni qavsdan olib tashlash va shu bilan hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun qilish kerak.

Muayyan misol yordamida parchalanish algoritmi

Polinomni guruhlash usuli yordamida faktorlarga ajratishning eng oddiy misoli quyida keltirilgan:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Birinchi qavsda umumiy bo'ladigan a koeffitsienti bilan atamalarni olish kerak, ikkinchisida - b omil bilan. Tugallangan ifodadagi + va - belgilariga e'tibor bering. Biz monomialning oldiga boshlang'ich ifodada bo'lgan belgini qo'yamiz. Ya'ni, siz 25a ifodasi bilan emas, balki -25 ifodasi bilan ishlashingiz kerak. Minus belgisi uning orqasidagi ifodaga "yopishgan" ko'rinadi va hisoblashda har doim hisobga olinadi.

Keyingi bosqichda siz qavs ichidan keng tarqalgan ko'paytirgichni olishingiz kerak. Guruhlash aynan shu maqsadda. Qavsdan tashqariga qo'yish qavs oldiga (ko'paytirish belgisini qoldirmasdan) qavs ichidagi barcha atamalarda aniq takrorlangan barcha omillarni yozishni anglatadi. Qavs ichida 2 emas, balki 3 yoki undan ortiq atama bo'lsa, umumiy omil ularning har birida bo'lishi kerak, aks holda uni qavsdan chiqarib bo'lmaydi.

Bizning holatlarimizda qavs ichida faqat 2 ta atama mavjud. Umumiy multiplikator darhol ko'rinadi. Birinchi qavsda a, ikkinchisida b. Bu erda siz raqamli koeffitsientlarga e'tibor berishingiz kerak. Birinchi qavsda ikkala koeffitsient (10 va 25) 5 ga karrali bo'ladi. Demak, qavsdan nafaqat a, balki 5a ni ham chiqarish mumkin. Qavs oldidan 5a yozing, so'ngra qavs ichidagi atamalarning har birini chiqarilgan umumiy omilga bo'ling, shuningdek, + va belgilarini unutmang, qavs ichiga qismni yozing - Ikkinchi qavs bilan ham xuddi shunday qiling, oling. 7b dan, shuningdek, 14 va 35 ning 7 ga karrali.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Biz 2 ta atama oldik: 5a(2c - 5) va 7b(2c - 5). Ularning har biri umumiy omilni o'z ichiga oladi (qavs ichidagi barcha ifoda bu erda bir xil, demak u umumiy koeffitsientdir): 2c - 5. Uni qavsdan ham olib tashlash kerak, ya'ni 5a va 7b atamalar qoladi. ikkinchi qavsda:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Shunday qilib, to'liq ifoda:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Shunday qilib, 10ac + 14bc - 25a - 35b ko'phad 2 ta omilga parchalanadi: (2c - 5) va (5a + 7b). Yozishda ular orasidagi ko'paytirish belgisi qo'yilishi mumkin

Ba'zan bunday turdagi iboralar mavjud: 5a 2 + 50a 3, bu erda siz qavslardan nafaqat a yoki 5a, balki 5a 2 ni ham qo'yishingiz mumkin. Siz har doim eng katta umumiy omilni qavsdan chiqarishga harakat qilishingiz kerak. Bizning holatda, har bir atamani umumiy koeffitsientga ajratsak, biz quyidagilarni olamiz:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(asoslari teng bo'lgan bir nechta darajalarning qismini hisoblashda asos saqlanib qoladi va ko'rsatkich ayiriladi). Shunday qilib, birlik qavs ichida qoladi (hech qanday holatda siz atamalardan birini qavsdan chiqarsangiz, bittasini yozishni unutmaysiz) va bo'linish koeffitsienti: 10a. Ma'lum bo'lishicha:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadrat formulalar

Hisoblash qulayligi uchun bir nechta formulalar olingan. Ular qisqartirilgan ko'paytirish formulalari deb ataladi va juda tez-tez ishlatiladi. Ushbu formulalar darajalarni o'z ichiga olgan polinomlarni ko'paytirishga yordam beradi. Bu faktorizatsiya qilishning yana bir samarali usuli. Shunday qilib, ular bu erda:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formula "yig'indi kvadrati" deb ataladi, chunki kvadratga parchalanish natijasida qavs ichiga olingan raqamlar yig'indisi olinadi, ya'ni bu yig'indining qiymati o'ziga 2 marta ko'paytiriladi va shuning uchun multiplikator.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - farq kvadratining formulasi, u avvalgisiga o'xshaydi. Natijada kvadrat kuchida joylashgan qavs ichiga olingan farq.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- bu kvadratlar farqining formulasi, chunki dastlab polinom 2 kvadrat son yoki ifodadan iborat bo'lib, ular orasida ayirish amalga oshiriladi. Ehtimol, yuqorida aytib o'tilgan uchtasidan u eng ko'p ishlatiladi.

Kvadrat formulalar yordamida hisob-kitoblarga misollar

Ular uchun hisob-kitoblar juda oddiy. Masalan:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - "yig'indi kvadrati" formulasidan foydalaning.
2. 25x 2 - 5x ning kvadrati. 20xy 2*(5x*2y) ning qo‘sh ko‘paytmasi, 4y 2 esa 2y ning kvadrati.
3. Shunday qilib, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y). Bu ko‘phad 2 ta omilga ajratiladi (omillar bir xil, shuning uchun u kvadrat darajali ifoda sifatida yoziladi).

Kvadrat farq formulasi yordamida amallar shunga o'xshash tarzda amalga oshiriladi. Qolgan formula kvadratlar farqidir. Ushbu formulaning misollarini aniqlash va boshqa iboralar orasida topish juda oson. Masalan:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). 25a 2 = (5a) 2 va 400 = 20 2 bo'lgani uchun
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Chunki 36x 2 = (6x) 2 va 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 dan beri

Har bir atama qandaydir ifodaning kvadrati bo'lishi muhim. Keyin bu polinom kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, faktorlarga ajratilishi kerak. Buning uchun ikkinchi daraja raqamdan yuqori bo'lishi shart emas. Katta darajalarni o'z ichiga olgan polinomlar mavjud, ammo bu formulalarga mos keladi.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Ushbu misolda 8 ni (a 4) 2, ya'ni ma'lum bir ifodaning kvadrati sifatida ko'rsatish mumkin. 25 5 2 ga, 10a esa 4 ga teng - bu 2 * a 4 * 5 atamalarining ikki barobar ko'paytmasidir. Ya'ni bu ifoda, katta darajali darajalar mavjudligiga qaramay, ular bilan keyinchalik ishlash uchun 2 ta omilga bo'linishi mumkin.

Kub formulalari

Xuddi shu formulalar kublarni o'z ichiga olgan polinomlarni faktoring qilish uchun ham mavjud. Ular kvadratchalarga qaraganda biroz murakkabroq:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- bu formula kublar yig'indisi deb ataladi, chunki uning boshlang'ich shaklida polinom kub ichiga olingan ikkita ifoda yoki raqamlarning yig'indisidir.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - avvalgisiga o'xshash formula kublar farqi sifatida belgilanadi.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - yig'indining kubi, hisob-kitoblar natijasida raqamlar yoki ifodalar yig'indisi qavs ichiga olinadi va o'ziga 3 marta ko'paytiriladi, ya'ni kub ichida joylashgan
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - oldingisiga o'xshashlik bo'yicha tuzilgan, faqat matematik operatsiyalarning ba'zi belgilarini (ortiqcha va minus) o'zgartiradigan formula "farq kubi" deb ataladi.

Oxirgi ikkita formulalar ko‘phadni faktorlarga ajratish uchun amalda qo‘llanilmaydi, chunki ular murakkab va aynan shu tuzilishga to‘liq mos keladigan ko‘phadlarni topish kamdan-kam uchraydi, shuning uchun ularni ushbu formulalar yordamida faktorlarga ajratish mumkin. Ammo siz hali ham ularni bilishingiz kerak, chunki ular qarama-qarshi yo'nalishda ishlaganda - qavslarni ochishda talab qilinadi.

Kub formulalariga misollar

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Bu erda juda oddiy raqamlar olingan, shuning uchun siz darhol 64a 3 (4a) 3 va 8b 3 (2b) 3 ekanligini ko'rishingiz mumkin. Shunday qilib, bu ko'phad kublar formulasi farqiga ko'ra 2 omilga kengaytiriladi. Kublar yig'indisi formulasidan foydalangan holda harakatlar analogiya bo'yicha amalga oshiriladi.

Shuni tushunish kerakki, barcha ko'phadlarni kamida bitta usulda kengaytirish mumkin emas. Ammo kvadrat yoki kubdan ko'ra katta kuchlarni o'z ichiga olgan iboralar mavjud, ammo ular qisqartirilgan ko'paytirish shakllariga ham kengaytirilishi mumkin. Masalan: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Bu misol 12-darajani o'z ichiga oladi. Lekin hatto uni kublar yig'indisi formulasi yordamida faktorlarga ajratish mumkin. Buning uchun x 12 ni (x 4) 3, ya'ni qandaydir ifodaning kubi sifatida tasavvur qilish kerak. Endi, a o'rniga, uni formulada almashtirishingiz kerak. Xo'sh, 125y 3 ifodasi 5y ning kubidir. Keyinchalik, formuladan foydalanib, mahsulotni yaratishingiz va hisob-kitoblarni bajarishingiz kerak.

Avvaliga yoki shubhangiz bo'lsa, siz har doim teskari ko'paytirish orqali tekshirishingiz mumkin. Olingan ifodadagi qavslarni ochish va shunga o'xshash atamalar bilan amallarni bajarish kifoya. Bu usul sanab o'tilgan barcha qisqartirish usullariga taalluqlidir: umumiy omil va guruhlash bilan ishlashda ham, kublar va kvadrat darajalar formulalari bilan ishlashda ham.

Bo'limlar: Matematika

Dars turi:

• topshirish usuli bo'yicha - ustaxona darsi;
• tomonidan didaktik maqsad- bilim va ko'nikmalarni qo'llash darsi.

Maqsad: ko‘phadni ko‘paytirish qobiliyatini rivojlantirish.

Vazifalar:

• Didaktik: o‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini tizimlashtirish, kengaytirish va chuqurlashtirish, ko‘phadni faktorlarga ajratishning turli usullarini qo‘llash. Kombinatsiyalar orqali ko‘p nomli ko‘rsatkichlarni qo‘llash qobiliyatini rivojlantirish turli texnikalar. Mavzu bo'yicha bilim va ko'nikmalarni amalga oshirish: "Ko'phadni ko'paytirish" asosiy darajadagi vazifalarni ham, murakkabligi yuqori bo'lgan vazifalarni ham bajarish uchun.
• Rivojlanish: har xil turdagi masalalarni yechish orqali aqliy faoliyatni rivojlantirish, yechimning eng oqilona usullarini topish va tahlil qilishni o'rganish, o'rganilayotgan faktlarni umumlashtirish, o'z fikrini aniq va aniq ifodalash qobiliyatini shakllantirishga hissa qo'shish.
• Tarbiyaviy: mustaqil va jamoaviy ishlash, o'z-o'zini nazorat qilish ko'nikmalarini rivojlantirish.

Ish usullari:

• og'zaki;
• vizual;
• amaliy.

Dars jihozlari: interfaol doska yoki kodoskop, qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yozilgan jadvallar, ko'rsatmalar, guruhlarda ishlash uchun tarqatma materiallar.

Darsning tuzilishi:

1. Tashkiliy vaqt. 1 daqiqa
2. Amaliy darsning mavzusi, maqsadi va vazifalarini shakllantirish. 2 daqiqa
3. Uy vazifasini tekshirish. 4 daqiqa
4. Talabalarning asosiy bilim va ko'nikmalarini yangilash. 12 daqiqa
5. Jismoniy tarbiya daqiqa. 2 daqiqa
6. Seminar topshiriqlarini bajarish bo'yicha ko'rsatma. 2 daqiqa
7. Guruhlarda topshiriqlarni bajarish. 15 daqiqa
8. Topshiriqlarni tekshirish va muhokama qilish. Ish tahlili. 3 daqiqa
9. Uy vazifasini belgilash. 1 daqiqa
10. Zaxira ish o'rinlari. 3 daqiqa

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi sinfning va o'quvchilarning darsga tayyorligini tekshiradi.

2. Seminar darsining mavzusi, maqsadi va vazifalarini shakllantirish

• Mavzu bo'yicha yakuniy dars haqida xabar.
• Talabalarning o'quv faoliyati uchun motivatsiya.
• Maqsadni shakllantirish va dars uchun vazifalarni belgilash (talabalar bilan birgalikda).

3. Uy vazifasini tekshirish

Doskada 943-son (a, v) uy vazifasi mashqlari yechimlari misollari; № 945 (c, d). Namunalar sinf o'quvchilari tomonidan tayyorlangan. (Ushbu guruh talabalari oldingi darsda aniqlangan; ular o'z qarorlarini tanaffus vaqtida rasmiylashtirishgan). Talabalar yechimlarni “himoya qilishga” tayyorlanmoqdalar.

O'qituvchi:

Talabalar daftarlarida uy vazifasi borligini tekshiradi.

Sinf o'quvchilarini savolga javob berishga taklif qiladi: "Topshiriqni bajarish qanday qiyinchiliklarga olib keldi?"

Yechimni doskadagi yechim bilan tekshirishni taklif qiladi.

Talabalarni doskadagi namunalar yordamida tekshirishda o'quvchilarning savollariga javob berishga taklif qiladi.

Talabalarning javoblariga sharhlar beradi, javoblarni to'ldiradi va aniqlaydi (kerak bo'lsa).

Uy vazifasini bajarishni umumlashtiradi.

Talabalar:

Hozirgi Uy vazifasi o'qituvchiga.

Daftarlarini almashadilar (juftlikda) va bir-birlarini tekshiradilar.

O'qituvchining savollariga javob bering.

Yechimni namunalar bilan tekshiring.

Ular raqib vazifasini bajaradi, qo‘shimchalar, tuzatishlar kiritadilar, agar daftardagi yechim usuli doskadagi usuldan farq qilsa, boshqa usul yozadilar.

Talabalar va o'qituvchidan kerakli tushuntirishlarni so'rang.

Olingan natijalarni tekshirish usullarini toping.

Kengashda bajarilgan vazifalar sifatini baholashda ishtirok etish.

4. Talabalarning asosiy bilim va ko'nikmalarini yangilash

1. Og'zaki ish

O'qituvchi:

Savollarga javob bering:

1. Ko‘phadni koeffitsient qilish nimani anglatadi?
2. Qancha parchalanish usullarini bilasiz?
3. Ularning isimlari nima?
4. Qaysi biri eng keng tarqalgan?

2. Ko‘pnomlar doskaga yoziladi:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2xy – y 2

4. x 3 - 3x – 2

O'qituvchi o‘quvchilarni 1-3 ko‘paytuvchi ko‘phadlarga taklif qiladi:

• I variant - umumiy omilni qo'llash orqali;
• II variant - qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish;
• III variant - guruhlash usuli bilan.

Bitta talabadan 4-sonli ko‘phadni ko‘paytirish so‘raladi (qiyinligi oshgan individual topshiriq, topshiriq A 4 formatida bajariladi). Keyin doskada 1-3-sonli topshiriqlarning namunaviy yechimi (o`qituvchi tomonidan bajariladi), 4-topshiriqning namunaviy yechimi (talaba tomonidan bajariladi) paydo bo`ladi.

3. Isitish

O'qituvchi faktor bo'yicha ko'rsatmalar beradi va to'g'ri javob bilan bog'liq harfni tanlang. Harflarni qo'shish orqali siz 17-asrning eng buyuk matematigi nomini olasiz, u tenglamalarni echish nazariyasini rivojlantirishga katta hissa qo'shgan. (Dekart)

5. Jismoniy tarbiya darsi Bayonotlar o’quvchilarga o’qiladi. Agar gap to'g'ri bo'lsa, talabalar qo'llarini yuqoriga ko'tarishlari kerak, agar noto'g'ri bo'lsa, o'z stollariga o'tirishlari kerak. (2-ilova)

6. Seminar topshiriqlarini bajarish bo'yicha ko'rsatma.

Yoniq interaktiv doska yoki ko'rsatmalar bilan jadval bilan alohida plakat.

Polinomni faktoringlashda quyidagi tartibni kuzatish kerak:

1. umumiy koʻrsatkichni qavs ichidan chiqaring (agar mavjud boʻlsa);

2. qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llang (agar iloji bo'lsa);

3. guruhlash usulini qo‘llash;

4. ko'paytirish orqali olingan natijani tekshiring.

O'qituvchi:

Talabalarga ko'rsatmalarni taqdim etadi (4-bosqichga e'tibor qaratadi).

Guruhlarda seminar topshiriqlarini bajarishni taklif qiladi.

Guruhlarga ishchi varaqlarni, daftarlardagi topshiriqlarni tayyorlash va ularni keyingi tekshirish uchun uglerod qog'ozli varaqlarni tarqatadi.

Guruhlarda ishlash va daftarda ishlash vaqtini belgilaydi.

Talabalar:

Ko'rsatmalarni o'qing.

O'qituvchilar diqqat bilan tinglashadi.

Guruhlarda o'tirish (4-5 kishi).

Amaliy ishlarni bajarishga tayyorlanish.

7. Guruhlarda topshiriqlarni bajarish

Guruhlar uchun vazifalar bilan ish varaqlari. (3-ilova)

O'qituvchi:

Boshqaradi mustaqil ish guruhlarda.

Talabalarning mustaqil ishlash qobiliyatini, guruhda ishlash qobiliyatini, varaqni loyihalash sifatini baholaydi.

Talabalar:

Ish daftariga kiritilgan uglerod qog'oz varaqlaridagi vazifalarni bajaring.

Ratsional qarorlar qabul qilish usullarini muhokama qiling.

Guruhdan ishchi varaq tayyorlang.

Tugallangan ishni himoya qilishga tayyorlaning.

8. Topshiriqning bajarilishini tekshirish va muhokama qilish

Interfaol doskada javoblar.

O'qituvchi:

Qarorlarning nusxalarini to'playdi.

Ish varaqlarida talabalar hisobotini boshqaradi.

Ishingizni o'z-o'zini baholashni taklif qiladi, javoblarni daftar, ish varaqlari va doskadagi namunalar bilan taqqoslaydi.

Ish uchun baho berish va uni amalga oshirishda ishtirok etish mezonlarini eslatadi.

Qaror qabul qilish yoki o'z-o'zini baholash masalalari bo'yicha tushuntirishlar beradi.

Amaliy ish va mulohazalarning dastlabki natijalarini umumlashtiradi.

Darsni umumlashtiradi (talabalar bilan birgalikda).

Unda aytilishicha, yakuniy natijalar talabalar tomonidan bajarilgan ishlarning nusxalari tekshirilgandan so'ng chiqariladi.

Talabalar:

O'qituvchiga nusxalarini bering.

Ishchi varaqlar doskaga biriktirilgan.

Ishning bajarilishi to'g'risida hisobot.

O'z-o'zini tekshirish va ish samaradorligini o'z-o'zini baholashni amalga oshirish.

9. Uy vazifasini belgilash

Doskaga uy vazifasi yoziladi: No 1016 (a, b); 1017 (c,d); № 1021 (g,d,f)*

O'qituvchi:

Uy uchun topshiriqning majburiy qismini yozishni taklif qiladi.

Uning amalga oshirilishi yuzasidan fikr-mulohazalarini bildiradi.

Ko'proq tayyor talabalarni 1021 (g, e, f) * yozishni taklif qiladi.

Keyingi takrorlash darsiga tayyorlanishingizni aytadi