Sferaga chizilgan ko'pburchak. Matematika. To'liq kurs takrorlanishi mumkin. Geometriyadan ochiq dars

Taqdimotning individual slaydlar bo'yicha tavsifi:

1 slayd

Slayd tavsifi:

munitsipal avtonom ta'lim muassasasi o'rtacha umumta'lim maktabi № 45 Asboblar to'plami 11-sinf o'quvchilari uchun Oliy toifali matematika o'qituvchisi Elena Vyacheslavovna Gavinskaya tomonidan tuzilgan. Kaliningrad 2016-2017 o'quv yili

2 slayd

Slayd tavsifi:

Sfera ichiga yozilgan ko'p yuzli. Mavzu planimetriya kursiga o'xshaydi, unda aylanalarni uchburchaklar va muntazam n-burchaklar atrofida tasvirlash mumkinligi aytilgan. Kosmosdagi aylananing analogi shar, ko'pburchak esa ko'pburchakdir. Bunday holda, uchburchakning analogi uchburchak prizma, muntazam ko'pburchaklarning analogi esa muntazam ko'pburchakdir. Ta'rif. Ko'pburchak sharga chizilgan deyiladi, agar uning barcha uchlari shu sferaga tegishli bo'lsa. Sferaning o'zi ko'pburchak atrofida chegaralangan deb aytiladi.

3 slayd

Slayd tavsifi:

"Sharni to'g'ri prizma atrofida tasvirlash mumkin, agar bu prizma poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa." Isbot: Agar to‘g‘ri prizma atrofida shar o‘ralgan bo‘lsa, prizma asosining barcha uchlari sharga va demak, shar bilan asos tekisligining kesishish chizig‘i bo‘lgan aylanaga tegishli bo‘ladi. Aksincha, toʻgʻri prizma asosi yaqinida markazi O1 nuqtada va radiusi r boʻlgan aylana tasvirlansin. Keyin prizmaning ikkinchi asosi atrofida markazi O2 nuqtada va bir xil radiusli aylana tasvirlanishi mumkin. O1O2=d, O – O1O2 ning o‘rtasi bo‘lsin. U holda markazi O va radiusi R= bo'lgan shar istalgan aylanali shar bo'ladi. Teorema 1.

4 slayd

Slayd tavsifi:

"Har qanday uchburchak piramida atrofida sharni tasvirlash mumkin va faqat bitta." Isbot. Keling, planimetriya kursidan shunga o'xshash dalilga murojaat qilaylik. Avvalo, uchburchakning ikkita uchidan teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashishini topishimiz kerak. Masalan, A va B. Bunday geometrik joylashuv AB segmentiga chizilgan perpendikulyar bissektrisadir. Keyin A va C dan teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashishini topamiz. Bu AC segmentiga perpendikulyar bissektrisadir. Ushbu bissektrial perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi ABC uchburchagi atrofida aylananing kerakli markazi O bo'ladi. Teorema 2.

5 slayd

Slayd tavsifi:

Endi fazoviy vaziyatni ko'rib chiqamiz va shunga o'xshash konstruktsiyalarni qilamiz. DABC uchburchakli piramida berilsin va A, B va C nuqtalar a tekislikni aniqlaydi. A, B va C nuqtalardan teng masofada joylashgan nuqtalarning geometrik joylashuvi a tekislikka perpendikulyar bo‘lgan va ABC uchburchak atrofida aylananing O1 markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdir. A va D nuqtalardan teng masofada joylashgan nuqtalarning geometrik joylashuvi AD segmentiga perpendikulyar bo'lgan va uning cho'qqisi - E nuqtasidan o'tuvchi b tekislikdir. b tekislik va a to'g'ri chiziq O nuqtada kesishadi, bu esa kerakli markaz bo'ladi. DABC uchburchak piramidasi atrofida chegaralangan shar. Darhaqiqat, konstruktsiyaga ko'ra, O nuqtasi DABC piramidasining barcha cho'qqilaridan bir xil masofada joylashgan. Bundan tashqari, bunday nuqta noyob bo'ladi, chunki kesishgan to'g'ri chiziq va tekislik bitta umumiy nuqtaga ega.

6 slayd

Slayd tavsifi:

To'p haqida tasvirlangan muntazam piramida. To'pni har qanday muntazam piramida atrofida tasvirlash mumkin. To'pning markazi piramida balandligidan o'tuvchi to'g'ri chiziqda yotadi va teng yonli uchburchak atrofida aylana markaziga to'g'ri keladi, uning yon tomoni piramidaning lateral qirrasi va balandligi balandligi. piramida. To'pning radiusi bu aylana radiusiga teng. Sharning radiusi R, piramidaning balandligi H va piramida poydevori yaqinida tasvirlangan aylana r radiusi quyidagi munosabat bilan bog'lanadi: R2=(H-R)2+r2 Bu munosabat quyidagi hollarda ham o'rinlidir. H< R.

7 slayd

Slayd tavsifi:

Muammo oddiy piramida bilan chegaralangan to'p haqida. “O nuqtada markazi va radiusi 9√3 m bo'lgan shar PABC muntazam piramidasi yonida tasvirlangan. Piramidaning balandligini o'z ichiga olgan PO to'g'ri chiziq H nuqtada piramida asosini kesib, PH:OH = 2:1 bo'ladi. Agar piramidaning har bir yon qirralari poydevor tekisligi bilan 45 graduslik burchak hosil qilsa, uning hajmini toping.

8 slayd

Slayd tavsifi:

Berilgan: PABC – muntazam piramida; shar (O;R=9√3 m) piramida yonida tasvirlangan; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Toping: Vpir. Yechish: RN:OH=2:1 bo‘lgani uchun (shart bo‘yicha), u holda RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (balandlik sifatida) piramidaning) => => RN _ AN (ta'rifi bo'yicha) => RAS - to'rtburchaklar. 3. RASda:

Slayd 9

Slayd tavsifi:

4. Shart bo'yicha RABC muntazam piramida va PH uning balandligi bo'lganligi sababli, ta'rifi bo'yicha ABC to'g'ri; H - ABC atrofida aylananing markazi, ya'ni 5. Javob: 486 m3.

10 slayd

Slayd tavsifi:

Prizma atrofida o'ralgan shar. Sharni prizma atrofida tasvirlash mumkin, agar u to'g'ri bo'lsa va uning asoslari aylana ichiga chizilgan ko'pburchaklar bo'lsa. To'pning markazi prizma asoslari atrofida tasvirlangan doiralarning markazlarini bog'laydigan prizma balandligining o'rta nuqtasida yotadi. Sharning radiusi R, prizmaning balandligi H va prizma asosi atrofida tasvirlangan aylana r radiusi quyidagi munosabat bilan bog'liq:

11 slayd

Slayd tavsifi:

Muammo prizma atrofida o'ralgan shar haqida. “Balandligi 6 sm bo'lgan ABCDA1B1C1D1 muntazam prizmasi sharga chizilgan (demak; R = 5 sm). Prizmaning kesma maydonini asos tekisliklariga parallel bo'lgan va O nuqtasidan o'tadigan tekislik orqali toping - sharning markazi.

12 slayd

Slayd tavsifi:

Berilgan: ABCDA1B1C1D1 – muntazam prizma; prizma atrofida shar (O;R=5 sm) tasvirlangan; prizmaning balandligi h 6 sm; a║(ABC); a bilan O. Toping: Ssec a, Yechish: Shart bo'yicha prizma sharga chizilgan bo'lsa, u holda (r prizma asosi atrofida aylana radiusi) Lekin shart bo'yicha muntazam prizma berilgan, ya'ni.

Slayd 13

Slayd tavsifi:

a) (AVV1) ║(SS1D1) (toʻgʻri prizma xossasi boʻyicha) a ∩ (AVV1)=KM a ∩ (SS1D1)=RN => KM ║ HP (parallel tekisliklar xususiyati boʻyicha) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (toʻgʻri prizma xossasi boʻyicha) => KM=NR (parallel tekisliklar xossasi boʻyicha). Bu shuni anglatadiki, KMNR parallelogramm (atributi bo'yicha) => MN=KR va MN ║ KR b) a ║ (ABC) (konstruktsiyasi bo'yicha) a ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (parallel tekisliklar xossasiga ko'ra) 2. 3. ABCDA1B1C1D1 shartiga ko'ra muntazam prizma bo'lib, a tekislik bo'yicha kesma asoslarga parallel bo'lgani uchun kesma hosil qilgan figura kvadrat bo'ladi. Keling, buni isbotlaylik: => => =>

Slayd 14

Slayd tavsifi:

KMH= ABC=90o (tomonlari mos ravishda tekislangan burchaklar sifatida) Bu KMNR rombi kvadrat (ta'rifi bo'yicha) ekanligini anglatadi, buni isbotlash kerak. Bundan tashqari, KMNR va ABCD kvadratlari tengdir. Demak, xossasi bo'yicha ularning maydonlari teng va demak, bo'lim a.=SABCD=32 (sm2) Javob: 32 sm2. c) KM ║ AB (isbotlangan) (BCC1) ║(ADD1) (to'g'ri prizma xossasi bo'yicha) => KM=AB=4√2 sm (parallel tekisliklar xususiyati bo'yicha). d) Xuddi shunday MN ║ BC va MN = BC = 4√2 sm ekanligi isbotlangan.Bu MN = KM => MNRK parallelogrammasi romb (tarifi bo'yicha) ekanligini bildiradi. e) MN ║ BC (isbotlangan) KM ║ AB (isbotlangan) => =>

15 slayd

Slayd tavsifi:

Prizma atrofida o'ralgan silindr. Tsilindrni to'g'ri prizma atrofida tasvirlash mumkin, agar uning asosi aylana ichiga chizilgan ko'pburchak bo'lsa. Tsilindrning radiusi R bu aylana radiusiga teng. Tsilindrning o'qi prizmaning H balandligi bilan bir xil to'g'ri chiziqda yotadi va prizma asoslari yaqinida tasvirlangan doiralarning markazlarini bog'laydi. To'rtburchak prizmada (agar asosi to'rtburchak bo'lsa) silindrning o'qi prizma asoslari diagonallarining kesishish nuqtasidan o'tadi.

16 slayd

Slayd tavsifi:

Muammo prizma atrofida o'ralgan silindr bilan bog'liq. Pozisi toʻrtburchak boʻlgan ABCDA1B1C1D1 toʻgʻri prizmasi silindrga chizilgan boʻlib, uning avlodi 7 sm, radiusi 3 sm.Diagonallar orasidagi burchak boʻlsa, prizmaning yon yuzasining maydonini toping. ABCD 60 daraja. OO1 - silindr o'qi.

Slayd 17

Slayd tavsifi:

Berilgan: ABCDA1B1C1D1 – to‘g‘ri prizma; silindr prizma yaqinida tasvirlangan; silindrning generatori AA1=7 sm; silindr asosining radiusi 3 sm; ABCD diagonallari orasidagi burchak 60°; OO1 - silindr o'qi. Toping: yon prizma. Yechish: Shartga ko'ra, asosi to'rtburchak bo'lgan to'rtburchak prizma sharga chizilgan bo'lsa, u holda AC∩VD=O xossasiga ko'ra. Bu AOB=60o va AO=OB=3sm demakdir. 2. AOBda kosinuslar teoremasi yordamida.

Sferaga chizilgan ko'p yuzli Qavariq ko'p yuzli, agar uning barcha uchlari qaysidir sharda bo'lsa, chizilgan deyiladi. Ushbu shar ma'lum ko'pburchak uchun tavsiflangan deb ataladi. Ushbu sharning markazi ko'pburchakning uchlaridan teng masofada joylashgan nuqtadir. Bu tekisliklarning kesishish nuqtasi bo'lib, ularning har biri unga perpendikulyar ko'pburchak chetining o'rtasidan o'tadi.

Cheklangan sharning radiusini topish formulasi SABC lateral qirralari teng bo'lgan piramida bo'lsin, h - uning balandligi, R - asos atrofida aylana radiusi. Cheklangan sharning radiusini topamiz. SKO1 va SAO to'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashligiga e'tibor bering. Keyin SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Lekin KS = SA/2. Keyin R 1 = SA 2 /(2SO); R 1 = (h 2 + R 2)/(2h); R 1 = b 2 / (2h), bu erda b - yon chekka.

Sferaga chizilgan parallelepiped Teorema: Sharni parallelepiped atrofida tasvirlash mumkin, agar parallelepiped to'rtburchak bo'lsa, chunki Ushbu holatda u to'g'ri va uning asosi atrofida - parallelogramm - aylana tasvirlanishi mumkin (chunki asos to'rtburchakdir).

1-masala qirrasi a bo’lgan muntazam tetraedr atrofida chegaralangan sharning radiusini toping. Yechish: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Javob: SO 1 = a /4. Keling, avval SABC oddiy tetraedri tasviridan foydalanib, chegaralangan shar markazining tasvirini tuzamiz. SD va AD apotemalarini chizamiz (SD = AD). ASD teng yonli uchburchakda DN medianasining har bir nuqtasi AS segmentining uchlaridan teng masofada joylashgan. Demak, O 1 nuqta SO balandlik va DN segmentining kesishishidir. R 1 = b 2 / (2h) formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

2-masala Yechish: R 1 =b 2 /(2h) formuladan foydalanib, chegaralangan sharning radiusini topamiz, SC va SO ni topamiz. SC = a/(2sin(a /2)); SO 2 = (a/(2sin(a /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (a /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 () a /2)) · (1 – 2sin 2 (a /2)) = = a 2 /(4sin 2 (a /2)) · cos a Muntazam to‘rtburchakli piramidada asosning tomoni a ga teng, va cho'qqidagi tekis burchak a ga teng.Ayniqlangan sharning radiusini toping.R 1 = a 2 /(4sin 2 (a /2)) · 1/(2a/(2sin(a /2)))) =a/(4sin(a /2) ·).Javob : R 1 = a/(4sin(a /2) ·).

Sfera atrofida o'ralgan ko'pburchaklar Qavariq ko'pburchak, agar uning barcha yuzlari biron bir sharga tegsa, chegaralangan deyiladi. Ushbu shar ma'lum ko'pburchak uchun chizilgan deb ataladi. Chizilgan sharning markazi ko'pburchakning barcha yuzlaridan teng masofada joylashgan nuqtadir.

Ichkariga chizilgan shar markazining joylashuvi Ikki burchakli burchakning bissektrisa tekisligi haqida tushuncha. Bissektrisa tekisligi ikki burchakli burchakni ikkita teng ikki burchakli burchakka ajratuvchi tekislikdir. Bu tekislikning har bir nuqtasi dihedral burchak yuzlaridan teng masofada joylashgan. Umumiy holatda, ko'pburchak ichiga chizilgan sharning markazi ko'pburchakning barcha ikki tomonlama burchaklarining bissektrisa tekisliklarining kesishish nuqtasidir. U har doim ko'pburchak ichida yotadi.

To'p atrofida aylana bo'lgan piramida Agar to'p piramidaning barcha yuzlariga (ham yon, ham asos) tegib tursa (ixtiyoriy) piramidaga yozilgan deb ataladi. Teorema: Agar yon yuzlar asosga teng darajada moyil bo'lsa, unda bunday piramidaga sharni yozish mumkin. Poydevordagi ikki burchakli burchaklar teng bo'lgani uchun ularning yarmi ham teng va bissektrisalari piramida balandligidagi bir nuqtada kesishadi. Bu nuqta piramidaning poydevoridagi barcha bissektrisa tekisliklariga tegishli bo'lib, piramidaning barcha yuzlaridan bir xil masofada joylashgan - chizilgan sharning markazi.

Chizilgan sharning radiusini topish formulasi SABC lateral qirralari teng bo'lgan piramida bo'lsin, h - uning balandligi, r - chizilgan doira radiusi. Cheklangan sharning radiusini topamiz. SO = h, OH = r, O 1 O = r 1 bo lsin. U holda uchburchak ichki burchagi bissektrisasi xossasi bo yicha O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Javob: r 1 = rh/(+ r).

Sfera atrofida tasvirlangan parallelepiped va kub Teorema: Agar parallelepiped to'g'ri bo'lsa va uning asosi romb bo'lsa va bu rombning balandligi chizilgan sharning diametri bo'lsa, sharni parallelepipedga yozish mumkin. o'z navbatida parallelepiped balandligiga teng. (Barcha parallelogrammalardan faqat aylana rombga chizilgan bo'lishi mumkin) Teorema: Sfera har doim kub ichiga chizilgan bo'lishi mumkin. Bu sharning markazi kub diagonallarining kesishish nuqtasi bo'lib, radiusi kub chetining yarmi uzunligiga teng.

Shakllar birikmasi Chizilgan va aylanali prizmalar Silindr atrofida aylanaga chizilgan prizma asos tekisliklari silindr asoslarining tekisliklari bo'lib, yon yuzlari silindrga tegib turadigan prizmadir. Tsilindrga chizilgan prizma - bu prizma bo'lib, uning asos tekisliklari silindr asoslarining tekisliklari, yon qirralari esa silindrning generatorlaridir. Tsilindrga teguvchi tekislik silindrning generatrixidan o'tuvchi va shu generatrixni o'z ichiga olgan eksenel kesim tekisligiga perpendikulyar bo'lgan tekislikdir.

Chizilgan va chegaralangan piramidalar Konusga chizilgan piramida - bu piramida, uning asosi konusning asosi doirasiga chizilgan ko'pburchak, cho'qqisi esa konusning cho'qqisi. Konusga chizilgan piramidaning lateral qirralari konusni hosil qiladi. Konusning atrofida aylanib o'tilgan piramida - bu piramida, uning asosi konusning poydevori atrofida aylanib o'tilgan ko'pburchak bo'lib, tepasi konusning cho'qqisiga to'g'ri keladi. Ta'riflangan piramidaning yon yuzlarining tekisliklari konusning tekisligiga tegib turadi. Konusga teguvchi tekislik - bu nasl-nasabdan o'tuvchi va ushbu avlodni o'z ichiga olgan eksenel kesma tekisligiga perpendikulyar tekislik.

Boshqa turdagi konfiguratsiyalar Silindr piramidaga yozilgan bo'lib, agar uning asoslaridan birining doirasi piramidaning barcha lateral yuzlariga tegsa, boshqa asosi esa piramida poydevorida bo'lsa. Konus prizmaga chizilgan bo'ladi, agar uning cho'qqisi prizmaning yuqori poydevorida yotsa, asosi esa ko'pburchak - prizmaning pastki poydevoriga chizilgan doira bo'lsa. Prizma konusning ustki asosining barcha uchlari konusning lateral yuzasida, pastki poydevori esa konusning poydevorida joylashgan bo'lsa, prizma konus ichiga chizilgan bo'ladi.

1-masala Muntazam to’rtburchakli piramidada asosning tomoni a ga, cho’qqidagi tekislik burchagi a ga teng. Piramidaga chizilgan sharning radiusini toping. Yechish: SOK ning tomonlarini a va a shaklida ifodalaymiz. OK = a/2. SK = KC krovat(a /2); SK = (a · ctg(a /2))/2. SO = = (a/2) r 1 = rh/(+ r) formuladan foydalanib, chizilgan sharning radiusini topamiz: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(a /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(a /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Javob: r 1 = (a/2)

Xulosa "Polyhedra" mavzusini 10 va 11-sinf o'quvchilari o'rganadilar, ammo o'quv dasturi"Yozilgan va chegaralangan ko'pburchaklar" mavzusida juda kam material mavjud bo'lsa-da katta qiziqish talabalar, chunki polihedra xususiyatlarini o'rganish mavhum va rivojlanishiga hissa qo'shadi mantiqiy fikrlash, bu keyinchalik biz uchun o'qishda, ishda, hayotda foydali bo'ladi. Ushbu insho ustida ishlash jarayonida biz "Yozilgan va chegaralangan ko'pburchaklar" mavzusidagi barcha nazariy materiallarni o'rganib chiqdik, raqamlarning mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini ko'rib chiqdik va o'rganilgan barcha materialni amalda qo'llashni o'rgandik. Jismlar birikmasiga oid masalalar 11-sinf stereometriya kursida eng qiyin savol hisoblanadi. Ammo hozir biz ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bizda bunday muammolarni hal qilishda muammolar bo'lmaydi, chunki bizning davrimizda tadqiqot ishi biz chizilgan va chegaralangan ko'pburchaklarning xususiyatlarini o'rnatdik va isbotladik. Ko'pincha talabalar muammoga rasm chizishda qiyinchiliklarga duch kelishadi bu mavzu. Ammo, to'p va ko'pburchakning kombinatsiyasi bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun ba'zan to'pning tasviri kerak emasligini va uning markazini va radiusini ko'rsatish kifoya ekanligini bilib, biz bunday qiyinchiliklarga duch kelmasligimizga amin bo'lishimiz mumkin. Ushbu insho tufayli biz ushbu qiyin, ammo juda qiziqarli mavzuni tushunishga muvaffaq bo'ldik. Umid qilamizki, endi biz o'rganilgan materialni amaliyotda qo'llashda hech qanday qiyinchiliklarga duch kelmaymiz.

Sferaga chizilgan ko'p yuzlilar Agar uning barcha uchlari shu sferaga tegishli bo'lsa, ko'pburchak sharga chizilgan deyiladi. Sferaning o'zi ko'pburchak atrofida chegaralangan deb aytiladi. Teorema. Sharni piramida atrofida tasvirlash mumkin, agar bu piramida poydevori atrofida aylana tasvirlangan bo'lsa.

Sferaga chizilgan ko'p yuzli teorema. Sferani to'g'ri prizma yaqinida tasvirlash mumkin, agar bu prizma poydevori yaqinida aylana tasvirlangan bo'lsa. Uning markazi O nuqtasi bo'ladi, bu prizma asoslari yaqinida tasvirlangan doiralarning markazlarini bog'laydigan segmentning o'rta nuqtasidir. Sferaning radiusi R formula bo'yicha hisoblanadi, bu erda h - prizma balandligi, r - prizma asosi atrofida aylana radiusi.

3-mashq Piramidaning asosi muntazam uchburchak bo'lib, uning tomoni 3 ga teng. Yon qirralarning biri 2 ga teng va asos tekisligiga perpendikulyar. Cheklangan sharning radiusini toping. Yechim. Cheklangan sharning markazi O, asos atrofidagi aylananing markazi Q, SC ning o‘rta nuqtasi E bo‘lsin. To'rtburchak CEOQ to'rtburchak bo'lib, unda CE = 1, CQ = Demak, R=OC=2. Javob: R = 2.

4-mashq Rasmda SABC piramidasi ko‘rsatilgan, buning uchun SC cheti 2 ga teng va ABC asos tekisligiga perpendikulyar, ACB burchagi 90 o ga teng, AC = BC = 1. Sfera markazini quring. Ushbu piramida atrofida chegaralangan va uning radiusini toping. Yechim. AB chetining o'rta D orqali SC ga parallel chiziq o'tkazamiz. SC chetining o'rta E orqali CD ga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Ularning kesishish nuqtasi O chegaralangan sharning kerakli markazi bo'ladi. To'g'ri OCD uchburchakda bizda: OD = CD = Pifagor teoremasi bo'yicha biz topamiz.

5-mashq Yon qirralari 1 ga, cho’qqisidagi tekislik burchaklari 90 gradusga teng bo’lgan muntazam uchburchak piramida atrofida aylanib o’tilgan sharning radiusini toping. Yechim. SABC tetraedrida bizda quyidagilar mavjud: AB = AE = SE = OAE to'g'ri burchakli uchburchakda bizda mavjud: R uchun bu tenglamani yechish, biz topamiz.

4-mashq Poydegida joylashgan to‘g‘ri burchakli uchburchak prizma atrofida o‘ralgan sharning radiusini toping. to'g'ri uchburchak oyoqlari 1 ga, prizma balandligi 2 ga teng. Javob: Yechim. Sfera radiusi ACC 1 A 1 to'rtburchakning A 1 C diagonalining yarmiga teng. Bizda: AA 1 = 2, AC = Demak, R =

Mashq Kenarlari 1 ga, yon qirralari esa 2 ga teng bo'lgan muntazam 6 burchakli piramida atrofida aylanib o'tilgan sharning radiusini toping. SAD uchburchagi 2 tomoni bilan teng yonli. Cheklangan sharning R radiusi SAD uchburchagi atrofida aylana radiusiga teng. Demak,

Mashq Ikosaedr birligi bilan chegaralangan sharning radiusini toping. Yechim. ABCD to'rtburchakda AB = CD = 1, BC va AD - tomonlari 1 bo'lgan muntazam beshburchaklarning diagonallari. Shuning uchun, BC = AD = Pifagor teoremasi bo'yicha, AC = Kerakli radius bu diagonalning yarmiga teng, ya'ni.

Mashq Birlik dodekaedr atrofida chegaralangan sharning radiusini toping. Yechim. ABCDE - yon tomoni bo'lgan muntazam beshburchak ACGF AF = CG = 1 to'rtburchakda, AC va FG - ABCDE beshburchakning diagonallari va shuning uchun AC = FG = Pifagor teoremasi bo'yicha FC = Kerakli radius buning yarmiga teng. diagonal, ya'ni.

Mashq Rasmda uchburchak piramidalarning muntazam tetraedrining burchaklarini kesib olish natijasida olingan kesilgan tetraedr ko'rsatilgan, ularning yuzlari muntazam olti burchakli va uchburchaklar. Qirralari 1 ga teng boʻlgan kesilgan tetraedr atrofida aylanib oʻtilgan sharning radiusini toping.

Mashq Rasmda uchburchak piramidalarni oktaedr burchaklaridan kesib olish natijasida olingan kesilgan oktaedr ko'rsatilgan, ularning yuzlari muntazam olti burchakli va uchburchaklardir. Qirralari 1 ga teng boʻlgan kesilgan oktaedr atrofida aylana chizilgan sharning radiusini toping.Mashq Rasmda yuzlari muntazam olti burchakli va beshburchakli boʻlgan beshburchakli piramidalar ikosadrlarining burchaklarini kesib olish natijasida olingan kesilgan ikosahedr koʻrsatilgan. Qirralari 1 ga teng boʻlgan kesilgan ikosahedr atrofida chegaralangan sharning radiusini toping.
Mashq Rasmda dodekaedr burchaklaridan uchburchak piramidalarni kesib olish natijasida olingan kesilgan dodekaedr ko'rsatilgan, ularning yuzlari muntazam o'n burchaklar va uchburchaklardir. Qirralari 1 ga teng boʻlgan kesilgan dodekaedr atrofida chegaralangan sharning radiusini toping.
Mashq Birlik kuboktaedr atrofida chegaralangan sharning radiusini toping. Yechim. Eslatib o'tamiz, kubdan kubning uchlari va yon qirralari kubning yarmiga teng bo'lgan uchlari bo'lgan muntazam uchburchak piramidalarni kesish orqali kuboktaedr olinadi. Agar oktaedrning qirrasi 1 ga teng bo'lsa, unda mos keladigan kubning qirrasi teng bo'ladi Cheklangan sharning radiusi kubning markazidan uning chetining o'rtasigacha bo'lgan masofaga teng, ya'ni. 1 ga teng. Javob: R = 1.

Matematika o'qituvchisi o'rta maktab №2,

Toldiqo'rg'on shahri N.Yu.Lozovich

Ommaviy dars geometriyada

Dars mavzusi: “To'p. YozilganVako'p yuzli tasvirlangan"

Dars maqsadlari:

- tarbiyaviy - dars davomida takrorlash, mustahkamlash va o‘quvchilarning ta’riflarni o‘zlashtirishlarini tekshirishni ta’minlash to'p Va sharlar, va tegishli tushunchalar ( markaz, radiuslar, diametrlar,diametrik qarama-qarshi nuqtalar, tangens tekisliklar Va Streyt); chizilgan va chegaralangan ko‘p yuzli tushunchalar, sharning tekislik kesimi (20.3), sharning simmetriyasi (20.4), sharga teginish tekisligi (20.5), ikki sharning kesishishi haqidagi teoremalarni bilish. (20.6), aylanaga chizilgan (yozilgan) sharning markazini piramida qurish va muntazam prizma atrofida tasvirlangan shar markazini qurish haqida;

ijodiy faoliyatni talab qiladigan namunaviy va nostandart holatlarga asoslangan o'zgaruvchan vaziyatlarda ushbu bilimlarning butun majmuasini mustaqil ravishda qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirishni davom ettirish;

tarbiyaviy - o‘quvchilarda o‘qish natijalari uchun mas’uliyat, maqsadga erishishda qat’iyatlilik, o‘ziga ishonch, yuksak natijalarga erishish istagi, go‘zallik tuyg‘usini (geometrik shakllarning go‘zalligi, masalaning nafis, chiroyli yechimi) tarbiyalash.

rivojlanayotgan - talabalarda rivojlantirish: aniq va umumlashtirilgan fikrlash, ijodiy va fazoviy tasavvur qilish qobiliyati; assotsiativlik (turli bog'lanishlarga tayanish qobiliyati: o'xshashlik, o'xshashlik, qarama-qarshilik, sabab-natija bo'yicha), o'z fikrlarini mantiqiy va izchil ifodalash qobiliyati, o'rganish va rivojlanish zarurati, darsda namoyon bo'lish uchun sharoit yaratish. talabalarning kognitiv faoliyati.

Dars turi

bilim va ko'nikmalarni tekshirish va tuzatish darsi.

O'qitish usullari

Kirish suhbati (dars maqsadini belgilash, o'quvchilarning o'quv faoliyatini rag'batlantirish, zarur hissiy-axloqiy muhitni yaratish, o'quvchilarga darsda ishni tashkil etish bo'yicha ko'rsatmalar berish).

Frontal so‘rov (o‘quvchilarning asosiy tushunchalar, teoremalar, ularning mohiyatini tushuntirish va mulohazalarini asoslash qobiliyatlarini og‘zaki tekshirish).

Darajali mustaqil ish, bilim va ko'nikmalar darajasini bosqichma-bosqich oshirish tamoyiliga asoslangan, ya'ni. reproduktiv darajadan ishlab chiqarish va ijodiy darajaga. Usulning mohiyati o'qituvchi tomonidan doimiy nazorat qilinadigan va rag'batlantiriladigan talabalarning individual mustaqil ishi.

O'quv ko'rgazmali qurollar

Stereometrik modellar geometrik jismlar, plakatlar, chizmalar, individual kartalar mustaqil ish.

Yangilash

a) asosiy bilimlar.

Tushunchalarni faollashtirish zarur: aylanaga teginish, aylana ichiga chizilgan va aylana atrofida chegaralangan qavariq ko‘pburchaklar, planimetriyadan muntazam ko‘pburchaklar uchun chizilgan va aylana radiuslarini hisoblash; 10-sinf kursidan tekislikka nisbatan simmetriyaning ta’rifi, nuqtaga, o‘qqa (to‘g‘ri chiziq) va tekislikka nisbatan simmetrik bo‘lgan figuralar tushunchasi.

b) Motivlarni shakllantirish va qiziqish uyg'otish yo'llari.

In kirish suhbati Talabalarning maqsadni tushunishlarini ta'minlash, unga erishishda shaxsiy qiziqishlarini anglash, talabalarning o'zlari uchun maqsadning ma'nosini ochib berish, ushbu mavzuning nafaqat o'ziga xos ahamiyatini, balki keyingi mavzuni o'rganish uchun propedevtik xarakterini ham ta'kidlash; hissiy xarakterdagi material bilan dars (geometrik shakllarning go'zalligi , sovun pufakchalari, Yer va Oy); mustaqil ishning saviyali xususiyatini ta'kidlash: bir tomondan, bu o'rganilayotgan materialning yuqori ilmiy darajasini ta'minlaydi, boshqa tomondan, mavjudlik, talabalarning fikri shundaki, ularning har biri pedagogik yordam olish huquqiga ega ( "sug'urta") bolaning haqiqiy yoki potentsial muammolarini aniqlash, tahlil qilish, ulardan chiqishning mumkin bo'lgan yo'lini birgalikda ishlab chiqish; reyting tizimi bilimlarni baholash bolalar uchun qo'shimcha rag'batdir.

v) Ishning borishini nazorat qilish, o'zaro nazorat qilish shakllari. O'zaro nazorat (daftar almashish) talabalar mustaqil ishning 1-bosqichi (talabalar)ning birinchi qismini - o'qituvchining og'zaki savollariga talabalarning yozma javoblarini (matematik diktant) bajargandan so'ng amalga oshiriladi.

Daftarlarni almashtirgandan so'ng, barcha to'g'ri javoblar baland ovozda aytiladi (agar iloji bo'lsa, ko'rgazmali qurollardan foydalaniladi: stereometrik jismlarning modellari, chizmalar, plakatlar). Keyin bolalar mustaqil ishning birinchi qismini reyting baholashga o'tadilar: to'g'ri to'liq javob 1 ball, agar kichik izohlar bo'lsa, u holda - 0,5 ball, aks holda - 0 ball. Har bir talabaning to‘plagan ballari o‘qituvchi tomonidan doskaga yozib qo‘yiladi. Shundan so'ng, bolalar individual kartalar ustida ishlashni boshlaydilar. 1-darajali topshiriqlarni bajargan va o'qituvchidan ruxsat olganlar keyingi bosqich topshirig'ini bajarishga o'tadilar. Muammoni hal qilishdagi muvaffaqiyat e'tibor, dalda va maqtovsiz qolmasligi kerak. Shu bilan birga, o'qituvchi tuzatish ishlarini olib boradi: o'quvchining kuchli va zaif tomonlarini tushunib, unga o'zining kuchli tomonlariga tayanishga yordam beradi va talaba qanchalik qiyin bo'lmasin, ob'ektiv ravishda biror narsaga bardosh bera olmaydigan joyda uni to'ldiradi.

Ishni tekshirishda quyidagi yozuv tizimi qo'llaniladi:

Muammo hal etilmagan;

Muammo hal etilmagan, lekin ishda ba'zi oqilona fikrlar mavjud;

Faqat bitta javob yetarli bo'lmagan masalaga javob beriladi;

± - muammo hal qilindi, lekin yechimda kichik kamchiliklar va noaniqliklar mavjud;

Muammo butunlay hal qilindi;

+! - muammoni hal qilishda kutilmagan yorqin g'oyalar mavjud.

Katta ahamiyatga ega mustaqil ish tugallanganda to'ldiriladigan bolalar faoliyatini ochiq hisobga olish varag'iga ilova qilinadi.

Bu sinfda talabalar bilimini baholashning ajralmas shartlarini - xolislik, samaradorlik, xayrixohlik va shaffoflikni ta'minlaydi.

men daraja

Matematik diktant.

1) I variant. Sferaga chizilgan ko‘pburchakning barcha uchlari qanday xususiyatga ega?

II variant. Sferaga chizilgan ko‘pburchakning har bir yuzi qanday xususiyatga ega?

2) I variant. Agar biron bir ko'pburchak atrofida sharni tasvirlash mumkin bo'lsa, unda uning markazini qanday qurish mumkin?

II variant. HAQIDA Sharni nechta parallelepiped bilan tasvirlash mumkin? Javobingizni tushuntiring.

3) I variant. Qayerda to'g'ri haqida tasvirlangan shar markazi yotadi P- uglerod prizmasi?

II variant. Muntazam piramida atrofida tasvirlangan sharning markazi qayerda?

4) I variant. Muntazam n burchakli piramidaga chizilgan sharning markazini qanday qurish mumkin?

// variant. Sharni har qanday muntazam prizmaga sig'dirish mumkinmi?

Variant I

men daraja

To'pning radiusi 6 sm, radiusning uchi orqali unga 60 ° burchak ostida tekislik o'tkaziladi. Kesmaning maydonini toping.

II daraja

Muntazam to‘rtburchak prizma radiusi 5 sm bo‘lgan sharga chizilgan.Prizma asosining cheti 4 sm.Prizmaning balandligini toping.

III daraja

Chegi 4 sm bo'lgan muntazam tetraedr ichiga chizilgan sharning radiusini hisoblang.

IV daraja

Kesik konusga radiusi R bo'lgan shar chizilgan. Generatorning konusning pastki poydevori tekisligiga moyillik burchagi ga teng A. Kesilgan konusning asoslari radiuslarini va generatrissini toping.

Variant II

men daraja

Radiusi 10 sm bo'lgan sharni markazdan 6 sm masofada joylashgan tekislik kesib o'tadi. Kesmaning maydonini toping.

II daraja

Tomoni 4 sm boʻlgan kub atrofida aylana boʻlgan sharning radiusini toping.

III daraja.

A. Cheklangan sharning radiusini toping.

IV daraja

Kesik konusga radiusi R bo'lgan shar chizilgan. Generatorning konusning pastki poydevori tekisligiga moyillik burchagi a ga teng. Kesilgan konusning asoslari radiuslarini va generatrissini toping.

Sh variant

men daraja

To'p radiusining o'rtasidan unga perpendikulyar tekislik o'tkaziladi. Katta doiraning maydoni hosil bo'lgan kesmaning maydoniga qanday bog'liq?

II daraja

Muntazam uchburchak prizma radiusi 4 sm bo'lgan sharga chizilgan.Prizma asosining cheti 3 sm.Prizmaning balandligini toping.

III daraja

Muntazam to'rtburchakli piramidada asosning yon tomoni 4 sm, cho'qqidagi tekislik burchagi. A. Chizilgan sharning radiusini toping.

IV Daraja

Burchaklari tekis boʻlgan muntazam uchburchak piramida radiusi R boʻlgan sharga chizilgan A uning tepasida. Piramidaning balandligini toping.

IV variant

I Daraja

To'pning yuzasida uchta nuqta berilgan. Ularning orasidagi to'g'ri chiziq masofalari 6 sm, 8 sm, 10 sm.To'pning radiusi 11 sm.To'pning markazidan shu nuqtalardan o'tuvchi tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

II Daraja

Muntazam olti burchakli prizma radiusi 5 sm bo'lgan sharga chizilgan.Prizma asosining cheti 3 sm.Texnikning balandligini toping.

Sh darajasi

Muntazam n burchakli piramida atrofida chegaralangan sharning radiusini toping, agar asosning yon tomoni 4 sm va yon cheti asos tekisligiga burchak ostida qiya bo'lsa. A.

IV daraja

Choʻqqisida tekis burchaklari a boʻlgan muntazam uchburchak piramida radiusi R boʻlgan sharga chizilgan. Piramidaning balandligini toping.

Dars xulosasi

Mustaqil ish natijalari e’lon qilinadi va tahlil qilinadi. Kerakli talabalar tuzatish ishlari, tuzatish darslariga taklif qilinadi.

Oʻrnatish Uy vazifasi(zaruriy izohlar bilan), majburiy va o'zgaruvchan qismlardan iborat.

Majburiy qism: 187 - 193-bandlar - takrorlash; № 44,45,39

O'zgaruvchan qism № 35