Ko'p raqamlar. Har xil raqamlardagi harakatlar qonunlari. Ochiq va yopiq to‘plamlarning to‘ldiruvchilari o‘rtasidagi munosabat amali ostida to‘plam yopiq
Keling, yopiq va ochiq to'plamlarning ba'zi maxsus xususiyatlarini isbotlaylik.
Teorema 1. Ochiq to‘plamlarning chekli yoki sanaladigan soni yig‘indisi ochiq to‘plamdir. Cheklangan sonli ochiq to'plamlarning mahsuloti ochiq to'plamdir,
Ochiq to'plamlarning cheklangan yoki sanab o'tiladigan soni yig'indisini ko'rib chiqing:
Agar , u holda P ning hech bo'lmaganda bittasiga tegishli bo'lsa, beri ochiq to'plam bo'lsa, u holda P ning qandaydir -qo'shnisi ham tegishli bo'ladi.P ning bir xil -qo'shnisi ham g yig'indisiga tegishli bo'lib, undan g ochiq to'plam kelib chiqadi. Endi yakuniy mahsulotni ko'rib chiqaylik
va P g ga tegishli bo'lsin. Yuqoridagi kabi P ning qandaydir -qo'shnisi ham g ga tegishli ekanligini isbotlaylik. P g ga tegishli ekan, P hammaga tegishli. - ochiq to'plamlar bo'lganligi sababli, har qanday uchun ga tegishli nuqtaning - qo'shnisi bor. Agar son son chekli bo'lgan eng kichigiga teng deb qabul qilinsa, u holda P nuqtaning -qo'shnisi hammaga va demak, g ga tegishli bo'ladi. E'tibor bering, biz ochiq to'plamlarning sanab o'tiladigan sonining mahsulotini ochiq to'plam deb da'vo qila olmaymiz.
Teorema 2. CF to'plami ochiq va CO to'plami yopiq.
Birinchi gapni isbotlaylik. P CF ga tegishli bo'lsin. Ba'zi P mahallasi CFga tegishli ekanligini isbotlash kerak. Bundan kelib chiqadiki, agar P ning har qanday qo'shnisida F nuqtalar mavjud bo'lsa, shart bo'yicha tegishli bo'lmagan P nuqta F uchun chegara nuqtasi bo'lar edi va o'zining yopiqligi tufayli tegishli bo'lishi kerak. qarama-qarshilik.
Teorema 3. Chekli yoki sanaladigan yopiq to‘plamlarning ko‘paytmasi yopiq to‘plamdir. Cheklangan sonli yopiq to'plamlar yig'indisi yopiq to'plamdir.
Masalan, to'plam ekanligini isbotlaylik
yopiq. Qo'shimcha to'plamlarga o'tsak, biz yozishimiz mumkin
Teorema bo'yicha to'plamlar ochiq va 1-teoremaga ko'ra, to'plam ham ochiq va shuning uchun qo'shimcha g to'plam yopiq bo'ladi. E'tibor bering, yopiq to'plamlarning sanaladigan sonining yig'indisi ham ochiq to'plam bo'lishi mumkin.
Teorema 4. To'plam ochiq to'plam va yopiq to'plamdir.
Quyidagi tengliklarni tekshirish oson:
Bulardan oldingi teoremalar tufayli 4-teorema kelib chiqadi.
Agar har bir g nuqta M sistemaning hech bo'lmaganda bitta to'plamiga kiritilgan bo'lsa, g to'plam ma'lum to'plamlarning M tizimi bilan qoplanganligini aytamiz.
5-teorema (Borel). Agar yopiq chegaralangan F toʻplam O ochiq toʻplamlarning cheksiz a tizimi bilan qoplangan boʻlsa, u holda bu cheksiz tizimdan F ni ham qamrab oluvchi chekli sonli ochiq toʻplamlarni ajratib olish mumkin.
Bu teoremani teskari yo‘l bilan isbotlaymiz. Faraz qilaylik, a tizimidagi ochiq to'plamlarning chekli soni yo'q va biz buni qarama-qarshilikka keltiramiz. F chegaralangan to'plam bo'lganligi sababli, F ning barcha nuqtalari qandaydir chekli ikki o'lchovli intervalga tegishli. Keling, bu yopiq intervalni to'rtta teng qismga ajratamiz, intervallarni yarmiga bo'lamiz. Olingan to'rtta intervalning har birini yopish uchun olamiz. Ushbu to'rtta yopiq intervaldan biriga to'g'ri keladigan F nuqtalari 2-teoremaga ko'ra, yopiq to'plamni ifodalaydi va bu yopiq to'plamlardan hech bo'lmaganda bittasini a tizimidan cheklangan miqdordagi ochiq to'plamlar qamrab olmaydi. Biz yuqorida ko'rsatilgan to'rtta yopiq oraliqdan birini qabul qilamiz. Biz bu intervalni yana to'rtta teng qismga ajratamiz va yuqoridagi kabi fikr yuritamiz. Shunday qilib, biz ichki o'rnatilgan intervallar tizimini olamiz, ularning har biri oldingisining to'rtinchi qismini ifodalaydi va quyidagi holat mavjud: har qanday k ga tegishli F nuqtalar to'plamini tizimdan cheklangan miqdordagi ochiq to'plamlar qamrab olmaydi. a. K ning cheksiz o'sishi bilan intervallar barcha intervallarga tegishli bo'lgan ma'lum bir P nuqtaga cheksiz qisqaradi. Har qanday k uchun ular cheksiz sonli nuqtalarni o'z ichiga olganligi sababli, P nuqta F uchun cheklovchi nuqtadir va shuning uchun F ga tegishli, chunki F yopiq to'plamdir. Shunday qilib, P nuqta a sistemaga tegishli ba'zi ochiq to'plam bilan qoplangan. P nuqtaning ba'zi qo'shnilari ham ochiq O to'plamga tegishli bo'ladi. K ning etarlicha katta qiymatlari uchun D oraliqlari P nuqtaning yuqoridagi -qo'shnisiga to'g'ri keladi. Shunday qilib, ular faqat bittasi bilan to'liq qoplanadi. a sistemaning ochiq O to'plami va bu har qanday k uchun tegishli nuqtalarni a ga tegishli chekli ochiq to'plamlar bilan qamrab ololmasligiga ziddir. Shunday qilib, teorema isbotlangan.
Teorema 6. Ochiq to'plam umumiy nuqtalari bo'lmagan juftlikdagi yarim ochiq oraliqlarning sanaladigan soni yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.
Eslatib o'tamiz, biz tekislikdagi yarim ochiq intervalni shaklning tengsizliklari bilan aniqlangan chekli oraliq deb ataymiz.
Keling, tekislikka tomonlari o'qlarga parallel va yon uzunligi birga teng bo'lgan kvadratchalar to'rini chizamiz. Bu kvadratlar to'plami hisoblanuvchi to'plamdir. Bu kvadratlardan barcha nuqtalari berilgan ochiq O to'plamga tegishli bo'lgan kvadratlarni tanlaylik. Bunday kvadratlar soni chekli yoki sanab o'tiladigan bo'lishi mumkin yoki bunday kvadratlar umuman bo'lmasligi mumkin. To‘rning qolgan har bir kvadratini to‘rtta bir xil kvadratga bo‘lamiz va yangi olingan kvadratlardan yana barcha nuqtalari O ga tegishli bo‘lganlarni tanlaymiz. Qolgan kvadratlarning har birini yana to‘rtta teng qismga ajratamiz va barcha nuqtalari bo‘lgan kvadratlarni tanlaymiz. O ga tegishli va hokazo. O to'plamning har bir P nuqtasi tanlangan kvadratlardan biriga tushishini ko'rsatamiz, ularning barcha nuqtalari O ga tegishli. Haqiqatan ham, d dan O ning chegarasigacha bo'lgan musbat masofa bo'lsin. Diagonali dan kichik bo'lgan kvadratlarga yetganimizda, P nuqtasi allaqachon kvadratga tushib qolganligini, uning barcha hajmlari O ga tegishli ekanligini aytishimiz mumkin. Agar tanlangan kvadratlar yarim ochiq deb hisoblansa, u holda ular bo'lmaydi. juftlikda umumiy nuqtalari bor va teorema isbotlangan. Tanlangan kvadratlar soni, albatta, hisoblanishi mumkin, chunki yarim ochiq intervallarning cheklangan yig'indisi ochiq to'plam emas. Yuqoridagi qurilish natijasida olingan yarim ochiq kvadratlarni DL bilan belgilab, yozishimiz mumkin.
Hisoblanadigan to'plam - bu cheksiz to'plam bo'lib, uning elementlarini natural sonlar bilan raqamlash mumkin yoki u natural sonlar to'plamiga ekvivalentdir.
Ba'zan natural sonlar to'plamining har qanday kichik to'plamiga teng kardinallik to'plamlari sanaladigan deb ataladi, ya'ni barcha chekli to'plamlar ham sanaladigan hisoblanadi.
Hisoblanadigan to'plam "eng kichik" cheksiz to'plamdir, ya'ni har qanday cheksiz to'plamda sanaladigan kichik to'plam mavjud.
Xususiyatlari:
1. Hisoblanadigan to‘plamning har qanday kichik to‘plami ko‘pi bilan sanab o‘tiladi.
2. Sanoqli to‘plamlarning chekli yoki sanoqli sonining birlashuvi sanab hisoblanadi.
3. Cheklangan sonli sanaladigan to‘plamlarning to‘g‘ridan-to‘g‘ri ko‘paytmasi sanaladi.
4. Hisoblanadigan to'plamning barcha chekli kichik to'plamlari to'plami sanab o'tadi.
5. Hisoblanadigan to‘plamning barcha kichik to‘plamlari to‘plami uzluksiz va, xususan, sanab bo‘lmaydi.
Hisoblanadigan to'plamlarga misollar:
Tub sonlar Natural sonlar, Butun sonlar, Ratsional sonlar, Algebraik sonlar, Davr halqasi, Hisoblanuvchi sonlar, Arifmetik sonlar.
Haqiqiy sonlar nazariyasi.
(Haqiqiy = haqiqiy - biz yigitlar uchun eslatma.)
R to'plamida ratsional va irratsional sonlar mavjud.
Ratsional bo'lmagan haqiqiy sonlar irratsional sonlar deyiladi
Teorema: Kvadrati 2 soniga teng bo'lgan ratsional son yo'q
Ratsional sonlar: ½, 1/3, 0,5, 0,333.
Irratsional sonlar: 2 ning ildizi=1,4142356…, p=3,1415926…
Haqiqiy sonlarning R to'plami quyidagi xususiyatlarga ega:
1. Buyurtma qilinadi: har qanday ikki xil raqam uchun a va b ikki munosabatlardan biri tutadi a yoki a>b
2. R to'plami zich: ikki xil son orasida a va b cheksiz sonli haqiqiy sonlarni o'z ichiga oladi X, ya'ni tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlar a 3-chi mulk ham bor, lekin u juda katta, kechirasiz Cheklangan to'plamlar. Yuqori va quyi chegaralarning xossalari. Cheklangan to'plam- ma'lum ma'noda chekli o'lchamga ega bo'lgan to'plam. yuqorida chegaralangan agar barcha elementlar oshmaydigan raqam bo'lsa: Haqiqiy sonlar to'plami deyiladi quyida chegaralangan, agar raqam bo'lsa, Shunday qilib, barcha elementlar kamida: Yuqorida va pastda chegaralangan to'plam deyiladi cheklangan. Chegaralanmagan to'plam deyiladi cheksiz. Ta'rifdan kelib chiqadigan bo'lsak, to'plam cheklanmagan bo'ladi, agar u bo'lsa yuqoridan cheklanmagan yoki quyida cheklanmagan. Raqamlar ketma-ketligi. Muvofiqlik chegarasi. Lemma ikki politsiyachi haqida. Raqamlar ketma-ketligi son fazosining elementlar ketma-ketligidir. Haqiqiy sonlar to‘plami yoki kompleks sonlar to‘plami bo‘lsin. Keyin to'plam elementlarining ketma-ketligi chaqiriladi raqamli ketma-ketlik. Misol. Funksiya ratsional sonlarning cheksiz ketma-ketligidir. Ushbu ketma-ketlikning elementlari, birinchisidan boshlab, shaklga ega. Ketma-ketlik chegarasi- bu raqam ortishi bilan ketma-ketlik a'zolari yaqinlashadigan ob'ekt. Xususan, sonlar ketma-ketligi uchun chegara - bu ketma-ketlikning ma'lum bir nuqtadan boshlab barcha a'zolari yotadigan har qanday qo'shnisidagi son. Ikki politsiyachi haqidagi teorema... Agar funktsiya shunday bo'lsaki, har bir kishi uchun nuqtaning ba'zi qo'shnilari va funktsiyalari bir xil chegaraga ega bo'lsa, u holda funktsiyaning chegarasi bir xil qiymatga teng bo'ladi, ya'ni. Ikki X va Y to'plamlari mos keladimi yoki yo'qmi, berilsin. Ta'rif.
Birinchisi X ga, ikkinchisi Y ga tegishli bo'lgan tartiblangan juft elementlar to'plami deyiladi. To‘plamlarning dekart ko‘paytmasi va belgilangan. Misol.
Mayli Agar Misol.
Mayli Misol.
Mayli Agar , keyin. dan elementlar Mayli Ta'rif.
Ikkilik algebraik operatsiya ( tarkibning ichki qonuni) yoqilgan Shunday qilib, har qanday buyurtma qilingan juftlik Odatda, ikkilik amallar belgilar bilan belgilanadi Ta'rif.
Bir guruh Misol.
Manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plamini ko'rib chiqing Izoh.
Ta'rifdan kelib chiqqan holda, algebraik operatsiyani belgilash * on Mayli Ta'rif.
Tashqi qonun bilan
kompozitsiyalar to'plamda bular. har qanday elementning qonuni Misol.
Matritsalarni ko'paytirish tarqatuvchi tarkibining ichki qonuni haqida * yilda Tarkibning tashqi qonuni deyiladi tarqatuvchi tarkibning ichki qonuniga nisbatan * Y da, agar Misol.
Matritsalarni ko'paytirish Ikkilik algebraik amal to‘plamda Izoh.
Kommutativlik va assotsiativlik xossalari mustaqildir. Misol.
Butun sonlar to'plamini ko'rib chiqing. Operatsiya yoqilgan bular. amali kommutativ, lekin assotsiativ emas. Misol.
To'plamni ko'rib chiqing
Ta'rif.
Element Lemma.
Agar Isbot
.
Mayli Ta'rif.
Element Misol.
Butun sonlar to'plamini ko'rib chiqing Natural sonlar to'plami ob'ektlarni sanashda qo'llaniladigan 1, 2, 3, 4, ... raqamlaridan iborat. Barcha natural sonlar to'plami odatda harf bilan belgilanadi N
: N
= {1, 2, 3, 4, ..., n, ...}
. 1. Har qanday natural sonlar uchun a Va b tenglik haqiqatdir a + b = b + a
. Bu xususiyat qo'shishning kommutativ qonuni deyiladi. 2. Har qanday natural sonlar uchun a, b, c
tenglik haqiqatdir (a + b) + c = a + (b + c)
. Bu xususiyat qo'shishning birlashgan (assotsiativ) qonuni deyiladi. Natural sonlarni ko'paytirish qonunlari 3. Har qanday natural sonlar uchun a Va b tenglik haqiqatdir ab = ba. Bu xususiyat ko'paytirishning kommutativ qonuni deb ataladi. 4. Har qanday natural sonlar uchun a, b, c
tenglik haqiqatdir (ab)c = a(bc)
. Bu xususiyat ko'paytirishning birlashgan (assotsiativ) qonuni deb ataladi. 5. Har qanday qiymatlar uchun a, b, c
tenglik haqiqatdir (a + b)c = ac + miloddan avvalgi
. Bu xususiyat ko'paytirishning distributiv qonuni (qo'shishga nisbatan) deyiladi. 6. Har qanday qiymatlar uchun a tenglik haqiqatdir a*1 = a. Bu xususiyat bittaga ko'paytirish qonuni deb ataladi. Ikki natural sonni qo‘shish yoki ko‘paytirish natijasi har doim natural son bo‘ladi. Yoki boshqacha qilib aytganda, bu amallar natural sonlar to‘plamida qolgan holda ham bajarilishi mumkin. Ayirish va bo'lish haqida buni aytish mumkin emas: masalan, 3 raqamidan natural sonlar to'plamida qolib, 7 raqamini ayirish mumkin emas; 15 raqamini to'liq 4 ga bo'lish mumkin emas. Yig'indining bo'linuvchanligi. Agar har bir a'zo raqamga bo'linadigan bo'lsa, yig'indi shu songa bo'linadi. Mahsulotning bo'linuvchanligi. Agar mahsulotdagi omillardan kamida bittasi ma'lum songa bo'linadigan bo'lsa, u holda mahsulot ham shu raqamga bo'linadi. Ushbu shartlar, ham summa, ham mahsulot uchun, etarli, lekin zarur emas. Masalan, 12*18 ko'paytmasi 36 ga bo'linadi, ammo 12 ham, 18 ham 36 ga bo'linmaydi. 2 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish. Natural son 2 ga boʻlinishi uchun uning oxirgi raqami juft boʻlishi zarur va yetarli. 5 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish. Natural son 5 ga boʻlinishi uchun uning oxirgi raqami 0 yoki 5 boʻlishi zarur va yetarli. 10 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish. Natural son 10 ga boʻlinishi uchun birliklar raqami 0 boʻlishi zarur va yetarli. 4 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish. Kamida uchta raqamdan iborat natural son 4 ga boʻlinishi uchun oxirgi raqamlar 00, 04, 08 boʻlishi yoki bu sonning oxirgi ikki raqamidan hosil boʻlgan ikki xonali son quyidagiga boʻlinishi zarur va yetarlidir. 4. 2 ga (9 ga) bo‘linish imkoniyatini tekshirish. Natural son 3 ga (9 ga) boʻlinishi uchun uning raqamlari yigʻindisi 3 ga (9 ga) boʻlinishi zarur va yetarli. Nuqtada kelib chiqishi bo'lgan son chizig'ini ko'rib chiqing O. Undagi nol sonining koordinatasi nuqta bo'ladi O. Sanoq chizig'ida ma'lum yo'nalishda joylashgan raqamlar musbat sonlar deyiladi. Raqamlar chizig'ida nuqta berilgan bo'lsin A koordinatasi bilan 3. Bu musbat raqam 3 ga to'g'ri keladi. Endi nuqtadan birlik segmentini uch marta chizamiz. O, berilganga qarama-qarshi yo'nalishda. Keyin biz fikrni tushunamiz A", nuqtaga simmetrik A kelib chiqishiga nisbatan O. Nuqta koordinatasi A" raqam bo'ladi - 3. Bu raqam 3 raqamiga qarama-qarshidir. Sanoq chizig'ida berilganiga qarama-qarshi yo'nalishda joylashgan raqamlar manfiy sonlar deyiladi. Natural sonlarga qarama-qarshi bo'lgan sonlar sonlar to'plamini tashkil qiladi N"
: N"
= {- 1, - 2, - 3, - 4, ...}
. Agar biz to'plamlarni birlashtirsak N
, N"
va singleton to'plami {0}
, keyin biz to'plamni olamiz Z
barcha tamsayılar: Z
= {0} ∪ N
∪ N"
. Butun sonlar uchun yuqoridagi barcha qo‘shish va ko‘paytirish qonunlari to‘g‘ri bo‘lib, natural sonlar uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi. Bundan tashqari, quyidagi ayirish qonunlari qo'shiladi: a - b = a + (- b)
; a + (- a) = 0
. Butun sonlarni nolga teng bo'lmagan istalgan songa bo'lish operatsiyasini amalga oshirish uchun kasrlar kiritiladi: Qayerda a Va b- butun sonlar va b nolga teng emas. Agar butun musbat va manfiy kasrlar to‘plamini butun sonlar to‘plamiga qo‘shsak, ratsional sonlar to‘plamini olamiz. Q
: Bundan tashqari, har bir butun son ham ratsional sondir, chunki, masalan, 5 raqami shaklda ifodalanishi mumkin , bu erda pay va maxraj butun sonlardir. Bu ratsional sonlar ustida amallarni bajarishda muhim, ulardan biri butun son bo'lishi mumkin. Kasrning asosiy xossasi. Agar berilgan kasrning soni va maxraji bir xil natural songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, siz berilgan kasrga teng bo'lasiz: Bu xususiyat kasrlarni kamaytirishda ishlatiladi. Kasrlarni qo'shish. Oddiy kasrlarni qo'shish quyidagicha aniqlanadi: Ya'ni, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi. Amalda, maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish (ayirish) paytida kasrlar eng kichik umumiy maxrajga keltiriladi. Masalan, bu kabi: Bir xil hisoblagichlar bilan kasrlarni qo'shish uchun sonlarni qo'shing va maxrajni bir xil qoldiring. Kasrlarni ko'paytirish. Oddiy kasrlarni ko'paytirish quyidagicha aniqlanadi: Ya'ni, kasrni kasrga ko'paytirish uchun birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga ko'paytirish va ko'paytmani yangi kasrning soniga yozish va birinchi kasrning maxrajini ko'paytirish kerak. ikkinchi kasrning maxraji va hosilani yangi kasrning maxrajiga yozing. Kasrlarni bo'lish. Oddiy kasrlarning bo'linishi quyidagicha aniqlanadi: Ya'ni, kasrni kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytirish va ko'paytmani yangi kasrning soniga yozish va birinchi kasrning maxrajini ko'paytirish kerak. ikkinchi kasrning sanoqchisi va hosilani yangi kasrning maxrajiga yozing. Kasrni tabiiy ko'rsatkichli darajaga ko'tarish. Ushbu operatsiya quyidagicha aniqlanadi: Ya'ni, kasrni darajaga ko'tarish uchun sanoqchi o'sha darajaga va maxraj bu darajaga ko'tariladi. Teorema. Har qanday ratsional sonni chekli yoki cheksiz davriy kasr sifatida ifodalash mumkin. Masalan, Sonning oʻnli kasr belgisida oʻnli kasrdan keyin ketma-ket takrorlanadigan raqamlar guruhi davr, yozuvida shunday davrga ega boʻlgan chekli yoki cheksiz oʻnli kasr esa davriy deyiladi. Bunday holda, har qanday chekli o'nli kasr davrda nolga ega cheksiz davriy kasr hisoblanadi, masalan: Ikkita ratsional sonni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish (nolga bo‘lishdan tashqari) natijasi ham ratsional son bo‘ladi. Butun sonlar to‘plami bilan bog‘liq holda ko‘rib chiqqan son chizig‘ida ratsional son ko‘rinishidagi koordinatalarga ega bo‘lmagan nuqtalar bo‘lishi mumkin. Shunday qilib, kvadrati 2 bo'lgan ratsional son yo'q. Demak, son ratsional son emas. Kvadratlari 5, 7, 9 bo'lgan ratsional sonlar ham yo'q. Demak, , , raqamlari irratsionaldir. Raqam ham mantiqsiz. Hech qanday irratsional sonni davriy kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi. Ular davriy bo'lmagan kasrlar sifatida ifodalanadi. Ratsional va irratsional sonlar to'plamining birlashuvi haqiqiy sonlar to'plamidir R
. TA'RIF 5. X metrik fazo bo'lsin, MM X, aOX. Agar a ning istalgan qo'shnisida M\(a) to'plamning nuqtalari bo'lsa, a nuqta M ning chegara nuqtasi deyiladi. Ikkinchisi a ning istalgan qo'shnisida M to'plamning a dan farqli nuqtalari mavjudligini bildiradi. Eslatmalar. 1. Cheklash nuqtasi to'plamga tegishli bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Masalan, 0 va 1 to'plamning chegara nuqtalari (0,2), lekin birinchisi unga tegishli emas, ikkinchisi esa tegishli. 2. M to'plamning nuqtasi uning chegara nuqtasi bo'lmasligi mumkin. Bunda u ajratilgan M nuqta deyiladi. Masalan, 1 to'plamning (-1,0)È(1) ajratilgan nuqtasidir. 3. Agar a chegara nuqtasi M to'plamga tegishli bo'lmasa, u holda bu metrik fazoda a ga yaqinlashuvchi x n OM nuqtalar ketma-ketligi mavjud. Buni isbotlash uchun radiuslari 1/n bo‘lgan bu nuqtada ochiq sharlarni olish va har bir shardan M ga tegishli nuqtani tanlash kifoya. Aksi ham to‘g‘ri, agar a uchun shunday ketma-ketlik mavjud bo‘lsa, nuqta a bo‘ladi. chegara nuqtasi. TA'RIF 6. M to'plamning yopilishi - M ning chegara nuqtalari to'plami bilan birlashishi. Belgilanish E'tibor bering, to'pning yopilishi bir xil radiusli yopiq to'p bilan mos kelishi shart emas. Masalan, diskret fazoda to'pning yopilishi B(a,1) to'pning o'ziga teng (bir nuqtadan iborat a), yopiq shar (a,1) esa butun fazoga to'g'ri keladi. Keling, to'plamlarning yopilishining ba'zi xususiyatlarini tavsiflaymiz. 1. MÌ. Bu to'g'ridan-to'g'ri yopilish ta'rifidan kelib chiqadi. 2. Agar M M N bo'lsa, u holda M 4. 5. Bo'sh to'plamning yopilishi bo'sh. Ushbu kelishuv umumiy ta'rifdan kelib chiqmaydi, lekin tabiiydir. TA'RIF 7. M M X to'plam yopiq deyiladi, agar = M. M M X to'plam ochiq deyiladi, agar X\M to'plam yopiq bo'lsa. M M X to'plami X ning hamma joyida zich bo'ladi, agar = X bo'lsa. TA’RIF 8. Agar qandaydir musbat r uchun B(a,r)MM bo‘lsa, ya’ni ichki nuqta qandaydir qo‘shni bilan birga to‘plamga kiritilgan bo‘lsa, a nuqta M to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi. Agar qandaydir musbat r uchun shar B(a,r)MX/M, ya’ni ichki nuqta ba’zi qo’shnilar bilan birga to’plamga kiritilmagan bo’lsa, a nuqta M to’plamning tashqi nuqtasi deyiladi. M to’plamning na ichki, na tashqi nuqtalari bo’lmagan nuqtalar chegara nuqtalari deyiladi. Shunday qilib, chegara nuqtalari ularning har bir mahallasida M ga kiritilgan va kirmaydigan nuqtalar mavjudligi bilan tavsiflanadi. TAKLIF 4. To'plam ochiq bo'lishi uchun uning barcha nuqtalari ichki bo'lishi zarur va etarli. Chiziqdagi yopiq to'plamlarga misollar , )
,
, Keyin
.
,
, Keyin 
.
, bu erda R - barcha haqiqiy sonlar to'plami. Keyin 
- tekislikdagi nuqtalarning barcha dekart koordinatalari to'plami.
to'plamlarning ma'lum bir oilasi bo'lsa, u holda bu to'plamlarning Dekart mahsuloti n uzunlikdagi barcha tartiblangan qatorlar to'plamidir:
n uzunlikdagi qator vektorlari.Bitta ikkilik amalli algebraik tuzilmalar
1 Binar algebraik amallar
– ixtiyoriy chekli yoki cheksiz to‘plam.
Dekart kvadratining ixtiyoriy, ammo qat'iy xaritasi 
V 
, ya'ni.
(1)
(2)
. Gap shundaki 
, shaklida ramziy ravishda yoziladi 
.
va hokazo. Avvalgidek, operatsiya 
“qo‘shish”, “” amali esa “ko‘paytirish” ma’nosini bildiradi. Ular nota shaklida va, ehtimol, aksiomalarda farqlanadi, bu kontekstdan aniq bo'ladi. Ifoda 
biz uni mahsulot deb ataymiz va 
- elementlar yig'indisi 
Va 
.
operatsiya ostida yopiq deb ataladi, agar mavjud bo'lsa.
. Ikkilik operatsiyalar sifatida 
biz oddiy qo'shish amallarini ko'rib chiqamiz 
va ko'paytirish. Keyin to'plamlar 
,
ushbu operatsiyalarga nisbatan yopiladi.
, to'plamning yopiqligiga teng 
ushbu operatsiya haqida. Agar bu juda ko'p bo'lsa 
berilgan operatsiya ostida yopilmaydi *, keyin bu holda ular * operatsiyasi algebraik emasligini aytishadi. Masalan, natural sonlar to’plamida ayirish amali algebraik emas.
Va 
ikkita to'plam.
xaritalash deb ataladi
,
(3)
va har qanday element 
element mos keladi 
. Gap shundaki 
, belgisi bilan belgilanadi 
yoki 
.
raqam uchun 
to'plamdagi tashqi kompozitsiya qonunidir 
. Raqamlarni ko'paytirish 
kompozitsiyaning ichki qonuni sifatida ham, tashqi qonun sifatida ham ko'rib chiqilishi mumkin.
, Agar
raqam uchun 
matritsalarni qo'shish bo'yicha ham, sonlarni qo'shish bo'yicha ham taqsimlovchi, chunki,.Binar amallarning xossalari
chaqirdi:
qoidaga muvofiq belgilanadi 
. Keling, raqamlarni tanlaymiz 
va ushbu raqamlar ustida operatsiyani bajaring:
- o'lchamning kvadrat matritsalari 
real koeffitsientlar bilan. Ikkilik operatsiya sifatida * on 
Matritsalarni ko'paytirish amallarini ko'rib chiqamiz. Mayli 
, Keyin 
, ammo 
, ya'ni. kvadrat matritsalar to'plamida ko'paytirish amali assotsiativ, lekin kommutativ emas.
chaqirdi yagona yoki neytral ko'rib chiqilayotgan operatsiya haqida 
, Agar
– to‘plamning birlik elementi 
, operatsiya ostida yopiq *, keyin u noyobdir.
– to‘plamning birlik elementi 
, operatsiya ostida yopildi *. Faraz qilaylik, ichida 
yana bitta birlik elementi mavjud 
, Keyin 
, chunki 
yagona element hisoblanadi va 
, chunki 
- bitta element. Demak, 
– to‘plamning yagona birlik elementi 
.
chaqirdi teskari yoki simmetrik elementga 
, Agar
qo'shimcha operatsiya bilan 
. Element 
, keyin simmetrik element 
element bo'ladi 
. Haqiqatan ham,.Natural sonlarni qo'shish qonunlari
Natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilari
Butun sonlar to‘plami
Ratsional sonlar to'plami
.Ratsional sonlar ustidagi arifmetik amallar qonunlari
.Davriy o'nli kasrlar
.Haqiqiy raqamlar to'plami
. Haqiqatan ham, agar a O , a PM boʻlsa, a ning istalgan qoʻshnisida M toʻplamning nuqtalari boʻladi. Ular ham N nuqtalaridir. Shuning uchun aO. . M nuqtalari uchun bu ta'rifga ko'ra aniq.
.
Yuklanmoqda...