Kiryanov D.V., Kiryanova E.N., Kozlov N.I., Kuznetsov V.I.
(D.V.Kiriyanov, E.N.Kiriyanova, N.I.Kozlov, V.I.Kuznetsov)

IPM im. M.V.Keldish RAS

Moskva, 2005 yil

izoh

Ishda ekologik populyatsiyaning yosh tarkibining uning rivojlanishiga ta'sirining bir nechta matematik modellari ko'rib chiqiladi. Modellashtirish dinamik tizimni sonli yechish orqali amalga oshiriladi differensial tenglamalar(oddiy va qisman hosilalar), Volterra tizimlari va Lesli matritsalari sinfiga mansub.

Abstrakt

Aholining ekologik dinamikasiga yosh tuzilishi ta'siri modellarini ko'rib chiqish. Biz klassik Volterra modeli va Lesli matritsalari yondashuviga asoslangan oddiy va PDE differensial tenglamalarining bir qator dinamik tizimlarini ko'rib chiqamiz.

§ 1. Asosiy model

Yaqinda yechim uchun amaliy muammolar Differensial va integrodifferensial tenglamalar asosida ekotizim rivojlanish dinamikasini modellashtirish tobora ko'proq foydalanilmoqda. Ushbu yondashuv turli xil biologik jamoalarni, xususan, o'rmonlarni modellashtirish uchun keng qo'llaniladi. Eng katta qiyinchilik ikki nuqta bilan ifodalanadi:

· tenglamalarni to'g'ri tanlash, ayniqsa ulardagi ma'lum parametrlarning ekotizimning ma'lum bir hududi holatiga ta'siri hajmini tavsiflovchi parametrlar;

· yosh ta'sirini adekvat modellashtirish, shuningdek, heterojen ekotizimlarning fazoviy taqsimoti.

Bu ishda oddiy differensial va differensial-differensial tenglamalarni hamda qisman differensial tenglamalarni raqamli modellashtirish asosida o'rmon biotsenozlarida turli yosh effektlarini ko'rib chiqamiz. Avvalo, ikki turli o'rmon rivojlanishining soddalashtirilgan modelini taqdim qilaylik, u butun populyatsiyaning evolyutsiyasini fazoviy taqsimotni yoki yosh ta'sirini hisobga olmagan holda tavsiflaydi. Global ekologik talablarni mohiyatan ifoda etuvchi ushbu bosqichda asosiy o'zaro ta'sirlarning mohiyatini etarli darajada aniqlash kerak.

Biz populyatsiyani biomassa zichligi vektori, i=l (bargli turlar), x (ignabargli) bilan tavsiflaymiz. Keling, "resurs-iste'molchi" tipidagi trofik o'zaro ta'sirlarning ikki darajali tizimi bilan cheklanamiz: tuproq - bir-biri bilan raqobatlashadigan ikki turdagi o'rmon. Tuproqning holati uchinchi o'zgaruvchi - P(t) unumdorligining umumlashtirilgan ko'rsatkichi bilan tavsiflanadi. Ushbu yig'ma modelni tavsiflash uchun biz foydalangan dinamik tizim quyidagicha:

i = (x, l)(1)

· P - tug'ilishning umumlashtirilgan ko'rsatkichi - resurs zichligi (kg/m 2 );

· u l – bargli turlarning biomassa zichligi (kg/m 2 );

· u x - ignabargli biomassaning zichligi (kg/m 2 );

· A i - i-turning tushishi sababli tuproqning tiklanish koeffitsienti (1/yil);

· B - tuproqning o'z-o'zini tiklash koeffitsienti (1/yil);

· P 0 - o'rmon yo'qligida unumdorlikning asimptotik qiymati (kg/m 2 );

· Vi – resurslarni iste’mol qilish darajasi (trofik funksiya) (1/yil);

· s i – raqobatni tavsiflovchi tuzatish koeffitsienti;

· k i – i-chi zotning o‘sish koeffitsienti;

· D i – daraxtlarning tabiiy o‘lim darajasi (1/yil);

· Vt - tashqi omillarning ta'siri, ko'pincha zararli, shuning uchun salbiy belgi bilan (kg / (yil× m 2))

· t 0 - yosh o'rmonning o'rtacha etilish vaqti (yil)

Ushbu tizim, ko'rish oson, klassik Volterra modelining umumlashtirilishi. Koeffitsientlar eksperimental o'rnatilgan konstanta (oddiy sharoitda populyatsiyaning rivojlanishini aniqlaydigan) va ba'zi tuzatish funktsiyasining kombinatsiyasi hisoblanadi. Biz ishda koeffitsientlarning aniq shaklini ko'rib chiqdik va u erda (1) tizim yechimining tipik grafiklari ham berilgan.

Oddiy sharoitlarda (etarli namlik bilan) o'rmon rivojlanishiga mos keladigan echimlardan biri rasmda keltirilgan. 1. Populyatsiyaning rivojlanishi davrida bargli o'rmonlarning ignabargli o'rmonlar bilan almashtirilishining mashhur hodisasi tasvirlangan.

1-rasm. Tizimning tipik yechimi (1).

Darhol shuni ta'kidlash kerakki, konsentrlangan model (1) faqat yosh ta'sirini eng qo'pol ko'rib chiqishga imkon beradi, chunki tenglamalar umumiy biomassa zichligini (yosh guruhlariga bo'linmasdan) o'z ichiga oladi. Misol uchun, shaklda ko'rsatilgan hisob-kitoblarda. 1, biz (tegishli tuzatish funktsiyasi orqali) tabiiy o'lim darajasi D i sezilarli darajada aholining o'rtacha yoshiga bog'liqligini hisobga oldik.

Ushbu dastlabki mulohazalarni amalga oshirgandan so'ng, biz ushbu ishning asosiy mavzusiga o'tishimiz mumkin - har xil yosh tarkibiga ega o'rmon populyatsiyalarining turli modellari.

§ 2. Lesli matritsasi modeli

Murakkab ko'p turli populyatsiyalarning rivojlanishini tavsiflash uchun matritsa hisobi (birlashtirilgan modellarda qo'llaniladi) asr o'rtalarida Lesli tomonidan taklif qilingan. Hozirgacha qayd etilgan ekologik modellar differensial hisoblash usullariga tayangan. Bu o'z-o'zidan qandaydir taxmindir. Amaliy hisob-kitoblarga o'tayotganda, masalan, demografik jadvallarga ko'ra, diskret miqdorlar bilan shug'ullanish kerak. Misol uchun, inson demografiyasida odatda besh yillik vaqt oralig'i qo'llaniladi. Bundan tashqari, ko'plab populyatsiyalarning (shu jumladan o'rmonlarning) rivojlanishi sezilarli mavsumiy xususiyatga ega. Shuning uchun, populyatsiyani to'g'ri tavsiflash va amaliy hisob-kitoblar uchun differensial va integral hisoblash usullari emas, balki diskret matematika usullari (matritsa va boshqalar) qo'llanilishi mumkin.

Lesli murakkab ko'p yoshdagi populyatsiyani tavsiflash uchun o'tish matritsasidan foydalanishni taklif qildi.

,(2)

Bu turli yoshdagi shaxslar sonining ustun vektoriga ko'paytirilganda (noldan - yangi tug'ilgan shaxslarga, k - eng keksa shaxslarga) ma'lum vaqt birligidan keyin yosh guruhlaridagi shaxslar sonini beradi (ko'pincha, yil). Shunday qilib, in o'tish matritsasi Lesli p i - omon qolish darajasi (ya'ni, i-sinfdagi shaxsning kelgusi yilda (i+1)-chiga o'tish ehtimoli),a i - shaxslarning o'rtacha tug'ilish qobiliyati i-chi yosh guruhlar.

Shunday qilib, o'tish matritsasi o'lchamdagi kvadrat matritsadir (k+1)´ (k+1) va yosh guruhlari sonlarining ustun vektori matritsa (k+1)´ 1. Agar matritsa elementlari doimiy bo'lsa, ya'ni. vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi, u holda ularning manfiy emasligidan matritsaning xususiy qiymatining maksimal mutlaq qiymati haqiqiy va musbat ekanligi kelib chiqadi. Agar maksimal o'ziga xos qiymat birdan kam bo'lsa, u holda populyatsiya yo'q bo'lib ketishga mahkum, agar u katta bo'lsa, cheksiz aholi o'sishi kuzatiladi. Ibtidoiy Lesli matritsalarining maksimal xos qiymati bittaga teng. Bu shuni anglatadiki, populyatsiya vaqt o'tishi bilan maksimal xos qiymatga mos keladigan xos vektor tomonidan berilgan qandaydir barqaror yosh taqsimotiga moyil bo'ladi va aholining o'sish sur'ati shu xos qiymat bilan belgilanadi.

Populyatsiya dinamik tavsifida, birinchi navbatda, individlarning ko'payish qobiliyatidagi farqni hisobga olish kerak. Shu maqsadda odatda uchta guruh ajratiladi: pregenerativ (yosh, hali ko'payish qobiliyatiga ega emas), generativ (ko'paytirishga qodir, lekin hozirda ko'payish shart emas) va postgenerativ (keksa, ko'payish qobiliyatini allaqachon yo'qotgan). Muayyan turning hayot aylanishining xususiyatlariga qarab va ishonchli diagnostik belgilar mavjudligida, bu katta guruhlarning har biri kichikroq yosh toifalariga bo'linadi.

Shuni ta'kidlash kerakki, populyatsiyani yosh guruhlariga bo'lish, ma'lum bir turning organizmlari individning yoshini aniq aniqlash imkonini beradigan xususiyatlarga ega bo'lgan hollarda amaliy nuqtai nazardan oqlanadi. Bizning modellarimizda, o'rmon populyatsiyasi holatida, alohida daraxtning yoshini daraxt halqalari yordamida aniq aniqlash mumkin.

Keling, Lesli matritsalarini joriy qilingan modelga qo'llashni ko'rib chiqaylik§ 1. Eslatib o'tamiz, bu asosiy model o'rmonni yoshni hisobga olmagan holda tasvirlab bergan.O'simliklarning qurg'oqchilikka, botqoqlikka, soyaga, ifloslanishga, yong'inga, kasalliklarga va boshqa omillarga chidamliligi ko'p jihatdan yoshga bog'liq.

Quyida biz ko'rish indeksini o'tkazib yuboramiz, chunki hisob-kitoblar unga bog'liq emas. Ko'rish indeksi faqat yakuniy natijada paydo bo'ladi. Shuni ham hisobga olish kerakki, agar yosh guruhlari intervallari vaqt jihatidan ancha katta bo'lsa, unda guruhning o'zida yosh taqsimotini hisobga olish kerak.Yosh guruhlari soni kichik bo'lishi mumkin, masalan, 4 guruh. har bir tipik yosh oralig'i uchun: yosh o'rmon, reproduktiv yoshdagi o'rmon va etuk o'rmon (urug' bermaydi). Ya'ni, atigi 12 ta guruh mavjud. Biroq, bu taqsimot hisoblash boshlanishidan oldin noma'lum. Har bir bosqichda guruh ichidagi taqsimot, masalan, vaqt bosqichida guruh o'zgaruvchilari qiymatlariga ko'ra interpolyatsiya qilish orqali aniqlanishi mumkin. Keyin guruh konstantalari tozalanadi. Biz oddiyroq yo'lni tanlaymiz: apriori yosh taqsimoti haqida taxmin qilinadi va keyin guruh konstantalari topiladi. Aslida, bu "doimiy"lar guruh o'zgaruvchilariga bog'liq bo'lishi mumkin. Bu guruh konstantalarini guruh o'zgaruvchilari qiymatlariga mos ravishda sozlashni ta'minlaydi.

Guruhdan guruhga o'tish koeffitsientlarini aniqlash uchun biz diskret sxemaga murojaat qilamiz (2-rasm). Yosh guruhiga rlet kiritilsin va guruh kiritishida bir xil biomassa qiymati olinganda biz barqaror holatni ko'rib chiqamiz..

123 4

2-rasm. Lesli modelini tushuntiruvchi diagramma

Keyin har bir yosh uchun biz quyidagi biomassa zichligiga ega bo'lamiz:

1 yil=,2 yil=,3 yil=,...r yil=

Bu yerda C - boshlang'ich biomassa zichligi yiliga qancha ortishini ko'rsatadigan koeffitsientdir.Bu qiymat odatda 0,1-0,18 ni tashkil qiladi va guruhga, biomassa zichligiga, unumdorlikka va hokazolarga bog'liq.Lekin guruh ichida u kam o'zgaradi. Agar biz guruhlarni 10 yil tartibida oladigan bo'lsak, unda biz qabul qilgan guruhdagi o'sishning chiziqli qonuni to'liq oqlanadi.

Har yili boshqa guruhga keladigan guruh massasidan biomassaning nisbati nisbati bilan aniqlanishi mumkin:

(3)

Bu shuni ko'rsatadiki, bir guruhdagi biomassaning umumiy hajmi yil bo'yicha barcha hajmlarning yig'indisidir: . Ushbu mulohazalarni hisobga olsak, biz bunga erishishimiz mumkin

(4)

Ko'rib turganimizdek, u i [j] funksiyalarning evolyutsiyasi (1) sistemaga o'xshash tenglamalar bilan tasvirlangan, ammo C i0 va D i0 koeffitsientlari o'rniga C i0 [j] va D i0 [j] o'sish va o'lim massivlari tasvirlangan. mos ravishda kiritiladi.

Yosh va qari daraxtlarning qurg'oqchilik, botqoqlik va hokazolarga bo'lgan munosabatini hisobga olgan holda yoshni hisobga olish kerak. Buning uchun asosiy modelga (1) o'xshatib, tegishli tuzatish funktsiyalari qo'llaniladi. Bu holda, albatta, ular xuddi noma'lum funktsiyalar kabi vektorga aylanadi, chunki qurg'oqchilik, botqoqlik, soyalanish, ifloslanish va boshqa omillarga nisbatan yoshga bog'liq xususiyatlarni ifodalaydi. Masalan, ular yosh daraxtlar suv etishmasligidan eng ko'p azob chekishini va etuk daraxtlar chuqurroq ildiz tizimiga ega bo'lganligi sababli botqoqlanishga ko'proq chidamliligini hisobga olishadi. (4) modelning tenglamalar tizimini yozish uchun biz quyidagi qisqartirish texnikasidan foydalanamiz: bir xil tuzilmali funktsiyalar mahsulotida biz faqat to'g'ri ko'rsatkichni ko'rsatamiz: yozuv ga ekvivalent.

Differensial tenglamalarning umumiy soni: . Bu erda th turdagi guruhlarning maksimal soni, tuproq unumdorligi va namlangan qatlamning qalinligi uchun yana ikkita tenglama). Yosh guruhining kattaligi p yil.

Keling, o'rmon populyatsiyasining yosh tarkibini hisobga olgan holda (4) tenglamalar tizimiga asoslangan ba'zi modellashtirish natijalarini keltiramiz. Har bir yosh guruhining kengligi 10 yil edi. Shaklda. Umumlashtirilgan modelda 3 o'rmon rivojlanishi: normal namlik ostida (aralash o'rmondan ignabargli o'rmonga barqaror o'zgarish, 1-rasmdagi asosiy modelda bo'lgani kabi). Shu bilan birga, biomassa zichligida o'rtacha yoshning o'zgarishi bilan bog'liq dalgalanmalar mavjud (4-rasm). Umuman olganda, Lesli matritsalariga asoslangan yoshga asoslangan model yanada real va asosiy model bilan bir xil asosiy xususiyatlarni saqlab qolishini tan olish mumkin.

3-rasm. .Barqaror daraxtlar populyatsiyasi

4-rasm. Daraxtlarning o'rtacha yoshidagi o'zgarishlar

§ 3. Bir yoshli ekish modeli

Keling, urug'lar bo'yicha yillik ko'payish, ko'payish boshlanishi uchun yosh chegarasi, shuningdek, o'ziga xos raqobat va "ekologik" so'qmoqlar (faqat aniqlanadigan) hisobga olingan holda, bir xil yoshdagi ko'chatlar qatorining evolyutsiyasini tavsiflovchi yana bir modelni ko'rib chiqaylik. massiv holati bo'yicha), avtonomiyani saqlab.

Quyidagi diskret koordinatalar tizimidan foydalanamiz. Biz avlod raqamini ordinata o'qi bo'ylab chizamiz. Biz vaqtni abscissa o'qi bo'ylab chizamiz.Agar yozib olish qulayligi uchun ko'chatlarning yoshini nolga teng deb hisoblasak, ohanglar. koordinata tekisligi Dastlabki vaqtda faqat bitta nuqta bo'ladi, ko'payish chegarasini hisobga olgan holda yangi avlodlar paydo bo'ladi va ular paydo bo'lgach, vaqt o'qi bo'ylab "sinxron ravishda qarishni" boshlaydilar.

Keyin har bir avlod uchun o'z evolyutsiya muvozanatimiz tenglamasini yozishimiz mumkin:

,(5)

bu erda avlod soni, ma'lum bir vaqtda avlodning yoshi t, k-avlodning biomassa zichligi, tabiiy o'sish va tabiiy o'lim koeffitsientlari orasidagi farq, avlodning butun vektoriga bog'liq bo'lgan ma'lum bir funktsiyadir. zichlik (vektorning uzunligi tizimimizni ko'rib chiqadigan vaqtga bog'liq, ya'ni doimiy emas).

Bu funksiya tur ichidagi raqobatni ifodalashi mumkin:

, (6)

bu yerda m - reproduktiv yosh, t-m+1 t vaqtidagi avlodlarning umumiy sonini, k va j avlodlarining raqobatbardosh o'zaro ta'siri koeffitsientlarini beradi, ya'ni bu raqobatning kvadratik shartlari.

Generatsiya tenglamasini bir yil vaqt oralig'ida k() va avlod raqami bo'yicha ba'zi taniqli funktsiyalarni hisobga olgan holda yechamiz.

(7)

Ushbu yozuvda biz bu miqdor bilan solishtirganda kichik ekanligini va shuning uchun o'zimizni kengaytirishning birinchi muddati bilan cheklab, ketma-ket kengaytirilishi mumkinligini hisobga oldik.Agar biz endi oxirgi mahsulotdagi ikkinchi omil uchun belgini kiritadigan bo'lsak:

,(8)

keyin t qatlamiga yangi yaratilgan avlodning etishmayotgan qiymatini qo'shsangiz, t-1 vaqt qatlamidan t qatlamiga o'tish uchun hisoblash sxemasini olishingiz mumkin:

(9)

Ko'ramizki, ma'lum bir vaqt qatlamida tug'ilgan avlodning qiymatlari t qatlamidagi avlodlar qiymatlaridan ham olinadi.Raqobatni hisobga olgan holda, integral ma'lumotlardan foydalangan holda hisoblanishi kerak. oldingi vaqt qatlami.

Agar siz avlodlar uchun tenglamalar tizimiga dinamik tizim sifatida yondashsangiz, unda siz sxemaning barqarorligi va yaqinlashishini oqlashingiz va shu bilan sxemaning yaqinlashishini oqlashingiz mumkin.

Taklif etilayotgan tenglamalar tizimi (raqobat va namunalarsiz) chiziqli bo'lgani uchun u Volterra raqobat terminisiz logistik model kabi harakat qiladi. Bu uning yo beqaror yoki faqat bitta barqaror muvozanat holatiga ega ekanligini bildiradi, nolga teng.Ayni paytda oʻrmonning maʼlum bir varianti boʻyicha hisob-kitoblar (5-rasm) disvergensiya juda sekin ekanligini koʻrsatadi.Faqat 320-yilga kelib sezilarli oʻsish kuzatiladi. umumiy ekish zichligida. Diagramma, shuningdek, yosh taqsimoti profilini o'rnatish hali sodir bo'lmagan dastlabki davrni ham to'g'ri aks ettiradi.

5-rasm.

(100, 200 va 300 yillik aholi uchun)

Xuddi shu muammoning raqamli yechimi, ammo raqobat bilan, qo'nish mavjudligining 120-yilida statsionar profilni o'rnatish sodir bo'lganda natijalarga olib keladi. Biomassaning mutlaq qiymatlariga kelsak, ular keyinroq belgilanadi (taxminan 200).

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, bir yoshli ko'chatlar o'rmon maydonining yoshga qarab tabiiy taqsimlanishini ta'minlamaydi. Yaqin vaqt ichida biz amalda kuzatilayotgan o'tish davrini boshdan kechirmoqdamiz.

“Ekologik” kesish biomassaning statsionar profiliga va statsionar qiymatiga erishish vaqti jihatidan ancha samarali bo'lib chiqadi. 6-rasmda xuddi shu sxema bo'yicha hisoblash ma'lumotlari ko'rsatilgan, ammo raqobat o'rniga kesish joriy etiladi.Kesish umumiy biomassa ma'lum bir kritik qiymatgacha kamayguncha amalga oshiriladi. Kesilayotgan daraxtlarning yoshi 40-45 yil, 5 foizi kesilgan. Biomassaning tabiiy profili va asimptotik qiymatlari raqobatga qaraganda tezroq o'rnatiladi.

6-rasm. Bir yoshda ekishning yosh spektrining evolyutsiyasi

(150 va 200 yoshli populyatsiyalar uchun): kesish bilan model

§ 4 Uzluksiz diffuziya modeli

Quyida reproduktiv chegaraning ta'sirini tasvirlash imkonini beruvchi uzluksiz yosh modelini ko'rib chiqamiz. Bu erda biologik o'zgaruvchi ikki o'zgaruvchining funktsiyasi bo'ladi: vaqt va yosh T. Bu holda, u (t, T) dT - yosh o'zgaruvchisi (T, T + dT) oralig'ida mavjud bo'lgan biomassa miqdori.

Keling, t vaqti uchun T, T + dT oralig'ida yosh guruhi uchun balansni hisoblaymiz:

· u (t, T) T - chap tomondan vaqtga kiritilgan biomassa miqdori (bu erda bir xil qiymat yosh oralig'i sifatida qabul qilinadi),

· u(t,T+dT) Bunday biomassa miqdori guruhning oʻng chetidan oʻz vaqtida guruhni tark etadi,

· u(t,T) tabiiy o'lim jarayonlari, o'sish va tur ichidagi kurash jarayonlari tufayli biomassaning o'zgarishi:

Chap chegara o'ng chegara

7-rasm.

Oxirgi hollarda, barcha yoshdagi biomassaning integralini o'z ichiga oladi.

dT guruhining biomassasi u(t,T)dT ga teng ekanligini hisobga olamiz:

Chegaraga o'tib, mahsulot bo'yicha kamaytirsak, biz tenglamaning to'liq shaklini topamiz:

(10)

chegara holati (11)

Dastlabki holat qayerda

Yosh oralig'ining chap uchidagi chegara holatida integral butun reproduktiv davr uchun hisoblanadi. Funktsiya urug'lar tomonidan kattalar biomassasining mahsuldorligini beradi.

Bu erda reproduktiv yosh, reproduktiv yoshning o'ng chegarasi.

Barqarorlik bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun biz bu tenglamani kechiktirish tenglamalariga qisqartiramiz, ular uchun bu masala yaxshi ishlab chiqilgan. Buning uchun kerakli funktsiyani almashtirishni ko'rib chiqing (8-rasm):

(12)

8-rasm. Vaqt panjarasini qurish tomon

Ikkala almashtirishni ham dastlabki tenglamaga qo‘yib, v(t,T) uchun hali noma’lum ikkita funksiya orqali yozish mumkin bo‘lgan yechimlari bo‘lgan bir hil tenglamani olamiz:

(13)

Ushbu formulalarning to'g'riligini to'g'ridan-to'g'ri tekshirish orqali tekshirish mumkin, qolgani kiritilgan funktsiyalarni topishdir.

Dastlabki va chegaraviy shartlar quyidagilarni beradi:

(14)

Bu tenglamalardan t uchun u(t,T) ni allaqachon olishimiz mumkin

(15)

Yechimlarni topish uchun T

(16)

Bu ifodalarni u(t,T`) integrali ostida kiritgan funksiyalarimiz almashtirilgandan keyin olish mumkin. Agar biz birinchi qatordagi qiymatlar ko'payish davri oralig'ida ko'rsatilgan ma'lum boshlang'ich shartdan boshqa narsa emasligini hisobga olsak, differentsiallashgandan so'ng, biz kechiktirilgan argumentli differentsial tenglamani olamiz, lekin faqat agar argumentga bog'liqlik q(lar) yo'q yoki maxsus shaklga ega - exp(lar):

(17)

Bu tenglamalar vaqt oralig'ida ko'rsatilgan boshlang'ich shart bilan to'ldirilishi kerak. Shundan so'ng, tenglamalarni ketma-ket echish mumkin.

Biz bu tenglamalarni yechmaymiz, chunki quyida bu turdagi tenglamalar uchun raqamli yechish umumiyroq shaklda amalga oshiriladi.Olib borilgan hisob-kitoblarning foydaliligi shundaki, ular bunday tenglamalar uchun barqarorlik masalasini qanday yechish haqida maslahat beradi. .

Kechiktirilgan argumentli tenglamalar nazariyasidan xarakteristik tenglama tuziladi.Ammo, ilgari muhokama qilingan xarakteristik tenglamalardan farqli o'laroq, u cheksiz ko'p ildizlarga ega bo'lgan transsendental tenglamadir. Ushbu turdagi xarakterli tenglamalarni echish bilan bog'liq nazariya batafsil tahlil qilinadi. Bu nazariyadan shunday xulosa kelib chiqadiki, chiziqli holatlar uchun chiziqli tenglamalar teoremasiga o'xshash teoremani argumentlarsiz shakllantirish mumkin.

Odatiy turdagi deyarli chiziqli tenglamalar uchun mos formula berilgan. Bizning holatimizda, dan kelib chiqqan holda, uni so'zma-so'z takrorlashimiz mumkin: agar xarakteristik tenglamaning haqiqiy ildizlari manfiy bo'lsa va barcha murakkablari manfiy haqiqiy qismlarga ega bo'lsa, Lyapunovga ko'ra tenglamalar asimptotik barqarordir, aks holda yoki yo'q. barqarorlik (ildizlar yoki ularning haqiqiy qismlari musbat) yoki asimptotik emas (ildizlarning nol real qismining tengligi mavjud).

Bizning holatda, xarakterli tenglamani topish uchun, differensial tenglamalarga o'tishning hojati yo'q, ayniqsa, bu amaliy qiziqarli holatlar maydonini toraytiradi.Biz muhokama qilgan bunday qisqartirish imkoniyati bizga ishonish huquqini beradi. Kechiktirilgan argumentli tenglamalar uchun olingan kuchli natijalar bo'yicha... Hammasi shu.Bu transsendental xarakteristik tenglamaning ildizlari va yechimni ko'rsatkichli qatorda kengaytirish imkoniyati haqidagi teoremalarga ham tegishli. Tenglamaning o'zini olishga kelsak, biz boshqa texnikadan foydalanamiz.Asl tenglamaning yechimini yechimlarning superpozitsiyasi sifatida quyidagicha ifodalash mumkin, deb faraz qilamiz: .

Ushbu ifodani asl tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

(18)

Ushbu usul matematik fizikada chiziqli masalalar uchun keng qo'llaniladi.

ning xarakteristik tenglamasini topish uchun biz qabul qilgan yechim tasvirini chegaraviy shartga almashtirishimiz kerak. Tenglikning ikkala tomonini vaqtni o'z ichiga olgan funktsiyaga qisqartirgandan so'ng, biz xarakteristik tenglamani olamiz:

(19)

Oxirgi tenglik xarakteristik tenglamadir.Qizig‘i shundaki, uni o‘ta ixtiyoriy funksiyalar uchun yopiq shaklda olish mumkin, chunki birinchi tartibli G(T) uchun chiziqli tenglama kvadratlarda yechilgan.Ammo, oddiy ko‘rsatkichli ko‘phad bo‘lmasligi mumkin. olinadi. Lekin ildizlarning xossasi asosan saqlanib qolgan.Biz bu haqda to`xtalib o`tirmaymiz, chunki biz murakkab holatlarni son jihatdan o`rganamiz.

Eng oddiy holatda, funksiyalar T ga bog'liq bo'lmasa, xarakteristik tenglamaning ifodasi ayniqsa oddiy ko'rinadi:

(20)

Bunday tenglamalar ko'rsatkichli ko'phadlar deyiladi. Bunday ko'phadning s ildizlarining joylashuvi yaxshi o'rganilgan. Agar yagona haqiqiy ildiz manfiy ekanligi aniqlansa, unda barcha murakkab ildizlar manfiy haqiqiy qismlarga ega. Bunday holda, diskret versiyada tizimning barqarorligi, raqobatning qo'shilishi o'rmon maydonini barqarorlashtirishga olib keldi. Agar raqobatni kiritishdan oldin o'rmon vaqt o'tishi bilan qisqargan bo'lsa, unda raqobat bu jarayonni yanada kuchaytiradi. Ammo beqaror holatda raqobatning qo'shilishi noan'anaviy barqarorlikka olib keladi.

E'tibor bering, agar faqat raqobat munosabatlari hisobga olinsa ham, barqarorlikni o'rganish nazariy jihatdan imkonsizdir (ammo, vaziyat oddiy chiziqli bo'lmagan tizimlar uchun o'xshash). Bu analitik qiymat ekanligini ko'rsatadi

bir xil vaqt va yosh bosqichlari bilan, oldingi bosqichdan yosh bo'yicha nol nuqtasini tanlash:

(21)

Integralni yosh uchun chegaraviy holatda tasvirlash uchun Simpson formulasidan foydalaniladi.Tenglamalarning o’ng tomonini o’rta nuqtada olamiz.

Biz yosh va vaqtga bog'liq bo'lgan barcha bog'liqliklarni bo'lak-bo'lak silliq funktsiyalar ko'rinishida aniqlaymiz (quyida hisob-kitoblarda bu to'g'ri chiziq segmentlari). Amaldagi bog'liqliklar tadqiqot dasturlariga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi va o'zgarishi mumkin.

Dasturlar shunday tashkil etilganki, ma'lum vaqt bosqichlarini hisoblash va natijani grafikda ko'rsatish mumkin. Shunday qilib, siz profil yaratish jarayonini kuzatishingiz mumkin.

Anjir. 10-rasmda chiziqli model yordamida yosh spektrini hisoblash natijalari ko'rsatilgan.U0 boshlang'ich yosh taqsimoti va vaqtning ketma-ket momentlarida uchta taqsimot ko'rsatilgan. Raqobat bo'lmaganda (o'rmon yosh) tashkil etish jarayonini kuzatishimiz mumkin.Ko'rinib turibdiki, biomassa zichligi ortishi, yosh spektri profilining o'ngga siljishi bilan birga.

10-rasm. Bir yoshli populyatsiyaning yosh spektrining evolyutsiyasi

Raqobat bilan hisoblashda biz raqobat integralini umumiy koeffitsientga kiritamiz. Oldingi bosqichda hisoblab chiqiladi. Aytish kerakki, bunday hisoblashni tashkil etish o'rmon evolyutsiyasi uchun mutlaqo tabiiydir: birinchi navbatda o'zgarishlar ro'y beradi, keyin esa ular raqobat shaklida o'z samarasini beradi.

Ko'rinib turibdiki, raqobat sharoitida biz statsionar rejimga erishamiz: yosh o'rmon etuk o'rmonga aylanadi (11-rasm).

11-rasm. Yosh spektrining evolyutsiyasi

bir yoshli aholi (raqobat bilan)

Xulosa

Ushbu maqolada biz turli usullar asosida qurilgan yoshni hisobga olgan holda o'rmon evolyutsiyasining uchta modelini taqdim etdik. birinchi (§ 2) populyatsiyaning cheklangan yosh guruhlari bo'yicha taqsimlanishini hisobga olgan holda Lesli matritsalariga asoslangan diskret modeldir. Qolgan ikkita model uzluksiz va ulardan birinchisi (§ 3) oddiy differensial tenglamalarga ishora qiladi va oxirgisi (§ 4) - qisman differentsial tenglamalarga.

Adabiyotlar ro'yxati

Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Biologik jamoalarning barqarorligi. M., Nauka, 1978 yil.

Fedorov V.D., Gilmanov T.G. Ekologiya. M., Ed. Moskva davlat universiteti, 1980 yil.

Uilyamson M. Biologik populyatsiyalarni tahlil qilish. M.: Mir, 1975 yil.

Volterra V. Borliq uchun kurashning matematik nazariyasi. M.: Nauka, 1976 yil.

V.I.Kuznetsov “Oʻrmon evolyutsiyasining matematik modeli”, fizika-matematika fanlari nomzodi ilmiy darajasini olish uchun dissertatsiya, M, 1998 y.

Kozlov N.I., Kuznetsov V.I., Kiryanov D.V., Kiryanova E.N. O'rta kenglikdagi o'rmonlarni rivojlantirishning dinamik modellari. Oldindan chop etish IAM RAS M., 2005.

Lesli P.H. Muayyan populyatsiya matematikasida matritsalardan foydalanish haqida. Biometrika, v.33(1945), N3, 183-bet

Godunov S.K., Ryabenkiy V.S. Farq sxemalari."Fan", M. 1973 yil.

Bellman R., Kuk K.L. Differensial-differensial tenglamalar. "Mir", M., 1967 yil.

Godunov S.K. Doimiy koeffitsientli oddiy differensial tenglamalar 1-jild. Ed. NSU, ​​1994 yil.

Kalitkin N.N. Raqamli usullar.“Mir”, M., 1978.

UDK577,4:517,9

MANF TUG'ILGANLIK KO'RSATMALARI UCHUN GETEROGEN LESLIE MODELINI O'zgartirish

BALAKIREVA A.G.

Vaqtning har bir belgilangan nuqtasida (masalan, t0) populyatsiyani ustun vektori yordamida tavsiflash mumkin

Salbiy tug'ilish koeffitsientlariga ega heterojen Lesli modeli tahlil qilinadi. Muayyan universitet doirasidagi professor-o‘qituvchilarning yosh dinamikasi ushbu model asosida o‘rganiladi va bashorat qilinadi.

1.Kirish

Bu yerda xi(tj) tj vaqtidagi i-yosh guruhining soni, i = 1,...,n.

Populyatsiyani vaqtning keyingi nuqtasida, masalan, bir yilda tavsiflovchi X(ti) vektori L o'tish matritsasi orqali X(to) vektori bilan bog'langan:

Aholi sonini uning yosh taqsimotini hisobga olgan holda prognoz qilish va hisoblash dolzarb va qiyin vazifadir. Uning modifikatsiyalaridan biri ma'lum bir korxona yoki umuman sanoat doirasida bir hil professional guruhning yosh tarkibini bashorat qilishdir. Keling, yosh taqsimotining tizimli modelidan foydalangan holda ushbu toifadagi muammolarni hal qilish yondashuvini ko'rib chiqaylik. Ushbu yondashuvning rasmiyatchiligi populyatsiya dinamikasida yaxshi ma'lum bo'lgan Lesli modeliga asoslanadi.

Ushbu ishning maqsadi aholi dinamikasining rivojlanishini bashorat qilish uchun salbiy tug'ilish ko'rsatkichlari holatida heterojen Lesli modelidan foydalanish imkoniyatini ko'rsatishdir.

2. Yosh tarkibini hisobga olgan holda aholi dinamikasi modelini qurish (Lesli modeli)

Lesli modelini qurish uchun aholini cheklangan miqdordagi yosh toifalariga (masalan, n yosh sinflari) bir muddatga bo'lish kerak va barcha sinflar soni diskret vaqt ichida yagona bosqich bilan tartibga solinadi (masalan, , 1 yil).

Yuqoridagi taxminlar va oziq-ovqat resurslari cheklangan emasligi sharti ostida, biz 40 degan xulosaga kelishimiz mumkin

Shunday qilib, L matritsaning tuzilishini va populyatsiyaning boshlang'ich holatini (ustun vektor X(t0)) bilib, biz vaqtning istalgan nuqtasida populyatsiyaning holatini taxmin qilishimiz mumkin:

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0),

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(t0). (1)

Lesli matritsasi L quyidagi shaklga ega:

^ai a2. .. a n-1 a > u-n

0 R 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0. .. R n-1 0 V

bu erda a i - mos keladigan guruhlardan tug'ilgan shaxslar sonini tavsiflovchi yoshga xos tug'ilish ko'rsatkichlari; Pi - omon qolish darajasi i yosh guruhidan i +1 guruhiga keyingi vaqtga o'tish ehtimoliga teng (da-

dan ^Pi 1 dan katta bo'lishi mumkin). i=1

RI, 2011 yil, №1

L matritsasi n o'lchovli Evklid fazosida chiziqli operatorni belgilaydi, biz uni Lesli operatori ham deb ataymiz. X;(t) miqdorlar sonlar ma’nosiga ega bo’lgani uchun ular manfiy emas va bizni Pn n o’lchovli fazoning musbat oktantidagi Lesli operatorining harakati qiziqtiradi. Matritsaning barcha elementlari manfiy bo'lmaganligi sababli (bu holda matritsaning o'zi manfiy emas deb ataladi), har qanday musbat oktant vektori Lesli operatori tomonidan uning chegarasidan tashqariga olinmasligi aniq, ya'ni. X(t j) (j = 1,2,...) traektoriyasi Pn da qoladi. Lesli modelining barcha boshqa xossalari L matritsasining manfiy emasligi va uning maxsus tuzilishidan kelib chiqadi.

(1) tenglama yechimlarining asimptotik harakati L matritsasining spektral xossalari bilan sezilarli darajada bog'liq bo'lib, ularning asosiylari taniqli Perron-Frobenius teoremasi bilan belgilanadi.

Ta'rif. Heterojen Lesli modeli shaklning modelidir

X(tj+i) = L(j)X(to), L(j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2,...,

bu yerda Lj j-bosqichning Lesli matritsasi.

Bir hil bo'lmagan modelning dinamikasi juda yomon o'rganilgan (model (1) dinamikasiga asosan o'xshash bo'lsa-da, u ham ba'zi farqlarga ega). Shu bilan birga, ushbu model, shubhasiz, haqiqiyroqdir.

3. Lesli operatorining spektral xossalari

Ishdan so'ng biz Lesli matritsasining imprimitivlik indeksi tushunchasini ko'rib chiqamiz.

Manfiy bo'lmagan elementlarga ega bo'lmagan L matritsa, agar u maksimal modulga ega bo'lgan aniq bir xarakterli sonni olib yursa, ibtidoiy deyiladi. Agar matritsada maksimal modulli h > 1 xarakterli sonlar bo‘lsa, u imprimitiv deyiladi. h soni L matritsaning imprimitivlik indeksi deyiladi. Lesli matritsasining imprimitivlik indeksi eng kattasiga teng ekanligini ko'rsatish mumkin umumiy bo'luvchi tug'ilish darajasi noldan farq qiladigan yosh guruhlari soni. Xususan, Lesli matritsasining primitivligi uchun

1 > 0 bo'lishi yoki tug'ilish darajasi har qanday ikkita ketma-ket guruhda sodir bo'lishi kifoya, ya'ni. shunday j mavjud ediki, a j F 0 va

Yuqoridagilarni hisobga olib, biz Lesli matritsasining ba'zi xususiyatlarini qayd etishimiz mumkin.

1. L matritsaning xarakteristik polinomi ga teng

An(P) = l1^-L = pn -“gr.n 1

Oson sport,

matematik induksiya usuli bilan oson isbotlangan.

2. A n(p) = 0 xarakteristik tenglama yagona musbat ildiz r1 ga ega bo‘lib, shundayki

Bu erda p - L matritsaning boshqa har qanday xos qiymati. p1 soni L matritsaning X1 musbat xos vektoriga mos keladi.

Xususiyatning 2-bandi to'g'ridan-to'g'ri manfiy bo'lmagan matritsalar haqidagi teorema va Dekart teoremasidan kelib chiqadi.

3. (3) dagi tenglik belgisi tug'ilish koeffitsientlaridan faqat bittasi noldan farqli bo'lgan istisno hollarda yuzaga keladi:

va k > 0, j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n uchun j = 0.

4. p1 qiymati populyatsiyaning asimptotik harakatini belgilaydi. I1 >1 bo'lganda populyatsiya soni cheksiz ortadi va I1 bo'lganda asimptotik nolga intiladi.< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-I-----,-I------,...,-^,1]"

R1R2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

L matritsaning musbat xos vektori faktorgacha aniqlangan.

(4) ko'rinishdagi ajralmaydigan Lesli matritsasi uchun 4 xossaning ko'rsatkichi miqdordir.

R = a1 + £a iP1...Pi-1, i=2

Bu populyatsiyaning reproduktiv salohiyati (ko'payish tezligining umumlashtirilgan parametri), ya'ni R > 1 bo'lsa, u holda p1 > 1 (populyatsiya eksponent ravishda o'sadi), agar R bo'lsa.< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. Tug'ilishning salbiy ko'rsatkichlari holati uchun Lesli modelining modifikatsiyasi

Ishlar faqat salbiy bo'lmagan koeffitsientli Lesli modelini ko'rib chiqdi. Ushbu tanlovning mantiqiy asosi, aniq matematik afzalliklarga qo'shimcha ravishda, omon qolish ehtimoli va tug'ilish ko'rsatkichlari tabiatan salbiy bo'lishi mumkin emas edi. Biroq, populyatsiyani ko'paytirish modellari bo'yicha dastlabki ishlarda, umuman olganda, Lesli matritsasi birinchi qatorining ijobiy bo'lmagan koeffitsientlari bilan modellarni ishlab chiqishning dolzarbligi qayd etilgan. Xususan, reproduktiv bo'lmagan shaxslarning "reproduktiv bo'lmagan" xatti-harakatlari bilan biologik populyatsiyalarni ko'paytirish modellari salbiy koeffitsientlarga ega.

RI, 2011 yil, №1

qaysi yosh guruhlari (tuxum va yosh shaxslarni yo'q qilish va boshqalar). Yangi tug'ilgan chaqaloqlar va boshqa yosh guruhlari vakillari o'rtasidagi resurslar uchun raqobat ham bunga olib kelishi mumkin. Shu munosabat bilan, manfiy bo'lmagan koeffitsientlarga ega bo'lgan Lesli modellari uchun to'g'ri keladigan ergodiklik xususiyati demografik potentsialni ko'paytirish uchun modellarning kengroq sinfida saqlanib qoladimi yoki yo'qmi, dolzarb savol.

Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.

Teorema (Demografik potentsial ko'payish modelining beqarorlik doirasi to'g'risida).

Demografik salohiyatning yosh tarkibi va yashovchi aholi soni berilsin. Keyin l = (p: |p|) doira mavjud< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

Bu doirani beqarorlik doirasi, radiusini esa beqarorlik radiusi deb ataymiz.

Izoh 1. Teoremadan muhim xulosa kelib chiqadi - demografik potentsialning tuzilishi qanday bo'lishidan qat'i nazar, haqiqiy ko'payish tezligining ma'lum qiymatlarida ergodiklik xususiyati kuzatiladi. Xususan, ko'payish matritsasining birinchi qatorida salbiy elementlar va hatto demografik potentsiallarning salbiy qiymatlari bo'lgan modellar ergodiklik xususiyatiga ega bo'lishi mumkin.

Izoh 2. Teoremadan kelib chiqadiki, agar haqiqiy takror ishlab chiqarish koeffitsientining ma'lum bir qiymati uchun model ergodiklik xususiyatiga ega bo'lsa, unda kattaligi katta bo'lgan barcha takror ishlab chiqarish koeffitsientlari uchun ham bu xususiyat mavjud.

5. Universitet professor-o‘qituvchilarining yosh dinamikasini o‘rganish. Raqamli tajriba

Keling, Xarkovdagi universitetlardan birining ma'lumotlariga ko'ra, professor-o'qituvchilarning soni va yosh taqsimoti dinamikasi prognozini ko'rib chiqaylik. O'qituvchilar tarkibining standart, "siqilgan" yosh tarkibi 5 yosh toifasi ko'rinishidagi statistika tomonidan shakllantiriladi. Jadvalda har bir yosh toifasining yillar bo'yicha N soni va bu yosh toifasining umumiy songa nisbatan ulushi ko'rsatilgan.

L j o'tish matritsalarini shunday tuzamiz

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 x 5)). (4)

Buning uchun (2) shakldagi matritsada tug'ilish va omon qolish ko'rsatkichlarini aniqlash kerak. Omon qolish stavkalari tomonidan olinishi mumkin

jadval ma'lumotlaridan foydalangan holda (4) tenglamani to'g'ridan-to'g'ri yechish.

Pedagogik kadrlar tarkibi

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

Jami 854 629 649 657

Tug'ilish darajasiga kelsak, qo'shimcha taxminlar qilish kerak. Pedagogik kadrlar soni har yili o‘n kishiga ko‘paysin. Chunki tug'ilish ko'rsatkichlari a; i yosh guruhidagi shaxslarning o'rtacha tug'ilish qobiliyati sifatida talqin qilinsa, a1, a 5 = 0 va 2 = 7 va 3 = 3 deb taxmin qilish mumkin. Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, biz 4 salbiy ekanligini aniqlaymiz. Bu holat professor-o‘qituvchilar tarkibining bir qismining universitetni tark etishi sifatida talqin qilinadi. Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, L j matritsalari quyidagi shaklga ega:

3 0 0da 0 0. (5)

Biz faqat reproduktiv sinflarni ko'rib chiqamiz. Buning uchun qisqartirilgan matritsaning shaklini o'zgartirish kerak (oxirgi nol ustundan xalos bo'laylik). Va biz 2-bandda ko'rsatilganidek, reproduktivdan keyingi sinflarni hisoblaymiz.

Shunday qilib, yuqoridagi va dastlabki ma'lumotlarni hisobga olgan holda, biz ikkita matritsani olamiz:

a4 = 15, R1 = 0,27, r2 = 1,39, r3 = 0,29 koeffitsientlari bilan (5) ko'rinishdagi Li matritsasi;

a 4 = 11, R1 = 0,381, r2 = 1,64, r3 = 0,43 koeffitsientlari bilan (5) turdagi L2 matritsasi.

L1 va L2 matritsalari mos ravishda 2005-2006 va 2007-2008 yillardagi o'tishlarga to'g'ri keladi. Dastlabki yosh taqsimoti uchun X(t0) = T vektorini olamiz.

Ushbu matritsalar beqarorlik doirasiga kirmaydigan p1 ko'payish koeffitsientlariga ega. Bundan kelib chiqadiki, berilgan ko'payish rejimiga ega bo'lgan populyatsiya ergodiklik xususiyatiga ega.

Berilgan boshlang'ich taqsimotga ega heterojen Lesli modelini qo'llasak, umumiy son uchun n=30 dan boshlab, shart qondirilganligini aniqlaymiz.

RI, 2011 yil, №1

quyidagi shaklni barqarorlashtirish: X(tj+1) = ^1X(tj), j = 20,..., bu yerda q = 1,64 L 2 matritsaning eng katta xos qiymati.

Barqarorlashtirgandan so'ng, yosh toifalarining foiz nisbati quyidagicha: birinchi toifa - 39%, ikkinchi - 14%, uchinchi - 22%, to'rtinchi - 12%, beshinchi -13%.

Eng katta xos qiymat birdan katta bo'lgani uchun bizning modelimiz ochiq. Shu munosabat bilan biz ko'rib chiqmaymiz umumiy soni o'qituvchilar tarkibi va bu raqamning eng katta darajasiga nisbati

L2 matritsasining xos qiymati:

L(j)X(t0)/cc, bu yerda j = 1,2,....

Rasmda 2015 yilgacha professor-o‘qituvchilarning yosh tarkibi dinamikasi ko‘rsatilgan.

Foiz

2004 2005 2007 2008 2013 2015

Vaqt o'tishi bilan yosh toifalaridagi ulushlarning o'zgarishi

Ushbu ko'rsatkichda 10 dan 40 gacha bo'lgan shkala tanlangan, chunki yosh toifalarining foizi ushbu oraliqda.

Prognoz modeli ma'lumotlari, odatda, 50 yoshdan oshgan xodimlar ulushining o'sishiga umumiy tendentsiyani saqlaydi, bu universitetning yosh tarkibining "qarishi" tendentsiyasi davom etayotganligini ko'rsatadi. Ushbu tendentsiyani bartaraf etish uchun birinchi ikki yosh toifasini kamida 23 foizga oshirish va qolgan yosh toifalarini mos ravishda kamaytirish zarurligi aniqlandi.

Ilmiy yangilik shundaki, birinchi marta manfiy tug'ilish ko'rsatkichlari holatida heterojen Lesli modeli ko'rib chiqildi. Bu model nafaqat tug'ilishni, balki pregenerativ davrda shaxslarning o'lim darajasini ham hisobga olish imkonini beradi, bu esa modelni yanada realroq qiladi. Salbiy koeffitsientlarning mavjudligi Lesli modeli dinamikasini o'rganish metodologiyasini asosiy o'ziga xos qiymatning tegishli lokalizatsiya mintaqasini (beqarorlik doirasi) hisobga olgan holda tubdan o'zgartiradi.

Amaliy ahamiyati: ushbu model har bir yosh guruhidagi tug'ilish va o'limni hisobga olgan holda aholi soni va uning yosh tarkibidagi o'zgarishlarni taxmin qilish imkonini beradi. Xususan, Xarkov shahridagi bir qancha oliy o‘quv yurtlarini qamrab olgan real statistik ma’lumotlardan foydalanib, professor-o‘qituvchilar tarkibidagi yoshga bog‘liq o‘zgarishlar dinamikasi prognozi ishlab chiqilgan. Prognoz ma'lumotlari haqiqiy ma'lumotlar bilan juda yaxshi bog'liq.

Adabiyot: 1. Lesli P.H. Muayyan populyatsiya matematikasida matritsalardan foydalanish to'g'risida // Biometrika. 1945.V.33, N3. P.183212. 2. Zuber I.E., Kolker Yu.I., Poluektov R.A. Populyatsiyalarning kattaligi va yosh tarkibini nazorat qilish // Kibernetika muammolari. 25-son. B.129-138. 3. Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. Matematik modellar biologik ishlab chiqarish jarayonlari. M .: nashriyot uyi. Moskva davlat universiteti, 1993. 301 b. 4. Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Biologik jamoalarning barqarorligi. M.: Nauka, 1978.352 b. 5. Gantmakher F. P. Matritsalar nazariyasi. M.: Nauka, 1967.548 b. 6. Logofet D.O., Belova I.N. Salbiy bo'lmagan matritsalar populyatsiya dinamikasini modellashtirish vositasi sifatida: klassik modellar va zamonaviy umumlashtirishlar // Asosiy va. Amaliy matematika. 2007.T. 13. jild. 4. B.145-164. 7. Kurosh A. G. Oliy algebra kursi. M.: Nauka, 1965. 433 b.

Uslub belgisi: Lesli Uayner

MATN: Alla Anatsko

Model, shoir va qo'shiqchi Lesli Uayner modadan hafsalasi pir bo'ldi, chunki u tashqi ko'rinishiga qarab baholandi. Ammo moda yana bir bor Winerni hayratda qoldiradi. Va shuning uchun ham.

Dunyodagi birinchi androgin model, Basquiat va Burroughsning do'sti, Valentino va Miss Diorning yuzi, ajoyib aqlning jangchisi, shoir va musiqachi, ularsiz Massive Attack va Portishead mavjud bo'lmas edi - bularning barchasi Lesli Uaynerdir. , ziyoli va o'z ixtiyori bilan begona bo'lib, u, ehtimol, trip-hopni ixtiro qilgan. Nega bir necha o'n yillar o'tgach, moda sanoati Lesli haqida unutmaydi?

Birinchi androgin model

Nyu-York, 1979 yil. OK, Lesli, model va kult musiqachi Lesli Uayner bilan birga "I Sat Back" trekini yozadigan Vinsent Gallo ijrosidagi sehrni ishga solish vaqti o'ttiz yildan oshdi. Yosh Viner Massachusetsdan dunyoning asosiy poytaxtiga - maktabga kirish uchun ko'chib o'tadi tasviriy san'at kontseptsiya san'ati kashshofi Jozef Kosuthning kursiga. Uy-joy va o'quv materiallari uchun to'lash uchun Lesli qo'shnisiga porno-romanlar yozishga yordam beradi va keyinchalik Uilyam Berrouzning yordamchisi va himoyachisi bo'ladi. U tezda Elite Model Management bilan shartnoma tuzadi - uning birinchi kompozitsiyasi beshta fotosuratni o'z ichiga oladi. Ular mutlaqo an'anaviy qiz: hozircha savdo belgisi tikanli ko'rinish va androgyny haqida hech qanday ishora yo'q.

1980 yilda allaqachon Lesli sochlarini kesgan - uning portfelida Paolo Roversi va Piter Lindberg tomonidan olingan suratlar paydo bo'lgan. Shunday qilib, Jan-Pol Gotye uni chaqirganidek, "dunyodagi birinchi androgin modeli" ning karerasi boshlanadi. Lesli o'zini yomon tutadi va ziyofatlarda zavqlanadi, Jan-Mishel Basquiat bilan qisqa munosabatda bo'ladi, lekin yaxshi ishlaydi - uni Helmut Nyuton va Irving Penn suratga olishgan, uni italyan va frantsuz Vogue, buyuk The Face va O'sha yillarda mashhur bo'lgan "Mademoiselle" jurnali. U o'ziga xos, yaxshi mashq qilingan burchakka ega bo'lib, uni tan oladi, yon tomonga qarash va yirtqich erkak ko'z qisib, keyinchalik bu deyarli klişega aylanadi. ommaviy madaniyat- Hilari Suonk ularni "Bolalar yig'lamaydi" filmida takrorlaydi va Ruby Roseni vulgar qiladi.

Vogue AQSh, 1981 yil oktyabr

Vogue AQSh, 1982 yil noyabr

Vogue AQSh, 1982 yil iyul

Endi Lesli 80-yillarning supermodeli deb ataladi, garchi Uinerning o'zi zaharli tarzda hazil qiladi: “Bu qanday axmoqlik? O'sha paytda hatto bunday tushuncha ham mavjud emas edi. Men juda ko'p narsalarni qildim va men alkogol edim, tamponlardan foydalanardim - model sifatida ishlaganimdan ancha uzoqroq va juda ham ishtiyoq bilan."

("nuqtalar":[("id":1,"xususiyatlar":("x":0,"y":0,"z":0,"shaffoflik":1,"scaleX":1,"scaleY ":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":3,"properties":("x":778,"y":0,"z ":0,"opacity":1,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":4," xossalari":("x":778,"y":0,"z":0,"opacity":0,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY": 0,"rotationZ":0))],"qadamlar":[("id":2,"properties":("duration":0,8,"delay":0,"bezier":,"ease":" Power2.easeInOut","automatic_duration":true)),("id":5,"properties":("duration":0.1,"delay":0,"bezier":,"ease":"Power2.easeInOut ","avtomatik_davomiylik":true))],"transform_origin":("x":0,5,"y":0,5))

Moda umidsizlik va Witch albomi

WITCH albom qopqog'i

Vogue Italia, 1989 yil sentyabr

Lesli faol ravishda suratga tushdi va butun dunyo bo'ylab sayohat qildi, lekin u klublarda ham muvaffaqiyatli janjal qildi - Parijdan Tokiogacha bo'lgan eng zamonaviy muassasalarga kirish unga abadiy yopiq edi. 1980-yillarning o'rtalarida u o'zini Londonda topdi va u erda mahalliy metro vakillari bilan birga turardi va Leigh Bowery Taboo klubida dam olishni boshladi. Qaysidir payt Uiner o‘zining yangi yaltiroq qiyofasiga ko‘nikib qolgandi – erkakning ko‘ylagi, sochi to‘zg‘igan, tishlaridagi sigaret va linzalardagi o‘rta barmog‘i; lekin uning hayotini behuda sarflayotgani va adabiy iste'dodidan to'liq foydalanmayotganini tushunish unga model yoki ilhomlantiruvchi martaba bilan kelishishga imkon bermadi. Londonda qolish uchun Lesli tezda sobiq baschi Adamga uylanadi va Chumolilar - hujjatlar uchun; To'y guvohlari uning qo'shnilari va Bowery do'stlari: rejissyor Jon Meyberi va to'ydan bir necha oy o'tgach, haddan tashqari dozadan vafot etgan rassom Troyan. Bu o'lim bilvosita Uinerni qo'shiqchiga aylantiradi: Maks, erining yangi guruhi, rassomga hurmat ko'rsatishga qaror qiladi va ilgari faqat qo'shiqlar yozgan Lesli o'zini vokalchi sifatida sinab ko'radi. Uning debyut treki 337.5537's Little Ghost deb nomlangan bo'lib, u erda terish kodi aslida Basquiat tomonidan ixtiro qilingan teg bo'lib chiqdi va Uinerning ismini raqamlar bilan ifodalagan - LESSLEE.

Keyinchalik Uiner va uning eri Sinead O'Konnor uchun trekni o'ylab topishdi, lekin Leslining o'zi norozi bo'lib qolaverdi - unga Maks guruhining musiqa yozish usuli yoqmadi, u hamkasblarida hech qanday kuch his qilmadi. Yaxshiyamki, uning hayotida namuna paydo bo'ldi: afsonaviy prodyuser Trevor Xorn - uning ish uslubi Leslini kuchga ega bo'lishga va birinchi "Kind of Easy" trekini chiqarishga majbur qildi, uning pirat nusxalari to'satdan tor doiralarda mashhur bo'ldi. Keyingi qadam Lesli mualliflik huquqi ramzi bo'lgan grafik taxallusi ostida yozgan "Jodugar" to'liq metrajli albomi bo'lib, jamoatchilik "ilgari Shahzoda sifatida tanilgan qo'shiqchi" deb nomlangan hodisaga duch kelishidan uch yil oldin. Ammo istehzoli tomoni shundaki, yozuv faqat uch yildan keyin - 1993 yilda chiqarilgan.

Vogue Buyuk Britaniya, 1990 yil may

Lesli Uayner va rassom Toni Viramontes

Albom aynan Lesli Uaynerning o'ziga xos sehrining timsoliga aylandi: u o'z qo'shiqlarini, go'yo butunlay o'ylamasdan, o'tkir siyosiy va o'ziga xos jozibasi bilan talaffuz qiladi. ijtimoiy muammolar ular shunchalik oddiy va dahshatli eshitiladiki, o'zingizni yirtib tashlab bo'lmaydi - va bularning barchasi chuqur bass bilan. O'sha paytda Uiner deyarli eng siyosiylashgan ijrochi bo'lib chiqdi, lekin u er ostida qoldi - u jadvallarga unchalik intilmadi, lekin xohlamasdan trip-xop bilan chiqdi. Winerning ishi va texnikasi Massive Attack, Tricky va Portishead treklarida tobora ko'proq namoyon bo'lmoqda, garchi ba'zi tanqidchilar MNE jurnalining Winerni "trip-xopning buvisi" degan fikrini bir oz munozarali deb bilishadi: albom chiqqan paytda, xuddi shu Massive. Hujum allaqachon faol edi va qalin bass 1990-yillarning boshlarida deyarli har ikkinchi musiqiy tajriba uchun asos bo'ldi. Boshqa tomondan, mashhur Bristol ovozi endigina shakllanayotganda, havoda oddiy bir narsa bor edi, bu nafaqat ijro uslubi, balki kayfiyat va eng muhimi, xarakterli distopik qo'shiqlar - va Lesli buni hammadan oldin ushladi. .

Twiggy- haqiqiy ismi Lesli Xornbi. 60-yillar - yoshlar qo'zg'olonlari davri - ko'p yoshlar moslashishni, itoat qilishni yoki o'zlarini tashlab ketishni istamaganlarida, ular zavq bilan yashashni xohlashdi. Ular ota-onalari, cherkov va davlat hokimiyatiga qarshi isyon ko'tardilar va yangi qadriyatlarni qidira boshladilar. Avlodlar o'rtasidagi bunday to'qnashuvlar doimo sodir bo'lgan. G‘ayrioddiy jihati shundaki, yoshlar nafaqat norozilik bildirishdi, balki yangi qadriyatlar, yangi madaniyat yaratdilar.

Albatta, bu davrda yangisi paydo bo'lishi kerak edi. O'sha paytda turlari va Brigitte Bardot mashhur bo'lib qoldi. Ammo yangi idealning timsoli Twiggy modeli edi - vazni bor-yo'g'i 45 kilogramm va bo'yi 169 sm bo'lgan o'n olti yoshli ingliz ayol.U London chekkasida tug'ilgan, 16 yoshida Twiggy sartarosh Leonardo bilan tanishgan va unga aylangan. go'zallik salonining yuzi. Twiggyning qisqa sochli model sifatidagi birinchi fotosessiyasi Barri Lategan tomonidan amalga oshirilgan. Aynan u Lesli Xornbi - Twiggy uchun unutilmas taxallusni o'ylab topdi.

London gazetasining jurnalistlaridan biri salon oynasida Tviggi suratini ko'rdi va uning portretini gazetada "1966 yil yuzi" sarlavhasi ostida chop etdi. Xuddi shu yili Twiggy dunyodagi eng mashhur modelga aylandi.

U bor-yo‘g‘i uch yil model bo‘lib ishlagandan so‘ng shu qadar boyib ketdiki, 19 yoshida nafaqaga chiqishga muvaffaq bo‘ldi. Twiggy - ingichka novda deb tarjima qilingan - millionlab odamlarning butiga aylangan birinchi model edi. U ko‘chaga chiqqanida, atrofiga olomon to‘plandi.

Twiggy modeli Ko'p yillar davomida u moda modellarining shubhasiz malikasi bo'lib qoldi. U musiqachilar va aktyorlar bilan bir qatorda modellarni pop madaniyatining ajralmas qismiga aylantirish jarayonini boshlagan birinchi moda modeli edi.

Twiggy tasvirni eng yaxshi aks ettirgan, yoshlik va poklik bilan nafas olgan.

Mayli x i(k) , populyatsiyadagi individlar soni qayerda i vaqt bo'yicha diskret nuqtalarda th yosh guruhi k. Individlarning ko'payishi, o'lishi va bir yosh guruhidan ikkinchisiga o'tish jarayonlarini quyidagicha rasmiylashtirish mumkin (Rozenberg, 1984). Birinchidan, keling, hozirgi paytda aholining ahvolini aniqlaylik k+ 1 hozirgi holatga bog'liq k. Birinchi guruh soni ( k= 1) bitta vaqt oralig'ida barcha boshqa guruhlarning yangi tug'ilgan avlodlari sonini ifodalaydi; Ma'lum bir yosh guruhidagi shaxslar ushbu guruhdagi shaxslar soniga to'g'ridan-to'g'ri mutanosib ravishda nasl tug'diradi, deb ishoniladi:

Qayerda f i- tug'ilish darajasi i th yosh guruhi. bilan belgilasak dj<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы j guruhga j+ 1, keyin yozishimiz mumkin n- 1 turdagi nisbat:

Keyin va ni birlashtirib, tizimni yozishimiz mumkin n aholining yosh tarkibining diskret modelini ifodalovchi farq tenglamalari. Matritsa shaklida bizda:

x(k + 1) = Lx(k),

Qayerda x(k) = {x i(k)) - alohida yosh guruhlari raqamlari vektori va

- tug'ilish va omon qolish darajasi matritsasi

Agar biz buni batafsilroq tavsiflasak, biz quyidagilarni olamiz:

Eng chap ustun vektori bir vaqtning o'zida turli yoshdagi shaxslar sonini aks ettiradi k+1, va eng o'ng ustun vektori - bir vaqtning o'zida turli yosh guruhlaridagi shaxslar soni k. Tug'ilish va omon qolish darajasi matritsasi bir holatdan ikkinchi holatga o'tish matritsasi hisoblanadi.

Istalgan vaqtda aholining yosh tarkibini hisoblash uchun biz oddiy munosabatlardan foydalanamiz:

x(k + 1) = Lx(k)

x(k + 2) = Lx(k+1) =LLx(k) = L 2 x(k)

x(k+m) = L m x(k)

Bu model Lesli modeli sifatida tanilgan (Leslie, 1945).

Kvadrat matritsa L manfiy emas (uning barcha elementlari manfiy emas). Lesli matritsasi ajralmas bo'lishi uchun (ya'ni, uni satrlar va mos ustunlarning har qanday almashtirish orqali shaklga keltirish mumkin emas):

Qayerda A Va B kvadrat submatritsalar), bu zarur va etarli. Biologik jihatdan bu holat shuni anglatadiki n Bu maksimal mumkin bo'lgan emas, balki shaxslarning eng katta reproduktiv yoshi.

Tizimning xarakteristik tenglamasi quyidagi shaklga ega:

Qayerda E- asosiy diagonalda birlari bo'lgan matritsa va uning barcha boshqa shartlari nolga teng.

Lesli matritsasi manfiy bo'lmagan va bo'linib bo'lmaydigan bo'lganligi sababli, Perron-Frobenius teoremasiga muvofiq, xarakteristik tenglama haqiqiy ijobiy xarakterli songa ega (boshqa xarakterli raqamlar orasida maksimal), bu oddiy ildizdir. tenglama. Bundan tashqari, dan beri, tenglamaning nol ildizlari yo'q. Ushbu shartlardan kelib chiqadiki, tizimning asimptotik yechimi etarlicha katta k xos qiymat l 1 (barchasi maksimal) va tegishli xos vektor bilan aniqlanadi. b 1 Lesli matritsasi:

Qayerda Bilan 1 - vektorning boshlang'ich taqsimotining koordinatalariga bog'liq ba'zi doimiy x(0).

Agar l 1 >1 bo'lsa, aholi o'sadi ( x(k) o'sishi bilan ortadi k). Agar l 1<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. P(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1, ya'ni. shunga o'xshash aholi o'sishi holati (5-formulaga qarang). P(1)>0 o'limga to'g'ri keladi va P(1) = 0 – statsionar aholi soni. Shunday qilib, l 1 xos qiymatini aniqlamasdan, matritsa shaklidan vaqt o'tishi bilan simulyatsiya qilingan populyatsiyaning tabiati haqida sifatli xulosalar chiqarish mumkin.

Lesli modelining kamchiliklari Maltus modelining kamchiligiga o'xshaydi - bu aholi sonining cheksiz o'sishi l 1 >1 bo'lib, bu faqat ayrim populyatsiyalar o'sishining dastlabki fazalariga to'g'ri keladi (Rozenberg, 1984).

Lesli modeli Shell qo'ylarining yosh tuzilishini tavsiflash uchun ishlatilgan ( Helictotrichon schellinum). Bu shimoliy o'tloqli dashtlarning bo'shashgan buta kichik o'ti. A.N. Cheburaeva (1977) Penza viloyatining Poperechenskaya dashtida turli yillarda (1970-1974) umumiy maydoni 50 m2 bo'lgan suv havzasi platosida yosh guruhlari bo'yicha ushbu donning shaxslari sonining taqsimlanishini o'rgangan. Har yili 200 ta uchastkada 0,5×0,5 m boʻlgan qoʻylar sonini hisoblash ishlari olib borildi.Kuzatuvlarning bunday koʻp takrorlanishi har bir yosh guruhidagi individlar soni boʻyicha olingan baholarni ancha barqaror deb hisoblash imkonini beradi. Tadqiqotchi to'qqiz yosh guruhini aniqladi:

· nihollar Va otadi

· pregenerativ shaxslar ( voyaga etmagan, etuk emas Va yosh vegetativ)

· generativ shaxslar ( yosh, etuk Va eski)

· tug'ruqdan keyingi shaxslar ( subsenile Va qarilik)

Ob-havo sharoitining Shell qo'ylarining kenopopulyatsiyasi dinamikasiga ta'sirini hisobga olish uchun (1972 yil qurg'oqchilik yili bo'lgan) mutlaq raqamlardan nisbiy raqamlarga o'tish kerak. Har bir yosh guruhi uchun teng oraliqlarda quyidagi nisbat bajarilishi kerak: x i + 1 (k + 1) < x men( k), ya'ni. keyingi vaqt oralig'ida katta yoshdagi guruhda hozirgi vaqtda yosh guruhdagidan ko'proq shaxslar bo'lmasligi kerak. Shu munosabat bilan, A.N.ning birinchi etti yosh sinflari. Cheburaeva birlashgan edi. Modelni yaratish uchun dastlabki ma'lumotlar jadvalda keltirilgan. 1.

1-jadval

Turli yosh guruhlari uchun Shell qo'ylari kenopopulyatsiyasining mutlaq va nisbiy soni (A.N. Cheburaeva bo'yicha, 1977 yil)

O'zgartirishga qaramay, 1972 yilgi ma'lumotlar hali ham boshqacha, shuning uchun Lesli modeli mo'l-ko'llikni aniq bashorat qilishini kutmaslik kerak. Aniqroq prognozni olish uchun Lesli matritsasi koeffitsientlari ob-havo sharoitlariga bog'liq bo'lishi kerak.

Matritsani qurish uchun L Biz uning koeffitsientlarining mumkin bo'lgan qiymatlari haqida ba'zi fikrlardan foydalanamiz. Shunday qilib, tug'ilish ko'rsatkichlari f i barcha generativ holatlarni o'z ichiga olgan birinchi guruhdan eski o'simliklarga o'tish davrida ular kamayishi kerak. Omon qolish stavkalari d i taxminan teng qabul qilingan (shaxslarning yarmi birinchi guruhdan ikkinchisiga o'tadi, ikkinchidan ikkinchisiga bir oz kamroq). Nihoyat, Lesli matritsasi quyidagicha ko'rinadi:

Lesli modeli uchun xarakteristik tenglama Ushbu holatda uchinchi darajali ko'phaddir:

Buni tekshirish oson P(1) = 0,23>0 P. Lesli nazariyasiga ko'ra, kuzatilgan vaqt oralig'ida ma'lum bir tsenopopulyatsiyaning qarishi va qurib ketishini ko'rsatadi.

Xarakteristik tenglamaning ildizlarini hisoblaymiz. Buning uchun biz foydalanamiz Kardano formulasi. Shaklning kub tenglamasini yechish algoritmini ko'rib chiqing:

Keling, almashtiramiz:

Biz tenglamani olamiz:

Aytaylik, ildizning qiymati ikki miqdorning yig'indisi sifatida ifodalanadi y = a + b bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Keling, ifodani tenglashtiramiz (3 ab + p), keyin biz tenglamadan tizimga o'tishimiz mumkin:

tizimga teng:

Ikki ildiz uchun Vietaning formulalarini oldik kvadrat tenglama (α 3 - birinchi ildiz; β 3 - ikkinchi ildiz). Bu yerdan:

– tenglamaning diskriminanti.

Agar D>0 bo'lsa, tenglama uch xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi.

Agar D = 0 bo'lsa, unda kamida ikkita ildiz mos keladi: tenglamaning qo'sh haqiqiy ildizi va boshqa, boshqa haqiqiy ildizi bor yoki uchta ildizning barchasi bir-biriga mos keladi va bir nechta uchta ildizni hosil qiladi.

Agar D<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Shunday qilib, kanonik shakldagi kub tenglamaning ildizlari:

Qayerda i= - xayoliy son.

Ushbu formulani kub ildizining har bir qiymati uchun qo'llashingiz kerak (kub ildizi har doim uchta qiymat beradi!) va shart bajarilishi uchun ildiz qiymatini oling:

Tekshirish uchun quyidagi aloqalardan foydalanish mumkin:

Qayerda d≠ 0

Qayerda d≠ 0

Nihoyat:

Bizning holatda: a = 1; b = –0,6; c = –0,15; d = –0,02;

D= – 0,03888, D<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Keyinchalik, yuqoridagi formulalardan foydalanib, xarakterli tenglamaning o'ziga xos qiymatlarini topamiz: l 1 = 0,814; l 2 = – 0,107 + 0,112 i; l 3 = – 0,107 – 0,112 i, Qayerda i= - xayoliy son. Shunday qilib, xarakteristik tenglama bitta haqiqiy va ikkita murakkab ildizga ega. l 1 - bu tenglamaning maksimal ildizi va l 1 bo'lgani uchun<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

Bundan tashqari, Yu.M. Svirjev va D.O. Logofet (1978), umumiy sonda davriy tebranishlar mavjudligining oddiy va etarli sharti quyidagi ifodalardir:

Shu munosabat bilan, l 1 >max (0,5; 0,4) bo'lgani uchun, Shell qo'ylari kenopopulyatsiyasi hajmining davriy tebranishlari mavjudligini kutish kerak.

Lesli modeli doirasida kuzatilgan A.N. Cheburaeva fenomeni - bu qo'y tsenopopulyatsiyasining qarishi va bir necha yillar davomida odamlarning yosh spektri bo'yicha taqsimlanishida tebranishlarning mavjudligi. Shaklda. 1-rasmda aniqlangan har bir yosh guruhlari uchun shaxslar sonining dinamikasi ko'rsatilgan. Model qoniqarli prognozni berishi uchun matritsa koeffitsientlari bo'lishi kerak. L doimiy emas, balki ob-havo sharoitlariga bog'liq edi. Agar biz Lesli modelini hosil bo'lgan vektor uchun normalizatsiya shartlari bilan to'ldirsak x(k+1) shunday qilib, butun populyatsiya hajmining yig'indisi o'sha paytdagi kuzatilgan umumiy hajmga teng bo'ladi k+1, keyin ob-havo sharoitlarining ta'siri bilvosita hisobga olinadi. Bu holda model quyidagicha ko'rinadi:

x(k+1) = Lx(k), ,

Qayerda X(k+1) - bir vaqtning o'zida umumiy aholi soni k+1 (boshqa belgilar Lesli modeliga o'xshaydi). Shunday qilib, turli yillarda ma'lum bir kenopopulyatsiya individlarining umumiy sonini bilish, umumiy biologik mulohazalar asosida Lesli matritsasini qurish va x(1) 1970 yildagi qo'ylarning yosh guruhlari bo'yicha taqsimlanishi, boshqa yillarda shaxslarning yosh guruhlari bo'yicha taqsimlanishini qayta tiklash mumkin.

Senopopulyatsiyaning mutlaq hajmini hisoblash Helictotrichon schellinum turli yoshdagi turli yoshdagi guruhlar uchun quyidagi tarzda amalga oshiriladi. Biz 1970 yil uchun dastlabki ma'lumotlarni olamiz va ularni matritsaga almashtiramiz. Matritsani ko'paytirishni tegishli qoidalarga muvofiq bajaramiz. Biz 1971 yil uchun turli yosh guruhlari raqamlari bilan yangi matritsani olamiz.

Biz buni har yili har safar takrorlaymiz. Natijalarni jadvalga kiritamiz, Lesli modeli yordamida shaxslarning umumiy sonini hisoblaymiz va uni empirik ma'lumotlar bilan taqqoslaymiz. Keyinchalik, biz tuzatish koeffitsientini kiritamiz va model bo'yicha hisob-kitoblarni umumiy songa moslashtiramiz (2-jadval).

jadval 2

Lesli modeli va empirik ma'lumotlarga ko'ra turli yosh guruhlari uchun Shell qo'ylari kenopopulyatsiyasining mutlaq hajmi

Yosh guruhi
empirik ma'lumotlar	model Leslie	empirik ma'lumotlar	model Leslie		empirik ma'lumotlar	model Leslie	Lesli modeli umumiy aholi soniga moslashtirilgan	empirik ma'lumotlar	model Leslie	Lesli modeli umumiy aholi soniga moslashtirilgan	empirik ma'lumotlar	model Leslie	Lesli modeli umumiy aholi soniga moslashtirilgan
Ko'chatlar, pregenerativ va generativ shaxslar				280,1	160,9		231,9	31,5		188,9	158,1		153,7	75,1
Subsenile shaxslar				193,0	110,9		140,1	19,0		116,0	97,1		94,5	46,2
Keksa shaxslar				59,6	34,2		77,2	10,5		56,0	46,9		46,4	22,7
Umumiy soni				532,7			449,2			360,9			294,6