Qattiq jismning inersiya momenti. §13. Ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momenti haqida Shtayner teoremasi.

Jismning (tizimning) ma'lum o'qqa nisbatan inersiya momenti Oz (yoki eksenel inersiya momenti) tananing (tizimning) barcha nuqtalari massalari ko'paytmalarining yig'indisidan farq qiladigan skalyar kattalikdir. ularning bu o'qdan masofalarining kvadratlari:

Ta'rifdan kelib chiqadiki, tananing (yoki tizimning) har qanday o'qqa nisbatan inersiya momenti musbat miqdor va nolga teng emas.

Kelajakda, jismning aylanish harakatida aksial inersiya momenti, harakat paytidagi massa bilan bir xil rol o'ynashi, ya'ni eksenel inersiya momenti tananing aylanish paytidagi inertsiyasining o'lchovi ekanligi ko'rsatiladi. harakat.

Formula (2) bo'yicha, tananing inersiya momenti summasiga teng uning barcha qismlarining bir xil o'qqa nisbatan inersiya momentlari. O'qdan h masofada joylashgan bitta moddiy nuqta uchun, . SIda inertsiya momentini o'lchash birligi 1 kg bo'ladi (MCGSS tizimida -).

Eksenel inersiya momentlarini hisoblash uchun nuqtalarning o'qlardan masofalarini ushbu nuqtalarning koordinatalari orqali ifodalash mumkin (masalan, Ox o'qidan masofaning kvadrati bo'ladi va hokazo).

Keyin o'qlarga nisbatan inersiya momentlari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Ko'pincha hisob-kitoblar paytida aylanish radiusi tushunchasi qo'llaniladi. Jismning o'qqa nisbatan inertsiya radiusi tenglik bilan aniqlangan chiziqli kattalikdir.

bu erda M - tana massasi. Ta'rifdan kelib chiqadiki, inersiya radiusi geometrik jihatdan butun tananing massasi to'planishi kerak bo'lgan nuqta o'qidan masofaga teng bo'lib, bu bir nuqtaning inersiya momenti inersiya momentiga teng bo'ladi. butun tananing.

Inersiya radiusini bilgan holda, (4) formuladan foydalanib, tananing inersiya momentini va aksincha.

(2) va (3) formulalar ikkalasi uchun ham amal qiladi qattiq, va har qanday moddiy nuqtalar tizimi uchun. Qattiq jismda uni elementar qismlarga ajratsak, chegarada (2) tenglikdagi yig'indi integralga aylanishini topamiz. Natijada, zichlik qayerda va V - hajm ekanligini hisobga olsak, biz olamiz

Bu yerdagi integral jismning butun V hajmiga tarqaladi va zichlik va masofa h jism nuqtalarining koordinatalariga bog'liq. Xuddi shunday, qattiq jismlar uchun formulalar (3) shaklni oladi

Formulalar (5) va (5) bir jinsli jismlarning inersiya momentlarini hisoblashda foydalanish uchun qulaydir. to'g'ri shakl. Bunday holda, zichlik doimiy bo'ladi va integral belgisidan tashqariga tushadi.

Ayrim bir jinsli jismlarning inersiya momentlari topilsin.

1. Uzunligi l va massasi M bo'lgan yupqa bir jinsli tayoq. Uning sterjenga perpendikulyar bo'lgan va A uchidan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblab chiqamiz (275-rasm). Keling, AB bo'ylab to'g'ri kelaylik koordinata o'qi Keyin d uzunlikdagi har qanday elementar segment uchun qiymat , massa esa , bu erda novda uzunligi birlik massasi. Natijada (5) formula beradi

Bu erda uning qiymati bilan almashtirib, biz nihoyat topamiz

2. Radiusi R va massasi M bo‘lgan yupqa dumaloq bir jinsli halqa. Uning o‘qqa nisbatan inersiya momenti topilsin. tekislikka perpendikulyar halqa va uning markazidan o'tib C (276-rasm).

Halqaning barcha nuqtalari o'qdan uzoqda joylashganligi sababli (2) formulani beradi

Shuning uchun, uzuk uchun

Shubhasiz, M massasi va radiusi R bo'lgan yupqa silindrsimon qobiqning o'z o'qiga nisbatan inersiya momenti uchun ham xuddi shunday natija olinadi.

3. Radiusi R va massasi M bo'lgan yumaloq bir jinsli plastinka yoki silindr. Yumaloq plastinkaning plastinkaga perpendikulyar bo'lgan va uning markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblaymiz (276-rasmga qarang). Buning uchun radius va kenglikdagi elementar halqani tanlaymiz (277-rasm, a). Ushbu halqaning maydoni , massa esa plastinkaning birlik maydoniga to'g'ri keladigan massadir. Keyin, formula (7) ga ko'ra, tanlangan elementar halqa uchun va butun plastinka uchun bo'ladi

Qattiq tana bo'lsin. Keling, OO to'g'ri chiziqni tanlaymiz (6.1-rasm), biz uni o'q deb ataymiz (OO to'g'ri chiziq tanadan tashqarida bo'lishi mumkin). Keling, tanani massalari bilan elementar bo'limlarga (moddiy nuqtalarga) ajratamiz
o'qdan uzoqda joylashgan
mos ravishda.

Moddiy nuqtaning o‘qqa (OO) nisbatan inersiya momenti moddiy nuqta massasining ushbu o‘qgacha bo‘lgan masofasining kvadratiga ko‘paytmasidir:

. (6.1)

Jismning o'qqa (OO) nisbatan inersiya momenti (MI) tananing elementar bo'limlari massalarining o'qqa bo'lgan masofasining kvadratiga ko'paytmasining yig'indisidir:

. (6.2)

Ko'rib turganingizdek, tananing inersiya momenti qo'shimcha miqdordir - ma'lum bir o'qqa nisbatan butun tananing inersiya momenti uning alohida qismlarining bir xil o'qqa nisbatan inersiya momentlari yig'indisiga teng.

Ushbu holatda

.

Inersiya momenti kgm 2 da o‘lchanadi. Chunki

, (6.3)

qayerda  - moddaning zichligi;
- hajm i- keyin bo'lim

,

yoki cheksiz kichik elementlarga o'tish,

. (6.4)

Jismning massa markazidan o'tuvchi simmetriya o'qiga nisbatan muntazam shakldagi bir jinsli jismlarning MI ni hisoblash uchun (6.4) formuladan foydalanish qulay. Masalan, generatrixga parallel ravishda massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan silindrning MI uchun bu formulani beradi.

,

Qayerda T- vazn; R- silindrning radiusi.

Shtayner teoremasi ma'lum o'qlarga nisbatan jismlarning MI ni hisoblashda katta yordam beradi: jismlarning MI. I har qanday o'qga nisbatan bu tananing MI yig'indisiga teng I c tananing massa markazidan o'tadigan va berilganiga parallel bo'lgan o'qga nisbatan va tana massasining masofa kvadratiga ko'paytmasi d ko'rsatilgan o'qlar orasida:

. (6.5)

Eksa atrofida kuch momenti

Kuch tanaga ta'sir qilsin F. Oddiylik uchun kuch deb faraz qilaylik F qandaydir OO to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar tekislikda yotadi (6.2-rasm, A), biz o'q deb ataymiz (masalan, bu tananing aylanish o'qi). Shaklda. 6.2, A A- kuch qo'llash nuqtasi F,
- o'qning kuch yotadigan tekislik bilan kesishish nuqtasi; r- nuqta o'rnini belgilovchi radius vektor A nuqtaga nisbatan HAQIDA"; O"B = b - kuch yelkasi. O'qga nisbatan kuch qo'li - o'qdan kuch vektori yotadigan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan eng kichik masofa. F(nuqtadan chizilgan perpendikulyar uzunligi bu qatorga).

Eksaga nisbatan kuch momenti tenglik bilan aniqlangan vektor miqdoridir

. (6.6)

Ushbu vektorning moduli . Shuning uchun ba'zan ular kuchning o'qga nisbatan momentini kuch va uning qo'lining hosilasi deb aytishadi.

Agar kuch F o'zboshimchalik bilan yo'naltiriladi, keyin uni ikki komponentga ajratish mumkin; Va (6.2-rasm, b), ya'ni.
+, Qayerda OO o'qiga parallel yo'naltirilgan komponentdir va o'qiga perpendikulyar tekislikda yotadi. Bunday holda, kuch momenti ostida F OO o'qiga nisbatan vektorni tushunish

. (6.7)

(6.6) va (6.7) ifodalarga muvofiq vektor M eksa bo'ylab yo'naltirilgan (6.2-rasmga qarang, A,b).

Jismning aylanish o'qiga nisbatan momenti

P Tananing ma'lum bir o'q atrofida OO burchak tezligi bilan aylansin
. Keling, bu tanani aqliy ravishda massa bilan elementar qismlarga ajratamiz
, ular o'qdan mos ravishda masofalarda joylashgan
va chiziqli tezlikka ega bo'lgan doiralarda aylantiring
Qiymati teng ekanligi ma'lum
- impuls bor i-syujet. impuls momenti i-aylanish o'qiga nisbatan kesma (material nuqta) vektor (aniqrog'i, psevdovektor) deyiladi.

, (6.8)

Qayerda r i– pozitsiyani aniqlovchi radius vektori i- o'qga nisbatan maydon.

Butun tananing aylanish o'qiga nisbatan burchak momenti vektor deyiladi

(6.9)

kimning moduli
.

(6.8) va (6.9) ifodalarga muvofiq vektorlar
Va aylanish o'qi bo'ylab yo'naltirilgan (6.3-rasm). Jismning burchak momentumini ko'rsatish oson L aylanish o'qiga va inersiya momentiga nisbatan I bu jismning bir xil o'qqa nisbatan nisbati munosabat bilan bog'langan

. (6.10)

INERTSIYA MOMENTI Jismning nuqtaga, o'qga yoki tekislikka nisbatan I i jismning m i nuqtalari massalarining ularning nuqta, o'q yoki tekislikgacha bo'lgan r i masofalari kvadratlariga ko'paytmalari yig'indisi deb ataladi:

Jismning o'qga nisbatan inersiya momenti - bu o'q atrofida aylanish harakatida jismning inertsiyasining o'lchovidir.

Jismning inersiya momentini jismning M massasi va uning aylanish radiusi r bilan ham ifodalash mumkin:

OKLARGA, TAKSIMOTLARGA NISBATAN INERTSIYA MOMENTLARI VA KARTEZIY KOORDINATLARINING KELIB OLISHI.

Boshlanishga nisbatan inersiya momenti (qutb inersiya momenti):

AKSIAL, TASIZLIK VA QUTBAL INERTSIYA MOMENTLARI O'RTASIDAGI MUNOSABAT:

Ayrimlarning eksenel inersiya momentlarining qiymatlari geometrik jismlar jadvalda keltirilgan. 1.

1-jadval. Ayrim jismlarning inersiya momenti

O'QLARNI O'ZGARTIRISHDA INERTSIYA MOMENTLARINING O'ZGARISHI

Berilgan u o'qiga parallel u 1 o'qiga nisbatan I u 1 inersiya momenti (1-rasm):

bu yerda I u - tananing u o'qiga nisbatan inersiya momenti; l(l 1) - u o'qdan (u 1 o'qdan) u c o'qiga parallel ravishda tananing massa markazidan o'tadigan masofa; a - u va u 1 o'qlari orasidagi masofa.

1-rasm.

Agar u o'qi markaziy bo'lsa (l=0), u holda

ya'ni har qanday parallel o'qlar guruhi uchun markaziy o'qqa nisbatan inersiya momenti eng kichikdir.

Dekart koordinata o‘qlari x, y, z bilan a, b, g burchaklarni hosil qiluvchi u o‘qiga nisbatan I u inersiya momenti (2-rasm):

2-rasm.

x, y, z o'qlari asosiy bo'lsa

Bosh inersiya o‘qlari x, y, z bilan a, b, g burchaklarni hosil qiluvchi u o‘qiga nisbatan inersiya momenti:

OKLARNI PARALLEL UZATISHDAGI MARKAZDAN FUGAL INERTSIYA MOMENTLARINING O'ZGARISHI:

bu yerda x, y o'qlariga parallel bo'lgan x c, y c markaziy o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti; M - tana vazni; x s, y s - x, y o'qlar tizimidagi massalar markazining koordinatalari.

OKLAR x, y EKLAR Atrofiga z BO'YICHA BO'YICHA BO'YICHA X 1 y 1 BO'YICHA AYLANGAN MARKAZDAN FUGAL INERTSIYA MOMENTINING O'ZGARISHI.(3-rasm):

3-rasm.

ASOSIY INERTSIYA OKLARINING O'RNINI ANIQLASH. Tananing moddiy simmetriya o'qi tananing inertsiyasining asosiy o'qi hisoblanadi.

Agar xOz tekislik jismning moddiy simmetriya tekisligi bo'lsa, u holda y o'qlarining har qandayi tananing asosiy inersiya o'qi hisoblanadi.

Agar asosiy z asosiy o'qlardan birining holati ma'lum bo'lsa, u holda qolgan ikkita o'qning holati x asosiy va y asosiy o'qning holati x va y o'qlarini z asosiy o'q atrofida ph burchak bilan aylantirish orqali aniqlanadi (3-rasm). :

ELLIPSOID VA INERTSIYA PARALLELEPIPED. Simmetriya o‘qlari jismning bosh markaziy o‘qlari x bosh, y asosiy, z asosiy o‘qlari bilan mos keladigan va a x, a y, a z yarim o‘qlari mos ravishda teng bo‘lgan ellipsoid inertsiya ellipsoididir:

bu yerda r uO z, r x Oz, r xOy - jismning asosiy inersiya tekisliklariga nisbatan inersiya radiuslari.

Inersiya ellipsoidi atrofida aylana boʻlgan va u bilan umumiy simmetriya oʻqlariga ega boʻlgan parallelepiped inertsiya parallelepipedidir (4-rasm).

4-rasm.

QATTIQ Jismni konsentrlangan massalar bilan KISHAYTIRISH (Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun).. Eksenel, planar, markazdan qochma va qutb inersiya momentlarini hisoblashda M massali jismni inersiya parallelepipedining uchlarida joylashgan sakkizta konsentrlangan M/8 massaga kamaytirish mumkin. Har qanday o‘qlarga, tekisliklarga, qutblarga nisbatan inersiya momentlari inersiya parallelepipedining x i, y i, z i (i=1, 2, ..., 8) cho‘qqilari koordinatalaridan quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

INERTSIYA MOMENTLARINI TAJRIB YO'LDA ANIQLASH

1. Revolyutsiya jismlarining inersiya momentlarini yordamida aniqlash differensial tenglama aylanish - formulalarga qarang ("Qattiq jismning aylanish harakati").

O'rganilayotgan jism o'zining simmetriya o'qiga to'g'ri keladigan gorizontal o'q x bo'ylab o'rnatiladi va o'rganilayotgan jismga o'ralgan egiluvchan ipga biriktirilgan P yuki yordamida uning atrofida aylanishga keltiriladi (5-rasm), vaqt esa. yukni h balandlikka tushirish t o'lchanadi. Tananing x o'qiga mahkamlash joylarida ishqalanish ta'sirini bartaraf etish uchun tajriba bir necha marta o'tkaziladi. turli ma'nolar yuk og'irligi R.

5-rasm.

P 1 va P 2 yuklari bilan ikkita tajribada

2. Eksperimental aniqlash fizik mayatnikning tebranishlarini o'rganish orqali jismlarning inersiya momentlari (2.8.3 ga qarang) .

O'rganilayotgan jism gorizontal o'qda x (markaziy bo'lmagan) o'rnatiladi va bu o'q atrofida T kichik tebranishlar davri x o'qiga nisbatan inertsiya momenti formula bilan aniqlanadi

bu erda P - tana vazni; l 0 - aylanish o'qidan tananing C massa markazigacha bo'lgan masofa.

TA'RIF

Aylanuvchi jismning inertsiya o'lchovi inersiya momenti(J) aylanish sodir bo'ladigan o'qga nisbatan.

Bu skalyar (umuman tenzor) jismoniy miqdor bo'lib, u moddiy nuqtalar () massalarining mahsulotiga teng bo'lib, unda ko'rib chiqilayotgan jism ulardan aylanish o'qiga () masofalar kvadratlariga bo'linishi kerak:

bu yerda r moddiy nuqtaning fazodagi joylashuvi funksiyasi; - tana zichligi; - tana elementining hajmi.

Bir jinsli jism uchun (2) ifoda quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Xalqaro birliklar tizimida inersiya momenti quyidagicha o'lchanadi:

J miqdori qattiq jismning aylanishi tasvirlangan asosiy qonunlarga kiritilgan.

Umumiy holda, inersiya momentining kattaligi aylanish o'qining yo'nalishiga bog'liq va harakat paytida vektor odatda jismga nisbatan o'z yo'nalishini o'zgartirganligi sababli, inersiya momentini vaqt funktsiyasi sifatida ko'rib chiqish kerak. Istisno - bu qattiq o'q atrofida aylanadigan jismning inersiya momenti. Bunday holda, inersiya momenti doimiy bo'lib qoladi.

Shtayner teoremasi

Shtayner teoremasi jismning ixtiyoriy aylanish o'qiga nisbatan inersiya momentini hisoblash imkonini beradi, agar ko'rib chiqilayotgan jismning inersiya momenti shu jismning massa markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan ma'lum bo'lsa va bu o'qlar parallel. Matematik shaklda Shtayner teoremasi quyidagicha ifodalanadi:

jismning massa markazidan o'tuvchi aylanish o'qiga nisbatan tananing inersiya momenti qayerda; m - ko'rib chiqilayotgan tananing massasi; a - o'qlar orasidagi masofa. O'qlar parallel bo'lishi kerakligini unutmang. (4) ifodadan kelib chiqadiki:

Jismning inersiya momentlarini hisoblash uchun ba'zi ifodalar

Bir o'q atrofida aylanayotganda moddiy nuqta ga teng inersiya momentiga ega:

bu erda m - nuqtaning massasi; r - nuqtadan aylanish o'qigacha bo'lgan masofa.

Massasi m va uzunligi l J bo'lgan bir hil yupqa novda uchun uning massa markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan (o'q sterjenga perpendikulyar) teng:

Massasi o'z markazidan o'tadigan o'q atrofida aylanadigan, halqa tekisligiga perpendikulyar bo'lgan nozik halqa, u holda inersiya momenti quyidagicha hisoblanadi:

bu erda R - halqaning radiusi.

Radiusi R va massasi m bo'lgan yumaloq bir jinsli disk uning markazidan o'tadigan va disk tekisligiga perpendikulyar bo'lgan o'qga nisbatan J ga teng:

Bir hil to'p uchun

bu erda m - to'pning massasi; R - to'pning radiusi. To'p o'z markazidan o'tadigan o'q atrofida aylanadi.

Agar aylanish o'qlari to'rtburchaklar dekart koordinata tizimining o'qlari bo'lsa, u holda uzluksiz jism uchun inersiya momentlarini quyidagicha hisoblash mumkin:

jismning cheksiz kichik elementining koordinatalari qayerda.

Muammoni hal qilishga misollar

MISOL 1

2-MISA

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, oddiy tekislik raqamlari uchta raqamni o'z ichiga oladi: to'rtburchak, uchburchak va aylana. Bu raqamlar oddiy hisoblanadi, chunki bu raqamlarning og'irlik markazining holati oldindan ma'lum. Boshqa barcha raqamlar ushbu oddiy raqamlardan tuzilishi mumkin va ular murakkab hisoblanadi. Eksenel inersiya momentlarini hisoblaymiz oddiy raqamlar ularning markaziy o'qlariga nisbatan.

1. To'rtburchak. Keling, o'lchamlari bilan to'rtburchaklar profilning kesmasini ko'rib chiqaylik (4.6-rasm). Masofada ikkita cheksiz yaqin bo'limga ega bo'lim elementini tanlaymiz markaziy o'qdan
.

To'g'ri burchakli kesmaning o'qqa nisbatan inersiya momentini hisoblaymiz:

. (4.10)

To'g'ri burchakli kesmaning o'qga nisbatan inersiya momenti
xuddi shunday topamiz. Xulosa bu erda berilmagan.

. (4.11)

Va
nolga teng, chunki o'qlar
Va
simmetriya o'qlari va shuning uchun bosh o'qlar.

2. Izosceles uchburchagi. Keling, o'lchamlari bilan uchburchak profilning bir qismini ko'rib chiqaylik
(4.7-rasm). Masofada ikkita cheksiz yaqin bo'limga ega bo'lim elementini tanlaymiz markaziy o'qdan
. Uchburchakning og'irlik markazi uzoqda joylashgan
asosdan. Uchburchak teng yon tomonli deb qabul qilinadi, shuning uchun o'q
kesim simmetriya o'qidir.

Kesimning o'qga nisbatan inersiya momentini hisoblaylik
:

. (4.12)

Hajmi Biz uchburchaklarning o'xshashligini aniqlaymiz:

;
.

qayerda ga iboralarni almashtirish

. (4.13)

(4.12) da integratsiyalashgan holda biz quyidagilarni olamiz:
O'q atrofidagi teng yonli uchburchak uchun inersiya momenti

(4.14)

shunga o'xshash tarzda topiladi va quyidagilarga teng:
Va
O'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti
nolga teng, chunki o'q

3. kesimning simmetriya o'qidir. Doira . Diametrli dumaloq profilning kesimini ko'rib chiqing (4.8-rasm). Masofada joylashgan ikkita cheksiz yaqin konsentrik doiralar bilan bo'lim elementini ajratib ko'rsatamiz .

aylananing og'irlik markazidan

. (4.15)

(4.5) ifoda yordamida aylananing qutb inersiya momentini hisoblaymiz:
Ikki o'zaro perpendikulyar o'qga (4.6) nisbatan eksenel inersiya momentlari yig'indisi uchun o'zgarmaslik shartidan foydalanish va simmetriya tufayli aylana uchun ekanligini hisobga olish.

. (4.16)

. (4.17)

shunga o'xshash tarzda topiladi va quyidagilarga teng: Va nolga teng, chunki o'qlar
Va
, biz eksenel inersiya momentlarining qiymatini aniqlaymiz:

kesmaning simmetriya o'qlaridir.

4.4. Parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari orasidagi bog'liqliklar Murakkab raqamlar uchun inersiya momentlarini hisoblashda bitta qoidani yodda tutish kerak: inersiya momentlari uchun qiymatlarni qo'shish mumkin,. Murakkab figuralar uchun ko'pincha individual oddiy figuralarning og'irlik markazlari va butun raqam bir-biriga to'g'ri kelmaydi. Shunga ko'ra, individual oddiy raqamlar va butun raqam uchun markaziy o'qlar bir-biriga mos kelmaydi. Shu munosabat bilan, inersiya momentlarini bir o'qqa, masalan, butun figuraning markaziy o'qiga olib kelish usullari mavjud. Bu inertsiya o'qlarining parallel tarjimasi va qo'shimcha hisob-kitoblarga bog'liq bo'lishi mumkin.

4.9-rasmda ko'rsatilgan parallel inersiya o'qlariga nisbatan inersiya momentlarini aniqlashni ko'rib chiqaylik.

4.9-rasmda ko'rsatilgan eksenel va markazdan qochma inersiya momentlari bo'lsin. o'zboshimchalik bilan tanlangan o'qlarga nisbatan raqamlar
Va
nuqtadagi kelib chiqishi bilan ma'lum. Shaklning ixtiyoriy parallel o'qlarga nisbatan eksenel va markazdan qochma inersiya momentlarini hisoblash talab qilinadi.
Va
nuqtadagi kelib chiqishi bilan . Akslar
Va
masofalarda amalga oshiriladi Va mos ravishda o'qlardan
Va
.

Eksenel inersiya momentlari (4.4) va markazdan qochma inersiya momenti (4.7) uchun ifodalardan foydalanamiz. Keling, joriy koordinatalar o'rniga ushbu ifodalarni almashtiramiz
Va
cheksiz kichik koordinata maydoniga ega element
Va
V yangi tizim koordinatalar Biz olamiz:

Olingan iboralarni tahlil qilib, biz parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini hisoblashda dastlabki inersiya o'qlariga nisbatan hisoblangan inersiya momentlariga qo'shimcha shartlar ko'rinishidagi qo'shimchalar qo'shilishi kerak degan xulosaga kelamiz, ular ancha katta bo'lishi mumkin. asl o'qlarga nisbatan inersiya momentlari qiymatlariga qaraganda. Shuning uchun, bu qo'shimcha shartlar hech qanday holatda e'tibordan chetda qolmasligi kerak.

Ko'rib chiqilayotgan holat o'qlarni parallel o'tkazishning eng umumiy holati bo'lib, ixtiyoriy inertsiya o'qlari boshlang'ich sifatida qabul qilingan. Ko'pgina hisob-kitoblarda inersiya momentlarini aniqlashning maxsus holatlari mavjud.

Birinchi maxsus holat. Boshlanish o'qlari - bu shaklning markaziy inertsiya o'qlari. Keyin maydonning statik momenti uchun asosiy xususiyatdan foydalanib, (4.18) - (4.20) tenglamalardan shakl maydonining statik momentini o'z ichiga olgan tenglamalar shartlarini chiqarib tashlash mumkin. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Mana boltalar
Va
-markaziy inersiya o'qlari.

Ikkinchi maxsus holat. Yo'naltiruvchi o'qlar inertsiyaning asosiy o'qlari hisoblanadi. Keyin, asosiy inersiya o'qlariga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti nolga teng ekanligini hisobga olib, biz quyidagilarni olamiz:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Mana boltalar
Va
bosh inersiya o‘qlari.

Olingan ifodalardan foydalanamiz va tekis figuralar uchun inersiya momentlarini hisoblashning bir nechta misollarini ko'rib chiqamiz.

4.2-misol. Shaklda ko'rsatilgan shaklning eksenel inersiya momentlarini aniqlang. 4.10, markaziy o'qlarga nisbatan Va .

Oldingi 4.1-misolda, 4.10-rasmda ko'rsatilgan rasm uchun og'irlik markazining o'rni aniqlangan, og'irlik markazining koordinatasi o'qdan chizilgan va tuzilgan
. Keling, masofalarni hisoblaylik Va eksa o'rtasida Va va boltalar Va . Bu masofalar mos ravishda edi
Va
. Asl o'qlardan beri Va to'rtburchaklar shaklidagi oddiy figuralar uchun markaziy o'qlar, figuraning o'qga nisbatan inersiya momentini aniqlash uchun. Keling, birinchi alohida holat uchun xulosalardan, xususan, (4.21) formuladan foydalanamiz.

Eksaga nisbatan inersiya momenti bir xil o'qqa nisbatan oddiy figuralarning inersiya momentlarini qo'shish orqali olamiz, chunki o'q oddiy figuralar va butun figura uchun umumiy markaziy o'qdir.

sm 4.

O'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti Va nolga teng, chunki inertsiya o'qi asosiy o'q (rasmning simmetriya o'qi) hisoblanadi.

4.3-misol. Hajmi qancha? b(sm bilan) rasmda ko'rsatilgan rasm. 4.11, agar figuraning o'qqa nisbatan inersiya momenti 1000 sm 4 ga teng?

O'qqa nisbatan inersiya momentini ifodalaymiz noma'lum bo'lim o'lchami orqali , (4.21) formuladan foydalanib, o'qlar orasidagi masofani hisobga olgan holda Va 7 sm ga teng:

sm 4.

(A) (a) ifodani kesim o‘lchamiga nisbatan yechish

, biz olamiz:

sm. 4.4-misol. 4.12-rasmda ko'rsatilgan raqamlardan qaysi biri o'qga nisbatan katta inersiya momentiga ega
agar ikkala raqam ham bir xil maydonga ega bo'lsa

sm 2?

1. Shakllarning maydonlarini ularning o'lchamlari bo'yicha ifodalaymiz va aniqlaymiz:

a) dumaloq kesim uchun kesim diametri:
, biz olamiz:

sm 2; Qayerda

b) kvadrat tomonning o'lchami:
, biz olamiz:

;

sm 4.

Qayerda

sm 4.

2. Aylana kesma uchun inersiya momentini hisoblang:

3. Kvadrat kesim uchun inersiya momentini hisoblang: Olingan natijalarni taqqoslab, biz kvadrat kesim bir xil maydonga ega bo'lgan aylana kesimga nisbatan eng yuqori inersiya momentiga ega bo'ladi degan xulosaga kelamiz.
4.5-misol.
, biz olamiz:

To'g'ri burchakli kesmaning og'irlik markaziga nisbatan qutb inersiya momentini (sm 4) aniqlang, agar kesmaning kengligi sm, kesim balandligi 1. Kesmaning gorizontalga nisbatan inersiya momentlarini topamiz

va vertikal
sm 4.

markaziy inertsiya o'qlari:

sm 4.

sm 4; 2. Kesmaning qutb inersiya momentini eksenel inersiya momentlarining yig’indisi sifatida aniqlaymiz: 4.6-misol. 4.13-rasmda ko'rsatilgan uchburchak figuraning markaziy o'qga nisbatan inersiya momentini aniqlang.

, agar shaklning o'qqa nisbatan inersiya momenti 2400 sm 4 ga teng. Uchburchak kesimning asosiy inersiya o'qiga nisbatan inersiya momenti
o'qga nisbatan inersiya momentiga nisbatan kamroq bo'ladi
sm kesmaning o'qqa nisbatan inersiya momenti quyidagicha topamiz.