Berilgan funktsiyaning teskari funksiyasini topish. Teskari funksiyalar - ta'rifi va xossalari. Yozib olish haqida eslatma
$X$ va $Y$ toʻplamlari haqiqiy sonlar toʻplamiga kiritilsin. Invertibil funksiya tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif 1
$X$ toʻplamini $Y$ toʻplamiga moslashtiruvchi $f:X\to Y$ funksiyasi, agar X$ dagi $x_1,x_2\ elementlar uchun $x_1\ne x_2$ boʻlishidan kelib chiqib, invertible deyiladi. bu $f(x_1 )\ne f(x_2)$.
Endi biz teskari funksiya tushunchasini kiritishimiz mumkin.
Ta'rif 2
$X$ toʻplamini $Y$ toʻplamiga solishtiruvchi $f:X\to Y$ funksiyasi teskari boʻlsin. Keyin $f^(-1)\left(y\right)=x$ sharti bilan aniqlangan $Y$ toʻplamini $X$ toʻplamiga solishtiruvchi $f^(-1):Y\to X$ funksiyasi boʻladi. $f( x)$ uchun teskari deb ataladi.
Keling, teoremani tuzamiz:
Teorema 1
$y=f(x)$ funksiya aniqlansin, monoton ravishda ortib boruvchi (kamayuvchi) va $X$ oraliqda uzluksiz. Keyin ushbu funktsiya qiymatlarining mos keladigan $Y$ oralig'ida u teskari funktsiyaga ega bo'lib, u ham monoton ravishda oshadi (kamayadi) va $Y$ oralig'ida uzluksizdir.
Endi to'g'ridan-to'g'ri o'zaro teskari funktsiyalar tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif 3
2-ta'rif doirasida $f(x)$ va $f^(-1)\left(y\right)$ funktsiyalari o'zaro teskari funksiyalar deb ataladi.
O'zaro teskari funksiyalarning xossalari
$y=f(x)$ va $x=g(y)$ funksiyalari oʻzaro teskari boʻlsin.
$y=f(g\chap(y\o'ng))$ va $x=g(f(x))$
$y=f(x)$ funksiyani aniqlash sohasi $\ x=g(y)$ funksiyaning qiymat sohasiga teng. $x=g(y)$ funksiyani aniqlash sohasi esa $\ y=f(x)$ funksiyaning qiymat sohasiga teng.
$y=f(x)$ va $x=g(y)$ funksiyalarning grafiklari $y=x$ toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.
Agar funksiyalardan biri ortib (kamaysa), ikkinchi funksiya ortadi (kamayadi).
Teskari funktsiyani topish
$y=f(x)$ tenglama $x$ oʻzgaruvchisiga nisbatan yechilgan.
Olingan ildizlardan $X$ intervaliga tegishlilari topiladi.
Topilgan $x$ $y$ raqamiga mos keladi.
1-misol
$X=[-1,0]$ oraliqda $y=x^2$ funksiyasi uchun teskari funksiyani toping.
Bu funktsiya $X$ oralig'ida kamayuvchi va uzluksiz bo'lgani uchun, keyin $Y=$ oralig'ida, bu oraliqda ham kamayuvchi va uzluksiz (1-teorema).
$x$ ni hisoblaymiz:
\ \
Kerakli $x$ ni tanlang:
Javob: teskari funksiya $y=-\sqrt(x)$.
Teskari funksiyalarni topish masalalari
Ushbu qismda biz ba'zilari uchun teskari funktsiyalarni ko'rib chiqamiz elementar funktsiyalar. Yuqorida keltirilgan sxema bo'yicha muammolarni hal qilamiz.
2-misol
$y=x+4$ funksiya uchun teskari funksiyani toping
$y=x+4$ tenglamasidan $x$ topamiz:
3-misol
$y=x^3$ funksiyasi uchun teskari funksiyani toping
Yechim.
Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib borayotgan va uzluksiz bo'lganligi sababli, 1-teoremaga ko'ra, u teskari uzluksiz va ortib boruvchi funktsiyaga ega.
$y=x^3$ tenglamasidan $x$ topamiz:
$x$ mos qiymatlarini topish
Qiymat bizning holatlarimizga mos keladi (chunki ta'rif sohasi barcha raqamlardir)
O'zgaruvchilarni qayta aniqlaymiz, biz teskari funksiya shaklga ega ekanligini tushunamiz
4-misol
$$ oraliqda $y=cosx$ funksiyasi uchun teskari funksiya toping
Yechim.
$X=\left$ to'plamidagi $y=cosx$ funksiyasini ko'rib chiqaylik. U $X$ toʻplamda uzluksiz va kamayuvchi boʻlib, $X=\left$ toʻplamini $Y=[-1,1]$ toʻplamga moslashtiradi, shuning uchun teskari uzluksiz monoton funksiya mavjudligi haqidagi teoremaga koʻra, $Y$ toʻplamida $y=cosx$ funksiyasi $Y=[-1,1]$ toʻplamida ham uzluksiz va ortib boruvchi teskari funksiya mavjud boʻlib, $[-1,1]$ toʻplamini xaritalaydi. $\left$ to'plamiga.
$y=cosx$ tenglamasidan $x$ topamiz:
$x$ mos qiymatlarini topish
O'zgaruvchilarni qayta aniqlaymiz, biz teskari funksiya shaklga ega ekanligini tushunamiz
5-misol
$\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ oraliqda $y=tgx$ funksiyasi uchun teskari funksiya toping.
Yechim.
$X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ toʻplamidagi $y=tgx$ funksiyasini koʻrib chiqing. U $X$ toʻplamida uzluksiz va ortib boradi va $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ toʻplamini $Y toʻplamiga moslashtiradi. =R$ demak, teskari uzluksiz monoton funksiya mavjudligi haqidagi teoremaga ko‘ra, $Y$ to‘plamdagi $y=tgx$ funksiya teskari funktsiyaga ega bo‘lib, u ham $Y=R to‘plamda uzluksiz va ortib boruvchi funktsiyaga ega. $ va $R$ toʻplamini $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ toʻplamiga moslashtiradi.
E(y) =
y(-x) = arccos(-x) = p - arccos x – funksiya juft ham, toq ham emas.
arccos x = 0 da x = 1
arccos x > 0 da x ê [-1;1)
$y=tgx$ tenglamasidan $x$ topamiz:
$x$ mos qiymatlarini topish
O'zgaruvchilarni qayta aniqlaymiz, biz teskari funksiya shaklga ega ekanligini tushunamiz
2.Teskari funksiyalar nazariyasi
Teskari trigonometrik funksiyalar
Teskari funktsiyaning ta'rifi
Ta'rif. Agar f(x) funktsiyasi o'zining X va Y sohasi o'rtasidagi yakkama-yakka muvofiqlikni aniqlasa (boshqacha aytganda, agar argumentning har xil qiymatlari funktsiyaning turli qiymatlariga to'g'ri kelsa), u holda f(x) funksiyaga ega deyiladi teskari funktsiya yoki nima funktsiyasif(x) qaytarilishi mumkin.
Ta'rif. Teskari funktsiya har bir raqamni aytib beradigan qoidadir daє U raqamga mos keladi Xє X, va y=f(x). Teskari domen
funktsiya Y to'plamidir, qiymatlar diapazoni X.
Ildiz teoremasi. I oraliqda f funktsiya ortishi (yoki kamayishi) bo'lsin, a soni bu oraliqda f tomonidan qabul qilingan qiymatlarning har qandayidir. U holda f(x)=a tenglama I oraliqda bitta ildizga ega.
Isbot. Keling, ortib boruvchi f funktsiyani ko'rib chiqaylik (kamayuvchi funktsiyada fikrlash shunga o'xshash). Shartga ko'ra, I oraliqda f(b)=a bo'ladigan b soni mavjud. b f(x)=a tenglamaning yagona ildizi ekanligini ko'rsataylik.
Faraz qilaylik, I oraliqda yana bir raqam bor c≠
b, shunday qilib, f(c)=a. Keyin yoki bilan
Teskari funksiya teoremasi. Agar f funktsiya I oraliqda ortib ketsa (yoki kamaysa), u teskari bo'ladi. f ning qiymatlari oralig'ida aniqlangan f ning teskari funktsiyasi g ham ortib bormoqda (mos ravishda kamaymoqda).
Isbot. Aniqlik uchun f funksiyasi ortib bormoqda deb faraz qilaylik. f funksiyaning invertibilligi ildiz teoremasining yaqqol natijasidir. Demak, f ga teskari g funksiya E(f) to‘plamda ortib borayotganligini isbotlash kerak.
X 1 va x 2 E(f) dan ixtiyoriy qiymatlar bo'lsin, x 2 > x 1 va y 1 = g (x 1), y 2 = g bo'lsin. ( x 2 ). Teskari funktsiyaning ta'rifi bo'yicha x 1 = f(y 1) va x 2 = f(y 2).
f ning ortib boruvchi funksiya bo‘lishi shartidan foydalanib, y 1≥ y 2 faraz f(y 1) > f(y 2), ya’ni x 1 > x 2 xulosasiga olib kelishini aniqlaymiz. Bu
x 2 > x 1 faraziga zid keladi, shuning uchun y 1 > y 2, ya’ni x 2 > x 1 shartidan g(x 2)> g(x 1) kelib chiqadi. Q.E.D.
Asl funktsiya va uning teskarisi o'zaro teskari.
O'zaro teskari funksiyalarning grafiklari
Teorema. O'zaro teskari funksiyalarning grafiklari y=x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.
Isbot. E'tibor bering, f funktsiyaning grafigidan biz topishimiz mumkin raqamli qiymat ixtiyoriy a nuqtada g funksiya f ga teskari. Buni amalga oshirish uchun siz gorizontal o'qda (odatda bajarilganidek) emas, balki vertikal koordinatali nuqtani olishingiz kerak. Teskari funktsiyaning ta'rifidan g(a) ning qiymati b ga teng ekanligi kelib chiqadi.
Oddiy koordinatalar sistemasida g ning grafigini tasvirlash uchun y=x to`g`ri chiziqqa nisbatan f ning grafigini ko`rsatish kerak.
y=f(x) funksiya uchun teskari funksiya tuzish algoritmi, x
X.
1. y=f(x) funksiya X da teskari ekanligiga ishonch hosil qiling.
2. y=f(x) tenglamadan x ê X ekanligini hisobga olib, y orqali ifodalanadi. .
Z. Hosil boʻlgan tenglikda x va y ni almashtiring.
2.2.Teskari trigonometriyaning ta’rifi, xossalari va grafiklari
funktsiyalari
arksin
Sinus funktsiyasi segmentda ortadi 
va -1 dan 1 gacha bo'lgan barcha qiymatlarni oladi. Shuning uchun, ildiz teoremasiga ko'ra, har qanday raqam uchun shunday 
, intervalda sin x = a tenglamaning yagona ildizi mavjud. Bu son a sonining arksinusu deyiladi va arksin a bilan belgilanadi.
Ta'rif. a sonining yoyi sinusi a ga teng bo'lgan segmentdan olingan sondir.
Xususiyatlari.
D(y) = [ -1;1 ]
E(y) = [-p/2;p/2]
y (-x) = arcsin(-x) = - arcsin x – g'alati funktsiya, grafik O(0;0) nuqtaga nisbatan simmetrikdir.
arcsin x = 0 da x = 0.
arcsin x > 0 at x ê (0;1]
arcsin x< 0 при х є [-1;0)
y = arcsin x har qanday x ê [-1;1] uchun ortadi
1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.
yoy kosinus
Kosinus funksiyasi segmentda kamayadi va barcha qiymatlarni -1 dan 1 gacha qabul qiladi. Shunday qilib, |a|1 bo'lgan har qanday a soni uchun segmentda cosx=a tenglamada bitta ildiz mavjud. Bu b soni a sonining arkkosinasi deyiladi va arkos a bilan belgilanadi.
Ta'rif . a sonining yoyi kosinusi, bu yerda -1 a 1, kosinasi a ga teng bo'lgan segmentdagi sondir.
Xususiyatlari.
arccos x< 0 – нет решений
y = arccos x har qanday x ê [-1;1] uchun kamayadi.
1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 – kamayuvchi.
Arktangent
Tangens funksiyasi segmentda ortadi - 
Demak, ildiz teoremasiga ko'ra, tgx=a tenglama, bu erda a har qanday haqiqiy son, - oralig'ida yagona x ildizga ega. Bu ildiz a sonining arktangensi deb ataladi va arctga bilan belgilanadi.
Ta'rif. Raqamning arktangensi aR bu raqam x deb ataladi , tangensi a ga teng.
Xususiyatlari.
E(y) = (-p/2;p/2)
y(-x) = y = arctg(-x) = - arctg x – funksiya toq, grafik O(0;0) nuqtaga nisbatan simmetrik.
arctg x = 0 da x = 0
Funktsiya har qanday x ê R uchun ortadi
-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2
Arkotangent
(0;) oraliqdagi kotangent funksiya kamayadi va barcha qiymatlarni R dan oladi. Shuning uchun (0;) oraliqdagi istalgan a soni uchun cotg x = a tenglamaning yagona ildizi mavjud. Bu a soni a sonining arkkotangensi deb ataladi va arcctg a bilan belgilanadi.
Ta'rif. a sonining yoy kotangensi, bu erda R, (0;) oraliqdagi sondir. , kotangensi a ga teng bo'lgan.
Xususiyatlari.
E(y) = (0;p)
y(-x) = arcctg(-x) = p - arcctg x – funksiya juft ham, toq ham emas.
arcctg x = 0- mavjud emas.
Funktsiya y = arcctg x har qanday uchun kamayadi x є R
-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2
Funktsiya har qanday x ê R uchun uzluksizdir.
2.3 Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ifodalarni bir xil o'zgartirishlar
1-misol. Ifodani soddalashtiring:
A) 
Qayerda 
Yechim. Keling, qo'ying 
. Keyin 
Va 
Topish uchun 
, keling, munosabatdan foydalanamiz 
olamiz 
Lekin . Ushbu segmentda kosinus faqat ijobiy qiymatlarni oladi. Shunday qilib, 
, ya'ni qaerda 
.
b) 
Yechim.
Yechim. Keling, qo'ying 
. Keyin 
Va 
Avval topamiz, buning uchun formuladan foydalanamiz 
, qayerda 
Bu oraliqda kosinus faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilganligi sababli 
.
Bir-biriga teskari mos keladigan iboralar. Bu nimani anglatishini tushunish uchun ko'rib chiqishga arziydi aniq misol. Aytaylik, bizda y = cos(x) bor. Argumentdan kosinusni olsangiz, y ning qiymatini topishingiz mumkin. Shubhasiz, buning uchun sizda X bo'lishi kerak. Ammo o'yin dastlab berilgan bo'lsa-chi? Aynan shu yerda gap asosiy mavzuga to‘g‘ri keladi. Muammoni hal qilish uchun siz teskari funktsiyadan foydalanishingiz kerak. Bizning holatlarimizda bu arkkosindir.
Barcha o'zgarishlardan keyin biz olamiz: x = arccos (y).
Ya'ni, berilgan funktsiyaga teskari funktsiyani topish uchun undan argumentni ifodalash kifoya. Ammo bu faqat natijada bitta ma'noga ega bo'lsa ishlaydi (bu haqda keyinroq).
Umumiy holda bu faktni quyidagicha yozish mumkin: f(x) = y, g(y) = x.
Ta'rif
Domeni X to‘plam va sohasi Y to‘plam bo‘lgan f funksiya bo‘lsin. U holda, agar domenlari qarama-qarshi vazifalarni bajaradigan g mavjud bo‘lsa, u holda f invertibildir.
Bundan tashqari, bu holda g noyobdir, ya'ni bu xususiyatni qondiradigan aniq bitta funktsiya mavjud (ko'p emas, kam emas). Keyin u teskari funksiya deyiladi va yozma ravishda quyidagicha belgilanadi: g(x) = f -1 (x).
Boshqacha qilib aytganda, ularni ikkilik munosabat deb hisoblash mumkin. Qaytarilish faqat to'plamning bir elementi boshqasidan bir qiymatga mos kelganda sodir bo'ladi.
Teskari funktsiya har doim ham mavjud emas. Buning uchun har bir element y ê Y ko'pi bilan bitta x ê X ga mos kelishi kerak. Keyin f birma-bir yoki inyeksiya deb ataladi. Agar f -1 Y ga tegishli bo'lsa, u holda bu to'plamning har bir elementi qandaydir x ∈ X ga mos kelishi kerak. Bunday xususiyatga ega bo'lgan funksiyalar suryeksiyalar deyiladi. Agar Y f ning tasviri bo'lsa, u ta'rifiga ko'ra amal qiladi, lekin bu har doim ham shunday emas. Teskari bo'lish uchun funktsiya ham in'ektsiya, ham sur'ektsiya bo'lishi kerak. Bunday iboralar bijeksiyalar deyiladi.
Misol: kvadrat va ildiz funktsiyalari
Funksiya belgilangan)
Yuklanmoqda...