Eng mashhur sanoq tizimlari. Sanoq tizimlari. Nopozitsion sanoq sistemalari. Alfavit sanoq tizimlari

Bularning barchasi ma'lum bir raqam tizimiga bog'liq.

O'nlik sanoq tizimi deyarli hamma joyda qo'llanilishi aniq.

Rim sanoq tizimi zamonaviy dunyo ko'pincha raqamni tartibda ko'rsatmoqchi bo'lganingizda ishlatiladi. Misol uchun, "10" miqdorni (o'n dona) anglatadi va Rim "X" "o'ninchi" degan ma'noni anglatadi.

Ikkilik sanoq sistemasi kompyuterlarda eng ko'p qo'llaniladi, chunki ikkilik sonning bir raqami bir bitga - kompyuter texnikasidagi minimal axborot birligiga to'g'ri keladi.

Ikkilik sanoq tizimi an'anaviy ravishda dyuymdagi chiziqli o'lchamlarni ko'rsatishda ishlatiladi, masalan, 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″. Eng birinchi ma'lum foydalanish Ikkilik sanoq sistemasi, ehtimol, qadimgi hind matematigi Pingalaga (taxminan miloddan avvalgi 2—5-asrlar) tegishlidir.

O'n oltilik sanoq tizimi past darajadagi dasturlashda hamda kompyuter hujjatlarida keng qo'llaniladi. Zamonaviy kompyuterlarda xotiraning minimal birligi 8 bitli bayt bo'lib, uning qiymatlari qulay tarzda ikki o'n oltilik raqamda yozilgan. Ushbu foydalanish IBM/360 tizimidan boshlandi, bu erda barcha hujjatlar o'n oltilik sanoq tizimidan foydalangan.

Sakkizlik sanoq sistemasi bilan hamma narsa qiziq. Bu, masalan, ba'zi amerikalik hindular tomonidan ishlatilgan, chunki ular miqdorlarni barmoqlar soni bilan emas, balki barmoqlar orasidagi bo'shliqlar soni bilan hisoblash kerak, deb hisoblashgan.

1716 yilda Evropada Shvetsiya qiroli Charlz XII Emmanuel Swedenborgdan 64 xonali sanoq tizimini ishlab chiqishni so'radi, bunda Emmanuel Swedenborg qirol kabi yuqori intellektga ega bo'lmagan oddiy odamlar bunchalik katta raqam tizimini tushunish qiyin bo'lishini ta'kidladi. asos qilib olingan va shuning uchun sakkizlik sanoq sistemasidan foydalanish taklif qilingan. Charlz XII nima uchun aynan shu asosni tanlaganini bilish qiziq.

Bundan tashqari, sakkizlik sanoq tizimi ba'zan kompyuterlarda qo'llaniladi - ko'pincha Unix-ga o'xshash ruxsatlarni aniqlashda operatsion tizimlar. Bir vaqtlar 24 va 36 bitli so'zlarni ishlatadigan kompyuterlar mavjud edi. Bunday kompyuterlarda sakkizlik sanoq sistemasidan foydalanish juda qulay edi, chunki so'zning barcha bitlari sakkizlik raqamlarning butun soni bilan ifodalanishi mumkin va boshida har doim ahamiyatsiz nol bitlarini qo'shishning hojati yo'q edi. Misol uchun, 36 bitli so'z aniq 12 sakkizta raqamni talab qiladi.

Diskret matematika kursimizda biz sakkizlik tizimni o‘rganamiz, chunki u o‘nlik sanoq sistemasini chetlab o‘tib, ikkilik sanoq sistemasidan to‘g‘ridan-to‘g‘ri aylantira oladigan tizimlardan biridir.

Daqiqa va soniyalarni hisoblashda kichik sonli sanoq sistemasi keng qo'llaniladi. Seksagesimal tizimning kelib chiqishi aniq emas. Ehtimol, bu o'n ikkilik sanoq tizimi bilan bog'liq (60 = 5 × 12, bu erda 5 - qo'ldagi barmoqlar soni). Shumer davlatini akkadlar bosib olgandan so‘ng u yerda uzoq vaqt bir vaqtning o‘zida ikki pul birligi: shekel (shekel) va mina mavjud bo‘lgan va ularning nisbati 1 mina qilib belgilangan, degan O.Neugebauer (1927) gipotezasi ham mavjud. = 60 shekel. Keyinchalik bu bo'linish odatiy holga aylandi va har qanday raqamlarni yozish uchun mos tizimni keltirib chiqardi.

O‘n oltilik sanoq sistemasida sonning boshiga nol qo‘shish mumkinmi?

Barcha pozitsion sanoq sistemalari uchun barcha qoidalar bir xil. O'nlik sanoq sistemasida boshiga arzimas nollarni, oxirida esa kasrdan keyin qo'shishga ruxsat beriladi. Xuddi shu tarzda boshqa har qanday pozitsion sanoq sistemasida ham arzimas nollarni qo‘shish mumkin.

25-ariy sanoq sistemasida son qanday belgilar yordamida yoziladi?

O'n oltilik sanoq tizimi juda keng tarqalgan sanoq tizimidir. Bu sanoq sistemasi uchun standart mavjud - 9 dan katta raqamlar lotin alifbosining A dan F gacha bo'lgan harflarida yoziladi.

Bazasi 10 dan katta bo'lgan boshqa barcha pozitsion sanoq tizimlari keng tarqalgan emas va ular uchun qayd etish standarti mavjud emas. Ammo shunga o'xshab aytadigan bo'lsak, bu sanoq tizimlarida lotin alifbosi harflaridan ham foydalanish qulay bo'lar edi.

Xususan, 25-ariyali sanoq sistemasida dastlabki 10 ta raqam oʻnlik sanoq sistemasidagi raqamlar bilan mos keladi - 0 dan 9 gacha, qolgan 15 tasi esa lotin alifbosining A dan O gacha boʻlgan harflari bilan kodlanadi. Xuddi shu qoidalar boshqa pozitsion sanoq sistemalariga taalluqli.

Ammo lotin alifbosidagi harflar yetarli bo'lmagan sanoq tizimi haqida nima deyish mumkin?

Bu sohada universal standart yo'q. Ko'p yoki kamroq qo'llaniladigan sanoq tizimlari bundan mustasno.

Agar shunday sanoq sistemasi bilan ishlashga to‘g‘ri kelsa, yo boshqalar o‘ylab topgan qoidalarga amal qiling (agar kimdir shunday sanoq sistemasidan foydalansa) yoki o‘z qoidalarini o‘ylab toping.

Amalda bunday sanoq sistemasiga sekund va daqiqalarni sanash uchun 60 xonali sanoq sistemasi katta asosga ega bo‘lgan sanoq sistemasi misol bo‘la oladi. Vaqt qanday qayd etilishini hammamiz bilamiz. Masalan, “34 daqiqa 17 soniya” degan ma’noni anglatuvchi “34:17” yozuvi aslida ikki raqamdan iborat kichik sonda yozilgan raqamdir.

O'nlikdan boshqa sanoq sistemalarida raqamlar qanday to'g'ri o'qiladi?

Umuman olganda, bunday raqamlarni qanday qilib to'g'ri o'qish uchun standart yo'q.

Qat'iy aytganda, 20 8 ni "yigirma" so'zini chaqirish mutlaqo to'g'ri emas, chunki "yigirma" "o'nlik" degan ma'noni anglatishini hamma biladi va sakkizlik sanoq sistemasida bu ikki o'nlik sonini emas, balki sakkizta sonini bildiradi. Bu raqam "ikki nol" deb to'g'ri o'qilishi mumkin, ammo bu standart emas.

O'n oltilik sanoq tizimidan foydalanganda, harflar odatda lotin alifbosida talaffuz qilinganidek talaffuz qilinadi: "A", "Be", "Tse", "De", "E", "Ef". 1E3.F 16 raqami odatda shunday talaffuz qilinadi: “one e three dot ef”.

Biroq, agar raqam faqat o'nlik raqamlardan foydalansa, raqamlar ko'pincha o'nlik yozuvda yozilgandek o'qiladi. Masalan, “517,5 8”ni “besh yuz o‘n yetti nuqta besh” sakkizlik yozuvda talaffuz qilish mumkin. Ehtimol, “sakkizlik sanoq sistemasida besh yuz o‘n yetti nuqta besh sakkizinchi” deyish to‘g‘riroq bo‘lar edi, ammo bu holda ba’zilar “besh sakkizinchi”ni qanday yozishni bilmay qolishi mumkin.

Ba'zan sonning qismlari turli qoidalarga ko'ra nomlanadi. Masalan, bu kabi: "sakkizlik sanoq sistemasida besh yuz o'n etti nuqta besh". Bu sohada ham hali standart yo'qdek.

O'ylaymanki, raqamlarni talaffuz qilishda eng muhimi, boshqalar nimani nazarda tutayotganingizni tushunishlaridir.

Ikkilik sonlar bilan sakkizlik va o'n oltilik sonlar o'rtasidagi yozishmalar jadvalini qanday eslab qolish kerak?

Ushbu jadvalni faqat tajriba bilan eslab qolishingiz mumkin - unga ko'p marta murojaat qiling va bir muncha vaqt o'tgach, uni yoddan bilib olasiz.

Lekin bu jadvalni yodlab olishingiz shart emas! Murojaatlarni aniqlash shunchalik osonki, men bu jadvalni yoddan eslaymanmi yoki har safar hisoblaymanmi, ishonchim komil emasmi? Muvofiqlikni aniqlash uchun siz bir nechta juda oddiy narsalarni bilishingiz kerak:

Bitta o'n oltilik raqam 4 ta ikkilik raqamga, bitta sakkizlik raqam esa 3 ta ikkilik raqamga to'g'ri keladi. Buni eslab qolish oson, chunki 2 4 =16 va 2 3 =8.

Sakkizlik sanoq sistemasidan 0 dan 7 gacha boʻlgan sonlarni oʻnlik sanoq sistemasiga va aksincha oʻzgartirishni aqliy oʻrganishingiz kerak. Bu juda qiyin operatsiya, buni faqat vunderkindlar o'z ongida qila oladi. Agar siz vunderkind bo'lmasangiz, 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6 va 7 7 ga teng ekanligini shunchaki eslab qolishingiz mumkin.

Siz 0 dan 15 gacha bo'lgan raqamlarni o'nlik sanoq sistemasidan o'n oltilik sanoq tizimiga aqliy ravishda o'zgartirishni o'rganishingiz kerak. Bu juda oddiy, chunki 0 dan 9 gacha raqamlar mos keladi va 10 dan 15 gacha bo'lgan raqamlar lotin alifbosining A dan F gacha bo'lgan harflariga mos keladi. Siz har safar boshingizda hisoblashingiz mumkin (10 - A, 11 - B. , 12 - C va boshqalar)

Eng qiyin narsa - o'rganish. Ammo bu mahoratning o'zi stolning muhim qismini qamrab oladi.

Endi siz 0 dan 15 gacha boʻlgan istalgan sonni ikkilikdan oʻnlik sanoqli tizimga, keyin esa oʻn oltilik yoki sakkiztalikka osongina oʻzgartirishingiz mumkin. Yoki siz buning aksini qilishingiz mumkin.

Raqamlarni aylantirish uchun siz uzun bo'linishni bajarishingiz kerak. Agar men uzun bo'linishni qanday qilishni bilmasam nima bo'ladi?

Bu erda keltirilgan nazariy material sizning ba'zi ko'nikmalaringiz borligini taxmin qiladi. Agar sizda ushbu minimal ko'nikmalar mavjud bo'lmasa, unda bu erda nima yozilganligini tushunish uchun avval ushbu oddiy ko'nikmalarga ega bo'lish mantiqan.

Bu erda keltirilgan barcha nazariy materiallarni tushunish uchun sizga kerak bo'ladi:

Raqamning printsipial jihatdan nima ekanligini tushuning.

Keling, kompyuter fanining eng muhim mavzularidan birini ko'rib chiqaylik -. IN maktab o'quv dasturi Bu juda "kamtarona" ochib berilgan, ehtimol unga ajratilgan soatlarning etishmasligi tufayli. Ushbu mavzu bo'yicha bilim, ayniqsa sanoq sistemalarining tarjimasi, muvaffaqiyatga erishish uchun zaruriy shartdir yagona davlat imtihonidan o'tish va tegishli fakultetlardagi universitetlarga qabul qilish. Quyida biz kabi tushunchalarni batafsil muhokama qilamiz pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari, bu sanoq sistemalariga misollar keltirildi, butun o'nli sonlarni tarjima qilish qoidalari, to'g'ri o'nli kasrlar va aralash o‘nlik sonlarni istalgan boshqa sanoq sistemasiga o‘tkazish, raqamlarni istalgan sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish, sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalaridan ikkilik sanoq sistemasiga o‘tkazish. Imtihonlarda ushbu mavzu bo'yicha juda ko'p muammolar mavjud. Ularni hal qilish qobiliyati abituriyentlarga qo'yiladigan talablardan biridir. Tez orada: Bo'limning har bir mavzusi uchun batafsil nazariy materiallardan tashqari, deyarli barcha mumkin bo'lgan variantlar taqdim etiladi vazifalar Uchun o'z-o'zini o'rganish. Bundan tashqari, siz fayl hosting xizmatidan tayyorlarini mutlaqo bepul yuklab olish imkoniyatiga ega bo'lasiz. batafsil yechimlar bu vazifalarni tasvirlab beradi turli yo'llar bilan to'g'ri javob olish.

pozitsion sanoq sistemalari.

Nopozitsion sanoq sistemalari- raqamning miqdoriy qiymati uning raqamdagi joylashuviga bog'liq bo'lmagan sanoq tizimlari.

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimlariga, masalan, rim tili kiradi, bu erda raqamlar o'rniga lotin harflari mavjud.

I	1 (bir)
V	5 (besh)
X	10 (o'n)
L	50 (ellik)
C	100 (yuz)
D	500 (besh yuz)
M	1000 (ming)

Bu erda V harfi joylashuvidan qat'iy nazar 5 ni bildiradi. Ammo shuni ta'kidlash joizki, Rim sanoq tizimi pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimining klassik namunasi bo'lsa-da, u to'liq pozitsiyali emas, chunki Kattasining oldidagi kichik son undan ayiriladi:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

pozitsion sanoq sistemalari.

Pozitsion sanoq sistemalari- raqamning miqdoriy qiymati uning sondagi joylashuviga bog'liq bo'lgan sanoq tizimlari.

Misol uchun, agar o'nlik sanoq tizimi haqida gapiradigan bo'lsak, unda 700 raqamida 7 raqami "etti yuz" degan ma'noni anglatadi, ammo 71 raqamidagi xuddi shu raqam "etti o'nlik", 7020 sonida esa "etti ming" degan ma'noni anglatadi. .

Har biri pozitsion sanoq sistemasi o'ziga xos asos. Ikki dan katta yoki teng natural son asos sifatida tanlanadi. Bu ma'lum bir sanoq tizimida ishlatiladigan raqamlar soniga teng.

Ikkilik- 2 asosli pozitsion sanoq sistemasi.
To'rtlamchi- 4 asosli pozitsion sanoq sistemasi.
Besh barobar- 5 asosli pozitsion sanoq sistemasi.
Sakkizlik- 8 asosli pozitsion sanoq sistemasi.
O'n oltilik- 16 asosli pozitsion sanoq sistemasi.

“Raqam tizimlari” mavzusidagi masalalarni muvaffaqiyatli yechish uchun talaba 16 10 gacha bo‘lgan ikkilik, o‘nlik, sakkizlik va o‘n oltilik sonlarning mosligini yoddan bilishi kerak:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Bu sanoq sistemalarida raqamlar qanday olinishini bilish foydalidir. Buni sakkizlik, o'n oltilik, uchlik va boshqalarda taxmin qilishingiz mumkin pozitsion sanoq sistemalari Hamma narsa biz o'rganib qolgan o'nlik tizim bilan bir xil tarzda sodir bo'ladi:

Raqamga bittasi qo'shiladi va yangi raqam olinadi. Agar birliklar o'rni sanoq tizimining asosiga teng bo'lsa, biz o'nliklar sonini 1 ga oshiramiz va hokazo.

Bu "bir o'tish" ko'pchilik talabalarni qo'rqitadi. Aslida, hamma narsa juda oddiy. O'tish birliklar soni teng bo'lsa sodir bo'ladi raqamlar bazasi, biz o'nlik sonini 1 ga oshiramiz. Ko'pchilik, yaxshi eski o'nlik tizimini eslab, bu o'tishdagi raqamlar haqida bir zumda chalkashib ketishadi, chunki o'nlik va, masalan, ikkilik o'nliklar turli xil narsalardir.

Demak, zukko o'quvchilar, masalan, birinchi ustunlari (o'zgaruvchan qiymatlari), aslida, o'sish tartibida ikkilik raqamlar bilan to'ldirilgan haqiqat jadvallarini to'ldirishda "o'z usullarini" (hayratlanarli ... ishlaydigan) ishlab chiqadilar.

Masalan, raqamlarni kiritishni ko'rib chiqaylik sakkizlik tizim: Birinchi raqamga (0) 1 qo'shamiz, 1 ni olamiz. Keyin 1 ga 1 qo'shamiz, 2 ni olamiz va hokazo. ga 7. Agar biz 7 ga bitta qo'shsak, biz sanoq tizimining asosiga teng sonni olamiz, ya'ni. 8. Keyin o'nliklarni bittaga oshirish kerak (biz sakkizlik o'nlikni olamiz - 10). Keyingi o'rinlarda 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101... raqamlari borligi aniq.

Bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o'tkazish qoidalari.

1 Butun o‘nli sonlarni istalgan boshqa sanoq sistemasiga aylantirish.

Raqamni bo'lish kerak yangi sanoq tizimi bazasi. Bo'linishning birinchi qoldig'i yangi raqamning birinchi kichik raqamidir. Agar bo'linishning ko'rsatkichi yangi bazadan kichik yoki unga teng bo'lsa, u (bo'lim) yana yangi asosga bo'linishi kerak. Bo'linish biz yangi bazadan kamroq bo'lak olinmaguncha davom ettirilishi kerak. Bu yangi raqamning eng yuqori raqamidir (masalan, o'n oltilik tizimda 9 dan keyin harflar borligini yodda tutishingiz kerak, ya'ni qolgan 11 bo'lsa, uni B sifatida yozishingiz kerak).

Misol (“burchakka bo‘linish”): 173 10 sonini sakkizlik sanoq sistemasiga o‘tkazamiz.

Shunday qilib, 173 10 =255 8

2 Oddiy o'nli kasrlarni istalgan boshqa sanoq sistemasiga o'tkazish.

Raqam yangi sanoq sistemasi bazasiga ko'paytirilishi kerak. Butun qismga aylangan raqam yangi sonning kasr qismining eng yuqori raqamidir. keyingi raqamni olish uchun hosil bo'lgan mahsulotning kasr qismini butun qismga o'tish sodir bo'lgunga qadar yana sanoq tizimining yangi bazasiga ko'paytirish kerak. Biz ko'paytirishni kasr qismi nolga teng bo'lgunga qadar yoki masalada ko'rsatilgan aniqlikka erishguncha davom ettiramiz ("... masalan, ikkita kasr aniqligi bilan hisoblang").

Misol: 0,65625 10 sonni sakkizlik sanoq sistemasiga aylantiramiz.

Belgilash raqamlarni yozish usuli hisoblanadi. Odatda, raqamlar maxsus belgilar - raqamlar yordamida yoziladi (har doim bo'lmasa ham). Agar siz hech qachon o'qimagan bo'lsangiz bu savol, unda kamida ikkita raqam tizimini bilishingiz kerak - arab va rim. Birinchisi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlaridan foydalanadi va pozitsion sanoq sistemasidir. Ikkinchisida - I, V, X, L, C, D, M va bu pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimi.

Pozitsion sanoq sistemalarida sondagi raqam bilan belgilangan miqdor uning pozitsiyasiga bog’liq bo’lsa, nopozitsion sanoq sistemalarida bu bog’liq emas. Masalan:

11 - bu erda birinchi birlik o'nni, ikkinchisi esa 1 ni bildiradi.
II - bu yerda ikkala birlik ham bittani bildiradi.

345, 259, 521 - bu erda birinchi holatda 5 raqami 5 ni, ikkinchisida - 50, uchinchisida - 500 ni bildiradi.

XXV, XVI, VII - bu yerda V soni qayerda bo'lmasin, u har doim besh birlikni bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, V belgisi bilan belgilangan miqdor uning pozitsiyasiga bog'liq emas.

Qo‘shish, ko‘paytirish va boshqa matematik amallarni pozitsiyali bo‘lmaganlarga qaraganda pozitsion sanoq sistemalarida bajarish osonroq, chunki matematik amallar oddiy algoritmlar yordamida amalga oshiriladi (masalan, ustunga ko'paytirish, ikki raqamni taqqoslash).

Pozitsion sanoq sistemalari dunyoda eng keng tarqalgan. Bolaligidan hammaga tanish boʻlgan oʻnlik sanoq sistemasidan (0 dan 9 gacha boʻlgan oʻnta raqamdan foydalaniladi) tashqari, texnikada ikkilik (0 va 1 raqamlari qoʻllaniladi), sakkizlik va oʻn oltilik sanoq sistemalari keng qoʻllaniladi.

Nolning muhim rolini ta'kidlash kerak. Insoniyat tarixida bu raqamning "kashfiyoti" pozitsion sanoq sistemalarining shakllanishida katta rol o'ynadi.

Sanoq tizimining asosi raqamlarni yozish uchun ishlatiladigan raqamlar sonidir.

Joy - raqamdagi raqamning o'rni. Raqamning raqam sig'imi - bu raqamni tashkil etuvchi raqamlar soni (masalan, 264 - uch xonali son, 00010101 - sakkiz xonali son). Raqamlar o'ngdan chapga raqamlangan (masalan, 598 raqamida sakkizta birinchi raqamni, beshta uchinchi raqamni egallaydi).

Demak, pozitsion sanoq sistemasida raqamlar shunday yoziladiki, har bir keyingi (o‘ngdan chapga harakat) raqam sanoq sistemasi asosining kuchiga ko‘ra ikkinchisidan katta bo‘ladi. (diagramma bilan chiqing)

Bir xil son (qiymat) turli sanoq sistemalarida ifodalanishi mumkin. Raqamning ko'rinishi boshqacha, ammo ma'no o'zgarishsiz qoladi.

Ikkilik sanoq sistemasi

IN ikkilik tizim raqamlashda faqat ikkita 0 va 1 raqamlaridan foydalaniladi. Boshqacha aytganda, ikkita ikkilik sanoq tizimining asosi hisoblanadi. (Shunga o'xshab, o'nli tizimning asosi 10 ga teng.)

Ikkilik sanoq sistemasidagi raqamlarni tushunishni o'rganish uchun avvalo bizga tanish bo'lgan o'nlik sanoq sistemasida sonlar qanday hosil bo'lishini ko'rib chiqamiz.

O'nlik sanoq sistemasida bizda o'nta raqam mavjud (0 dan 9 gacha). Hisoblash 9 ga yetganda, yangi raqam (o'nlik) kiritiladi, birlar nolga qaytariladi va hisoblash yana boshlanadi. 19 dan keyin o'nlar soni 1 ga ortadi va birliklar yana nolga qaytariladi. Va hokazo. O'nliklar 9 ga yetganda, uchinchi raqam paydo bo'ladi - yuzlar.

Ikkilik sanoq sistemasi oʻnlik sanoq sistemasiga oʻxshaydi, faqat sonning hosil boʻlishida faqat ikkita raqam ishtirok etadi: 0 va 1. Raqam oʻz chegarasiga (yaʼni bir) yetgan zahoti yangi raqam paydo boʻladi va eskisi nolga qaytariladi.

Keling, ikkilik tizimda hisoblashga harakat qilaylik:
0 nolga teng
1 bitta (va bu zaryadsizlanish chegarasi)
10 - ikkita
11 - uchta (va bu yana chegara)
100 - to'rt
101 - besh
110 - olti
111 - etti va boshqalar.
Raqamlarni ikkilik sistemadan o‘nlik sistemaga o‘tkazish

Ikkilik sanoq sistemasida qiymatlar oshgani sayin raqamlarning uzunligi tez ortib borishini payqash qiyin emas. Bu nimani anglatishini qanday aniqlash mumkin: 10001001? Raqamlarni yozishning bunday shakliga o'rganmagan inson miyasi odatda uning qanchalik ko'p ekanligini tushunolmaydi. Ikkilik sonlarni o'nlik sanoqqa o'tkazish imkoniyati mavjud bo'lsa yaxshi bo'lardi.

O'nlik sanoq sistemasida har qanday son birliklar yig'indisi, o'nlik, yuzlik va boshqalar sifatida ifodalanishi mumkin. Masalan:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Ushbu yozuvni diqqat bilan ko'rib chiqing. Bu erda 1, 4, 7 va 6 raqamlari 1476 raqamini tashkil etuvchi raqamlar to'plamidir. Bu raqamlarning barchasi o'z navbatida bir darajaga ko'tarilgan o'nga ko'paytiriladi. O'n o'nlik sanoq sistemasining asosidir. O'nta ko'tarilgan quvvat minus bir raqamning raqamidir.

Har qanday ikkilik son xuddi shunday tarzda kengaytirilishi mumkin. Bu erda faqat baza 2 bo'ladi:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Bular. 2-asosdagi 10001001 raqami 10-asosdagi 137 raqamiga teng. Uni quyidagicha yozishingiz mumkin:

10001001 2 = 13710
Nima uchun ikkilik sanoq sistemasi keng tarqalgan?

Gap shundaki, ikkilik sanoq sistemasi kompyuter texnikasi tilidir. Har bir raqam qandaydir tarzda jismoniy vositada ifodalanishi kerak. Agar bu o'nlik tizim bo'lsa, unda siz o'nta holatga ega bo'lishi mumkin bo'lgan qurilma yaratishingiz kerak bo'ladi. Bu qiyin. Faqat ikkita holatda bo'lishi mumkin bo'lgan jismoniy elementni ishlab chiqarish osonroq (masalan, oqim mavjud yoki oqim yo'q). Bu ikkilik sanoq sistemasiga katta e’tibor qaratilishining asosiy sabablaridan biridir.
O'nlik sonni ikkilik sanoqqa o'tkazish

O'nlik sonni ikkilik raqamga aylantirishingiz kerak bo'lishi mumkin. Buning bir usuli - ikkiga bo'lish va qolgandan ikkilik son hosil qilish. Masalan, siz uning ikkilik belgisini 77 raqamidan olishingiz kerak:

77/2 = 38 (1 qolgan)
38/2 = 19 (0 qoldi)
19/2 = 9 (1 qolgan)
9/2 = 4 (1 qoldi)
4/2 = 2 (0 qolgan)
2/2 = 1 (0 qoldiq)
1/2 = 0 (1 qoldiq)

Biz oxiridan boshlab qoldiqlarni birga yig'amiz: 1001101. Bu ikkilik ko'rinishdagi 77 raqami. Keling, tekshiramiz:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Sakkizlik sanoq sistemasi

Shunday qilib, zamonaviy "apparat" faqat ikkilik sanoq tizimini tushunadi. Biroq, odam bir tomondan nollar va birlarning uzun yozuvlarini idrok etishi qiyin, ikkinchi tomondan, raqamlarni ikkilikdan o'nlik tizimga va orqaga o'tkazish juda ko'p vaqt va mehnat talab qiladi. Natijada, dasturchilar ko'pincha boshqa sanoq tizimlaridan foydalanadilar: sakkizlik va o'n oltilik. 8 va 16 ikkalasi ham ikkitaning kuchlari va ikkilik sonni ularga aylantirish (shuningdek, teskarisini bajarish) juda oson.

Sakkizlik sanoq sistemasi sakkizta raqamdan (0 dan 7 gacha) foydalanadi. Har bir raqam ikkilik sanoq sistemasidagi uchta raqam toʻplamiga mos keladi:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

Ikkilik sonni sakkizlikka aylantirish uchun uni uchliklarga bo'lish va ularni sakkizlik sanoq sistemasining mos raqamlari bilan almashtirish kifoya. Siz uchliklarga bo'linishni oxiridan boshlashingiz kerak va boshida etishmayotgan raqamlarni nol bilan almashtiring. Masalan:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Ya’ni ikkilik sanoq sistemasidagi 1011101 soni sakkizlik sanoq sistemasidagi 135 soniga teng. Yoki 1011101 2 = 1358.

Teskari tarjima. Aytaylik, siz 1008 raqamini (yanglishmang! Sakkizlikdagi 100 o‘nlik kasrda 100 emas) ikkilik sanoq sistemasiga aylantirmoqchisiz.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Sakkizlik sonni o'nlik raqamga aylantirish allaqachon tanish bo'lgan sxema yordamida amalga oshirilishi mumkin:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

O‘n oltilik sanoq sistemasi

Sakkizlik sanoq sistemasi kabi ikkilik sonlarni unga aylantirish qulayligi tufayli o‘n oltilik sanoq sistemasi ham informatikada keng qo‘llaniladi. O'n oltilik tizim raqamlarni yanada ixcham qiladi.

O‘n oltilik sanoq sistemasida 0 dan 9 gacha raqamlar va birinchi olti lotin harflari – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15) ishlatiladi.

Ikkilik sonni o'n oltilik songa o'tkazishda birinchisi oxiridan boshlab to'rtta raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi. Agar raqamlar soni butun songa bo'linmasa, birinchi to'rtta oldiga nol qo'shiladi. Har to'rtta o'n oltilik sanoq sistemasidagi raqamga mos keladi:

Masalan:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Agar kerak bo'lsa, 4C5 raqamini o'nlik sanoq tizimiga quyidagicha o'zgartirish mumkin (C o'nlik sanoq tizimidagi ushbu belgiga mos keladigan raqam bilan almashtirilishi kerak - bu 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

O'n oltilik yozuv yordamida olinishi mumkin bo'lgan maksimal ikki xonali son FF hisoblanadi.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 - bir baytning maksimal qiymati, 8 bitga teng: 1111 1111 = FF. Shuning uchun, o'n oltilik sanoq tizimidan foydalanib, bayt qiymatlarini qisqacha (ikki raqamdan foydalangan holda) yozish juda qulaydir. Diqqat! 8 bitli baytda 256 ta holat bo'lishi mumkin, lekin maksimal qiymat 255. 0 haqida unutmang - bu aynan 256-holat.

Ma’ruza 1. Sanoq tizimlari

1. Sanoq sistemalarining paydo bo`lish tarixi.

2. Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari.

3. O‘nlik sanoq sistemasi, unda sonlarni yozish.

4. Daraja

Inson doimo raqamlar bilan shug'ullanishi kerak, shuning uchun siz istalgan raqamni to'g'ri nomlashingiz va yozishingiz, raqamlar ustida amallarni bajarishingiz kerak. Qoidaga ko'ra, hamma buni muvaffaqiyatli engadi. Bu erda hozir hamma joyda qo'llaniladigan va o'nlik sanoq sistemasi deb ataladigan raqamlarni yozish usuli yordam beradi.

Ushbu tizimni o'rganish yilidan boshlanadi boshlang'ich maktab, va, albatta, o'qituvchiga bu sohada ma'lum bilim kerak. U raqamlarni yozishning turli usullarini, algoritmlarni bilishi kerak arifmetik amallar va ularning mantiqiy asoslari. Ushbu ma'ruza materiali minimal darajada taqdim etadi, ularsiz o'qitishning turli uslubiy yondashuvlarini tushunish mumkin emas. kichik maktab o'quvchilari sonlarni yozish va ular ustida amallarni bajarish usullari.

Sanoq sistemalarining paydo bo'lish tarixi.

Raqam tushunchasi qadimgi davrlarda paydo bo'lgan. Keyin raqamlarni nomlash va yozish zarurati paydo bo'ldi. Raqamlarni nomlash, yozish va ular ustida amallarni bajarish tili deyiladi sanoq tizimi.

Eng oddiy tizim yozuvlar natural sonlar faqat bitta raqamni talab qiladi, masalan, "tayoqlar" (yoki yog'ochdagi tirqishlar, masalan ibtidoiy odam, yoki arqondagi tugun, xuddi Amerika hindulari kabi), birlikni ifodalaydi. Ushbu belgini takrorlash orqali siz istalgan raqamni yozishingiz mumkin: har bir raqam n oddiygina yozilgan n"tayoqlar". Bunday sanoq sistemasida arifmetik amallarni bajarish qulay. Ammo bu ro'yxatga olish usuli juda tejamkor emas va ko'p sonlar uchun muqarrar ravishda hisoblashda xatolarga olib keladi.

Shu sababli, vaqt o'tishi bilan raqamlarni yozishning boshqa, yanada tejamkor va qulay usullari paydo bo'ldi. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.

IN Qadimgi Gretsiya deb atalmish chodirni raqamlash. 1, 2, 3, 4 raqamlari tire bilan ko'rsatilgan:

5 raqami G belgisi bilan yozilgan ("pente" - besh so'zi boshlanadigan "pi" harfining qadimgi shakli). 6, 7, 8, 9 raqamlari quyidagicha belgilandi:

10 raqami D bilan belgilangan ("deka" so'zining bosh harfi o'nta). 100, 1000 va 10 000 raqamlari H, X, M - mos keladigan so'zlarning bosh harflari bilan belgilandi.

Boshqa raqamlar bu belgilarning turli kombinatsiyalari bilan yozilgan.

Miloddan avvalgi 3-asrda chordoqdagi raqamlash so'z bilan almashtirildi Ion tizimi. Unda 1 dan 9 gacha raqamlar alifboning birinchi to'qqizta harfi bilan ko'rsatilgan: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ς (Voy-buy) ζ (zeta),
η (eta), (teta).

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 raqamlari quyidagi to'qqizta harfda: i(nota),
κ (kappa), λ (lambda), μ (mu), ν (yalang'och), ξ (xi), ο (omikron), π (pi), Bilan(politsiya).

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 raqamlari yunon alifbosining oxirgi toʻqqizta harfidir.

Qadim zamonlarda yahudiylar, arablar va Yaqin Sharqning boshqa ko'plab xalqlari qadimgi yunoncha alifbo tartibida raqamlangan. U birinchi marta qaysi odamlar orasida paydo bo'lganligi noma'lum.

IN Qadimgi Rim "kalit" raqamlari 1, 5, 10, 50, 100, 500 va 1000 edi. Ular mos ravishda I, V, X, L, C, D va M harflari bilan belgilandi.

Barcha butun sonlar (5000 gacha) yuqoridagi raqamlarni takrorlash orqali yozildi. Shu bilan birga, agar kattaroq raqam kichikroqning oldida bo'lsa, unda ular qo'shiladi, lekin agar kichikroq kattaroqning oldida bo'lsa (bu holda uni takrorlash mumkin emas), u holda kichikroq raqam ayiriladi. kattasidan: VI = 6, ya'ni. 5 + 1; IV = 4, ya'ni. 5 – 1;
XL = 40, ya'ni. 50 – 10; LX = 60, ya'ni. 50 + 10. Xuddi shu raqam ketma-ket uch martadan ko'p bo'lmagan holda joylashtiriladi: LXX = 70, LXXX = 80, 90 raqami XC (LXXXX emas) yoziladi.

Masalan: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Bu belgida ko'p xonali sonlar ustida arifmetik amallarni bajarish juda qiyin. Biroq, rim raqamlari bugungi kungacha saqlanib qolgan. U yubileylarni, konferentsiyalarning nomlarini, kitoblardagi bo'limlarni va hokazolarni belgilash uchun ishlatiladi.

Qadim zamonlarda raqamlar rus tilida harflar bilan belgilangan. Belgining harf emas, balki raqam ekanligini ko'rsatish uchun ularning ustiga "titlo" deb nomlangan maxsus belgi qo'yilgan. Birinchi to'qqiz raqam quyidagicha yozilgan:

O'nliklar quyidagicha belgilanadi:

Yuzliklar quyidagicha belgilanadi:

Minglab Birinchi to'qqizta raqam bilan bir xil harflar bilan belgilangan, ammo ular chap tomonda "≠" belgisiga ega edi: ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000.

O'n minglab deb atalgan qorong'i", ular birlik belgilarini aylantirib belgilandi:

10 000, = 20 000, = 80 000.

Bu erda "Odamlarga zulmat" iborasi kelib chiqadi, ya'ni. ko'p odamlar bor.

Yuz minglab deb atalgan legionlar", ular nuqtalar doiralari bilan birlik belgilarini aylanib o'tish orqali belgilandi:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Millionlab deb atalgan leodras" Ular birlik belgilarini nurlar doiralari yoki vergullar bilan aylantirib belgilandi:

1 000 000, = 2 000 000.

O'nlab millionlar deb atalgan qarg'alar"yoki" korvidlar" va ular birlik belgilarini xochlar doiralari bilan aylantirib yoki har ikki tomonga K harfini qo'yish orqali belgilandi:

Yuzlab millionlar deb atalgan palubalar" "Publika" maxsus belgiga ega edi - kvadrat qavslar harfning ustiga va ostiga qo'yilgan:

Aholining ierogliflari Qadimgi Bobil tor vertikal va gorizontal takozlardan tashkil topgan; bu ikki piktogramma raqamlarni yozish uchun ham ishlatilgan. Bitta vertikal takoz bitta, gorizontal esa o'nta degan ma'noni anglatadi. Qadimgi Bobilda ular 60 birlikdan iborat guruhlarda hisoblangan. Masalan, 185 soni 3 karra 60 va 5 ga ko'p bo'lib ifodalangan.Bunday raqam faqat ikkita belgi yordamida yozilgan bo'lib, ulardan biri 60 ning necha marta olinganligini, ikkinchisi esa nechta birlik olinganligini bildirgan.

Bobilliklar orasida jinsiy aloqa tizimi qachon va qanday paydo bo'lganligi haqida ko'plab farazlar mavjud, ammo hali hech biri isbotlanmagan. Gipotezalardan biri ikki qabila aralashmasi bo‘lgan, ulardan biri oltilik sistemasidan, ikkinchisi esa o‘nlik sistemadan foydalangan. Seksagesimal tizim bu ikki tizim o'rtasidagi kelishuv sifatida paydo bo'lgan. Yana bir farazga ko'ra, bobilliklar yil uzunligini 360 kun deb hisoblashgan, bu tabiiy ravishda 60 raqami bilan bog'liq.

Seksagesimal tizim ma'lum darajada hozirgi kungacha saqlanib qolgan, masalan, soatni 60 daqiqaga, daqiqani 60 soniyaga bo'lishda va shunga o'xshash burchaklarni o'lchash tizimida: 1 daraja 60 daqiqaga teng, 1. daqiqa 60 soniya.

Ikkilik tizim Hisoblashda ba'zi bir ibtidoiy qabilalar tomonidan yozuvdan foydalanilgan; bu qadimgi Xitoy matematiklariga ma'lum bo'lgan, lekin ikkilik tizimni chinakam ishlab chiqqan va qurgan buyuk nemis matematigi Leybnits unda chuqur metafizik haqiqatning timsolini ko'rgan.

Ikkilik sanoq sistemasi Afrika, Avstraliya va ba'zi (mahalliy) madaniyatlar tomonidan qo'llaniladi Janubiy Amerika.

Ikkilik sanoq sistemasida raqamlarni ifodalash uchun faqat ikkita raqam talab qilinadi: 0 va 1. Shu sababli sonning ikkilik yozuvini ikki xil barqaror holatga ega fizik elementlar yordamida tasvirlash oson. Aynan shu narsa ikkilik tizimning zamonaviy elektron hisoblash mashinalarida keng qo'llanilishining muhim sabablaridan biri bo'lib xizmat qildi.

Barcha sanoq sistemalari ichida eng tejamkori hisoblanadi uchlik. Samaradorlik jihatidan unga teng bo'lgan ikkilik tizim va to'rtlamchi tizim bu jihatdan uchlik tizimdan bir oz pastroq, lekin barcha asosiy mumkin bo'lgan tizimlardan ustundir. Agar o'nlik sistemada 1 dan 10 gacha raqamlarni yozish uchun 90 ta turli holat kerak bo'lsa, ikkilik tizimda - 60, uchlik tizimda 57 ta holat etarli.

Uchlik tahlil qilish zarurati o'zini namoyon qiladigan eng keng tarqalgan vaziyat, ehtimol, chashka tarozida tortishdir. Bu erda uch xil holat paydo bo'lishi mumkin: yoki stakanlardan biri boshqasidan og'irroq bo'ladi yoki aksincha, yoki stakanlar bir-birini muvozanatlashtiradi.

To'rtlamchi sanoq tizimi asosan Janubiy Amerikadagi hind qabilalari va Kaliforniyaning Yucca hindulari tomonidan qo'llaniladi, ular barmoqlari orasidagi bo'shliqlarni hisoblashadi.

Besh karrali sanoq tizimi boshqalarga qaraganda ancha keng tarqalgan edi. Janubiy Amerikadagi Tamanakos hindulari 5 raqami uchun xuddi "butun qo'l" so'zini ishlatadilar. Tamanakdagi "olti" so'zi "boshqa tomondan bir barmoq" degan ma'noni anglatadi, ettita "boshqa tomondan ikki barmoq" va hokazo. sakkiz va to'qqiz uchun. O'nta "ikki qo'l" deb ataladi. 11 dan 14 gacha bo'lgan raqamni nomlashni xohlab, Tamanakos ikkala qo'lni oldinga cho'zadi va hisoblaydi: "bir oyog'ida, ikkitasi oyog'ida" va hokazo. ular 15 ga etguncha - "butun oyoq". Undan keyin "bir oyoqda" (16-raqam) va hokazo. ga 19. Tamanakdagi 20 raqami "bitta hindistonlik", 21 raqami "bir boshqa hindning qo'lida" degan ma'noni anglatadi. "Ikki hind" - 40, "uch hind" - 60 degan ma'noni anglatadi.

Qadimgi Java va Azteklar aholisi 5 kundan iborat haftaga ega edi.

Ba'zi tarixchilarning fikriga ko'ra, X (o'n) rim raqami ikkita Rim 5s V (ulardan biri teskari) dan iborat bo'lgan va V raqami o'z navbatida inson qo'lining stilize qilingan tasviridan kelib chiqqan.

Qadim zamonlarda keng tarqalgan o'n ikkilik sanoq tizimi. Uning kelib chiqishi ham barmoqlarda sanash bilan bog'liq. Ya'ni, qo'lning to'rt barmog'i (bosh barmog'idan tashqari) jami 12 ta falanjga ega bo'lganligi sababli, bu falanjlar bo'ylab ularni bosh barmog'i bilan navbatma-navbat aylantirib, ular 1 dan 12 gacha hisoblanadi. Keyin 12 ta birlik sifatida qabul qilinadi. keyingi raqam.

O'n ikkilik tizimning asosiy afzalligi shundaki, uning asosi 2, 3 va 4 ga bo'linadi. O'n ikkilik tizim tarafdorlari XVI asrda paydo bo'lgan. Keyinchalik, bularga quyidagilar kiradi: ajoyib odamlar, Gerbert Spenser, Jon Quincy Adams va Jorj Bernard Shou kabi. Hatto Amerika Duodecimal Jamiyati mavjud bo'lib, u ikkita davriy nashrni nashr etadi: Duodecimal Bulletin va Duodecimal System Manual. Jamiyat barcha "o'n ikki barmoqli ichak" ni maxsus hisoblash o'lchagich bilan ta'minlaydi, unda 12 ta asos sifatida ishlatiladi.

Og'zaki nutqda o'n ikkilik tizimning qoldiqlari hozirgi kungacha saqlanib qolgan: "o'n ikki" deyish o'rniga, ba'zilari "o'nlab" deyishadi. Ko'p narsalarni o'nlab emas, balki o'nlab sanash odati saqlanib qolgan, masalan, xizmatdagi pichoqlar (12 kishilik to'plam) yoki mebel to'plamidagi stullar.

O'n ikkilik sanoq sistemasidagi uchinchi raqamli birlikning nomi yalpi- hozir kamdan-kam uchraydi, ammo savdo amaliyotida 20-asrning boshlarida u mavjud edi va hatto yuz yil oldin ham uni osongina topish mumkin edi. Masalan, 1928 yilda V.V tomonidan yozilgan "Plyushkin" she'rida. Mayakovskiy o'zlariga kerak bo'lgan va kerak bo'lmagan hamma narsani sotib oladigan shaharliklarni masxara qilib, shunday deb yozgan edi:

Atrofga qarab

tovarlarning tarqalishi,

Ikkilik sanoq sistemasida faqat ikkita raqamdan foydalaniladi, 0 va 1. Boshqacha aytganda, ikkita ikkilik sanoq sistemasining asosi hisoblanadi. (Shunga o'xshab, o'nli tizimning asosi 10 ga teng.)

Ikkilik sanoq sistemasidagi raqamlarni tushunishni o'rganish uchun avvalo bizga tanish bo'lgan o'nlik sanoq sistemasida sonlar qanday hosil bo'lishini ko'rib chiqamiz.

Raqamlarni ikkilik sistemadan o‘nlik sistemaga o‘tkazish

O'nlik sanoq sistemasida har qanday son birliklar yig'indisi, o'nlik, yuzlik va boshqalar sifatida ifodalanishi mumkin. Masalan:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0