Ikkita butun sonning eng katta umumiy boʻluvchisi. Tugun nima? Bo'lim. dividend: bo'luvchi = qism

Lancinova Aisa

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Raqamlar GCD va LCM bo'yicha masalalar "Kamyshovskaya o'rta maktabi" MCOU 6-sinf o'quvchisi Lantsinova Aisa Rahbar Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, matematika o'qituvchisi p. Kamyshevo, 2013 yil

50, 75 va 325 sonlarining gcd ni topishga misol. 1) 50, 75 va 325 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Bu raqamlardan birining kengayishi tarkibiga kiruvchi omillardan qolganlarini kengaytirishga kirmaydiganlarini kesib tashlaymiz. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Qolgan ko‘paytmalar ko‘paytmasini toping 5 ∙ 5 = 25 Javob: GCD (50, 75 va 325 eng katta natural) a va b raqamlari qoldiqsiz bo'linganda, bu sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi bu sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi deyiladi.

72, 99 va 117 sonlarining LKMni topishga misol. 1) 72, 99 va 117 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz.72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 sonlaridan birining kengayishi tarkibiga kiruvchi omillarni yozing va ularga qolgan sonlarning etishmayotgan omillarini qo'shing. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3′∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Hosil boʻlgan koʻpaytmalarning koʻpaytmasini toping. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Javob: LCM (72, 99 va 117) = 10296 Eng kichik umumiy karrali natural sonlar a va b ga karrali eng kichik natural sonni ayting.

Karton varag'i to'rtburchaklar shakliga ega, uning uzunligi 48 sm va kengligi 40 sm.Bu varaqni chiqindisiz teng kvadratlarga kesib tashlash kerak. Ushbu ish varag'idan qanday eng katta kvadratlarni olish mumkin va nechta? Yechish: 1) S = a ∙ b – to‘rtburchakning maydoni. S= 48 ∙ 40 = 1960 sm². - karton maydoni. 2) a - kvadratning tomoni 48: a - karton uzunligi bo'ylab yotqizilishi mumkin bo'lgan kvadratchalar soni. 40: a - kartonning kengligi bo'ylab yotqizilishi mumkin bo'lgan kvadratchalar soni. 3) GCD (40 va 48) = 8 (sm) - kvadrat tomoni. 4) S = a² - bir kvadratning maydoni. S = 8² = 64 (sm²) - bir kvadratning maydoni. 5) 1960: 64 = 30 (kvadratchalar soni). Javob: Har bir tomoni 8 sm bo'lgan 30 kvadrat. GCD bilan bog'liq muammolar

Xonadagi kamin kvadrat shaklida plitka bilan qoplangan bo'lishi kerak. 195 ͯ 156 sm o'lchamdagi kamin uchun qancha plitka kerak bo'ladi va eng katta plitka o'lchamlari qanday? Yechish: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (sm²) – kamin sirtining S. 2) GCD (195 va 156) = 39 (sm) - kafel tomoni. 3) S = a² = 39² = 1521 (sm²) - 1 plitka maydoni. 4) 30420: = 20 (dona). Javob: 39 ͯ 39 (sm) o'lchamdagi 20 ta plitka. GCD bilan bog'liq muammolar

Perimetri bo'ylab 54 ͯ 48 m o'lchamdagi bog 'uchastkasi panjara bilan o'ralgan bo'lishi kerak, buning uchun beton ustunlar muntazam ravishda joylashtirilishi kerak. Sayt uchun nechta ustunni olib kelish kerak va ustunlar bir-biridan maksimal masofada joylashtiriladi? Yechish: 1) P = 2(a + b) – saytning perimetri. P = 2 (54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 va 48) = 6 (m) - ustunlar orasidagi masofa. 3) 204: 6 = 34 (ustunlar). Javob: 34 ta ustun, 6 m masofada GCD muammolari

Guldastalar 210 ta bordo, 126 ta oq va 294 ta qizil atirguldan yig'ilgan, har bir guldastada bir xil rangdagi atirgullar soni teng bo'lgan. Bu atirgullardan qancha guldasta yasaladi va bitta guldastada har bir rangdagi nechta atirgul bor? Yechim: 1) GCD (210, 126 va 294) = 42 (guldastalar). 2) 210: 42 = 5 (bordo atirgullar). 3) 126: 42 = 3 (oq atirgullar). 4) 294: 42 = 7 (qizil atirgullar). Javob: 42 ta guldasta: har bir guldastada 5 ta bordo, 3 ta oq, 7 ta qizil atirgul. GCD bilan bog'liq muammolar

Tanya va Masha bir xil miqdordagi pochta to'plamlarini sotib olishdi. Tanya 90 rubl, Masha esa 5 rubl to'ladi. Ko'proq. Bitta to'plam qancha turadi? Har bir kishi nechta to'plam sotib oldi? Yechim: 1) 90 + 5 = 95 (rub.) Masha to'langan. 2) GCD (90 va 95) = 5 (rub.) - 1 to'plamning narxi. 3) 980: 5 = 18 (to'plamlar) - Tanya tomonidan sotib olingan. 4) 95: 5 = 19 (to'plamlar) - Masha tomonidan sotib olingan. Javob: 5 rubl, 18 to'plam, 19 to'plam. GCD bilan bog'liq muammolar

Port shahrida uchta sayyohlik qayiq sayohati boshlanadi, ularning birinchisi 15 kun, ikkinchisi - 20 va uchinchisi - 12 kun davom etadi. Portga qaytib kelgach, kemalar o'sha kuni yana yo'lga chiqdi. Bugun kemalar portni uch yo‘nalishda ham tark etdi. Necha kundan keyin ular birinchi marta yana birga suzib ketishadi? Har bir kema nechta sayohat qiladi? Yechish: 1) MOQ (15,20 va 12) = 60 (kun) – uchrashuv vaqti. 2) 60: 15 = 4 (safarlar) - 1 ta kema. 3) 60: 20 = 3 (sayohat) - 2 ta kema. 4) 60: 12 = 5 (parvozlar) - 3 ta kema. Javob: 60 kun, 4 reys, 3 reys, 5 reys. MOK vazifalari

Masha do'konda Ayiq uchun tuxum sotib oldi. O'rmonga ketayotib, u tuxum soni 2,3,5,10 va 15 ga bo'linishini tushundi.Masha nechta tuxum sotib oldi? Yechish: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (tuxum) Javob: Masha 30 tuxum sotib oldi. MOK vazifalari

16 ͯ 20 sm o'lchamdagi qutilarni joylashtirish uchun tubi to'rtburchakli quti yasash kerak.Qutilarni qutiga mahkam o'rnatish uchun to'rtburchak pastki tomonining eng qisqa uzunligi qancha? Yechish: 1) LCM (16 va 20) = 80 (quti). 2) S = a ∙ b - 1 qutining maydoni. S = 16 ∙ 20 = 320 (sm²) - 1 qutining pastki maydoni. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (sm²) - kvadrat tagining maydoni. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 - qutining o'lchamlari. Javob: 160 sm - kvadrat tagining tomoni. MOK vazifalari

K nuqtadan yo'l bo'ylab har 45 m elektr ustunlari mavjud.Ular bu ustunlarni bir-biridan 60 m masofada joylashtirishga qaror qildilar. U erda nechta ustun bor edi va qancha bo'ladi? Yechish: 1) LCM (45 va 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - ustunlar bor edi. 3) 180: 60 = 3 - ustunlarga aylandi. Javob: 4 ta ustun, 3 ta ustun. MOK vazifalari

Agar ular 12 kishidan iborat safda yurib, 18 kishilik kolonnaga aylansa, parad maydonchasida qancha askar ketmoqda? Yechish: 1) NOC (12 va 18) = 36 (odamlar) - yurish. Javob: 36 kishi. MOK vazifalari

GCD ning eng katta umumiy boʻluvchisini topamiz (36; 24)

Yechim bosqichlari

№1 usul

36 - kompozit raqam
24 - kompozit raqam

Keling, 36 raqamini kengaytiraylik

36: 2 = 18
18: 2 = 9 - tub son 2 ga bo'linadi
9: 3 = 3 - tub son 3 ga bo'linadi.

Keling, 24 raqamini ajratamiz asosiy omillarga ajrating va ularni yashil rang bilan ajratib ko'rsating. Biz tub sonlardan bo'linuvchini eng kichik tub son 2 dan boshlab, qism tub son bo'lguncha tanlashni boshlaymiz.

24: 2 = 12 - tub son 2 ga bo'linadi
12: 2 = 6 - tub son 2 ga bo'linadi
6: 2 = 3
Biz bo'linishni yakunlaymiz, chunki 3 - tub son

2) Uni ko'k rang bilan ajratib ko'rsating va umumiy omillarni yozing

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Umumiy omillar (36; 24): 2, 2, 3

3) Endi GCD ni topish uchun umumiy omillarni ko'paytirish kerak

Javob: GCD (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12

№ 2 usul

1) (36; 24) sonlarning barcha mumkin bo‘lgan bo‘luvchilarini toping. Buning uchun 36 sonni navbat bilan 1 dan 36 gacha bo‘luvchilarga, 24 sonini 1 dan 24 gacha bo‘luvchilarga ajratamiz.Agar son qoldiqsiz bo‘linadigan bo‘lsa, bo‘luvchini bo‘luvchilar ro‘yxatiga yozamiz.

36 raqami uchun
36: 1 = 36; 36: 2 = 18; 36: 3 = 12; 36: 4 = 9; 36: 6 = 6; 36: 9 = 4; 36: 12 = 3; 36: 18 = 2; 36: 36 = 1;

24 raqami uchun Qoldiqsiz bo'linadigan barcha holatlarni yozamiz:
24: 1 = 24; 24: 2 = 12; 24: 3 = 8; 24: 4 = 6; 24: 6 = 4; 24: 8 = 3; 24: 12 = 2; 24: 24 = 1;

2) Keling, raqamlarning barcha umumiy bo'luvchilarini yozamiz (36; 24) va eng kattasini yashil rang bilan ajratib ko'rsatamiz, bu raqamlarning (36; 24) gcd ning eng katta umumiy bo'luvchisi bo'ladi.

Raqamlarning umumiy omillari (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12

Javob: GCD (36 ; 24) = 12

LCMning eng kichik umumiy karrali topilsin (52; 49)

Yechim bosqichlari

№1 usul

1) Raqamlarni tub omillarga ajratamiz. Buni amalga oshirish uchun, keling, har bir son tub ekanligini tekshirib ko'ramiz (agar son tub bo'lsa, uni tub omillarga bo'lish mumkin emas va uning o'zi parchalanishdir)

52 - kompozit raqam
49 - kompozit raqam

Keling, 52 raqamini kengaytiraylik asosiy omillarga ajrating va ularni yashil rang bilan ajratib ko'rsating. Biz tub sonlardan bo'linuvchini eng kichik tub son 2 dan boshlab, qism tub son bo'lguncha tanlashni boshlaymiz.

52: 2 = 26 - tub son 2 ga bo'linadi
26: 2 = 13 - tub son 2 ga bo'linadi.
Biz bo'linishni yakunlaymiz, chunki 13 - tub son

Keling, 49 raqamini kengaytiraylik asosiy omillarga ajrating va ularni yashil rang bilan ajratib ko'rsating. Biz tub sonlardan bo'linuvchini eng kichik tub son 2 dan boshlab, qism tub son bo'lguncha tanlashni boshlaymiz.

49: 7 = 7 - tub son 7 ga bo'linadi.
7 tub son bo‘lgani uchun bo‘linishni yakunlaymiz

2) Eng avvalo eng katta sonning, keyin esa kichikroq sonning omillarini yozing. Keling, etishmayotgan omillarni topamiz, kichik sonni kengaytirishda ko'k rang bilan kattaroq sonni kengaytirishga kiritilmagan omillarni ajratib ko'rsatamiz.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) Endi, LCM ni topish uchun siz ko'k rang bilan belgilangan etishmayotgan omillar bilan kattaroq sonning omillarini ko'paytirishingiz kerak.

LCM (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

№ 2 usul

1) raqamlarning barcha mumkin bo'lgan karralarini toping (52; 49). Buning uchun navbatma-navbat 52 sonini 1 dan 49 gacha bo‘lgan sonlarga, 49 sonini esa 1 dan 52 gacha bo‘lgan sonlarga ko‘paytiramiz.

Barcha ko'paytmalarni tanlang 52 yashil rangda:

52 ∙ 1 = 52 ; 52 ∙ 2 = 104 ; 52 ∙ 3 = 156 ; 52 ∙ 4 = 208 ;
52 ∙ 5 = 260 ; 52 ∙ 6 = 312 ; 52 ∙ 7 = 364 ; 52 ∙ 8 = 416 ;
52 ∙ 9 = 468 ; 52 ∙ 10 = 520 ; 52 ∙ 11 = 572 ; 52 ∙ 12 = 624 ;
52 ∙ 13 = 676 ; 52 ∙ 14 = 728 ; 52 ∙ 15 = 780 ; 52 ∙ 16 = 832 ;
52 ∙ 17 = 884 ; 52 ∙ 18 = 936 ; 52 ∙ 19 = 988 ; 52 ∙ 20 = 1040 ;
52 ∙ 21 = 1092 ; 52 ∙ 22 = 1144 ; 52 ∙ 23 = 1196 ; 52 ∙ 24 = 1248 ;
52 ∙ 25 = 1300 ; 52 ∙ 26 = 1352 ; 52 ∙ 27 = 1404 ; 52 ∙ 28 = 1456 ;
52 ∙ 29 = 1508 ; 52 ∙ 30 = 1560 ; 52 ∙ 31 = 1612 ; 52 ∙ 32 = 1664 ;
52 ∙ 33 = 1716 ; 52 ∙ 34 = 1768 ; 52 ∙ 35 = 1820 ; 52 ∙ 36 = 1872 ;
52 ∙ 37 = 1924 ; 52 ∙ 38 = 1976 ; 52 ∙ 39 = 2028 ; 52 ∙ 40 = 2080 ;
52 ∙ 41 = 2132 ; 52 ∙ 42 = 2184 ; 52 ∙ 43 = 2236 ; 52 ∙ 44 = 2288 ;
52 ∙ 45 = 2340 ; 52 ∙ 46 = 2392 ; 52 ∙ 47 = 2444 ; 52 ∙ 48 = 2496 ;
52 ∙ 49 = 2548 ;

Barcha ko'paytmalarni tanlang 49 yashil rangda:

49 ∙ 1 = 49 ; 49 ∙ 2 = 98 ; 49 ∙ 3 = 147 ; 49 ∙ 4 = 196 ;
49 ∙ 5 = 245 ; 49 ∙ 6 = 294 ; 49 ∙ 7 = 343 ; 49 ∙ 8 = 392 ;
49 ∙ 9 = 441 ; 49 ∙ 10 = 490 ; 49 ∙ 11 = 539 ; 49 ∙ 12 = 588 ;
49 ∙ 13 = 637 ; 49 ∙ 14 = 686 ; 49 ∙ 15 = 735 ; 49 ∙ 16 = 784 ;
49 ∙ 17 = 833 ; 49 ∙ 18 = 882 ; 49 ∙ 19 = 931 ; 49 ∙ 20 = 980 ;
49 ∙ 21 = 1029 ; 49 ∙ 22 = 1078 ; 49 ∙ 23 = 1127 ; 49 ∙ 24 = 1176 ;
49 ∙ 25 = 1225 ; 49 ∙ 26 = 1274 ; 49 ∙ 27 = 1323 ; 49 ∙ 28 = 1372 ;
49 ∙ 29 = 1421 ; 49 ∙ 30 = 1470 ; 49 ∙ 31 = 1519 ; 49 ∙ 32 = 1568 ;
49 ∙ 33 = 1617 ; 49 ∙ 34 = 1666 ; 49 ∙ 35 = 1715 ; 49 ∙ 36 = 1764 ;
49 ∙ 37 = 1813 ; 49 ∙ 38 = 1862 ; 49 ∙ 39 = 1911 ; 49 ∙ 40 = 1960 ;
49 ∙ 41 = 2009 ; 49 ∙ 42 = 2058 ; 49 ∙ 43 = 2107 ; 49 ∙ 44 = 2156 ;
49 ∙ 45 = 2205 ; 49 ∙ 46 = 2254 ; 49 ∙ 47 = 2303 ; 49 ∙ 48 = 2352 ;
49 ∙ 49 = 2401 ; 49 ∙ 50 = 2450 ; 49 ∙ 51 = 2499 ; 49 ∙ 52 = 2548 ;

2) Keling, raqamlarning barcha umumiy karralarini yozamiz (52; 49) va eng kichigini yashil rang bilan ajratib ko'rsatamiz, bu raqamlarning eng kichik umumiy karrali bo'ladi (52; 49).

Sonlarning umumiy karralilari (52; 49): 2548

Javob: LCM (52; 49) = 2548

Ammo ko'pgina natural sonlar boshqa natural sonlarga ham bo'linadi.

Masalan:

12 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga bo‘linadi;

36 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga, 18 ga, 36 ga bo‘linadi.

Raqam butunga bo'linadigan raqamlar (12 uchun bular 1, 2, 3, 4, 6 va 12) deyiladi. raqamlarning bo'luvchilari. Natural sonning bo'luvchisi a- berilgan sonni ajratuvchi natural son a izsiz. Ikkidan ortiq bo'luvchiga ega bo'lgan natural son deyiladi kompozitsion .

E'tibor bering, 12 va 36 raqamlari umumiy omillarga ega. Bu raqamlar: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sonlarning eng katta boʻluvchisi 12. Bu ikki sonning umumiy boʻluvchisi. a Va b- bu ikkala berilgan sonning qoldiqsiz bo'linadigan soni a Va b.

Umumiy ko'paytmalar bir nechta sonlar - bu raqamlarning har biriga bo'linadigan son. Masalan, 9, 18 va 45 raqamlari 180 ga umumiy karrali. Lekin 90 va 360 ham ularning umumiy karralilaridir. Barcha umumiy ko'paytmalar orasida har doim eng kichigi bo'ladi Ushbu holatda bu 90. Bu raqam chaqiriladi eng kichigiumumiy ko'p (CMM).

LCM har doim tabiiy son bo'lib, u aniqlangan raqamlarning eng kattasidan kattaroq bo'lishi kerak.

Eng kichik umumiy ko'p (LCM). Xususiyatlari.

Kommutativlik:

Assotsiativlik:

Xususan, agar va umumiy sonlar bo'lsa, u holda:

Ikki butun sonning eng kichik umumiy karrali m Va n boshqa barcha umumiy karralarning bo‘luvchisidir m Va n. Bundan tashqari, umumiy ko'paytmalar to'plami m, n LCM ko'paytmalari to'plamiga to'g'ri keladi( m, n).

ning asimptotiklarini ba'zi bir son nazariy funktsiyalari bilan ifodalash mumkin.

Shunday qilib, Chebyshev funktsiyasi. Shuningdek:

Bu Landau funktsiyasining ta'rifi va xususiyatlaridan kelib chiqadi g(n).

tub sonlarni taqsimlash qonunidan kelib chiqadigan narsa.

Eng kichik umumiy karrali (LCM) topish.

NOC( a, b) bir necha usul bilan hisoblanishi mumkin:

1. Agar eng katta umumiy boʻluvchi maʼlum boʻlsa, uning LCM bilan bogʻlanishidan foydalanishingiz mumkin:

2. Ikkala sonning tub ko‘rsatkichlarga kanonik ajralishi ma’lum bo‘lsin:

Qayerda p 1 ,...,p k- har xil tub sonlar, va d 1 ,...,d k Va e 1 ,...,e k— manfiy bo'lmagan butun sonlar (agar mos keladigan tub son kengaytmada bo'lmasa, ular nolga teng bo'lishi mumkin).

Keyin MOQ ( a,b) formula bilan hisoblanadi:

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, LCM parchalanishi raqamlarning kamida bitta parchalanishiga kiritilgan barcha tub omillarni o'z ichiga oladi. a, b, va bu ko'paytuvchining ikkita ko'rsatkichidan eng kattasi olinadi.

Misol:

Bir nechta raqamlarning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblash ikkita raqamning LCM ning bir nechta ketma-ket hisoblariga qisqartirilishi mumkin:

Qoida. Bir qator raqamlarning LCM ni topish uchun sizga kerak bo'ladi:

- sonlarni tub omillarga ajratish;

- eng katta parchalanishni (berilganlarning eng ko'p sonining omillari ko'paytmasini) kerakli mahsulotning omillariga o'tkazing va keyin birinchi raqamda ko'rinmaydigan yoki unda ko'rinadigan boshqa raqamlarning parchalanishidan omillarni qo'shing. kamroq marta;

— tub omillarning hosilasi berilgan sonlarning LKM i bo‘ladi.

Har qanday ikki yoki undan ortiq natural sonlar o'z LCMga ega. Agar raqamlar bir-biriga karrali bo'lmasa yoki kengayishda bir xil omillarga ega bo'lmasa, ularning LCM bu raqamlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi.

28 (2, 2, 7) sonining asosiy omillari 3 (21 raqami) koeffitsienti bilan to'ldiriladi, natijada olingan mahsulot (84) 21 va 28 ga bo'linadigan eng kichik son bo'ladi.

Eng katta 30 sonning tub omillari 25 sonining 5 koeffitsienti bilan to'ldiriladi, natijada olingan 150 ko'paytma eng katta son 30 dan katta va barcha berilgan sonlarga qoldiqsiz bo'linadi. Bu eng kam mahsulot mumkin bo'lgan (150, 250, 300...), barcha berilgan sonlar karrali.

2,3,11,37 sonlar tub sonlar, shuning uchun ularning LKM ko‘rsatkichi berilgan sonlar ko‘paytmasiga teng.

Qoida. Tub sonlarning LCM ni hisoblash uchun bu raqamlarning barchasini birga ko'paytirish kerak.

Boshqa variant:

Bir nechta raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM) ni topish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) har bir sonni uning tub omillarining mahsuloti sifatida ifodalang, masalan:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) barcha tub omillarning kuchlarini yozing:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu sonlarning har birining barcha tub bo‘luvchilarini (ko‘paytiruvchilarini) yozing;

4) bu raqamlarning barcha kengayishlarida topilgan har birining eng katta darajasini tanlang;

5) bu kuchlarni ko'paytiring.

Misol. Raqamlarning LCM ni toping: 168, 180 va 3024.

Yechim. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Biz barcha tub bo'luvchilarning eng katta kuchlarini yozamiz va ularni ko'paytiramiz:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

a va b sonlari qoldiqsiz bo'linadigan eng katta natural son deyiladi eng katta umumiy bo'luvchi bu raqamlar. GCD(a, b)ni belgilang.

Keling, ikkita natural son 18 va 60 misolida GCD ni topishni ko'rib chiqaylik:

1 Raqamlarni tub omillarga ajratamiz:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 Birinchi raqamning kengayishidan ikkinchi raqamning kengayishiga kirmaydigan barcha omillarni chiqarib tashlang, biz olamiz 2×3×3 .

3 Chizilgandan keyin qolgan tub omillarni ko'paytiramiz va sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisini olamiz: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 E'tibor bering, biz birinchi yoki ikkinchi raqamdan omillarni kesib tashlashimiz muhim emas, natija bir xil bo'ladi:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 Va 432

Raqamlarni tub omillarga ajratamiz:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Koeffitsientlari ikkinchi va uchinchi raqamlarda bo'lmagan birinchi raqamni kesib tashlasak, biz quyidagilarni olamiz:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

Natijada, GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Evklid algoritmi yordamida GCD ni topish

Eng katta umumiy bo'luvchini topishning ikkinchi usuli - foydalanish Evklid algoritmi. Evklid algoritmi eng ko'p samarali usul topish GCD, undan foydalanib, siz doimiy ravishda bo'linuvchi raqamlarning qolgan qismini topib, amal qilishingiz kerak takrorlanish formulasi.

Takrorlanish formulasi GCD uchun, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), bu erda a mod b - b ga bo'lingan a ning qoldig'i.

Evklid algoritmi

Misol Sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisini toping 7920 Va 594

GCD ni topamiz( 7920 , 594 ) Evklid algoritmidan foydalanib, biz kalkulyator yordamida bo'linishning qolgan qismini hisoblaymiz.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = GCD( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = GCD( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Natijada biz GCD ( 7920 , 594 ) = 198

Eng kichik umumiy ko'plik

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishda umumiy maxrajni topish uchun siz hisoblashni bilishingiz va bilishingiz kerak. eng kichik umumiy karra(NOK).

“A” sonining karrali o‘zi “a” soniga qoldiqsiz bo‘linadigan sondir.

8 ga karrali sonlar (ya’ni bu raqamlar 8 ga qoldiqsiz bo‘linadi): bular 16, 24, 32... sonlar.

9 ning koʻpaytmalari: 18, 27, 36, 45…

Berilgan a sonining bir xil sonning bo'luvchilaridan farqli o'laroq, cheksiz ko'p karralilari mavjud. Cheklangan sonli bo'luvchilar mavjud.

Ikki natural sonning umumiy karrali bu ikkala songa boʻlinadigan sondir..

Eng kichik umumiy ko'plik Ikki yoki undan ortiq natural sonlar (LCM) bu sonlarning har biriga boʻlinadigan eng kichik natural sondir.

MOKni qanday topish mumkin

LCM ikki shaklda topilishi va yozilishi mumkin.

LOCni topishning birinchi usuli

Bu usul odatda kichik raqamlar uchun qo'llaniladi.

Ikkala raqam uchun ham bir xil bo'lgan ko'paytmani topgunimizcha, har bir raqam uchun ko'paytmalarni chiziqqa yozamiz.
Biz "a" sonining ko'p sonini belgilaymiz Bosh harf"TO".

Misol. LCM 6 va 8 ni toping.

LOCni topishning ikkinchi usuli

Ushbu usul uch yoki undan ortiq raqamlar uchun LCMni topish uchun foydalanish uchun qulay.

Raqamlarni parchalashda bir xil omillar soni har xil bo'lishi mumkin.

Kichikroq son(lar)ni kengaytirishda kattaroq sonni kengaytirishga kirmaydigan omillarni ajratib ko'rsating (bizning misolimizda bu 2 ta) va bu omillarni kattaroq sonni kengaytirishga qo'shing.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2

Olingan mahsulotni javob sifatida yozing.
Javob: LCM (24, 60) = 120

Bundan tashqari, eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishni quyidagicha rasmiylashtirishingiz mumkin. LOC ni topamiz (12, 16, 24).

24 = 2 2 2 3

Raqamlarning parchalanishidan ko'rib turganimizdek, 12 ning barcha omillari 24 ning parchalanishiga (sonlarning eng kattasi) kiradi, shuning uchun biz 16 raqamining parchalanishidan LCMga faqat bitta 2 qo'shamiz.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Javob: LCM (12, 16, 24) = 48

MOKni topishning alohida holatlari

Agar raqamlardan biri boshqalarga bo'linadigan bo'lsa, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali shu songa teng bo'ladi.

Masalan, LCM (60, 15) = 60
Koʻp tub sonlarning umumiy tub koʻpaytmalari boʻlmagani uchun ularning eng kichik umumiy koʻpaytmasi shu sonlarning koʻpaytmasiga teng boʻladi.

Bizning veb-saytimizda siz hisob-kitoblaringizni tekshirish uchun onlaynda eng kam umumiy ko'p sonni topish uchun maxsus kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Agar natural son faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan bo'lsa, u tub son deyiladi.

Har qanday natural son har doim 1 ga va o'ziga bo'linadi.

2 raqami eng kichik tub sondir. Bu yagona juft tub son, qolgan tub sonlar toqdir.

Ko'p tub sonlar mavjud va ular orasida birinchisi 2 raqamidir. Biroq, oxirgi tub raqam yo'q. "O'qish uchun" bo'limida siz 997 gacha bo'lgan tub sonlar jadvalini yuklab olishingiz mumkin.

Ammo ko'pgina natural sonlar boshqa natural sonlarga ham bo'linadi.

12 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga bo'linadi;
36 soni 1 ga, 2 ga, 3 ga, 4 ga, 6 ga, 12 ga, 18 ga, 36 ga bo‘linadi.

Raqam butunga bo'linadigan raqamlar (12 uchun bular 1, 2, 3, 4, 6 va 12) sonning bo'luvchilari deyiladi.

Natural sonning boʻluvchisi berilgan “a” sonni qoldiqsiz boʻladigan natural sondir.

Ikkitadan ortiq boʻluvchiga ega boʻlgan natural son kompozitsion son deyiladi.

E'tibor bering, 12 va 36 raqamlari umumiy omillarga ega. Bu raqamlar: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sonlarning eng katta boʻluvchisi 12 ga teng.

Berilgan ikkita "a" va "b" sonlarning umumiy bo'luvchisi bu ikkala berilgan "a" va "b" sonlar qoldiqsiz bo'lingan sondir.

Eng katta umumiy bo'luvchi(GCD) ikkita berilgan “a” va “b” raqamlari hisoblanadi eng katta raqam, bu orqali ikkala "a" va "b" raqamlari qoldiqsiz bo'linadi.

Qisqacha aytganda, "a" va "b" sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi quyidagicha yoziladi::

Misol: gcd (12; 36) = 12.

Yechim yozuvidagi raqamlarning bo'luvchilari "D" bosh harfi bilan belgilanadi.

7 va 9 raqamlari faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega - 1 raqami. Bunday raqamlar chaqiriladi umumiy sonlar.

Koʻpaytirish raqamlari- bu faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega bo'lgan natural sonlar - 1 raqami. Ularning gcd qiymati 1 ga teng.

Eng katta umumiy bo'luvchini qanday topish mumkin

Ikki yoki undan ortiq natural sonlarning gcd ni topish uchun sizga kerak:

sonlarning bo‘luvchilarini tub ko‘paytuvchilarga ajratish;

Vertikal chiziq yordamida hisob-kitoblarni yozish qulay. Chiziqning chap tomonida biz birinchi navbatda dividendni, o'ngda - bo'luvchini yozamiz. Keyinchalik, chap ustunga biz ko'rsatkichlarning qiymatlarini yozamiz.

Keling, buni darhol misol bilan tushuntiramiz. Keling, 28 va 64 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz.

64 = 2 2 2 2 2 2
Bir xil tub ko'paytmalarning ko'paytmasini toping va javobni yozing;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Javob: GCD (28; 64) = 4

GCD ning joylashishini ikki usulda rasmiylashtirishingiz mumkin: ustunda (yuqorida bo'lgani kabi) yoki "qatorda".

gcd yozishning birinchi usuli

gcd 48 va 36 ni toping.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

gcd yozishning ikkinchi usuli

Endi GCD qidiruvining yechimini qatorga yozamiz. gcd 10 va 15 ni toping.

Bizning ma'lumot saytimizda siz hisob-kitoblaringizni tekshirish uchun eng katta umumiy bo'linuvchi onlayn yordamchidan ham foydalanishingiz mumkin.

Eng kichik umumiy ko'paytmani topish, LCMni topish usullari, misollari.

Quyida keltirilgan material LCM deb nomlangan maqoladan nazariyaning mantiqiy davomi - eng kam umumiy ko'plik, ta'rif, misollar, LCM va GCD o'rtasidagi bog'liqlik. Bu erda biz gaplashamiz eng kichik umumiy ko'paytmani topish (LCM), va biz misollarni echishga alohida e'tibor beramiz. Birinchidan, biz ushbu raqamlarning GCD yordamida ikkita raqamning LCM qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Keyinchalik, raqamlarni tub omillarga ajratish orqali eng kichik umumiy ko'paytmani topishni ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng, biz uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topishga, shuningdek, salbiy sonlarning LCM ni hisoblashga e'tibor qaratamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

GCD orqali eng kam umumiy ko'plikni (LCM) hisoblash

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning bir usuli LCM va GCD o'rtasidagi munosabatlarga asoslanadi. LCM va GCD o'rtasidagi mavjud munosabatlar ikkita butun sonning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblash imkonini beradi ijobiy raqamlar ma'lum bo'lgan eng katta umumiy bo'luvchi orqali. Tegishli formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Keling, berilgan formuladan foydalanib LCMni topish misollarini ko'rib chiqaylik.

126 va 70 ikkita sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Bu misolda a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) formulasi bilan ifodalangan LCM va GCD o'rtasidagi bog'lanishdan foydalanamiz. Ya'ni, avval 70 va 126 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini topishimiz kerak, shundan so'ng biz yozma formuladan foydalanib, bu raqamlarning LCM ni hisoblashimiz mumkin.

GCD(126, 70) ni Evklid algoritmi yordamida topamiz: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, demak, GCD(126, 70)=14.

Endi biz kerakli eng kichik umumiy karrali topamiz: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

LCM(68, 34) nimaga teng?

68 34 ga bo'linadiganligi sababli, GCD(68, 34)=34. Endi biz eng kichik umumiy karralini hisoblaymiz: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

E'tibor bering, oldingi misol a va b musbat butun sonlar uchun LCMni topish uchun quyidagi qoidaga mos keladi: agar a b ga bo'linadigan bo'lsa, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali a bo'ladi.

Raqamlarni tub omillarga ajratish orqali LCMni topish

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning yana bir usuli raqamlarni tub omillarga ajratishga asoslangan. Agar siz berilgan sonlarning barcha tub omillaridan mahsulot tuzsangiz va keyin ushbu ko'paytmadan berilgan raqamlarning parchalanishida mavjud bo'lgan barcha umumiy tub omillarni chiqarib tashlasangiz, natijada olingan mahsulot berilgan sonlarning eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng bo'ladi. .

LCM ni topish uchun belgilangan qoida LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) tengligidan kelib chiqadi. Darhaqiqat, a va b sonlarining ko'paytmasi a va b sonlarining kengayishiga jalb qilingan barcha omillarning mahsulotiga tengdir. O'z navbatida, GCD(a, b) a va b sonlarining kengayishlarida bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha tub omillarning mahsulotiga teng (sonlarni tub omillarga kengaytirish yordamida GCDni topish bo'limida tavsiflanganidek).

Keling, misol keltiraylik. 75=3·5·5 va 210=2·3·5·7 ekanligini bilib olaylik. Ushbu kengayishlarning barcha omillaridan hosilani tuzamiz: 2·3·3·5·5·5·7 . Endi bu mahsulotdan biz 75 sonining kengayishida ham, 210 sonining kengayishida ham mavjud bo'lgan barcha omillarni istisno qilamiz (bu omillar 3 va 5), keyin mahsulot 2·3·5·5·7 ko'rinishini oladi. . Bu ko'paytmaning qiymati 75 va 210 sonlarining eng kichik umumiy karrali, ya'ni LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050 ga teng.

441 va 700 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajrating va shu sonlarning eng kichik umumiy karralisini toping.

Keling, 441 va 700 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz:

Biz 441=3·3·7·7 va 700=2·2·5·5·7 ni olamiz.

Endi bu sonlarni kengaytirishda ishtirok etuvchi barcha omillardan hosila hosil qilaylik: 2·2·3·3·5·5·7·7. Keling, ushbu mahsulotdan ikkala kengayishda bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha omillarni chiqarib tashlaylik (bunday omil faqat bitta - bu 7 raqami): 2·2·3·3·5·5·7·7. Shunday qilib, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44 100 .

Raqamlarni tub omillarga ajratish yordamida LCMni topish qoidasi biroz boshqacha shakllantirilishi mumkin. Agar b sonining kengayishidagi etishmayotgan omillar a sonining kengayishidagi omillarga qo'shilsa, hosil bo'lgan mahsulotning qiymati a va b sonlarining eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Masalan, bir xil 75 va 210 sonlarni olaylik, ularning tub ko'paytuvchilarga bo'linishi quyidagicha: 75=3·5·5 va 210=2·3·5·7. 75 sonining kengayishidan 3, 5 va 5 koeffitsientlariga 210 sonining kengayishidan etishmayotgan 2 va 7 ko'paytmalarni qo'shamiz, biz 2·3·5·5·7 ko'paytmani olamiz, uning qiymati LCM (75, 210) ga teng.

84 va 648 ning eng kichik umumiy karralini toping.

Biz birinchi navbatda 84 va 648 sonlarining tub omillarga bo'linishlarini olamiz. Ular 84=2·2·3·7 va 648=2·2·2·3·3·3·3 ga o‘xshaydi. 84 sonining kengayishidan 2, 2, 3 va 7 omillarga biz 648 raqamining kengayishidan etishmayotgan 2, 3, 3 va 3 omillarni qo'shamiz, biz 2 2 2 3 3 3 3 3 7 ko'paytmani olamiz, Bu 4 536 ga teng. Shunday qilib, 84 va 648 ning eng kichik umumiy karrali 4536 ga teng.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini ketma-ket ikki raqamning LCM ni topish orqali topish mumkin. Keling, uchta yoki undan ko'p sonlarning LCM ni topishga imkon beradigan tegishli teoremani eslaylik.

a 1 , a 2 , …, a k musbat butun sonlar berilsin, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali m k m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2, a) ni ketma-ket hisoblash yo‘li bilan topiladi. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Bu teoremaning qo‘llanilishini to‘rtta sonning eng kichik umumiy karralini topish misolida ko‘rib chiqamiz.

140, 9, 54 va 250 to'rtta raqamning LCM ni toping.

Avval m 2 = LCM(a 1, a 2) = LCM(140, 9) ni topamiz. Buning uchun Evklid algoritmidan foydalanib, GCD(140, 9) ni aniqlaymiz, bizda 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, shuning uchun GCD(140, 9)=1, undan LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Ya'ni, m 2 =1 260.

Endi biz m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54) ni topamiz. Uni GCD(1 260, 54) orqali hisoblaymiz, uni ham Evklid algoritmi yordamida aniqlaymiz: 1 260=54·23+18, 54=18·3. U holda gcd(1,260, 54)=18, undan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Ya'ni, m 3 =3 780.

m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250) ni topish qoladi. Buning uchun Evklid algoritmi yordamida GCD(3,780, 250) ni topamiz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Demak, GCD(3,780, 250)=10, undan GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Ya'ni, m 4 =94,500.

Shunday qilib, asl to'rtta sonning eng kichik umumiy karrali 94 500 ga teng.

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .

Ko'p hollarda berilgan sonlarni tub koeffitsientlarga ajratish yordamida uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini topish qulay. Bunday holda siz quyidagi qoidaga amal qilishingiz kerak. Bir necha sonning eng kichik umumiy karrali koʻpaytmaga teng boʻlib, u quyidagicha tuziladi: ikkinchi sonning kengayishidagi etishmayotgan omillar birinchi sonning kengayishidan barcha omillarga, kengayishidan yetishmayotgan omillarga qoʻshiladi. uchinchi raqam natijaviy omillarga qo'shiladi va hokazo.

Keling, eng kichik umumiy ko‘paytmani tub ko‘paytmalarga ajratish yordamida topish misolini ko‘rib chiqaylik.

84, 6, 48, 7, 143 beshta sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Birinchidan, bu sonlarning tub ko‘paytmalarga bo‘linishini olamiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 - tub son, u mos keladi) tub omillarga parchalanishi bilan) va 143=11·13.

Ushbu raqamlarning LCM ni topish uchun birinchi raqam 84 ning koeffitsientlariga (ular 2, 2, 3 va 7) ikkinchi raqamni kengaytirishdan etishmayotgan omillarni qo'shish kerak. 6 raqamining parchalanishi etishmayotgan omillarni o'z ichiga olmaydi, chunki 2 va 3 ham birinchi raqam 84ning parchalanishida allaqachon mavjud. Keyinchalik, 2, 2, 3 va 7 omillarga uchinchi raqam 48 kengayishidan etishmayotgan 2 va 2 omillarni qo'shamiz, biz 2, 2, 2, 2, 3 va 7 omillar to'plamini olamiz. Keyingi bosqichda ushbu to'plamga ko'paytiruvchilarni qo'shishning hojati yo'q, chunki unda 7 allaqachon mavjud. Nihoyat, 2, 2, 2, 2, 3 va 7 omillarga 143 raqamining kengayishidan etishmayotgan 11 va 13 omillarni qo'shamiz. 2·2·2·2·3·7·11·13 ko‘paytmani olamiz, bu 48,048 ga teng.

Demak, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

Manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini topish

Ba'zida bitta, bir nechta yoki barcha raqamlar manfiy bo'lgan raqamlarning eng kichik umumiy ko'pligini topish kerak bo'lgan vazifalar mavjud. Bunday hollarda hamma narsa manfiy raqamlar ularni qarama-qarshi raqamlar bilan almashtirishingiz kerak, keyin esa ijobiy sonlarning LCM ni toping. Bu manfiy sonlarning LCM ni topish usuli. Masalan, LCM(54, -34) = LCM(54, 34) va LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Buni qilishimiz mumkin, chunki a ning karrali to‘plami −a ning karrali to‘plami bilan bir xil (a va −a qarama-qarshi sonlar). Haqiqatan ham, b a ning qandaydir karrali bo'lsin, u holda b a ga bo'linadi va bo'linish tushunchasi b=a·q bo'ladigan q butun sonining mavjudligini bildiradi. Lekin b=(−a)·(−q) tengligi ham to‘g‘ri bo‘ladi, bu bo‘linuvchanlik tushunchasining bir xilligi tufayli b ning −a ga bo‘linishini, ya’ni b ning −a ga karrali ekanligini bildiradi. Buning aksi ham to‘g‘ri: agar b −a ning bir necha karrali bo‘lsa, b ham a ning karrali bo‘ladi.

−145 va −45 manfiy sonlarning eng kichik umumiy karralini toping.

−145 va −45 manfiy sonlarni ularning qarama-qarshi sonlari 145 va 45 bilan almashtiramiz. Bizda LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) mavjud. GCD(145, 45)=5 ni aniqlab (masalan, Evklid algoritmidan foydalanib) GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 ni hisoblaymiz. Shunday qilib, −145 va −45 manfiy sonlarning eng kichik umumiy karrali 1305 ga teng.

www.cleverstudents.ru

Biz bo'limni o'rganishda davom etamiz. Ushbu darsda biz kabi tushunchalarni ko'rib chiqamiz GCD Va MOQ.

GCD eng katta umumiy boʻluvchidir.

MOQ eng kichik umumiy karradir.

Mavzu juda zerikarli, lekin siz uni albatta tushunishingiz kerak. Ushbu mavzuni tushunmasdan, siz matematikada haqiqiy to'siq bo'lgan kasrlar bilan samarali ishlay olmaysiz.

Eng katta umumiy bo'luvchi

Ta'rif. Raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisi a Va b a Va b qoldiqsiz bo'linadi.

Ushbu ta'rifni yaxshi tushunish uchun keling, o'zgaruvchilarni almashtiramiz a Va b har qanday ikkita raqam, masalan, o'zgaruvchi o'rniga a Keling, o'zgaruvchining o'rniga 12 raqamini qo'yaylik b raqam 9. Endi ushbu ta'rifni o'qishga harakat qilaylik:

Raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisi 12 Va 9 eng katta son deb ataladi 12 Va 9 qoldiqsiz bo'linadi.

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, biz 12 va 9 raqamlarining umumiy bo'luvchisi haqida gapiramiz va bu bo'luvchi barcha mavjud bo'luvchilarning eng kattasidir. Bu eng katta umumiy bo'luvchini (GCD) topish kerak.

Ikki sonning eng katta umumiy bo'luvchisini topish uchun uchta usul qo'llaniladi. Birinchi usul ancha mehnat talab qiladi, lekin u mavzuning mohiyatini aniq tushunish va uning to'liq ma'nosini his qilish imkonini beradi.

Ikkinchi va uchinchi usullar juda oddiy va GCD ni tezda topishga imkon beradi. Biz uchta usulni ko'rib chiqamiz. Va qaysi birini amalda qo'llashni tanlash sizga bog'liq.

Birinchi usul - ikkita sonning barcha mumkin bo'lgan bo'luvchilarini topish va eng kattasini tanlash. Keling, quyidagi misol yordamida ushbu usulni ko'rib chiqaylik: 12 va 9 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisini toping.

Birinchidan, biz 12 sonining barcha mumkin bo'lgan bo'luvchilarini topamiz. Buning uchun biz 12 ni 1 dan 12 gacha bo'lgan barcha bo'luvchilarga bo'lamiz. Agar bo'luvchi 12 ni qoldiqsiz bo'lishga imkon bersa, biz uni ajratamiz. ko'k va qavslar ichida tegishli tushuntirish bering.

12: 1 = 12
(12 1 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 1 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 2 = 6
(12 2 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 2 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 3 = 4
(12 3 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 3 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 4 = 3
(12 4 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 4 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 5 = 2 (2 qoldi)
(12 5 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 5 12 sonining bo'luvchisi emas)

12: 6 = 2
(12 6 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 6 12 sonining bo'luvchisidir)

12: 7 = 1 (5 ta qoldi)
(12 7 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 7 soni 12 sonining bo'luvchisi emas)

12: 8 = 1 (4 ta qoldi)
(12 8 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 8 12 ning bo'luvchisi emas)

12: 9 = 1 (3 ta qoldi)
(12 9 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 9 12 sonining bo'luvchisi emas)

12: 10 = 1 (2 ta qoldi)
(12 10 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 10 12 sonining bo'luvchisi emas)

12: 11 = 1 (1 qoldiq)
(12 11 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 11 12 ning bo'luvchisi emas)

12: 12 = 1
(12 12 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 12 12 sonining bo'luvchisidir)

Endi 9 sonining bo'luvchilarini topamiz. Buning uchun 1 dan 9 gacha bo'lgan barcha bo'luvchilarni tekshiring.

9: 1 = 9
(9 soni 1 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 1 9 sonining bo'luvchisidir)

9: 2 = 4 (1 qoldiq)
(9 2 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 2 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 3 = 3
(9 3 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 3 9 sonining bo'luvchisidir)

9: 4 = 2 (1 qoldiq)
(9 soni 4 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 4 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 5 = 1 (4 ta qoldi)
(9 soni 5 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 5 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 6 = 1 (3 ta qoldi)
(9 soni 6 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 6 soni 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 7 = 1 (2 qoldi)
(9 soni 7 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 7 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 8 = 1 (1 qoldiq)
(9 soni 8 ga qoldiqsiz bo'linmaydi, ya'ni 8 soni 9 sonining bo'luvchisi emas)

9: 9 = 1
(9 soni 9 ga qoldiqsiz bo'linadi, ya'ni 9 9 sonining bo'luvchisidir)

Endi ikkala sonning bo‘luvchilarini yozamiz. Ko'k rang bilan belgilangan raqamlar bo'luvchilardir. Keling, ularni yozamiz:

Bo'luvchilarni yozib bo'lgach, qaysi biri eng katta va eng keng tarqalganligini darhol aniqlashingiz mumkin.

Ta'rifga ko'ra, 12 va 9 raqamlarining eng katta umumiy bo'luvchisi 12 va 9 ni qoldiqsiz bo'ladigan sondir. 12 va 9 sonlarining eng katta va umumiy boʻluvchisi 3 raqamidir

12 soni ham, 9 soni ham 3 ga qoldiqsiz bo'linadi:

Shunday qilib, gcd (12 va 9) = 3

GCDni topishning ikkinchi usuli

Endi eng katta umumiy bo‘luvchini topishning ikkinchi usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usulning mohiyati ikkala sonni tub omillarga ajratish va umumiy sonlarni ko'paytirishdan iborat.

1-misol. 24 va 18 raqamlarining gcd ni toping

Birinchidan, ikkala raqamni tub omillarga ajratamiz:

Endi ularning umumiy omillarini ko'paytiramiz. Chalkashmaslik uchun umumiy omillarni ta'kidlash mumkin.

Biz 24 raqamining kengayishiga qaraymiz. Uning birinchi koeffitsienti 2. 18 sonining kengayishida xuddi shu omilni qidiramiz va u erda ham borligini ko'ramiz. Biz ikkalasini ham ta'kidlaymiz:

Biz yana 24 raqamining kengayishiga qaraymiz. Uning ikkinchi omili ham 2. Biz 18 sonining kengayishida xuddi shu omilni qidiramiz va ikkinchi marta u endi yo'qligini ko'ramiz. Keyin biz hech narsani ta'kidlamaymiz.

24 raqamining kengayishidagi keyingi ikkitasi 18 raqamining kengayishida ham yo'q.

Keling, 24 sonining kengayishidagi oxirgi omilga o'tamiz. Bu 3 omil. Biz 18 sonining kengayishida xuddi shu omilni qidiramiz va u erda ham borligini ko'ramiz. Biz uchtasini ta'kidlaymiz:

Shunday qilib, 24 va 18 raqamlarining umumiy omillari 2 va 3 omillardir. GCD ni olish uchun ushbu omillarni ko'paytirish kerak:

Shunday qilib, gcd (24 va 18) = 6

GCDni topishning uchinchi usuli

Endi eng katta umumiy bo‘luvchini topishning uchinchi usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, eng katta umumiy bo‘luvchi uchun topiladigan sonlar tub omillarga ajraladi. Keyin birinchi raqamning kengayishidan ikkinchi raqamning kengayishiga kirmaydigan omillar chiziladi. Birinchi kengayishdagi qolgan raqamlar ko'paytiriladi va GCD olinadi.

Masalan, ushbu usul yordamida 28 va 16 raqamlari uchun GCD ni topamiz. Avvalo, biz bu raqamlarni tub omillarga ajratamiz:

Biz ikkita kengaytmani oldik: va

Endi birinchi sonning parchalanishidan ikkinchi sonning parchalanishiga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi ettitani o'z ichiga olmaydi. Keling, uni birinchi kengaytmadan kesib o'tamiz:

Endi biz qolgan omillarni ko'paytiramiz va GCDni olamiz:

4 soni 28 va 16 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisidir. Bu raqamlarning ikkalasi ham 4 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

2-misol. 100 va 40 sonlarining gcd ni toping

100 raqamini faktoring

40 raqamini faktoring

Bizda ikkita kengaytma mavjud:

Endi birinchi sonning parchalanishidan ikkinchi sonning parchalanishiga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi bitta beshni o'z ichiga olmaydi (faqat bitta beshta). Keling, birinchi kengayishdan uni kesib o'tamiz

Qolgan raqamlarni ko'paytiramiz:

20 degan javobni oldik. Bu 20 soni 100 va 40 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi ekanligini bildiradi. Bu ikki raqam 20 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (100 va 40) = 20.

3-misol. 72 va 128 raqamlarining gcd ni toping

72 raqamini faktoring

128 raqamini faktoring

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Endi birinchi sonning parchalanishidan ikkinchi sonning parchalanishiga kirmagan omillarni o'chirib tashlaymiz. Ikkinchi raqamning kengayishi ikkita uchlikni o'z ichiga olmaydi (ular umuman yo'q). Keling, ularni birinchi kengaytmadan kesib o'tamiz:

Biz 8 degan javobni oldik. Bu 8 soni 72 va 128 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi ekanligini bildiradi. Bu ikki raqam 8 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (72 va 128) = 8

Bir nechta raqamlar uchun GCD topilmoqda

Eng katta umumiy bo'luvchini ikkita emas, balki bir nechta raqamlar uchun topish mumkin. Buning uchun eng katta umumiy bo‘luvchi uchun topiladigan sonlar tub ko‘paytmalarga ajratiladi, so‘ngra bu sonlarning umumiy tub ko‘paytmalari ko‘paytmasi topiladi.

Masalan, 18, 24 va 36 raqamlari uchun GCD ni topamiz

Keling, 18 raqamini koeffitsientlarga ajratamiz

Keling, 24 raqamini koeffitsientlarga ajratamiz

36 sonini koeffitsientlarga ajratamiz

Bizda uchta kengaytma mavjud:

Keling, ushbu raqamlardagi umumiy omillarni ajratib ko'rsatamiz va ta'kidlaymiz. Umumiy omillar barcha uchta raqamda paydo bo'lishi kerak:

Biz 18, 24 va 36 raqamlari uchun umumiy omillar 2 va 3 omillar ekanligini ko'ramiz. Bu omillarni ko'paytirsak, biz izlayotgan gcd ni olamiz:

Biz 6 degan javobni oldik. Bu 6 soni 18, 24 va 36 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi ekanligini bildiradi. Bu uchta raqam 6 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (18, 24 va 36) = 6

2-misol. 12, 24, 36 va 42 raqamlari uchun GCD ni toping

Keling, har bir sonni tub omillarga ajratamiz. Keyin bu sonlarning umumiy omillari ko'paytmasini topamiz.

Keling, 12 raqamini koeffitsientlarga ajratamiz

Keling, 42 raqamini koeffitsientlarga ajratamiz

Bizda to'rtta kengaytma mavjud:

Keling, ushbu raqamlardagi umumiy omillarni ajratib ko'rsatamiz va ta'kidlaymiz. Umumiy omillar barcha to'rtta raqamda paydo bo'lishi kerak:

Biz 12, 24, 36 va 42 raqamlarining umumiy omillari 2 va 3 ning koeffitsientlari ekanligini ko'ramiz. Bu omillarni birgalikda ko'paytirsak, biz izlayotgan gcd ni olamiz:

Biz 6 degan javobni oldik. Bu 6 soni 12, 24, 36 va 42 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi ekanligini bildiradi. Bu raqamlar 6 ga qoldiqsiz boʻlinadi:

GCD (12, 24, 36 va 42) = 6

Oldingi darsdan bilamizki, agar son boshqasiga qoldiqsiz bo'linsa, bu songa karrali deyiladi.

Ma'lum bo'lishicha, bir nechta raqamlar umumiy ko'plikka ega bo'lishi mumkin. Va endi biz ikkita raqamning ko'paytmasi bilan qiziqamiz va u imkon qadar kichik bo'lishi kerak.

Ta'rif. Raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM). a Va b- a Va b a va raqam b.

Ta'rif ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga oladi a Va b. Bu o‘zgaruvchilar o‘rniga istalgan ikkita raqamni qo‘yaylik. Masalan, o'zgaruvchi o'rniga a O'zgaruvchining o'rniga 9 raqamini qo'yaylik b Keling, 12 raqamini almashtiramiz. Endi ta'rifni o'qishga harakat qilaylik:

Raqamlarning eng kichik umumiy karrali (LCM). 9 Va 12 - Bu eng kichik raqam, bu ko'p sonli 9 Va 12 . Boshqacha qilib aytganda, bu songa qoldiqsiz bo'linadigan juda kichik son 9 va raqam bo'yicha 12 .

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, LCM 9 va 12 ga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik sondir.Bu LCMni topish kerak.

Eng kichik umumiy karrali (LCM) topish uchun siz ikkita usuldan foydalanishingiz mumkin. Birinchi usul shundaki, siz ikkita sonning birinchi karralarini yozishingiz va keyin bu ko'paytmalar orasidan ikkala songa ham, kichikga ham umumiy bo'ladigan raqamni tanlashingiz mumkin. Keling, ushbu usulni qo'llaymiz.

Avval 9 sonining birinchi karralarini topamiz. 9 ning karralarini topish uchun shu to‘qqizni birin-ketin 1 dan 9 gacha bo‘lgan sonlarga ko‘paytirish kerak. Olingan javoblar 9 soniga karrali bo‘ladi. boshlaylik. Ko'p sonlarni qizil rang bilan ajratib ko'rsatamiz:

Endi biz 12 sonining ko'paytmalarini topamiz. Buning uchun 12 ni 1 dan 12 gacha bo'lgan barcha raqamlarga birma-bir ko'paytiramiz.

10 ga karrali 10 ga bo'linadigan sonlar deymiz. Masalan, 30 yoki 50 soni 10 ga karrali. 28 soni 14 ga karrali. 10 va 14 ga bo'linadigan sonlar tabiiy ravishda 10 va 14 ning umumiy karralari deyiladi.

Biz xohlagancha umumiy ko'paytmalarni topa olamiz. Masalan, 140, 280 va boshqalar.

Tabiiy savol: eng kichik umumiy karrali, eng kichik umumiy karralini qanday topish mumkin?

10 va 14 uchun topilgan karralarning eng kichigi 140 ga teng. Lekin u eng kichik umumiy karralimi?

Raqamlarimizni koeffitsientga olaylik:

Keling, 10 ga va 14 ga bo'linadigan sonni tuzamiz. 10 ga bo'linish uchun sizda 2 va 5 koeffitsientlari bo'lishi kerak. 14 ga bo'linish uchun sizda 2 va 7 koeffitsientlari bo'lishi kerak. Lekin 2 allaqachon mavjud, faqat 7 ni qo'shish kifoya. Olingan 70 soni 10 va 14 ning umumiy karrali bo'ladi. Biroq bundan kichikroq sonni yasash mumkin bo'lmaydi, shuning uchun u ham umumiy karrali bo'ladi.

Demak, shunday eng kichik umumiy karra. Buning uchun biz NOC belgisidan foydalanamiz.

182 va 70 raqamlari uchun GCD va LCM ni topamiz.

O'zingiz uchun hisoblang:

Biz tekshiramiz:

GCD va LCM nima ekanligini tushunish uchun siz faktorizatsiyasiz qilolmaysiz. Ammo, biz bu nima ekanligini allaqachon tushunganimizda, endi uni har safar faktor qilish shart emas.

Masalan:

Biri ikkinchisiga boʻlinadigan ikkita raqam uchun kichikroq raqam GCD, kattasi esa LCM ekanligini osongina tekshirishingiz mumkin. Nega bunday bo'lganini o'zingizga tushuntirishga harakat qiling.

Dadaning qadam uzunligi 70 sm, kichkina qiziniki esa 15 sm, ular oyoqlari bilan bir xil belgida yurishni boshlaydilar. Oyoqlari yana tekis bo'lgunga qadar ular qancha yurishadi?

Ota va qiz harakatlana boshlaydi. Dastlab, oyoqlar bir xil belgida. Bir necha qadam yurgandan so'ng, oyoqlari bir xil darajaga qaytdi. Bu shuni anglatadiki, ota ham, qiz ham ushbu belgiga erishish uchun bir qator qadamlar qo'yishgan. Bu shuni anglatadiki, unga bo'lgan masofa otaning ham, qizning ham qadam uzunligiga bo'linishi kerak.

Ya'ni, biz topishimiz kerak:

Ya'ni, bu 210 sm = 2 m 10 sm da sodir bo'ladi.

Ota 3 qadam, qizi esa 14 ta qadam tashlashini tushunish qiyin emas (1-rasm).

Guruch. 1. Muammo uchun rasm

Muammo 1

Petyaning "VKontakte" tarmog'ida 100 ta, Vanyaning esa 200 tasi bor. Petya va Vanyaning 30 ta umumiy do'sti bo'lsa, birga nechta do'stlari bor?

300-javob noto'g'ri, chunki ularning umumiy do'stlari bo'lishi mumkin.

Keling, bu muammoni shunday hal qilaylik. Keling, Petyaning barcha do'stlari to'plamini tasvirlaylik. Keling, Vanyaning ko'plab do'stlarini boshqa, kattaroq doirada tasvirlaylik.

Bu doiralar umumiy qismga ega. U erda umumiy do'stlar bor. Ushbu umumiy qism ikki to'plamning "kesishmasi" deb ataladi. Ya'ni, umumiy do'stlar to'plami har bir kishining do'stlari to'plamining kesishishidir.

Guruch. 2. Ko'p do'stlarning davralari

Agar 30 ta umumiy do'st bo'lsa, chap tomonda 70 tasi faqat Petinaning do'stlari, 170 tasi esa faqat Vaninaning do'stlari (2-rasmga qarang).

Hammasi qancha?

Ikki doiradan tashkil topgan butun katta to'plam ikki to'plamning birlashuvi deyiladi.

Aslida, VKning o'zi biz uchun ikkita to'plamning kesishishi muammosini hal qiladi, u boshqa odamning sahifasiga tashrif buyurganingizda darhol ko'plab umumiy do'stlarni ko'rsatadi.

Ikki raqamning GCD va LCM bilan bog'liq vaziyat juda o'xshash.

Muammo 2

Ikkita raqamni ko'rib chiqing: 126 va 132.

Biz ularning asosiy omillarini doiralarda tasvirlaymiz (3-rasmga qarang).

Guruch. 3. Bosh omillarga ega doiralar

To'plamlarning kesishishi ularning umumiy bo'luvchisidir. GCD ulardan iborat.

Ikki to'plamning birlashishi bizga LCMni beradi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Vilenkin N.Ya., Joxov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonskiy V.V., Yakir M.S. Matematika 6-sinf. - Gimnaziya. 2006 yil.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Matematika darsligi sahifalari ortida. - M.: Ta'lim, 1989 yil.

4. Rurukin A.N., Chaykovskiy I.V. 5-6 sinflar uchun matematika kursi uchun topshiriqlar. - M.: ZSh MEPhI, 2011 yil.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaykovskiy K.G. Matematika 5-6. MEPhI sirtqi maktabining 6-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma. - M.: ZSh MEPhI, 2011 yil.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: 5-6-sinflar uchun darslik-suhbatdosh o'rta maktab. - M.: Ta'lim, matematika o'qituvchisi kutubxonasi, 1989 yil.

3. "Maktab yordamchisi" veb-sayti ()

Uy vazifasi

1. Port shaharda uchta turistik qayiq safari boshlanadi, birinchisi 15 kun, ikkinchisi 20 va uchinchisi 12 kun davom etadi. Portga qaytib kelgach, kemalar o'sha kuni yana yo'lga chiqdi. Bugun kemalar portni uch yo‘nalishda ham tark etdi. Necha kundan keyin ular birinchi marta yana birga suzib ketishadi? Har bir kema nechta sayohat qiladi?

2. Raqamlarning LCM ni toping:

3. Eng kichik umumiy karralining tub omillarini toping:

Va agar: , , .