Tizimning nol yechimi. Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimlari. Chiziqli tenglamaning asosiy yechimlar tizimini qanday topish mumkin

Tizim m chiziqli tenglamalar c n noma'lumlar deb ataladi chiziqli bir jinslilar tizimi tenglamalar, agar barcha erkin shartlar nolga teng bo'lsa. Bunday tizim quyidagicha ko'rinadi:

Qayerda va ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - berilgan raqamlar; x i- noma'lum.

Chiziqli bir hil tenglamalar tizimi har doim izchil bo'ladi, chunki r(A) = r(). U har doim kamida nolga ega ( ahamiyatsiz) eritma (0; 0; …; 0).

Keling, qanday sharoitlarda bir jinsli tizimlar nolga teng bo'lmagan echimlarga ega ekanligini ko'rib chiqaylik.

Teorema 1. Chiziqli bir hil tenglamalar tizimi, agar uning asosiy matritsasining darajasi bo'lsa, nolga teng bo'lmagan echimlarga ega bo'ladi. r kamroq noma'lum n, ya'ni. r < n.

□ 1). Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsin. Daraja matritsaning o'lchamidan oshmasligi sababli, aniqki, r ≤ n. Mayli r = n. Keyin kichik o'lchamlardan biri n n noldan farq qiladi. Shuning uchun tegishli chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega: ... Bu arzimas echimlardan boshqa hech qanday yechim yo'qligini anglatadi. Shunday qilib, agar ahamiyatsiz bo'lmagan yechim mavjud bo'lsa, unda r < n.

2). Mayli r < n. Keyin bir hil sistema izchil bo'lib, noaniq bo'ladi. Bu uning cheksiz ko'p echimlarga ega ekanligini anglatadi, ya'ni. nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega. ■

Bir hil tizimni ko'rib chiqing n chiziqli tenglamalar c n noma'lum:

(2)

Teorema 2. Bir hil tizim n chiziqli tenglamalar c n noma'lumlar (2) ning determinanti nolga teng bo'lgandagina nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega bo'ladi: = 0.

□ Agar sistema (2) nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, u holda = 0. Chunki sistemada faqat bitta nol yechim mavjud bo'lganda. Agar = 0 bo'lsa, unda daraja r tizimning asosiy matritsasi noma'lumlar sonidan kamroq, ya'ni. r < n. Va shuning uchun tizim cheksiz ko'p echimlarga ega, ya'ni. nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega. ■

(1) sistemaning yechimini belgilaymiz. X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ip sifatida .

Chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimining yechimlari quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Agar chiziq (1) sistemaning yechimi bo’lsa, u holda chiziq (1) sistemaning yechimi bo’ladi.

2. Agar chiziqlar va (1) sistemaning yechimlari, keyin har qanday qiymatlar uchun Bilan 1 va Bilan 2 ularning chiziqli birikmasi ham (1) sistemaning yechimidir.

Ushbu xususiyatlarning haqiqiyligini tizim tenglamalariga to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali tekshirish mumkin.

Tuzilgan xossalardan kelib chiqadiki, chiziqli bir hil tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday chiziqli birikmasi ham ushbu sistemaning yechimi hisoblanadi.

Chiziqli mustaqil yechimlar tizimi e 1 , e 2 , …, e r chaqirdi asosiy, agar (1) sistemaning har bir yechimi bu yechimlarning chiziqli birikmasi bo'lsa e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Agar daraja r chiziqli bir hil tenglamalar tizimining o'zgaruvchilari uchun koeffitsientlar matritsalari (1) o'zgaruvchilar sonidan kamroq n, u holda (1) tizimning har qanday fundamental yechimlari tizimidan iborat n–r qarorlar.

Shunung uchun umumiy qaror chiziqli bir hil tenglamalar tizimi (1) quyidagi ko'rinishga ega:

Qayerda e 1 , e 2 , …, e r- tizimni hal qilishning har qanday fundamental tizimi (9), Bilan 1 , Bilan 2 , …, bilan p- ixtiyoriy raqamlar; R = n–r.

Teorema 4. Tizimning umumiy yechimi m chiziqli tenglamalar c n noma'lumlar mos chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimining umumiy yechimi (1) va ushbu tizimning ixtiyoriy xususiy yechimi (1) yig'indisiga teng.

Misol. Tizimni hal qiling

Yechim. Ushbu tizim uchun m = n= 3. Aniqlovchi

2-teoremaga ko'ra, tizim faqat arzimas yechimga ega: x = y = z = 0.

Misol. 1) Tizimning umumiy va xususiy yechimlarini toping

2) Yechimlarning asosiy tizimini toping.

Yechim. 1) Ushbu tizim uchun m = n= 3. Aniqlovchi

2-teoremaga ko'ra, tizim nolga teng bo'lmagan echimlarga ega.

Chunki tizimda faqat bitta mustaqil tenglama mavjud

x + y – 4z = 0,

keyin undan ifodalaymiz x =4z- y. Cheksiz ko'p echimlarni qayerdan olamiz: (4 z- y, y, z) - bu tizimning umumiy yechimi.

Da z= 1, y= -1, biz bitta aniq echimni olamiz: (5, -1, 1). Qo'yish z= 3, y= 2, biz ikkinchi maxsus yechimni olamiz: (10, 2, 3) va hokazo.

2) Umumiy yechimda (4 z- y, y, z) o'zgaruvchilar y Va z bepul va o'zgaruvchan X- ularga bog'liq. Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun keling, erkin o'zgaruvchilarga qiymatlarni belgilaymiz: birinchi y = 1, z= 0, keyin y = 0, z= 1. Eritmalarning fundamental tizimini tashkil etuvchi qisman (-1, 1, 0), (4, 0, 1) yechimlarni olamiz.

Tasvirlar:

Guruch. 1 Chiziqli tenglamalar sistemalarining tasnifi

Guruch. 2 Chiziqli tenglamalar tizimini o'rganish

Taqdimotlar:

· Yechim SLAE_matrix usuli

· SLAE_Cramer usuli yechimi

· Yechim SLAE_Gauss usuli

· Matematik masalalarni yechish uchun paketlar Mathematica, MathCad: chiziqli tenglamalar sistemalarining analitik va sonli yechimlarini izlash

Nazorat savollari:

1. Chiziqli tenglamani aniqlang

2. U qanday turdagi tizimga o'xshaydi? m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum?

3. Chiziqli tenglamalarni yechish tizimlari nima deyiladi?

4. Qanday tizimlar ekvivalent deb ataladi?

5. Qaysi tizim mos kelmaydigan deb ataladi?

6. Qanday sistema bo'g'in deb ataladi?

7. Qaysi sistema aniq deyiladi?

8. Qaysi sistema noaniq deb ataladi

9. Chiziqli tenglamalar sistemalarining elementar o'zgarishlarini sanab bering

10. Matritsalarning elementar o‘zgarishlarini sanab o‘ting

11. Chiziqli tenglamalar sistemasiga elementar o‘zgartirishlarni qo‘llash haqida teorema tuzing.

12. Matritsa usuli yordamida qanday tizimlarni yechish mumkin?

13. Qanday tizimlarni Kramer usuli bilan yechish mumkin?

14. Gauss usuli bilan qanday tizimlarni yechish mumkin?

15. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishda yuzaga keladigan 3 ta mumkin bo‘lgan holatlarni sanab o‘ting.

16. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usulini aytib bering

17. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Kramer usulini aytib bering

18. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Gauss usulini aytib bering

19. Qaysi tizimlarni teskari matritsa yordamida yechish mumkin?

20. Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usuli yordamida yechishda yuzaga kelishi mumkin bo‘lgan 3 ta holatni sanab o‘ting.

Adabiyot:

1. Iqtisodchilar uchun oliy matematika: Universitetlar uchun darslik / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N.Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: BIRLIK, 2005. – 471 b.

2. Iqtisodchilar uchun oliy matematikaning umumiy kursi: Darslik. / Ed. IN VA. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 b.

3. Iqtisodchilar uchun oliy matematikadan masalalar to‘plami: Darslik / Tahririyati V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 b.

4. Gmurman V. E. Ehtimollar nazariyasi va magmatik statistika masalalarini yechish bo‘yicha qo‘llanma. - M.: Oliy maktab, 2005. – 400 b.

5. Gmurman. V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. - M.: Oliy maktab, 2005 yil.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Mashqlar va masalalarda oliy matematika. 1-qism, 2. – M.: Oniks 21-asr: Tinchlik va taʼlim, 2005. – 304 b. 1-qism; – 416 b. 2-qism.

7. Iqtisodiyotda matematika: Darslik: 2 qismdan iborat / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Moliya va statistika, 2006 yil.

8. Shipachev V.S. Oliy matematika: talabalar uchun darslik. universitetlar - M.: Oliy maktab, 2007. - 479 b.

Tegishli ma'lumotlar.

Biz texnologiyamizni sayqallashda davom etamiz elementar transformatsiyalar yoqilgan chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi.
Birinchi xatboshilarga asoslanib, material zerikarli va o'rtacha ko'rinishi mumkin, ammo bu taassurot aldamchi. Texnikalarni yanada rivojlantirishdan tashqari, juda ko'p yangi ma'lumotlar bo'ladi, shuning uchun ushbu maqoladagi misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi nima?

Javob o'zini ko'rsatadi. Chiziqli tenglamalar tizimi, agar erkin muddat bo'lsa, bir hil bo'ladi hamma sistemaning tenglamasi nolga teng. Masalan:

Bu mutlaqo aniq bir hil tizim har doim izchil bo'ladi, ya'ni uning har doim yechimi bor. Va, birinchi navbatda, sizning ko'zingizga tushadigan narsa bu so'zdir ahamiyatsiz yechim . Arzimas, sifatdoshning ma'nosini umuman tushunmaydiganlar uchun ko'z-ko'z qilmasdan, degan ma'noni anglatadi. Akademik emas, albatta, lekin tushunarli =) ...Nega butani aylanib o'tish kerak, keling, ushbu tizimda boshqa echimlar bor yoki yo'qligini bilib olaylik:

1-misol

Yechim: bir jinsli sistemani yechish uchun yozish kerak tizim matritsasi elementar transformatsiyalar yordamida uni bosqichma-bosqich shaklga keltiring. E'tibor bering, bu erda vertikal chiziq va bo'sh shartlarning nol ustunini yozishning hojati yo'q - axir, siz nol bilan nima qilsangiz ham, ular nol bo'lib qoladi:

(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.

(2) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.

Uchinchi qatorni 3 ga bo'lish unchalik ma'noga ega emas.

Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent bir hil sistema olinadi , va Gauss usulining teskari usulidan foydalanib, yechimning yagona ekanligini tekshirish oson.

Javob:

Keling, aniq mezonni shakllantiramiz: chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi mavjud shunchaki arzimas yechim, Agar tizim matritsasi darajasi(bu holda 3) o'zgaruvchilar soniga teng (bu holda - 3 dona).

Keling, radiomizni elementar o'zgarishlar to'lqiniga qizdiramiz va sozlaymiz:

2-misol

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Algoritmni nihoyat birlashtirish uchun yakuniy vazifani tahlil qilaylik:

7-misol

Bir jinsli sistemani yeching, javobni vektor shaklida yozing.

Yechim: tizim matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

(1) Birinchi qatorning belgisi o'zgartirildi. Yana bir bor e'tiborni ko'p marta duch kelgan texnikaga qarataman, bu keyingi harakatni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi.

(1) Birinchi qator 2 va 3 qatorlarga qo'shildi. Birinchi qator, 2 ga ko'paytirilib, 4-qatorga qo'shildi.

(3) Oxirgi uchta satr proportsionaldir, ulardan ikkitasi olib tashlandi.

Natijada, standart qadam matritsasi olinadi va eritma murvatli yo'l bo'ylab davom etadi:

- asosiy o'zgaruvchilar;
- erkin o'zgaruvchilar.

Asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchilar bilan ifodalaylik. 2-tenglamadan:

- 1- tenglamaga almashtiring:

Shunday qilib, umumiy yechim:

Ko'rib chiqilayotgan misolda uchta erkin o'zgaruvchi mavjud bo'lganligi sababli, asosiy tizim uchta vektorni o'z ichiga oladi.

Keling, uchlik qiymatlarni almashtiramiz umumiy yechimga aylantiring va koordinatalari bir jinsli sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradigan vektorni oling. Va yana takrorlayman, har bir qabul qilingan vektorni tekshirish juda tavsiya etiladi - bu ko'p vaqt talab qilmaydi, lekin sizni xatolardan to'liq himoya qiladi.

Qadriyatlarning uch barobari uchun vektorni toping

Va nihoyat, uchtasi uchun uchinchi vektorni olamiz:

Javob: , Qayerda

Kasr qiymatlaridan qochishni istaganlar uchliklarni ko'rib chiqishlari mumkin va ekvivalent shaklda javob oling:

Kasrlar haqida gapirganda. Muammoda olingan matritsani ko'rib chiqamiz va o'zimizga savol beraylik: keyingi yechimni soddalashtirish mumkinmi? Axir, bu erda biz birinchi navbatda kasrlar orqali asosiy o'zgaruvchini, keyin kasrlar orqali asosiy o'zgaruvchini ifodaladik va shuni aytishim kerakki, bu jarayon eng oddiy va eng yoqimli emas edi.

Ikkinchi yechim:

G'oya sinashdir boshqa asosiy o'zgaruvchilarni tanlang. Keling, matritsani ko'rib chiqaylik va uchinchi ustunda ikkitasini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, nega tepada nol bo'lmasligi kerak? Yana bir elementar transformatsiyani amalga oshiramiz:

Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimlari

Darslarning bir qismi sifatida Gauss usuli Va Umumiy yechim bilan mos kelmaydigan tizimlar/tizimlar ko‘rib chiqdik chiziqli tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimlari, Qayerda bepul a'zo(odatda o'ng tomonda) kamida bitta tenglamalardan noldan farq qilgan.
Va endi, yaxshi isinishdan keyin matritsa darajasi, biz texnikani jilolashni davom ettiramiz elementar transformatsiyalar yoqilgan chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi.
Birinchi xatboshilarga asoslanib, material zerikarli va o'rtacha ko'rinishi mumkin, ammo bu taassurot aldamchi. Texnikalarni yanada rivojlantirishdan tashqari, juda ko'p yangi ma'lumotlar bo'ladi, shuning uchun ushbu maqoladagi misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi nima?

Javob o'zini ko'rsatadi. Chiziqli tenglamalar tizimi, agar erkin muddat bo'lsa, bir hil bo'ladi hamma sistemaning tenglamasi nolga teng. Masalan:

1-misol

(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.

(2) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.

Uchinchi qatorni 3 ga bo'lish unchalik ma'noga ega emas.

Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent bir hil sistema olinadi , va Gauss usulining teskari usulidan foydalanib, yechimning yagona ekanligini tekshirish oson.

Javob:

Keling, radiomizni elementar o'zgarishlar to'lqiniga qizdiramiz va sozlaymiz:

2-misol

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Maqoladan Matritsaning darajasini qanday topish mumkin? Bir vaqtning o'zida matritsa sonlarini kamaytirishning ratsional texnikasini eslaylik. Aks holda, siz katta va tez-tez tishlaydigan baliqlarni kesishingiz kerak bo'ladi. Dars oxiridagi topshiriqning taxminiy namunasi.

Nollar yaxshi va qulaydir, lekin amalda tizim matritsasining satrlari bo'lganda holat ancha keng tarqalgan chiziqli bog'liq. Va keyin umumiy yechimning paydo bo'lishi muqarrar:

3-misol

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Yechim: tizimning matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz. Birinchi harakat nafaqat bitta qiymatni olishga, balki birinchi ustundagi raqamlarni kamaytirishga qaratilgan:

(1) Birinchi qatorga uchinchi qator qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi. Uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Yuqori chap tomonda men "minus" bilan birlik oldim, bu ko'pincha keyingi o'zgarishlar uchun qulayroqdir.

(2) Birinchi ikkita satr bir xil, ulardan biri o'chirildi. Rostini aytsam, men yechimni talab qilmadim - bu shunday bo'ldi. Agar siz o'zgartirishlarni shablon shaklida amalga oshirsangiz, u holda chiziqli bog'liqlik chiziqlar biroz keyinroq ochilgan bo'lardi.

(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 3 ga ko'paytirildi.

(4) Birinchi qatorning belgisi o'zgartirildi.

Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent tizim olindi:

Algoritm xuddi shunday ishlaydi heterojen tizimlar. "Qadamlarda o'tirgan" o'zgaruvchilar asosiy hisoblanadi, "qadam" ni olmagan o'zgaruvchi bepul.

Keling, asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchi orqali ifodalaymiz:

Javob: umumiy qaror:

Arzimas yechim umumiy formulaga kiritilgan va uni alohida yozish kerak emas.

Tekshirish odatdagi sxema bo'yicha ham amalga oshiriladi: natijada olingan umumiy yechim tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga almashtirilishi va barcha almashtirishlar uchun qonuniy nol olinishi kerak.

Buni tinch va osoyishta yakunlash mumkin edi, lekin bir hil tenglamalar tizimining yechimi ko'pincha ifodalanishi kerak. vektor shaklida yordamida asosiy yechimlar tizimi. Iltimos, hozircha bu haqda unuting analitik geometriya, chunki endi men maqolada biroz ochgan umumiy algebraik ma'nodagi vektorlar haqida gaplashamiz. matritsa darajasi. Terminologiyani porlashning hojati yo'q, hamma narsa juda oddiy.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) echish, shubhasiz, chiziqli algebra kursining eng muhim mavzusidir. Matematikaning barcha sohalaridan juda ko'p muammolar chiziqli tenglamalar tizimini echishga to'g'ri keladi. Ushbu omillar ushbu maqolaning sababini tushuntiradi. Maqolaning materiali tanlangan va tuzilgan, shunda siz uning yordami bilan qila olasiz

chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning optimal usulini tanlash;
tanlangan usul nazariyasini o'rganish,
tipik misollar va masalalarning batafsil yechimlarini ko'rib chiqish orqali chiziqli tenglamalar tizimini hal qiling.

Maqola materialining qisqacha tavsifi.

Birinchidan, biz barcha kerakli ta'riflarni, tushunchalarni beramiz va belgilarni kiritamiz.

Keyinchalik, tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lgan va yagona yechimga ega bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish usullarini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, biz Kramer usuliga to'xtalamiz, ikkinchidan, bunday tenglamalar tizimini echishning matritsa usulini ko'rsatamiz, uchinchidan, Gauss usulini (noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli) tahlil qilamiz. Nazariyani mustahkamlash uchun biz bir nechta SLAE ni turli yo'llar bilan hal qilamiz.

Shundan so'ng biz umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishga o'tamiz, bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi yoki tizimning asosiy matritsasi birlikdir. Keling, Kronecker-Kapelli teoremasini shakllantiramiz, bu bizga SLAE larning mosligini aniqlash imkonini beradi. Keling, matritsaning bazis minori tushunchasidan foydalanib, tizimlarning yechimini (agar ular mos kelsa) tahlil qilaylik. Shuningdek, biz Gauss usulini ko'rib chiqamiz va misollarning echimlarini batafsil bayon qilamiz.

Biz, albatta, chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan sistemalarining umumiy yechimining tuzilishiga to'xtalib o'tamiz. Fundamental yechimlar sistemasi tushunchasini beraylik va asosiy yechimlar sistemasi vektorlari yordamida SLAE ning umumiy yechimi qanday yozilishini ko'rsatamiz. Yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Xulosa qilib aytganda, biz chiziqli tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan tenglamalar tizimlarini, shuningdek, SLAE paydo bo'ladigan turli muammolarni ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ta'riflar, tushunchalar, belgilar.

Ko'rinishdagi n ta noma'lum o'zgaruvchiga ega (p n ga teng bo'lishi mumkin) p chiziqli algebraik tenglamalar tizimini ko'rib chiqamiz.

Noma'lum o'zgaruvchilar, - koeffitsientlar (ba'zi haqiqiy yoki murakkab sonlar), - erkin atamalar (shuningdek, haqiqiy yoki kompleks sonlar).

SLAE yozishning ushbu shakli deyiladi muvofiqlashtirish.

IN matritsa shakli Ushbu tenglamalar tizimini yozish quyidagi shaklga ega:
Qayerda - tizimning asosiy matritsasi, - noma'lum o'zgaruvchilarning ustun matritsasi, - erkin terminlarning ustun matritsasi.

Agar A matritsaga (n+1)-ustun sifatida erkin atamalar matritsa-ustunini qo'shsak, biz shunday deyilamiz. kengaytirilgan matritsa chiziqli tenglamalar tizimlari. Odatda, kengaytirilgan matritsa T harfi bilan belgilanadi va bo'sh shartlar ustuni qolgan ustunlardan vertikal chiziq bilan ajratiladi, ya'ni

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish tizimning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradigan noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami deb ataladi. Noma'lum o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlari uchun matritsa tenglamasi ham identifikatsiyaga aylanadi.

Agar tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa, u deyiladi qo'shma.

Agar tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmasa, u deyiladi qo'shma bo'lmagan.

Agar SLAE noyob yechimga ega bo'lsa, u chaqiriladi aniq; agar bir nechta yechim mavjud bo'lsa, unda - noaniq.

Agar tizimning barcha tenglamalarining erkin shartlari nolga teng bo'lsa , keyin tizim chaqiriladi bir hil, aks holda - heterojen.

Chiziqli algebraik tenglamalarning elementar sistemalarini yechish.

Agar tizim tenglamalari soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa va uning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, bunday SLAElar deyiladi. boshlang'ich. Bunday tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega va bir jinsli sistema holatida barcha noma’lum o‘zgaruvchilar nolga teng.

Biz o'rta maktabda bunday SLAElarni o'rganishni boshladik. Ularni yechishda biz bitta tenglamani oldik, bitta noma’lum o‘zgaruvchini boshqalar bilan ifodaladik va uni qolgan tenglamalarga almashtirdik, so‘ngra keyingi tenglamani oldik, keyingi noma’lum o‘zgaruvchini ifodalab, uni boshqa tenglamalarga almashtirdik va hokazo. Yoki ular qo'shish usulini qo'llaganlar, ya'ni ba'zi noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish uchun ikki yoki undan ortiq tenglamalarni qo'shganlar. Biz bu usullarga batafsil toʻxtalib oʻtirmaymiz, chunki ular mohiyatan Gauss usulining modifikatsiyalaridir.

Chiziqli tenglamalarning elementar tizimlarini yechishning asosiy usullari Kramer usuli, matritsa usuli va Gauss usulidir. Keling, ularni saralab olaylik.

Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish.

Faraz qilaylik, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishimiz kerak

bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng va sistemaning asosiy matritsasi determinanti noldan farq qiladi, ya'ni.

Sistemaning bosh matritsasining determinanti bo'lsin, va - matritsalarning determinantlari, A dan almashtirish yo'li bilan olinadi 1, 2, …, n bepul a'zolar ustuniga mos ravishda ustun:

Ushbu belgi bilan noma'lum o'zgaruvchilar Kramer usuli formulalari yordamida hisoblanadi . Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi Kramer usuli yordamida shunday topiladi.

Misol.

Kramer usuli .

Yechim.

Tizimning asosiy matritsasi shaklga ega . Keling, uning determinantini hisoblaymiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):

Tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmaganligi sababli, tizim Kramer usuli bilan topilishi mumkin bo'lgan yagona yechimga ega.

Kerakli determinantlarni tuzamiz va hisoblaymiz (A matritsadagi birinchi ustunni erkin shartlar ustuniga, determinantni ikkinchi ustunni erkin hadlar ustuniga va A matritsaning uchinchi ustunini erkin shartlar ustuniga almashtirish orqali aniqlovchini olamiz) :

Formulalar yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish :

Javob:

Kramer usulining asosiy kamchiligi (agar uni kamchilik deb atash mumkin bo'lsa) tizimdagi tenglamalar soni uchdan ortiq bo'lganda determinantlarni hisoblashning murakkabligidir.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini matritsa usulida yechish (teskari matritsa yordamida).

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi matritsa ko‘rinishida berilgan bo‘lsin, bunda A matritsaning o‘lchami n ga n, determinanti esa nolga teng emas.

Chunki A matritsa teskari bo'ladi, ya'ni teskari matritsa mavjud. Agar tenglikning ikkala tomonini chapga ko'paytirsak, noma'lum o'zgaruvchilarning matritsa-ustunini topish formulasini olamiz. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimini matritsa usulidan foydalanib, shu tarzda oldik.

Misol.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechish matritsa usuli.

Yechim.

Tenglamalar tizimini matritsa shaklida qayta yozamiz:

Chunki

u holda SLAE ni matritsa usuli yordamida yechish mumkin. Teskari matritsadan foydalanib, bu sistemaning yechimini quyidagicha topish mumkin .

A matritsa elementlarining algebraik qo‘shilishidan matritsa yordamida teskari matritsa tuzamiz (agar kerak bo‘lsa, maqolaga qarang):

Teskari matritsani ko'paytirish orqali noma'lum o'zgaruvchilar matritsasini hisoblash qoladi bepul a'zolarning matritsa ustuniga (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):

Javob:

yoki boshqa belgida x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matritsa usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarining yechimlarini topishda asosiy muammo teskari matritsani topishning murakkabligi, ayniqsa uchinchidan yuqori tartibli kvadrat matritsalar uchun.

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish.

Faraz qilaylik, n ta noma’lum o‘zgaruvchiga ega bo‘lgan n ta chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishimiz kerak.
asosiy matritsasining determinanti noldan farq qiladi.

Gauss usulining mohiyati noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket chiqarib tashlashdan iborat: birinchidan, x 1 ikkinchidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan chiqarib tashlanadi, keyin x 2 barcha tenglamalardan uchinchidan boshlab chiqariladi va hokazo, faqat noma'lum o'zgaruvchi x n bo'lguncha. oxirgi tenglamada qoladi. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish uchun tizim tenglamalarini o'zgartirish jarayoni deyiladi to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli. Gauss usulining oldinga siljishi tugallangandan so'ng, oxirgi tenglamadan x n topiladi, oxirgi tenglamadan ushbu qiymatdan foydalanib, x n-1 hisoblanadi va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 topiladi. Tizimning oxirgi tenglamasidan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni hisoblash jarayoni deyiladi. Gauss usuliga teskari.

Keling, noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish algoritmini qisqacha ta'riflaymiz.

Biz buni taxmin qilamiz, chunki tizim tenglamalarini qayta tartibga solish orqali har doim bunga erishishimiz mumkin. Ikkinchidan boshlab, tizimning barcha tenglamalaridan noma'lum x 1 o'zgaruvchisini o'chiramiz. Buning uchun sistemaning ikkinchi tenglamasiga birinchi, ga ko'paytiriladi, uchinchi tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi va hokazo, n- tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi

qayerda va .

Agar tizimning birinchi tenglamasida x 1 ni boshqa noma’lum o‘zgaruvchilar bilan ifodalaganimizda va olingan ifodani boshqa barcha tenglamalarga almashtirganimizda ham xuddi shunday natijaga erishgan bo‘lardik. Shunday qilib, x 1 o'zgaruvchisi ikkinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqariladi.

Keyinchalik, biz shunga o'xshash tarzda davom etamiz, lekin natijada olingan tizimning faqat rasmda ko'rsatilgan qismi bilan

Buning uchun sistemaning uchinchi tenglamasiga ga ko'paytirilgan ikkinchisini, to'rtinchi tenglamaga ikkinchisini ko'paytiramiz va hokazo, n- tenglamaga ikkinchisini qo'shamiz, ga ko'paytiramiz. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi

qayerda va . Shunday qilib, x 2 o'zgaruvchisi uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.

Keyinchalik, biz noma'lum x 3 ni yo'q qilishga kirishamiz, shu bilan birga biz tizimning rasmda ko'rsatilgan qismi bilan xuddi shunday harakat qilamiz.

Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri progressiyasini davom ettiramiz

Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskarisini boshlaymiz: oxirgi tenglamadan x n ni quyidagicha hisoblaymiz, x n ning olingan qiymatidan foydalanib, oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 ni topamiz va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 ni topamiz. .

Misol.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechish Gauss usuli.

Yechim.

Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan x 1 noma’lum o‘zgaruvchini chiqarib tashlaylik. Buning uchun ikkinchi va uchinchi tenglamalarning ikkala tomoniga birinchi tenglamaning mos keladigan qismlarini mos ravishda va ga ko'paytiramiz:

Endi uchinchi tenglamadan x 2 ni uning chap va o'ng tomonlariga ikkinchi tenglamaning chap va o'ng tomonlarini qo'shib, quyidagiga ko'paytiramiz:

Bu Gauss usulining oldinga siljishini yakunlaydi, biz teskari zarbani boshlaymiz.

Olingan tenglamalar tizimining oxirgi tenglamasidan biz x 3 ni topamiz:

Ikkinchi tenglamadan biz olamiz.

Birinchi tenglamadan biz qolgan noma'lum o'zgaruvchini topamiz va shu bilan Gauss usulining teskarisini yakunlaymiz.

Javob:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish.

Umuman olganda, p tizimning tenglamalari soni n noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi:

Bunday SLAElar yechimga ega bo'lmasligi, bitta yechimga ega bo'lishi yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin. Ushbu bayonot asosiy matritsalari kvadrat va birlik bo'lgan tenglamalar tizimlariga ham tegishli.

Kroneker-Kapelli teoremasi.

Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishdan oldin uning mosligini aniqlash kerak. SLAE qachon mos keladi va qachon mos kelmaydi degan savolga javob beradi Kroneker-Kapelli teoremasi:
n ta noma’lumli p tenglamalar sistemasi (p n ga teng bo‘lishi mumkin) izchil bo‘lishi uchun tizimning bosh matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni. , Rank(A)=Rank(T).

Misol tariqasida chiziqli tenglamalar tizimining mosligini aniqlash uchun Kroneker-Kapelli teoremasini qo'llashni ko'rib chiqamiz.

Misol.

Chiziqli tenglamalar sistemasi bor yoki yo'qligini aniqlang yechimlar.

Yechim.

. Keling, voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanamiz. Ikkinchi darajali kichik noldan farq qiladi. Keling, u bilan chegaradosh uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik:

Uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lganligi sababli, asosiy matritsaning darajasi ikkiga teng.

O'z navbatida, kengaytirilgan matritsaning darajasi uchga teng, chunki kichik uchinchi tartibli

noldan farq qiladi.

Shunday qilib, Rang(A), shuning uchun Kroneker-Kapelli teoremasidan foydalanib, biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimi mos kelmaydigan degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Javob:

Tizimda hech qanday yechim yo'q.

Shunday qilib, biz Kronecker-Kapelli teoremasidan foydalanib, tizimning nomuvofiqligini aniqlashni o'rgandik.

Biroq, agar uning muvofiqligi o'rnatilgan bo'lsa, SLAE ga qanday yechim topish mumkin?

Buning uchun bizga matritsaning bazis minori tushunchasi va matritsaning darajasi haqidagi teorema kerak.

A matritsaning noldan farqli eng yuqori darajali minori deyiladi Asosiy.

Minor asosining ta'rifidan uning tartibi matritsaning darajasiga teng ekanligi kelib chiqadi. Nolga teng bo'lmagan A matritsa uchun bir nechta bazis minorlari bo'lishi mumkin; har doim bitta bazis minor bo'ladi.

Masalan, matritsani ko'rib chiqing .

Ushbu matritsaning barcha uchinchi darajali minorlari nolga teng, chunki bu matritsaning uchinchi qatori elementlari birinchi va ikkinchi qatorlarning mos keladigan elementlari yig'indisidir.

Quyidagi ikkinchi darajali voyaga etmaganlar asosiy hisoblanadi, chunki ular nolga teng emas

Voyaga etmaganlar asosiy emas, chunki ular nolga teng.

Matritsa darajalari teoremasi.

Agar p dan n gacha bo'lgan matritsaning darajasi r ga teng bo'lsa, u holda matritsaning tanlangan minor asosini tashkil etmaydigan barcha satr (va ustun) elementlari chiziqli ravishda mos keladigan satr (va ustun) elementlarini hosil qilishda ifodalanadi. asos kichik.

Matritsa darajalari teoremasi bizga nimani aytadi?

Agar Kroneker-Kapelli teoremasiga ko'ra, biz tizimning mosligini aniqlagan bo'lsak, biz tizimning asosiy matritsasining istalgan minor asosini tanlaymiz (uning tartibi r ga teng) va tizimdan barcha tenglamalarni chiqarib tashlaymiz. tanlangan asosni tashkil etmaydi. Shu tarzda olingan SLAE asl tenglamaga ekvivalent bo'ladi, chunki bekor qilingan tenglamalar hali ham ortiqcha (matritsa darajasi teoremasiga ko'ra, ular qolgan tenglamalarning chiziqli birikmasidir).

Natijada, tizimning keraksiz tenglamalarini bekor qilgandan so'ng, ikkita holat mumkin.

Agar natijaviy tizimdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u aniq bo'ladi va yagona yechimni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli bilan topish mumkin.

Misol.

Yechim.

Tizimning asosiy matritsasining darajasi ikkiga teng, chunki kichik ikkinchi tartibli noldan farq qiladi. Kengaytirilgan matritsa darajasi ham ikkiga teng, chunki yagona uchinchi tartibli minor nolga teng

va yuqorida ko'rib chiqilgan ikkinchi darajali minor noldan farq qiladi. Kroneker-Kapelli teoremasiga asoslanib, biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining mosligini tasdiqlashimiz mumkin, chunki Rank(A)=Rank(T)=2.

Asos sifatida biz minorni olamiz . U birinchi va ikkinchi tenglamalarning koeffitsientlari bilan hosil bo'ladi:

Tizimning uchinchi tenglamasi bazis minorini shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun biz uni matritsaning darajasi haqidagi teorema asosida tizimdan chiqaramiz:

Shunday qilib biz chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini oldik. Keling, buni Kramer usuli yordamida hal qilaylik:

Javob:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Agar hosil bo'lgan SLAEdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar sonidan n kam bo'lsa, u holda tenglamalarning chap tomonlarida bazis minorini tashkil etuvchi hadlarni qoldiramiz va qolgan hadlarni o'ng tomonlariga o'tkazamiz. qarama-qarshi belgili tizim tenglamalari.

Tenglamalarning chap tomonlarida qolgan noma'lum o'zgaruvchilar (ulardan r) deyiladi asosiy.

O'ng tomonda joylashgan noma'lum o'zgaruvchilar (n - r bo'laklar mavjud) chaqiriladi ozod.

Endi biz ishonamizki, erkin noma'lum o'zgaruvchilar ixtiyoriy qiymatlarni olishlari mumkin, r asosiy noma'lum o'zgaruvchilar esa erkin noma'lum o'zgaruvchilar orqali noyob tarzda ifodalanadi. Ularning ifodasini hosil bo'lgan SLAEni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli yordamida echish orqali topish mumkin.

Keling, buni misol bilan ko'rib chiqaylik.

Misol.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yeching .

Yechim.

Tizimning bosh matritsasining rankini topamiz voyaga etmaganlarni chegaralash usuli bilan. Birinchi tartibning nolga teng bo'lmagan minori sifatida 1 1 = 1 ni olaylik. Keling, ushbu minor bilan chegaradosh ikkinchi darajali nolga teng bo'lmagan minorni qidirishni boshlaylik:

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali nolga teng bo'lmagan minorni topdik. Uchinchi tartibdagi nol bo'lmagan chegaradosh kichikni qidirishni boshlaylik:

Shunday qilib, asosiy matritsaning darajasi uchta. Kengaytirilgan matritsaning darajasi ham uchtaga teng, ya'ni tizim izchil.

Biz topilgan uchinchi tartibning nolga teng bo‘lmagan minorini asos qilib olamiz.

Aniqlik uchun biz minorning asosini tashkil etuvchi elementlarni ko'rsatamiz:

Biz minor asosidagi atamalarni tizim tenglamalarining chap tomoniga qoldiramiz, qolganlarini esa qarama-qarshi belgilar bilan o'ng tomonlarga o'tkazamiz:

Erkin noma'lum o'zgaruvchilar x 2 va x 5 ixtiyoriy qiymatlarni beraylik, ya'ni qabul qilamiz , bu yerda ixtiyoriy sonlar. Bunday holda, SLAE shaklni oladi

Olingan chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini Kramer usuli yordamida yechamiz:

Demak, .

Javobingizda bepul noma'lum o'zgaruvchilarni ko'rsatishni unutmang.

Javob:

Ixtiyoriy raqamlar qayerda.

Xulosa qiling.

Umumiy chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun avvalo Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida uning mosligini aniqlaymiz. Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lmasa, biz tizim mos kelmaydi degan xulosaga kelamiz.

Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lsa, biz minor bazisni tanlaymiz va tanlangan minor asosini shakllantirishda ishtirok etmaydigan tizim tenglamalarini olib tashlaymiz.

Agar bazis minorining tartibi noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u holda SLAE o'ziga xos yechimga ega bo'lib, uni bizga ma'lum bo'lgan har qanday usul bilan topish mumkin.

Agar minor asosining tartibi noma'lum o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, u holda tizim tenglamalarining chap tomonida asosiy noma'lum o'zgaruvchilar bilan shartlarni qoldiramiz, qolgan shartlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz va ixtiyoriy qiymatlarni beramiz. erkin noma'lum o'zgaruvchilar. Olingan chiziqli tenglamalar tizimidan biz Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli yordamida asosiy noma'lum o'zgaruvchilarni topamiz.

Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning Gauss usuli.

Gauss usuli har qanday turdagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini avvalo izchillik uchun sinab ko'rmasdan yechish uchun ishlatilishi mumkin. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni SLAE ning mosligi va nomuvofiqligi haqida xulosa chiqarishga imkon beradi va agar yechim mavjud bo'lsa, uni topishga imkon beradi.

Hisoblash nuqtai nazaridan Gauss usuli afzalroqdir.

Umumiy chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun Gauss usuli maqolasida uning batafsil tavsifi va tahlil qilingan misollarini ko'ring.

Fundamental yechimlar sistemasi vektorlari yordamida bir jinsli va bir jinsli chiziqli algebraik sistemalarning umumiy yechimini yozish.

Ushbu bo'limda biz cheksiz miqdordagi yechimga ega bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalarning bir vaqtning o'zida bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan tizimlari haqida gapiramiz.

Keling, birinchi navbatda bir hil tizimlar bilan shug'ullanamiz.

Yechimlarning asosiy tizimi n ta noma’lum o‘zgaruvchili p chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimi bu sistemaning (n – r) chiziqli mustaqil yechimlari yig‘indisi bo‘lib, bu yerda r – sistemaning bosh matritsasining bazis minorining tartibi.

Agar bir jinsli SLAE ning chiziqli mustaqil yechimlarini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) deb belgilasak, n o‘lchamli ustunli matritsalardir. 1) ga bo'lsa, u holda bu bir jinsli tizimning umumiy yechimi ixtiyoriy doimiy C 1, C 2, ..., C (n-r) koeffitsientlari bo'lgan asosiy echimlar tizimining vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi, ya'ni.

Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar tizimining umumiy yechimi (oroslau) atamasi nimani anglatadi?

Ma'nosi oddiy: formula asl SLAE ning barcha mumkin bo'lgan echimlarini belgilaydi, boshqacha qilib aytganda, C 1, C 2, ..., C (n-r) ixtiyoriy konstantalarining har qanday qiymatlari to'plamini olib, formuladan foydalanib, asl bir hil SLAE ning yechimlaridan birini olish.

Shunday qilib, agar biz fundamental yechimlar tizimini topsak, bu bir hil SLAE ning barcha yechimlarini quyidagicha belgilashimiz mumkin.

Keling, bir hil SLAE yechimlarining fundamental tizimini qurish jarayonini ko'rsatamiz.

Biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining minorini tanlaymiz, boshqa barcha tenglamalarni tizimdan chiqarib tashlaymiz va erkin noma'lum o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan barcha shartlarni qarama-qarshi belgilar bilan tizim tenglamalarining o'ng tomoniga o'tkazamiz. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 1,0,0,...,0 qiymatlarini beramiz va natijada olingan chiziqli tenglamalarning elementar tizimini istalgan usulda, masalan, Kramer usuli yordamida yechish orqali asosiy noma'lumlarni hisoblaymiz. Bu X (1) ga olib keladi - asosiy tizimning birinchi yechimi. Agar erkin noma’lumlarga 0,1,0,0,…,0 qiymatlarini berib, asosiy noma’lumlarni hisoblasak, X (2) ni olamiz. Va hokazo. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 0,0,...,0,1 qiymatlarini belgilab, asosiy noma'lumlarni hisoblasak, X (n-r) ni olamiz. Shunday qilib, bir hil SLAE ning asosiy yechimlari tizimi tuziladi va uning umumiy yechimi shaklida yozilishi mumkin.

Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimlari uchun umumiy yechim ko'rinishda ifodalanadi, bu erda mos keladigan bir jinsli tizimning umumiy yechimi va biz erkin noma'lumlarga qiymatlarni berish orqali olingan dastlabki bir hil bo'lmagan SLAE ning xususiy yechimi. 0,0,...,0 va asosiy noma'lumlarning qiymatlarini hisoblash.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasining asosiy yechimlar tizimini va umumiy yechimini toping. .

Yechim.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimlarining asosiy matritsasining darajasi har doim kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng. Voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanib, asosiy matritsaning darajasini topamiz. Birinchi tartibdagi nolga teng bo'lmagan minor sifatida biz tizimning asosiy matritsasining a 1 1 = 9 elementini olamiz. Ikkinchi tartibning chegaradosh nolga teng bo‘lmagan minorini topamiz:

Noldan farqli ikkinchi darajali minor topildi. Keling, nolga teng bo'lmaganni qidirish uchun u bilan chegaradosh uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik:

Barcha uchinchi darajali chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng, shuning uchun asosiy va kengaytirilgan matritsaning darajasi ikkiga teng. Keling, olaylik. Aniqlik uchun tizimni tashkil etuvchi elementlarga e'tibor qaratamiz:

Asl SLAE ning uchinchi tenglamasi minor asosini shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun uni chiqarib tashlash mumkin:

Biz asosiy noma'lumlarni o'z ichiga olgan shartlarni tenglamalarning o'ng tomoniga qoldiramiz va erkin noma'lumli shartlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz:

Chiziqli tenglamalarning asl bir jinsli sistemasi yechimlarining fundamental tizimini tuzamiz. Ushbu SLAE ning asosiy yechimlar tizimi ikkita yechimdan iborat, chunki dastlabki SLAE to'rtta noma'lum o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va uning minor asosining tartibi ikkitaga teng. X (1) ni topish uchun biz erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 = 1, x 4 = 0 qiymatlarini beramiz, keyin tenglamalar tizimidan asosiy noma'lumlarni topamiz.
.

Keling, ko'rib chiqaylik bir hil tizim n o‘zgaruvchili m chiziqli tenglamalar:

(15)

Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi doimo izchil bo'ladi, chunki u har doim nol (arzimas) yechimga ega (0,0,…,0).

Agar (15) sistemada m=n va bo'lsa, sistemada Kramer teoremasi va formulalaridan kelib chiqadigan faqat nol yechim mavjud.

Teorema 1. Bir hil tizim (15) agar uning matritsasining darajasi o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, noan'anaviy yechimga ega bo'ladi, ya'ni. . r(A)< n.

Isbot. (15) sistemaning notrivial yechimining mavjudligi tizim matritsasi ustunlarining chiziqli bog'liqligiga teng (ya'ni, x 1, x 2,..., x n raqamlari mavjud, hammasi nolga teng emas, shundayki (15) tengliklari to'g'ri).

Bazis minor teoremasiga ko'ra, matritsaning ustunlari chiziqli bog'liq  bo'lsa, bu matritsaning barcha ustunlari asosiy bo'lmaganda, ya'ni.  matritsaning bazis minorining r tartibi uning ustunlarining n sonidan kichik bo'lganda. Va boshqalar.

Natija. Kvadratli bir jinsli sistemada |A|=0 bo'lganda trivial bo'lmagan  yechimlari mavjud.

Teorema 2. Agar x (1), x (2),..., x (s) ustunlar bir jinsli AX = 0 sistemaning yechimlari bo‘lsa, ularning har qanday chiziqli birikmasi ham shu sistemaning yechimi hisoblanadi.

Isbot. Yechimlarning har qanday kombinatsiyasini ko'rib chiqing:

Keyin AX=A()===0. va boshqalar.

Xulosa 1. Agar bir hil sistema notrivial yechimga ega bo'lsa, unda cheksiz ko'p yechimlar mavjud.

Bu. Ax = 0 sistemaning x (1), x (2),..., x (s) yechimlarini topish kerak, shunda bu sistemaning boshqa har qanday yechimi ularning chiziqli birikmasi va ko’rinishida ifodalanadi. , bundan tashqari, o'ziga xos tarzda.

Ta'rif. Ax=0 sistemaning x (1), x (2),..., x (k) chiziqli mustaqil yechimlarining k=n-r (n - sistemadagi noma’lumlar soni, r=rg A) tizimi deyiladi. asosiy yechimlar tizimi bu tizim.

Teorema 3. n ta noma'lum va r=rg A bo'lgan bir jinsli Ax=0 sistema berilsin.U holda bu sistemaning k=n-r yechimlari x (1), x (2),..., x (k) to'plami mavjud bo'lib, a hosil qiladi. asosiy yechimlar tizimi.

Isbot. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz A matritsaning asosiy minorini yuqori chap burchakda joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin, bazis minor teoremasiga ko'ra, A matritsasining qolgan qatorlari bazis qatorlarining chiziqli birikmalaridir. Bu shuni anglatadiki, agar x 1, x 2,…, x n qiymatlari birinchi r tenglamani qanoatlantirsa, ya'ni. bazis minor satrlariga mos keladigan tenglamalar), keyin ular boshqa tenglamalarni ham qanoatlantiradi. Binobarin, (r+1)-dan boshlab barcha tenglamalarni bekor qilsak, tizim yechimlari to'plami o'zgarmaydi. Biz tizimni olamiz:

X r +1 , x r +2 ,…, x n erkin nomaʼlumlarni oʻng tomonga siljiymiz, asosiylarini esa x 1 , x 2 ,…, x r chap tomonda qoldiraylik:

(16)

Chunki bu holda barcha b i =0, keyin formulalar o'rniga

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), olamiz:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Agar x r +1 , x r +2 ,…, x n erkin nomaʼlumlarni ixtiyoriy qiymatlarga qoʻysak, u holda asosiy nomaʼlumlarga nisbatan yagona yechim mavjud boʻlgan yagona boʻlmagan matritsaga ega kvadrat SLAE ni olamiz. Shunday qilib, bir hil SLAE ning har qanday eritmasi x r +1, x r +2,…, x n erkin noma'lumlarning qiymatlari bilan yagona aniqlanadi. Erkin noma'lumlar qiymatlarining quyidagi k=n-r qatorini ko'rib chiqing:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Serial raqami qavs ichida ustun belgisi bilan ko'rsatilgan va qiymatlar qatori ustunlar shaklida yoziladi. Har bir seriyada =1, agar i=j bo'lsa va =0 bo'lsa, ij.

Erkin noma'lumlar qiymatlarining i-chi qatori ,,...,asosiy noma'lumlar qiymatlariga o'ziga xos tarzda mos keladi. Erkin va asosiy noma'lumlarning qiymatlari birgalikda tizimga yechim beradi (17).

E i =,i=1,2,…,k ustunlari (18) ekanligini ko'rsatamiz.

yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.

Chunki Bu ustunlar konstruktsiyasi bo'yicha Ax=0 bir jinsli sistemaning yechimlari bo'lib, ularning soni k ga teng bo'lsa, u holda yechimlarning chiziqli mustaqilligini isbotlash qoladi (16). Yechimlarning chiziqli birikmasi bo'lsin e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), nol ustunga teng:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

U holda bu tenglikning chap tomoni r+1,r+2,...,n sonli komponentlari nolga teng bo'lgan ustundir. Lekin (r+1)-chi komponent  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 ga teng. Xuddi shunday (r+2)-chi komponent  2 ,… ga, k-komponent  k ga teng. Shuning uchun  1 =  2 = …= k =0, bu yechimlarning chiziqli mustaqilligini bildiradi e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Tuzilgan asosiy yechimlar tizimi (18) deyiladi normal. (13) formulaga ko'ra u quyidagi ko'rinishga ega:

(20)

Xulosa 2. Mayli e 1 , e 2 ,…, e k-bir jinsli sistema eritmalarining normal fundamental sistemasi, u holda barcha eritmalar to‘plamini quyidagi formula bilan tasvirlash mumkin:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+s k e k (21)

bu yerda s 1,s 2,…,s k – ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilish.

Isbot. 2-teoremaga binoan (19) ustun Ax=0 bir jinsli sistemaning yechimidir. Bu tizimning har qanday yechimini (17) ko'rinishda ifodalash mumkinligini isbotlash qoladi. Ustunni ko'rib chiqing X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Bu ustun r+1,...,n sonli elementlardagi y ustuni bilan mos tushadi va (16) ning yechimi hisoblanadi. Shuning uchun ustunlar X Va da mos keladi, chunki (16) tizimning yechimlari uning x r +1 ,…,x n erkin nomaʼlumlari va ustunlari qiymatlari toʻplami bilan yagona aniqlanadi. da Va X bu to'plamlar bir xil. Demak, da=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, ya'ni. yechim da ustunlarning chiziqli birikmasidir e 1 ,…,y n normal FSR. Va boshqalar.

Tasdiqlangan bayonot nafaqat oddiy FSR uchun, balki bir hil SLAE ning ixtiyoriy FSR uchun ham to'g'ri.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - umumiy qaror chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemalari

Bu erda X 1, X 2,…, X n - r - har qanday fundamental yechimlar tizimi,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r ixtiyoriy sonlar.

Misol. (78-bet)

Keling, bir hil bo'lmagan SLAE yechimlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatamiz (1) va mos keladigan bir hil SLAE (15)

Teorema 4. Bir jinsli sistema (1) va mos keladigan bir jinsli sistema (15) ning har qanday yechimlari yig’indisi (1) sistemaning yechimidir.

Isbot. Agar c 1 ,…,c n (1) sistemaning yechimi, d 1 ,…,d n esa (15) sistemaning yechimi bo‘lsa, u holda c noma’lum sonlarni istalgan (masalan, i-chi) tenglamaga almashtirish. sistema (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , biz quyidagilarni olamiz:

B i +0=b i h.t.d.

Teorema 5. Bir jinsli sistemaning (1) ikkita ixtiyoriy yechimlari orasidagi farq bir jinsli sistemaning (15) yechimidir.

Isbot. Agar c 1 ,…,c n va c 1 ,…,c n (1) sistemaning yechimlari bo‘lsa, u holda c noma’lum sonlarni sistemaning istalgan (masalan, i-chi) tenglamasiga almashtirish (1) ) 1 -s 1 ,…,c n -s n , hosil bo‘ladi:

B i -b i =0 p.t.d.

Tasdiqlangan teoremalardan kelib chiqadiki, n ta o'zgaruvchili m chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi mos keladigan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi (15) va ma'lum bir yechimning ixtiyoriy soni yig'indisiga teng. bu tizim (15).

X neod. =X jami bitta +X tez-tez bir necha marta (22)

Bir jinsli bo'lmagan sistemaning muayyan yechimi sifatida, agar formulalarda c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j bo'lsa, olingan eritmani olish tabiiydir. (a in)) j=1,2,…,r ((13) barcha c r +1 ,…,c n sonlarni nolga tenglashtiring, ya’ni.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Ushbu maxsus yechimni umumiy yechimga qo'shish X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r Tegishli bir hil tizim, biz quyidagilarni olamiz:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C n - r X n - r (24)

Ikki o'zgaruvchiga ega ikkita tenglama tizimini ko'rib chiqing:

unda koeffitsientlarning kamida bittasi a ij 0.

Yechish uchun birinchi tenglamani 22 ga, ikkinchisini (-a 12) ga ko‘paytirish va ularni qo‘shish orqali x 2 ni yo‘q qilamiz: Birinchi tenglamani (-a 21) ga, ikkinchisini esa 11 ga ko‘paytirish orqali x 1 ni yo‘q qilamiz. va ularni qo'shish: Qavs ichidagi ifoda aniqlovchi hisoblanadi

Belgilangan holda ,, u holda tizim quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:, ya'ni, agar, u holda tizim yagona yechimga ega:,.

Agar D=0, va (yoki) bo'lsa, sistema mos kelmaydi, chunki ko'rinishga keltiriladi Agar D=D 1 =D 2 =0 bo'lsa, sistema noaniq, chunki shaklga qisqartiriladi