Teskari funksiya y 3x. O'zaro teskari funksiyalar, asosiy ta'riflar, xossalar, grafiklar. Intervaldagi teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teoremani isbotlash

Funktsiya bir o'zgaruvchining boshqasiga bog'liqligidir. Funktsiyalar jadval usuli, og'zaki usul, grafik usul yoki formula yordamida aniqlanishi mumkin.

Funktsiyalar quyidagi turlarga bo'linadi:

Chiziqli funksiya
Kvadrat funksiya
Kub funksiyasi
Trigonometrik funktsiya
Quvvat funktsiyasi
Eksponensial funktsiya
Logarifmik funktsiya

Funktsiya domeni D(y) y = f(x) funktsiya tenglamasining o'ng tomonidagi ifoda mantiqiy bo'lgan x argumentining barcha ruxsat etilgan qiymatlari to'plamidir (mustaqil o'zgaruvchi x). Boshqacha qilib aytganda, bu f (x) ifodasining qabul qilinadigan qiymatlari diapazoni.

y = f(x) funksiya grafigidan uning aniqlanish sohasini topish uchun OX o'qi bo'ylab chapdan o'ngga harakat qilib, funktsiya grafigi joylashgan x qiymatlarining barcha intervallarini yozish kerak. mavjud.

E(y) funktsiyasining qiymatlari to'plami y bog'liq o'zgaruvchisi olishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlar to'plamidir.

y = f(x) funktsiya grafigidan uning qiymatlar to'plamini topish uchun siz OY o'qi bo'ylab pastdan yuqoriga qarab harakatlanayotganda y qiymatlarining barcha intervallarini yozishingiz kerak. funksiya grafigi mavjud.

Teskari funksiya- berilgan y = f(x) funksiyadan olingan y=g(x) funksiya, agar x = f(y) munosabatdan y ni x orqali ifodalasak.

Berilgan y = f(x) funksiya uchun teskari funktsiyani topish uchun quyidagilar zarur:

y = f(x) munosabatida x ni y bilan, yni esa x bilan almashtiring: x = f(y).
Natijadagi x=f(y) ifodada y ni x bilan ifodalang.

f(x) va g(x) funktsiyalari o'zaro teskari. Keling, buni bir misol bilan ko'rib chiqaylik

Teskari funksiyalarni topishga misollar:

f va g funksiyalarning sohasi va sohasi almashtiriladi: f ning sohasi g ning sohasi, f ning sohasi g ning sohasi.

Har bir funktsiya uchun teskarisini belgilashingiz mumkin emas. Funksiyaning invertibilligi sharti uning monotonligidir, ya’ni funksiya faqat ortishi yoki faqat kamayishi kerak. Agar funktsiya butun ta'rif sohasi bo'yicha monotonik emas, balki ma'lum bir intervalda monotonik bo'lsa, u holda uning teskari funktsiyasini faqat shu oraliqda aniqlash mumkin.

O'zaro teskari funksiyalarning xossalari O'zaro teskari funksiyalarning ayrim xossalarini qayd qilaylik. 1) Identifikatsiyalar.

Mayli f Va g- o'zaro teskari funktsiyalar. Keyin: f(g(y)) = y Va g(f(x)) = x. 2) Ta'rif sohasi.

Mayli f Va g- o'zaro teskari funktsiyalar. Funktsiya domeni f funktsiya diapazoni bilan mos keladi g, va aksincha, funksiya diapazoni f funksiyani aniqlash sohasi bilan mos keladi g. 3) Monoton.

Agar o'zaro teskari funktsiyalardan biri ortib borsa, ikkinchisi ham ortadi. Xuddi shunday bayonot kamayuvchi funktsiyalar uchun ham amal qiladi. 4) Grafiklar.

Xuddi shu koordinatalar tizimida tuzilgan o‘zaro teskari funksiyalar grafiklari to‘g‘ri chiziqqa nisbatan bir-biriga simmetrikdir. y = x.

Funksiya grafiklarini o‘zgartirishlar funksiyaning chiziqli o‘zgarishidir y = f(x) yoki uning argumenti x aqlga y = af(kx + b) + m, shuningdek modul yordamida konvertatsiya qilish.

Funksiya grafigini tuzishni bilish y = f(x), Qayerda

funksiyaning grafigini chizishingiz mumkin y = af(kx + b) + m.

Eslatmalar uchun savollar

Y = 0,5x - 4

Funktsiya sohasini toping:

Funktsiyaning juft yoki toq ekanligini aniqlang:

Kasrli ratsional tenglamani yeching:

Bu funksiyaning teskarisini toping:

6f(-1) +3f(5) ifoda qiymatini toping, agar

Biz qachon muammoga duch kelganmiz berilgan funksiya f va uning argumentining berilgan qiymati, bu nuqtada funktsiyaning qiymatini hisoblash kerak edi. Ammo ba'zida siz teskari muammoga duch kelishingiz kerak: ma'lum f funktsiya va uning ma'lum qiymati y berilgan, funktsiya berilgan y qiymatini oladigan argumentning qiymatini topish.

Har bir qiymatni o'z ta'rif sohasining bitta nuqtasida oladigan funksiya teskari funktsiya deb ataladi. Masalan, chiziqli funktsiya bo'ladi teskari funksiya. A kvadratik funktsiya yoki sinus funksiya teskari funksiyalar bo'lmaydi. Chunki funktsiya turli argumentlar bilan bir xil qiymatni qabul qilishi mumkin.

Teskari funksiya

Faraz qilaylik, f qandaydir ixtiyoriy teskari funksiyadir. y0 qiymatlari sohasidagi har bir raqam x0 ta'rif sohasidan faqat bitta raqamga to'g'ri keladi, f(x0) = y0.

Agar endi har bir x0 qiymatini y0 qiymati bilan bog'lasak, biz yangi funktsiyani olamiz. Masalan, uchun chiziqli funksiya f(x) = k * x + b funktsiya g(x) = (x - b)/k teskari bo'ladi.

Agar biron bir funktsiya bo'lsa g har bir nuqtada X f teskari funktsiya qiymatlari diapazoni f (y) = x qiymatni oladi, keyin biz funktsiyani aytamiz. g- f ga teskari funksiya mavjud.

Agar bizga qandaydir teskari f funktsiyaning grafigi berilsa, u holda teskari funktsiyaning grafigini qurish uchun quyidagi bayonotdan foydalanish mumkin: f funktsiyaning grafigi va g teskari funksiyasi to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo'ladi. y = x tenglama bilan belgilangan chiziq.

Agar g funktsiya f funktsiyaga teskari funktsiya bo'lsa, u holda g funktsiya teskari funktsiya bo'ladi. f funksiya esa g funktsiyaga teskari funktsiya bo'ladi. Odatda ikkita f va g funksiyalar bir-biriga teskari, deyiladi.

Quyidagi rasmda f va g funksiyalarning bir-biriga o'zaro teskari grafiklari ko'rsatilgan.

Quyidagi teoremani keltiraylik: agar f funktsiya A oraliqda ortib ketsa (yoki kamaysa), u teskari bo'ladi. f funktsiyasi qiymatlari oralig'ida aniqlangan teskari funktsiya g, shuningdek, ortib boruvchi (yoki mos ravishda kamayuvchi) funktsiyadir. Bu teorema deyiladi teskari funksiya teoremasi.

Bir-biriga teskari mos keladigan iboralar. Bu nimani anglatishini tushunish uchun ko'rib chiqishga arziydi aniq misol. Aytaylik, bizda y = cos(x) bor. Argumentdan kosinusni olsangiz, y ning qiymatini topishingiz mumkin. Shubhasiz, buning uchun sizda X bo'lishi kerak. Ammo o'yin dastlab berilgan bo'lsa-chi? Aynan shu yerda gap asosiy mavzuga to‘g‘ri keladi. Muammoni hal qilish uchun siz teskari funktsiyadan foydalanishingiz kerak. Bizning holatlarimizda bu arkkosindir.

Barcha o'zgarishlardan keyin biz olamiz: x = arccos (y).

Ya'ni, berilgan funktsiyaga teskari funktsiyani topish uchun undan argumentni ifodalash kifoya. Ammo bu faqat natijada bitta ma'noga ega bo'lsa ishlaydi (bu haqda keyinroq).

Umumiy holda bu faktni quyidagicha yozish mumkin: f(x) = y, g(y) = x.

Ta'rif

Domeni X to'plam va sohasi Y to'plam bo'lgan f funktsiya bo'lsin. U holda, agar domenlari qarama-qarshi vazifalarni bajaradigan g mavjud bo'lsa, f teskari bo'ladi.

Bundan tashqari, bu holda g noyobdir, ya'ni bu xususiyatni qondiradigan aniq bitta funktsiya mavjud (ko'p emas, kam emas). Keyin u teskari funksiya deyiladi va yozma ravishda quyidagicha belgilanadi: g(x) = f -1 (x).

Boshqacha qilib aytganda, ularni ikkilik munosabat deb hisoblash mumkin. Qaytarilish faqat to'plamning bir elementi boshqasidan bir qiymatga mos kelganda sodir bo'ladi.

Teskari funktsiya har doim ham mavjud emas. Buning uchun har bir element y ê Y ko'pi bilan bitta x ê X ga mos kelishi kerak. Keyin f birma-bir yoki inyeksiya deb ataladi. Agar f -1 Y ga tegishli bo'lsa, u holda bu to'plamning har bir elementi qandaydir x ∈ X ga mos kelishi kerak. Bunday xususiyatga ega bo'lgan funksiyalar suryeksiyalar deyiladi. Agar Y f ning tasviri bo'lsa, u ta'rifiga ko'ra amal qiladi, lekin bu har doim ham shunday emas. Teskari bo'lishi uchun funktsiya ham in'ektsiya, ham sur'ektsiya bo'lishi kerak. Bunday iboralar bijeksiyalar deyiladi.

Misol: kvadrat va ildiz funktsiyalari

Funksiya belgilangan)