Teskari trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari. Uni barcha teskari trigonometrik funksiyalar bilan ifodalaymiz. Teskari trigonometrik funksiyalarning asosiy munosabatlari

TO teskari trigonometrik funktsiyalar Quyidagi 6 funktsiyaga quyidagilar kiradi: arksinus , arkkosin , arktangent , arkkotangent , arksekant Va arccosecant .

Dastlabki trigonometrik funktsiyalar davriy bo'lgani uchun, umuman olganda, teskari funktsiyalar polisemantik . Ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi yakkama-yakka muvofiqlikni ta'minlash uchun asl trigonometrik funktsiyalarni aniqlash sohalari faqat ularni hisobga olgan holda cheklangan. asosiy tarmoqlari . Masalan, \(y = \sin x\) funktsiyasi faqat \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\) oralig'ida ko'rib chiqiladi. Ushbu oraliqda teskari arksinus funktsiyasi yagona tarzda aniqlanadi.

Arksinus funktsiyasi
\(a\) sonining yoyi (\(\arcsin a\) bilan belgilanadi) \(\left[ ( - \pi /2,\pi /) oraliqdagi \(x\) burchak qiymatidir. 2) \right]\), buning uchun \(\sin x = a\). Teskari funksiya \(y = \arcsin x\) \(x \in \left[ (-1,1) \right]\ da aniqlanadi, uning qiymatlar diapazoni \(y \in \left[) (- \pi / 2,\pi /2) \o'ng]\).

Ark kosinus funksiyasi
\(a\) sonining arkkosinasi (\(\arccos a\) bilan belgilanadi) \(\left[ (0,\pi) \o'ng]\) oralig'idagi \(x\) burchakning qiymatidir. , bunda \(\cos x = a\). Teskari funksiya \(y = \arccos x\) \(x \in \left[ (-1,1) \right]\ da aniqlanadi, uning qiymatlari diapazoni \(y \in) segmentiga tegishli. \left [(0,\ pi)\right]\).

Arktangent funktsiyasi
Raqamning arktangensi a(\(\arctan a\) bilan belgilanadi) ochiq intervaldagi \(x\) burchak qiymati \(\left((-\pi/2, \pi/2) \o'ng)\), at qaysi \(\ tan x = a \). Teskari funksiya \(y = \arctan x\) hamma \(x \in \mathbb(R)\ uchun aniqlanadi, arktangent diapazoni \(y \in \left((-\pi/2,) ga teng) \pi/2)\o'ng)\).

Ark tangens funksiyasi
\(a\) sonining arkkotangenti (\(\text(arccot) a\) bilan belgilanadi) ochiq intervaldagi \(x\) burchakning \(\left[ (0,\) qiymatidir. pi) \o'ng]\), bunda \(\cot x = a\). Teskari funktsiya \(y = \text(arccot) x\) hamma \(x \in \mathbb(R)\ uchun aniqlanadi, uning qiymatlari diapazoni \(y \in\) oralig'ida joylashgan. chap [(0,\pi) \o'ng]\).

Arksekant funktsiyasi
\(a\) sonining yoyi (\(\text(arcsec ) a\) bilan belgilanadi) \(\sec x = a\) burchakning \(x\) qiymatidir. Teskari funksiya \(y = \text(arcsec ) x\) \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right) da aniqlanadi. )\ ), uning qiymatlar diapazoni \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \o'ng] to'plamiga tegishlidir. \).

Arkokosant funktsiyasi
\(a\) sonining arkokosenti (\(\text(arccsc ) a\) yoki \(\text(arccsc ) a\)) bu \(x\) burchak qiymatidir. csc x = a\). Teskari funksiya \(y = \text(arccsc ) x\) \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right) da aniqlanadi. )\ ), uning qiymatlari diapazoni \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right) to'plamga tegishli ]\).

Arksinus va arkkosin funktsiyalarining asosiy qiymatlari (darajalarda)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Arktangent va arkkotangent funktsiyalarning asosiy qiymatlari (darajalarda)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\matn(arccot) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

32-33-darslar. Teskari trigonometrik funksiyalar

09.07.2015 8495 0

Maqsad: teskari trigonometrik funksiyalarni va ulardan trigonometrik tenglamalar yechimlarini yozishda foydalanishni ko‘rib chiqing.

I. Darslar mavzusi va maqsadini bayon qilish

II. Yangi materialni o'rganish

1. Teskari trigonometrik funksiyalar

Keling, ushbu mavzuni muhokama qilishni quyidagi misol bilan boshlaylik.

1-misol

Keling, tenglamani yechamiz: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Ordinata o'qiga 1/2 qiymatini chizamiz va burchaklarni tuzamiz x 1 va x2, buning uchun gunoh x = 1/2. Bu holda x1 + x2 = p, bundan x2 = p - x 1 . Trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalidan foydalanib, biz x1 = p/6 qiymatini topamiz, keyinSinus funksiyaning davriyligini hisobga olamiz va bu tenglamaning yechimlarini yozamiz:Bu erda k ∈ Z.

b) Shubhasiz, tenglamani yechish algoritmi gunoh x = a oldingi xatboshidagi bilan bir xil. Albatta, endi a qiymati ordinata o'qi bo'ylab chiziladi. X1 burchagini qandaydir tarzda belgilash kerak. Biz bu burchakni belgi bilan belgilashga kelishib oldik arcsin A. Keyin bu tenglamaning yechimlarini ko'rinishda yozish mumkinUshbu ikkita formulani bitta formulaga birlashtirish mumkin: unda

Qolgan teskari trigonometrik funksiyalar ham xuddi shunday tarzda kiritiladi.

Ko'pincha burchakning kattaligini uning trigonometrik funktsiyasining ma'lum qiymatidan aniqlash kerak bo'ladi. Bunday muammo ko'p qiymatli - trigonometrik funktsiyalari bir xil qiymatga teng bo'lgan son-sanoqsiz burchaklar mavjud. Shuning uchun trigonometrik funksiyalarning monotonligidan kelib chiqib, burchaklarni yagona aniqlash uchun quyidagi teskari trigonometrik funksiyalar kiritiladi.

a sonining yoyi (arksin , uning sinusi a ga teng, ya'ni.

Sonning yoy kosinusi a (arccos a) kosinusu a ga teng bo'lgan oraliqdan a burchak, ya'ni.

Sonning arktangensi a (arctg a) - intervaldan shunday a burchaktangensi a ga teng bo'lgan, ya'ni.tg a = a.

Sonning arkotangensi a (arcctg a) (0; p) oraliqdan a burchak, kotangensi a ga teng, ya’ni. ctg a = a.

2-misol

Keling, topamiz:

Teskari trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

3-misol

Keling, hisoblaylik

Burchak a = yoy bo'lsin 3/5, keyin ta'rifi bo'yicha sin a = 3/5 va . Shuning uchun, biz topishimiz kerak cos A. Asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:Cos a ≥ 0 ekanligi hisobga olinadi. Demak,

Funktsiya xususiyatlari	Funktsiya
Funktsiya xususiyatlari	y = arcsin x	y = arccos x	y = arktan x	y = arcctg x
Domen	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Qiymatlar diapazoni	y ∈ [ -p/2 ; p /2 ]	y ∈	y ∈ (-p/2 ; p /2 )	y ∈ (0;p)
Paritet	G'alati	Na juft, na toq	G'alati	Na juft, na toq
Funktsiya nollari (y = 0)	x = 0 da	x = 1 da	x = 0 da	y ≠ 0
Belgilarning doimiyligi intervallari	x ∈ (0; 1] uchun y > 0, da< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1 uchun y > 0; 1)	x ∈ uchun y > 0 (0; +∞), da< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ uchun y > 0 (-∞; +∞)
Monoton	Ortib bormoqda	Pastga	Ortib bormoqda	Pastga
Trigonometrik funktsiyaga munosabati	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Jadval

Teskari trigonometrik funksiyalarning ta’riflari va asosiy xossalari bilan bog‘liq yana bir qancha tipik misollar keltiramiz.

4-misol

Funksiyani aniqlash sohasini topamiz

y funksiya aniqlanishi uchun tengsizlikni qondirish kerakbu tengsizliklar tizimiga tengBirinchi tengsizlikning yechimi x oraliqdir∈ (-∞; +∞), ikkinchi - Bu interval va tengsizliklar sistemasining yechimi, shuning uchun funksiyani aniqlash sohasi

5-misol

Funktsiyaning o'zgarish sohasini topamiz

Funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik z = 2x - x2 (rasmga qarang).

z ∈ ekanligi aniq (-∞; 1]. Argument ekanligini hisobga olib z yoy kotangenti funksiyasi belgilangan chegaralar ichida o'zgaradi, biz buni jadval ma'lumotlaridan olamizShunday qilib, o'zgarish maydoni

6-misol

y = funksiya ekanligini isbotlaylik arctg x g'alati. MayliKeyin tg a = -x yoki x = - tg a = tg (- a), va Shuning uchun - a = arctg x yoki a = - arctg X. Shunday qilib, biz buni ko'ramizya'ni y(x) toq funksiyadir.

7-misol

Barcha teskari trigonometrik funksiyalar orqali ifodalaylik

Mayli Bu aniq O'shandan beri

Keling, burchak bilan tanishtiramiz Chunki Bu

Shuning uchun ham xuddi shunday Va

Shunday qilib,

8-misol

y = funksiyaning grafigini tuzamiz cos (arcsin x).

U holda a = arcsin x ni belgilaymiz X = sin a va y = cos a, ya'ni x 2 ekanligini hisobga olamiz + y2 = 1 va x uchun cheklovlar (x∈ [-1; 1]) va y (y ≥ 0). Keyin y = funksiyaning grafigi cos(arcsin x) yarim doiradir.

9-misol

y = funksiyaning grafigini tuzamiz arccos (cos x).

cos funktsiyasidan beri x [-1 oraliqda o'zgaradi; 1], u holda y funktsiyasi butun sonli o'qda aniqlanadi va segmentda o'zgaradi. y = ekanligini yodda tutaylik arccos (cosx) segmentdagi = x; y funksiya juft va davriy 2p davr bilan. Funktsiyaning ushbu xususiyatlarga ega ekanligini hisobga olsak chunki x Endi grafik yaratish oson.

Keling, ba'zi foydali tengliklarni ta'kidlaylik:

10-misol

Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz belgilaylik Keyin Funktsiyani olamiz Bu funksiya nuqtada minimal qiymatga ega z = p/4 va u ga teng Funktsiyaning eng katta qiymati nuqtada erishiladi z = -p/2 va u teng Shunday qilib, va

11-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Buni hisobga olsak Keyin tenglama quyidagicha ko'rinadi:yoki qayerda Arktangentning ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

2. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish

1-misolga o'xshab, siz eng oddiy trigonometrik tenglamalarning yechimlarini olishingiz mumkin.

Tenglama	Yechim


tgx = a
ctg x = a

12-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Sinus funktsiyasi toq bo'lgani uchun tenglamani ko'rinishda yozamizUshbu tenglamaning yechimlari:uni qayerdan topamiz?

13-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Berilgan formuladan foydalanib, biz tenglamaning yechimlarini yozamiz:va topamiz

Tenglamalarni yechishda maxsus holatlarda (a = 0; ±1) e'tibor bering sin x = a va cos x = lekin undan foydalanish osonroq va qulayroq umumiy formulalar, va birlik doirasiga asoslangan yechimlarni yozing:

sin x = 1 yechim tenglamasi uchun

sin x = 0 tenglama uchun yechimlar x = p k;

sin x = -1 tenglama uchun yechim

cos tenglamasi uchun x = 1 yechim x = 2p k ;

cos x = 0 tenglama uchun yechimlar

cos x = -1 tenglama uchun yechim

14-misol

Keling, tenglamani yechamiz

Ushbu misolda tenglamaning maxsus holati mavjud bo'lganligi sababli, biz tegishli formuladan foydalanib yechimni yozamiz:uni qayerdan topsak bo'ladi?

III. Nazorat savollari (frontal so'rov)

1. Teskari trigonometrik funksiyalarning asosiy xossalarini aniqlang va sanab bering.

2. Teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklarini keltiring.

3. Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

IV. Darsga topshiriq

§ 15, № 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, № 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, № 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Uyga vazifa

§ 15, № 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, № 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, № 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Ijodiy vazifalar

1. Funktsiya sohasini toping:

Javoblar:

2. Funktsiya diapazonini toping:

Javoblar:

3. Funksiya grafigini tuzing:

VII. Darslarni sarhisob qilish

Teskari trigonometrik funksiyalar- bular arksinus, arkkosinus, arktangent va arkkotangens.

Avval ba'zi ta'riflarni beraylik.

Arksin Yoki bu sinusi a soniga teng bo'lgan segmentga tegishli burchak deb aytishimiz mumkin.

yoy kosinus a soni shunday raqam deb ataladi

Arktangent a soni shunday raqam deb ataladi

Arkotangent a soni shunday raqam deb ataladi

Keling, biz uchun ushbu to'rtta yangi funktsiya - teskari trigonometrik funktsiyalar haqida batafsil gapiraylik.

Esingizda bo'lsin, biz allaqachon uchrashganmiz.

Masalan, arifmetika Kvadrat ildiz sonidan a - kvadrati a ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son.

b sonining a asosi uchun logarifmi c soni shundayki

Qayerda

Biz matematiklar nima uchun yangi funktsiyalarni "ixtiro qilishlari" kerakligini tushunamiz. Masalan, tenglamaning yechimlari va Biz ularni maxsus arifmetik kvadrat ildiz belgisisiz yozib bo'lmaydi.

Masalan, bunday tenglamaning yechimlarini yozish uchun logarifm tushunchasi zarur bo‘lib chiqdi: Bu tenglamaning yechimi irratsional son.Bu 7 ni olish uchun 2 ni ko‘tarish kerak bo‘lgan daraja ko‘rsatkichidir.

Trigonometrik tenglamalar bilan ham xuddi shunday. Masalan, biz tenglamani yechmoqchimiz

Uning yechimlari ordinatasi teng bo'lgan trigonometrik doiradagi nuqtalarga mos kelishi aniq va bu sinusning jadval qiymati emasligi aniq. Yechimlarni qanday yozish kerak?

Bu erda sinusi berilgan a soniga teng bo'lgan burchakni ko'rsatadigan yangi funktsiyasiz qilolmaymiz. Ha, hamma allaqachon taxmin qilgan. Bu arksinus.

Sinusu teng bo'lgan segmentga tegishli burchak to'rtdan birining yoyidir. Va bu shuni anglatadiki, trigonometrik doiradagi to'g'ri nuqtaga mos keladigan tenglamamizning yechimlari qatori

Va bizning tenglamamizning ikkinchi yechimlari seriyasi

Trigonometrik tenglamalarni yechish haqida ko'proq bilib oling -.

Buni aniqlash kerak - nega arksinus ta'rifi bu segmentga tegishli burchak ekanligini ko'rsatadi?

Gap shundaki, sinuslari, masalan, ga teng bo'lgan cheksiz ko'p burchaklar mavjud. Biz ulardan birini tanlashimiz kerak. Biz segmentda yotganini tanlaymiz.

Trigonometrik doirani ko'rib chiqing. Siz segmentda har bir burchak ma'lum bir sinus qiymatiga mos kelishini va faqat bittasini ko'rasiz. Va aksincha, segmentdagi sinusning har qanday qiymati segmentdagi burchakning yagona qiymatiga to'g'ri keladi. Bu shuni anglatadiki, segmentda siz dan gacha qiymatlarni oladigan funktsiyani belgilashingiz mumkin

Keling, ta'rifni yana takrorlaylik:

Raqamning yoyi - bu son , shu kabi

Belgilanish: arksinusni aniqlash maydoni segment, qiymatlar diapazoni segmentdir.

"Arcsines o'ng tomonda yashaydi" iborasini eslab qolishingiz mumkin. Faqat o'ng tomonda emas, balki segmentda ham ekanligini unutmang.

Biz funktsiyaning grafigini tuzishga tayyormiz

Odatdagidek, biz gorizontal o'qda x qiymatlarini va vertikal o'qda y qiymatlarini chizamiz.

Chunki, shuning uchun x -1 dan 1 gacha bo'lgan oraliqda yotadi.

Demak, y = arcsin x funksiyaning aniqlanish sohasi segmentdir

Biz y segmentga tegishli ekanligini aytdik. Bu y = arcsin x funktsiyasi qiymatlari diapazoni segment ekanligini anglatadi.

E'tibor bering, y=arcsinx funktsiyasining grafigi to'liq va chiziqlar bilan chegaralangan maydonga to'g'ri keladi.

Har doimgidek notanish funksiya grafigini tuzishda, keling, jadvaldan boshlaylik.

Ta'rifga ko'ra, nolning yoyi sinusi nolga teng bo'lgan segmentdagi sondir. Bu raqam nima? - Bu nolga teng ekanligi aniq.

Xuddi shunday, bittaning yoyi sinusi birga teng bo'lgan segmentdagi sondir. Shubhasiz, bu

Davom etamiz: - bu sinusi ga teng bo'lgan segmentdan olingan raqam. Ha

			0
			0

Funksiya grafigini qurish

Funktsiya xususiyatlari

1. Ta'rif doirasi

2. Qiymatlar diapazoni

3., ya'ni bu funksiya toq. Uning grafigi kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.

4. Funktsiya monoton ravishda ortadi. Uning - ga teng bo'lgan minimal qiymati - ga, eng katta qiymati esa - ga teng bo'lgan eng katta qiymatiga erishiladi

5. Funksiyalarning grafiklari va nima? Sizningcha, ular "bir xil naqsh bo'yicha tuzilgan" - xuddi funktsiyaning o'ng filiali va funktsiya grafigi kabi yoki ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalarning grafiklari kabi?

Tasavvur qiling-a, biz oddiy sinus to'lqinidan kichik bir qismni kesib oldik va keyin uni vertikal ravishda aylantirdik - va biz arksinus grafigini olamiz.

Ushbu intervaldagi funktsiya uchun argumentning qiymatlari nima bo'lsa, arksinus uchun funktsiya qiymatlari bo'ladi. Shunday bo'lishi kerak! Axir, sinus va arksinus - o'zaro funktsiyalar. O'zaro teskari funksiyalar juftligiga boshqa misollar at va, shuningdek, ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalardir.

Eslatib o'tamiz, o'zaro teskari funksiyalarning grafiklari to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.

Xuddi shunday, biz funksiyani aniqlaymiz.Bizga faqat har bir burchak qiymati o'zining kosinus qiymatiga mos keladigan segment kerak va kosinusni bilgan holda, biz burchakni noyob tarzda topishimiz mumkin. Segment bizga mos keladi

Raqamning yoy kosinusi sondir , shu kabi

Eslab qolish oson: "yoy kosinalari yuqoridan yashaydi" va nafaqat yuqoridan, balki segmentda

Belgilanish: yoyning kosinus ta'rifi maydoni segment, qiymatlar diapazoni segmentdir.

Shubhasiz, segment tanlangan, chunki unda har bir kosinus qiymati faqat bir marta olinadi. Boshqacha qilib aytganda, -1 dan 1 gacha bo'lgan har bir kosinus qiymati intervaldan bitta burchak qiymatiga mos keladi

Ark kosinusu ham, na juft emas g'alati funktsiya. Ammo biz quyidagi aniq munosabatlardan foydalanishimiz mumkin:

Keling, funktsiyani chizamiz

Bizga funksiyaning monotonik bo'lgan qismi kerak, ya'ni u har bir qiymatni aynan bir marta oladi.

Keling, segmentni tanlaylik. Bu segmentda funktsiya monoton ravishda kamayadi, ya'ni to'plamlar o'rtasidagi muvofiqlik birma-bir. Har bir x qiymati mos keladigan y qiymatiga ega. Bu segmentda kosinusga teskari funktsiya, ya'ni y = arccosx funktsiyasi mavjud.

Yoy kosinus ta’rifidan foydalanib, jadvalni to‘ldiramiz.

Intervalga tegishli bo'lgan x sonining yoy kosinusu shunday intervalga tegishli y soni bo'ladi

Bu shuni anglatadiki, chunki ;

Chunki;

Chunki,

			0
					0

Bu yoy kosinus grafigi:

Funktsiya xususiyatlari

1. Ta'rif doirasi

2. Qiymatlar diapazoni

Bu funksiya umumiy shaklga ega - u juft ham, toq ham emas.

4. Funktsiya qat'iy ravishda kamayib bormoqda. y = arccosx funksiyasi eng katta qiymatini oladi, at ga, eng kichik qiymati esa nolga teng bo‘ladi.

5. va funktsiyalari o'zaro teskari.

Keyingilari arktangens va arktangensdir.

Sonning arttangensi bu son , shu kabi

Belgilanishi: . Arktangensni aniqlash sohasi oraliq, qiymatlar maydoni esa intervaldir.

Nima uchun arktangent ta'rifida oraliqning uchlari - nuqtalar chiqarib tashlandi? Albatta, chunki bu nuqtalardagi tangens aniqlanmagan. Bu burchaklarning birortasining tangensiga teng a soni yo'q.

Arktangentning grafigini tuzamiz. Ta'rifga ko'ra, x sonining arttangensi shunday intervalga tegishli bo'lgan y sondir

Grafikni qanday qurish allaqachon aniq. Arktangent funksiya bo'lgani uchun tangensning o'zaro, biz quyidagicha harakat qilamiz:

Funktsiya grafigining x va y o'rtasidagi muvofiqlik birma-bir bo'lgan qismini tanlaymiz. Bu C oralig'i. Ushbu bo'limda funktsiya dan gacha qiymatlarni oladi

Keyin bor teskari funktsiya, ya'ni funksiya, domen, ta'rif butun son chizig'i bo'ladi, dan gacha va qiymatlar oralig'i interval bo'ladi

Ma'nosi,

Ammo x ning cheksiz katta qiymatlari uchun nima sodir bo'ladi? Boshqacha qilib aytganda, bu funktsiya o'zini qanday tutadi, chunki x ortiqcha cheksizlikka intiladi?

Biz o'zimizga savol berishimiz mumkin: oraliqdagi qaysi raqam uchun tangens qiymati cheksizlikka moyil? - Shubhasiz

Bu shuni anglatadiki, x ning cheksiz katta qiymatlari uchun arktangens grafigi gorizontal asimptotaga yaqinlashadi.

Xuddi shunday, agar x minus cheksizlikka yaqinlashsa, arktangens grafigi gorizontal asimptotaga yaqinlashadi.

Rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan

Funktsiya xususiyatlari

1. Ta'rif doirasi

2. Qiymatlar diapazoni

3. Funksiya toq.

4. Funktsiya qat'iy ravishda ortib bormoqda.

6. Funktsiyalar va o'zaro teskari - albatta, funktsiya intervalda ko'rib chiqilganda

Xuddi shunday, teskari tangens funksiyani aniqlaymiz va uning grafigini chizamiz.

Raqamning arkkotangenti sondir , shu kabi

Funktsiya grafigi:

Funktsiya xususiyatlari

1. Ta'rif doirasi

2. Qiymatlar diapazoni

3. Funksiya umumiy shaklda, ya’ni juft ham, toq ham emas.

4. Funktsiya qat'iy ravishda kamayib bormoqda.

5. Ushbu funktsiyaning to'g'ridan-to'g'ri va - gorizontal asimptotalari.

6. va funktsiyalari intervalda ko'rib chiqilsa, o'zaro teskari bo'ladi

Ta'rif va belgi

Arksinus (y = arcsin x) sinusning teskari funksiyasi (x = gunohkor -1 ≤ x ≤ 1 va qiymatlar to'plami -p /2 ≤ y ≤ p/2.
sin(arksin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arksin ba'zan quyidagicha ifodalanadi:
.

Arksinus funksiyasining grafigi

y = funksiyaning grafigi arcsin x

Agar abscissa va ordinata o'qlari almashtirilsa, arksinus grafigi sinus grafigidan olinadi. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun qiymatlar diapazoni funktsiya monotonik bo'lgan interval bilan cheklangan. Bu ta'rif arksinusning asosiy qiymati deb ataladi.

Arkkosin, arkkos

Ta'rif va belgi

Ark kosinus (y = arccos x) kosinusning teskari funksiyasi (x = cos y). Uning doirasi bor -1 ≤ x ≤ 1 va ko'p ma'nolar 0 ≤ y ≤ p.
cos(arccos x) = x ;
arccos (cos x) = x .

Arkkosin ba'zan quyidagicha ifodalanadi:
.

Yoy kosinus funksiyasining grafigi

y = funksiyaning grafigi arccos x

Agar abscissa va ordinata o'qlari almashtirilsa, yoy kosinus grafigi kosinus grafigidan olinadi. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun qiymatlar diapazoni funktsiya monotonik bo'lgan interval bilan cheklangan. Bu ta'rif yoy kosinusining asosiy qiymati deb ataladi.

Paritet

Arcsine funktsiyasi g'alati:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Ark kosinus funktsiyasi juft yoki toq emas:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(p-arccos x)) = p - arccos x ≠ ± arccos x

Xususiyatlari - ekstremal, o'sish, pasayish

Arksinus va arkkosin funktsiyalari o'z ta'rif sohasida uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Arksin va arkkosinning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.

	y= arcsin x	y= arccos x
Qamrov va davomiylik	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Qiymatlar diapazoni
Ko'tarilish, pasayish	monoton ravishda ortadi	monoton ravishda kamayadi
Yuqori darajalar
Minimallar
Nollar, y = 0	x = 0	x = 1
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	y= 0	y = p/ 2

Arksinuslar va arkkosinlar jadvali

Ushbu jadval argumentning ma'lum qiymatlari uchun arksinlar va arkkosinlar qiymatlarini daraja va radyanlarda taqdim etadi.

x	arcsin x		arccos x
	do'l	xursand.	do'l	xursand.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulalar

Shuningdek qarang: Teskari trigonometrik funksiyalar formulalarini chiqarish

Yig'indi va ayirma formulalari

da yoki

da va

da va

da

da

Logarifmlar orqali ifodalash, kompleks sonlar

Shuningdek qarang: Formulalarni chiqarish

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

Hosilalar

;
.
Qarang: Arksin va arkkosin hosilalarining hosilasi > > >

Yuqori tartibli hosilalar:
,
qayerda darajali polinom. U quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
;
;
.

Arksinus va arkkosinning yuqori tartibli hosilalarining hosilasi > > > ga qarang

Integrallar

Biz x = almashtirishni qilamiz gunoh t. Biz -p/ ni hisobga olgan holda qismlarga ajratamiz. 2 ≤ t ≤ p/2, cos t ≥ 0:
.

Yoy kosinusni yoy sinusi orqali ifodalaymiz:
.

Seriyani kengaytirish

Qachon |x|< 1 quyidagi parchalanish sodir bo'ladi:
;
.

Teskari funksiyalar

Arksinus va arkkosinusning teskarilari mos ravishda sinus va kosinusdir.

Quyidagi formulalar butun ta'rif sohasi uchun amal qiladi:
sin(arksin x) = x
cos(arccos x) = x .

Quyidagi formulalar faqat arksinus va arkkosin qiymatlari to'plamida amal qiladi:
arcsin(sin x) = x da
arccos (cos x) = x da .

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Shuningdek qarang:

Teskari kosinus funksiyasi

y=cos x funksiyasi qiymatlari diapazoni (2-rasmga qarang) segmentdir. Segmentda funksiya uzluksiz va monoton ravishda kamayib boradi.

Guruch. 2

Bu segmentda y=cos x funksiyaga teskari funksiya aniqlanganligini bildiradi. Bu teskari funksiya yoy kosinus deb ataladi va y=arccos x bilan belgilanadi.

Ta'rif

a sonining arkkosinasi, agar |a|1 bo'lsa, kosinasi segmentga tegishli bo'lgan burchak; arccos a bilan belgilanadi.

Shunday qilib, arkkos a quyidagi ikki shartni qanoatlantiradigan burchakdir: sos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.

Masalan, arccos, chunki cos va; arccos, chunki cos va.

y = arccos x funksiyasi (3-rasm) segmentda aniqlanadi, uning qiymatlari diapazoni segmentdir. Segmentda y=arccos x funksiya uzluksiz va monoton ravishda p dan 0 gacha kamayadi (chunki y=cos x segmentda uzluksiz va monoton kamayuvchi funktsiyadir); segmentning uchlarida u o'zining ekstremal qiymatlariga etadi: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. E'tibor bering, arccos 0 =. y = arccos x funksiyaning grafigi (3-rasmga qarang) y=x to'g'ri chiziqqa nisbatan y = cos x funksiya grafigiga simmetrikdir.

Guruch. 3

arccos(-x) = p-arccos x tengligi bajarilishini ko'rsataylik.

Aslida, ta'rifga ko'ra 0? arccos x? R. Ikkinchisining barcha qismlarini (-1) ga ko'paytirish ikki tomonlama tengsizlik, biz olamiz - p? arccos x? 0. Oxirgi tengsizlikning barcha qismlariga p ni qo‘shsak, 0 ni topamiz? p-arccos x? R.

Shunday qilib, arccos(-x) va p - arccos x burchaklarining qiymatlari bir xil segmentga tegishli. Segmentda kosinus monoton ravishda kamayib ketganligi sababli, unda teng kosinuslarga ega bo'lgan ikki xil burchak bo'lishi mumkin emas. arccos(-x) va p-arccos x burchaklarining kosinuslari topilsin. Ta'rifga ko'ra, cos (arccos x) = - x, qisqartirish formulalariga ko'ra va ta'rifga ko'ra bizda: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Demak, burchaklarning kosinuslari teng, ya'ni burchaklarning o'zlari teng.

Teskari sinus funksiyasi

[-r/2;r/2] segmentida ortib borayotgan, uzluksiz va [-1 segmentidan qiymatlar oladigan y=sin x funksiyasini ko'rib chiqamiz (6-rasm); 1]. Bu segmentda [- p/2; p/2] y=sin x funksiyaning teskari funksiyasi aniqlanadi.

Guruch. 6

Bu teskari funksiya arksinus deyiladi va y=arcsin x bilan belgilanadi. Keling, sonning arksinus ta'rifi bilan tanishamiz.

Sonning yoyi sinusi a soniga teng boʻlgan va [-r/2” segmentiga tegishli boʻlgan burchak (yoki yoy); p/2]; u arcsin a bilan belgilanadi.

Demak, arksin a quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi burchakdir: sin (arksin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arksin a? r/2. Masalan, gunoh va [- p/2; p/2]; arcsin, chunki sin = u [- p/2; p/2].

y=arcsin x funksiyasi (7-rasm) [- 1 segmentida aniqlanadi; 1], uning qiymatlari diapazoni [-r/2;r/2] segmentidir. Segmentda [- 1; 1] y=arcsin x funksiya uzluksiz va monoton ravishda -p/2 dan p/2 gacha ortadi (bu [-p/2; p/2] segmentidagi y=sin x funksiyasi uzluksiz ekanligidan kelib chiqadi. va monoton ravishda ortadi). X = 1 da eng katta qiymatni oladi: arcsin 1 = p/2, va eng kichigini x = -1 da: arcsin (-1) = -p/2. x = 0 da funksiya nolga teng: arcsin 0 = 0.

y = arcsin x funktsiyasi toq ekanligini ko'rsatamiz, ya'ni. arcsin(-x) = - arcsin x har qanday x uchun [ - 1; 1].

Haqiqatan ham, ta'rifga ko'ra, agar |x| ?1, bizda: - p/2 ? arcsin x? ? r/2. Shunday qilib, burchaklar arcsin(-x) va - arcsin x bir xil segmentga tegishli [ - p/2; p/2].

Keling, bularning sinuslarini topamiz burchaklar: sin (arcsin(-x)) = - x (ta'rifi bo'yicha); y=sin x funksiya toq bo'lgani uchun sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Demak, bir xil intervalga tegishli burchaklar sinuslari [-r/2; p/2], teng, ya'ni burchaklarning o'zi teng, ya'ni. arcsin (-x)= - arcsin x. Bu y=arcsin x funksiya toq ekanligini bildiradi. y=arcsin x funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.

Har qanday x [-r/2 uchun arcsin (sin x) = x ekanligini ko'rsatamiz; p/2].

Haqiqatan ham, ta'rifga ko'ra -p/2? arcsin (sin x) ? p/2 va shart bo'yicha -p/2? x? r/2. Demak, x va arksin (sin x) burchaklari y=sin x funksiyaning bir xil monotonlik intervaliga tegishli. Agar bunday burchaklarning sinuslari teng bo'lsa, u holda burchaklarning o'zi tengdir. Bu burchaklarning sinuslarini topamiz: x burchak uchun sin x, arksin (sin x) burchak uchun sin (arcsin(sin x)) = sin x. Biz burchaklarning sinuslari teng ekanligini aniqladik, shuning uchun burchaklar teng, ya'ni. arcsin(sin x) = x. .

Guruch. 7

Guruch. 8

arcsin (sin|x|) funksiyasining grafigi y=arcsin (sin x) grafigidan modul bilan bogʻliq boʻlgan odatiy oʻzgarishlar orqali olinadi (8-rasmda kesilgan chiziq bilan koʻrsatilgan). Undan x o'qi bo'ylab /4 ga o'ngga siljitish orqali kerakli y=arcsin (sin |x-/4|) grafigi olinadi (8-rasmda qattiq chiziq shaklida ko'rsatilgan).

Tangensning teskari funksiyasi

Intervaldagi y=tg x funksiyasi hamma narsani qabul qiladi raqamli qiymatlar: E (tg x)=. Bu oraliqda u uzluksiz va monoton ravishda ortadi. Bu intervalda y = tan x funksiyaga teskari funktsiya aniqlanganligini bildiradi. Bu teskari funksiya arktangens deb ataladi va y = arktan x bilan belgilanadi.

a ning arktangensi - tangensi a ga teng bo'lgan oraliqdan burchak. Shunday qilib, arctg a quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan burchakdir: tg (arctg a) = a va 0? arctg a? R.

Demak, har qanday x soni har doim y = arktan x funksiyaning yagona qiymatiga mos keladi (9-rasm).

Ko'rinib turibdiki, D (arctg x) =, E (arctg x) =.

y = arctan x funksiya ortib bormoqda, chunki y = tan x funksiya intervalda ortib bormoqda. Arctg(-x) = - arctgx ekanligini isbotlash qiyin emas, ya'ni. bu arktangent g'alati funktsiyadir.

Guruch. 9

y = arktan x funksiyaning grafigi y = tan x funksiya grafigiga y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo'ladi, y = arktan x grafigi koordinatalar boshi orqali o'tadi (chunki arktan 0 = 0) va boshiga nisbatan nosimmetrikdir (toq funksiya grafigi kabi).

Arktan (tan x) = x bo'lsa, x ekanligini isbotlash mumkin.

Kotangent teskari funktsiya

Intervaldagi y = ctg x funksiyasi intervaldan barcha raqamli qiymatlarni oladi. Uning qiymatlari diapazoni barcha haqiqiy sonlar to'plamiga to'g'ri keladi. Intervalda y = karyola x funksiyasi uzluksiz va monoton ravishda ortadi. Demak, bu oraliqda y = karyola x funksiyasiga teskari funktsiya aniqlanadi. Kotangentning teskari funksiyasi arkkotangent deb ataladi va y = arcctg x bilan belgilanadi.

a ning yoy kotangensi kotangensi a ga teng bo'lgan oraliqga tegishli burchakdir.

Shunday qilib, arcctg a quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi burchak hisoblanadi: ctg (arcctg a)=a va 0? arcctg a? R.

Teskari funktsiyaning ta'rifidan va arktangentning ta'rifidan D (arcctg x) =, E (arcctg x) = ekanligi kelib chiqadi. Yoy kotangenti kamayuvchi funktsiyadir, chunki y = ctg x funksiya oraliqda kamayadi.

y = arcctg x funksiyaning grafigi Ox o'qini kesib o'tmaydi, chunki y > 0 R. x = 0 y = arcctg 0 = uchun.

y = arcctg x funksiyaning grafigi 11-rasmda keltirilgan.

Guruch. 11

E'tibor bering, x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun identifikatsiya to'g'ri: arcctg (-x) = p-arcctg x.