Teskari tangens. Teskari trigonometrik funksiyalar. Teskari trigonometrik funksiyalarning asosiy munosabatlari

Ta'rif va belgi

Arksinus (y = arcsin x) sinusning teskari funksiyasi (x = gunohkor -1 ≤ x ≤ 1 va qiymatlar to'plami -p /2 ≤ y ≤ p/2.
sin(arksin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arksin ba'zan quyidagicha ifodalanadi:
.

Arksinus funksiyasining grafigi

y = funksiyaning grafigi arcsin x

Agar abscissa va ordinata o'qlari almashtirilsa, arksinus grafigi sinus grafigidan olinadi. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun qiymatlar diapazoni funktsiya monotonik bo'lgan interval bilan cheklangan. Bu ta'rif arksinusning asosiy qiymati deb ataladi.

Arkkosin, arkkos

Ta'rif va belgi

Ark kosinus (y = arccos x) kosinusning teskari funksiyasi (x = cos y). Uning doirasi bor -1 ≤ x ≤ 1 va ko'p ma'nolar 0 ≤ y ≤ p.
cos(arccos x) = x ;
arccos (cos x) = x .

Arkkosin ba'zan quyidagicha ifodalanadi:
.

Yoy kosinus funksiyasining grafigi

y = funksiyaning grafigi arccos x

Agar abscissa va ordinata o'qlari almashtirilsa, yoy kosinus grafigi kosinus grafigidan olinadi. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun qiymatlar diapazoni funktsiya monotonik bo'lgan interval bilan cheklangan. Bu ta'rif yoy kosinusining asosiy qiymati deb ataladi.

Paritet

Arcsine funktsiyasi g'alati:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Ark kosinus funktsiyasi juft yoki toq emas:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(p-arccos x)) = p - arccos x ≠ ± arccos x

Xususiyatlari - ekstremal, o'sish, pasayish

Arksinus va arkkosin funktsiyalari o'z ta'rif sohasida uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Arksin va arkkosinning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.

	y= arcsin x	y= arccos x
Qamrov va davomiylik	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Qiymatlar diapazoni
Ko'tarilish, pasayish	monoton ravishda ortadi	monoton ravishda kamayadi
Yuqori darajalar
Minimallar
Nollar, y = 0	x = 0	x = 1
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	y= 0	y = p/ 2

Arksinuslar va arkkosinlar jadvali

Ushbu jadval argumentning ma'lum qiymatlari uchun arksinlar va arkkosinlar qiymatlarini daraja va radyanlarda taqdim etadi.

x	arcsin x		arccos x
	do'l	xursand.	do'l	xursand.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulalar

Shuningdek qarang: Teskari trigonometrik funksiyalar formulalarini chiqarish

Yig'indi va ayirma formulalari

da yoki

da va

da va

da

da

Logarifmlar orqali ifodalash, kompleks sonlar

Shuningdek qarang: Formulalarni chiqarish

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

Hosilalar

;
.
Qarang: Arksin va arkkosin hosilalarining hosilasi > > >

Yuqori tartibli hosilalar:
,
qayerda darajali polinom. U quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
;
;
.

Arksinus va arkkosinning yuqori tartibli hosilalarining hosilasi > > > ga qarang

Integrallar

Biz x = almashtirishni qilamiz gunoh t. Biz -p/ ni hisobga olgan holda qismlarga ajratamiz. 2 ≤ t ≤ p/2, cos t ≥ 0:
.

Yoy kosinusni yoy sinusi orqali ifodalaymiz:
.

Seriyani kengaytirish

Qachon |x|< 1 quyidagi parchalanish sodir bo'ladi:
;
.

Teskari funksiyalar

Arksinus va arkkosinusning teskarilari mos ravishda sinus va kosinusdir.

Quyidagi formulalar butun ta'rif sohasi uchun amal qiladi:
sin(arksin x) = x
cos(arccos x) = x .

Quyidagi formulalar faqat arksinus va arkkosin qiymatlari to'plamida amal qiladi:
arcsin(sin x) = x da
arccos (cos x) = x da .

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Shuningdek qarang:

Teskari kosinus funksiyasi

y=cos x funksiyasi qiymatlari diapazoni (2-rasmga qarang) segmentdir. Segmentda funksiya uzluksiz va monoton ravishda kamayib boradi.

Guruch. 2

Bu segmentda y=cos x funksiyaga teskari funksiya aniqlanganligini bildiradi. Bu teskari funksiya yoy kosinus deb ataladi va y=arccos x bilan belgilanadi.

Ta'rif

a sonining arkkosinasi, agar |a|1 bo'lsa, kosinasi segmentga tegishli bo'lgan burchak; arccos a bilan belgilanadi.

Shunday qilib, arkkos a quyidagi ikki shartni qanoatlantiradigan burchakdir: sos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.

Masalan, arccos, chunki cos va; arccos, chunki cos va.

y = arccos x funksiyasi (3-rasm) segmentda aniqlanadi, uning qiymatlari diapazoni segmentdir. Segmentda y=arccos x funksiya uzluksiz va monoton ravishda p dan 0 gacha kamayadi (chunki y=cos x segmentda uzluksiz va monoton kamayuvchi funktsiyadir); segmentning uchlarida u o'zining ekstremal qiymatlariga etadi: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. E'tibor bering, arccos 0 =. y = arccos x funksiyaning grafigi (3-rasmga qarang) y=x to'g'ri chiziqqa nisbatan y = cos x funksiya grafigiga simmetrikdir.

Guruch. 3

arccos(-x) = p-arccos x tengligi bajarilishini ko'rsataylik.

Aslida, ta'rifga ko'ra 0? arccos x? R. Ikkinchisining barcha qismlarini (-1) ga ko'paytirish ikki tomonlama tengsizlik, biz olamiz - p? arccos x? 0. Oxirgi tengsizlikning barcha qismlariga p ni qo‘shsak, 0 ni topamiz? p-arccos x? R.

Shunday qilib, arccos(-x) va p - arccos x burchaklarining qiymatlari bir xil segmentga tegishli. Segmentda kosinus monoton ravishda kamayib ketganligi sababli, unda teng kosinuslarga ega bo'lgan ikki xil burchak bo'lishi mumkin emas. arccos(-x) va p-arccos x burchaklarining kosinuslari topilsin. Ta'rifga ko'ra, cos (arccos x) = - x, qisqartirish formulalariga ko'ra va ta'rifga ko'ra bizda: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Demak, burchaklarning kosinuslari teng, ya'ni burchaklarning o'zlari teng.

Teskari sinus funksiyasi

[-r/2;r/2] segmentida ortib borayotgan, uzluksiz va [-1 segmentidan qiymatlar oladigan y=sin x funksiyasini ko'rib chiqamiz (6-rasm); 1]. Bu segmentda [- p/2; p/2] y=sin x funksiyaning teskari funksiyasi aniqlanadi.

Guruch. 6

Bu teskari funksiya arksinus deyiladi va y=arcsin x bilan belgilanadi. Keling, sonning arksinus ta'rifi bilan tanishamiz.

Sonning yoyi sinusi a soniga teng boʻlgan va [-r/2” segmentiga tegishli boʻlgan burchak (yoki yoy); p/2]; u arcsin a bilan belgilanadi.

Demak, arksin a quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi burchakdir: sin (arksin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arksin a? r/2. Masalan, gunoh va [- p/2; p/2]; arcsin, chunki sin = u [- p/2; p/2].

y=arcsin x funksiyasi (7-rasm) [- 1 segmentida aniqlanadi; 1], uning qiymatlari diapazoni [-r/2;r/2] segmentidir. Segmentda [- 1; 1] y=arcsin x funksiya uzluksiz va monoton ravishda -p/2 dan p/2 gacha ortadi (bu [-p/2; p/2] segmentidagi y=sin x funksiyasi uzluksiz ekanligidan kelib chiqadi. va monoton ravishda ortadi). X = 1 da eng katta qiymatni oladi: arcsin 1 = p/2, va eng kichigini x = -1 da: arcsin (-1) = -p/2. x = 0 da funksiya nolga teng: arcsin 0 = 0.

y = arcsin x funktsiyasi toq ekanligini ko'rsatamiz, ya'ni. arcsin(-x) = - arcsin x har qanday x uchun [ - 1; 1].

Haqiqatan ham, ta'rifga ko'ra, agar |x| ?1, bizda: - p/2 ? arcsin x? ? r/2. Shunday qilib, burchaklar arcsin(-x) va - arcsin x bir xil segmentga tegishli [ - p/2; p/2].

Keling, bularning sinuslarini topamiz burchaklar: sin (arcsin(-x)) = - x (ta'rifi bo'yicha); y=sin x funksiya toq bo'lgani uchun sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Demak, bir xil intervalga tegishli burchaklar sinuslari [-r/2; p/2], teng, ya'ni burchaklarning o'zi teng, ya'ni. arcsin (-x)= - arcsin x. Bu y=arcsin x funksiya toq ekanligini bildiradi. y=arcsin x funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.

Har qanday x [-r/2 uchun arcsin (sin x) = x ekanligini ko'rsatamiz; p/2].

Haqiqatan ham, ta'rifga ko'ra -p/2? arcsin (sin x) ? p/2 va shart bo'yicha -p/2? x? r/2. Demak, x va arksin (sin x) burchaklari y=sin x funksiyaning bir xil monotonlik intervaliga tegishli. Agar bunday burchaklarning sinuslari teng bo'lsa, u holda burchaklarning o'zi tengdir. Bu burchaklarning sinuslarini topamiz: x burchak uchun sin x, arksin (sin x) burchak uchun sin (arcsin(sin x)) = sin x. Biz burchaklarning sinuslari teng ekanligini aniqladik, shuning uchun burchaklar teng, ya'ni. arcsin(sin x) = x. .

Guruch. 7

Guruch. 8

arcsin (sin|x|) funksiyasining grafigi y=arcsin (sin x) grafigidan modul bilan bogʻliq boʻlgan odatiy oʻzgarishlar orqali olinadi (8-rasmda kesilgan chiziq bilan koʻrsatilgan). Undan x o'qi bo'ylab /4 ga o'ngga siljitish orqali kerakli y=arcsin (sin |x-/4|) grafigi olinadi (8-rasmda qattiq chiziq shaklida ko'rsatilgan).

Tangensning teskari funksiyasi

Intervaldagi y=tg x funksiyasi hamma narsani qabul qiladi raqamli qiymatlar: E (tg x)=. Bu oraliqda u uzluksiz va monoton ravishda ortadi. Bu intervalda y = tan x funksiyaga teskari funktsiya aniqlanganligini bildiradi. Bu teskari funksiya arktangens deb ataladi va y = arktan x bilan belgilanadi.

a ning arktangensi - tangensi a ga teng bo'lgan oraliqdan burchak. Shunday qilib, arctg a quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan burchakdir: tg (arctg a) = a va 0? arctg a? R.

Demak, har qanday x soni har doim y = arktan x funksiyaning yagona qiymatiga mos keladi (9-rasm).

Ko'rinib turibdiki, D (arctg x) =, E (arctg x) =.

y = arctan x funksiya ortib bormoqda, chunki y = tan x funksiya intervalda ortib bormoqda. Arctg(-x) = - arctgx ekanligini isbotlash qiyin emas, ya'ni. bu arktangent g'alati funktsiyadir.

Guruch. 9

y = arktan x funksiyaning grafigi y = tan x funksiya grafigiga y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo'ladi, y = arktan x grafigi koordinatalar boshi orqali o'tadi (chunki arktan 0 = 0) va boshiga nisbatan nosimmetrikdir (toq funksiya grafigi kabi).

Arktan (tan x) = x bo'lsa, x ekanligini isbotlash mumkin.

Kotangent teskari funktsiya

Intervaldagi y = ctg x funksiyasi intervaldan barcha raqamli qiymatlarni oladi. Uning qiymatlari diapazoni barcha haqiqiy sonlar to'plamiga to'g'ri keladi. Intervalda y = karyola x funksiyasi uzluksiz va monoton ravishda ortadi. Demak, bu oraliqda y = karyola x funksiyasiga teskari funktsiya aniqlanadi. Kotangentning teskari funksiyasi arkkotangent deb ataladi va y = arcctg x bilan belgilanadi.

a ning yoy kotangensi kotangensi a ga teng bo'lgan oraliqga tegishli burchakdir.

Shunday qilib, arcctg a quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi burchak hisoblanadi: ctg (arcctg a)=a va 0? arcctg a? R.

Teskari funktsiyaning ta'rifidan va arktangentning ta'rifidan D (arcctg x) =, E (arcctg x) = ekanligi kelib chiqadi. Yoy kotangenti kamayuvchi funktsiyadir, chunki y = ctg x funksiya oraliqda kamayadi.

y = arcctg x funksiyaning grafigi Ox o'qini kesib o'tmaydi, chunki y > 0 R. x = 0 y = arcctg 0 = uchun.

y = arcctg x funksiyaning grafigi 11-rasmda keltirilgan.

Guruch. 11

E'tibor bering, x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun identifikatsiya to'g'ri: arcctg (-x) = p-arcctg x.

Teskari trigonometrik funksiyalar matematik funktsiyalar, ular trigonometrik funktsiyalarga teskari.

y=arcsin(x) funksiyasi

a sonining yoyi sinusi a ga teng bo'lgan [-p/2;p/2] oraliqdagi a sonidir.
Funksiya grafigi
[-p/2;p/2] oraliqda u= sin⁡(x) funksiya qatiy ortib boruvchi va uzluksiz; shuning uchun u teskari funktsiyaga ega, qat'iy ortib boruvchi va uzluksiz.
y= sin⁡(x) funksiyasi uchun teskari funksiya, bu yerda x ∈[-p/2;p/2], arksinus deyiladi va y=arksin(x) bilan belgilanadi, bunda x∈[-1;1. ].
Shunday qilib, teskari funktsiyaning ta'rifiga ko'ra, arksinusni aniqlash sohasi [-1;1] segmenti va qiymatlar to'plami [-p/2;p/2] segmentidir.
E’tibor bering, y=arcsin(x), bu yerda x ∈[-1;1] funksiya grafigi y= sin(⁡x) funksiya grafigiga simmetrik, bunda x∈[-p/2;p /2], birinchi va uchinchi choraklarning koordinata burchaklarining bissektrisasiga nisbatan.

Funktsiya diapazoni y=arcsin(x).

Misol № 1.

arcsin(1/2) topilsinmi?

arcsin(x) funksiya qiymatlari diapazoni [-p/2;p/2] oraliqda bo‘lgani uchun faqat p/6 qiymati mos keladi.Shuning uchun arcsin(1/2) =p/ 6.
Javob: p/6

Misol № 2.
arcsin(-(√3)/2) toping?

arcsin(x) x ∈[-p/2;p/2] qiymatlar diapazoni bo'lgani uchun faqat -p/3 qiymati mos keladi.Shuning uchun arcsin(-(√3)/2) =- p /3.

y=arccos(x) funksiyasi

a sonining yoy kosinusi kosinasi a ga teng bo'lgan oraliqdan a sonidir.

Funksiya grafigi

Segmentdagi y= cos(⁡x) funksiya qatiy kamayib boruvchi va uzluksiz; shuning uchun u qat'iy kamayib boruvchi va uzluksiz teskari funktsiyaga ega.
y= cos⁡x funksiyasi uchun teskari funktsiya chaqiriladi, bu erda x ∈ yoy kosinus va y=arccos(x) bilan belgilanadi, bu yerda x ∈[-1;1].
Shunday qilib, teskari funktsiyaning ta'rifiga ko'ra, yoy kosinusining ta'rif sohasi [-1;1] segment, qiymatlar to'plami esa segmentdir.
E’tibor bering, y=arccos(x) funksiyaning grafigi, bunda x ∈[-1;1] y= cos(⁡x) funksiya grafigiga simmetrik, bu yerda x ∈ bissektrisaga nisbatan. birinchi va uchinchi choraklarning koordinata burchaklari.

Funktsiya diapazoni y=arccos(x).

Misol № 3.

Arccos (1/2) topilsinmi?

Qiymatlar diapazoni arccos(x) x∈ bo'lgani uchun faqat p/3 qiymati mos keladi, shuning uchun arccos(1/2) =p/3.
Misol № 4.
Arccos(-(√2)/2) topilsinmi?

Arccos(x) funksiya qiymatlari diapazoni intervalga tegishli bo'lganligi uchun faqat 3p/4 qiymati mos keladi.Shuning uchun arccos(-(√2)/2) = 3p/4.

Javob: 3p/4

Funktsiya y=arctg(x)

a sonining aktangensi [-p/2;p/2] oraliqdagi a soni bo‘lib, tangensi a ga teng.

Funksiya grafigi

Tangens funksiya uzluksiz va (-p/2;p/2) oraliqda qat’iy ortib boradi; shuning uchun u uzluksiz va qat'iy ortib boruvchi teskari funktsiyaga ega.
y= tan⁡(x) funksiya uchun teskari funksiya, bunda x∈(-p/2;p/2); arktangent deb ataladi va y=arctg(x) bilan belgilanadi, bu erda x∈R.
Shunday qilib, teskari funktsiyaning ta'rifiga ko'ra, arktangentni aniqlash sohasi interval (-∞;+∞), qiymatlar to'plami esa intervaldir.
(-p/2;p/2).
E’tibor bering, y=arctg(x), bu yerda x∈R funksiyaning grafigi y= tan⁡x funksiya grafigiga simmetrik, bu yerda x ∈ (-p/2;p/2) ga nisbatan. birinchi va uchinchi choraklarning koordinata burchaklarining bissektrisasi.

y=arctg(x) funksiyaning diapazoni.

5-misol?

arktan((√3)/3) toping.

arctg(x) x ∈(-p/2;p/2) qiymatlar diapazoni bo'lgani uchun faqat p/6 qiymati mos keladi.Shuning uchun arctg((√3)/3) =p/6.
Misol № 6.
arctg(-1) ni toping?

arctg(x) x ∈(-p/2;p/2) qiymatlar diapazoni bo'lgani uchun faqat -p/4 qiymati mos keladi.Shuning uchun arctg(-1) = - p/4.

Funktsiya y=arcctg(x)

a sonining yoy kotangensi kotangensi a ga teng bo'lgan (0;p) oraliqdan olingan a sonidir.

Funksiya grafigi

(0;p) oraliqda kotangent funksiya qatiy kamayadi; bundan tashqari, bu intervalning har bir nuqtasida uzluksiz; shuning uchun (0;p) oraliqda bu funktsiya teskari funktsiyaga ega bo'lib, u qat'iy kamayadi va uzluksizdir.
y=ctg(x), bu yerda x ∈(0;p) funksiya uchun teskari funksiya arkkotangent deb ataladi va y=arcctg(x) deb belgilanadi, bu yerda x∈R.
Demak, teskari funktsiyaning ta'rifiga ko'ra, yoy kotangentining aniqlanish sohasi bo'ladi R, va to'plam bilan qiymatlar – interval (0;p). y=arcctg(x) funksiya grafigi, bunda x∈R y=ctg(x) x∈(0;p) funksiya grafigiga simmetrik, nisbiy birinchi va uchinchi choraklarning koordinata burchaklarining bissektrisasiga.

Funktsiya diapazoni y=arcctg(x).

Misol № 7.
arcctg((√3)/3) ni toping?

Arcctg(x) x ∈(0;p) qiymatlari diapazoni bo'lgani uchun faqat p/3 qiymati mos keladi.Shuning uchun arccos((√3)/3) =p/3.

Misol № 8.
arcctg(-(√3)/3) ni toping?

Qiymatlar diapazoni arcctg(x) x∈(0;p) bo'lgani uchun faqat 2p/3 qiymati mos keladi.Shuning uchun arccos(-(√3)/3) = 2p/3.

Tahrirlovchilar: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Teskari trigonometrik funksiyalar(aylana funktsiyalari, yoy funksiyalari) - trigonometrik funktsiyalarga teskari bo'lgan matematik funktsiyalar.

Ular odatda 6 ta funktsiyani o'z ichiga oladi:

arksin(belgisi: arcsin x; arcsin x- bu burchak gunoh ga teng x),
arkkosin(belgisi: arccos x; arccos x kosinusu teng bo'lgan burchakdir x va hokazo),
arktangent(belgisi: arktan x yoki arktan x),
arkkotangent(belgisi: arcctg x yoki arccot x yoki arkkotan x),
arksekant(belgisi: arcsec x),
arccosecant(belgisi: arccosec x yoki arccsc x).

arksinus (y = arcsin x) - ga teskari funktsiya gunoh (x = sin y . Boshqacha qilib aytganda, burchakni qiymati bo'yicha qaytaradi gunoh.

yoy kosinus (y = arccos x) - ga teskari funktsiya cos (x = cos y cos.

Arktangent (y = arktan x) - ga teskari funktsiya tg (x = tan y), domen va qiymatlar to'plamiga ega . Boshqacha qilib aytganda, burchakni qiymati bo'yicha qaytaradi tg.

Arkotangent (y = arcctg x) - ga teskari funktsiya ctg (x = cotg y), ta'rif sohasi va qiymatlar to'plamiga ega. Boshqacha qilib aytganda, burchakni qiymati bo'yicha qaytaradi ctg.

arcsec- arcsekant, uning sekant qiymatiga muvofiq burchakni qaytaradi.

arkkosek- arkkosekant, uning kosekant qiymatiga asoslangan burchakni qaytaradi.

Teskari trigonometrik funktsiya belgilangan nuqtada aniqlanmagan bo'lsa, uning qiymati yakuniy jadvalda ko'rinmaydi. Funksiyalar arcsec Va arkkosek(-1,1) segmentida aniqlanmaydi, lekin arcsin Va arccos faqat [-1,1] oraliqda aniqlanadi.

Teskari trigonometrik funktsiyaning nomi tegishli trigonometrik funktsiya nomidan "arc-" prefiksini qo'shish orqali hosil bo'ladi (lot. yoy Biz- yoy). Buning sababi shundaki, geometrik jihatdan teskari trigonometrik funktsiyaning qiymati u yoki bu segmentga mos keladigan birlik aylana yoyi uzunligi (yoki bu yoyni bo'ysunuvchi burchak) bilan bog'liq.

Ba'zan xorijiy adabiyotlarda, shuningdek, ilmiy/muhandislik kalkulyatorlarida ular kabi belgilardan foydalanadilar gunoh−1, cos-1 arksine, arkkosin va shunga o'xshashlar uchun bu to'liq aniq emas, chunki funktsiyani kuchga ko'tarish bilan chalkashlik bo'lishi mumkin −1 (« −1 » (birinchi quvvatni chiqarib tashlash) funksiyani belgilaydi x = f -1 (y), funksiyaga teskari y = f(x)).

Teskari trigonometrik funksiyalarning asosiy munosabatlari.

Bu erda formulalar amal qiladigan intervallarga e'tibor berish muhimdir.

Teskari trigonometrik funksiyalarga oid formulalar.

Har qanday teskari qiymatlarni belgilaylik trigonometrik funktsiyalar orqali Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x va yozuvni saqlang: arcsin x, arcos x, arktan x, arccot x ularning asosiy qadriyatlari uchun, keyin ular orasidagi bog'liqlik bunday munosabatlar bilan ifodalanadi.

TO teskari trigonometrik funktsiyalar Quyidagi 6 funktsiyaga quyidagilar kiradi: arksin , arkkosin , arktangent , arkkotangent , arksekant Va arccosecant .

Dastlabki trigonometrik funktsiyalar davriy bo'lgani uchun, umuman olganda, teskari funktsiyalar polisemantik . Ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi yakkama-yakka muvofiqlikni ta'minlash uchun asl trigonometrik funktsiyalarni aniqlash sohalari faqat ularni hisobga olgan holda cheklangan. asosiy tarmoqlari . Masalan, \(y = \sin x\) funktsiyasi faqat \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\) oralig'ida ko'rib chiqiladi. Ushbu oraliqda teskari arksinus funktsiyasi yagona tarzda aniqlanadi.

Arksinus funktsiyasi
\(a\) sonining yoyi (\(\arcsin a\) bilan belgilanadi) \(\left[ ( - \pi /2,\pi /) oraliqdagi \(x\) burchak qiymatidir. 2) \right]\), buning uchun \(\sin x = a\). Teskari funksiya\(y = \arcsin x\) \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\ da aniqlanadi), uning qiymatlari diapazoni \(y \in \left[ () ga teng - \pi /2, \pi /2) \o'ng]\).

Ark kosinus funksiyasi
\(a\) sonining arkkosinasi (\(\arccos a\) bilan belgilanadi) \(\left[ (0,\pi) \o'ng]\) oralig'idagi \(x\) burchakning qiymatidir. , bunda \(\cos x = a\). Teskari funksiya \(y = \arccos x\) \(x \in \left[ (-1,1) \right]\ da aniqlanadi, uning qiymatlari diapazoni \(y \in) segmentiga tegishli. \left [(0,\ pi)\right]\).

Arktangent funktsiyasi
Raqamning arktangensi a(\(\arctan a\) bilan belgilanadi) ochiq intervaldagi \(x\) burchak qiymati \(\left((-\pi/2, \pi/2) \o'ng)\), at qaysi \(\ tan x = a \). Teskari funksiya \(y = \arctan x\) hamma \(x \in \mathbb(R)\ uchun aniqlanadi, arktangent diapazoni \(y \in \left((-\pi/2,) ga teng) \pi/2)\o'ng)\).

Ark tangens funksiyasi
\(a\) sonining arkkotangenti (\(\text(arccot) a\) bilan belgilanadi) ochiq intervaldagi \(x\) burchakning \(\left[ (0,\) qiymatidir. pi) \o'ng]\), bunda \(\cot x = a\). Teskari funktsiya \(y = \text(arccot) x\) hamma \(x \in \mathbb(R)\ uchun aniqlanadi, uning qiymatlari diapazoni \(y \in\) oralig'ida joylashgan. chap [(0,\pi) \o'ng]\).

Arksekant funktsiyasi
\(a\) sonining yoyi (\(\text(arcsec ) a\) bilan belgilanadi) \(\sec x = a\) burchakning \(x\) qiymatidir. Teskari funksiya \(y = \text(arcsec ) x\) \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right) da aniqlanadi. )\ ), uning qiymatlar diapazoni \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \o'ng] to'plamiga tegishlidir. \).

Arkokosant funktsiyasi
\(a\) sonining arkokosenti (\(\text(arccsc ) a\) yoki \(\text(arccsc ) a\)) bu \(x\) burchak qiymatidir. csc x = a\). Teskari funksiya \(y = \text(arccsc ) x\) \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right) da aniqlanadi. )\ ), uning qiymatlari diapazoni \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right) to'plamga tegishli ]\).

Arksinus va arkkosin funktsiyalarining asosiy qiymatlari (darajalarda)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Arktangent va arkkotangent funktsiyalarning asosiy qiymatlari (darajalarda)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\matn(arccot) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)